4 不同尺寸颗粒的最紧密堆积
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2
n=3
1 3 Vts 1.0907 2 1
n=4
1 VTS 1.1225 2 1
4
组合结果为
单一组元的 组元 原始空隙率 数 0.35 2 3 4
每一组分的体积分数 Dp1
74.1 67.9 66.0
Dp2
25.9 23.8 23.1
Dp3
-8.3 8.1
a 要考察的指标： 堆积体积Vm与单一组分空隙率ε 的关系 多元组合体系中各组元的分数。 b 假设：（1）不管颗粒大小如何，单一 组分空隙率ε 是不变的。 （2）设颗粒有n级；最大的颗粒为一次
颗粒。
（3） 一次颗粒所形成的空隙由次大的颗粒所 填充，次大的颗粒为二次颗粒。余类推。
1 堆积体积Vm与单一组分空隙率ε 的关系 (1) 取单位真实体积的颗粒组元分析
(5)每一组颗粒的体积分数计算
根据假设一次颗粒和二次颗粒的体积和为1， V1 p 则： f1 V1 (V1 V2 ) p V1=Vm(1-ε)=f1 V2=εVm(1-ε)=1-f1 V3=ε•εVm(1-ε)=ε (1-f1) V4=ε2εVm(1-ε)=ε2 (1-f1)
n
V1 V2 V3 Vn 1
颗粒的真实体积 1 Vm n 填充率 1
2多元组合体系中各组元的分数
（1）堆积方式：一次颗粒所形成的空隙 由次大的颗粒所填充，次大的颗粒为 二次颗粒。余类推。 （2）一次颗粒和二次颗粒的体积和为1 （3）一次颗粒所占的分数为f1 (4)每级颗粒的体积为Vi
先分析二组元体系:
第一组元体积为V1
V1 Vm (1 )
第二组元体积为V２
V2 Vm (1 )
则
V1 V2 Vm[(1 ) )]
2
（2）类似的，三组元体系为
V1 V2 V3 Vm (1 )
3
所以
V1 V2 V3 Vn Vm (1 )
p1 p 2 1 2
1 f1 1
所以
表 观 体 积
1.0
A
4
粗颗粒的表 观体积分数
混合物的实际 体积分数 6
细颗粒的表 观体积分数
B
3
D
5
2
1
1.0
粗颗粒的实 体积分数 0.5 0.0 细颗粒的实 际体积分数 际体积分数
二组元颗粒的堆积特性
四 不同尺寸颗粒的最紧密堆积
(一) 同一种物料二组元的颗粒体系
大颗粒重量
W1
p1
W1 1 1 1 p1体积为 V1 ຫໍສະໝຸດ (1 1 )小颗粒重量
W2 1 1 (1 2 ) p 2
W2
p2
体积为 V2 1 (1 2 )
设大颗粒所占的分数为f1 则： 1 1 p1 W1 f1 W1 W2 1 1 p1 1 1 2 p 2 对于同一种固体物料，密度相同,单一组 份的空隙率相同.即:
Dp4
--2.8
计算举例
例如：单颗粒空隙率为0.4时。4组元 时，实现最紧密堆积时各组元的分数 计算。
1 1 0.7143 1 1.4 1 1 V2 1 f1 1 1 0.2857 1 1.4 V3 (1 f1 ) 0.4 0.2857 0.1143 V f1 V4 2 (1 f1 ) 0.0457
每一组分的体积分数
Dp1 77.0 72.0 70.7 71.5 64.2 61.6 Dp2 23.0 21.5 21.1 28.5 25.6 24.6 Dp3 -6.5 6.3 -10.2 9.8 Dp4 --1.9 --3.9
0.40
堆积组元达到最小空隙率时每一 组分的体积分数
单一组元 的原始空 隙率 0.50 组元 数 2 3 4 2 3 4 每一组分的体积分数 Dp1 66.7 57.2 53.3 62.5 51.0 46 Dp2 33.3 28.5 26.7 37.5 30.6 27.6 Dp3 -14.3 13.3 -18.4 16.5 Dp4 --6.7 --9.9
1 VTS 1 . 16 2 1
4
f r1 fr2 fr3 fr4
V1 61.57% Vts V2 24.63% Vts V3 9.85% Vts V4 3.94% Vts
堆积组元达到最小空隙率时 每一组分的体积分数
单一组元 的原始空 隙率
0.30 组元 数 2 3 4 2 3 4
从图上看出下列结论： 1 单一颗粒的空隙率为0.5 2 粗颗粒重量分数f1=0.67时，空隙率最小。 3 大小颗粒的尺寸比越大，空隙率受的影响 越小。 小颗粒越小，空隙率越小。 4 当f1<0.67时，空隙率随f1的增大而降低。 5当f1>0.67时，空隙率随f1的增大而增大。
(二) 同一种物料多组元的颗粒体系
0.60
例题
现有粒径为60微米、30微米、20微米和3微 米的粉体颗粒。其单组分粉体颗粒的紧密 堆积时其空隙率为0.35.如果用它们混合为 二组分、三组分和四组分的粉体。 试分别计算不同组合时各单组分在混合组 分中占的体积分数，使之具有最低空隙率；
解
1 1 V f1 0.7407 1 1.35 1 1 V2 1 f1 1 1 0.2593 1 1.35 V3 (1 f1 ) 0.35 0.2593 0.0908 V4 (1 f1 ) 0.0318
┆ Vn=εn-2 (1-f1)
（6） 则颗粒的理论总体积为Vts
Vts Vi
i 1 i 1 n n i2
1 1 (1 ) 2 1 1
n
1 f1 1
（7） 实现最紧密堆积时 各组分的比例
根据组元数和单组分时的空隙 率计算
Vi f Ri Vts
n=3
1 3 Vts 1.0907 2 1
n=4
1 VTS 1.1225 2 1
4
组合结果为
单一组元的 组元 原始空隙率 数 0.35 2 3 4
每一组分的体积分数 Dp1
74.1 67.9 66.0
Dp2
25.9 23.8 23.1
Dp3
-8.3 8.1
a 要考察的指标： 堆积体积Vm与单一组分空隙率ε 的关系 多元组合体系中各组元的分数。 b 假设：（1）不管颗粒大小如何，单一 组分空隙率ε 是不变的。 （2）设颗粒有n级；最大的颗粒为一次
颗粒。
（3） 一次颗粒所形成的空隙由次大的颗粒所 填充，次大的颗粒为二次颗粒。余类推。
1 堆积体积Vm与单一组分空隙率ε 的关系 (1) 取单位真实体积的颗粒组元分析
(5)每一组颗粒的体积分数计算
根据假设一次颗粒和二次颗粒的体积和为1， V1 p 则： f1 V1 (V1 V2 ) p V1=Vm(1-ε)=f1 V2=εVm(1-ε)=1-f1 V3=ε•εVm(1-ε)=ε (1-f1) V4=ε2εVm(1-ε)=ε2 (1-f1)
n
V1 V2 V3 Vn 1
颗粒的真实体积 1 Vm n 填充率 1
2多元组合体系中各组元的分数
（1）堆积方式：一次颗粒所形成的空隙 由次大的颗粒所填充，次大的颗粒为 二次颗粒。余类推。 （2）一次颗粒和二次颗粒的体积和为1 （3）一次颗粒所占的分数为f1 (4)每级颗粒的体积为Vi
先分析二组元体系:
第一组元体积为V1
V1 Vm (1 )
第二组元体积为V２
V2 Vm (1 )
则
V1 V2 Vm[(1 ) )]
2
（2）类似的，三组元体系为
V1 V2 V3 Vm (1 )
3
所以
V1 V2 V3 Vn Vm (1 )
p1 p 2 1 2
1 f1 1
所以
表 观 体 积
1.0
A
4
粗颗粒的表 观体积分数
混合物的实际 体积分数 6
细颗粒的表 观体积分数
B
3
D
5
2
1
1.0
粗颗粒的实 体积分数 0.5 0.0 细颗粒的实 际体积分数 际体积分数
二组元颗粒的堆积特性
四 不同尺寸颗粒的最紧密堆积
(一) 同一种物料二组元的颗粒体系
大颗粒重量
W1
p1
W1 1 1 1 p1体积为 V1 ຫໍສະໝຸດ (1 1 )小颗粒重量
W2 1 1 (1 2 ) p 2
W2
p2
体积为 V2 1 (1 2 )
设大颗粒所占的分数为f1 则： 1 1 p1 W1 f1 W1 W2 1 1 p1 1 1 2 p 2 对于同一种固体物料，密度相同,单一组 份的空隙率相同.即:
Dp4
--2.8
计算举例
例如：单颗粒空隙率为0.4时。4组元 时，实现最紧密堆积时各组元的分数 计算。
1 1 0.7143 1 1.4 1 1 V2 1 f1 1 1 0.2857 1 1.4 V3 (1 f1 ) 0.4 0.2857 0.1143 V f1 V4 2 (1 f1 ) 0.0457
每一组分的体积分数
Dp1 77.0 72.0 70.7 71.5 64.2 61.6 Dp2 23.0 21.5 21.1 28.5 25.6 24.6 Dp3 -6.5 6.3 -10.2 9.8 Dp4 --1.9 --3.9
0.40
堆积组元达到最小空隙率时每一 组分的体积分数
单一组元 的原始空 隙率 0.50 组元 数 2 3 4 2 3 4 每一组分的体积分数 Dp1 66.7 57.2 53.3 62.5 51.0 46 Dp2 33.3 28.5 26.7 37.5 30.6 27.6 Dp3 -14.3 13.3 -18.4 16.5 Dp4 --6.7 --9.9
1 VTS 1 . 16 2 1
4
f r1 fr2 fr3 fr4
V1 61.57% Vts V2 24.63% Vts V3 9.85% Vts V4 3.94% Vts
堆积组元达到最小空隙率时 每一组分的体积分数
单一组元 的原始空 隙率
0.30 组元 数 2 3 4 2 3 4
从图上看出下列结论： 1 单一颗粒的空隙率为0.5 2 粗颗粒重量分数f1=0.67时，空隙率最小。 3 大小颗粒的尺寸比越大，空隙率受的影响 越小。 小颗粒越小，空隙率越小。 4 当f1<0.67时，空隙率随f1的增大而降低。 5当f1>0.67时，空隙率随f1的增大而增大。
(二) 同一种物料多组元的颗粒体系
0.60
例题
现有粒径为60微米、30微米、20微米和3微 米的粉体颗粒。其单组分粉体颗粒的紧密 堆积时其空隙率为0.35.如果用它们混合为 二组分、三组分和四组分的粉体。 试分别计算不同组合时各单组分在混合组 分中占的体积分数，使之具有最低空隙率；
解
1 1 V f1 0.7407 1 1.35 1 1 V2 1 f1 1 1 0.2593 1 1.35 V3 (1 f1 ) 0.35 0.2593 0.0908 V4 (1 f1 ) 0.0318
┆ Vn=εn-2 (1-f1)
（6） 则颗粒的理论总体积为Vts
Vts Vi
i 1 i 1 n n i2
1 1 (1 ) 2 1 1
n
1 f1 1
（7） 实现最紧密堆积时 各组分的比例
根据组元数和单组分时的空隙 率计算
Vi f Ri Vts