人教A高中数学选修22作业：第2章 推理与证明23 含解析

第二章 2.3
1．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)．
(1)计算a 1，a 2，a 3，并猜想a n 的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，则a 1＝1；
当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，则a 2＝32
； 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，则a 3＝74
. 由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *) (2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1结论成立，
②假设当n ＝k (k ∈N *)时结论成立，
即a k ＝2k －12k －1， 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，则2a k ＋1＝2＋a k ，
则a k ＋1＝2＋a k 2＝2k ＋1－12k
， 则当n ＝k ＋1时结论成立，
由①和②，可知对于任意n ∈N *，a n ＝2n －12n －1成立，即猜想成立． 2．在平面内有n (n ≥2)条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交
于同一点．求证：这n 条直线将它们所在的平面分成n 2＋n ＋22
个区域． 证明 (1)当n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22
个不同的区域，命题成立． 当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22
个区域，直
线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将所在的区域分成两部分，故新增区域k ＋1个．
从而k ＋1条直线将平面分成k 2＋k ＋22＋k ＋1＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22
个区域． 所以n ＝k ＋1时命题也成立．
由(1)(2)可知，原命题成立．
3．数学归纳法证明：当n ∈N *时，
(1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2
； (2)12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)．
证明 (1)①当n ＝1时，左边＝12＝1，
右边＝(－1)0×1×(1＋1)2
＝1， 左边＝右边，等式成立．
②假设n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即
12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·
k (k ＋1)2
. 则当n ＝k ＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2
＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k (k ＋1)2 ＝(－1)k (k ＋1)·⎣
⎡⎦⎤(k ＋1)－k 2 ＝(－1)k
·(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2. 故当n ＝k ＋1时，等式也成立，
根据①和②，可知对于任意n ∈N *等式成立．
(2)①n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．
②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，
即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)，
则当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)
＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由①和②，可知等式对任意n∈N*都成立．
4．用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N*)．
证明(1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时结论成立，
即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．
则当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．
因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，
所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，
即n＝k＋1时结论也成立．
由(1)和(2)，可知命题对一切n∈N*成立．。