湖南省娄底市金星中学2019年高三数学文上学期期末试题

湖南省娄底市金星中学2019年高三数学文上学期期末
试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 定义在R上的可导函数f（x）满足f（1）=1，且2f′（x）＞1，当x∈[﹣，]时，不等式f（2cosx）＞﹣2sin2的解集为（）
A．（，）B．（﹣，）C．（0，）D．（﹣，）
参考答案：
D
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣，可得g（x）在定义域R上是增函数，且g （1）=0，进而根据f（2cosx）＞﹣2sin2可得2cosx＞1，解得答案．
【解答】解：令g（x）=f（x）﹣，
则g′（x）=f′（x）＞0，
∴g（x）在定义域R上是增函数，
且g（1）=f（1）=0，
∴g（2cosx）=f（2cosx）﹣cosx=f（2cosx）﹣cosx，
令2cosx＞1，
则g（2cosx）＞0，即f（2cosx）＞+cosx，
又∵x∈[﹣，]，且2cosx＞1
∴x∈（﹣，），
故选：D
2. 已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( )
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
3. 用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，面“”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A. B.
C. D.
参考答案：
A
4. 如图是一个算法的流程图．若输入的值为，则输出的值是
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
C
5. 已条变量满足则的最小值是( )
A．4 B.3 C.2 D.1参考答案：
【答案】C
【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点
分别为代入验证知在点
时,最小值是故选C.
3.在锐角中，角所对的边长分别为.若
A．B．C．D．
参考答案：
D
7.
已知集合，则满足的集合N的个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．8
参考答案：
答案：C
8. 已知命题p：?x∈R，cosx≥a，下列的取值能使“￢p”命题是真命题的是（） A．a∈R B． a=2 C． a=1 D． a=0
参考答案：
C
考点：命题的否定．
专题：概率与统计．
分析：写出命题的否定形式，然后判断选项即可．
解答：解：命题p：?x∈R，cosx≥a，则￢p，?x∈R，cosx＜a，
能使“￢p”命题是真命题，由余弦函数的值域可知，cosx≤1，
故选项C成立．
故选：C．
点评：本题考查特称命题的真假的判断与应用，三角函数的值域的应用，基本知识的考查．
9. 已知过椭圆的焦点的两条互相垂直的直线的交点在椭圆内部，则此椭圆的离心率的取值范围是（）
A. B. C.
D.
参考答案：
B
10. 如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t
变化的可能图象是
（）
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______.
参考答案：
【分析】
结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.
【详解】方法1：由题意可知，
由中位线定理可得，设可得，
联立方程
可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，
求得，所以
方法2：焦半径公式应用
解析1：由题意可知，
由中位线定理可得，即
求得，所以.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.
12. 如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则异面直线EM与AF所成的角的余弦值是．
参考答案：
试题分析：以为坐标原点, 射线所在直线分别为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系.
令两正方形边长均为2.则,
,,
设异面直线与所成的角为,.
考点：异面直线所成的角.
13. 高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为
参考答案：
14. 函数的图象恒过定点A,若点A在直线
上，其中，则的最小值为 .
参考答案：
8
15. 已知三棱锥A﹣BCD中，BC⊥CD，AB=AD=，BC=1，CD=，则该三棱锥外接球的体积
为．
参考答案：
π
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．
【分析】证明△ABD是直角三角形．取DB中点O，则OA=OB=OC=OD=1，即O为三棱锥外接球的球心，外接圆的半径为R=1，可得球的体积．
【解答】解：BC⊥CD，BC=1，CD=，∴DB=2
又因为AB=AD=，∴△ABD是直角三角形．
取DB中点O，则OA=OB=OC=OD=1
∴O为三棱锥外接球的球心，外接圆的半径为R=1，
∴该三棱锥外接球的体积为π，
故答案为：π．
16. 设函数，且.
①若，则函数的值域为______；
②若在上是增函数，则a的取值范围是_____.
参考答案：
【考点】分段函数，指数函数、对数函数的性质及运算。

解析：
答案：
17. 若，其中是虚数单位，则实数的值是____________.
参考答案：
由得，所以。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 矩阵与变换
已知矩阵，.
（Ⅰ）试求矩阵；
（Ⅱ）若矩阵所对应的线性变换把直线变为直线，求直线的方程.
参考答案：
解：(1)由已知，圆的圆心为，半径.
由题设圆心到直线的距离，即，
解得， (3)
分
设与抛物线的切点为，又，得，.
代入直线方程得：，
∴，. (5)
分
(2)由(1)知抛物线方程为，焦点.
设，由(1)知以为切点的切线的方程为.
令，得切线交y轴的B点坐标为
所以，，
∴，
∴，即点在定直线上 (8)
分
(3)设直线，代入
得，设，的横坐标分别为，
则，
∴；
∵，
∴，即△的面积S范围是. (13)
分
略
19. （本小题满分13分）
已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；
（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，
四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公
共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由。

参考答案：
20. 设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1，记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M∩N时，求函数h（x）=x2f（x）+x[f（x）]2的最大值．
参考答案：
考点：函数的最值及其几何意义；不等式的证明．
专题：计算题；分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：（Ⅰ）由所给的不等式可得①，或②．分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求；
（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，]．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，h（x）=﹣（x﹣）2，显然它小于或等于，最大值即可得到．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得①，或
②．
解①求得1≤x≤，解②求得0≤x＜1．
综上，原不等式的解集M为[0，]．
（Ⅱ）由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤，∴N=[﹣，]，
∴M∩N=[0，]．
∵当x∈M∩N时，
f（x）=1﹣x，h（x）=x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]
=﹣（x﹣）2≤，当且仅当x=时，取得最大值．
则函数的最大值为．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．
21. 已知函数（其中为正常数，）的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）在△中，若，且，求．
参考答案：
解：（1）∵
．…………4分
而的最小正周期为，为正常数，
∴由解之，得．……………6分
（2）由（1）得．
若是三角形的内角，则，
∴．……………8分
令，得，
∴或，
解之，得或．
由已知，是△的内角，且，∴，，∴．……10分
又由正弦定理，得．……12分
22. （本小题满分12分）已知向量,函数
．
（1）求函数的最小正周期;
（2）已知a、、c分别为内角、、的对边, 其中A为锐角,且,求和的面积．
参考答案：。