初等变换,求逆
矩阵求逆初等变换法
矩阵求逆初等变换法矩阵求逆是在线性代数中一个非常重要的概念，它可以用于解决大量的问题。
在实际的应用中，我们通常采用初等变换法来求逆矩阵，这样可以极大地简化计算并且提高效率。
本文主要介绍矩阵求逆初等变换法的基本概念和具体实现方法。
一、矩阵求逆的定义和概念矩阵求逆的本质是寻找一个矩阵A的逆矩阵B，使得A 与B的乘积等于单位矩阵I，即AB=BA=I，其中I为n阶单位矩阵。
矩阵A的逆矩阵可以表示为A^-1。
对于方阵，如果其行列式不为0，则可以求出其逆矩阵。
而对于非方阵，则不能直接求逆矩阵，需要通过一些方法先将其转化为方阵，再进行求逆操作。
二、矩阵求逆初等变换法初等变换是线性代数中的一种操作，它可以用来变换矩阵的形式，进而使得矩阵的某些性质更加明显。
初等变换包括以下三种：（1）交换矩阵的两行或两列（2）将矩阵的一行或一列乘以非零常数（3）将矩阵的一行或一列乘以非零常数加到另一行或另一列上去根据初等变换的性质，我们可以使用一组初等变换将任何一个方阵化为一个单位矩阵，进而得到其逆矩阵。
具体实现方法如下：（1）首先，将矩阵A增广为一个n*2n的矩阵（即在A的右边增加一个n* n的单位矩阵I）；（2）通过一系列初等变换将矩阵A化为一个上三角矩阵U；（3）继续通过一系列初等变换将U化为单位矩阵I；（4）此时矩阵A的右半部分就是其逆矩阵B。
下面，我们通过一个例子来具体说明这个过程：设矩阵为A=[1, 2, 3; 0, 1, 4; 5, 6, 0]（1）将A增广为一个2n* n的矩阵[A，I]=[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, 4, 0, 1, 0; 5, 6, 0, 0, 0, 1]（2）通过一系列初等变换将矩阵A化为一个上三角矩阵U[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, 4, 0, 1, 0; 5, 6, 0, 0, 0, 1]→R2-R1→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, -1, 1, -1, 1, 0; 5, 6, 0, 0, 0, 1]→R3-5R1→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, -1, 1, -1, 1, 0; 0, -4, -15, -5, 0, 1]→-R2→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, -1, 1, -1, 0; 0, -4, -15, -5, 0, 1]→R3+4R2→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, -1, 1, -1, 0; 0, 0, -11, 1, -4, 1]→-R3/11→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, -1, 1, -1, 0; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→R2+R3→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, 0, 0, 3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→-R1-2R2+3R3→[1, 0, 0, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 0, 3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]得到上三角矩阵U为U=[1, 2, 3, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 0,3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]（3）通过一系列初等变换将U化为单位矩阵I[1, 2, 3, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 0, 3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→R2-3R3→[1, 2, 3, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 3/11, -1/11, 2/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→R1-2R2-3R3→[1, 0, 0, 7/11, -2/11, -1/11; 0, 1, 0, 3/11, -1/11, 2/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]此时得到的右半部分就是矩阵A的逆矩阵B，即B=[7/11, -2/11, -1/11; 3/11, -1/11, 2/11; -1/11, 4/11, -1/11]三、总结矩阵求逆是线性代数中一个基本的操作，而初等变换法则可以很有效地简化求解的过程。
线性代数：初等变换法求逆矩阵(finalff3)
初等变换法求逆矩阵及 解矩阵方程
初等变换法求逆矩阵
线性代数
两个已知结论 1、n阶矩阵A可逆当且仅当A能够表示成若干初等 矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1, P2, … , Pm使得
A= P1P2…Pm .
2、在矩阵A的左边乘以一个初等矩阵相当于对A进 行一次相应的初等行变换;
在A的右边乘以一个初等矩阵相当于对A进行一 次相应的初等列变换.
例 求矩阵X，使AX=B，其中
1 2 3
2 5
A
2
2
1
,
B
3
1
.
3 4 3
4 3
解 若A可逆，则X= A−1B.
1 2 3 2 5
(A
B)
2
2
1
3
1
3 4 3 4 3
3 2
X
2
3
.
1 3
1 0 0 3 2
0 0
1 0
0 1
2 1
3 3
小结
线性代数
1、初等变换求逆矩阵
(A E) 初等行变换 (E A−1 )
或
A
E
初等列变换
E
A1
2、初等变换求解矩阵方程
(1) A可逆，AX=B
X= A−1B
(A B) 初等行变换 (E A−1 B )
(2) A可逆， XA=C
X= CA−1
A 初等列变换 E
C
CA1
初等行变换法求逆矩阵
线性代数
若A可逆，则A−1可逆，因而A−1可以表示成若干初 等矩阵Q1, Q2, … , Qm 的乘积，即A−1= Q1Q2…Qm .
A可逆， A1 A E
用矩阵的初等变换求逆矩阵
2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。
李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。
作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。
下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。
用矩阵的初等变换求逆矩阵一、问题提出 在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢 （饿了再吃）二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”）我们已学习了矩阵初等变换的性质，如1.定理 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。
2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。
3.定理的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。
即1*1A A A -=4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。
（1）由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E)，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么（2）由（1）式 代入（2）式左边，上式说明分块矩阵(A ︱E)经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置变换为我们所要求的1A -,即三，讲解例题1. 求逆矩阵方法的应用之一例解：21121111111112112112s t s s t t mP P P AQ Q Q E A P P P P EQ Q Q Q R R R ----------=⇒=∆11121m R R R A E ---=111121m R R R A ----=()()122n n n nA E E A -⨯⨯−−−−−→ 1112120,113A A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭设求。
初等变换法求逆矩阵
1 0 0 1 3 2 r2 （ 2）
0 0
2 0
0 1
3 1
6 1
5 1
r3
（ 1）
r2
（
2） 1 A01
0 1
10 03
r3
（
1）
0
0
2 11
13
3 3
2
1
3532 .
2 11
52
说明：（1）将(A E)化为行最简形矩阵； （2）此方法中只能作初等行变换.
一、初等变换法求逆矩阵
例1
设
1 A 2
2 2
13,求 A1.
3 4 3
解
A
E
1 2
2 2
3 1
1 0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 1 2 3 1 0 0 r1 r2 0 2 5 2 1 0
r3
（
1）
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 矩阵[重点 掌握]
初等行变换
(A E)
( E A1).
2.初等变换法的解矩阵方程
初等行变换
(A B)
(E
A 1 B )
初等变换法求逆矩阵
引入：公式法求逆矩阵的缺点 一、初等变换法求逆矩 二、方法推广
引入：公式法求逆矩阵的缺点
逆矩阵的计算公式 A1 1 A A
适用范围：二阶、三阶的方阵.
缺点：当矩阵的阶数比较高时，求伴随矩阵 计算量太大,不易实施.
线性代数3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法
可经这同一系列初等行变换化为 A1。用分块矩阵形
式，两式可以合并为
Pt Pt1 L P1 ( A, E) (E, A1 )
或
( A, E) 初等行变换(E, A1)
即对矩阵 ( A, E) 作初等行变换，当把 A 化为 E 时，
E 就化成了 A1 ( A 1
初等矩阵。
1
O
Eij
0
0L M 1L
1 M 0
O
0 第i行 第j行
1
1
M
O
Ei
(k
)
0
M
0
1
M
O
0
Eij
(k
)
M
0 L M
0
k O
1 MO kL M 0L
0
0 第i行
1
1 MO 0
0 第i行 第j行
1
这样，初等矩阵共有三类： Eij , Ei (k ), Eij (k )。
1r3r2
0
1
1
3r2 r3
0
1
1
2r3 r1
1r3r2
0
1
0
0 3 2
0 0 1
0 0 1
0 0 1
E2 (1)E32 (1)E31 (2)E23 (3)E21 (2)E32 (1)E12 (2) AE13 E
A
E 1 12
(2)
E32
1
(1)
E 1 21
(2)
E 1 23
(3)
E 1 31
(2)
E 1 32
(1)
E2
1
3.2初等矩阵与求逆矩阵的初等变换法
1 2
r2
12 r3
1 0
1 1
1 0
0 0 1
1
0
0
r2 r1
1r3 +r1
0
1
0
0 0 1
所以
1 2 A 1 1 2 0
1 0 0
1
0
1
2
2
0
1
1
2 2
1 2
1 2
0
1 2
0
1 2
0
1 2
1 2
1 0
2
0
1 2
1 1
2
2
同样地，也可以利用矩阵的初等列变换方法求矩阵的
即： 初等矩阵都是可逆矩阵，且初等矩阵的逆矩阵 仍是同类的初等矩阵。
二、初等变换法求矩阵的逆矩阵
1．矩阵可逆的两个充分必要条件
在上一章已经得到：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是：A的
行列式 A 0 。现再给出两个充分必要条件。 引理 初等变换不改变矩阵的可逆性。
证明 不妨设 n 阶矩阵 A 经过一次初等行变换化成矩阵 B
推论1 m n 阶矩阵 A 与 B等价的充分必要条件是存
n 在m 阶可逆矩阵 P 及 阶可逆矩阵 Q ，使
PAQ B
2．求矩阵逆矩阵的初等变换法
因为 A 可逆，据定理2，有初等矩阵 P1, P2 , , Pt
使 Pt Pt1 P1A E ，即 Pt Pt1 P1E EA1 。于是
Pt Pt1 Pt Pt1
证明：（必要性）因为 A 可逆，则 A 可只通过行（列）
初等变换化为单位矩阵 E。
所以，A E11E21 Et 1。 若记 Ei1 Pi ，则 A P1P2 Pt 是初等矩阵的乘积。
求矩阵逆的方法
求矩阵逆的方法
方法一，伴随矩阵法。
对于一个n阶矩阵A，如果其行列式不为0，那么A就是可逆的。
我们可以通过求解伴随矩阵来得到A的逆矩阵。
首先，我们计算A的伴随矩阵Adj(A)，然后用行列式的倒数乘以伴随矩阵即可得到A的逆矩阵。
方法二，初等变换法。
初等变换法是通过一系列的行变换将原矩阵变换为单位矩阵，然后将单位矩阵变换为A的逆矩阵。
这种方法在计算机求解中比较常见，可以通过高斯消元法来实现。
方法三，分块矩阵法。
对于某些特殊的矩阵，我们可以通过将其分解成若干个子矩阵，从而简化逆矩阵的求解过程。
例如，对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等都有相对简单的逆矩阵求解方法。
方法四，特征值分解法。
对于对称正定矩阵，我们可以通过其特征值和特征向量来求解其逆矩阵。
通过特征值分解和特征向量矩阵的转置，我们可以得到原矩阵的逆矩阵。
方法五，数值逼近法。
对于大型矩阵或者特殊结构的矩阵，有时候我们无法通过解析的方法求解其逆矩阵，这时可以通过数值逼近的方法来计算其逆矩阵。
例如，利用迭代法或者矩阵分解等方法来近似求解逆矩阵。
总结：
以上是几种常见的求解矩阵逆的方法，不同的方法适用于不同类型的矩阵。
在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来求解矩阵的逆，以便更好地解决实际问题。
希望本文能够对您有所帮助，谢谢阅读！。
求解逆矩阵的常用三种方法
求解逆矩阵的常用三种方法逆矩阵是一个矩阵的逆操作，即找到一个矩阵，与原矩阵相乘后得到单位矩阵。
逆矩阵在线性代数中具有重要的应用，比如求解线性方程组、计算矩阵的行列式等。
在实际应用中，常用的求解逆矩阵的方法包括：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
第一种方法是伴随矩阵法。
对于一个n阶矩阵A，如果它的行列式不为0，那么它存在逆矩阵。
首先计算矩阵A的伴随矩阵，记作Adj(A)，然后用伴随矩阵除以原矩阵A的行列式，即可得到逆矩阵。
具体步骤如下：1. 计算矩阵A的行列式det(A)；2. 计算矩阵A的伴随矩阵Adj(A)，其中第i行第j列的元素等于原矩阵A的代数余子式Aij的行列式乘以(-1)^(i+j)；3. 将伴随矩阵Adj(A)的每个元素除以原矩阵A的行列式det(A)，得到逆矩阵A^(-1) = Adj(A)/det(A)。
第二种方法是初等变换法。
利用矩阵的初等行变换和初等列变换来求解逆矩阵。
具体步骤如下：1.将原矩阵A和单位矩阵I进行横向拼接，得到一个增广矩阵[A,I]；2.对增广矩阵进行行变换，将矩阵A变为单位矩阵I，同时单位矩阵I经过相同的行变换得到逆矩阵A^(-1)；3.若矩阵A无法通过行变换变为单位矩阵I，则矩阵A不可逆。
第三种方法是分块矩阵法。
将原矩阵A按照其中一种方式进行分块，然后通过对分块矩阵进行运算来求解逆矩阵。
常见的分块矩阵法有Schur补法和Sherman–Morrison公式法，这里以Schur补法为例进行说明。
1.将原矩阵A分解为分块矩阵，例如A=[B,D;E,F]；2.利用矩阵分块的性质求解逆矩阵，A^(-1)=[B^(-1)+B^(-1)D(X-F^(-1)E)B^(-1),-B^(-1)DF^(-1);-F^(-1)EB^(-1),F^(-1)+F^(-1)EHF^(-1)]，其中X=(F-EF^(-1)D)^(-1)；3.若分块矩阵的逆存在，即B可逆、F可逆且B-DF^(-1)E可逆，那么原矩阵A也存在逆矩阵。
考研数学：用初等变换求逆矩阵及乘积的方法
考研数学：用初等变换求逆矩阵及乘积的方法来源：文都教育在考研数学线性代数中，初等变换是一种非常重要的方法，被广泛地用于很多题型的求解之中，如行列式的计算、矩阵的求逆、线性方程组的求解、矩阵秩的计算、化二次型为标准型等。
初等变换包括初等行变换和初等列变换，具体说有三种：互换两行（列）、某行（列）乘以一个非零数、某行（列）乘以一个数加到另一行（列）。
下面我们对初等变换在矩阵求逆及乘积中的应用做些分析总结，供各位考研的学子参考。
一、用初等变换求逆矩阵及乘积的方法1、用初等行变换求逆矩阵1A -：对(,)A E 作初等行变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时单位矩阵E 就变为1A -，即1(,)(,)rA E E A -→，由此即求得1A -；2、用初等列变换求逆矩阵1A -：求1A -也可用初等列变换，对A E ⎛⎫⎪⎝⎭作初等列变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时单位矩阵E 就变为1A -，即1c A E E A -⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此即求得1A -；3、用初等行变换求1A B -：对(,)A B 作初等行变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时矩阵B 就变为1A B -，即1(,)(,)rA B E A B -→，由此即求得1A B -；4、用初等列变换求1BA -：对A B ⎛⎫⎪⎝⎭作初等列变换，将其中的A 变为单位矩阵E ，这时矩阵B 就变为1BA -，，即1c A E B BA -⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此1BA -此即求得1BA -.上面的1）和2）实际上是3）和4）的特殊情况，只要取B E =即得1）和2）。
下面只要证明3）和4）即可。
证：3）由于作一次初等行变换相当于左乘一个初等矩阵，所以对A 作一系列的初等行变换得到单位矩阵E 相当于A 左乘一个可逆阵P ，使PA E =，这时1P A -=，1(,)(,)(,)(,B)P A B PA PB E PB E A -===，即1(,)(,)rA B E A B -→；4）同3）类似，由于作一次初等列变换相当于右乘一个初等矩阵，所以对A 作一系列的初等列变换得到单位矩阵E 相当于A 右乘一个可逆阵P ，使AP E =，这时1P A -=，1A AP E P B BP BA -⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1c A E B BA -⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.二、典型实例例1.设011111112A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，求1A -.解：作初等行变换：011100111010(,)111010011100112001021011r rA E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭1111010100312011100010111(,)001211001211rr E A -----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，故1312111211A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭.例2.解矩阵方程211113210432111X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭.解：记上面的方程为XA B =，因为0A ≠，所以A 可逆，1X BA -=，对A B ⎛⎫⎪⎝⎭作初等列变换得：211121100210120101111111130113113132432342325c cc A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→→--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭100100100110010110101001103121221123282352355333c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪→→→- ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故122182533X BA --⎛⎫⎪== ⎪-- ⎪⎝⎭. 矩阵的逆运算是一种最基本最重要的运算，而初等变换是求逆矩阵的一种最常用的方法，大家一定要熟练掌握。
利用初等变换求逆矩阵
利用初等变换求逆矩阵
设要求出nn阶矩阵AA的逆矩阵BB。
对于一个矩阵的初等行变换，有三种：
1.交换两行。
2.将某一行的所有元素乘以一个非零实数kk。
3.将某一行jj，加上某一行i(i≠ji(i≠j)乘以一个非零实数kk，即Aj=Aj+Ai∗kAj=Aj+Ai∗k。
可以发现的是，每种变换其实都可以等价于乘以某个矩阵，事实上称其为初等矩阵。
那么，当我们不停地对AA进行初等变换，并且用另外一个矩阵CC不停地乘上这种变换对应的初等矩阵，那么当AA变为I(单位矩阵)I(单位矩阵)时，CC就是AA的逆矩阵了。
怎么样将AA变为II？我们类似于高斯消元一样，一行一行一列一列地扫过去。
由于最终要保证Ai,i=1Ai,i=1，其他为00。
设当前扫到第ii行，那么对于Ai,1∗i∗1=0Ai,1∗i∗1=0。
但是对于j<i，Aj,ij<i，Aj,i可能不等于0。
但我们初等变换中可以先对第ii行除以Ai,iAi,i，即保证Ai,i=1Ai,i=1，接着用ii整行去消j<ij<i。
那么Aj,iAj,i就等于0了。
那么我们这样一行一行地消下去即可。
我们对AA中做的所有操作，顺便对CC同时做就好了。
反正都是乘上同一个矩阵。
一开始没有操作时CC就是II。
最后我们用O(N3)O(N3)的复杂度求出了逆矩阵。
线性代数3.2初等矩阵和求逆矩阵的初等变换法-文档资料
初等变换化为单位矩阵 E 。
所以，AE11E21 Et1。 若记 Ei1 Pi ，则 AP1P2 Pt 是初等矩阵的乘积。
（充分性）若存在初等矩阵P1, P2, , Pt，使 AP1 P2 Pt
因为P1, P2, , Pt 可逆，从而 P1 P2 Pt 可逆，所以 A
a in
a m n
第 i行 第 j行
其结果相当于对矩阵 A 施第一种初等行变换：
A 的第 i 行与第 j 行对调（ ri r j ）。类似地，
n 阶初等矩阵
E
i j 右乘 A
aij
，其结果相当于对
mn
矩阵 A 施第一种初等列变换：把 A 的第 i 列与第
j 列对调（ ci c j ）。
，则存在初等矩阵 P 使
BPA
若 A 可逆，则 PAB可逆；又若 B 可逆，则
P1B A 可逆。
由定理1，可得：
定理2 A 为 n 阶矩阵，则 A 可逆的充分必要条件是
A 只通过初等行（列）变换化为单位矩阵。
n 定理3 设 A 为 阶矩阵，则 A 可逆的充分必要条件是
存在有限个初等矩阵 P1, P2, , Pt 使 AP1P2 Pt 。
后得到的初等矩阵；
（2）用任意常数 k 0 去乘某行（或列）。E i ( k ) 表示单位
矩阵 第i行（列）乘非零常数k后得到的初等矩阵；
（3）以数 k 乘某行（或列）加到另一行（或列）上。
E ij ( k ) 表示单位矩阵第i行乘常数k加到第j行后得到的初等
i j 矩阵或表示单位矩阵第 列乘常数k加到第 列后得到的
初等行变换求逆矩阵的原理
初等行变换求逆矩阵的原理初等行变换是求逆矩阵的一种重要方法，其基本思想是通过一系列矩阵变换将原矩阵转化为单位矩阵，然后将这些变换应用于同样的单位矩阵上，最终得到原矩阵的逆矩阵。
具体地说，初等行变换包括三种操作：交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍。
这些操作可以用一个初等矩阵来表示，分别为交换两行的置换矩阵、某一行乘以一个非零常数的对角线矩阵和某一行加上另一行的若干倍的标准型矩阵。
设A为n×n可逆矩阵，则A可通过有限次初等行变换得到单位矩阵I。
设E1,E2,…,Ek分别为k个n×n初等矩阵，则有：EkEk-1…E2E1A=I由于每个初等矩阵都可逆且其逆也是一个初等矩阵，因此可得：A=E1^-1E2^-1…Ek^-1即A的逆可以表示为k个初等矩阵的乘积。
因此，我们只需要求出这k个初等矩阵的逆矩阵，然后按照它们的顺序相乘即可得到A的逆矩阵。
例如，对于一个3×3的可逆矩阵A，我们可以通过初等行变换将其转化为单位矩阵：[1 0 0] [a b c] [1 0 0][0 1 0] [d e f] [0 1 0][0 0 1] [g h i] [0 0 1]首先，将第一行乘以a的倒数，并加到第二行和第三行上，得到：[1 0 0 ] [a b c ] [1 0 0 ][ad e f ] → [ad+e ae+f af+c] → [ad+e ae+f af+c][ag h i ] [ag+h ah+i ai+c] [ag+h ah+i ai+c]然后，将第二行乘以ae+f的倒数，并加到第三行上，得到：[1 0 0 ] [a b c ] [1 0 0 ][ad+e ae+f af+c ] → [(ad+e)/ae (ae+f)/ae f/ae+c/ae] → [(ad+e)/ae (ae+f)/ae f/ae+c/ae][ag+h ah+i ai+c+(af+c)(ag+h)/(ae+f)] [(ag+h)/(-af-c/(ae+f)) (ah+i)/(-af-c/(ae+f)) 1/(-af-c/(ae+f)) ] [0 0 1 ]最后，将第三行乘以-af-c/(ae+f)的倒数，并加到第二行上，得到：[1 0 0 ] [a b c ] [1 00 ][(ad+e)/ae (ae+f)/ae f/ae+c/ae] → [(ad+e)/ae-(f/ae+c/ae)(ag+h)/(af+c) (ae+f)/ae+(f/ae+c/ae)(ah+i)/(af+c) -c/(af+c)] → [(ad+e)/aef-(f/ae+c/ae)(ag+h)/(af+c) (f+ac)/(aef)-(f/ae+c/ae)(ah+i)/(af+c) c/(aef)][0 0 1 ] [(ag+h)/(-af-c/(ae+f)) (ah+i)/(-af-c/(ae+f))1/(-af-c/(ae+f))] [0 1 (-c)/(af+c)]因此，A的逆矩阵为：[ (ad+e)/aef-(f/ae+c/ae)(ag+h)/(af+c) (f+ac)/(aef)-(f/ae+c/ae)(ah+i)/(af+c) c/(aef)][-(ad+e)/afe+(d/a-fc/a^2)(ag+h)/(af+c) -(b/a+dc/a^2)+(fc/a^2-bd/a)(ah+i)/(af+c) -d/a(fc/a^2-bd/a)][ (f/ae+c/ae)(ag+h)/(af+c) -(fc/a^2-bd/a)(ah+i)/(af+c) a/(af+c)]初等行变换求逆矩阵的原理就是这样，它是一种简单而又实用的方法，可以在计算机科学、数学、物理等领域得到广泛的应用。
初等变换法求逆矩阵原理
初等变换法求逆矩阵原理嘿，朋友们！今天咱来唠唠初等变换法求逆矩阵这个神奇的事儿。
咱就说矩阵啊，就像是一个神秘的大盒子，里面装着好多好多数字。
而逆矩阵呢，就像是这个大盒子的一把钥匙。
那怎么找到这把钥匙呢？这就得靠初等变换法啦！你想啊，这就好比是搭积木，我们要把一堆乱乱的积木搭成我们想要的形状。
初等变换就像是我们的小手，这儿动动，那儿挪挪，慢慢地就把积木搭好了。
比如说，我们有一个矩阵，乍一看，哇，好复杂呀！但别慌，我们就开始用初等变换法。
就像是解开一团乱麻，一点点地理清楚。
我们通过行变换或者列变换，把这个矩阵慢慢地变成一个我们熟悉的样子。
这过程是不是很有趣呢？就好像是在玩一个解谜游戏。
我们不断地尝试，不断地探索，直到找到那个正确的答案。
而且哦，初等变换法可神奇了，它就像一个魔法棒，轻轻一挥，就能把复杂的问题变得简单起来。
你难道不觉得这很厉害吗？比如说，我们遇到一个很难搞的矩阵，怎么看都不知道该怎么办。
但只要我们拿起初等变换这个魔法棒，嘿，奇迹就发生了！那些数字就开始乖乖地听话，按照我们想要的方式排列起来。
这就好像是我们在走迷宫，一开始找不到路，但是只要我们沿着正确的方向走，慢慢地就能走出去啦。
初等变换法就是我们在矩阵迷宫里的指引呀！你再想想，要是没有初等变换法，我们面对那些复杂的矩阵该怎么办呢？岂不是要抓耳挠腮，不知所措啦？所以说呀，初等变换法求逆矩阵真的是太重要啦！它就像是我们在数学世界里的秘密武器，有了它，我们就能攻克一个又一个难题。
朋友们，好好去感受初等变换法的神奇吧！让我们在矩阵的世界里畅游，找到那把打开神秘大门的钥匙！这就是初等变换法求逆矩阵，是不是很有意思呢？真的值得我们好好去钻研呀！原创不易，请尊重原创，谢谢!。
初等行列变换求逆矩阵 -回复
初等行列变换求逆矩阵-回复初等行列变换是矩阵运算中常用的一种方法，用于简化矩阵的求逆过程。
在本文中，我们将使用初等行列变换的方法来求一个矩阵的逆。
首先，我们需要明确什么是矩阵的逆。
一个n阶矩阵A，如果存在一个n 阶矩阵B，使得AB=BA=In（其中In是n阶单位矩阵），那么矩阵B就是矩阵A的逆矩阵，记作A的逆矩阵为A^(-1)。
现在，我们假设有一个n阶方阵A，我们的目标是求出它的逆矩阵A^(-1)。
我们可以通过一系列的初等行列变换来实现这个目标。
初等行列变换分为三类：对调两行（列），用一个非零数乘某一行（列），与某一行（列）相加（减）若干倍的某一行（列）。
首先，我们将A矩阵和一个n阶单位矩阵I（I的每个元素i,j等于1当i=j 时，否则等于0）进行横向合并，形成一个2n阶的矩阵[A I]。
以下是求一个3阶方阵的逆矩阵的一个例子，我们将从头开始一步一步解释求逆的过程。
\[A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{bmatrix}\]我们首先将A矩阵和一个3阶单位矩阵I进行横向合并，形成一个6阶的矩阵[A I]。
\[ \begin{bmatrix} a & b & c & 1 & 0 & 0 \\ d & e & f & 0 & 1 & 0 \\ g & h & i & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]接下来，我们进行初等行变换。
首先，我们使用第一行的第一个元素a，将第二行的第一个元素d和第三行的第一个元素g变为0。
具体操作是使用第一行乘以d/a，再用结果乘以第二行然后减去第一行。
\[\begin{bmatrix} a & b & c & 1 & 0 & 0 \\ 0 & e-\frac{db}{a} &f-\frac{cf}{a} & -\frac{cd}{a} & 1 & 0 \\ 0 & h-\frac{gb}{a} &i-\frac{hc}{a} & -\frac{gc}{a} & 0 & 1 \end{bmatrix}\]然后，我们使用第二行的第二个元素（e-\frac{db}{a}），将第一行的第二个元素b变为0。
求矩阵逆矩阵的常用方法
求矩阵逆矩阵的常用方法介绍在线性代数中，矩阵逆运算是一个重要的概念。
逆矩阵是指对于一个非零矩阵A，存在另一个矩阵B，使得A与B的乘积等于单位矩阵。
求矩阵逆矩阵的常用方法有多种，本文将详细探讨其中的三个常见方法：伴随矩阵求逆、初等变换法和特征值法。
伴随矩阵求逆伴随矩阵求逆是一种常见的求解矩阵逆矩阵的方法。
下面给出详细步骤：1.计算矩阵的行列式，如果行列式为0，则矩阵不可逆。
2.计算矩阵的伴随矩阵，伴随矩阵的定义是原矩阵的代数余子式矩阵的转置矩阵。
3.将伴随矩阵的元素除以原矩阵的行列式得到逆矩阵。
初等变换法初等变换法是求解矩阵逆矩阵的另一种常用方法，它通过一系列的初等行变换将原矩阵转换为单位矩阵，同时将单位矩阵通过相同的初等行变换转换为逆矩阵。
下面是具体步骤：1.将原矩阵A和单位矩阵B合并为[A|B]的形式。
2.对[A|B]进行一系列的初等行变换，将A转换为单位矩阵I。
3.将变换后的矩阵记作[A’|B’]，此时B’即为A的逆矩阵。
特征值法特征值法是求解矩阵逆矩阵的另一种方法，它利用矩阵的特征值和特征向量的性质来求解逆矩阵。
下面是具体步骤：1.计算矩阵A的特征值和特征向量。
2.如果矩阵A的特征值中有0，则矩阵A不可逆。
3.计算矩阵A的特征值的倒数，得到特征值矩阵Λ。
4.计算特征向量的逆矩阵V的转置矩阵。
5.根据矩阵A的逆矩阵公式A^(-1) = VΛ(-1)V T，计算出逆矩阵A^(-1)。
总结本文介绍了求矩阵逆矩阵的常用方法，包括伴随矩阵求逆、初等变换法和特征值法。
其中，伴随矩阵求逆适用于已知矩阵的行列式非零的情况，初等变换法适用于通过一系列初等行变换将原矩阵转换为单位矩阵的情况，而特征值法适用于已知矩阵的特征值和特征向量的情况。
不同的方法在不同的情况下具有不同的适用性和计算复杂度，根据具体问题的实际需求选择合适的方法来求解矩阵逆矩阵。
参考资料1.陈红霞, 邵子涵. 线性代数与线性规划. 清华大学出版社, 2012.2.彭丽慧. 数学方程与矩阵变换. 清华大学出版社, 2004.3.Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press, 2016.。
初等行变化求逆矩阵原理
初等行变化求逆矩阵原理
逆矩阵是指对于一个n阶矩阵A，若存在n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为n阶单位矩阵，则称矩阵A是可逆的，且矩阵B是矩阵A的逆矩阵。
对于初等行变化，包括以下三种操作：
1. 互换两行；
2. 用非零数乘某一行；
3. 某一行乘以一个非零数加到另一行。
对于一个n阶矩阵A，我们可以通过一系列初等行变换将其变为一个阶梯形矩阵。
这个过程可以表示为：EA = B，其中E 为初等变换矩阵，B为阶梯形矩阵。
当A能够通过初等行变换变为一个单位矩阵I时，我们可以找到一个矩阵C，使得EC = B，即CA = B。
这意味着C是A的逆矩阵，即A是可逆的。
因此，通过初等行变换求逆矩阵的原理就是，将矩阵A通过一系列初等行变换变为阶梯形矩阵B，然后将B通过相同的初等行变换变为单位矩阵I，这时的初等变换矩阵即为A的逆矩阵。
需要注意的是，不是所有的矩阵都可以通过初等行变换求逆矩阵，只有当矩阵满足一定的条件时，才存在逆矩阵。
初等行列变换求逆矩阵 -回复
初等行列变换求逆矩阵-回复初等行列变换是矩阵运算中的一种基本操作，其主要目的是通过一系列的行列变换操作将矩阵转化为某个特定的形式，以便于进行进一步的计算。
在求解逆矩阵的过程中，初等行列变换是一种非常有效且常用的方法。
一、初等行列变换的定义和操作初等行列变换是指通过对矩阵的行列进行一系列的操作，从而改变矩阵的形式，但不改变矩阵的秩。
在初等行列变换中，可以进行三种操作：对调两行（列），将某一行（列）乘以非零常数，将某一行（列）的倍数加到另一行（列）上。
二、初等行列变换的求逆矩阵应用在矩阵运算中，我们经常需要对矩阵进行求逆运算。
求逆矩阵指的是找到一个与原始矩阵相乘等于单位矩阵的矩阵，即逆矩阵。
通过初等行列变换可以简化计算逆矩阵的过程。
三、求逆矩阵的初等行列变换步骤1. 将原矩阵和单位矩阵合并为增广矩阵[A I]。
2. 对增广矩阵进行初等行列变换，将[A I]变为[I B]，其中B为逆矩阵。
1) 交换两行：如果需要将第i行与第j行进行交换，则通过交换增广矩阵中的第i行与第j行来实现。
2) 将某一行乘以非零常数：如果需要将第i行乘以非零常数k，则通过将增广矩阵中的第i行的每个元素都乘以k来实现。
3) 将某一行的倍数加到另一行上：如果需要将第i行的r倍加到第j行上，则通过将增广矩阵中的第i行的每个元素分别乘以r，并与第j行对应位置的元素相加来实现。
3. 假设经过初等行列变换后的增广矩阵为[I B]，则B即为原矩阵的逆矩阵。
四、求逆矩阵的数学证明求逆矩阵的过程可以理解为对增广矩阵进行一系列的初等行列变换，从而将增广矩阵转化为单位矩阵。
通过数学证明可以证明初等行列变换的有效性。
引理1：如果矩阵A 能经过一系列初等行列变换变为I，则恒有A^-1 与I 相等。
证明：设A 的增广矩阵为[A I]，经过初等行列变换可以得到增广矩阵[I B]，则有A·B=I。
因此，B 就是A 的逆矩阵。
引理2：一个非奇异矩阵A 能通过初等行列变换变为I，则A 的行向量组是线性无关的，也就是说，矩阵A 是满秩的。
初等变换及其矩阵求逆
5.3
求逆矩阵的初等变换方法
定理2 若n阶矩阵A可逆，则可以通过初等行变换将A化为单位矩阵.
证： 因为A可逆,即|A|≠0，所以A的第一列不全为0,不妨设a11 ≠ 0.
将A的第一行元素乘以1/a11 ,再将变换后的第一行的(-ai1)倍加到第i行， i=2,3,…,n,使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵B1:
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
《线性代数》
———
4r2
1 5 - 7
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结束
5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 用数k乘以第i列记为kci . 例如
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 3 8 -1 1 1 -9 3 7
《线性代数》
———
r3-3r1
1 5 -1 -1 1 -2 1 3 0 -7 2 4 1 -9 3 7
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5.1
初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.
(1)交换矩阵的某两行(列)；
(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上. 第i列的k倍加到第j列记为cj+kci . 例如
a22 a 21 a 23 a 24
a32 a31 a33 a34
定理1 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在A
的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.
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解
1 2 3 ( A E) = 2 2 1 3 4 3
r2 − 2r 1 2 3 1 ~ 0 − 2 −5 r3 − 3r 0 − 2 −6 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 − 2 1 0 −1 0 1 1
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3 1 2 0 − 2 −5 0 − 2 −6
0 0 − 2 1 0 −1 0 1 1
r + r2 1 0 − 2 1 ~ 0 − 2 − 5 r3 − r2 0 0 −1
−1 1 0 − 2 1 0 1 −1 1
r − 2r3 1 0 0 1 ~ 0 − 2 0 r2 −5r3 0 0 −1
r j ）,
1 O 1 0 L 1 i ←第行 1 E(i, j) = M O M 1 ←第行 1 L 0 j 1 O 返回
性质： 阶初等方阵E（ , ）左乘矩阵 矩阵A 性质：用 m 阶初等方阵 （i, j）左乘矩阵 = （a ij ）m×n , 得 ×
A−1( A B) = E A−1B = (E, X)
(
)
即
初 行 换 等 变 ( A B) E A−1B , 从 X = A−1B. ~ 而
(
)
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求矩阵X 例11 求矩阵 ，使A X = B ，其中 1 2 3 2 5 A= 2 2 1, B = 3 1. 3 4 3 4 3 解
P 2 而 1AP = (P A P 相当于把 P A 的第 1 列与第 3 1 ) 2 1
列进行交换， 列进行交换，
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从而得
a12 a11 a13 P AP = a23 a22 a21 . 1 2 a + a a + a a + a 23 33 22 32 21 31
§4
初等矩阵
★初等矩阵的概念 ★初等矩阵的性质 初等矩阵的应用（ ★初等矩阵的应用（求 逆阵，解矩阵方程等） 逆阵，解矩阵方程等）
若矩阵A经初等变换变为矩阵B,矩阵A 若矩阵A经初等变换变为矩阵B,矩阵A与矩 B,矩阵 不相等, 阵B不相等,但它们之间是否存在矩阵等式 如何表达初等变换矩阵相等? ?如何表达初等变换矩阵相等?
2 5 −1 −9 − 2 −12 2 −4 −1 −9 −1 − 3 3 2 4 6 −1 − 3
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1 0 0 0 − 2 0 0 0 −1 r2 ÷(−2)1 0 0 ~ 0 1 0 r3 ×(−1) 0 0 1 此 因
由变换 ri ×k 的逆变换为 ri ×(1/ )，知 (1/k) E( i( k ))－1 = E (i( 1/ ))； ( ( ( 1/k ))； 由变换 ri + krj 的逆变换为 ri ＋(－k)rj ，知 )
E( ij( k ))－1 = E ( ij(-k))。 ))。 ( ( ))
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P P LP
−1 −1 l l −1
−1 1
(A
E) = (E
A ,
−1
)
将上面两式合起来写成如下形式： 将上面两式合起来写成如下形式：
即
等 变 初 行 换 −1 ( A E) E A ~
(
)
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例 10
1 2 3 A A 设 = 2 2 1,求 −1. 3 4 3
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初等变换对应初等矩阵，由初等变换可逆， 初等变换对应初等矩阵，由初等变换可逆，可 初等矩阵也可逆。 知初等矩阵也可逆。且此初等变换的逆变换也就对 应此初等矩阵的逆阵： 应此初等矩阵的逆阵： 由变换 ri rj 的变换就是其本身，知 的变换就是其本身， E( i, j )－1 = E ( i, j ); ( , ,
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定义11 定义11 由单位阵 E 经过一次初等变换得到的 初等矩阵。 方阵称为初等矩阵 方阵称为初等矩阵。
三种初等变换对应三种初等矩阵。 三种初等变换对应三种初等矩阵。 三种初等矩阵
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1 对调两行或两列 单位阵中的 中的第 两行对调 对调（ 把单位阵中的第 i , j 两行对调（r i 得初等矩阵： 得初等矩阵：
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1 0 2 B × 矩阵， （ ） 例 9 设A 是 4×3 矩阵，R（A）= 2 ， = 0 2 0, −1 0 3
则R（AB）= （ ）
2
。
1 0 2 r3 + r 1 0 2 1 解 B = 0 2 0 ~ 0 2 0, −1 0 3 0 0 5
1 O 1 E(i(k)) = i k ←第行 1 O 1
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性质： 性质： 左乘矩阵 以 Em ( i ( k ) ) 左乘矩阵 A ，其结果相当于以 数 k 乘 A 的第 i 行（ri×k）； ）； 右乘矩阵 以 En ( i ( k ) ) 右乘矩阵 A ，其结果相当于以 数 k 乘 A 的第 i 列（ci×k）。 ）。
1 2 3 ( A B) = 2 2 1 3 4 3
r2 − 2r 1 2 3 1 ~ 0 − 2 − 5 r3 − 3r 0 − 2 −6 1
2 5 3 1 4 3
2 5 −1 −9 − 2 −12
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3 1 2 0 − 2 −5 0 − 2 −6 r + r2 1 0 − 2 1 ~ 0 − 2 − 5 r3 − r2 0 0 −1 r − 2r3 1 0 0 2r 1 ~ 0 − 2 0 r2 −5r3 0 0 −1
∴
1 3 − 2 3 5 . −3 A−1 = − 2 2 −1 1 −1
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利用初等变换求逆矩阵的方法，还可用于解矩 利用初等变换求逆矩阵的方法，还可用于解矩 阵方程： 阵方程：AX= B ，或XA = B 。 可逆， （1）对于 ）对于AX= B ，设A可逆，则 可逆
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性质： 性质： 左乘矩阵 以 Em（i j ( k ) ） 左乘矩阵 A ，其结果相当 行上（ 于把 A 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行上（ri + krj）； 右乘矩阵 以 En（ ij ( k )） 右乘矩阵 A ，其结果相当 列上（ 于把 A 的第 i 列乘 k 倍加到第 j 列上（cj + kci）。 定理4 设 A 是一个 m×n 的矩阵， 定理4 × 的矩阵， 施行一次行初等变换， 对 A 施行一次行初等变换，相当于在 A 的左 阶初等方阵； 边乘以相应的 m 阶初等方阵； 施行一次列初等变换， 对 A 施行一次列初等变换，相当于在 A 的右 阶初等方阵。 边乘以相应的 n 阶初等方阵。
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类似地， 类似地，以一个 n 阶初等矩阵 En(i, j) 右乘 , ) 施行第一种列初等 矩阵 A，其结果相当于对矩阵 A 施行第一种列初等 ， 对调( 变换： 变换：把 A 的第 i 列与第 j 列对调(c i c j )。
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2 以数 k ≠0 乘某行或某列 单位阵的第 以数 k ≠0 乘单位阵的第 i 行（ri ×k）得初等 ） 矩阵
即 得 = A 可 X
T
( )
T −1
(
)
B.
T
0 2 1 1 2 3 例12 设 = 2 −1 3 , B = A 2 − 3 1, − 3 3 −4 求 使 XA= B. X 得 解 因 ATXT = BT
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的充分必要条件是： 推论 m×n 矩阵 A ～ B 的充分必要条件是：存 × 在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q，使 PAQ = B 。 ，
的推论可得： 由定理 5 的推论可得： 设A 是一个 m×n 矩阵，P 是m 阶可逆矩阵，则有 阶可逆矩阵， × 矩阵，
R(A) = R(PA) = R(AQ) = R(PAQ).
把A 的第 2 行加到第 3 行，
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a12 a13 a11 即有 P A= a21 a22 a23 1 a + a a + a a + a 21 31 22 32 23 33
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0 0 1 因 P = 0 1 0, 即将单位矩阵的第 1 、3 行交 为2 1 0 0 换后即得到P 换后即得到 2 ，
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定理5 定理5
设 A 为可逆方阵，则存在有限个初 为可逆方阵，
等矩阵P 等矩阵 1，P2，… ，Pl , 使A =P1P2… Pl 。 证 因 A～E，故 E 经有限次初等变换可变成 A， ～ ， ，
也就是存在有限个初等矩阵 P1，P2，… ，Pl ，使 P1P2…Pr E Pr+1…Pl = A , +1 即 A = P1P2… Pl 。
3 2 4 6 −1 − 3 3 2 − 2 − 3 1 3
3 2 X = 4 6 . −1 − 3
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可逆， （2）对于 ）对于XA = B ，设A 可逆，则ATXT = BT ,再 初 行 换 等 变 利用(1)的方法 利用 的方法 T T T −1 T (A B ) ~ E (A ) B
1 3 − 2 3 6 −5 1 −1 1
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1 0 0 0 − 2 0 0 0 −1
r2 ÷(−2)1 0 0 ~ 0 1 0 r3 ×(−1) 0 0 1