总结求矩阵的逆矩阵的方法

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总结求矩阵的逆矩阵的方法

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摘要：矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数

研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.

关键词：矩阵逆矩阵方法

Method of finding inverse matrix

Abstract:

Matrix in linear algebra is the main content,many prictical problems with the matrix theory is simple and fast. The inverse matrix andmatrix theory the important content, the solution of inverse matrix nature has become one of the main research contents of linear algebra. The paper will give some method of finding inverse matrix.

Key words:

Matrix inversematrix method

正文：

1.引言:矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.

2.求矩阵的逆矩阵的方法总结：

2.1

矩阵的基本概念

矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素

在矩阵中的位置。比如，或表示一个

矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。

特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。

当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称

为付对角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即：。如一个阶

方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，

是一个阶下三角矩阵，而则是一个阶上三角矩阵。今后我们用表示数域上的矩阵构成的集合，用表示数域上的阶方阵构成的集合。

2.2求逆矩阵的方法：

1.利用定义求逆矩阵

定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.

例1求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且

（E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K

证明因为E 与A 可以交换, 所以

(E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K,

因A K= 0 ,于是得

(E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E，

同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E，

因此E-A是可逆矩阵,且

(E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K.

同理可以证明(E+ A)也可逆,且

(E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K.

由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.

例2 设 A =⎥

⎥

⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡000030000020

0010,求 E-A 的逆矩阵.

分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.

解 容易验证

A 2=⎥⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡0000

000060000200， A 3=⎥

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡0000

0000

00006000

， A 4=0

而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以

(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥

⎥

⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡1000

31006210

6211.

2.初等变换法

求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使

（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：

（2） s p p p 21I= A 1-

比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.

用矩阵表示（A I ）−−−

→−初等行变换

为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.