2024-2025学年度北师版八上数学一定是直角三角形吗课件
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① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252， ③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ 32 + 42 = 52，满足.
a2 + b2 = c2
问题3 据此你有什么猜想呢?
由上面几个例子，我们猜想： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
我也觉得猜想不严谨，前
面我们只取了几组数据， 不能由部分代表整体.
我觉得这个猜 想不准确，因 为测量结果可
能有误差.
证一证： 已知：如图，△ABC 的三边长 a，b，c，满足 a2 + b2 = c2. 求证：△ABC 是直角三角形．
B. 3，4，5
C. 3，4，6
D. 3，4，7
【解析】A. 因为32＋42＞42，所以这三条线段只能组成锐角三角形；B. 因为32＋42
＝52，所以这三条线段能组成直角三角形；C. 因为32＋42＜62，所以这三条线段只能
组成钝角三角形；D. 因为3＋4＝7，所以这三条线段不能组成三角形.故选B.
【点拨】（1）利用边的关系判定直角三角形的步骤：①先找到三角形的最长边； ②计算最长边的平方及另外两边的平方和；③若两者相等，则为直角三角形，否则 就不是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理不是判定直角三角形的唯一方法，还可 以用直角三角形的定义来判定.
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数学 八年级上册 BS版
（2）下列四组数中，是勾股数的是（ D ）
A.
1 3
，
1 4
，
1 5
B. 0.9，1.2，1.5
C. 6，7，8
D. 21，28，35
【解析】A，B中的数不是正整数，所以A，B中的数不是勾股数；C. 62＋72≠82，所以C中
的数不是勾股数；D. 212＋282＝352，所以D中的数是勾股数.故选D.
【点拨】（1）判断勾股数的步骤：①确定三个数都是正整数；②确定其中的最大数；③分 别计算最大数的平方与其他两个数的平方和；④若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否 则就不是一组勾股数.（2）常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17. 勾股数同时扩大若干正整数倍后还是勾股数；勾股数同时缩小到本来的若干正整数分之一后 不一定是勾股数，但仍满足 a2＋ b2＝ c2，以它们作为边长的三角形仍是 直角三角形.
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数学 九年级上册 BS版
02
课前导入
新课引入
问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? 用 13 个等距的结把一根绳子分成等长的 12 段，一个工匠同时握住绳子的第 1
个结和第 13 个结，两个助手分别握住第 4 个结和第 8 个结，拉紧绳子就得到一个 直角三角形，其直角在第 4 个结处.
数学 八年级上册 BS版
第一章 勾股定理
2 一定是直角三角形吗
数学 九年级上册 BS版
目录
CONTENTS
课前预习
课前导入
典例讲练
数学 八年级上册 BS版
01
课前预习
数学 八年级上册 BS版
1. 勾股定理的逆定理. 如果三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a2＋ b2＝ c2 三角形是直角三角形. 注意：此时， c 是斜边长， a ， b 是直角边长.
，那么这个
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数学 八年级上册 BS版
2. 勾股数. 满足 a2＋ b2＝ c2 的三个正整数，称为勾股数. 注意：勾股数应满足的三个条件：①都是正数；②都是整数； ③ a2＋ b2＝ c2.勾股数有无数组，若一组数是勾股数，则把它们 同时扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数.如3，4，5是一组勾 股数，则3 n ，4 n ，5 n （ n 为正整数）仍是一组勾股数.
cb
特别说明：
B 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知
三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于可判定此三角形为直角三角形，最长边所
对的角为直角.
数学 八年级上册 BS版
03
典例讲练
数学 八年级上册 BS版
（1）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ B ）
A. 3，4，4
勾股定理的逆定理
下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 a，b，c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17.
问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三 角形吗？ 是
90
120
60
25
150
12 13
30
24
180
0
5
7
15 17 8
下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a，b，c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17. 问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
得 A1B12 = a2 + b2 = AB2.
C
∴ A1B1 = AB. ∴△ABC≌△A1B1C1 (SSS).
∴∠C =∠C1 = 90°.
∴△ABC 是直角三角形.
N A1
c
a
B
C1
B1 M
归纳总结
A
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形.
∠C 是直角
？
△ABC 是直角三角形
构造两直角边分别为a，b 的 Rt△A′B′C′
B △ABC≌△A′B′C′
A
c b
C a
简要说明：
A
作一个直角∠MC1N，
在 C1M 上截取 C1B1 = a = CB，
在 C1N 上截取 C1A1 = b = CA，
b
连接 A1B1.
在 Rt△A1C1B1中，由勾股定理，
A
∶∠
B
∶∠
C
＝3∶4∶5，所以∠
C
＝
5 3+4+5
×180°＝75°.因为△
ABC
中
最大的角∠ C ＝75°，所以△ ABC 不是直角三角形.②设 a ＝3 k （ k ＞0），则 b ＝4 k ， c ＝5
k .因为（3 k ）2＋（4 k ）2＝（5 k ）2，所以△ ABC 是直角三角形.③因为162＋632＝652，所以△
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在△ ABC 中，已知 a ,b , c 分别为其三边,给出下列四个条件:①∠ A :∠ B :∠ C ＝
3∶4∶5；②
a
∶
b
∶
c
＝3∶4∶5；③
a
＝16，
b
＝63，
c
＝65；④∠
A
＝
1 2
∠
B
＝
1 3
∠
C
.
其中能判定△
ABC
是直角三角形的有
②③④ （填序号）.
【解析】①因为∠
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ 32 + 42 = 52，满足.
a2 + b2 = c2
问题3 据此你有什么猜想呢?
由上面几个例子，我们猜想： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
我也觉得猜想不严谨，前
面我们只取了几组数据， 不能由部分代表整体.
我觉得这个猜 想不准确，因 为测量结果可
能有误差.
证一证： 已知：如图，△ABC 的三边长 a，b，c，满足 a2 + b2 = c2. 求证：△ABC 是直角三角形．
B. 3，4，5
C. 3，4，6
D. 3，4，7
【解析】A. 因为32＋42＞42，所以这三条线段只能组成锐角三角形；B. 因为32＋42
＝52，所以这三条线段能组成直角三角形；C. 因为32＋42＜62，所以这三条线段只能
组成钝角三角形；D. 因为3＋4＝7，所以这三条线段不能组成三角形.故选B.
【点拨】（1）利用边的关系判定直角三角形的步骤：①先找到三角形的最长边； ②计算最长边的平方及另外两边的平方和；③若两者相等，则为直角三角形，否则 就不是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理不是判定直角三角形的唯一方法，还可 以用直角三角形的定义来判定.
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（2）下列四组数中，是勾股数的是（ D ）
A.
1 3
，
1 4
，
1 5
B. 0.9，1.2，1.5
C. 6，7，8
D. 21，28，35
【解析】A，B中的数不是正整数，所以A，B中的数不是勾股数；C. 62＋72≠82，所以C中
的数不是勾股数；D. 212＋282＝352，所以D中的数是勾股数.故选D.
【点拨】（1）判断勾股数的步骤：①确定三个数都是正整数；②确定其中的最大数；③分 别计算最大数的平方与其他两个数的平方和；④若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否 则就不是一组勾股数.（2）常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17. 勾股数同时扩大若干正整数倍后还是勾股数；勾股数同时缩小到本来的若干正整数分之一后 不一定是勾股数，但仍满足 a2＋ b2＝ c2，以它们作为边长的三角形仍是 直角三角形.
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02
课前导入
新课引入
问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? 用 13 个等距的结把一根绳子分成等长的 12 段，一个工匠同时握住绳子的第 1
个结和第 13 个结，两个助手分别握住第 4 个结和第 8 个结，拉紧绳子就得到一个 直角三角形，其直角在第 4 个结处.
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第一章 勾股定理
2 一定是直角三角形吗
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课前预习
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典例讲练
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01
课前预习
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1. 勾股定理的逆定理. 如果三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a2＋ b2＝ c2 三角形是直角三角形. 注意：此时， c 是斜边长， a ， b 是直角边长.
，那么这个
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2. 勾股数. 满足 a2＋ b2＝ c2 的三个正整数，称为勾股数. 注意：勾股数应满足的三个条件：①都是正数；②都是整数； ③ a2＋ b2＝ c2.勾股数有无数组，若一组数是勾股数，则把它们 同时扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数.如3，4，5是一组勾 股数，则3 n ，4 n ，5 n （ n 为正整数）仍是一组勾股数.
cb
特别说明：
B 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知
三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于可判定此三角形为直角三角形，最长边所
对的角为直角.
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03
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（1）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ B ）
A. 3，4，4
勾股定理的逆定理
下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 a，b，c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17.
问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三 角形吗？ 是
90
120
60
25
150
12 13
30
24
180
0
5
7
15 17 8
下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a，b，c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17. 问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
得 A1B12 = a2 + b2 = AB2.
C
∴ A1B1 = AB. ∴△ABC≌△A1B1C1 (SSS).
∴∠C =∠C1 = 90°.
∴△ABC 是直角三角形.
N A1
c
a
B
C1
B1 M
归纳总结
A
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形.
∠C 是直角
？
△ABC 是直角三角形
构造两直角边分别为a，b 的 Rt△A′B′C′
B △ABC≌△A′B′C′
A
c b
C a
简要说明：
A
作一个直角∠MC1N，
在 C1M 上截取 C1B1 = a = CB，
在 C1N 上截取 C1A1 = b = CA，
b
连接 A1B1.
在 Rt△A1C1B1中，由勾股定理，
A
∶∠
B
∶∠
C
＝3∶4∶5，所以∠
C
＝
5 3+4+5
×180°＝75°.因为△
ABC
中
最大的角∠ C ＝75°，所以△ ABC 不是直角三角形.②设 a ＝3 k （ k ＞0），则 b ＝4 k ， c ＝5
k .因为（3 k ）2＋（4 k ）2＝（5 k ）2，所以△ ABC 是直角三角形.③因为162＋632＝652，所以△
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在△ ABC 中，已知 a ,b , c 分别为其三边,给出下列四个条件:①∠ A :∠ B :∠ C ＝
3∶4∶5；②
a
∶
b
∶
c
＝3∶4∶5；③
a
＝16，
b
＝63，
c
＝65；④∠
A
＝
1 2
∠
B
＝
1 3
∠
C
.
其中能判定△
ABC
是直角三角形的有
②③④ （填序号）.
【解析】①因为∠