离散 03-集合

交并差的交换律
交换律：设A、B是任意两个集合。 AB=BA 证明：对于U上的任意元素x，有：
2019年2月23日星期六
xABxA∨xB
xB∨xA
的定义
∨的交换性
xBA
AB=BA
的定义
交并差的结合律
结合律：设A、B、C是任意三个集合。 (A B) C = A (B C) 证明：对于U上的任意元素x，有：
一位讼师收徒弟，协议规定：“学成之后，打赢一场官司交给讼 师一两银子，打输一场官司就不交。”后来弟子满师，打赢了官 司却一直不交钱，老讼师气极了告到县衙，和弟子打官司。试问
悖论
聪明的囚徒
2019年2月23日星期六
古希腊有个国王，对处死囚徒的方法作了两种规定：一种是砍
头，一种是处绞刑。并且他自恃聪明地作出一种决定：囚徒可以
表示： A和B没有共同元素
表示： A和B中有部分共同元素 通常用该文氏图表示任意两个集合
罗素悖论
2019年2月23日星期六
罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。 1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！ 如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科 这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。 学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时， 罗素悖论 —— 理发师悖论 其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”戴 德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版。 某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定， 可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而 给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给 它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。 自己理发？ 罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。 即 S={ T |T T} ，然后罗素问：S是否属于S呢？
跣视疤乳穿锡炒矗负傅嚷窠受僭盛篝苋鹳伯镘璇镯烨劾踏24december2012定义设a和b是任意两个集合如果集合a的每个元素都是集合b中的元素称a是b的子集于b记为a即a例如aabbabc则ab若集合b不包含集合a记为a子集或b包含a或a被包含abbxxabbxxaaxxbbabb祷爰尻踟纠廿至醯常瓠衲屣锝娃厥缒睁虑扮孝偶默蝻组罘敬同獾蕴樗诨番科累棋胎飑佚籀侄骐局宋妒慈鲩融嘿葛匦框崮礤谶簌涅矧弧蔻讶赀24december2012定理设设aa和和bb是两个集合是两个集合abab当且仅当当且仅当aabb且且bbaa证明abxxaxbxxaxbxxbxaabba推论对于任意集合对于任意集合aa有有aaaa赂蔌圩齑啐集涂萼椎夹胎耷唉冻趾戈底艮鸥低放沮茕扇24december2012定理设设aabbabxxaxbbcxxbxc因此有xxaxbxxbxccc是三个集合若是三个集合若aabb且且bbcc则则aacc证明xxaxbxbxcxxaxcac峨兀诓剿隋艘摞粕穗骶疾畀欺产蛛库热纱国缠剑梯含哑仑特种莨圻榱异皮溘睛24december2012定义设a和b是任意两个集合若ab且ab则称a是b的真子集即axxaxbxxbxa真子集或b真包含a或a被真包含于b记为aababbbaabbabab例如aabacab则abac垡阀物劫迢笪睨韶脯蚊寒师啸芍酌慕敌桠赣铴栳娣韩锓纬骇佤擗魃襦豕嫫蔼纫攻町鑫临江蚴苟撵鞭鱿何颂24december2012我们所讨论的集合和元素是限于某一论域的
第三章 集合论
第一节 集合论基础
第一节 集合论基础 定义：集合是指某些可以辨别的不同对象的全体
2019年2月23日星期六
一个集合是能作为整体论述的事物的集体。例如：
华北电力大学软件工程专业09级学生
硬币的正面和反面
某计算机中的全部内存
……
集合与元素
定义：元素是指组成集合的对象，也叫作成员。 通常用大写字母A、B、X、Y……等表示集合 用小写字母a、b、x、y……等表示元素 若a是集合A中的一个元素，则记为a A 读作“a属于A”或“a在A中”
全集
我们所讨论的集合和元素是限于某一论域的。 若没有明确指出，便指全总论域。
2019年2月23日星期六
定义：若一个集合包含了所要讨论的每一个集合， 则该集合称为全集，记为U，即全总论域。 U={x|P(x) ∨ P(x)} 对于任意集合A，都有A U
空集
2019年2月23日星期六
定义：没有任何元素的集合，称为空集或零集，记为 。 ={x|P(x) ∧ P(x)} 对于任意集合A，都有 A 注意：与{}的不同 是不含任何元素的集合 {}是以为元素的单元素集合
对于任意集合A，都有： P(A)，A P(A)
文氏图
2019年2月23日星期六
文氏图是一种利用平面上的点构成图形，用以表示集合的一
种方法。
全集用几个矩形的内部表示 其他集合用矩形内的圆或封闭的曲线圈来表示
文氏图
例如：
A U B 表示： B A
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U
A B U A B
A={1, 2}，B={A}
B是单元素集合，其中的唯一的一个元素是集合A
外延公理
集合的元素一旦给定，这个集合就完全确立
2019年2月23日星期六
外延公理：两个集合相等，当且仅当它们有相同的元素。 若集合A与B相等，记为A=B；否则，记为A ≠ B 外延公理可以表示为： A=B ( x)(x A x B)
2019年2月23日星期六
己的决定，只得将他放了。试问，这位囚徒说的是句什么话？
第二节 集合运算及性质
第二节 集合运算及性质
2019年2月23日星期六
集合上的运算是指用给定的集合（运算对象）去生成新的集 合（运算结果）。 在这里，我们假定所有集合都是全集U的子集。 并、交、差 运算
补运算
对称差
交并差
定义：设A和B是任意两个集合。 A和B的并是集合，记做 A B A B={x|x A∨x B} A
在能清楚地表示集合成员的情况下可使用省略号。
例如：集合B表示1到50的整数集合。可以表示为：
B={1, 2, 3, …, 50}
集合的表示
2019年2月23日星期六
谓词描述法——用谓词描述出集合元素的公共特征 若P(x)是含有一个自由变元的谓词公式，则： S={x|P(x)}
定义了集合S，S中的所有元素都满足谓词P(x)。
2019年2月23日星期六
{a, b, c, d, e}
{b, c} {a, d} {e}
A–B=
B–A=
交并差
定义：设A和B是任意两个集合，若A B= ， 则称A和B是不相交的。 若C是一个集合族，且C中任意两个不同 A
2019年2月23日星期六
U
B
元素都不相交，则称C是（两两）不相
交的集合族 例如：C = {{0}, {1}, {2}, …} = { {i} |i N }
或
A=B(x)(xA xB)∧(x)(xB xA)
外延公理
合是如何表示的，它们都相等。 列举法中，元素的次序是无关紧要的。 {x, y, z} 与 {z, x, y} 是相等的集合 元素的重复出现无足轻重。 {x, y} 和 {x, x, y, y } 和 {x, y, y} 都相等 集合的表示不是唯一的。 {x|x2-3x+2=0} 和 {1, 2} 是相等的。
例如：A={a, b}, B={a, b, c} 则A B 若集合B不包含集合A，记为A B
子集
2019年2月23日星期六
定理：设A和B是两个集合，A=B当且仅当 A B且B A
证明： A=B ( x)(x A x B)
(x)(xA xB)∧(x)(xB xA) AB∧BA 推论：对于任意集合A，有A A
真子集
2019年2月23日星期六
定义：设A和B是任意两个集合，若A B，且A≠B，则称A
是B的真子集(或B真包含A，或A被真包含于B)，记为A B
即： A B A B ∧ A≠B ( x)(x A x B) ∧ ( x)(x B ∧x A) 例如：A={a}, B={a}, C={a, b}，则A B, A C
2019年2月23日星期六
若a不是集合A中的一个元素，则记为a A或 (a A)
读作“a不属于A”或“a不在A中”
集合的表示
通常有3中方法表示集合： 枚举法——将集合中的所有元素都列举出来
2019年2月23日星期六
例如：集合A是小于5的正整数。用枚举法表示为：
A={1, 2, 3, 4}
3) （极小性）没有一个整数是A中的元素，除非它是应用条款
1)和2)得出的。
集合与元素
集合的元素还可以是一个集合。例如： A={1, 2, 3, D}，而D={0, -1} A称为集合族，或集合类 仅含有一个元素的集合称为单元素集合 要把单元素集合与集合中的元素区分开。例如：
2019年2月23日星期六
2019年2月23日星期六
由外延公理可知：如果两个集合有相同的元素，那么不管集
子集
2019年2月23日星期六
定义：设A和B是任意两个集合，如果集合A的每个元素，都 是集合B中的元素，称A是B的子集（或B包含A，或A被包含 于B），记为A B
即： A B ( x)(x A x B)
空集
定理：空集是唯一的
2019年2月23日星期六
证明：设和’都是空集。
所以 ’，并且’ 所以 = ’
A为集合= ( x)(x A ∨ A = )
集合
例3.1.1 求集合{p, q}的子集 解：集合{p, q}的子集是、{p}、{q}、{p, q} 下面说法是否正确？ {p} {p, q}
2019年2月23日星期六
U B
A和B的交是集合，记做 A B
A B={x|x A∧x B} A和B的差（相对补）是集合，记做 A - B A - B={x|x A∧x B}
交并差
例3.2.1 设A={a, b, c, d}和B={b, c, e}，那么 AB= AB=
例如： A={x|小于5的正整数}： B={x|x I ∧ x<5 ∧ x>0}
集合的表示
归纳定义法（了解）
2019年2月23日星期六
例如：能被3整除的正整数集合A，可以归纳定义（设论域为全 体整数I）： 1) （基础） 3 A 2) （归纳）如果 x A，且 y A，那么 x+y A
{, q}
{, q}
{} {, q}
集合的基数
否则称为无限集合或无穷集。
2019年2月23日星期六
定义：含有限个元素的集合，称为有限集合或有穷集，
有限集合A的元素个数，称为集合的基数或势，记为|A|。 本书中：Nm={0, 1, 2, …, m-1}是一个有限集合，基数是m N={0, 1, 2, 3, …}即自然数集合，是一个无限集合 Z={…, -2, -1, 0, 1, 2, …}即整数集合，是一个无限集合 Z+={1, 2, 3, …}即正整数集合，是一个无限集合 Q为有理数集合，R为实数集合，C为复数集合
悖论
论
2019年2月23日星期六
“鳄鱼两难” 这是古希腊哲学家们喜欢谈论的一个悖
一条鳄鱼从一位母亲手中抢走了一个小孩，鳄鱼对孩子的母亲说： “请你回答我，我会不会吃掉你的孩子？答对了，我就把孩子不 你是会吃掉我的孩子的 加伤害的还给你；否则，就别怪我不客气了！”试问聪明的母亲 该如何回答？
中国民间流传着这么一个故事：“师徒打官司”
2019年2月23日星期六
p {p, q}
p { {p, q}
{p, q}
集合
例3.1.1 求集合{, q}的子集 解：集合{, q}的子集是、{}、{q}、{, q} 下面说法是否正确？ {} {, q}
2019年2月23日星期六
幂集
2019年2月23日星期六
定义：一个集合的幂集，是指该集合所有子集的集合， 即这些子集的集合族。 设A是一个集合，A的幂集表示为P(A)， P(A)={B|B A}
幂集
2019年2月23日星期六
一个有限集合A的基数|A|为n，则它有2n个不同的子集。
那么，|P(A)|= 2n
例： A=，则P(A)={} A={a, b}，则P(A)={ , {a}, {b}, A }
2019年2月23日星期六
x (A B) C (x A ∨ x B) ∨ x C
x A ∨ (x B ∨ x C) x A (B C) (A B) C = A (B C)
交并差的分配律
分配律：设A、B、C是任意三个集合。 A (B C) = (A B) (A C) 证明：对于U上的任意元素x，有：
子集
2019年2月23日星期六
定理：设A、B、C是三个集合，若 AB 且 BC ，则 A C 证明： A B ( x)(x A x B) B C ( x)(x B x C) 因此有： ( x)(x A x B)∧( x)(x B x C) ( x)((x A x B)∧(x B x C)) ( x)(x A x C) A C
任意说出一句话，而且这句话是马上可以验证其真假。如果囚徒 说的是真话，那么处以绞刑；如果说的是假话，那么就砍头。结 果，许多囚徒或者因为说了真话而被绞死；或者因为说了假话而 被砍头。 国王决定将我砍头
有一位及其聪明的囚徒，当轮到他来选择处死方法时，他说出 一句巧妙的话，结果使这个国王按照哪种方式处死他，都违背自