新整理-浙教版-九年级上册数学基础知识归纳

浙教版九年级上册数学基础知识集锦
第一章 二次函数
1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.
2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：
当0>a 时，开口向上； 当0<a 时，开口向下；
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .
3.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222
2
-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=++=，
∴顶点是）
，（a
b a
c a b 4422
--，对称轴是直线a b x 2-=. （2） 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为
()k h x a y +-=2
的形式，
得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图
形，对称轴与抛物线的交点是顶点。

例：若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y （及y 值相同），则对称 轴方程可以表示为：12
2
x x x +=
4.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小，与2ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.
由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线： 故：
①0=b 时，对称轴为y 轴；
②0000<<>>b a b a ，或者，（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； ③0000><<>b a b a ，或者，（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.
当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：
①0=c ，抛物线经过原点;
②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴. 5.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式(不要求掌握)：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.
6.直线与抛物线的交点
（1）y 轴与抛物线的交点：当x=0时，代入c bx ax y ++=2得(0, c ). （2）x 轴与抛物线的交点：当y=0时，代入c bx ax y ++=2得二次函数 c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，则交点坐标 为(1x ，0),(2x ,0).
而抛物线与x 轴的交点个数情况可以由对应的一元二次方程的
a
b
x 2-=
根的判别式判定：
①有两个交点⇔(042>-ac b )
②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔(042=-ac b ) ③没有交点⇔(042<-ac b )
（3）平行于x 轴的直线（如：y=2）与抛物线的交点。

同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交 点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.
（4）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的
图像G 的交点，由方程组 ⎩⎨
⎧++=+=c
bx ax y n kx y 2
的解的个数来确定：
①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.
（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴
两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 a
c
x x a b x x =⋅-=+2
121, ()
()
a ac
b a c
a b x x x x x x x x AB 44422
212
212
2121-=
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=--=
-=
-=
7.求最值
二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式
a
b a
c a b x a y 44)2(2
2-++=，
（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0>a 时，函数有最小值，并且当a
b
x 2-
=，a
b a
c y 442
-=
最小值
；当0<a 时，函数有最大值，并且当a b x 2-=，
a
b a
c y 442
-=
最大值
．
（2）如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，
①如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当a
b
x 2-
=， a
b a
c y 442
-=
最值
， ②如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的 增减性；
1.如果在此范围内y 随x 的增大而增大，
则当2x x =时，c bx ax y ++=22
2最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小； 2.如果在此范围内y 随x 的增大而减小，
则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=22
2最小．
8.几个等价的命题：
（1）二次函数的值恒大于零⇔抛物线在x 轴上方⇔a>0,ac b 42-<0 （2）二次函数的值恒小于零⇔抛物线在x 轴下方⇔ a<0，ac b 42-<0
9.二次函数的性质 课本第21页表1-4 10.
平移的规律：
1）一般地,抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y 与2ax y =的形状相同,位置不同. 平移法则：左加右减、上加下减。

① 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，
确定其顶点坐标()h k ，；
② 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，
具体平移方法如下：
向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位
向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位
向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位
向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位
向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位
向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位
y=a (x-h )2+k
y=a (x-h )2
y=ax 2+k
y=ax 2
2).二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且一般是平移规律,其它函数也可以使用。

第二章 简单事件的概率
1.可能性
（1）必然事件：有些事件我们能确定它一定会发生，这些事件称为必然事件．
（2）不可能事件：有些事件我们能肯定它一定不会发生，这些事件称为不可能事件．
（3）确定事件：必然事件和不可能事件都是确定的。

（4）不确定事件：有很多事件我们无法肯定它会不会发生，这些事件称为不确定事件。

一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。

2.简单事件的概率
(1)概率的意义：表示一个事件发生的可能性大小的这个数叫做该事件的概率。

(2)必然事件发生的概率为1，记作P （必然事件）=1，不可能事件发生的概率为0，记作P(不可能事件）=0，如果A 为不确定事件，那么0<P(A)<1。

(3）一步试验事件发生的概率的计算公式：n
m
P
（n 为该事件所有等可能出现的结果数，m 为事件包含的结果数）。

两步试验事件发生的概率的计算有两种方法（列表法和画树状图） 3.用频率估计概率：
(1)对于任何一个随机事件都有一个固定的概率客观存在。

(2)有些随机事件不可能用树状图和列表法求其发生的概率，只能通过试验、统计的方法估计其发生的概率。

(3)对随机事件做大量试验时，根据重复试验的特征，我们确定概率时应当注意几点:
①做实验时应当在相同条件下进行； ②实验的次数要足够多，不能太少；
③把每一次实验的结果准确，实时的做好记录；
④分阶段分别从第一次起计算事件发生的频率，并把这些频率用折线统计图直观的表示出来；观察分析统计图，找出频率变化的逐渐稳定值，并用这个稳定值估计事件发生的概率，这种估计概率的方法的优点是直观，缺点是估计值必须在实验后才能得到，无法事件预测。

4.概率综合运用：
概率可以和很多知识综合命题，主要涉及平面图形、统计图、平均数、中位数、众数、函数等。

常见考法：
（1）判断游戏公平：游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。

这类问题有两类一类是计算游戏双方的获胜理论概率，另一类是计算游戏双方的理论得分；
（2）命题者经常以摸球、抛硬币、转转盘、抽扑克这些既熟悉又感兴趣的事为载体，设计问题。

关注误区：进行摸球、抽卡片等实验时，没有注意“有序”还是“无序”、“有放回”还是“无放回”故造成求解错误。

第三章圆的基本性质
一、圆的概念
1、圆的定义：线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一
个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．点O叫做圆心，线段OP叫做半径。

2、弧：圆上任意两点间部分叫做圆弧，简称弧。

优弧、劣弧以及表示方法。

3、弦，弦心距，圆心角，圆周角，
二、圆的性质
1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；
2、圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
性质：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量也分别相等。

3、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．
三、点与圆的位置关系
1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；
2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；
3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆
四、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论， 即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE =
④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD
中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD
A
B
D
五、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，
即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；
③OC OF =；④ 弧BA =弧BD
上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论 六、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：
∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

B
A
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==
∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒
注：此推论实是八年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

七、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O 中，
∵四边形ABCD 是内接四边形 ∴180C BAD ∠+∠=︒，180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠
八、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180
n R
l π=
； （2）扇形面积公式： 21
3602
n R S lR π=
= n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积
B
A
O
l
O
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图 2S S S =+侧表底=222rh r ππ+ （2）圆柱的体积：2V r h π=
（2）圆锥侧面展开图 （1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+ （2）圆锥的体积：213
V r h π=
第四章 相似三角形
考点一、比例线段
1、比例线段的相关概念
（1）如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，
n ，那么就说这两条线段的比是
n m
b a =，或写成a ：b=m ：n 。

在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

（2）在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段
①若四条a ，b ，c ，d 满足
d c b a =或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。

②如果作为比例内项的是两条相同的线段，即c
b b a
=或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。

C 1
D 1
2、比例的性质 （1）基本性质 ①a ：b=c ：d ⇔ad=bc ②a ：b=b ：c ac b =⇔2
（2）更比性质（交换比例的内项或外项） d
b
c
a =
（交换内项） ⇒=d
c
b a a
c b
d =（交换外项）
a
b c d
=（同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）：
c
d
a b d c b a =⇒= （4）合比性质：
d
d
c b b a
d c b a ±=
±⇒= （5）等比性质：
b
a n f d
b m e
c a n f
d b n m f
e d c b a =++++++++⇒≠++++==== )0( 3、黄金分割
把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=
2
1
5-≈ 考点二、相似三角形 1、相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。

相似三角形对应边的比叫做相似
比（或相似系数）。

2、相似三角形的基本定理
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

用几何语言表述如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC
相似三角形的等价关系：
（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；
（2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC （3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，
则△ABC∽△A’’B’’C’’。

3、三角形相似的判定
①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似
②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似
4、相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
（3）相似三角形周长的比等于相似比
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5、相似多边形
（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）
（2）相似多边形的性质
①相似多边形的对应角相等，对应边成比例
②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比
③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比
④相似多边形面积的比等于相似比的平方
6、位似图形
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。

性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。

由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。

利用位似变换可
以把一个图形放大或缩小。