郑州中学九年级数学上册第二单元《二次函数》检测题(包含答案解析)

一、选择题
1．若整数a 使得关于x 的分式方程
12322
ax x
x x -+=--有整数解，且使得二次函数y ＝(a ﹣2)x 2+2(a ﹣1)x +a +1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．12 B ．15 C ．17 D ．20
2．将抛物线22y x =平移，得到抛物线22(4)1y x =-+，下列平移方法正确的是（ ） A ．先向左平移4个单位，在向上平移1个单位 B ．先向左平移4个单位，在向下平移1个单位 C ．先向右平移4个单位，在向上平移1个单位 D ．先向右平移4个单位，在向下平移1个单位
3．一次函数y cx b =-与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．若()14,A y -，()21,B y -，()30,C y 为二次函数2(2)3y x =-++的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．123y y y <=
B ．312y y y =<
C ．312 y y y <<
D ．123y y y =<
5．已知二次函数22236y x ax a a =-+-+（其中x 是自变量）的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a <
B ．1a >-
C ．12a -<≤
D ．12a -≤<
6．已知二次函数22(0)y ax bx a =--≠的图象的顶点在第四象限，且过点(1,0)-，当
-a b 为整数时，ab 的值为( )
A ．
3
4
或1 B ．
1
4
或1 C ．
34或12
D ．
14或12
7．已知抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点（A 在原点O 左侧，B 在原点O 右侧)，与y 轴交于C 点，且OC=OB,令
CO
AO
=m ，则下列m 与b 的关系式正确的是( )
A ．m=
2
b B ．m=b+1
C ．m=
6b
D ． m=2b +1
8．如图为二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图象，与x 轴交点为()()3,0,1,0-，则下列说法正确的有（ ）①a ＞0 ②20a b +=③a b c ++＞0 ④当1-＜x ＜3时，y ＞0
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．抛物线2(3)y a x k =++的图象如图所示．已知点()15,A y -，()22,B y -，
()36.5,C y -三点都在该图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）
A ．123y y y >>
B ．321y y y >>
C ．213y y y >>
D ．231y y y >>
10．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，则下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的根是-1，3；③2a b c +=；④y 最大值4
3
c =
；其中正确的有（ ）个．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
11．抛物线2288y x x =-+-的对称轴是（ ） A ．2x =
B ．2x =-
C ．4x =
D ．4x =-
12．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论中：①20a b +>；
②()a b m am b +≠+（1m ≠的实数）；③2a c +>；④在10x -<<中存在一个实数
0x 、使得0a b
x a
+=-
其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
13．在ABC 中，A ∠，B 所对的边分别为a ，b ，30C ∠=︒．若二次函数
2()()()y a b x a b x a b =+++--的最小值为2
a
-
，则A ∠=______︒． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x x 2=--分别交y 轴，x 轴于点A ，B ，动点E 在抛物线上，EF x ⊥轴，交直线AB 于点F ．则EF 的长为______（用含字母x 的式子来表示）．
15．若二次函数26y x x c =-+的图象经过()11,A y -，()22,B
y ，()
332,C y +
三点，
则关于1y ，2y ，3y 大小关系正确的是_______．（用“<”连接）
16．如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，有下列4个结论：①0abc >；②240b ac ->；③关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是12x =-，
23x =；④关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是2x >-．其中正确的结论是
___________．
17．二次函数2y ax bx c =++的图象经过(1,0)A ，对称轴为1x =-，其图像如图所示，则化简2244||b bc c a b c +++-+的结果为___________．
18．已知二次函数246y x x =--，若16x -≤≤，则y 的取值范围为____．
19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点．若顶点C 到x 轴的距离为6，则线段AB 的长为______．
20．抛物线y ＝x²－x 的顶点坐标是________
三、解答题
21．已知二次函数y ＝ax 2与y ＝﹣2x 2+c ．
（1）随着系数a 和c 的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a ＝ ；若抛物线y ＝ax 2沿y 轴向下平移2个单位就能与y ＝﹣2x 2+c 的图象完全重合，则c ＝ ； （3）二次函数y ＝﹣2x 2+c 中x 、y 的几组对应值如表： x ﹣2 1 5 y m
n p
的大小关系为 （用“＜”连接）． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2
y x bx c =++与x 轴交于点A ，B （点A 在B
的左侧），与y 轴交于点C ．
（1）若OB=OC=3，求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）在（1）的条件下，设点P 在抛物线的对称轴上，求PA+PC 的最小值和点P 的坐标．
23．如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，
OB OC =．点D 在函数图象上，//CD x 轴，且2CD =，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．
（1）求b 、c 的值．
（2）如图①，连接BE ，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F '恰好在线段BE 上，求点F 的坐标．
（3）如图②，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得PQN 与APM △的面积相等，且线段
NQ 的长度最小？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，有抛物线y ＝ax 2+bx+3，已知OA ＝OC ＝3OB ，动点P 在过 A 、B 、C 三点的抛物线上． （1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，说明理由；
25．已知二次函数2(21)3y x m x m =-+-．
（1）若2m =，写出该函数的表达式，并求出函数图象的对称轴．
（2）已知点()1,P m y ，()24,Q m y +在该函数图象上，试比较1y ，2y 的大小． （3）对于此函数，在13x -≤≤的范围内函数最大值为-2，求m 的值． 26．如图，直线:33l y x =-+与x 轴，y 轴分别相交于A,B 两点，抛物线
224(0)y ax ax a a =-++<经过点B ．
(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)连结BD,以AB,BD 为一组邻边的平行四边形ABDE,顶点E 是否在抛物线上？
(3)已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 横坐标为m,△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
由抛物线的性质得到20a -＞，2
=4(1)4(2)(1)0a a a ∆---+≤然后通过解分式方程求得a 的取值，然后求和． 【详解】
解：∵二次函数y =（a -2）x 2+2（a -1）x +a +1的值恒为非负数， ∴20a -＞，2=4(1)4(2)(1)0a a a ∆---+≤ 解得3a ≥
解分式方程
12322ax x
x x -+=--解得：62
x a =- 由x ≠2得，a ≠5， 由于a 、x 是整数，
所以a =3，x =6，a =4，x =3，a =8，x =1， 同理符合a ≥3的a 值共有3，4，8，
故所有满足条件的整数a 的值之和=3+4+8=15， 故选：B ． 【点睛】
本题考查的是抛物线和x 轴交点，涉及到解分式方程，正确理解二次函数的值恒为非负数是解题的关键．
2．C
解析：C 【分析】
先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况． 【详解】
解：抛物线y=2x 2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x-4）2+1的顶点坐标为（4，1），而点（0，0）先向右平移4个单位，再向上平移1个单位可得到点（4，1），
所以抛物线y=2x 2先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=2（x+4）2+1． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
3．D
解析：D 【分析】
先假设0c <，根据二次函数2
y ax bx c =++图象与y 轴交点的位置可判断A ，C 是否成
立；
再假设0c >，0b <，判断一次函数y cx b =-的图象位置及增减性，再根据二次函数
2y ax bx c =++的开口方向及对称轴位置确定B ，D 是否成立．
【详解】
解：若0c <，则一次函数y cx b =-图象y 随x 的增大而减小，此时二次函数
2y ax bx c =++的图象与y 轴的交点在y 轴负半轴，故A ，C 错；
若0c >，0b <，则一次函数y cx b =-图象y 随x 的增大而增大，且图象与y 的交点在
y 轴正半轴上，此时二次函数2y ax bx c =++的图象与y 轴的交点也在y 轴正半轴，若0a >，则对称轴b
x 02a =-
>，故B 错；若0a <，则对称轴02b x a
=-<，则D 可能成立． 故选：D ． 【点睛】
本题考查一次函数图象与二次函数图象的综合判断问题，解答时可假设一次函数图象成立，分析二次函数的图象是否符合即可．
4．B
解析：B 【分析】
根据二次函数的解析式可得图象开口向下，对称轴为2x =-，故点()14,A y -与点
()30,C y 关于对称轴对称，即13y y =，再根据点()21,B y -与点()30,C y 在对称轴右
侧，y 随x 增大而减小即可得出结论． 【详解】
解：二次函数2
(2)3y x =-++的图象开口向下，对称轴为2x =-， ∴点()14,A y -与点()30,C y 关于对称轴对称，
∴13y y =，
∵点()21,B y -与点()30,C y 在对称轴右侧，y 随x 增大而减小， ∴23y y >， ∴312y y y =<， 故选：B ． 【点睛】
本题考查二次函数的性质，根据二次函数解析式得到对称轴是解题的关键．
5．D
解析：D 【分析】
根据判别式的意义得到△=（-2a ）2-4（a 2-3a+6）＜0，解得a ＜2，再求出抛物线的对称轴为直线x=a ，根据二次函数的性质得到a≥-1，从而得到实数a 的取值范围是-1≤a ＜2． 【详解】
解∵抛物线22
236y x ax a a =-+-+与x 轴没有公共点，
∴△=（-2a ）2-4（a 2-3a+6）＜0，解得a ＜2，
∵抛物线的对称轴为直线x=-22
a
-=a ，抛物线开口向上， 而当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小， ∴a≥-1，
∴实数a 的取值范围是-1≤a ＜2． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
6．A
解析：A 【分析】
由题意易得20a b +-=，且0,0a b >>，则有当x=1时，y<0，即20a b --<，进而可得22a b -<-<，然后由-a b 为整数，则有1a b -=或0或-1，最后求解即可． 【详解】
解：∵二次函数()2
20y ax bx a =--≠的图象的顶点在第四象限，且过点()1,0-，
∴20a b +-=，且0,0a b >>，当x=1时，y<0，即20a b --<， ∴2a b +=，且0,2a a b >-<， ∴02,02a b <<<<， ∴22a b -<-<， ∵
-a b 为整数，
∴1a b -=或0或-1，
若1a b -=时，则有31,22
a b ==，从而34ab =；
若0a b -=时，则有1,1a b ==，从而1ab =；
若1a b -=-时，则有13,22
a b ==，从而34ab =；
故选A ． 【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
7．B
解析：B 【分析】
利用数形结合得思想，先表示出A 、B 的横坐标，再代入到解析式建立方程，进而分别求解即可． 【详解】
由题意：OC c =，则OB c =，即B 的横坐标为c ，代入解析式有：20c bc c -++=， 则可解得：1c b =+， 根据
CO m AO =，可得c OA m =，即A 的横坐标为c
m
-，代入解析式有：2
0c c b c m m ⎛⎫⎛⎫
-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，整理得：210c b m m --+=，
将1c b =+代入可得；2110b b m m +--+=，即22
10m b bm
m ---=，
210m b bm ∴---=，整理得：()2
10m bm b --+=，
对其因式分解可得：()()110m b m -++=⎡⎤⎣⎦， 解得：1m b =+，或1m =-（舍去）， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，能够利用数形结合的思想，准确将图中的信息转化为解方程是解决问题的关键．
8．C
解析：C 【分析】
由开口方向可判断①；由对称轴为直线x=1可判断②；由x=1时y ＞0可判断③；由1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方可判断④． 【详解】
解：∵抛物线的开口向下
∴a ＜0，故①错误；
∵抛物线的对称轴x=2b a
-=1 ∴b=-2a ，即2a+b=0，故②正确；
由图像可知x=1时，y=a+b+c ＞0，故③正确；
由图像可知，当1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方，即y ＞0，故④正确； 故选C ．
【点睛】
本题主要考查图像与二次函数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
9．C
解析：C
【分析】
根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x=-3，图象开口向下；根据二次函数图象的对称性，利用在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，可判断y 2>y 1>y 3．
【详解】
由二次函数y =a (x +3)2+k 可知对称轴为x =−3，根据二次函数图象的对称性可知， ()22,B y -与2(4,)D y -对称，
∵点()15,A y -，()36.5,C y -， 2(4,)D y -)在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大， ∵-4>-5>-6.5，
∴y 2>y 1>y 3，
故选C.
【点睛】
本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性.
10．C
解析：C
【分析】
利用抛物线开口方向得到a ＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b=-2a ＞0，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得到c ＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），则根据抛物线与x 轴的交点问题可对②进行判断；由于x=-1时，a-b+c=0，再利用b=-2a 得到c=-3a ，则可对③④进行判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a ＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣
b 2a
=1， ∴b=-2a ＞0，
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，
∴c ＞0，
∴abc ＜0，所以①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），
∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的根是-1，3，所以②正确；
∵当x=-1时，y=0，
∴a-b+c=0，
而b=-2a ，
∴a+2a+c=0，即c=-3a ，
∴a+2b-c=a-4a+3a=0，
即a+2b=c ，所以③正确；
a+4b-2c=a-8a+6a=-a ，所以④错误；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
11．A
解析：A
【分析】
利用抛物线对称轴公式求解即可．
【详解】
解：∵2288y x x =-+-，
∴对称轴为直线x=-
822(2)
=⨯-， 故选：A ．
【点睛】 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
根据二次函数的图象与性质逐项判定即可求出答案．
【详解】
解：①由抛物线的对称轴可知：12b a
-<
由抛物线的图象可知：a ＞0，
∴-b ＜2a ，
∴2a+b ＞0，故①正确；
②当x=1时，y=a+b+c=0，
当y=ax 2+bx+c=0，
∴x=1或x=m ，
∴当m≠1时，a+b=am 2+bm ，故②错误；
③由图象可知：x=-1，y=2，
即a-b+c=2，
∵a+b+c=0，
∴b=-1，
∴c=1-a
∴a+c=a+1-a=1＜2，故③错误；
④由于a+b=-c=a-1，
∵c ＜0，
∴a-1＞0，
∴a ＞1，
∴0＜11a
< ∵x 0=111,a a a
--=-+ ∴-1＜-1+
1a ＜0 ∴-1＜x 0＜0，故④正确；
故选：B ．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是应用数形结合思想解题．
二、填空题
13．75【分析】根据二次函数的性质当时y 有最小值为由此得到=整理得a=b 从而将问题转化为等腰三角形底角计算问题【详解】∵ab 是的边∴a+b ＞0；∴有最小值且当x=时取得最小值y=根据题意得=整理得a=b
解析：75
【分析】 根据二次函数的性质，当1x 2=-时，y 有最小值为534
a b -+，由此得到534a b -+=2
a -，整理得a=
b ，从而将问题转化为等腰三角形底角计算问题. 【详解】
∵a ，b 是ABC 的边，∴a+b ＞0；
∴2()()()y a b x a b x a b =+++--有最小值，且当x=()12()2
a b a b +-=-+时，取得最小值， y=
534a b -+，根据题意，得534a b -+=2
a -， 整理，得a=
b ， ∴ABC 是等腰三角形，
∵30C ∠=︒， ∴180180307522
C A -∠-∠===︒， ∴∠A 的度数为75︒，
故填75.
【点睛】
本题考查了二次函数的最小值，等腰三角形的判定和性质，灵活利用二次函数的最小值构造等式是解题的关键.
14．【分析】先分别令y=0x=0求出AB 点的坐标求出直线AB 的解析式在用字母分别表示出EF 点的纵坐标相减即可【详解】令y=0得解得：B （20）令x=0得y=-2A （0-2）设AB 所在直线解析式为：代入A 解析：22x x -
【分析】
先分别令y =0，x =0，求出A 、B 点的坐标，求出直线AB 的解析式，在用字母分别表示出E 、F 点的纵坐标，相减即可．
【详解】
令y =0,得220x x --=
解得：121,2x x =-=
∴ B （2,0）
令x =0，得y =-2，
∴A （0，-2）
设AB 所在直线解析式为：y kx b =+
代入A 、B 解得：2y x =-
设动点E 的横坐标为x ，
∴ F 点的横坐标为x ，E 点的纵坐标为：22x x -- 又
F 点在直线AB 之上， ∴F 点的纵坐标为：2x - 又EF x ⊥
∴EF 的长度为：22(2)x x x ----
化简得：2
2x x - 故答案为：22x x -
【点睛】
本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数与一次函数的综合问题以及线段长度的计算，分别用字母表示出E 、F 点的纵坐标是解决本题的关键． 15．【分析】根据函数解析式的特点其对称轴为x=3图象开口向上；利用y 随x 的增大而减小可判断根据二次函数图象的对称性可判断于是【详解】根据二次函数图象的对称性可知中在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小因为于是 解析：231y y y <<
【分析】
根据函数解析式的特点，其对称轴为x=3，图象开口向上；利用y 随x 的增大而减小，可
判断21y y <，根据二次函数图象的对称性可判断23
y y >，于是231y y y <<. 【详解】
根据二次函数图象的对称性可知，33()C y 中，|33||32|1+>-=，1(1,)A y -、2(2,)B y 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，因为112-<<，于是231y y y <<.
故答案为231y y y <<.
【点睛】
本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性.
16．②③【分析】根据抛物线开口方向对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断【详解】解：∵抛物线开口
解析：②③
【分析】
根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，交y 轴的正半轴，
∴a ＜0，c ＞0，
∵-
2b a =12
， ∴b =-a ＞0， ∴abc ＜0，所以①错误；
∵抛物线与x 轴有2个交点，
∴△=b 2-4ac ＞0，
即b2＞4ac ，所以②正确；
∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点（-2，0），
而抛物线的对称轴为直线x=
12， ∴点（-2，0）关于直线x =12
的对称点（3，0）在抛物线上， ∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根是x 1=-2，x 2=3，所以③正确．
由图象可知当-2＜x ＜3时，y ＞0，
∴不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是-2＜x ＜3，所以④错误；
故答案为②③．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
17．【分析】根据二次函数的性质及绝对值的非负性二次根式的性质求解即可
【详解】解：观察图象得：a<0c>0把A(10)代入得a+b+c=0∴c=-a-b ∵=-1∴b=2a<0∴c=-a-2a=-3a>0∴
解析：2a b c -+-
【分析】
根据二次函数的性质及绝对值的非负性，二次根式的性质求解即可．
【详解】
解：观察图象得：a<0，c>0，
把A(1，0)代入2y ax bx c =++得a+b+c=0，∴c= -a-b ， ∵2b a -
= -1，∴b=2a<0，∴c=-a-2a=-3a>0，∴2b+c=4a-3a=a<0，a-b+c=a-2a-3a=-4a>0，
∴||a b c -+
=a b c -+
=-(2b+c)+a-b+c
=-2b-c+a-b+c
= -3b+a
=-5a ，
故答案为-5a ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质及绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 18．【分析】先利用配方法求得抛物线的顶点坐标从而可得到y 的最小值然后再求得最大值即可【详解】解：y=x2-4x-6=x2-4x+4-10=（x-2）2-10∴当x=2时y 有最小值最小值为-10∵∴当x=
解析：106y -≤≤
【分析】
先利用配方法求得抛物线的顶点坐标，从而可得到y 的最小值，然后再求得最大值即可．
【详解】
解：y=x 2-4x-6=x 2-4x+4-10=（x-2）2-10．
∴当x=2时，y 有最小值，最小值为-10．
∵16x -≤≤，
∴当x=6时，y 有最大值，最大值为y=（6-2）2-10=6．
∴y 的取值范围为106y -≤≤．
故答案为：106y -≤≤．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．2【分析】先确定抛物线的解析式令得到AB 两点的坐标即可得到结果；
【详解】∵抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 顶点C 到x 轴的距离为6∴化二次函数解析式为顶点式为：∴令得解得：∵抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 与
解析：【分析】
先确定抛物线的解析式，令0y =，得到A ，B 两点的坐标，即可得到结果；
【详解】
∵抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 顶点C 到x 轴的距离为6，
∴化二次函数解析式为顶点式为：()22
6y x h =--+， ∴令0y =，得()22
60x h --+=，
解得：1x h =+2x h =-，
∵抛物线y ＝－2x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，
∴()A h +，()B h -
，
∴(AB h h =+--=
故答案是
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点，准确分析计算是解题的关键．
20．【分析】先把函数解析式配成顶点式得到然后根据顶点式即可得到顶点坐标【详解】解：所以抛物线的顶点坐标为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式 解析：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
【分析】 先把函数解析式配成顶点式得到21124
()y x =--
，然后根据顶点式即可得到顶点坐标． 【详解】 解：2211()24
y x x x =-=--， 所以抛物线的顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 故答案为：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式．
三、解答题
21．（1）二次函数y ＝ax 2的图象随着a 的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y ＝﹣2x 2+c 的图象随着c 的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3）p ＜m ＜n
【分析】
(1)根据二次函数的性质即可得到结论；
(2)由函数图象的形状相同得到a=±2，根据上加下减的平移规律即可求得函数 y =ax 2-2，根据完全重合，得到c =-2．
(3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断．
【详解】
解：（1）二次函数y ＝ax 2的图象随着a 的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y ＝﹣2x 2+c 的图象随着c 的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；
（2）∵函数y ＝ax 2与函数y ＝﹣2x 2+c 的形状相同，
∴a ＝±2，
∵抛物线y ＝ax 2沿y 轴向下平移2个单位得到y ＝ax 2﹣2，与y ＝﹣2x 2+c 的图象完全重合，
∴c ＝﹣2，
故答案为：±2，﹣2．
（3）由函数y ＝﹣2x 2+c 可知，抛物线开口向下，对称轴为y 轴，
∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，
∴p ＜m ＜n ，
故答案为：p ＜m ＜n ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
22．（1）243y x x =
-+，对称轴为直线2x =；（2）最小值为P 坐标(2，1)． 【分析】
（1）根据题意得到B 、C 两点坐标，利用待定系数法及对称轴公式求解即可；
（2）连接BC 交对称轴于点P ，根据对称性及两点之间线段最短可知此时PA+PC 最小，根据勾股定理可求出最小值，再由B 、C 两点坐标求出解析式，从而求得点P 坐标．
【详解】
解：（1）由题意知，B(3，0)，C(0，3)，
将B 、C 坐标代入可得：3930c b c =⎧⎨++=⎩
， 解得：43b c =-⎧⎨=⎩
， ∴抛物线的解析式为243y x x =
-+， ∴对称轴为直线42221
b x a -=-=-=⨯； （2）∵点A ，B 关于直线2x =对称，
∴连接BC 交对称轴于点P ，此时PA+PC=PB+PC 的值最小，最小值为BC ，
在Rt OBC 中，OB=OC=3，
∴
BC ==
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴直线BC 的解析式为3y x =-+，
把x =2代入3y x =-+得：y =1，
∴点P(2，1)，
∴PA+PC 的最小值为
P 的坐标为(2，1)．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求表达式，轴对称最短，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法求解析式是解题的关键．
23．（1）2b =-，3c =-；（2）点F 坐标为(0,2)-；（3）存在，Q 的坐标为115,2
4⎛⎫- ⎪⎝⎭和315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】
（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b 的值；由OB=OC ，可用c 表示出B 点坐标，代入抛物线解析式可求得c 的值；
（2）可设F （0，m ），则可表示出F′的坐标，由B 、E 的坐标可求得直线BE 的解析式，把F′坐标代入直线BE 解析式可得到关于m 的方程，可求得F 点的坐标；
（3）设点P 坐标为（n ，0），可表示出PA 、PB 、PN 的长，作QR ⊥PN ，垂足为R ，则可求得QR 的长，用n 可表示出Q 、R 、N 的坐标，在Rt △QRN 中，由勾股定理可得到关于n 的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n 的值，则可求得Q 点的坐标，
【详解】
解：（1）∵CD//x 轴，2CD =，
∴抛物线对称轴为直线:1l x =， ∴12
b -
=，即2b =-， ∵OB OC =，(0,)C c ，∴B 点坐标为(,0)c -， ∴202c c c =++，
解得3c =-或0c
（舍去）； ∴3c =-．
（2）设点F 坐标为(0,)m ，
∵对称轴是直线:1l x =，
∴点F 关于直线l 的对称点F '的坐标为(2,)m ，
由（1）可知抛物线解析式为y=x 2-2x-3=（x-1）2-4，
∴E （1，-4），
∵直线BE 经过点(3,0)B ，(1,4)E -，
∴直线BE 的表达式为26y x =-，
∵点F '在BE 上，
∴2262m =⨯-=-，
即点F 坐标为(0,2)-．
（3）存在点Q 满足题意．
设点P 坐标为(,0)n ，则1PA n =+，3PB PM n ==-，223PN n n =-++， 如解图，连接QN ，过点Q 作QR PN ⊥，垂足为R ，
∵PQN APM S
S =， ∴1(1)(3)2
n n +- ()21232
n n QR =-++⋅， ∴1QR =，
①点Q 在直线PN 的左侧时，Q 点坐标为()21,4n n n --，R 点坐标为()2,4n n n -，N 点坐标为()2,23n n n --，
∴()2242323RN n n n n n =----=-+
∴在Rt QRN 中，221(23)NQ n =+-，
∴当3n 2
=时，NQ 取得最小值1， 此时Q 点坐标为115,24⎛⎫-
⎪⎝⎭； ②点Q 在直线PN 的右侧时，Q 点坐标为()21,4n n +-，
同理21RN
n =-，221(21)NQ n =+-， ∴当12
n =时，NQ 取得最小值1， 此时Q 点坐标为315,24⎛⎫-
⎪⎝⎭， 综上所述：满足题意的点Q 的坐标为115,2
4⎛⎫- ⎪⎝⎭和315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（2）中用F 点的坐标表示出F′的坐标是解题的关键，在（3）中求得QR 的长，用勾股定理得到关于n 的二次函数是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．
24．（1）2y x 2x 3=-++；（2）存在，()1,4P 或()2,5--．
【分析】
（1）根据A 的坐标，即可求得OA 的长，则B 、C 的坐标即可求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）分点A 为直角顶点时，和C 的直角顶点两种情况讨论，根据等腰三角形的性质得到两直角边相等，即可列方程分别求解．
【详解】
解：（1）由题意可知：c ＝3
∴OC ＝OA ＝3OB=3，
∴点A 、B 、C 的坐标分别为：（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），
将点B 、C 代入抛物线的表达式为：09a 3303
b a b =++⎧⎨=-+⎩， 解得：a 12b =-⎧⎨=⎩
∴抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x+3；
（2）过点A 、C 分别作直线AC 的垂线，分别交抛物线于P 1、P 2．
过点P 1作P 1M ⊥ y 轴，垂足为M ．
∵OC ＝OA
∴ ∠OAC=∠OCA=45º
∴ ∠MAP 1=∠MP 1A=45º
∴MA=MP 1
设P 1点坐标（a ，﹣a 2+2a+3）则MP 1=a ，OP 1=﹣a 2+2a+3
∵OA ＝3
∴MA=﹣a 2+2a+3-3=﹣a 2+2a
∴﹣a 2+2a=a
解之得：a 1=0（舍去），a 2=1
∴﹣a 2+2a+3=4
∴P 的坐标为（1，4）
过点P 2作P 2N ⊥ x 轴，垂足为N ．
∵OC ＝OA ∴ ∠OAC=∠OCA=45º
∴ ∠NAP 2=∠NP 2C=45º
∴CN=NP 2
设P 2点坐标（a ，﹣a 2+2a+3）则NP 2=a 2-2a-3，ON=﹣a
∵a 2-2a-3＝3-a
解之得：a 1=3(舍去）， a 2=-2，
∴﹣a 2+2a+3=-5
∴点P 的坐标为（﹣2，﹣5）
∴当点P 的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）时，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．
【点睛】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，以及等腰三角形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
25．（1）256y x x =--，直线52x =
；（2）21y y >；（3）4 【分析】
（1）把m=2代入y=x 2-（2m+1）x-3m 即可求得函数的表达式，进而根据对称轴x=-2b a 求得对称轴；
（2）把P （m ，y 1），Q （m+4，y 2）两点代入y=x 2-（2m+1）x-3m 比较即可；
（3）分132m +
>，1132m -≤+≤，112m +<-三种情况，列式求解即可． 【详解】
解：（1）2(21)3y x m x m =-+-，
∴当2m =时，256y x x =--， 对称轴：直线55222b x a -=-=-=， ∴函数的解析式为：256y x x =--，对称轴为：直线52x =
． （2）2(21)3y x m x m =-+-，
∴对称轴为直线(21)1222
b m x m a -+=-=-=+， ∵抛物线开口向上，(,)P m y 距对称轴为：1122m m +
-=， ()24,Q m y +距对称轴为：17422
m m +--=， ∴Q 离对称轴更远，2y 值更大．
21y y ∴>．
（3）2(21)3y x m x m =-+-，
∴对称轴为：12x m =+
， ①当132m +>，即52
m >， 当1x =-时，max 2y =-，
12132m m ∴++-=-，
4m ∴=，符合52
m >． ．
②当1132m -≤+
≤时，即3522
m -≤≤， 若1x =-时，y 取最大-2， 12132m m ∴++-=-，解得4m =，不符合：3522
m -≤≤（舍） 若3x =时，y 取最大-2，
则93(21)32m m -+-=-， 解得：89m =，符合3522m -≤≤， 当89m =时，对称轴：81259218
x =+=， 2518x =
离3x =距离为：2918， 2518x =离1x =-距离为：4318
， ∴离1x =-更远，最大值应在1x =-处取得，与3x =处取最大值矛盾，
故舍去．
③当112m +<-时，即32
m <-时，3x =处，取最大值，如图，
93(21)32m m ∴-+-=-，解得：89x =
， 不符合32
m <-
， 故舍去．
综上所述，m 的值为4．
【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意得到一元一次不等式．
26．(1) 2y x 2x 3=-++，顶点坐标为（1，4）；(2)不在，理由见解析；
(3)S=21522m m +，S 的最大值为：258
． 【分析】
（1）求出A 、B 两点坐标，把B 点坐标代入抛物线的解析式即可解决问题． （2）首先求出BD 和BD 所在直线解析式，再过A 作//AE BD 交抛物线于点F ，联立方程
组2123y x y x x =-⎧⎨=-++⎩
求出点F 的坐标，进而得出AF 的长，从而可判断出AF 和BD 的关系，故可得结；
（3）如图2中，连接OM ，设M （m ，-m 2+2m+3），根据S=S △BOM +S △AOM -S △AOB 计算即可．再利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】
解：（1）∵直线l ：y=-3x+3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，
∴A （1，0），B （0，3），
把点B （0，3）代入y=ax 2-2ax+a+4得a=-1， ∴抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3．顶点D 的坐标为（1，4）
(2)不在，如图1，
∵(0,3),(1,4)B D
∴BD 的解析式为3y x ，
22(01)(34)2,BD =-+-=
过A 作//AE BD 交抛物线于点F
设AE 的解析式为y x b =+
将(1,0)A 代入得1b =-，
∴AE 的解析式为1y x =-，
∵直线AE 与抛物线相交，联立方程组得，2123y x y x x =-⎧⎨=-++⎩
∴在第一象限的交点坐标为F 117117+-+ ∴3422AF -=≠ ∴点E 不在抛物线上；。