山东省济宁市2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试卷

2014-2015学年山东省济宁市高二（上）期末数学试卷（文科）一.选择题1．双曲线的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±C．y=±D．y=±2．“2b=a+c“是“a，b，c成等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件3．下列说法正确的是（）A．命题“若a＞b，则a2＞b2”的否命题是“若a＜b，则a2＜b2”B．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是“若a≤b，则a2≤b2”C．命题“∀∈R，cosx＜1”的否命题是“∃x0∈R，cosx0≥1”D．命题“∀∈R，cosx＜1”的否命题是“∃x0∈R，cosx0＞1”4．△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+b2﹣c2=ab，则角C为（）A．30° B．60° C．120°D．150°5．等于（）A．B．﹣C．D．﹣6．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是（）A．6 B．3 C．D．17．设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则=（）A．﹣11 B．﹣8 C．5 D．118．数列{a n}的通项公式a n=n2+n，则数列{}的前9项和为（）A．B．C．D．9．下列命题中正确的是（）A．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d B．若a＞b＞0，c＜d＜0则ac＜bdC．若a＞b＞0，c＜0，则＞＜D．若a＞b＞0，则a﹣a＞b﹣b10．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且满足|PF1|=|，|OP|=|OF2|（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（）A．3 B．C．5 D．二.填空题11．已知tanα=，则tan2α= ．12．△ABC中，AC=，BC=，∠B=60°，则∠A= ．13．若数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则数列{a n}的通项公式a n= ．14．已知抛物线C：y2=4x的焦点F，点P为抛物线C上任意一点，若点A（3，1），则|PF|+|PA|的最小值为．15．已知正数a，b满足2a+b=ab，则a+2b的最小值为．三.解答题16．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinB=bcosA．（1）求角A的大小；（2）若b=1，△ABC的面积为，求a的值．17．已知p：∀x∈R，x2+mx﹣m+3＞0；q：∃x0∈R，x02+2x0﹣m﹣1=0，若p∧q为真命题，求实数m的取值范围．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=4，S4=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n•2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知函数f（x）=x．（1）求函数f（x）的最小正周期；[来源:]（2）若f（）=，，求cosα的值．20．如图，某学校准备修建一个面积为2400平方米的矩形活动场地（图中ABCD）的围栏，按照修建要求，中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFCD为正方形，设AB=x米，已知围墙（包括EF）的修建费用均为每米500元，设围墙（包括EF）的修建总费用为y元．（1）求出y关于x的函数解析式及x的取值范围；（2）当x为何值时，围墙（包括EF）的修建总费用y最小？并求出y的最小值．21．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆M：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且|F1F2|=2，离心率e=．（1）求椭圆M的标准方程；（2）过椭圆右焦点F2作直线l交椭圆M于A，B两点．①当直线l的斜率为1时，求线段AB的长；②若椭圆M上存在点P，使得以OA，OB为邻边的四边形OAPB为平行四边形（O为坐标原点），求直线l的方程．2014-2015学年山东省济宁市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题1．（5分）（2014秋•济宁期末）双曲线的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±C．y=±D．y=±考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，求出a，b即可得到渐近线方程．解答：解：双曲线的a=3，b=4，由于渐近线方程为y=x，[来源:]即为y=±x．故选A．[来源:学科网ZXXK]点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．2．“2b=a+c“是“a，b，c成等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的定义进行判断即可．解答：解：由2b=a+c得b﹣a=c﹣b，即a，b，c成等差数列，若a，b，c成等差数列，则b﹣a=c﹣b，即“2b=a+c“是“a，b，c成等差数列”的充要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等差数列的定义是解决本题的关键．3．下列说法正确的是（）A．命题“若a＞b，则a2＞b2”的否命题是“若a＜b，则a2＜b2”B．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是“若a≤b，则a2≤b2”C．命题“∀∈R，cosx＜1”的否命题是“∃x0∈R，cosx0≥1”D．命题“∀∈R，cosx＜1”的否命题是“∃x0∈R，cosx0＞1”考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根查否命题和逆否命题的定义即可判断解答：解：选项A，命题“若a＞b，则a2＞b2”的否命题是“若a≤b，则a2≤b2”故错误，选项B，命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是“若a2≤b2，则a≤b”故错误，选项C，D命题“∀∈R，cosx＜1”的否命题是“∃x0∈R，cosx0≥1”故C正确，D错误故选：C点评：本题以命题为载体，考查否命题和逆否命题，属于基础题4．△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+b2﹣c2=ab，则角C为（）A．30° B．60° C．120°D．150°考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理表示出cosC，把已知的等式代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．解答：解：∵a2+b2﹣c2=ab，∴根据余弦定理得：cosC==，又∵C为三角形的内角，则∠C=30°．故选：A．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入的思想，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．等于（）A．B．﹣C．D．﹣考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用tan45°=1和两角和的正切公式化简即可．解答：解：==tan（45°+75°）=tan120°=，故选：B．点评：本题考查两角和的正切公式，以及特殊角的正切值：“1”的代换问题，属于基础题．6．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是（）A．6 B．3 C．D．1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．解答：解：变量x，y满足约束条件，目标函数z=2x+y，画出图形：点A（1，1），z A=3，B（0，1），z B=2×0+1=1C（3，0），z C=2×3+0=6，z在点B处有最小值：1，故选：D．点评：本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法．7．设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则=（）A．﹣11 B．﹣8 C．5 D．11考点：等比数列的性质．专题：[来源:学科网ZXXK] 转化思想．分析：由等比数列的前n项和公式，故==1+q2，由此知，应该有方程8a2+a5=0求出q的值，再代入求值，选出正确选项解答：解：∵Sn为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0∴8a1q+a1q4=0又数列是等比数列，首项不为0∴8q+q4=0，又q不为零，故有q=﹣2∴===5故选C点评：本题考查等比数列的性质，解题的关键是由8a2+a5=0求出公比q的值，再由等比数列的求和公式将用q表示出来，即可求出值，本题考查了转化的思想及计算能力，8．数列{a n}的通项公式a n=n2+n，则数列{}的前9项和为（）A．B．C．D．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由a n=n2+n，可得=，利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵a n=n2+n，∴=，则数列{}的前9项和=+…+=1﹣=．故选：A．点评：本题考查了“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．下列命题中正确的是（）A．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d B．若a＞b＞0，c＜d＜0则ac＜bdC．若a＞b＞0，c＜0，则＞＜D．若a＞b＞0，则a﹣a＞b﹣b考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由不等式的可乘性和可加性，即可判断A；由不等式的可乘性，以及正向不等式的可积性，即可判断B；由不等式的可乘性和反比例函数的性质，即可判断C；运用举反例的方法，比如a=1，b=，即可判断D．解答：解：对于A．若a＞b，c＜d，即﹣c＞﹣d，则有a﹣c＞b﹣d，则A错；对于B．若a＞b＞0，c＜d＜0，则﹣c＞﹣d＞0，则有﹣ac＞﹣bd，即ac＜bd，则B对；对于C．若a＞b＞0，c＜0，则0＜＜，即有＞，则C错；对于D．若a＞b＞0，则可举a=1，b=，则a﹣a=1，b﹣b=，显然1＜，则D错．故选B点评：本题考查不等式的性质及运用，考查反例法判断命题的真假，考查运算能力，属于基础题和易错题．10．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且满足|PF1|=|，|OP|=|OF2|（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（）A．3 B．C．5 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用双曲线的定义，结合条件可得|PF1|=8a，|PF2|=6a，再由|OP|=|OF2|，得到∠F1PF2=90°，由勾股定理及离心率公式，计算即可得到．解答：解：由于点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=|PF2|，解得|PF1|=8a，|PF2|=6a，由于△PF1F2中，|OP|=|OF2|=|OF1|，则∠F1PF2=90°，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即有64a2+36a2=4c2，即有c=5a，即e==5．故选C．点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查双曲线的离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，考查运算能力，属于基础题．二.填空题11．已知tanα=，则tan2α= ．考点：二倍角的正切．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用二倍角的正切公式，求得tan2α的值．解答：解：∵tanα=，∴tan2α===，故答案为：点评：本题主要考查二倍角的正切公式的应用，属于基础题．12．△ABC中，AC=，BC=，∠B=60°，则∠A= ．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由已知及正弦定理可得sinA=，又AC=＞BC=，由大边对大角即可求∠A．解答：解：∵由正弦定理可得：sinA===，又∵AC=＞BC=，∴∠B=60°＞∠A，∴∠A=．故答案为：．点评：本题主要考查了正弦定理、大边对大角等知识的应用，属于基础题．13．若数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则数列{a n}的通项公式a n= 2n ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件利用公式，能求出a n．解答：解：∵数列{a n}的前n项和S n=n2+n，∴a1=S1=1+1=2，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n，当n=1时，上式成立，∴a n=2n．故答案为：2n．点评：本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．14．已知抛物线C：y2=4x的焦点F，点P为抛物线C上任意一点，若点A（3，1），则|PF|+|PA|的最小值为 4 ．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得．解答：解：抛物线C：y2=4x的准线为x=﹣1．设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|，要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小．当D，P，A三点共线时，|PA|+|PD|最小，为3﹣（﹣1）=4．故答案为：4．点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键．15．已知正数a，b满足2a+b=ab，则a+2b的最小值为9 ．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵正数a，b满足2a+b=ab，∴=1．则a+2b=（a+2b）=5+=9，当且仅当a=b=3时取等号，因此a+2b的最小值为9．点评：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．三.解答题16．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinB=bcosA．（1）求角A的大小；（2）若b=1，△ABC的面积为，求a的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解A的大小即可．（Ⅱ）由三角形面积公式先求c的值，即可直接利用余弦定理求解．解答：解：（Ⅰ）asinB=bcosA，由正弦定理可得sinAsinB=sinBcosA，∵B是三角形内角，∴sinB≠0，∴可解得：tanA=，A是三角形内角，∴A=．（Ⅱ）∵b=1，S△ABC===，∴可解得：c=4，∴由余弦定理可知：a2=b2+c2﹣2bccosA…（9分）=1+16﹣2×1×4×=13…（11分）∴a=…（12分）点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力，属于中档题．17．已知p：∀x∈R，x2+mx﹣m+3＞0；q：∃x0∈R，x02+2x0﹣m﹣1=0，若p∧q为真命题，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：利用一元二次不等式、一元二次方程的解集与判别式的关系化简命题p，q，由p∧q 为真命题，则p与q都为真命题，即可得出．解答：解：p：∀x∈R，x2+mx﹣m+3＞0，则△=m2﹣4（3﹣m）＜0，解得﹣6＜m＜2；q：∃x0∈R，x02+2x0﹣m﹣1=0，则△1=4﹣4（﹣m﹣1）≥0，解得m≥﹣2．若p∧q为真命题，则p与q都为真命题，∴，解得﹣2≤m＜2．∴实数m的取值范围是﹣2≤m＜2．点评：本题考查了一元二次不等式、一元二次方程的解集与判别式的关系、复合命题的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=4，S4=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n•2n+1，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（2）b n=a n•2n+1=•2n+1．利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（1）设差数列{a n}的公差为d，∵a1=4，S4=30．∴=30，解得d=．∴a n=a1+（n﹣1）d=4+=．∴a n=．（2）b n=a n•2n+1=•2n+1．∴数列{b n}的前n项和T n=，+…+（7n﹣2）×2n+（7n+5）×2n+1]∴﹣T n=+…+7×2n﹣（7n+5）×2n+1]==，∴T n=．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知函数f（x）=x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若f（）=，，求cosα的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）首先利用三角函数的恒等变换把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的正周期．（2）利用（1）的函数关系式，对角进行恒等变形，进一步利用公式的展开式求出结果．解答：解：（1）f（x）=x．==所以：（2）由（1）得：f（x）=所以：则：因为：，所以：则：cosα==cos（）cos+sin（）sin=点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用正弦型函数的周期公式求函数的周期，角的恒等变化，求函数的值．属于基础题型．20．如图，某学校准备修建一个面积为2400平方米的矩形活动场地（图中ABCD）的围栏，按照修建要求，中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFCD为正方形，设AB=x米，已知围墙（包括EF）的修建费用均为每米500元，设围墙（包括EF）的修建总费用为y元．（1）求出y关于x的函数解析式及x的取值范围；（2）当x为何值时，围墙（包括EF）的修建总费用y最小？并求出y的最小值．考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用；不等式的实际应用．专题：应用题；不等式的解法及应用．分析：（1）根据面积确定AD的长，利用围墙（包括EF）的修建费用均为500元每平方米，即可求得函数的解析式；（2）根据函数的特点，满足一正二定的条件，利用基本不等式，即可确定函数的最值．解答：解：（1）设AD=t米，则由题意得xt=2400，且t＞x，故t=＞x，可得0，…（4分）则y=500（3x+2t）=500（3x+2×），所以y关于x的函数解析式为y=1500（x+）（0）．[来源:]（2）y=1500（x+）≥1500×2=120000，当且仅当x=，即x=40时等号成立．故当x为40米时，y最小．y的最小值为120000元．点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，确定函数模型是关键．21．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆M：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且|F1F2|=2，离心率e=．（1）求椭圆M的标准方程；（2）过椭圆右焦点F2作直线l交椭圆M于A，B两点．①当直线l的斜率为1时，求线段AB的长；②若椭圆M上存在点P，使得以OA，OB为邻边的四边形OAPB为平行四边形（O为坐标原点），求直线l的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）①设直线l：y=x﹣，代入椭圆方程，求出方程的根，即可求线段AB的长；②假设椭圆上存在点P（m，n），使得以OA、OB为邻边的四边形OAPB为平行四边形．设直线方程为y=k（x﹣），代入椭圆方程，运用韦达定理，结合=+，则m=x1+x2，n=y1+y2，求得P的坐标，代入椭圆方程，即可得到k，即可判断P的存在和直线的方程．解答：解：（1）由题意，c=，=，∴a=2，b=1，∴椭圆M的标准方程为；（2）①可设直线方程为y=x﹣代入椭圆方程可得5x2﹣8x+8=0∴x=∴弦AB的长为=；②假设椭圆上存在点P（m，n），使得以OA、OB为邻边的四边形OAPB为平行四边形．设直线方程为y=k（x﹣），代入椭圆方程，可得（1+4k2）x2﹣8k2x+12k2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由=+，则m=x1+x2，n=y1+y2，x1+x2=，x1x2=，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=k（﹣2）=，[来源:]即有P（，），代入椭圆方程可得=1，解得k2=，解得k=±，故存在点P（，﹣），或（，﹣），则有直线l：y=x﹣或y=﹣x+．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．。