2021年高三数学上学期期中练习试题 理(含解析)新人教A版

2021年高三数学上学期期中练习试题理（含解析）新人教A版
【试卷结构与特点】
本次次海淀区的期中考试范围与往年基本一致，即：集合、函数、三角函数、平面向量、解三角形和数列。

1.本次考试的试题结构和高考的试题结构一致，即选择题8个，每题5分，填空题6个，每题5分，解答题6个，其中4题13分，另外两题14分（高考中14分的题目为立体几何和解析几何，本次期中并未涉及这两个知识内容）。

2.试卷总体难度与去年类似，但是难易程度的分布与去年期中考试不同，更类似于xx年的高考真题的难度分布，即常规基本问题的难度下降，产生了很多“送分题”；但是中档问题考核方向不变，但是考核方法有所改变，增强了知识方法之间的综合和深入理解知识后的灵活视同；对于难题而言，从命题和设问的角度可以看出，依旧本着考察数学思想、思维方法的方向，同时鼓励归纳猜想的特征依旧在其中，想完成问题，需要对概念和方法有明确的认识，而不是简单记忆。

值得注意的是，第8题和第14题的题目难度有所下降，同时，第20题也与往常不同，并不是以组合数学为核心的问题，而变成了函数和不等式的综合考核，但思维方式类似。

3.由于具备以上特征，本次考试相比之前的考试具有了更好的区分度，靠着对于题目“熟悉”才能入手的考生无法在此次考核中获得较高的分数，更加强调了知识和概念的理解，以及方法背后隐含的数学思想。

通过以上分析，高三的数学复习，题海战术与高考的要求是相违背的，是一种低效的复习方式。

应在对基础知识和概念的理解上多下工夫，思考和总结与做题并重，特别是要注重对重要数学思想和思维方法的训练和体会。

【试卷分析】
一、选择题部分
1.设集合，，则（）
A. B. C. D.
【分析】本题考查集合的表示与运算，难度不大，掌握表示方法、了解运算概念即可解决。

集合的核心考察主要就集中在集合的表示和运算上，常与基本的解不等式结合考察；同时还要强调，集合作为基本的数学语言，考生应该注意掌握，可以读懂用集合语言表述的答案，同时也可以灵活使用集合语言表述数学问题。

【解】C.
，，通过数轴表示可知，两个集合的公共部分为，即，故选C.
2.已知向量，，若，则（）
A. B. C. D.
【分析】本题考察平面向量的坐标表示及坐标表示下的点乘运算（，，），考核难度较低，属于基本的运算方法的考核。

对于这部分的考核，考生需要注意，向量的坐标表示和基本运算属于常规的运算工具，考生应该把重点放在这种运算的应用上，结合应用之后的向量问题的难度较大，而且重点的难度不在于向量，多在基本的代数运算，可以参考xx年重庆高考第10题。

【解】D.
根据平面向量坐标下的运算法则，可知，求解方程可以得到，故选D.
3.若等比数列满足，且公比，则（）
A. B. C. D.
【分析】本题考察等比数列的基本性质，难度不大，但入手角度较多。

对于做题经验较为丰富的同学，可以选择猜想实验，即可以轻松发现本题的数列通项为，可以直接求得答案；或者使用等比数列的性质去解决，这是一种经典的“对应项”问题，即与对应，与对应，则加和可以公比推导；亦或者使用等差等比数列中最基本的“基本量法”建立关于基本量和的方程，求解基本量取处理问题。

【解】C.
方法一：根据观察，数列可以为，即，那么，故选C.
方法二：对于，又，则，故选C.
方法三：对于，解方程可得，，那么通项，可知，，则，故选C.
4.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）
A.向左平移个单位
B.向左平移个单位
C.向右平移个单位
D.向右平移个单位
【分析】本题考察三角函数的图象变化的基本方法，难度中等，但是包含很多细节，容易导致考生失误，常见的关注点有如下三点：（1）在自变量前存在系数时，要注意平移的大小，平移是针对于的变化，而不是函数内部整体；（2）关注两个图象关系，哪个是原始的函数图象，哪个是变化后的函数图像，避免审题失误；（3）关注变化前后图象的函数名，若问题是从变为（或反之），要注意应先利用诱导公式变名后，再利用图象变化原则进行变化。

【解】B.
首先分析哪个是原始函数，本题中，原始函数为，要将其变化为，明显是利用替换，再根据“左加右减”的原则可知，应该向左平移个单位，故选B.
5.设，，，则（）
A. B. C. D.
【分析】本题是一种十分常见的考核方法，即数大小的比较，这类型问题处理方法主要有两种：（1）利用函数单调性解决数的大小比较；（2）利用对数指数函数的函数值的大小，与“分界点”进行比较，得到结论。

本题则需要使用方法（2），使用十分常规的“分界点”0和1,。

这类型问题在近些年趋向于复杂，不单单只考核对数和指数，又是还会结合一些特殊的三角函数，例如，等；另外，也会出现一些不是0和1的“分界点”，如判断和的大小时，选择分界点才可以做出（）。

【解】B.
对于，则；对于，则；对于，则，那么可得，那么，故选B.
6.设，则“且”是“”的（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【分析】本题是结合不等式的基本性质考核充分必要条件，难度适中，充分必要条件是高考的必考题型之一，这类型的考核以充分必要条件为框架，结合不同的知识点进行考核，多是在考核这个结合着的知识点的细节，北京近两年结合的都是数列的知识点，所以，充分必要条件问题的复习重点不应该过多点的放在充分必要条件上，而是要放在其余的知识细节上。

【解】A.
对于“且”的充分性考核，可以有两种方法：第一种方法可以采用函数，由于，可知同号，对于函数而言，在和这两个区间单调递减，由于，则，即。

第二种方法单纯使用不等式性质，由于，左右分别先同时除以，再同时除以，由于，则同号，若均大于，则两次除法不变号，可得；若同时大于，则两次除法变了两次号，最终并没有变化，同样，那么可知条件“且”具有充分性。

对于其必要性的考核，可以找出明显的反例，即但，是明显的反例，
故不具备必要性。

故选A.
7.已知函数，若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【分析】本题属于常规的函数与方程的设问方法，利用函数图象的交点个数来判断方程根的个数，此处有三个不相等的实根本质是的图象和有三个交点。

图象交点的研究需要对于常见的图象绘制了如指掌，同时，参数变化对于图象的影响也需要掌握良好。

就本题而言，综合程度较高，但是仍然属于常见的综合问题，把切线、直线方程、分段函数、方程与函数的内容通过图象的载体结合在一起，本题需要注意切线起到的特殊作用，很多函数问题的“临界点”都是切线，本题图象如下图所示：
分段函数和过定点的直线在如上图位置时恰好相切，此时有两个交点，若直线斜率变大，则只存在一个交点，若直线斜率减小，则会出现三个交点，如下图所示：
但是，斜率不能无限下降，当斜率等于时，就只存在一个交点，当斜率继续减小时，交点个数不会超过1个。

可知满足条件的直线应该在切线和的范围内。

对于此类型问题，核心的处理方式类似，但在高三的复习中，务必关注切线的“临界”作用。

【解】D.
根据上述分析，首先计算切线斜率，假设直线与的切点为，对函数求导可得，那么可以得到如下三个方程：
()
00
00
1
2
y a x
y x
a
x
⎧
⎪=+
⎪
⎪
=
⎨
⎪
⎪=
⎪⎩
，讲后两个方程代入到第一个方程中，得到，即，解得，
从而斜率，根据分析可知，若要有三个交点，则斜率，故选D.
8.设等差数列的前项和为，在同一个坐标系中，及的部分图象如图所示，则（）
A.当时，取得最大值
B.当时，取得最大值
C.当时，取得最小值
D.当时，取得最小值
【分析】本题是综合考察等差数列及其前项和性质的问题，其中对逻辑推理的要求很高。

首先，考生需要对于图象中三个点具体表示的含义有做出具体详尽的分析，三个点的含义是处理这个问题的前提和基础，要分析清楚含义，考生要有有条理清晰的分析能力及较好的数列基础。

当分析出三个点的含义之后，对于前项和的最值问题也存在两种做法，第一种可以直接利用题目中点的坐标完成数列通项公式的求解，第二种方法就是直接利用等差数列的性质进行处理。

本题的难度较高，对学生的数学思维能力提出了挑战，十分符合北京高考的命题思路和方向，熟悉的知识点，但是给出了不同于以往的题目特征。

【解】A.
首先分析图象中三个点各自的含义，若横坐标为的点表示，那么的情况分为两种：（1），在这种情况下，根据图象可知，必然小于，但我们可以根据图象发现，，，等差数列为单调递减的，说明数列从第一项至第七项应该都是大于的，那么前7项和，与图象给出的信息矛盾，故不成立；（2），在这种情况下，根据图象可以推理出前7项和，但是，，说明数列单调递增，且从第一项至第八项均小于，那么前7项和必然大于，又产生矛盾。

说明横坐标为处的点表示的是数列的前8项和，此时需要分析横坐标为处的两个点各自的含义，若，则，说明数列单调递减，那么可知数列在第一项至第8项均为正数，那么，与图象信息矛盾，故，，，可以解得，可知等差数列公差为，接下来可以有两种基本思路去处理。

方法一：直接求解数列通项，根据公差，解得，那么可以解得前项和的表达式为，可知其对称轴，距它最近的整数为，故其在时取最大值，故选A.
方法二：从前项和的最值性质可以看出，数列本身正负发生改变的地方是产生最值的地方，根据分析可知，，那么，，可见，数列从第一项至第四项均是正数，此时前项和越加越大，最大值在第四项取到，故选A.
二、填空题部分
9.设复数，则 _______________.
【分析】本题考察复数运算中的模的运算，虽然简单，但是方法的选择不同也会带来不同的效果。

复数的运算在高考的考核中难度较低，通常是填选的前几个基础问题，重点在于掌握基本的运算法则和复平面的理解。

本题中模的运算也可以有两种手段，第一就是直接对复数进行分母实数化处理，从而得到的形式，利用处理，第二种处理方法可以利用复数
除法的性质，即，以此直接求解。

复数难度不大，掌握基本的方法可以直接求解，若要进行最有效最快速的求解，还需对这部分的常见性质有所掌握。

【解】
方法一：首先进行分母实数化处理，即
()
()()
2
2
1111 1111222
i i
i i i i
z i
i i i i
++-
=====-+ --+-
，
则，故填.
方法二：根据复数运算的除法性质，可知，其中，，故，故填.
10.已知函数的图象关于轴对称，则实数的值是_______________.
【分析】本题考察函数的基本性质，本题处理的方法如果不同，那么本题侧重的知识点就有所不同，但本质上都是围绕着函数的对称性进行问题的求解。

第一种入手的方法就是从条件“关于轴对称”入手，得知函数为偶函数，从而利用偶函数的代数性质，进行求解；另外一种处理手段是通过解析式对原始的图象带来的图象变化入手可以解得问题，或者直接使用图象变化的二级结论，即的图象关于对称，利用二级结论解决小题是最快的求解手段，而且，近几年北京高考对于函数图象变化的考核明显增多，望考生在后续复习时加大关注力度。

【解】
方法一：由于函数图像关于轴对称，那么函数为偶函数，那么，根据指数函数的单调性可知，，只有当时，等式恒成立，故填.
方法二：根据函数图像的变化规律可知，函数，由函数得到，首先将函数关于轴进行翻折，可以得到函数，此时函数关于轴对称，再将图象向左平移个单位得到，此时函数关于对称，根据题目条件可知对称轴为轴，故，故填.【注：此法结论可以当作一个二级结论记下，在考试小题求解中直接使用】
11.________________.
【分析】本题考察基本的定积分运算，难度不大，但同样可以从两个角度入手，其一就是常规的定积分运算，其二就是利用定积分的几何含义进行分析
【解】
方法一：
()
()
()
2
22
sin cos cos cos0
222
x
x
x
x x dx x
π
π
π
π
π
π
ππ
=
-
=
⎛⎫
-
⎛⎫⎛⎫
+=-=----=
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎰
，
故填.
方法二：由于定积分性质可知，对于奇函数，若积分对应的区间关于原点对称，那么积分的结果一定为（通过图像也可以判别），故填.
12.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过_____后池水中药品的浓度达到最大。

【分析】本题直观从题面看的话是一个函数应用问题，但本质上只是一个均值不等式的应用问题，经典的一次比二次的代数式最值求解，这种最值求解也经常在解析几何中的最值问题中出现。

当然，本题也可以理解为对勾函数的问题，但对勾函数的最值求解也可以用
均值不等式求解。

本题如果选择求导找最值同样可以，但是难度较大，不建议。

【解】
方法一：利用导数研究函数单调性，其关系式，求导可得，当时，，函数递增，当，，函数递减，可知，当时，函数取最大值，故填.
方法二：对于解析式，当时取得最值，此时，故填.
13.如图所示，在中，为边上的一点，且，若（），则_____________.
【分析】本题考察向量的线性表示，属于常规问题，难度适中，可以通过两个思路去解决问题，第一，利用几何关系处理问题，通过建立平行线寻找几个向量的关系；第二，则可以使用向量之间的相互表达的手段去处理，或者直接使用共线定理（即：若共线，且，则）。

【解】
方法一：由于，则，其中，，那么可转化为，可以得到，即，则，那么，故填.
方法二：直接利用共线定理，，则，则，则，那么，故填.
方法三：利用几何方法，如右图所示构造辅助线，做的三等分点，根据平行线等分定理则，在新构造的中，，又，，那么，可以得到，则，那么，故填.
14.已知函数（是常数，，）的最小正周期为.设集合直线为曲线在点处的切线，.若集合中有且只有两条直线相互垂直，则_______；________.
【分析】本题是一个综合性较强的考题，与往年14题的命题思路有些不同，重点放在了知识的综合和深入理解上。

题目利用三角函数为基本背景，以切线关系为桥梁，代数的数值关系为核心构成的，同时利用集合的数学语言描述问题，内容十分丰富。

首先需要理解集合是一个切线集合，同时这个条件要特别注意，这说明集合是一个完整周期内的全部切线，所以对于只影响左右位置的参数对于本题无关紧要。

那么这道题目本质就是在说，三角函数一个周期内只存在一组相互垂直的直线，要去求出参数的值，那么我们就要关注所有的切线斜率及其之间的关系，这个斜率构成的集合中，只有两个斜率乘积为即可。

【解】
由于函数的周期为，则，可以解得，那么函数为，接下来求解函数在一个周期内的所有切线的斜率，，由于可以取遍一个周期内的所有的点，故的范围为，则，那么集合中所有的直线斜率取值范围为，那么要有在这个集合中只存在两个数互为负倒数。

对于区间而言，其负倒数的对应区间为，若区间中有两个值互为负倒数，则其与对应的负倒数区间的交集中有且只有两个元素，那么（或），解得，又，故.
三、解答题部分
15.已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的单调递增区间.
【解】（Ⅰ）. （3分）
（Ⅱ）
（5分）
1313πsin (sin cos )sin cos sin()223x x x x x x =-+=-=-. （9分） 函数的单调递增区间为，
由， （11分）
得.
所以 的单调递增区间为. （13分）
16.已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
【解】（Ⅰ）因为 成等差数列，
所以 . （2分）
设数列的公比为，由可得
， （4分）
即.
解得：或（舍）. （5分）
所以 . （7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：.
所以 （8分）
（9分）
11(1)(1)1(1)221122212n n n n n n -++=-=---. （13分）
17.如图所示，在四边形中，，且，，.
（Ⅰ）求的面积；
（Ⅱ）若，求的长.
【解】（Ⅰ）因为 ，，
所以 . （3分）
因为 ，
所以 . （5分）
因为 ，
所以 △的面积1122sin 13222S AD CD D =
⋅⋅=⨯⨯⨯=（7分）
（Ⅱ）在△中，2222cos 12AC AD DC AD DC D =+-⋅⋅=.
所以 . （9分）
因为，，（11分）
所以
sin(2)sin22sin cos
3
AB AB AB
B B B B
====
π-
.
所以 . （13分）
18.已知函数.
（Ⅰ）若，求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）若，求函数在区间上的最大值；
（Ⅲ）若在区间上恒成立，求的最大值.
【解】（Ⅰ）当时，.
，. （2分）
令.
因为，
所以 . （3分）
所以函数的单调递减区间是. （4分）（Ⅱ）,.
令，由，解得，（舍去）. （5分）
当，即时，在区间上，函数是减函数.
所以函数在区间上的最大值为；（7分）
当，即时，在上变化时，的变化情况如下表
所以函数在区间上的最大值为.（10分）
综上所述：当时，函数在区间上的最大值为；
当时，函数在区间上的最大值为.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当时，在区间上恒成立；
（11分）
当时，由于在区间上是增函数，
所以 ,即在区间上存在使得.
（13分）综上所述，的最大值为. （14分）
19.已知数列的前项和（）.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求证：（）；
（Ⅲ）判断数列是否为等差数列，并说明理由.
【解】（Ⅰ）解：由题意知：，即.
解得：. （2分） （Ⅱ）证明：因为 ，
所以 （）. （4分）
因为 （）. （6分）
所以 ，即.
（7分） （Ⅲ）数列是等差数列.理由如下： （8分）
又（），由（Ⅱ）可得：
（）. （9分）
所以 12
12(1)(2)2n n n n n na n a n a a a -----+--=，
即. （11分）
因为 ，
所以 ，即（）.
所以 数列是以1为首项，为公差的等差数列. （13分）
20.设函数，为曲线：在点处的切线.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）当时，证明：除切点之外，曲线在直线的下方；
（Ⅲ）设，且满足，求的最大值.
【解】（Ⅰ）.
所以 .
所以 L 的方程为，即． （3分）
（Ⅱ）要证除切点之外，曲线C 在直线L 的下方，只需证明，恒成立.
因为 ，
所以 只需证明，恒成立即可．
（5分）
设
则.
令，解得，. （6分）
所以 ，恒成立. （8分）
（Ⅲ）（ⅰ）当且时，
由（Ⅱ）可知：，
，.
三式相加，得
12312311()()()()248f x f x f x x x x ++≤-+++.
因为 ，
精品文档
实用文档 所以 ，且当时取等号． （11分）
（ⅱ）当中至少有一个大于等于时， 不妨设，则2221118511851516235(5()2055555x x x ++=++-++=)≥，
因为 ，，
所以 ．
综上所述，当时取到最大值.
（14分）
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