1.5 有理数的乘法 (2)
有理数的乘法(教学设计)
有理数的乘法（教学设计）数学教学内容：湘教版数学七年级上册第1章有理数1.5.1有理数的乘法教材分析：1.教材的地位和作用：本节课是基于小学非负有理数的乘法基础上，以及前面学习“有理数的加减混合运算”之后的一个学习内容。
在本章教材的编排中，“有理数的乘法”，它既是乘法的深入学习，又是学习有理数除法和乘方运算的基础，在整个初中数学学习中起着承前启后的作用。
2.学情分析：在知识储备方面，前面通过对有理数加减运算的学习以及小学乘法运算的学习，七年级学生已经具备一定的运算能力和符号意识；从思维品质来看，形象思维能力较强，抽象思维能力相对薄弱；从个性品质来看，活泼张扬、富于挑战、希望得到老师的表扬，鉴于这些因素，教学过程可以借助多媒体课件，利用几何直观化抽象为形象，创设多样化的活动情境，搭建有利于激发学生学习兴趣的活动平台，营造独立探究、小组合作、师生共商的课堂氛围，生成生互学、师生互动的动态教学结构。
教学目标：知识与技能：经历探索有理数乘法法则过程，掌握有理数的乘法法则，能用法则进行有理数的乘法运算过程与方法：通过教学，渗透分类讨论、数形结合等数学思想方法，逐步培养学生观察、比较、概括等思维能力情感态度与价值观：在探索过程中培养学生严谨的数学思维习惯，激发学生学习数学的兴趣，传授知识的同时，注意培养学生勇于探索新知的精神教学重点：能运用有理数乘法法则进行简单的有理数乘法运算教学难点：有理数乘法积的符号的确定教学准备：课件教学过程：一、我了解由前面的学习我们知道，正数的加减法可以扩充到有理数的加减法，那么乘法是否也可以扩充呢？乘法是加法的特殊运算，例如5＋5＋5＝5×3，那么请思考：（－5）＋（－5）＋（－5）与（－5）×3是否有相同的结果呢？本节课我们就来探究这个问题。
【设计意图】：从已学知识过渡到新课内容，学生容易接受，同时也能激发学生的求知欲。
二、我探究探究1：利用数轴探究有理数乘法法则在一条由西向东的笔直的马路上，取一点O，以向东的路程为正，如果小丽从点O出发，以5km/h的速度向西行走3h后,小丽从O点向哪个方向行走了多少千米?由数轴我们很容易看出小丽向西行走了（5×3）km。
有理数的乘除(第2课时 多个有理数的乘法)(共30张PPT) 沪科版(2024)七年级数学上册
它们的积是(－3)×(－8)×(＋5)＝120.
分层练习-拓展
14. 如图，请你参考老师的讲解，用运算律简便计算：
(1)999×(－15)；
【解】原式＝(1 000－1)×(－15)
＝－15 000＋15
＝－14 985.
(2)999×118 ＋999×
正
（2）（-4）×6×（-7）×（-3） 负
（3）(-1)×(-1)×(-1)
负
（4）(-2)×(-2)×(-2)×(-2)
正
新课本练习
2. 计算：
81
1 1.25 8 ;
20
5 9 31 2
2 .
1
用分配律
＝－ 12 ×（-12）
更简单
＝1
解法2:
1
1
1
原式＝ × −12 + × −12 − × −12 乘法分配律
4
6
2
＝（- 3） ＋（ -2）－（- 6）
＝1
练一练
1. 在计算(－0.125)×15×(－8)×
8)]× Hale Waihona Puke ×−
−
＝[(－0.125)×(－
的过程中，运用的运算律是 乘法交换
有一个因数为0，积为0.
−
×
−
× 的结果为(
D
)
【解析】
先判断符号，再将带分数化为假分数进行乘法计算.
易错点
几个有理数相乘时忽视符号法则而致错
10. 计算：(－12.5)×
《有理数的乘法》两课时教案
教学内容：§1.5 有理数的乘法（1）教学目标：1、知识与技能使学生理解有理数乘法的意义，掌握有理数的乘法法则，能熟练地进行有理数的乘法运算。
2、过程与方法经历探索有理数乘法法则的过程，理解有理数乘法法则，发展观察、探究、合情推理等能力，会进行有理数和乘法运算。
重点、难点: 1、重点：有理数乘法法则。
2、难点：有理数乘法意义的理解，确定有理数乘法积的符号。
教学过程：一、创设情景，导入新课1、由前面的学习我们知道，正数的加减法可以扩充到有理数的加减法，那么乘法是可也可以扩充呢？乘法是加法的特殊运算，例如5＋5＋5＝5×3，那么请思考：（－5）＋（－5）＋（－5）与（－5）×3是否有相同的结果呢？本节课我们就来探究这个问题。
3、在一条由西向东的笔直的马路上，取一点O，以向东的路程为正，则向西的路程为负，如果小玫从点O出发，以每小时5千米的向西行走，那么经过3小时，她走了多远？二、合作交流，解读探究1、小学学过的乘法的意义是什么？乘法的分配律：a×(b＋c)=a×b＋a×c如果两个数的和为0，那么这两个数 互为相反数 。
2、由前面的问题3，根据小学学过的乘法意义，小玫向西一共走了 （5×3）千米，即（－5）×3＝－（5×3）3、学生活动：计算3×（－5）＋3×5，注意运用简便运算通过计算表明3×（－5）与3×5互为相反数，从而有3×（－5）＝－（3×5），由此看出，3×（－5）得负数，并且把绝对值3与5相乘。
类似的，（－5）×（－3）＋（－5）×3＝（－5）×［（－3）＋3］＝0 由此看出（－5）×（－3）得正数，并且把绝对值5与3相乘。
4、提出：从以上的运算中，你能总结出有理数的乘法法则吗？鼓励学生自己归纳，并与同伴交流。
有理数乘法(二)教学案
×12.
四、课堂练习
教材32页练习题
教材33页练习题
五、课堂小结
多个有理数相乘：几个不为0的数相乘,积的符号由________决定.当负因数有________个时,积为________.当负因数有________个时,积为________.几个数相乘,其中有一个因数为0,积就为________.
绝对值的积有什么关系?
要点归纳:
1、几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积
是负数.积的绝对值是各个因数绝对值的积.
2、几个数相乘,如果其中有因数为0,那么积等于0.
探究点2:有理数乘法的运算律
第一组:
(1)25=3;3×(4×0.25)=3;
教学重点
有理数的乘法运算律及其应用.
教学难点
符号问题的处理.
教法指导
讲授与小组交流相结合.
教学设想
课堂引入，探索新知，典例精析，课堂练习，课堂小结，作业布置，教学反思
教学过程
一、创设情境
你会计算下列各题吗?试试看!
(1)5×(-6). (2)(-6)×5. (3)[3×(-4)]×(-5). (4)3×[(-4)×(-5)].
乘法的运算律：(1)乘法交换律:______________.
(2)乘法结合律:______________.
(3)乘法对加法的分配律:________________.
六、作业布置
选编练习
七、教学反思
内容、方法补充分层点拨、要点归纳、错误纠正
课题：
有理数的乘法（第二课时）
使用时间
2019年9月13日
总课时
2课时
课型
新授课
1.5.1 有理数的乘法——有理数的乘法法则
＝________．
（来自《典中点》）
知2－练
3 (中考·毕节) － 1 的倒数的相反数等于( )
2
A．－2 B. 1
C．－ 1 D．2
2
2
4 下列说法错误的是( )
A．任何有理数都有倒数
B．互为倒数的两个数的积为1
C．互为倒数的两数符号相同
D．1和1互为倒数
（来自《典中点》）
1.有理数乘法法则： (1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． (2)任何数与0相乘仍得0. 2.倒数的性质： (1)如果a，b互为倒数，那么ab＝1； (2)0没有倒数(因为0与任何数相乘都不为1)； (3)正数的倒数是正数，负数的倒数是负数； (4)倒数等于它本身的数是±1； (5)倒数是成对出现的．
例1 计算：
1－5 －6；
2
－
3 2
1 6
；
3
－
3 5
－
5 3
；
4 8 －1.25 .
解： 1－5－6 =＋56 =30.
知1－讲
2
－
3 2
1 6
=－
3 2
1 6
=－
1 4
.
3
－
3 5
－
5 3
=＋
3 5
5 3
=1.
48－1.25 =－81.25 =－10.
（来自教材）
知1－讲
例2 下列说法正确的是( D ) A．同号两数相乘，取原来的符号 B．两个数相乘，积大于任何一个乘数 C．一个数与0相乘仍得这个数 D．一个数与－1相乘，积为该数的相反数
提价前比,销售额增加了多少?
问 题（二）
(1)登山队攀登一座高峰,每登高1km,气温下降6℃,登 高3km后,气温下降多少?
1.5 有理数的乘除(二)-有理数的除法-
1.5有理数的乘除（二）-有理数的除法有理数除法法则（一）题型一：有理数除法法则（一）【例题1】计算：−2÷12＝______．【答案】-4【分析】根据有理数除法的法则计算，即可得到答案．【详解】−2÷12＝224-⨯=-故答案为：-4．．【解题方法】有理数除法的一般步骤:(1)确定商的符号;(2)把除数化为它的倒数;(3)利用乘法计算结果.变式训练【变式1-1】（2019浙江）列式计算：一个数与3的积是﹣0.25，求这个数．【答案】﹣112．【分析】根据题意列出代数式解答即可．1【详解】﹣0.25÷3=﹣112，【点睛】此题考查有理数的除法，关键是根据题意列出代数式解答．【变式1-2】（2021·全国七年级）11224æöæö-÷-=ç÷ç÷èøèø______．【答案】29【分析】根据有理数除法法则计算即可．【详解】解：11224æöæö-÷-ç÷ç÷èøèø4912æöæö-⨯-ç÷ç÷èøèø=29=．故答案为29．【点睛】本题考查有理数的除法法则，化除为乘是关键．【变式1-3】（安徽省合肥市第四十八中学（本部）2020-2021学年七年级上学期第一次月考数学试题）在0.5，2，—3，—4，—5这五个数中任取两个数相除，得到的商最小是___．【答案】－10【分析】首先根据有理数大小比较的方法，把所给的五个数从小到大排列；然后根据有理数除法的运算方法，要使任取两个相除，所得的商最小，用绝对值最大的负数除以最小的正数即可．【详解】∵−5＜−4＜－3＜0.5＜2，∴所给的五个数中，绝对值最大的负数是5，最小的正数是0.5，∴任取两个相除，其中商最小的是：－5÷0.5＝−10．故答案为：−10．【点睛】（1）此题主要考查了有理数除法的运算方法，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．（2）此题还考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．有理数的除法法则（二）题型二：有理数的除法法则（二）【例题2】（2021·天津九年级一模）计算27(3)÷-的结果等于（ ）A ．6-B ．9-C ．6D ．9【答案】B【分析】两个有理数相除，异号得负，据此解题．【详解】解：27(3)9÷-=-，故选：B ．【点睛】本题考查有理数的除法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．变式训练【变式2-1】（2020·雷州市职业高级中学七年级期中）化简：284-=_________．【答案】-7【分析】由题意将分数与除法相结合进行有理数的除法运算，即可求得答案．【详解】解：28(28)474-=-÷=-．故答案为：-7．【点睛】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法法则以及将分数与除法相结合．【变式2-2】（2020·山东省临沭县石门镇中心中学）若两个有理数的商是正数，和为负数，则这两个数( )A ．一正一负B ．都是正数C ．都是负数D ．不能确定【答案】C【分析】从商为正数得出两个数同号，从和为负数得出两个数都为负数，若两个数都为正数，和只能为正数．【详解】解：两个有理数的商是正数，和为负数，则这两个数都是负数．2故选：C ．【点睛】本题属于基础题，考查了对有理数的除法及加法运算法则掌握的程度．【变式2-3】（2018·宜昌市第十六中学七年级期中）一道计算题不慎被墨水覆盖了一部分，则覆盖的数字为（ ）A ．3-B ．3C ．6-D ．6【答案】B【分析】用-9除以-3即可.【详解】-9÷（-3）=3故答案选：B.有理数除法的符合问题题型三：有理数除法的符合问题【例题3】（2019·贵州遵义市·遵义十一中七年级月考）若0a b>，0bc <，则ac _______0（填“>”、“<”或“=”）【答案】<【分析】根据乘除法法则判断即可【详解】解：∵0ab>，∴a 、b 同号；∵0bc<，∴b 、c 异号；∴a 、c 异号；∴ac 0<故答案为：<【点睛】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握乘除法法则是解题的关键3变式训练【变式3-1】（2018·全国七年级课时练习）如果410,0a b >>,那么ab_____0.【答案】>【详解】根据有理数的除法法则，则a ＞0，b ＞0，所以0ab>.故答案为＞.【点睛】除法运算的符号规则与乘法运算的符号规则相同，都是同号为正，异号为负，或者是把除法运算转化为乘法运算后，再用乘法运算的符号规律得到这两个数的运算结果的符号.【变式3-2】（2020·东莞市厚街海月学校七年级月考）若0ab >，则ab的值( )A ．是正数B ．是负数C ．是非正数D ．是非负数【答案】A【分析】由ab ＞0可得a 与b 同号，再根据有理数的乘除法法则判断即可．【详解】解：∵ab ＞0，∴a ＞0且b ＞0或a ＜0且b ＜0，∴ab ＞0，∴即ab的值是正数．故选：A ．【点睛】本题主要考查了有理数的乘除法，判断出a 与b 同号是解答本题的关键．【变式3-3】（2017·全国七年级课时练习）已知a a+||b b +cc=-1,试求||ab ab +bc bc +ca ca +abc abc 的值.【答案】0.【分析】已知a a +b b+c c=-1,说明a 、b 、c 三数中有两负一正.所以因为a a+b b+c c=-1，所以a ，b ，c 中有两个负数、一个正数.因此可以分情况讨论a 、b 、c 的取值，求出ab ab +bc bc +ca ca +abcabc的值均为0.①若a <0，b <0，c >0，则ab >0，bc <0，ca <0，abc >0，所以原式=1-1-1+1=0；②若a<0，b>0，c<0，则ab<0，bc<0，ca>0，abc>0，所以原式=（-1）-1+1+1=0.其他几种情况同理可推得ab，bc，ca，abc中有两个正数、两个负数.所以abab+bcbc+caca+abcabc=0.题型四：有理数除法的实际应用【例题4】（2021·上海九年级二模）某品牌汽车公司大力推进技术革新，新款汽车油耗从每百公里8升下降到每百公里6.8升，那么该汽车油耗的下降率为_____．【答案】15%【分析】先求出新款汽油车每百公里下降的油耗，然后再用下降的油耗除以原来的每百公里油耗即为所求．【详解】解：根据题意得，8﹣6.8＝1.2（升），1.2÷8＝15%，∴该汽车油耗下降率为15%．故答案为：15%．【点睛】本题主要考察了有理数的相关计算，弄清楚下降率是什么是解题关键．变式训练【变式4-1】（2019·全国七年级课时练习）王老师将甲、乙两种股票同时卖出，其中甲种股票卖价1 200元，盈利20%；乙种股票卖价也是1 200元，但亏损20%.问：王老师两种股票合计是盈利还是亏损？盈利或亏损多少？【答案】亏损了100元【解析】【分析】分别把甲乙两种股票的成本价看成单位“1”，甲种股票的（1+20%）对应的数量是1200元，乙种股票的（1-20%）对应的数量是1200元，都用除法求出成本价，进而求出赚或者赔的钱数．【详解】甲：1200÷（1+20%）=1200÷120%=1000（元）赚了：1200-1000=200（元）乙：1200÷（1-20%）=1200÷80%=1500（元）亏损了：1500-1200=300（元）；一共亏损了：300-200=100（元）；答：王老师此次交易的结果是亏损100元．【点睛】得到股票的成本是解决本题的突破点．用到的知识点为：有理数的除法．【变式4-2】（2020·广西桂林市·七年级期中）某煤矿井下点A的海拔为-174.8米，已知从点A向上到点B 的垂直距离为120米，每垂直升高10米，海拔就上升0.4米．（1）求点B的海拔；（2）若点C的海拔为-68.8米，每垂直升高10米用30秒，求从点A到点C所用的时间．【答案】（1）点B的海拔为-170米；（2）从点A到点C所用的时间为318秒．【分析】已知从点A向上到点B的垂直距离为120米，每垂直升高10米，海拔就上升0.4米，则120米中包含几个10米，B点的海拔就上升几个0.4米，再加上A点的海拔就是B点的海拔.由题可知C点在A点上方，先求出A、C两点的距离，每升高10米用30秒，则可求出从点A到点C所用的时间.【详解】（1）根据题意，得-174.8+120÷10×0.4=-174.8+4.8=-170（米）.则点B的海拔为-170米.（2）根据题意,得（-68.8+174.8）÷10×30=318（秒）.则从点A到点C所用的时间为318秒．【变式4-3】（2017·全国七年级课时练习）已知海拔每升高1 000m，气温下降6℃，某人乘热气球旅行，在地面时测得温度是8℃，当热气球升空后，测得高空温度是﹣1℃．求热气球的高度．【答案】1500m【详解】试题分析：利用温度差，计算热气球高度.试题解析：根据题意得：[8﹣（﹣1）]÷6⨯1000=910006⨯=1500（m）.则热气球的高度为1500m．有理数乘除法混合运算题型五：有理数乘除法混合运算【例题5】（2020·成都市建华中学七年级月考）计算：﹣100÷10110⨯=__________．5【答案】1-【分析】原式从左到右依次计算即可求解．【详解】﹣100÷101 10⨯=﹣101 10⨯1=-，故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．变式训练【变式5-1】（2020·长春市第十三中学校七年级期中）计算：34(54)(32)43-÷⨯÷-．【答案】3【分析】根据有理数的除法法则，除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数，先将除法统一成乘法，再根据有理数乘法法则解题，注意偶数个负数相乘，结果为正．【详解】34 (54)(32)43-÷⨯÷-441=(54)()3332-⨯⨯⨯-=3【点睛】本题考查有理数的乘除混合运算，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【变式5-2】（2020·合肥寿春中学七年级期中）计算：94(81)(8)49-÷⨯÷-．【答案】2【分析】把除法转化为乘法，运用乘法法则求积即可．【详解】解：94 (81)(8)49-÷⨯÷-44181998=⨯⨯⨯2=．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解决本题的关键．【变式5-3】（2019·吉林长春市·）我们学过了乘法分配律，但是在做除法运算时就不能使用分配律．对于下面这道计算题：112234267314æö-÷-+-ç÷èø，小明有了自己的想法，小明的做法是：先求原式的倒数：1223112231223(42)42424267314426731467314æöæö-+-÷-=-+-⨯-=-⨯+⨯-⨯+ç÷ç÷èøèø×42＝﹣7+12﹣28+9＝﹣14，所以原式＝﹣114请你仿照以上小明的做法计算：113711242812æöæö-÷--+ç÷ç÷èøèø【答案】17【分析】仿照小明的做法，计算即可求出所求．【详解】解：先求原式的倒数=137111281224æöæö--+÷-ç÷ç÷èøèø＝（1﹣112﹣38+712）×（﹣24）＝﹣24+36+9﹣14＝7，则原式＝17．题型六：整除与带余除法【例题6】（2021·浙江杭州市·九年级一模）a 是不为2的有理数，我们把22a-称为a 的“哈利数”．如：3的“哈利数”是223-＝﹣2，﹣2的“哈利数”是212(2)2=--，已知a 1＝3，a 2是a 1的“哈利数”，a 3是a 2的“哈利数”，a 4是a 3的“哈利数”，…，依此类推，则a 2019＝（ ）A ．3B ．﹣2C ．12D ．43【答案】C【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．【详解】∵a 1＝3，∴a 2＝223-＝﹣2，a 3＝212(2)2=--，a 4＝213224=-，a 5＝23243=-，∴该数列每4个数为1周期循环，∵2019÷4＝504…3，∴a 2019＝a 3＝12．故选：C ．【点睛】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．变式训练【变式6-1】（【全国区级联考】2017-2018学年湖北省咸宁市咸安区七年级（上）期末数学试卷）如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm ，现有一个微型机器人由点A 开始按从A→B→C→D→E→F→C→G→A…的顺序沿正方形的边循环移动．当微型机器人移动了2018cm 时，它停在_____点．【答案】C【分析】由于沿正方形的边循环移动一圈要走8cm ，而2018=8×252+2即微型机器人移动了2018cm 时，共走了252圈加2cm ，然后得到从A 走2cm 到C 点．【详解】∵2018=8×252+2,∴当微型机器人移动了2018cm 时，它停在C 点．故答案为C【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．【变式6-2】（2015·山东德州市·）214 分钟=____小时____分【答案】3，34【详解】试题分析：根据时间的换算进率1时＝60分钟，可以直接计算214÷60=3小时……34分，因此答案为3，34.考点：时间的换算【变式6-3】（2017·全国七年级课时练习）筐中放着2002只球，甲、乙两同学轮流取球，每次只能取1只、2只或3只球，不可多取，谁能最后一次恰好取完球，谁就获胜，甲想获胜，他应该怎样去玩这场游戏？【答案】、甲先拿两只，然后让乙拿，甲两次拿球时与乙所拿球之和为4，重复上面的过程，甲便可获胜.【详解】考点：推理与论证．分析：最多取3个，那么应设计4的倍数的球让对方取，那么应先取2个，剩下4的倍数个，对方无论取几个，自己都能取4个里面剩余的个数．解答：甲同学先取2个球，将2000（是4的倍数）个球留给乙同学取，不记乙同学取多少个球，设为x个，甲同学总跟着取（4-x）个，这样总保证将4的倍数个球留给乙同学取，如此下去，最后一次是将4个球留给取乙同学，乙同学取后，甲同学一次取完余下的球．点评：考查推理与论证；得到能获胜的球总数量是解决本题的突破点；得到每次取的球数与对方取的球数的关系是解决本题的关键．【真题1】（2020·山西中考真题）计算1(6)3æö-÷-ç÷èø的结果是（）A．18-B．2C．18D．2-【答案】C【分析】根据有理数的除法法则计算即可，除以应该数，等于乘以这个数的倒数．【详解】解：（-6）÷（-13）=（-6）×（-3）=18．故选：C．【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．【真题2】（2016·浙江杭州市·中考真题）计算6÷（﹣1123+），方方同学的计算过程如下，原式=6÷(-12)+6÷13=﹣12+18=6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．【答案】-36【分析】根据有理数的混合运算顺序，先算括号里面的，再根据除法法则进行计算即可．【详解】解：方方的计算过程不正确，正确的计算过程是：原式=6÷（﹣12+26）=6÷（﹣16）=6×（﹣6）=﹣36．【点睛】本题考查有理数的除法．【真题3】（2017·湖北宜昌市·中考真题）今年5月21日是全国第27个助残日，某地开展“心手相连，共浴阳光”为主题的手工制品义卖销售活动.长江特殊教育学校将同学们手工制作的手串、中国结、手提包、木雕笔筒的相关销售信息汇总如下表，其中销售率最高的是（ ）手工制品手串中国结手提包木雕笔筒总数量（个）2001008070销售数量（个）1901007668A ．手串B ．中国结C ．手提包D ．木雕笔筒【答案】B 【详解】解：根据图表可知：手串的销售率=1901920020=＜1；中国结的销售率=100100=1；手提包的销售率=76198020=＜1；木雕笔筒的销售率=68347035=＜1，比较可知销售率最高的是中国结．故选：B【点睛】本题考查有理数大小比较；有理数的除法，正确计算是本题的解题关键．【拓展1】（2021·北京西城区·九年级二模）从1，2，3，4，5中选择四个数字组成四位数abcd ，其中a ，b ，c ，d 分别代表千位、百位、十位、个位数字．若要求这个四位数同时满足以下条件：①abcd 是偶数；②a b c >>；③a c b d +=+，请写出一个符合要求的数___．【答案】4312【分析】根据数字的要求进行推导即可得出答案．【详解】∵abcd 是偶数，∴d =2或4．∵a b c >>，∴a =4，b =3．∴d=2．∴c=1．abcd ．∴4312故答案为：4312．【点睛】本题考查了数字问题，找出满足的条件，进行推导，是解题的关键．【拓展2】（2019·北京人大附中朝阳学校九年级一模）古代有这样一个数学问题：韩信点一队士兵人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人．问这队士兵至少多少人？我国古代学者早就研究过这个问题．例如明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》中就用四句口诀暗示了此题的解法：三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，七子团圆正半，除百零五便得知．这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3，5，7时，用70乘以用3除的余数（例如：韩信点兵问题中用70乘以2），用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把三个乘积相加．加得的结果如果比105大就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解．按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数为__．【答案】53．【解析】【分析】我们先求5与7的倍数而用3除余1的数，3与7的倍数而用5除余1的数，3与5的倍数而用7除余1的数，再利用所求得的数和3、5、7的最小公倍数3×5×7＝105求出符合题目的解．【详解】3×5×7＝105，70是5与7的倍数，而用3除余1，21是3与7的倍数，而用5除余1，15是3与5的倍数，而用7除余1，因而70×2是5与7的倍数，用3除余2，21×3是3与7的倍数，用5除余3，15×4是3与5的倍数，用7除余4，所以70×2+21×3+15×4＝263＝2×105+53，则得53除以3余2，53除以5余3，53除以7余4，所以这队士兵至少有53人．故答案为53．【点睛】此题考查的知识点是带余数的除法，求得是5与7的倍数而用3除余1的数，3与7的倍数而用5除余1的数，3与5的倍数而用7除余1的数是关键．【拓展3】（2018·重庆中考模拟）有一个n 位自然数...abcd gh 能被x 0整除，依次轮换个位数字得到的新数...bcd gha 能被x 0+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数...cd ghab 能被x 0+2整除，按此规律轮换后，...d ghabc 能被x 0+3整除，…，...habc g 能被x 0+n ﹣1整除，则称这个n 位数...abcd gh 是x 0的一个“轮换数”．例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2的一个“轮换数”．（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．（2）若三位自然数abc 是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数abc ．【答案】（1）见解析；（2）三位自然数为201，207，255.【解析】试题分析：（1）先设出两位自然数的十位数字，表示出这个两位自然数，和轮换两位自然数即可；（2）先表示出三位自然数和轮换三位自然数，再根据能被5整除，得出b 的可能值，进而用4整除，得出c 的可能值，最后用能被3整除即可．解：（1）设两位自然数的十位数字为x ，则个位数字为2x ，∴这个两位自然数是10x+2x=12x ，∴这个两位自然数是12x 能被6整除，∵依次轮换个位数字得到的两位自然数为10×2x+x=21x∴轮换个位数字得到的两位自然数为21x 能被7整除，∴一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，这个两位自然数一定是“轮换数”；（2）∵三位自然数是3的一个“轮换数”，且a=2，∴100a+10b+c 能被3整除，即：10b+c+200能被3整除，第一次轮换得到的三位自然数是100b+10c+a 能被4整除，即100b+10c+2能被4整除，第二次轮换得到的三位自然数是100c+10a+b 能被5整除，即100c+b+20能被5整除，∵100c+b+20能被5整除，∴b+20的个位数字不是0，便是5，∴b=0或b=5，当b=0时，∵100b+10c+2能被4整除，∴10c+2能被4整除，∴c只能是1，3，5，7，9；∴这个三位自然数可能是为201，203，205，207，209，而203，205，209不能被3整除，∴这个三位自然数为201，207，当b=5时，∵100b+10c+2能被4整除，∴10c+502能被4整除，∴c只能是1，5，7，9；∴这个三位自然数可能是为251，255，257，259，而251，257，259不能被3整除，∴这个三位自然数为255，即这个三位自然数为201，207，255．【点睛】此题是数的整除性，主要考查了3的倍数，4的倍数，5的倍数的特点，解本题的关键是用5的倍数求出b的值．。
湘教版数学七年级上册1.5.2《有理数的乘除混合运算》教学设计
湘教版数学七年级上册1.5.2《有理数的乘除混合运算》教学设计一. 教材分析《有理数的乘除混合运算》是湘教版数学七年级上册1.5.2的内容，本节课的主要内容是有理数的乘除混合运算。
学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的加减法、有理数的乘法以及有理数的除法。
本节课的内容是对前面所学知识的综合运用和拓展，培养学生解决实际问题的能力。
教材通过例题和练习题的形式，让学生掌握有理数乘除混合运算的运算顺序和计算方法，并能够灵活运用到实际问题中。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了有理数的加减乘除基本运算，具备了一定的数学基础。
但是，对于乘除混合运算，学生可能还存在着运算顺序混乱、运算方法不明确等问题。
因此，在教学过程中，教师需要通过实例和练习，让学生明确乘除混合运算的运算顺序和计算方法，提高学生的运算能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握有理数的乘除混合运算的运算顺序和计算方法，能够正确进行计算。
2.过程与方法目标：通过实例和练习，培养学生的运算能力，提高学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、合作交流的学习习惯。
四. 教学重难点1.教学重点：有理数的乘除混合运算的运算顺序和计算方法。
2.教学难点：乘除混合运算在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.实例教学法：通过具体的例子，让学生理解乘除混合运算的运算顺序和计算方法。
2.练习法：通过大量的练习，巩固学生的运算能力。
3.讨论法：引导学生合作交流，共同探讨解决实际问题的方法。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示乘除混合运算的例子和练习题。
2.练习题：准备一些乘除混合运算的练习题，用于课堂练习和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题，引入乘除混合运算的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师展示一些乘除混合运算的例子，引导学生观察和思考运算顺序和计算方法。
3.操练（10分钟）学生独立完成一些乘除混合运算的练习题，教师巡回指导，及时解答学生的疑问。
1.5有理数的乘法和除法2
根据除法法则
例（1） 1213 解 = （-12）×3
13的倒数是3 异号相乘，结果为负
= -36
根据除法法则
（2） 解
15
3 7
=
15
7 3
= -35
73的倒数是
7 3
异号相乘，结果为负
课时小结:
一.有理数除法法则:
1.
a b a 1 (b 0) b
2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
复习提问： 1.有理数的乘法法则？
2.什么是倒数？
1.有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负， 并把绝对值相乘。
任何数同0相乘，都得0。
运算方法：
有理数相乘，先确定积的＿＿符＿号＿＿＿，再 确定积的＿＿绝＿对＿ 那么把其中一个数叫做另一个数的倒 数，也称它们互为倒数. 0没有倒数.
( 12 ) ( 3)
25
5
( 12) ( 3) ( 12) ( 5) 4
25 5
25 3 5
结论
归纳
两个有理数除法的法则
同号两数相除得正数，异号两数相除 得负数，并且把它们的绝对值相除. 0 除以任何一个不等于0的数都得0.
除以一个不等于零的数等于乘上这个数的倒数.
abab1(b0)
如果两数相除，能够整除的就选择法则一， 不能够整除的就选择用法则二。
例如：(5)
1 5
1
1.填空：
（1）因为
1 6
×
-6
= 1，所以16 的倒数是 -6
；
（2）58 的倒数是
8 5
；-3的倒数是
13
.
2、你能很快地说出下列各数的倒数吗?
1.5有理数的乘除例题与讲解(2013-2014年沪科版七年级上)
1.5 有理数的乘除1．有理数的乘法(1)有理数的乘法法则①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．如：－3×(－2)＝＋(3×2)＝6，(－2)×3＝－(2×3)＝－6.②任何数与零相乘仍得零．如：(－5)×0＝0.(2)有理数乘法的步骤第一步：确定积的符号；第二步：计算各因数的绝对值；第三步：计算绝对值的积．由于绝对值总是正数或0，因此绝对值相乘就是小学中的算术乘法．由此可见，有理数乘法实质上就是通过符号法则，归结为算术的乘法完成的．解技巧 有理数的乘法运算技巧(1)两个有理数相乘时，先确定积的符号，再把绝对值相乘，带分数相乘时，要先把带分数化为假分数，分数与小数相乘时，一般统一写成分数．(2)一个数同零相乘，仍得零，同1相乘，仍得原数，同－1相乘得原数的相反数．(3)两数相乘，若把一个因数换成它的相反数，则所得的积是原来积的相反数．【例1】 计算：(1)45×0.2； (2)13×(－4)；(3)(－1.3)×(－5)； (4)221133⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (5)1106⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭. 分析：利用乘法法则进行计算．这里(1)中是正数和正数相乘，因而得正；(2)中是正数和负数相乘，因而得负；(3)中是负数与负数相乘，因而得正；(4)中是负数和负数相乘，因而得正；(5)中是负数和零相乘，因而得零．小数和带分数一般化为分数或假分数．解：(1)原式＝45×15＝425； (2)原式＝－(13×4)＝－52；(3)原式＝＋(1.3×5)＝6.5；(4)原式＝5735326⎛⎫+⨯=⎪⎝⎭； (5)原式＝0.2.倒数(1)倒数的概念 如果两个有理数的乘积为1，我们称这两个有理数互为倒数，如2与12，⎝⎛⎭⎫－32与⎝⎛⎭⎫－23分别互为倒数．用字母表示：若ab ＝1，则a ，b 互为倒数，反之，若a ，b 互为倒数，则ab ＝1.(2)倒数的求法若a ≠0，则a 的倒数是1a ，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0无倒数．为了方便，一般采用如下方法：①非零整数——直接写成这个数分之一．如：4的倒数是14，－6的倒数是－16. ②分数的倒数——把分子、分母颠倒写即可；带分数要化为假分数，小数要化为分数后再把分子、分母颠倒位置写．如：－34的倒数是－43；－0.25的倒数是－4，－123的倒数是－35. ③倒数等于本身的数是±1，零没有倒数．辨误区 倒数与相反数的区别 一定要注意倒数的概念和相反数的概念的区分，互为相反数的两数之和为零，互为倒数的两数之积为1，同时正数的倒数仍为正数，负数的倒数仍为负数．【例2】 求下列各数的倒数．(1)－3；(2)45；(3)－0.2；(4)323. 分析：求一个整数的倒数直接写成这个数分之一即可；求一个分数的倒数，就是把这个分数的分子、分母颠倒位置即可；求一个小数的倒数，先把这个小数化成分数，再求其倒数；求一个带分数的倒数，要先化为假分数再求．解：(1)－3的倒数为－13；(2)45的倒数为54；(3)由于－0.2＝－15，所以－0.2的倒数为－5；(4)由于323＝113，所以323的倒数为311. 3．有理数乘法法则的推广(1)几个数相乘，有一个因数为零，积为零．如：1×2×(－5)×0×6＝0.(2)几个不为零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．(3)由上面的法则可以知道：几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后，再把每个因数的绝对值相乘．这就是多个因数求积的常用方法．解技巧 多个有理数相乘的技巧多个有理数相乘时，先观察因数中有没有0.如果有0，积就是0；如果没有0，一般按从左向右的顺序计算绝对值的积作为积的绝对值．【例3】 计算：(1)1172137732222⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)(＋5.9)×(－1 992)×(＋1 993)×(－2 000)×0；(3)(－5)×8×(－7)×(－0.25)．分析：(1)四个因数只有一个是负数，所以结果是负数，再把带分数化为假分数，约分之后得出结果；(2)因为乘式中含有一个因数0，故积为零；(3)式子中的负数有3个，所以结果是负数．多个有理数进行运算时，应一次确定结果的符号，再计算各因数绝对值的积，这样既简捷又不易出错．解：(1)1172137732222⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝－227×223×722×2122＝－7.(2)(＋5.9)×(－1 992)×(＋1 993)×(－2 000)×0＝0.(3)(－5)×8×(－7)×(－0.25)＝－(5×8×7×0.25)＝－70.4.有理数的除法(1)有理数除法的意义在有理数运算中，除法的意义依然是乘法的逆运算，即已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算．除法可以转化为乘法来进行．(2)有理数的除法法则①有理数的除法法则一(直接相除的法则)：Ⅰ.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．Ⅱ.零除以一个不为零的数，仍得零．零不能作除数．用字母表示：Ⅰ.若a ＞0，b ＞0，则a b ＝|a ||b |；若a ＜0，b ＜0，则a b ＝|a ||b |； 若a ＜0，b ＞0，则a b ＝－|a ||b |；若a ＞0，b ＜0，则a b ＝－|a ||b |. Ⅱ.若a ≠0，则0a＝0. ②有理数的除法法则二(化除为乘的法则)：除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数．用字母表示：a ÷b ＝a ×1b(b ≠0)． 析规律 两个除法法则的区别对于除法的两个法则，在计算时根据具体情况，灵活运用，一般在不能整除的情况下应用法则二，在能整除的情况下，应用法则一比较简便．【例4】 计算：(1)(－16)÷(－4)； (2)3324⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭； (3)57168⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (4)0÷(－20)．分析：在做除法时，选择哪一个除法法则，应从运算是否方便考虑，和乘法一样，做除法时，先要把带分数化为假分数．解：(1)(－16)÷(－4)＝16÷4＝4； (2)333422423⎛⎫-÷=-⨯=- ⎪⎝⎭； (3)57168⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝116×87＝4421； (4)0÷(－20)＝0.5．有理数的乘、除混合运算(1)有理数的乘、除混合运算①形式a ÷b ÷c ；a ×b ÷c ；a ÷b ×c ，这些都是有理数的乘、除混合运算．②方法有理数的乘、除混合运算，先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则确定积的符号，最后求出结果．如，计算：(－81)÷214×49÷(－15)． ③运算顺序对于连除或乘除混合运算问题，我们可以按从左到右的顺序依次进行计算，也可以直接把除法转化为乘法来计算．(2)有理数的四则混合运算对于含有加、减、乘、除的有理数的混合运算，运算顺序是：如没有括号，应先做乘除运算，后做加减运算；如有括号，应先做括号里的运算，再做其他运算．【例5－1】 计算：(1)(－35)×(－312)÷(－114)÷3； (2)－214÷1.125×(－8)． 分析：乘除混合运算要按从左到右顺序进行．对于有理数的乘除法混合运算，应将它们统一为有理数的乘法运算．先由负因数的个数确定结果的符号，再把带分数化为假分数，同时把小数也化为分数，最后考虑约分．解：(1)(－35)×(－312)÷(－114)÷3 ＝(－35)×(－72)×(－45)×13＝－35×72×45×13＝－1425； (2)－214÷1.125×(－8) ＝94÷98×8 ＝94×89×8＝16. 【例5－2】 计算：(15－13)×(14＋15)÷(－120)÷(－13). 分析：本题是有理数的加减乘除混合运算，可按四则混合运算的顺序进行计算，有括号的要先算括号里面的．解：(15－13)×(14＋15)÷(－120)÷(－13) ＝－215×920×(－20)×(－3) ＝－(215×920×20×3)＝－185. 6．有理数的乘法的运算律(1)乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即ab ＝ba .(2)乘法结合律三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变．即(ab )c ＝a (bc )．(3)分配律一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即a (b ＋c )＝ab ＋ac .分配律在有理数的运算以及今后的有关代数式运算及变形中运用非常广泛，它的正向运用(即从左到右)与逆向运用(即从右到左)对于不同形式的计算与变形都起着简化的作用，应注意灵活运用．如，计算：(134－78－712)×(－117)，考虑前一个括号里面的各个因数的分子都是7，而后面括号里面的因数的分母是7，可以直接利用乘法的分配律简化运算．【例6】 用简便方法计算：(1) (－12＋16－38＋512)×(－24)； (2)－13×23－0.34×27＋13×(－13)－57×0.34. 分析：第(1)题中有(－24)是括号中各分母的公倍数，所以应利用分配律变形；第(2)题把－0.34×27与13×(－13)交换位置，然后利用结合律将前两项结合、后两项结合，即分成两组，再分别在每组中逆用分配律即可．解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫－12×(－24)＋16×(－24)＋38×24＋512×(－24) ＝12－4＋9－10＝7.(2)原式＝－13×23＋13×(－13)－0.34×27－57×0.34＝⎣⎡⎦⎤(－13)×23＋13×(－13)＋⎣⎡⎦⎤0.34×⎝⎛⎭⎫－27－57×0.34 ＝2125(13)0.343377⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯++⨯-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦＝(－13)×1＋0.34×(－1)＝－13－0.34＝－13.34.7．有理数混合运算的技巧进行有理数的乘除运算，除了注意运算顺序和运算法则之外，还要注意一些运算技巧，力求使运算简便．解答有理数除法运算有关的问题时，我们应注意利用有理数的除法法则，将有理数的除法运算转化为有理数的乘法运算．如果被除数或除数中有小数应先化为分数，有带分数应先化为假分数，便于约分，简化运算．辨误区 除法没有分配律除法没有分配律，如在有理数的除法运算中，如果按a ÷(b ＋c )＝a ÷b ＋a ÷c 进行分配就错了．除法是没有分配律的，从而不能运用分配律．像6÷3×13有时会习惯性地将3和分母中的3约分，这是错误的，应严格按运算顺序进行计算，并经过一定练习才能灵活进行有理数的混合运算．有理数的乘、除混合运算的性质有：①a ÷b ÷c ＝a ÷(b ×c )＝a ÷c ÷b .即一个数除以另一个数所得的商再除以第三个数，等于第一个数除以第二、三两数的积；也等于第一个数除以第三个数所得的商再除以第二个数．如：740÷(37×4)＝740÷37÷4＝20÷4＝5.②a ×b ÷c ＝a ×(b ÷c )＝(a ÷c )×b .即两个数的积除以第三个数，等于其中任意一个乘数除以第三个数，再与另一个乘数相乘．如：136×73÷68＝2×73＝146.③a ÷b ×c ＝a ÷(b ÷c )．即第一个数除以第二个数所得的商再乘以第三个数，等于先求出第二个数除以第三个数的商，再用第一个数除以这个商．如：480 000÷144×12＝480 000÷(144÷12)＝480 000÷12＝40 000.以上三个公式中，添括号或去括号都有规律．添括号时，如果一个数的前面是乘号，那么这个数前面添上括号后，括到括号里面的运算符号不变；如果一个数的前面是除号，那么在这个数前面添上括号后，括到括号里面的运算符号要改变，乘号变除号，除号变乘号．【例7－1】 计算：(1)⎝⎛⎭⎫14－15＋13÷160；(2)160÷111453⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 分析：(1)先将除法转化为乘法，运用了分配律后使运算简便；第(2)题属于易错题，因为除法没有分配律，只有乘法才有分配律，而一些学生往往因不看清题目而错误地运用运算律．解：(1)方法一：⎝⎛⎭⎫14－15＋13÷160＝⎝⎛⎭⎫1560－1260＋2060×60＝2360×60＝23. 方法二：⎝⎛⎭⎫14－15＋13÷160＝(14－15＋13)×60 ＝14×60－15×60＋13×60＝23. (2)方法一：160÷(14－15＋13) ＝160÷(1560－1260＋2060)＝160÷2360＝123. 方法二：∵⎝⎛⎭⎫14－15＋13÷160＝(14－15＋13)×60＝14×60－15×60＋13×60＝23， ∴根据倒数的定义有160÷(14－15＋13)＝123. 【例7－2】 计算：(－48)×⎝⎛⎭⎫－23＋34＋112. 分析：在有理数的计算中，如果能够准确地确定运算结果的符号，则可省去一些不必要的括号，运算步骤的简明与流畅可以提高运算的正确率．解：(－48)×⎝⎛⎭⎫－23＋34＋112 ＝48×23－48×34－48×112＝32－36－4＝－8.【例7－3】 计算：－3.5×35.2＋(－7)×32.4.分析：仔细观察算式的特点，可以发现3.5和7存在倍数关系，不妨将7写成3.5×2，然后逆用分配律来简化计算．解：－3.5×35.2＋(－7)×32.4＝－3.5×35.2＋(－3.5)×2×32.4＝－3.5×(35.2＋2×32.4)＝－3.5×100＝－350.【例7－4】 计算：0.25÷168×(－1517). 分析：本题如果先计算0.25÷168的结果再乘以⎝⎛⎭⎫－1517，运算过程就很繁杂，而且容易出错．仔细观察每一个数的特点，考虑0.25×4＝1，可将68分解成4×17., 去括号时，如果括号的前面是乘号，那么去掉括号后，括号里面的运算符号不变；如果括号的前面是除号，那么去掉括号后，括号里面的运算符号要改变，乘号变除号，除号变乘号．解：0.25÷168×(－1517)＝0.25×68×(－1517) ＝0.25×4×17×(－1517)＝(0.25×4)×151717⎡⎤⎛⎫⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝1×(－15)＝－15. 8．计算器的使用计算器是一种方便实用的计算工具，计算速度快，计算准确，操作方便．使用时要特别注意以下几点：(1)按下数字键后，应看清显示器上的显示是否正确；(2)用计算器进行有理数的加减运算时，按式子的顺序从左向右按；(3)用计算器进行有理数的乘除运算时，特别是有负数出现时，先应按(－)，再输入其绝对值；(4)对于加减乘除混合运算，只要按算式的书写顺序输入，计算器会按要求求出结果．【例8】 用计算器计算：－15.13＋4.85＋(－7.69)－(－13.88)．分析：不同的计算器用法不一样，要注意，使用计算器能进行一些较为复杂的运算．解：用带符号键(－)的计算器计算．按键顺序： (－)15·13＋4·85＋(－)7·69－(－)13·88＝. 得到－4.09.9．有理数的混合运算在实际问题中的应用有理数的混合运算在现实生活中有着广泛的应用，是解决其他数学问题的基础，也是解应用题的基础，多以实际应用、规律探究型问题的形式出现．尤其是运算律在现实生活中的应用更加广泛．在现实生活中我们经常会遇到一些较大的或者较复杂的数的混合运算，这时就要利用运算律进行转化，使运算简化．解决实际问题的关键是根据问题情境找出数量关系，将实际问题转化为所学的数学问题．有理数的混合运算可以解决一些实际应用题，如：银行利息计算、话费计算等．解决这类问题的关键是将实际问题抽象成数学问题，用运算符号正确表达出关系式，注意单位和解题格式．【例9－1】 某校体育器材室共有60个篮球．一天课外活动，有3个班级分别计划借篮球总数的12、13和14.请你算一算，这60个篮球够借吗？如果够了，还多几个篮球？如果不够，还缺几个？分析：本题可以转化为：求一个数的几分之几是多少的数学模型，所以用乘法来解答． 解：60×1111234⎛⎫--- ⎪⎝⎭＝60×1－60×12－60×13－60×14＝60－30－20－15＝－5(个)．答：不够借，还缺5个篮球．【例9－2】 根据实验测定，高度每增加1 km ，气温大约下降6 ℃，小王是一位登山运动员，他在攀登山峰的途中发回信息，报告他所在的位置的气温是－15 ℃，如果当时地面的气温是3 ℃，则小王所在的位置离地面的高度是多少？分析：地面的温度是3 ℃，小王所在的位置是－15 ℃，我们可以根据温度差与高度每增加1 km 气温大约下降6 ℃之间的关系，通过计算得到小王所在位置的高度．解：[3－(－15)]÷6×1＝3(km)．所以小王所在的位置离地面的高度为3 km.。
人教版七年级初一数学上册 1.5.1 第2课时 有理数的混合运算
解：原式=
9 (
11 9
)
= -11
解：
原式=
9 (
2 3
)
9 (
5 9
)
=-6+（-5）
=-11
讨论交流：你认为哪种方法 更好呢？
9/13/2019
9
例3 观察下面三行数： -2， 4， -8， 16， -32， 64，…；① 0， 6， -6， 18， -30， 66，…；② -1， 2， -4， 8， -16， 32，…. ③
、 大括号依次进行。
9/13/2019
6
例1 计算： (1)2×(-3)3-4×(-3)+15;
(2)(-2)3+(-3)×[(-4)2+2]-(-3)2÷(-2).
解：(1)原式=2×(-27)-(-12)+15 =-54+12+15 =-27
(2)原式=-8+(-3)×(16+2)-9÷(-2)
与除是第二级运算，乘方与开方是第三级运算．运算顺序的规定
详细地讲是：先算高级运算，再算低级的运算；同级运算在一起
9/13，/201按9 从左到右的顺序运算；如果有括号，先算小括号内的，再算 5
简单地说，有理数混合运算应按下面的运算顺序进行：
1、先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2、同级运算，按照从左至右的顺序进行； 3、如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号
从左至右，依次计算，如果有括号先解括号。
情感、态度、价值观：
在独立思考的基础上，积极参与讨论，敢于发表自己的观点并
尊重与理解他人的见解，能从交流中获益。
重点：掌握有理数的运算顺序和法则。
难点：熟练掌握有理数的运算顺序和法则。
《有理数的乘法》(第2课时)教案 探究版
《有理数乘法的运算律》教案新课标要求知识与技能1．掌握多个有理数连续相乘的运算方法．2．正确理解乘法交换律，结合律和分配律，能用字母表示运算律的内容．3．能较熟练地运用运算律进行乘法运算．过程与方法1．体验乘法运算律在实际运算中的应用．2．能运用有理数的乘法解决问题．情感与态度通过思考、观察、比较等体验数学的创新思维和发散思维，激发学生的学习兴趣．教学重点理解和掌握乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律．教学难点灵活运用乘法的运算律简化运算．教学过程设计一、合作探究1．计算下列各题，并比较它们的结果，你有什么发现？（1）（－6）×5与5×（－6）；（2）59310⎛⎫⎛⎫-⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与95103⎛⎫⎛⎫-⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．师生活动：让学生计算，然后在组内交流，验证答案的正确性，讨论两个算式相等有什么发现，最后师生一起总结规律．教师强调a×b也可以写出a·b或ab．当用字母表示乘数时，“×”号可以写成“·”或省略．小结：（1）5×（－6）＝－30，（－6）×5＝－30，即5×（－6）＝（－6）×5．（2）5933102⎛⎫⎛⎫-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9531032⎛⎫⎛⎫-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即5995310103⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-=-⨯-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．归纳：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等． 乘法交换律：ab ＝ba ．设计意图：学生运用有理数的乘法运算计算两个算式和探究其规律，是让学生在解题的过程中有目的性地思考，为下面引出乘法交换律作铺垫．2．计算下列各题，并比较它们的结果，你有什么发现？ （1）[（－4）×（－6）] ×5与（－4）×[（－6）×5]； （2）()17423⎡⎤⎛⎫⨯-⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦与()17423⎡⎤⎛⎫⨯-⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 师生活动：学生自主探究，讨论、交流．师生共同归纳乘法结合律的内容并用数学表达式表示．小结：（1）[（－4）×（－6）] ×5＝24×5＝120， （－4）×[（－6）×5]＝（－4）×（－30）＝120． 即[（－4）×（－6）] ×5＝（－4）×[（－6）×5]． （2）()()177********⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-=-⨯-=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()1712814423233⎡⎤⎛⎫⨯-⨯-=⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 即()()1717442323⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-=⨯-⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦． 归纳：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．乘法结合律：（ab ）c ＝a （bc ）．设计意图：通过学生的自主探究，感受有理数乘法结合律的推导，培养学生的观察、归纳、总结能力．3．计算下列各题，并比较它们的结果，你有什么发现？ （1）()()3232⎡⎤⎛⎫-⨯-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦与()()()32322⎛⎫-⨯-+-⨯- ⎪⎝⎭；（2）()4575⎡⎤⎛⎫⨯-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦与()45755⎛⎫⨯-+⨯-⎪⎝⎭．师生活动：让学生独立思考，然后再进行组内的讨论、交流，最后小组长将组内成员的意见、想法汇总，由代表汇报讨论的结果，教师让学生用自己的语言来描述分配律并引导学生用字母来表示分配律．小结：（1）()()()39232922⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯-+-=-⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()()()32326392⎛⎫-⨯-+-⨯-=+= ⎪⎝⎭．即()()()()()332323222⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯-+-=-⨯-+-⨯-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． （2）()4395753955⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()4575354395⎛⎫⨯-+⨯-=-+-=- ⎪⎝⎭．即()()445757555⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-+-=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．归纳：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．分配律：a （b ＋c ）＝ab ＋ac ．设计意图：学生通过观察思考主动地进行学习，在共同探索、共同发现的过程中分享成功的喜悦．并使学生感受到集体的力量．培养学生的语言表达能力及从特殊到一般的归纳能力．4．这里为什么只说“和”呢？3×（5－7）能不能利用分配律？师生活动：四人一小组，小组讨论、交流，小组长收集汇总．教师巡查，关注学生是否认真讨论．小结：这里的“和”不再是小学中说的“和”的概念，而是指“代数和”，3×（5－7）可以看成3乘以5与－7的和，当然可利用分配律．设计意图：通过举例说明，突破分配律理解和掌握的难点，并且培养学生合作的精神． 5．上面我们做的题中，你发现了什么？在有理数运算律中，乘法的交换律、结合律以及分配律还成立吗？小结：小学学习的乘法运算律都适用于有理数乘法．我们研究数，总是由数的意义、数的认识（读、写、大小比较等）到数的运算和数的运算律这样一个顺序进行，小学学习的正数和0是这样，现在学习有理数也是这样，将来进一步学习范围更大的数还是这样． 在有理数运算律中，乘法的交换律、结合律以及分配律还成立．设计意图：学生通过观察思考主动地进行学习，在共同探索、共同发现的过程中分享成功的喜悦．并使学生感受到集体的力量．培养学生的语言表达能力及从特殊到一般的归纳能力．二、例题分析 例 计算：（1）()532468⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭；（2）()457314⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭． 师生活动：采用大组竞赛的方法，让其中的两个大组采用一般的运算顺序进行计算，另两个大组采用运算律进行计算．教师强调：运算律在运算中有重要作用，它是解决许多数学问题的基础．（1）解法1：()()()53209112424241168242424⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯-=-+⨯-=-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 解法2：()()()()5353242424209116868⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯-=-⨯-+⨯-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （2）()()4554541077314143233⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯=-⨯⨯-=-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．设计意图：通过竞赛让学生更深刻地体验到运用运算律可简化运算，同时也增强了学生的竞争意识与集体荣誉感．通过比较，学生会选取用运算律来简化运算，形成知识的正迁移．问题：比较上面（1）中两种解法，它们在运算顺序上有什么区别？解法2用了什么运算律？哪种运算量小？师生活动：教师提出问题，学生观察、比较，小组讨论，小组长收集、汇总，汇报结果． 小结：解法1先做加法运算，再做乘法运算．解法2先做乘法运算，再做加法运算．解法2用了分配律．解法2的运算量小，因为解法1先要计算两个分数的和．设计意图:通过讨论，加深学生对运算律在运算中有重要作用的认识，培养探究精神． 三、练习巩固 1．计算（1）506⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭； （2）133⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭； （3）()30.3-⨯； （4）1667⎛⎫⎛⎫-⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解：（1）5006⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭；（2）1133133⎛⎫⎛⎫⨯-=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）()()30.330.30.9-⨯=-⨯=-； （4）1616167677⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-=+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．2．计算：（1）()384⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭； （2）113023⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭；（3）()20.25363⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭； （4）418516⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭．解：（1）()3388644⎛⎫⎛⎫-⨯-=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）1111303030151052323⎛⎫⨯-=⨯-⨯=-=⎪⎝⎭；（3）()()()()212120.25363636369241534343⎛⎫⎛⎫-⨯-=-⨯-=⨯--⨯-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）41411428885165161655⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯=-⨯⨯=-⨯⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 设计意图：考查了对有理数乘法运算律的理解和掌握． 四、课堂小结 1．乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等． 符号表示：ab ＝ba ． 2．乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． 符号表示：（ab ）c ＝a （bc ）．3．分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 符号表示：a （b ＋c ）＝ab ＋ac ．设计意图：鼓励学生用自己的语言加以总结，通过知识反馈，优化学生的认知结构． 五、布置作业 1．计算：（1）11124346⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭； （2）（－4）×（－5）×0.25； （3）100×（－3）×（－5）×0.01； （4）111369618⎛⎫--⨯⎪⎝⎭； （5）111128428⎛⎫--⨯⎪⎝⎭； （6）()1944⎛⎫⨯-⨯-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭； （7）()32.25 2.325⨯-⨯； （8）()32.1 6.57⎛⎫-⨯⨯- ⎪⎝⎭． 设计意图：加深对乘法交换律、乘法结合律、分配律的理解，培养学生的应用意识和能力．2．如果两个数的乘积为负数，你能说出这两个数的符号分别是什么吗？如果两个数的乘积为正数呢？你能推广到多个数相乘的情形吗？3．用“＞”“＜”“＝”填空： （1）若a ＜0，则a 2a ； （2）若a ＜c ＜0＜b ，则a ×b ×c 0．参考答案：1．解：（1）1111112424242486410346346⎛⎫+-⨯=⨯+⨯-⨯=+-= ⎪⎝⎭；（2）（－4）×（－5）×0.25＝20×0.25＝5；（3）100×（－3）×（－5）×0.01＝100×3×5×0.01＝100×0.01×3×5＝15；（4）11111136363636462496189618⎛⎫--⨯=⨯-⨯-⨯=--=-⎪⎝⎭；（5）11111112812812812832641648428428⎛⎫--⨯=⨯-⨯⨯-⨯=--=⎪⎝⎭；（6）()()()111949494919444⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-=⨯-⨯-=⨯-⨯-=⨯=⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（7）()()32.25 2.3 2.25 2.30.120.62125⨯-⨯=-⨯⨯=-； （8）()332.1 6.5 2.1 6.50.9 6.5 5.8577⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-=+⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 2．由于“两数相乘，同号得正，异号得负”，所以两数乘积为负数，说明这两数符号是一正一负；如果两数乘积为正数，说明这两数符号或者同时为正，或者同时为负．对于多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正；只要有一个因数为0，积就为0．3．解析：（1）因为1＜2，a ＜0，所以a ＞2a ．（2）因为a ＜c ＜0＜b ，所以a ，c 为负，b 为正，则a ×b ×c ＞0． （1）＞；（2）＞．六、目标检测设计 1．计算：（1）()()()587.2 2.512－×－×－×； （2）－|－0.25|×（－5）×4×125－⎛⎫ ⎪⎝⎭．2．计算：（1）111(8)1248－×－＋⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1131(48)123646－－＋－×－⎛⎫ ⎪⎝⎭．3．计算：2215130.34(13)0.343737－×－×＋×－－×．设计意图：考查了对乘法交换律、乘法结合律、分配律的理解与掌握． 目标检测答案：1．（1）53655(8)(7.2)( 2.5)860125212－×－×－×＝－×××＝－⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）1110.25(5)40.25(5)425255－－×－××－＝－×－××－＝－⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2．（1）111111(8)1(8)(8)1(8)5248248－×－＋＝－×－－×＋－×＝⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）1131(48)123646－－＋－×－⎛⎫ ⎪⎝⎭1131(48)(48)(48)(48)123646＝－×－－×－＋×－－×－⎛⎫⎪⎝⎭＝443683＋－＋2223＝－．3．2215130.34(13)0.343737－×－×＋×－－× 2125(13)0.343377＝－×＋＋×－－⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝－13－0.34 ＝－13.34．。
1.5(集体备课)有理数的乘方教案
给学生讲“从三到万”的故事，让学生体会大数的意义与表示，引入科学记数法，从学生们熟悉的移小数点切入教学。通过小数点的一“找”二“移”三“数”把一个大数表示成科学记数法的形式，再反向的相应移动小数点把科学记数法表示的数表示为一般形式。学生通过训练掌握了两者转化的方法，教师再提出思考“一般形式的数的整数位数与科学记数法中10的指数有什么关系”。
难点：用科学记数法表示近似数，描述科学记数法表示近似数的精确度。
1.5.3（课时2）
重点：熟练掌握精确到小数点前某一位的近似数的求法与表示，会由近似数求准确数的范围；了解有效数字的概念；
难点：理解精确度包含的近似数与准确数之间的数量关系。
三、教学方法
根据内容特点与教师学生的素质情况，这几个课时均以教授法，讲演法，讲练法为主，适当配以学生小组讨论与独立思考的形式进行教学。
基础训练 1.5.3近似数
1.5.3（课时2）
基础训练 拓展空间
名校课堂 第四课时 近似数
请老师们多批评指导，谢谢！
知识与技能：体会准确数与近似数的意义，掌握近似数的求法与表示；
过程与方法：回忆、类比、分析、训练
情感与价值观：体会用近似数描述生活中的量，能理解近似数与准确数之间的关系，感受描述客观世界的态度。
1.5.3（课时2）
知识与技能：熟练掌握精确到小数点前某一位的近似数的求法与表示，能由近似数确定准确数的范围，了解有效数字的概念；
（1）1,9,25,49，，；
（2） ， ， ，，；
（3）1，﹣2，4，﹣8，，.
1.5.3（课时1）
按要求求下列各数的近似数
（1）489960（精确到千位）；
（2）783000（精确到万位）；
（3）6498（精确到千位）.
1.5 有理数的乘方-第二课时
1.5 有理数的乘方－第二课时1 教学目标1.1 知识与技能：①利用10的乘方，进行科学记数，会用科学记数法表示大于10的数。
②体会科学记数法的好处，化繁为简的方法。
③掌握近似数和有效数字的概念，会判断近似数的精确度，并能根据有效数字位数进行数的近似。
④能根据实际情况选择恰当的近似方法。
1.2 过程与方法：①用科学记数法表示绝对值较大的数，体会科学记数法的优越性，增强对较大数的数感。
②通过对近似数的学习，感受数学与生活的联系。
1.3 情感态度与价值观：①通过对科学记数法的意义及必要性的了解，感知数学来源于生活，并为生活服务。
②培养学生热爱数学，热爱生活的乐观态度。
2 教学重点/难点/易考点2.1 教学重点①用科学记数法表示绝对值大于10的数。
②由给出的近似数求其精确度，按给定的精确度求一个数的近似数。
2.2 教学难点①探究科学记数法表示绝对值大于10的数的方法。
②近似数和精确度的意义。
3 专家建议“数学教学是数学活动的教学”。
我们进行数学教学，不能只给学生讲结论，因为任何数学理论总是伴随着一定的数学活动，应该暴露数学活动过程。
也只有在数学活动的教学中，学生学习的主动性，才能得以发挥。
这一节课，从科学记数法到近似数的应用，不是简单地告诉学生结论和方法，然后进行大量的重复性练习，而是在教师的指导下，让学生自己去思索、判断，自己得出结论，从而达到培养学生观察、归纳、概括能力的目的。
4 教学方法问题引入-----近似数的必要性-----近似数的应用------交流讨论------巩固练习-----课程小结5 教学用具6 教学过程6.1 情景引入情景一：神十飞船在太空中大约飞行 10 080 000千米。
情景二：第六次人口普查时，中国人口约为1339724852人。
情景三：太阳的半径约为696 000 000米。
情景四：光的速度约为300 000 000米/秒【教师说明】像这样较大的数据,书写和阅读都有一定困难,那么有没有这样一种表示方法,使得这些大数易写,易读，易于计算呢?同学们可以想一想，102=100；103=1000；104=10000。
《有理数的乘法》第二课时教案
2.7《有理数的乘法》（第二课时）预习提纲：看课本77页——78页的内容，要求：⑴、计算出77页“做一做”各题的结果。
⑵、写出乘法的交换律、结合律以及分配律，并用字母表示他们。
⑶、完成随堂练习1，（进一步熟练乘法法则）学习目标：1、能熟练进行有理数的乘法运算。
2、会运用乘法运算律简化计算。
3、发展学生观察、归纳、猜测、验证的能力。
能力目标：培养学生动手、解决实际问题的能力。
重、难点：重点：用乘法运算律简化计算。
难点：根据题目特点选用乘法运算律。
一、导入揭题：上节课我们已经学会有理数的乘法运算，本节课我们敬爱能够学习一种使运算更简更快的方法。
二、出示学习目标：三、自学指导（一）：看课本77页——78页例3上面的内容，要求：⑴、比较77页“做一做”的计算结果，你发现什么？⑵、观察这些式子的左边，你能得出什么结论？在有理数的运算中，乘法的交换律、结合律以及分配律，你认为还会成立吗？请用字母表示他们。
【步骤】：1、生看书，观察、比较、归纳、验证，师巡视并检查预习和个别辅导后进生。
2、抽生回答问题，师根据生说的情况，重点对问题2、3点评。
3、师精讲：在有理数运算中，乘法的交换律（ab=ba）、结合律（ab）c=a(bc)、分配律a（b＋c）=a b＋ac仍然成立。
4、巩固练习：计算：30×（1/2-1/3） 8×（1-4/5）×1/16（生独立完成，并说出选用运算律的依据及计算方法）自学指导（二）自学课本78页例3。
⑴、弄清每题用到了什么运算律，选用此运算律的依据。
⑵、说出运算律在简化运算中的作用。
⑶、再用运算律的过程中，各数的符号如何确定。
⑷、注意解题格式。
【步骤】：1、生自学、师巡视，个别辅导。
2、生说解题思路、方法、步骤，师点评问题⑵、⑶。
3、师精讲：用乘法运算律简化运算，一般有以下方法：⑴、把互为倒数的因数结合相乘。
⑵、把乘积为整数的因数结合相乘。
⑶、把便于约分的因数结合相乘。
1.5 有理数的乘方
第一章有理数1.5 有理数的乘方1．乘方的定义：求n个相同因数的__________的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做__________．在a n中，a叫做__________，n叫做__________．当a n看作a的n次方的结果时，也可读作“__________”．乘方与幂不同，乘方是一种运算，幂是乘方的结果，乘方与幂的关系就如同乘法与积的关系．2．乘方运算法则：（1）负数的奇次幂是__________，负数的偶次幂是__________．（2）正数的任何次幂都是__________，0的任何正整数次幂都是__________．3．有理数混合运算的顺序：（1）先__________，再__________，最后__________；（2）同级运算，从__________到__________进行；学科网（3）如有括号，先做__________的运算，按__________、__________、__________依次进行．4．科学记数法把大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），使用的是科学记数法．例如567 000 000=__________．对于小于–10的数也可以类似表示．例如–567 000 000=__________．5．近似值（1）准确数在日常生活和生产实际中，能准确地表示一些量的数，称为__________．例如：三班共50人，小颖养了3条金鱼，数字“50”和“3”就是准确数．（2）近似数与实际接近但存在一定偏差的数称为__________．例如：体重约为54 kg．（3）精确度近似数与准确数的接近程度可以用__________表示，一个近似数四舍五入到哪一位就称这个数精确到哪一位，精确度是精确的程度．K —重点 （1）有理数的乘方；（2）科学记数法． K —难点 有理数的混合运算 K —易错近似值一、有理数的乘方求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数．当a n 看作a 的n 次方的结果时，也可读作“a 的n 次幂”．【例1】根据有理数乘方的意义，算式)53)53)53)53)53-⨯-⨯-⨯-⨯-（（（（（可表示为__________．二、科学记数法1．用科学记数法表示一个负数时，先写出它的相反数的形式，再添上负号就可以了； 2．科学记数法的形式a ×10n 中a 和n 的确定方法：（1）将小数点移到左起第1个数字的后边即可得到a 的取值； （2）确定n 方法有两种：一是数小数点移动的位数，小数点移动几位，n 就是几； 二是数原数的整数位数，原数的整数位数减1就是n 的值．【例2】太阳的半径约为696000千米，用科学记数法表示法为__________千米． 【名师点睛】1．对于用科学记数法表示的数，精确到哪一位要先将数还原．2．对于近似数来说，末位数上的“零”也不能省略，它也具有存在的意义．三、探索数字规律乘方运算法则：（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．【例3】某种细菌在繁殖过程中，每半小时分裂一次，由一个分裂成两个，2.5小时后，1个这种细菌可分裂为 A ．8个B ．16个C ．32个D ．64个【名师点睛】找数字规律的题目成为近几年中考的热点问题，这类题目灵活多变．解题时要认真观察、分析思考，找出规律，并运用规律解决问题．四、有理数的混合运算通常把六种基本运算分为三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方和开方（开方以后学习）是第三级运算．运算顺序的规定是先做高级运算，再做低级运算，同级运算是指加与减（乘与除）在一起的运算．【例4】计算：223(3)(3)(2)|5|-÷---⨯-+-． 【名师点睛】有理数混合运算的关键：（1）按顺序运算；（2）各种运算法则、运算律的运用与逆用；（3）其他一些技巧的使用．1．下列各组数据中，精确的是 A ．小明的身高是183.5厘米 B ．小明家买了100斤大米 C ．小明买了2个本子D ．小明的体重是70千克2．据科学家统计，地球的年龄大约是4600000000年，这个数用科学记数法表示为A ．4.6×108B ．46×108C ．0.46×1010D ．4.6×1093．下列算式中，运算结果为负数的是A ．(1)--B ．|1|-C ．3(1)-D ．2(1)-4．（–7）2等于 A ．49B ．–49C ．14D ．–145．移动互联网已全面进入人们的日常生活，某市4G 用户总数达到3 820 000，数据3 820 000用科学记数法表示为 A ．3.8×106B ．3.82×105C ．3.82×106D ．3.82×1076．计算554.510 4.410-⨯⨯，结果用科学记数法表示为A ．0.1⨯105B ．0.1⨯104C ．1⨯104D ．1⨯1057．据有关资料显示，长江三峡工程电站的总装机容量是18 200 000千瓦，请你用科学记数法表示电站的总装机容量，应记为_________千瓦．8．已知四个数：20.3，23-，03，3(3)-其中最大的数是________．9．计算：337(4)+-=A ．9B ．27C ．279D ．40710．据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达6.8亿元，将6.8亿用科学记数法表示为A ．0.68×109B ．68×107C ．6.8×108D ．6.8×10911．计算：(–3)3＋52–(–2)2A ．2B ．5C ．–3D ．–612．计算（–1）2017+（–1）2018的结果是A ．–2B ．2C ．0D ．–113．在（–2），–22，+（–10），–12，–0，–|–4|中，负整数有 A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个14．0.01235精确到千分位的近似值是__________．15．在人体血液中，红细胞直径约为0.00077cm ，数据0.00077用科学记数法表示为__________． 16．目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米，而我国能制造芯片的最小工艺水平是16纳米，已知1纳米=10–9米，用科学记数法将16纳米表示为__________米．17．阅读材料：若a b =N ，则b =log a N ，称b 为以a 为底N 的对数，例如23=8，则log 28=log 223=3．根据材料填空：log 39=__________．18．计算：20171313[2()24]5(1)2864-+-⨯÷⨯-．19．计算：2304124()(2)3-⨯+---．20．计算：422311(1){[()0.4(1)](2)}532---+⨯-÷-21．（2018•天津）计算（–3）2的结果等于A ．5B ．–5C ．9D ．–922．（2018•宜昌）计算4+（–2）2×5=A ．–16B ．16C ．20D ．2423．（2018•宜宾）我国首艘国产航母于2018年4月26日正式下水，排水量约为65000吨，将65000用科学记数法表示为 A ．6.5×10–4B ．6.5×104C ．–6.5×104D ．65×10424．（2018•绵阳）四川省公布了2017年经济数据GDP 排行榜，绵阳市排名全省第二，GDP 总量为2075亿元，将2075亿用科学记数法表示为 A ．0.2075×1012 B ．2.075×1011 C ．20.75×1010D ．2.075×101225．（2018•德州）一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.496亿km ，用科学记数法表示1.496亿是 A ．1.496×107B ．14.96×108C ．0.1496×108D ．1.496×10826．（2018•荆门）中国的陆地面积和领水面积共约9970000km 2，9970000这个数用科学记数法可表示为A ．9.97×105B ．99.7×105C ．9.97×106D ．0.997×10727．（2018•长春）长春市奥林匹克公园即将于2018年年底建成，它的总投资额约为2500000000元，2500000000这个数用科学记数法表示为 A ．0.25×1010B ．2.5×1010C ．2.5×109D ．25×10828．（2018•邵阳）据《经济日报》2018年5月21日报道：目前，世界集成电路生产技术水平最高已达到7nm（1nm=10–9m），主流生产线的技术水平为14～28nm，中国大陆集成电路生产技术水平最高为28nm．将28nm用科学记数法可表示为A．28×10–9m B．2.8×10–8m C．28×109m D．2.8×108m29．（2018•河南）今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元，数据“214.7亿”用科学记数法表示为A．2.147×102B．0.2147×103C．2.147×1010D．0.2147×101130．（2018•绍兴）绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态生活环境，浙江省2017年清理河湖库塘淤泥约116000000方，数字116000000用科学记数法可以表示为A．1.16×109B．1.16×108C．1.16×107D．0.116×10931．（2018•恩施州）已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为A．8.23×10–6B．8.23×10–7C．8.23×106D．8.23×10732．（2018•湖州）计算：（–6）2×（12–13）．。
1.5有理数的乘方(教案)
举例：针对负整数乘方的理解，可以设计以下练习：
求2⁻³的值。
解答：2⁻³ = 1/(2³) = 1/8
针对乘方运算与其他运算的结合，可以设计以下练习：
计算：3² + 2 × 4⁻²
解答：首先计算乘方，3² = 9，4⁻² = 1/4，然后进行乘除运算，2 × 1/4 = 1/2，最后进行加法运算，9 + 1/2 = 9.5。
其次，学生在小组讨论环节中，对于有理数乘方在实际生活中的应用提出了很多有趣的想法，这说明他们已经能够在一定程度上运用所学知识。但同时，我也发现部分学生在讨论中较为被动，需要我在今后的教学中多关注这些学生的参与度，鼓励他们更加积极地参与到课堂讨论中来。
此外，实践活动中的实验操作环节，学生对折叠纸张这个实验很感兴趣，但也有些学生操作不够熟练，导致实验结果出现误差。在今后的教学中，我需要加强对学生实验操作的指导，提高他们的动手能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“有理数乘方在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（3）正整数乘方的性质：培养学生熟练运用正整数乘方的性质，如aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ，(aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ等。
（4）负整数乘方的性质：使学生掌握负整数乘方的性质，如a⁻ᵐ = 1/(aᵐ)，(ab)⁻ᵐ = a⁻ᵐb⁻ᵐ等。
举例：讲解正整数乘方的性质时，可以举例如下：
七年级(人教版)集体备课教学设计：1.4.1《有理数的乘法(2)》
七年级（人教版）集体备课教学设计：1.4.1《有理数的乘法（2）》一. 教材分析《有理数的乘法（2）》这一节内容，是在学生已经掌握了有理数的概念、加法、减法、除法的基础上进行学习的。
本节内容主要让学生掌握有理数的乘法法则，并能够熟练地进行计算。
教材通过例题和练习，帮助学生理解和掌握有理数乘法的基本规律，培养学生的运算能力。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对有理数的概念和基本运算有一定的了解。
但是，学生在运算过程中，可能会对有理数乘法的规则理解不深，导致计算错误。
因此，在教学过程中，需要教师通过生动的例子和实际的操作，让学生深刻理解有理数乘法的规律。
三. 教学目标1.理解有理数乘法的基本规则，掌握有理数乘法的运算方法。
2.能够熟练地进行有理数的乘法计算。
3.培养学生的运算能力，提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.教学重点：有理数乘法的基本规则，有理数乘法的运算方法。
2.教学难点：有理数乘法规则的理解和运用。
五. 教学方法采用讲授法、示范法、练习法、讨论法等教学方法。
通过教师的讲解和示范，让学生理解有理数乘法的规则；通过练习和讨论，让学生巩固所学知识，提高运算能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示例题和练习题。
2.准备黑板，用于板书和展示解题过程。
3.准备练习题，用于课堂练习和巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，复习旧知识，引导学生进入新课程。
提问内容可以包括：什么是有理数？有理数可以进行哪些运算？学生回答后，教师总结并引入有理数的乘法。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示有理数乘法的定义和基本规则，让学生初步了解有理数乘法的基本概念。
然后，通过例题，讲解有理数乘法的运算方法，让学生掌握有理数乘法的计算步骤。
3.操练（10分钟）教师让学生在课堂上进行有理数乘法的计算练习。
教师可以设置一些具有代表性的题目，让学生独立完成。
期间，教师可以巡视课堂，解答学生的疑问，指导学生的计算方法。
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1.5 有理数的乘除
第1课时有理数的乘法
1.了解有理数乘法的实际意义,理解有理数的乘法法则,能熟练地进行有理数的乘法运算.
2.经历探索有理数乘法法则的过程,在具体情境中,体会有理数乘法的意义.
3.培养学生的语言表达能力,通过合作学习调动学生学习的积极性和主动性,增强学习数学的信心.
【重点难点】
1.有理数乘法法则.
2.乘法法则的推导.
【新课导入】
1.回忆有理数的加法、减法法则.
2.如果小亮以5千米/小时的速度向西走了3个小时(规定向东为正,向西为负),则小亮现在的位置怎样计算?
【课堂探究】
一、有理数的乘法
1.下列式子的结果符号为正的是( C )
(A)-5×6 (B)(+12)×-
(C)(-7)×(-3) (D)-×0
2.计算:(1)(-5)×(-6);
(2)-×+;
(3)-×-.
解:(1)30. (2)-. (3)1.
二、多个有理数相乘
3.五个数相乘,积为负,那么其中负因数的个数是( D )
(A)1
(B)3 (C)5 (D)1或3或5
4.计算:
(1)(-14)×
+1×
-1×5.5×
+; (2)×
-×(-4)×
-.
解:(1)原式=14×
×××=64.
(2)原式
=-××4
×=-.
1.下列运算结果为负值的是( B )
(A)(-7)×(-6) (B)(-6)×3
(C)0×(-2) (D)(-7)×(-15)
2.已知有理数a,b,c 在数轴上的位置如图所示.
则abc < 0,ac-b < 0.
3.计算:
(1)(-6)×(-7);
(2)(-5)×12;
(3)×;
(4)-2×25;
(5)(-0.3)×-.
分析:(4)-2-×25=(-2)×25+-×25=(-50)+-=-56.
解:(1)42. (2)-60. (3). (4)-56. (5).
4.用正负数表示气温的变化量,上升为正,下降为负.攀登一座山峰,每登高1 km气温的变化量为-6 ℃,攀登3 km后,气温有什么变化?
解:(-6)×3=-18 ℃.即气温下降18 ℃.
5.计算:
(1)(-4)×(-8)-(-5)×|-7|;
(2)-1×+-×1.5;
(3)(-8)×(-5)×(-0.125).
解:(1)原式=32-(-35)=32+35=67.
(2)原式=-1+(-0.5)=-1.5.
(3)原式=-8×5×0.125=-5.。