湖南省长沙县实验中学、汝城县第一中学2014届高三11月联考数学(理)试题 Word版含答案
[理数答案]炎德英才大联考2014长沙一中高三11次月考(模三)
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湖南省长沙县、攸县、醴陵、浏阳四县一中2014届高三上学期11月联考试卷 数学(理) 含答案
2013年下学期长沙县、攸县、醴陵、浏阳四县一中11月联考试卷科目：理科数学时量：120分钟分值：150分命题及审卷：浏阳一中高三理科数学备课组(注:请考生务必将答案写在答卷上，做在试题卷上无效）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共计40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.)1. 已知复数.，则|z｜= （）A。
0 B。
C. 2 D. -22．在正项等比数列｛a n}中，a3＝错误!，a5＝8a7，则a10＝( ）A。
错误! B.错误!C。
错误! D.错误!3．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙（x－2）＜0的实数x的取值范围为( ）A．（－2，1）B．(0,2) C．（－∞，－2）∪（1，＋∞）D．(－1，2）4. 已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若错误!＝a1错误!＋a2 014错误!，且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则S2 014等于（）A．1 007 B．1 008 C．2 013 D．2 0145。
设,,A B C是ABC∆的三个内角，且满足：222+=B C A B Csin sin sin3sin sin则sin()B C +等于（ ）1.2A3B 2C2D 6．已知71cos =α，1413)cos(=-βα，且20παβ<<<，则=β （ ）A.4π B 。
6π C 。
3π D.π1257.已知函数)1)(1()(2+++++-=b a x ax xx x f 的三个零点值分别可以作抛物线,椭圆,双曲线离心率，则22b a +的取值范围（ )A.[)+∞,5 B.()+∞,5C.[)+∞,5D.()+∞,58．若1()1(1)f x f x +=+,当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间(]1,1-内，()()g x f x mx m=--有两个零点，则实数m 的取值范围是（ )A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦第二部分(。
湖南省汝城县第一中学、长沙县实验中学2014届高三十一月联考数学(理)试题 含解析
第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{1,2，a －1}，B ＝｛0,3，a 2＋1}，若{2}AB =，则实数a 的值为 （ ）A ．0 B ．±1C ．－1D ．12.2{||1|1,},{|log1,},A x x x R B x x x R =-≥∈=>∈则“x ∈A ”是“x ∈B ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3.已知}{na 是等比数列,对任意*,0nn N a∈>恒成立，且132546236a a a a a a ++=，则25a a +等于（ )A ．36B ．±6C ．－6D ．6【解析】4。
若,x y R ∈，且1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值等于（）A ．9B ．5C ．3D ．25.如图，平面内的两个单位向量OB OA ,，它们的夹角是60°，OC 与OA 、OB向量的夹角都为30︒,且|OC |=32，若OB OA OC μλ+=,则μλ+值为（ ）A ．2B ．4C ．32D ．346。
如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ）A ．32B ．3C ．4D ．27.已知数列{},{}nna b 满足11a=，且1,n n a a +是函数2()2n n f x x b x =-+的两个零点,则10b 等于（ ）A ．24B ．32C ．48D ．648。
若直角坐标系中有两点,P Q 满足条件：（1）,P Q 分别在函数()y f x =、()y g x =的图象上，（2),P Q 关于点（1，0）对称，则称,P Q 是一个“和谐点对”.函数11y x=-的图象与函数2sin π(24)y x x =-≤≤的图象中“和谐点对”的个数是( ）A ．4B ．6C ．8D ．10第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题,每小题5分（第14、15题第一空2分,第二空3分），共35分.)9。
【领航密卷——高考】湖南省2014届高三第一次联考数学(理)试题(pdf版,答案详细精解)
2014届高三联考试卷(一)数 学(理科)领航教育数学命题组本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分㊂总分150分㊂考试时间120分钟㊂第Ⅰ卷(选择题,共40分)一㊁选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合S ={y |y =2x},T ={x |y =l g (x -1)},则S ɘT =( )A.(0,+ɕ) B .[0,+ɕ) C .(1,+ɕ) D.[1,+ɕ)2.已知命题p ʒ∃x ɪR ,x -2>l gx ,命题q ʒ∀x ɪR ,x 2>0,则( )A.命题p ᶱq 是假命题B .命题p ɡq 是真命题C .命题p ᶱ(췍q )是假命题 D.命题p ɡ(췍q )是真命题3.函数y =l o g a (x +3)-1(a >0,且a ʂ1)的图象恒过定点A ,且点A 在直线m x +n y +1=0上(其中m ,n >0),则1m +2n的最小值等于( )A.16B .12C .9 D.84.设a ɪR ,函数f (x )=e x+a ㊃e -x 的导函数是f ᶄ(x ),且f ᶄ(x )是奇函数.若曲线y =f (x )的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为( )A.l n 2B .-l n 2C .l n 22 D.-l n 225.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (-x )=-f (x +4),当x >2时,f (x )单调递增,若x 1+x 2<4,且(x 1-2)(x 2-2)<0,则f (x 1)+f (x 2)与0的大小关系是( )A.f (x 1)+f (x 2)>0B .f (x 1)+f (x 2)=0C .f (x 1)+f (x 2)<0 D.f (x 1)+f (x 2)ɤ06.已知函数f (x )=e x -1,g (x )=-x 2+4x -3.若存在实数a ,b ,使得f (a )=g (b ),则b 的取值范围是( )A.[2-2,2+2]B .(2-2,2+2)C .[1,3] D.(1,3)7.若关于x 的方程|x |x +2=k x2有四个不同的实数解,则实数k 的取值范围为( )A.(0,1)B .12,()1C .12,()+ɕ D.(1,+ɕ)8.若对于定义在R 上的函数f (x ),其图象是连续不断的,且存在常数λ(λɪR )使得f (x +λ)+λf (x )=0对任意实数x 都成立,则称f (x )是一个 λ 伴随函数 .有下列关于 λ 伴随函数 的结论:①f (x )=0是常数函数中唯一一个 λ 伴随函数 ;②f (x )=x 不是 λ 伴随函数 ;③f (x )=x 2是 λ 伴随函数 ;④ 12 伴随函数至少有一个零点.其中正确结论是多少个( )A.1B .2C .3D.4第Ⅰ卷(选择题)答题表题号12345678答案第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二㊁填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)9.函数y =l o g a (x 2+2x -3).当x =2时,y <0,则此函数的单调递减区间是.10.设函数f (x )=x 2-4x +3,g (x )=3x-2,集合M ={x ɪR |f (g (x ))>0},N ={x ɪR |g (x )<2},则M ɘN 为 .11.设函数f (x )=(x +1)2+s i n x x 2+1的最大值为M ,最小值为m ,则M +m =.12.用m i n {a ,b ,c }表示a ,b ,c 三个数中的最小值㊂设f (x )=m i n {2x,x +2,10-x }(x ȡ0),则f (x )的最大值为 .13.已知函数f (x )=2x-a , x ɤ0x 2-3a x +a ,x >{,有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是.14.某商品在最近100天内的单价f (t )与时间t 的函数关系是f (t )=t 4+22 (0ɤt <40,t ɪN )-t 2+52 (40ɤt ɤ100,t ɪN ìîíïïïï),日销售量g (t)与时间t 的函数关系是g (t )=-t 3+1093(0ɤt ɤ100,t ɪN ).则这种商品的日销售额的最大值为.15.函数f (x )的定义域为D ,若对于任意x 1,x 2ɪD ,当x 1<x 2时,都有f (x 1)ɤf (x 2),则称函数f (x )在D 上为非减函数㊂设函数f (x )为定义在[0,1]上的非减函数,且满足以下三个条件:①f (0)=0;②f (1-x )+f (x )=1,xɪ[0,1];③当x ɪ0,[]14时,f (x )ȡ2x 恒成立㊂则f ()37+f ()59=.三㊁解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)已知集合A ={x |x 2-2x -8ɤ0},B ={x |x 2-(2m -3)x +m (m -3)ɤ0,m ɪR }.(1)若A ɘB =[2,4],求实数m 的值;(2)设全集为R ,若A ⊆C R B ,求实数m 的取值范围.17.(本小题满分12分)已知命题pʒx1和x2是方程x2-m x-2=0的两个实根,不等式a2-5a-3ȡ|x1-x2|对任意实数mɪ[-1,1]恒成立;命题qʒ不等式a x2+2x-1>0有解,若pᶱq为真命题,pɡq为假命题,求a的取值范围.18.(本小题满分12分)设f(x)=3a x2+2b x+c,若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证:(1)a>0且-2<b a<-1;(2)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.19.(本小题满分13分)设函数f(x)=a x-(k-1)a-x(a>0且aʂ1)是定义域为R的奇函数.(1)求k的值;(2)若f(1)=32,且g(x)=a2x+a-2x-2m㊃f(x)在[1,+ɕ)上的最小值为-2,求m的值.20.(本小题满分13分)某蔬菜基地2013年2月2日有一批黄瓜进入市场销售,通过市场调查,预测黄瓜的价格f (x)(单位:元/k g)与时间(表示距2月10日的天数,单位:天,xɪ(0,8])的数据如下表:时间x862价格8420(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述黄瓜价格f(x)与上市时间x的变化关系:f(x)=a x+b,f(x)=a x2+b x+c,f(x)=a㊃b x,f(x)=a㊃l o g b x,其中aʂ0;并求出此函数;(2)为了控制黄瓜的价格,不使黄瓜的价格过于偏高,经过市场调研,引入一控制函数h(x)=e x-(12-2m)x+39.(x>0)m称为控制系数.求证:当m>l n2-1时,总有f(x)<h(x).21.(本小题满分13分)已知函数f(x)=12x2-a l n x(a>0).(1)若a=2,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)在区间[1,e]上的最小值;(3)若f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点,求a的取值范围.2014届数学参考答案(联考试卷一)一㊁选择题:1.C2.D3.D4.A5.C6.B7.D8.B解析:1.S ={y |y >0},T ={x |x >1},ʑS ɘT =(1,+ɕ),选C .2.由图象可知p 真,又q 假故选D .3.a =(-2,-1),ʑ2m +n =1,ʑ1m +2n =1m +2()n ㊃(2m +n )=4+n m +4m nȡ8.选D .4.fᶄ(x )=e x-a ㊃e -x ,又f ᶄ(x )为奇函数,ʑf ᶄ(0)=0,ʑa =1,设切点横坐标为x 0则f ᶄ(x 0)=e x 0-e -x 0=32,即e x 0=2,x 0=l n 2,选A .5.(理)不妨设x 1<x 2则x 1<2,x 2>2,又x 1+x 2<4,ʑ4-x 1>x 2>2,ʑf (4-x 1)>f (x 2),ʑ-f (x 1)>f (x 2),即f (x 1)+f (x 2)<0,故选C .6.f (x )=e x -1>1,ʑg (b )=-b 2+4b -3>-1,ʑ2-2<b <2+2,故选B .7.|x |x +2=k x 2=k |x |2,ʑx =0或1x +2=k |x |,ʑy =1x +2与y =k |x |有不为0的三个交点,ʑk >1,故选D .8.①λ=-1时f (x )可为任一常数函数②f (x )=x 时λx +(x +λ)=0不恒成立③f (x )=x2代入显然不是④λ=12时,f x ()+1=-12f (x ),ʑf ()12=-12f (0),又f (x )图象连续不断,ʑf (x )在0,[]12上至少有一个零点,故选B .二㊁填空题:9.(1,+ɕ) 10.{x |x <1} 11.2 12.6 13.49<a ɤ1 14.808.5 15.1三㊁解答题:16.解:(1)ȵA =[-2,4],B =[m -3,m ],A ɘB =[2,4].(2分)………………………………………………………ʑm -3=2m ȡ{4,ʑm =5.(6分)…………………………………………………………………………………(2)C R B ={x |x <m -3,或x >m },ȵA ⊆B ,ʑm <-2,或m -3>4,ʑm >7或m <-2.(12分)……………17.解:ȵx 1,x 2是方程x 2-mx -2=0的两个实根,ʑx 1+x 2=m x 1x 2{=-2,ʑ|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=m 2+8ʑ当m ɪ[-1,1]时,|x 1-x 2|m a x =3.由不等式a 2-5a -3ȡ|x 1-x 2|对任意实数m ɪ[-1,1]恒成立,可得:a 2-5a -3ȡ3ʑa ȡ6或a ɤ-1.ʑ命题p 为真命题时a ȡ6或a ɤ-1,命题p 为假命题时-1<a <6.(5分)………………命题q ʒ不等式a x 2+2x -1>0有解.①当a >0时,显然有解;②当a =0时,2x -1>0有解;③当a <0时,ȵa x 2+2x -1>0有解.ʑΔ=4+4a >0,ʑ-1<a <0.从而命题p :不等式a x 2+2x -1>0有解时a >-1ʑ命题q 是真命题时a >-1,命题q 是假命题时a ɤ-1.(10分)………………………………………………ȵp ᶱq 真,p ɡq 假,ʑp 与q 有且仅有一个为真.(1)当命题p 是真命题且命题q 是假命题时a ɤ-1.(2)当命题p 是假命题且命题q 是真命题时-1<a <6综上所述:a 的取值范围为a <6.(12分)……………………………………………………………………………18.解:(1)ȵf (0)>0,f (1)>0,所以c >0,3a +2b +c >0.由条件a +b +c =0,消去b 得a >c >0;由条件a +b +c =0消去c ,得a +b <0,2a +b >0.故-2<b a<-1.(6分)…………………………………………………(2)抛物线f (x )=3a x 2+2b x +c 的对称轴为x =-b 3a ,由-2<b a <-1得13<-b 3a <23.即对称轴x ɪ13,()23;而ә=4b 2-12a c =4[(-a -c )2-3a c ]=4(a 2+c 2-a c )>0,且f (0)>0,f (1)>0,所以方程f (x )=0在区间(0,1)内有两个不等的实根.(12分)………………………19.解:(1)由题意,对任意x ɪR ,f (-x )=-f (x ),即a -x -(k -1)a x =-a x+(k -1)a -x ,即(k -1)(a x +a -x )-(a x +a -x )=0,(k -2)(a x+a -x )=0,因为x 为任意实数,所以k =2.(4分)………………………………………………………………………(2)由(1)f (x )=a x-a -x ,因为f (1)=32,所以a -1a =32,解得a =2.故f (x )=2x -2-x ,g (x )=22x +2-2x -2m (2x-2-x ),令t =2x -2-x ,则22x +2-2x =t 2+2,由x ɪ[1,+ɕ),得t ɪ32,[)+ɕ,所以g (x )=h (t )=t 2-2m t +2=(t -m )2+2-m 2,t ɪ32,[)+ɕ,当m <32时,h (t )在ɪ32,[)+ɕ上是增函数,则h ()32=-2,94-3m +2=-2,解得m =2512(舍去)当m ȡ32时,则h (m )=-2,2-m 2=-2,解得m =2,或m =-2(舍去).综上,m 的值是2.(13分)…………………………………………………………………………………………20.解:(1)根据表中数据,表述黄瓜价格f (x )与上市时间x 的变化关系的函数决不是单调函数,这与函数f (x )=a x +b ,f (x )=a ㊃b x,f (x )=a ㊃l o g b x ,均具有单调性不符,所以,在a ʂ0的前提下,可选取二次函数f (x )=a x 2+b x +c 进行描述,把表格提供的三对数据代入该解析式得到:64a +8b +c =836a +6b +c =44a +2b +c ìîíïïï=20,解得a =1,b =-12,c =40.所以,黄瓜价格f (x )与上市时间x 的函数关系是f (x )=x 2-12x +40.x ɪ(0,8].(6分)………………(2)设函数g (x )=h (x )-f (x )=e x -x 2+2m x -1,求导,结果见下表.gᶄ(x )=e x -2x +2m ,继续对g ᶄ(x )求导得g ᵡ(x )=e x-2.表格如下:x(0,l n 2)l n 2(l n 2,+ɕ)g ᵡ(x )-0+gᶄ(x )减极小值增由上表可知g ᶄ(x )ȡg ᶄ(l n 2),而gᶄ(l n 2)=e l n 2-2l n 2+2m =2-2l n 2+2m =2(m -l n 2+1),由m >l n 2-1知g ᶄ(l n 2)>0,所以g ᶄ(x )>0,即g (x )在区间(0,+ɕ)上为增函数.于是有g (x )>g (0),而g (0)=e 0-02+2m ˑ0-1=0,故g (x )>0,即当m >l n 2-1且x >0时,e x >x 2-2m x +1.即h (x )>f (x ).(13分)………………………21.解:(1)a =2,f (x )=12x 2-2l n x ,f ᶄ(x )=x -2x ,f ᶄ(1)=-1,f (1)=12,f (x )在(1,f (1))处的切线方程为2x +2y -3=0.(3分)…………………………………………………(2)由f ᶄ(x )=x -a x =x 2-a x,由a >0及定义域为(0,+ɕ),令f ᶄ(x )=0得x =a .①若a ɤ1,即0<a ɤ1,在(1,e )上,f ᶄ(x )>0,f (x )在[1,e ]上单调递增,因此,f (x )在区间[1,e ]的最小值为f (1)=12.②若1<a <e ,即1<a <e 2,在(1,a )上,f ᶄ(x )<0,f (x )单调递减;在(a ,e )上,f ᶄ(x )>0,f (x )单调递增,因此f (x )在区间[1,e ]上的最小值为f (a )=12a (1-l n a ).③若a ȡe ,即a ȡe 2,在(1,e )上,f ᶄ(x )<0,f (x )在[1,e ]上单调递减,因此,f (x )在区间[1,e ]上的最小值为f (e )=12e 2-a .综上,当0<a ɤ1时,f m i n (x )=12;当1<a <e 2时,f mi n x =12a (1-l n a );当a ȡe 2时,f mi n (x )=12e 2-a .(9分)………………………………………………………………………(3)由(2)可知当0<a ɤ1或a ȡe 2时,f (x )在(1,e )上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点.当1<a <e 2时,要使f (x )在区间(1,e)上恰有两个零点,则ʑ12a (1-l n a )<0f (1)=12>0f (e )=12e 2-a >ìîíïïïïïï0,即a >e a <12e {2,此时,e <a <12e 2.所以,a 的取值范围为e ,12e ()2.(13分)………………………………………………………………………。
2014年高考湖南理科数学精彩试题及问题详解(详解纯word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 满足i z iz =+（i 为虚数单位）的复数=z A. i 2121+ B. i 2121- C. i 2121+- D. i 2121--2. 对一个容量为N 的总体抽取容量为m 的样本，若选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ，2p ，3p ，则 A. 321p p p <= B. 132p p p <= C. 231p p p <= D. 321p p p ==3. 已知分别)(x f ，)(x g 是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g fA. 3-B. 1-C. 1D. 34. 5)221(y x -的展开式中32y x 的系数是A. 20-B. 5-C. 5D. 205. 已知命题:p 若y x >， 则y x -<-；命题:q 若y x >，则22y x > . 在命题① q p ∧； ② q p ∨； ③ )(q p ⌝∧；④ q p ∨⌝)(中，真命题是A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④6. 执行如图1所示的程序框图. 如果输入的]2,2[-∈t ，则输出的S 属于 A. ]2,6[-- B. ]1,5[-- C. ]5,4[- D. ]6,3[-7. 一块石材表示的几何体的三视图如图2所示. 将该石材切割、打磨，加工成球，则能得到最大球的半径等于A. 1B. 2C. 3D. 48. 某市生产总值连续两年持续增加. 第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为A.2q p + B. 21)1)(1(-++q p C. pq D. 1)1)(1(-++q p9. 已知函数)sin()(ϕ-=x x f ，且⎰=3200)(πdx x f ，则函数)(x f 的图象的一条对称轴是A. 65π=x B. 127π=x C. 3π=x D. 6π=x 10. 已知函数)0(21)(2<-+=x e x x f x与)ln()(2a x x x g ++=的图象上存在关于y轴对称的点，则a 的取值范围是A. )1,(e -∞B. ),(e -∞C. ),1(e e -D. )1,(ee -二、填空题：本大题共7小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.(一) 选做题 (请考生在11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分) 11. 在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线:C ⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2y x (α为参数) 交于A 、B 两点，且2||=AB . 以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是____________________. 12. 如图3，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，BC AO ⊥，3=AB ，22=BC ，则⊙O 的半径等于_______.13. 若关于x 的不等式3|2|<-ax 的解集为}3135|{<<-x x ， 则=a ________.（二）必做题（14~16题）14. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤,,4,k y y x x y ，且yx z +=2的最小值为6-，则=k ____.15. 如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为b a ,)(b a <. 原点O 为AD 的中点，抛物线)0(22>=p px y 经过C 、F 两点，则=ab________.16. 在平面直角坐标系中，O 为原点，)0,1(-A ，)3,0(B ，)0,3(C . 动点D 满足1||=，则||++的最大值是_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是32和53. 现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B. 设甲、乙两组的研发相互独立. （1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获得利润100万元. 求该企业可获利润的分布列和数学期望.18. (本小题满分12分)如图5，在平面四边形ABCD 中，1=AD ，2=CD ，7=AC .（1） 求CAD ∠cos 的值；（2） 若147cos -=∠BAD ，621sin =∠CBA ，求BC 的长.19. (本小题满分12分)如图6，四棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都相等，O BD AC = ，11111O D B C A = ， 四边形11A ACC 和四边形11B BDD 均为矩形. （1） 证明：⊥O O 1底面ABCD ;（2）若60=∠CBA ，求二面角D OB C --11的余弦值.20. (本小题满分13分)已知数列}{n a 满足11=a ，nn n p a a =-+||1，*N n ∈.（1）若}{n a 是递增数列，且1a ，22a ，33a 成等差数列，求p 的值； （2）若21=p ，且}{12-n a 是递增数列，是}{2n a 递减数列，求数列}{n a 的通项公式.图6D 1B D21. (本小题满分13分)如图7，O 为坐标原点，椭圆:1C )0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点为21,F F ，离心率为1e ；双曲线:2C 12222=-by a x 的左、右焦点为43,F F ，离心率为2e . 已知2321=e e ，且13||42-=F F .（1）求1C 、2C 的方程；（2）过1F 作1C 的不垂直y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点. 当直线OM 与2C 交于Q P ,两点时，求四边形APBQ 面积的最小值.22. (本小题满分13分)已知常数0>a ，函数.22)1ln()(+-+=x xax x f （1） 讨论)(x f 在区间),0(∞+上的单调性；（2）若)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，且0)()(21>+x f x f ，求a 的取值范围.2014年高考湖南卷理科数学参考答案一、选择题. 1.【答案】B【解析】由题可得i i z zi i z -=-⇒=+)1(，所以i i i z 21211-=--=，故选B 【考点定位】复数 2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得三种抽样方式都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即 321p p p ==，故选D【考点定位】抽样调查 3.【答案】C【解析】令1-=x 可得1)1()1()1()1(=+=---g f g f ，所以故选 C. 或者观察求得1)(2+=x x f ，3)(x x g -=，可求得1)1()1(=+g f .【考点定位】函数奇偶性 4.【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭,则2n =时, ()()2532351*********nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选A. 【考点定位】二项式定理5.【答案】C 【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <,所以命题q 为假命题,所以②③为真命题, 故选C. 【考点定位】命题真假 逻辑连接词 6.【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时 ,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-,故选D.【考点定位】程序框图 二次函数 7.【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则862r r r -+-=⇒=，故选B.【考点定位】三视图 内切圆 球 8.【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=-，故选D.【考点定位】实际应用问题 9.【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++，又由⎰=3200)(πdx x f 得ϕ的一个值为3πϕ=，则56x π=是其中一条对称轴，故选A. 【考点定位】三角函数图像 辅助角公式 10.【答案】B【解析】由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()0220001ln 2xx e x x a +-=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-0=，当0x 趋近于负无穷小时，()001ln 2x e x a --+-趋近于-∞,因为函数()1ln 2x y e x a =--+-在定义域内是单调递增的，所以ln a a <⇒<,故选B.【考点定位】指对数函数 方程二、填空题11.【答案】1)sin (cos =-θθρ （或22)4sin(-=-πθρ）【解析】曲线C 的普通方程为1)1()2(22=-+-y x ，直线l 截曲线C 所得弦长2|=AB ，知直线l 过圆心)1,2(，故直线l 的直角坐标方程为1-=x y 1cos sin -=⇒θρθρ.【考点定位】极坐标，参数方程 12.【答案】23 【解析】设AD 交BC 于点D ，延长AO 交圆于另一点E ，则2==CD BD ，在ABD ∆中由勾股定理可得1=AD ，再由相交弦定理得2=DE ，从而直径3=AE ，半径23=R .【考点定位】勾股定理，相交弦定理等 13.【答案】3-【解析】依得可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--3|231|3|235|a a ，解得3-=a .【考点定位】绝对值不等式14.【答案】2-【解析】画出不等式（组）表示的平面区域，知当y x z +=2过点）（k k ,时取得最小值，所以62-=+k k ，2-=k . 【考点定位】线性规划 15.1【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩1a b ⇒=+,故填1+.【考点定位】抛物线 16.【答案】71+【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆，则设为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈，则(3OA OB OD ++=)sin(728ϕθ++=，所以OA OB OD ++的最大值为17728+=+，故填71+.或由题求得点D 的轨迹方程为1)3(22=+-y x ，数形结合求出OA OB OD ++的最大值即为点)3,1(-到轨迹上的点最远距离( 到圆心的距离加半径) .【考点定位】参数方程 圆 三角函数 数形结合 三、解答题17. 解： 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题可知32)(=E P , 31)(=E P ，53)(=F P ，52)(=F P . 且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.(1) 记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则F E H =，于是1525231)()()(=⨯==F P E P H P ，故所求概率为15131521)(1)(=-=-=H P H P .（2）设企业可获利润为X （万元），则X 的可能取值为0，100，120，220. 又因1525231)()0(=⨯===F E P X P ，1535331)()100(=⨯===F E P X P ，1545232)()120(=⨯===F E P X P ，1565332)()220(=⨯===EF P X P .数学期望为 14015152201512015100150)(==⨯+⨯+⨯+⨯=X E .18. 解：（1）在ADC ∆中，则余弦定理，得ADAC CD AD AC CAD ⋅-+=∠2cos 222.由题设知，77272417cos =-+=∠CAD . （2）设α=∠BAC ，则CAD BAD ∠-∠=α因为772cos =∠CAD ，147cos -=∠BAD ， 所以721)772(1cos 1sin 22=-=∠-=∠CAD CAD ， 14213)147(1cos 1sin 22=--=∠-=∠BAD BAD . 于是CAD BAD CAD BAD CAD BAD ∠∠-∠∠=∠-∠=sin cos cos sin )sin(sin α23721)147(77214213=⋅--⋅=. 在ABC ∆中，由正弦定理，CBA ACBC ∠=sin sin α，故 3621237sin sin =⋅=∠⋅=CBA AC BC α. 19. 解：（1）如图 (a)，因为四边形11A ACC 为矩形，所以AC CC ⊥1，同理BD DD ⊥1. 由题知，11//CC OO ，11//DD OO ，所以AC OO ⊥1，BD OO ⊥1，又 O BD AC = ， 故 ⊥O O 1底面ABCD . (2)解法1 如图(a)，过1O 作11OB H O ⊥于H ，连接1HC . 由(1)知，⊥O O 1底面ABCD ，所以⊥O O 1底面1111D C B A ，于是. ⊥O O 111C A ，又因为四棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都相等，所以四边形1111D C B A 为菱形，因此1111D B C A ⊥，从而⊥11C A 平面11B BDD ,所以O B C A 111⊥，于是⊥O B 1平面11HC O ，进而 ⊥O B 11HC ，故11HO C ∠是二面角D OB C --11的平面角.不妨设2=AB ,因为60=∠CBA ，所以1,311===C O OC OB ，71=OB ，在11B OO Rt ∆中，易知73211111=⋅=OB B O OO H O ，719212111=+=H O C O H C ，故19572719732cos 1111===∠HC HO HO C ，即二面角D OB C --11的余弦值为19572. 解法2因为四棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，因此BD AC ⊥，又⊥O O 1底面ABCD ，从而OB ，OC ，1OO 两两垂直.如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，1OO 分别为x 轴， y 轴，z 轴建立空间坐标系xyz O -.不妨设2=AB ,因为60=∠CBA ，所以1,3==OC OB ，于是相关各点的坐标为：)0,0,0(O ，)2,0,3(1B ，）2,1,0(1C ，易知 )0,1,0(1=n 是平面11B BDD 的一个法向量，设),,(2z y x n =是平面11C OB 的一个法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01212OC n OB n ，即⎩⎨⎧=+=+02023z y z x ，取3-=z ，则32,2==y x ，于是)3,32,2(2-=n .设二面角D OB C --11的大小为θ，易知θ为锐角，于是|,cos |cos 21><=n n θ2121=195721932==. 即二面角D OB C --11的余弦值为19572. 20. 解：（1）因为}{n a 是递增数列，所以nn n n n p a a a a =-=-++||11，而11=a ，因此p a +=12，231p p a ++=，又1a ，22a ，33a 成等差数列，所以31234a a a +=，因而032=-p p ，解得31=p 或0=p ， 但当0=p 时，n n a a =+1，与}{n a 是递增数列相矛盾，故31=p . (2) 由于}{12-n a 是递增数列，因而 01212>--+n n a a ，于是0)()(122212>-+--+n n n n a a a a ① 且 1222121-<n n ，所以 ||||122212-+-<-n n n n a a a a ②则①②可知，0122>--n n a a ，因此122121222)1(21----==-n nn n n a a ， ③因为是}{2n a 递减数列，同理可得0212<-+n n a a ，故nn n n n a a 21222122)1(21++-=-=-， ④ 由③④即得 n n n n a a 2)1(11++-=-. 于是 )()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a 122)1(21211--++-+=n n.2)1(3134211])21(1[(21111---⋅+=+--+=n n n 故数列}{n a 的通项公式为*).(2)1(31341N n a n nn ∈-⋅+=-21. 解：（1）因为2321=e e ，所以232222=+⋅-a b a a b a ，因此得 44443a b a =-，即222b a =，从而)0,(2b F ，)0,3(4b F ，于是13||342-==-F F b b ，所以1=b ，22=a .故1C 、2C 的方程分别是 1222=+y x ，1222=-y x . (2) 由于AB 过)0,1(1-F 且不垂直y 轴，故可设直线AB 的方程为 1-=my x 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12122y x my x 得 012)2(22=--+my y m 易知此方程的判别式大于0，设),(,),(2211y x B y x A ，则21,y y 是上述方程的两个实根，所以 22221+=+m m y y ，21221+-=⋅m y y . 因此242)(22121+-=-+=+m y y m x x ，于是AB 中点)2,22(22++-m m m M ， 因此直线PQ 的斜率为2m -，其方程为x m y 2-=. 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=12222y x x m y 得 4)2(22=-x m ，所以022>-m ，2224m x -=，2222m m y -=， 从而 22222422||m m y x PQ -+=+=.设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以 4|2||2|222211++++=m y mx y mx d ，因为点A 、B 在直线PQ 的异侧， 所以 0)2)(2(2211<++y mx y mx ，于是|22||2||2|22112211y mx y mx y mx y mx --+=+++从而 4||)2(22212+-+=m y y m d ，又21224)(||222122121++⋅=-+=-m m y y y y y y ， 所以 4122222++⋅=m m d ，故四边形APBQ 面积 2222312221222||21m mm d PQ S -+-⋅=-+⋅=⋅=， 而 2202≤-<m ，故当0=m 时，S 取最小值2.综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.22. 解：（1） 222)2)(1()1(4)2(2)2(21)('++-+=+-+-+=x ax a ax x x x ax a x f （*） 当1≥a 时，0)('>x f ，此时，)(x f 在区间),0(∞+上单调递增；当10<<a 时，由0)('=x f 得 a a x -=121（aa x --=122舍去）， 当),0(1x x ∈时，0)('<x f ，当),(1∞+∈x x 时，0)('>x f ，故)(x f 在区间),0(1x 上单调递减，在区间),(1∞+x 上单调递增. 综上所述，当1≥a 时， )(x f 在区间),0(∞+上单调递增；当10<<a 时，)(x f 在区间)12,0(a a -上单调递减，在区间),12(∞+-aa 上单调递增.（2）由（*）式知，当1≥a 时， 0)('>x f ，此时)(x f 不存在极值点. 因而要使 )(x f 存在两个极值点，必有10<<a ，且)(x f 的极值点只可能是a a x -=121和a a x --=122，且由)(x f 的定义可知，a x 1->且2-≠x ，所以a a a 112->-- 且212-≠--a a ，解得21≠a . 此时，则（*）式知，1x ，2x 分别是)(x f 的极小值点和极大值点. 而 22)1ln(22)1ln()()(22211121+-+++-+=+x x ax x x ax x f x f4)(2)(44])(1ln[2121212121221+++++-+++=x x x x x x x x x x a x x a 12)1(4)12ln(2----=a a a 2122)12ln(2--+-=a a . 令x a =-12，由10<<a 且21≠a 知，当210<<a 时，01<<-x ；当121<<a 时，10<<x . 并记22ln )(2-+=xx x g ， （i ）当01<<-x 时，22)ln(2)(-+-=x x x g ，02222)('22<-=-=x x x x x g ， 因此，)(x g 在区间)0,1(-上单调递减，从而04)1()(<-=-<g x g ，故当210<<a 时，0)()(21<+x f x f .(ii) 当10<<x 时，22ln 2)(-+=x x x g ，02222)('22<-=-=x x x x x g ， 因此，)(x g 在区间)1,0(上单调递减，从而0)1()(=>g x g ，故当121<<a 时，0)()(21>+x f x f .综上所述，满足条件的a 的取值范围是)1,21(.。
2014年高考湖南理科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年湖南，理1，5分】满足ii z z+=（i 为虚数单位）的复数z =（ ）（A ）11i 22+ （B ）11i 22- （C ）11i 22-+ （D ）11i 22--【答案】B【解析】由题意()i i 11i i i 1i i i 1i 22z z z z z z +-=⇒+=⇒-=-⇒==--，故选B ．（2）【2014年湖南，理2，5分】对一个容量为N 的总体抽取容量为m 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ） （A ）123p p p =< （B ）231p p p =< （C ）132p p p =< （D ）123p p p == 【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==，故选D ． （3）【2014年湖南，理3，5分】已知()f x ，()g x 分别是定义R 在上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，则()()11f g +（ ）（A ）-3（B ）-1 （C ）1 （D ）3 【答案】C 【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=，则()()()()()()1131211111f g f f g g ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=，故选C ．（4）【2014年湖南，理4，5分】51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是（ ）（A ）-20 （B ）-5 （C ）5 （D ）20 【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2n =时，()()2532351*********nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．（5）【2014年湖南，理5，5分】已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >．在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中，真命题是（ ）（A ）①③ （B ）①④ （C ）②③ （D ）②④ 【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-，所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <，所以命题q 为假命题，所以②③为真命题，故选C ．（6）【2014年湖南，理6，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ）（A ）[]6,2-- （B ）[]5,1-- （C ）[]4,5- （D ）[]3,6- 【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下，(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-，当[]0,2t ∈时，[]33,1S t =-∈--，则(][][]2,63,13,6S ∈---=-，故选D ．（7）【2014年湖南，理7，5分】一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ，则862r r r -+-=，故选B ．（8）【2014年湖南，理8，5分】某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为（ ）（A ）2p q +（B ）(1)(1)12p q ++- （C（D1【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒，故选D ．（9）【2014年湖南，理9，5分】已知函数发()()sin f x x ϕ=-，且230()0x f x dx =⎰，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ）（A ）56x π= （B ）712x π= （C ）3x π= （D ）6x π=【答案】A【解析】解法一：函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++，因为()232sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭， 所以23k πϕπ=+或423k ππ+，则56x π=是其中一条对称轴，故选A ． 解法二：由定积分的几何性质与三角函数图象可知,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()sin()f x x ϕ=-的一个对称中心，所以sin()03πϕ-=，所以3k πϕπ=+，故选A ．（10）【2014年湖南，理10，5分】已知函数21()(0)2x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图像上存在关于y轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,)-∞（B ）(,-∞ （C）(（D）(【答案】B【解析】由题可得函数()f x 的图像上存在点020001(,)(0)2x P x x e x +-<关于y 轴对称的点02001(,)2x Q x x e -+-在函数2()ln()g x x x a =++的图像上，从而有()0220001ln()2x x e x x a +-=-+-+，即001ln()02x e x a --+-=．问题等价于函数1()ln()2x h x e x a =--+-在(),0x ∈-∞存在零点．解法一：1'()0x h x e x a=+>-+，()h x 在(),0x ∈-∞单调递增，当x →-∞时，()h x →-∞，要使()h x 在(),0-∞存在零点，则1(0)1ln 02h a =-->，从而a <B ．解法二： 问题等价于函数1()2x x e φ=-与()ln()x x a ϕ=-+的图象在(),0-∞有交点,在同一坐标系中作出这两个函数的图象，当()ln()x x a ϕ=-+的图象在左右平移的过程中，(0)(0)h ϕ>即可，即a e <，故选B ．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（一）选做题：在11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按全两题记分． （11）【2014年湖南，理11，5分】在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于,A B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，则直线l 的极坐标方程是 ．【答案】2sin 4πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【解析】曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+，因为弦长2AB =，所以圆心()2,1到直线l 的距离0d =，所以圆心在直线l 上，故1y x =-2sin cos 1sin 4πρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-=- ⎪⎝⎭．（12）【2014年湖南，理12，5分】如图3，已知,AB AC 是O 的两条弦，,3AO BC AB ⊥=，22BC =则O的半径等于 ． 【答案】32【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ，则2BD DC ==，由三角形ABD 的勾股定理可得1AD =，由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=，则直径332AE r =⇒=．（13）【2014年湖南，理13，5分】若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a = ．【答案】3-【解析】由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-．（二）必做题（14~16题）（14）【2014年湖南，理14，5分】若变量,x y 满足约束条件4y xx y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为6-，则k = ． 【答案】2- 【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2，且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤，则当(),k k 为最优解时，362k k =-⇒=-，当()4,k k -为最优解时，()24614k k k -+=-⇒=，因为2k ≤，所以2k =-．（15）【2014年湖南，理15】如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线经过,C F 两点，则ba= ．【答案】21+【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩21a b ⇒=+．（16）【2014年湖南，理16，5分】在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(0,3),(3,0)A B C -，动点D 满足1CD =，则OA OB OD ++的最大值是 ． 【答案】17+【解析】动点D 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，可设D 的坐标为(3cos ,sin )θθ+，则(2cos ,3sin )OA OB OD θθ++=++．()()222cos 3sin OA OB OD θθ++=+++()822cos 3sin θθ=++()87sin θϕ=++，其中43sin ,cos 77ϕϕ==， 当()sin 1θϕ+=时，OA OB OD ++的取到最大值17+．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2014年湖南，理17，12分】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35．现 安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发相互独立． （1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．解：记{E =甲组研发新产品成功}，{F =乙组研发新产品成功}．由题意知2132(),(),(),()3355P E P E P F P F ====， 且E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．（1）记{E =至少有一种新产品研发成功}，则H EF =，于是122()()()3515P H P E P F ==⋅=，故所求的概率为13()1()15P H P H =-=．（2）设企业可获利润为X ，则X 的可能取值为0,100,120,220．因122(0)()3515P X P EF ===⋅=，133224236(100)(),(120)(),(220)().351535153515P X P EF P X P EF P X P EF ===⋅====⋅====⋅=X0 100 120 220 P215 315 415 615 数学期望为：()0120100220151555E X =⨯+⨯+⨯+⨯14015==．（18）【2014年湖南，理18，12分】如图，在平面四边形ABCD 中，1,2,7AD CD AC ===．（1）求cos CAD ∠的值；（2）若7cos BAD ∠=-，21sin CBA ∠=，求BC 的长．解：（1）在ADC ∆中，由余弦定理，得：222cos 2AC AD CD CAD AC AD +-∠=⋅，故由题设知，27cos .27CAD ∠==． （2）设BAC α∠=，则BAD CAD α=∠-∠，因为27cos CAD ∠=，7cos BAD ∠=-，所以221sin 1cos CAD CAD ∠=-∠=, 2221sin 1cos BAD BAD ∠=-∠=， 于是()3sin sin sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD BAD CAD α=∠-∠=∠∠-∠∠= 在ABC ∆中，由正弦定理，sin sin BC AC CBAα=∠，故37sin 23sin 21AC BC CBA α⋅⋅===∠． （19）【2014年湖南，理19，13分】如图,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,11111,AC BD O AC B D O ==，四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形．（1）证明:1O O ⊥底面ABCD ；（2）若060CBA ∠=，求二面角11C OB D --的余弦值．解：（1）如图（a ），因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥，同理1DC BD ⊥．因为11//CC DD ，所以1CC BD ⊥，而AC BD O =，因此1CC ⊥平面ABCD ， 由题设知11//O O C C ，故1O O ⊥平面ABCD ． （2）解法一： 如图（a ），过1O 作11O H B C ⊥于H ，连接1C H ．由（1）知，1O O ⊥平面ABCD ，所以1O O ⊥平面1111A B C D ，于是111O O AC ⊥，又四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，所以1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥，从而11AC ⊥平面11B BDD ，所以111AC OB ⊥，于是1OB ⊥平面11O HC ，进而11OB C H ⊥，所以11O HC ∠为二面角11C OB D --的平面角，不妨设2AB =， 因为060CBA ∠=，所以11,OB OC OB === 在11Rt OO B ∆中，易知11111O O O H B O B O =⋅=,又111O C =．于是1C H ===故1111cos O H O HC C H ∠====11C OB D --． 解法二：因为四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，所以ABCD 是菱形，因此 AC BD ⊥，又1O O ⊥平面ABCD ，从而1,,OB OC OO 两两垂直．如图（b ），以1,,OB OC OO 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设2AB =，因为060CBA ∠=，所以1OB OC =．于是相关各点的坐标为11(0,0,0),(0,1,2)O B C ，易知，1(0,1,0)=n 是平面 平面11B BDD 的一个法向量．设2(,,)x y z =n 是平面11OB C 的一个法向量， 则212100OB OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即2020z y z +=+=⎪⎩，取z =2,x y ==所以2=n ．设二面角11C OB D --的大小为，易知是锐角，于是 121212cos cos ,θ⋅=<>===⋅n n n n n n ．二面角11C OB D -- （20）【2014年湖南，理20，13分】已知数列{}n a 满足111,,*n n n a a a p n N +=-=∈．（1）若数列{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值；（2）若12p =，且{}2+1n a 是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式． 解：（1）因为数列{}n a 是递增数列，11nn n n n a a a a p ++-=-=，而11a =，因此2231,1a p a p p =+=++，又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而得230p p -=．解得1,03p p ==．当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，故13p =．（2）{}2+1n a 是递增数列，因而2+1210n n a a -->，于是()()2+122210n n n n a a a a --+-> ① 但2211122n n -<，所以2+12221n n n n a a a a --<- ② 由①，②知，2210n n a a -->，因此()221221211122n n n n n a a ----⎛⎫-== ⎪⎝⎭③ 因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<，故()21221221122n nn n na a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭④图a 1A OC B D1C 1B 1D A1O H1由③，④知，()1112n n n na a ++--==，于是121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()()()11211111111412111222233212n n nnnn -+-----=+-++=+=+⋅+．数列{}n a 的通项公式为()1141332nn n a --=+⋅．（21）【2014年湖南，理21，13分】如图，O 为坐标原点，椭圆221221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线222221(0)x yC a b a b-=>>：的左右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ，已知123e e =，且2431F F =-．（1）求12C C ，的方程；（2）若1F 过作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值． 解：（1）因为123e e =，所以2222311b b a a -+=，即4434a b -=，因此222a b =，从而24(,0),(3,0)F b F b ， 24331b b F F -==-，所以1b =，22a =，椭圆1C 方程为2212x y +=，双曲线2C 的方程为2212x y -=． （2）因为直线AB 不垂直于y 轴且过点()11,0F -，故课设直线AB 的方程为1x my =-．由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my +--=．易知此方程的判别式大于0．设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是上述方程的两个实根，所以12122221,22m y y y y m m -+=⋅=++，因此()12122422x x m y y m -+=+-=+，AB 的中点为222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，故直线PQ 的斜率为2m -，PQ 的方程为2m y x =-，即20mx y +=． 由22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得()2224m x -=，222222420,,22m m x y m m ∴->==--，2222+4222m PQ x y m ∴=+=- 设点A 到直线PQ 的距离为d ，则B 点到直线PQ 的距离也为d ，所以112222224mx y mx y d m +++=+因为点,A B 在直线20mx y +=的异侧，所以()()1122220mx y mx y +++<， 于是112211222222mx y mx y mx y mx y +++=+--，从而()2122224my y d m +-=+又因为()22121212222144m y y y y y y m +-=+-=+，所以2222124m d m +=+四边形APBQ 面积222122132221222m S PQ d m m+=⋅==-+-- 而2022m <-<，故当0m =时，S 取得最小值2．四边形APBQ 面积的最小值为2．（22）【2014年湖南，理22，13分】已知常数0a >，函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+．（1）讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且12()()0f x f x +>，求a 的取值范围．解：（1）()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x +-=++，（*）因为()()2120ax x ++>， 所以当10a -≤时，当1a ≥时，()'0f x ≥，此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增，当01a <<时,()12'0f x x x =⇒==-，当1(0,)x x ∈时，()'0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，()'0f x <． 故()f x 在区间1(0,)x 单调递减，在1(,)x +∞单调递增的． 综上所述：当1a ≥时,()'0f x ≥，此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增，当01a <<时, ()f x 在区间10,2a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,在12a a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增的． （2）由（*）式知，当1a ≥时，()'0f x ≥函数()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，必有01a <<，又()f x 的极值点只可能是1x =2x =-，且由()f x 的定义可知，1x a >-且2x ≠-，所以1a ->-，2--，解得12a ≠-，此时，（*）式知1x ，2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点，而1212121222()()ln(1)ln(1)22x x f x f x ax ax x x +=+-++-++ ()()()121221212121244ln 1224x x x x a x x a x x x x x x ++⎡⎤=+++-⎣⎦+++()()()22412ln 21ln 2122121a a a a a -=--=-+---． 令21a x -=，由01a <<且12a ≠-知当102a <<时，10x -<<；当112a <<时，01x <<．记22()ln 2g x x x =+-．（ⅰ）当10x -<<时，()2()2ln 2g x x x =-+-，所以222222'()x g x x x x -=-=，因此，()g x 在()1,0-上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<，故当102a <<时，12()()0f x f x +<．（ⅱ）当01x <<时，2()2ln 2g x x x =+-，所以222222'()x g x x x x-=-=，因此，()g x 在()0,1上单调递减， 从而()(1)0g x g >=，故当112a <<时，12()()0f x f x +>． 综上所述，满足条件的a 的取值范围是为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．。
湖南省长沙县实验中学、汝城县第一中学2014届高三11月联考化学试题(含答案)
长沙县实验中学、汝城县第一中学2014届高三11月联考化学试题时量：90分钟 满分：100分 命题人：龚魁文 审题人：王小琦可能用到的相对原子质量：H ：1 C ：12 N ：14 O ：16 Na ：23 Al:27 S ：32 Fe ：56一、选择题：(每小题2分，共40分。
每小题只有一个正确答案) 1．下列分类或归类正确的是（ ）①液氯、氨水、干冰、碘化银均为纯净物 ②CaCl 2、NaOH 、HCl 、IBr 均为化合物 ③明矾、水银、烧碱、硫酸均为强电解质 ④C 60、C 70、金刚石、石墨均为碳的同素异形体 ⑤碘酒、淀粉、水雾、纳米材料均为胶体A ．①③④B ．②③C ．②④D ．②③④⑤ 2．下列有关化学用语使用正确的是（ ）A ．CO 2的电子式： ∶O∶C∶O∶B ．次氯酸的结构式： H —O —ClC ．中子数为18的氯原子结构示意图：D ．二氧化硅的分子式为：SiO 23．设N A 为阿伏加德罗常数的值，下列叙述不正确．．．的（ ） A ．5g 质量分数为46%的乙醇溶液中，氢原子的总数为0.6N A B ．5.6 g 铁与0.1 mol 氯气充分反应转移电子数为 0.2N AC ．50 mL 12 mol•L -1 浓盐酸与足量二氧化锰加热反应，转移电子数为0.3 N AD ．常温常压下，46g NO 2 与 N 2O 4的混合气体中含有的原子总数为3N A4．将等物质的量浓度的CuSO 4溶液和NaCl 溶液等体积混合后，用石墨电极进行电解，电解过程中，溶液pH 随时间t 变化的曲线如右图，则下列说法正确的是（ ）A ．阳极产物一定是Cl 2，阴极产物一定是CuB ．BC 段表示在阴极上是H +放电产生了H 2 C ．整个过程中阳极先产生Cl 2，后产生O 2D ．CD 段表示阳极上OH 一放电破坏了水的电离平衡，产生了H +5．2013年6月20日，中国首次太空授课活动成功举行，神舟十号航天员王亚平在天宫一号展示了失重环境下的物理现象。
2014年11月高三考试卷(理)
2014年11月高三试卷数学（理科）（考试时量：120分钟 满分150分）问卷一:单选题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知集合{}|2A x x =>-，集合{}|ln ,1B y y x x ==>，则A B =A ．()2,0-B ．()2,1-C ．()2,-+∞D ．()0,+∞2．在复平面内，复数321i i--对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知命题:p “0a ∀>，有e 1a≥成立”，则p ⌝为A. 0a ∃≤，有e 1a ≤成立 B ． 0a ∃≤，有e 1a≥成立 C ． 0a ∃>，有e 1a <成立 D ．0a ∃>，有e 1a≤成立4．ABC ∆中，3A π∠=，3BC =，AB =C ∠=A ．6πB ．4π C ．34πD ．4π或34π5．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n = A ．5 B ．6C ．7D ．86．将函数sin 2y x =的图像向右平移π8个单位后，所得图象的一条对称轴方程是 A ．π8x =-B ．π8x =C ．π4x =D ．π4x =-7．设平面向量a 、b 、c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8．在下列区间中，函数34)(-+=x e x f x 的零点所在的区间为A. )41,0( B ． )21,41( C ．)43,21( D ． )1,43(9．下图，有一个是函数3221()(1)13f x x ax a x =++-+(,0)a R a ∈≠的导函数'()f x 的图象，则(1)f -等于A ．13 B ．73 C ．13- D ．13-或5310．设奇函数]1,1[)(-在x f 上是增函数，且12)(,1)1(2+-≤-=-at t x f f 若函数对所有的]1,1[-∈x 都成立，当]1,1[-∈a 时，则t 的取值范围是A ．22≤≤-tB ．2121≤≤-t C ．022=-≤≥t t t 或或 D ．02121=-≤≥t t t 或或二.填空题：（本题共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知α是钝角，3cos 5α=-，则sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．12．已知平面向量a 、b ，若3=a ，-=a b 6⋅=a b ，则=b ．13．已知数列{}n a 的前n 项和为31nn S =-，那么该数列的通项公式为n a =_______. 14．已知函数()log (2)1m f x x =-+（0m >，且1m ≠）的图象恒过点P ，且点P 在直线1ax by +=上，那么ab 的最大值为 ． 15．已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M x y x yN N =挝上的一个映射，正整数数对(,)x y 在映射f 下的象为实数z ，记作(,)f x y z =. 对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：则使不等式(2,)4x f x £成立的x 的集合是_____________．三：解答题：（本大题共6小题，共75分。
湖南省长沙县实验中学、汝城县第一中学高三数学11月联考试题 理 新人教A版
湖南省长沙县实验中学、汝城县第一中学2014届高三数学11月联考试题 理 新人教A 版时量：120分钟 满分：150分（考试范围：集合与常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、解三角形、平面向量、数系的扩充与复数的引入、数列、不等式、推理与证明、立体几何）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置。
1．已知集合A ＝{1，2，a －1}，B ＝{0，3，a 2＋1}，若{2}A B =，则实数a 的值为 （ ） A ．0 B ．±1 C ．－1 D ．12．2{||1|1,},{|log 1,},A x x x R B x x x R =-≥∈=>∈则“x ∈A ”是“x ∈B ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3．已知}{n a 是等比数列，对任意*,0n n N a ∈>恒成立，且132546236,a a a a a a ++=，则25a a +等于（ ）A ．36B ．±6C ．－6D ．64．若,x y R ∈，且1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值等于（ ）A ．9B ．5C ．3D ．2 5．如图，平面内的两个单位向量OB OA ,，它们的夹角是60°，与、向量的夹角都为30︒，且||=32，若μλ+=，则μλ+值为（ ） A ．2B ．4C ．32D ．346．如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为 （ ） A ．32 B ．3C ．4D ．27．已知数列{},{}n n a b 满足11a =，且1,n n a a +是第5题图 CBOA函数2()2n n f x x b x =-+的两个零点，则10b 等于（ ） A ．24 B ．32 C ．48 D ．648．若直角坐标系中有两点,P Q 满足条件：（1）,P Q 分别在函数()y f x =、()y g x =的图象上，（2）,P Q 关于点（1，0）对称，则称,P Q 是一个“和谐点对”。
2014高考真题—数学理(湖南卷)Word版含解析
2014高考真题—数学理（湖南卷）Word版含解析2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时间120分钟,满分150分.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.满足为虚数单位)的复数( )A．B．C．D．2.对一个容量为的总体抽取容量为的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别是则( )A．B．C．D．3.已知分别是定义在上的偶函数和奇函数,且,则( )A．－3 B．－1 C．1 D．34.的展开式中的系数是( )A．－20 B．－5 C．5 D．205.已知命题若,则,命题若,则.在命题:①②③④中,真命题是( )A．①③B．①④C．②③D．②④6.执行如图右所示的程序框图,如果输入的,则输出的属于( )A. B．C．D．7.一块石材表示的几何体的三视图如图右所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A．1 B．2C．3 D．48.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为,第二年的增长率为,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A．B．C．D．9.已知函数且,则函数的图象的一条对称轴是( )A．B．C．D．10.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则的取值范围是( )A．B．C．D．二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.(一)选做题(请考生在第11、12、13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)11.在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线与曲线为参数)交于两点,且,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线的极坐标方程是.12.如图右,已知是的两条弦,,则的半径等于.13.若关于的不等式的解集为,则.(二)必做题(14-16题)14.若变量满足约束条件,且的最小值为－6,则.15.如图右,正方形和正方形的边长分别为,原点为的中点,抛物线经过两点,则.16.在平面直角坐标系中,为原点,,动点满足,则的最大值是.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品.设甲、乙两组的研发相互独立.(Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率;(Ⅱ)若新产品研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.18.(本小题满分12分)如图右,在平面四边形中,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若求的长.19.(本小题满分12分)如图,四棱柱的所有棱长都相等,四边形和四边形均为矩形.(Ⅰ)证明:底面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.20.(本小题满分13分)已知数列满足(Ⅰ)若是递增数列,且成等差数列,求的值;(Ⅱ)若,且是递增数列,是递减数列,求数列的通项公式.21.(本小题满分13分)如图右,为坐标原点,椭圆的左、右焦点分别为,离心率为;双曲线的左、右焦点分别为,离心率为.已知且(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)过作的不垂直于轴的弦为* 的中点.当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.22.(本小题满分13分)已知常数,函数(Ⅰ)讨论在区间上的单调性;(Ⅱ)若存在两个极值点且求的取值范围.参考答案一.选择题1【解】选B.由,即选B.2【解】选D. 根据随机抽样的原理可得简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即,故选D.3【解】选C.由函数奇偶性,联想转化:.4【解】选A.二项式的通项为,令时,,故选A.5【解】选C.显然真假,所以可知复合命题①、③正确,选C.6【解】选D. 由程序框图可知①当时,运行程序如下,;②当时,则;综上①②可知,故选D.7【解】选B.由三视图可得该几何体为三棱柱(倒置:长为12、宽为6的矩形侧面与地面接触).易知不存在球与该三棱柱的上、下底面及三个侧面同时相切,故最大的球是与其三个侧面同时相切,所以最大球的半径为上(下)底面直角三角形内切圆的半径,则,故选B.8【解】选D.设两年的年平均增长率为,则有,故选D.9【解】选A.由得,,即,可化为,即,可得,也所以,经检验可知A选项符合.10【解】选B.依题意在曲线取一点,则在曲线上存在一点与之对应(关于轴对称),所以在上有解,即,也即在上有解,由于分别为上增函数、减函数,于是结合图象易知,方程在上有解的充要条件为,即,选B.二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.11【解】填.依题意曲线的普通方程为,设直线的方程为,因为弦长,所以圆心到直线的距离,所以圆心在直线上,故.12【解】填.设,易知,中由勾股定理可得,连接,则有.13【解】填-3 .由题可得,故填.(二)必做题(14-16题)14【解】填-2 .如右图所示,,且可行域为三角形,故当目标函数过点时,有最小值,即,即.15【解】填.由条件可知在抛物线上,代入点易得,又代入点得,,即,可化为,得,又因为,所以,即为所求.16【解】填.由知,动点在上,设,则,其几何意义为上动点与定点间距离的平方,如右图所示,由平面几何知,.三.解答题17【解】(Ⅰ)记{甲组研发新产品成功},{乙组研发新产品成功}.由题设知相互独立,且,又记事件"至少有一种新产品研发成功"为,则...............6分(Ⅱ)记该企业可获利润为(万元),则的可能取值有0,100,120,220.100120220且易知;;故所求的分布列为(如右表所示):且......................12分18【解】(Ⅰ)如图右,在中,由余弦定理,得...............5分(Ⅱ)设,则,因为,且,所以,同理,于是,,.............................................10分所以在中,由正弦定理有,即为所求...................12分19【解】(Ⅰ)证明:如图右,因为四边形为矩形,所以,同理,因为,所以,而,因此底面.由题设知,故底面;..................6分(Ⅱ)解法1 如图右,由(Ⅰ)知底面,所以底面,于是.又由题设知四边形是菱形,所以,而,故平面,于是过点作于,连结则(三垂线定理),故是二面角的平面角.不妨设,因为,所以,在中,,而,于是,故中,有,即二面角的余弦值为....................................................12分解法2 由题设知四边形是菱形,所以,又(Ⅰ)已证底面,从而两两垂直,如图右,以为原点,所在直线分别分轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.不妨设,因为,所以,于是相关各点的坐标为,易知是平面的一个法向量.设是平面一个法向量,则,即,令,则,故,设二面角的大小为,由图可知为锐角,于是,故二面角的余弦值为....................................................12分20【解】(Ⅰ)因为是递增数列,所以,而,因为,又成等差数列,所以,因而,解得或,当时,,这与是递增数列矛盾.故;....................................6分(Ⅱ)由于是递增数列,因而,于是,......①而,......②由①②知,,即,......③因为是递减数列,同理可得,故......④由③④即知,,所以,又当时,也适合上式,故............................13分21【解】(Ⅰ)因为所以,得,从而,于是,即,故的方程分别为..........5分(Ⅱ)由(Ⅰ)易知,依题意设,,由,得,显然恒成立,所以,故,于是的中点,故直线的斜率为,即直线,即,由得,即,由双曲线的对称性易,由为的中点,显然到直线的距离相等,即,所以,又因为在直线的两侧,故,于是,又因为,即,故四边形的面积为,由,故当时,有最小值2,综上所述,四边形面积的最小值为2...................13分22【解】(Ⅰ)由,()①当时,;②当时,由得,(舍去),且由于二次函数的图象是开口向上的抛物线,故易知:当时,,当时,,综上所述,当时,在区间上单调递增;当时,在区间上递减,在区间上递增.......6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以①当时,,此时不存在极值点.②当时,的两根为,依题意是定义域上的两个极值点,故必有,解得,结合二次函数的图象可知,当时,分别是的极小值、极大值点.且.而,令,则,于是,即在上递减,所以①当时,,与的题意矛盾,舍去;②当时,,符合题意.综上可知,要使则必须有,即为所求.......13分。
湖南省湘中名校2014届高三上学期第一次大联考数学(理)试题 含解析
湖南省湘中名校2014届高三第一次大联考数学（理)试题一、选择题：本大题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置.1. 已知函数()()lg 1f x x =-的定义域为M ，函数1y x=的定义域为N ，则MN =（ ）A 。
{}10x x x <≠且B . {}10x x x ≤≠且 C. {}1x x > D 。
{}1x x ≤2.已知命题p ：020,log 1xR x +∃∈=，则p ⌝是（）A ． 2,log 1x R x +∀∈≠ B ．2,log1x R x +∀∉≠C ．020,log1x R x +∃∈≠ D ．020,log1x R x +∃∉≠3. 下列函数中既是偶函数又在（0，+∞）上是增函数的是（ ) A 。
3x y = B.1||+=x y C.ln ()xf x x=D 。
||2x y -=【答案】B 【解析】试题分析：由题意得本题包含两个条件。
首先是偶函数的有B ，C ，D.在（0,)+∞上递增的有.只有B 正确。
由于2ln 1ln (),'().x x f x f x xx -=∴=所以函数在（0，e ）上递增，（e ,)+∞上递减.所以排除C 选项。
当(0,)x ∈+∞时,122()2xx x y --===是减函数.所以排除D 选项. 当(0,)x ∈+∞时，11y x x =+=+是增函数.所以选B 。
考点:1。
函数的奇偶性。
2。
函数的单调性.3.分类的思想.4.求导的知识。
4. 设函数()f x 的定义域为R ，0(0)x x≠是()f x 的极大值点,以下结论一定正确的是( )A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤ B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点 D ．0x -是()f x --的极小值点5。
已知幂函数y=f(x ）的图象过点(1222则log 2f(2）的值为( ）A ．12B ．—12C ．2D ．—2,则函数6. 如图（1）,函数()y f x=的图象为折线ABC,设()()g x f f x=⎡⎤⎣⎦()y g x=的图象为( ）【答案】A【解析】试题分析：依题意x从—1到0则y从—1到1递增;并且x从0到1则y从1到-1递减。
2014届高三数学试题(理科)
2014届高三数学试题(理科）出卷人： 班别： 姓名： 学号： 分数： 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．集合{|lg 0}M x x =>，2{|9}N x x =≤，则MN =（ ）A ．(1,3)B ．[1,3)C ．(1,3]D ．[1,3]2. 已知复数(1)z i i =+ (为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x =则抛物线的方程是( ) A.28y x = B. 28y x =- C. 24y x =- D. 24y x =4.如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ） A. 363(2)π+ B. 363(2)π+C. 1083πD. 108(32)π+(1,1)a =-，(3,)b m =，//()a a b +，则m =（ ）A ． 2B ．2-C ．3-D ．3ξ服从正态分布(3,4)N ，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则a =（ ）A ． 3B ．53 C ．5 D ．737．在△ABC 中，已知b ＝4 ，c ＝2 ，∠A＝120°，则a = （ ）A ．2B ．6C ．2 或6D ．278．函数,),(D x x f y ∈=若存在常数C ，对任意的,1D x ∈存在唯一的D x ∈2使得,)()(21C x f x f =则称函数)(x f 在D 上的几何平均数为C ．已知],2,1[,)(3∈=x x x f 则函数3)(x x f =在[1,2]上的几何平均数为（ ）A ．2B ．2C ．4D ．22二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．在等差数列{}n a 中，有67812a a a ++=，则此数列的前13项之和为 . 10．62()x x-展开式中，常数项是 . 11．执行如图的程序框图，那么输出S 的值是 .A B C 、、，A ={直线}，B ={平面}，C A B =． 若,,a A b B c C ∈∈∈，给出下列四个命题：①//////a b a c c b ⎧⇒⎨⎩ ②//a b a c c b ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ③//a b a cc b ⎧⇒⊥⎨⊥⎩④//a ba c c b⊥⎧⇒⊥⎨⎩ 其中所有正确命题的序号是 .13．设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数32z x y =-的最小值为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为cos()324πρθ-=，曲线C ：1ρ=上的点到直线的距离为d ，则d 的最大值为 .15.(几何证明选讲选做题) 如图圆O 的直径6AB =,P 是AB 的延长线上一点,过点P 作圆O 的切线,切点为C ,连接AC ,若30CPA ∠=︒,则PC = . 三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分） 已知()sin()1f x A x ωϕ=++ ，（x R ∈，其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图像上一个最低点为2(,1)3M π- （1）求()f x 的解析式； （2）当[0,]12x π∈时，求()f x 的值域． 17．(本小题满分13分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。
2014年湖南省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2014•湖南）满足=i（i为虚数单位）的复数z=（）A．+i B．﹣iC．﹣+iD．﹣﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的基本运算即可得到结论．解答：解：∵=i，∴z+i=zi，即z===﹣i，故选：B．点评：本题主要考查复数的计算，比较基础．2．（5分）（2014•湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3考点：简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．解答：解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3．故选：D．点评：本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．3．（5分）（2014•湖南）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1D．3考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：将原代数式中的x替换成﹣x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x=1即可．解答：解：由f（x）﹣g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成﹣x，得f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x3+x2+1，根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x），得f（x）+g（x）=﹣x3+x2+1，再令x=1，计算得，f（1）+g（1）=1．故选：C．点评：本题属于容易题，是对函数奇偶性的考查，在高考中，函数奇偶性的考查一般相对比较基础，学生在掌握好基础知识的前提下，做题应该没有什么障碍．本题中也可以将原代数式中的x直接令其等于﹣1也可以得到计算结果．4．（5分）（2014•湖南）（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数是（）A．﹣20 B．﹣5 C．5D．20考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可．解答：解：由二项式定理可知：T r+1=，要求解（x﹣2y）5的展开式中x2y3的系数，所以r=3，所求系数为：=﹣20．故选：A．点评：本题考查二项式定理的通项公式的应用，基本知识的考查．5．（5分）（2014•湖南）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．解答：解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即命题q为假命题，则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题，故选：C．点评：本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．6．（5分）（2014•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论．解答：解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础．7．（5分）（2014•湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A．1B．2C．3D．4考点：球内接多面体；由三视图求面积、体积；球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．解答：解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则8﹣r+6﹣r=，∴r=2．故选：B．点评：本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（5分）（2014•湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）A．B．C．D．﹣1考点：有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：根据增长率之间的关系，建立方程关系即可得到结论．解答：解：设原来的生产总值为a，平均增长率为x，则a（1+p）（1+q）=a（1+x）2，解得1+x=，即x=﹣1，故选：D．点评：本题主要考查指数幂的计算，根据条件建立条件关系是解决本题的关键，比较基础．9．（5分）（2014•湖南）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；定积分．专题：三角函数的图像与性质．分析：由f（x）dx=0求得cos（φ+）=0，故有φ+=kπ+，k∈z．可取φ=，则f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．解答：解：∵函数f（x）=sin（x﹣φ），f（x）dx=﹣cos（x﹣φ）=﹣cos（﹣φ）﹣[﹣cos（﹣φ）]=cosφ﹣sinφ=cos（φ+）=0，∴φ+=kπ+，k∈z，即φ=kπ+，k∈z，故可取φ=，f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，则函数f（x）的图象的一条对称轴为x=，故选：A．点评：本题主要考查定积分，函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．10．（5分）（2014•湖南）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣，）（﹣∞，）考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，采用数形结合的方法可判断出a的取值范围．解答：解：由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，如图所示，当a＜0时，y=ln（﹣x+a）=ln[﹣（x﹣a）]的图象可由y=ln（﹣x）的图象向左平移a 个单位得到，可发现此时e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0有负根一定成立；当a＞0时，y=ln（﹣x+a）=ln[﹣（x﹣a）]的图象可由y=ln（﹣x）的图象向右平移a 个单位得到，观察图象发现此时e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0有负根的临界条件是函数y=ln（﹣x+a）经过点（0，），此时有lna=，解得a=，因此要保证e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0有负根，则必须a＜．故选：B．点评：本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用，难度大．二、填空题（共3小题，每小题5分，满分10分）（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：，（α为参数）交于A，B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是ρ（cosθ﹣sinθ）=1．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：由题意可得直线l的方程为y=x+b，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正好等于直径，可得圆心（2，1）在直线l上，由此求得b的值，可得直线的方程．解答：解：设倾斜角为的直线l的方程为y=x+b，曲线C：（α为参数），即（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，表示以（2，1）为圆心、半径等于1的圆．由于弦长|AB|=2，正好等于直径，故圆心（2，1）在直线l上，故有1=2+b，解得b=﹣1，故直线l的方程为y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0．再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0，即ρ（cosθ﹣sinθ）=1 故答案为：ρ（cosθ﹣sinθ）=1．点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，直线和圆的位置关系，属于基础题．12．（5分）（2014•湖南）如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，则⊙O的半径等于 1.5．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；立体几何．分析：设垂足为D，⊙O的半径等于R，先计算AD，再计算R即可．解答：解：设垂足为D，⊙O的半径等于R，则∵AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=，BC=2，∴AD=1，∴R2=2+（R﹣1）2，∴R=1.5．故答案为：1.5点评：本题考查垂径定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．13．（2014•湖南）若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜}，则a=﹣3．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：分a=0、a＞0、a＜0三种情况，分别去掉绝对值求得不等式的解集，再把求得的解集和所给的解集作对比，从而求得a的值，综合可得结论．解答：解：显然，a=0不满足条件．当a＞0时，由关于x的不等式|ax﹣2|＜3可得﹣3＜ax﹣2＜3，解得﹣＜x＜，再根据的解集为{x|﹣＜x＜}，∴，a无解．当a＜0时，由关于x的不等式|ax﹣2|＜3可得﹣3＜ax﹣2＜3，解得＜x＜﹣，再根据的解集为{x|﹣＜x＜}，∴，解得a=﹣3，故答案为：﹣3．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．（二）必做题（14-16题）14．（5分）（2014•湖南）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=﹣2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可．解答：解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．目标函数为2x+y=﹣6，由，解得，即A（﹣2，﹣2），∵点A也在直线y=k上，∴k=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15．（5分）（2014•湖南）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a ＜b），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p＞0）经过C，F两点，则=．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C，F两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p后，得到a，b的关系式，再寻求的值．解答：解：由题意可得，，将C，F两点的坐标分别代入抛物线方程y2=2px中，得∵a＞0，b＞0，p＞0，两式相比消去p得，化简整理得a2+2ab﹣b2=0，此式可看作是关于a的一元二次方程，由求根公式得，取，从而，故答案为：．点评：本题关键是弄清两个正方形与抛物线的位置关系，这样才能顺利写出C，F的坐标，接下来是消参，得到了一个关于a，b的齐次式，应注意根的取舍与细心的计算．16．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C （3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是+1．考点：参数方程化成普通方程；向量在几何中的应用．专题：坐标系和参数方程．分析：由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），求得|++|=．根据4cosθ+2sinθ的最大值为=2，可得|++|的最大值．解答：解：由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），则|++|==．∵4cosθ+2sinθ的最大值为=2，∴|++|的最大值是=+1，故答案为：+1．点评：本题主要考查参数方程的应用，求向量的模，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分17．（12分）（2014•湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可，（Ⅱ）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可．解答：解：（Ⅰ）设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和．则P（B）=，再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1﹣P（B）=，故至少有一种新产品研发成功的概率为．（Ⅱ）由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220，由独立试验的概率计算公式可得，，，，，所以X的分布列如下：X 0 120 100 220P（x）则数学期望E（X）==140．点评：本题主要考查了对立事件的概率，分布列和数学期望，培养学生的计算能力，也是近几年高考题目的常考的题型．18．（12分）（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．（Ⅱ）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．解答：解：（Ⅰ）cos∠CAD===．（Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣，∴sin∠BAD==，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD==∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=，∴由正弦定理知=，∴BC=•sin∠BAC=×=3点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．19．（12分）（2014•湖南）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．（Ⅰ）证明：O1O⊥底面ABCD；（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由已知中，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．可得O1O∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD，进而OO1⊥AC，OO1⊥BD，再由线面垂直的判定定理得到O1O⊥底面ABCD；（Ⅱ）设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为2a，设AB为2，若∠CBA=60°，OA=OC=1，OB=OD=，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO1为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面BDD1B1和平面OB1C1的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值．解答：证明：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，∴四边形ABCD为菱形，又∵AC∩BD=O，故O为BD的中点，同理O1也是B1D1的中点，又∵四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，∴O1O∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD，∴OO1⊥AC，OO1⊥BD，又∵AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，∴O1O⊥底面ABCD；解：（Ⅱ）设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均相等，所以四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵O1O⊥底面ABCD，∴OB，OC，OO1两两垂直，如图，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系O﹣xyz．设AB=2，∵∠CBA=60°，∴OA=OC=1，OB=OD=，则O（0，0，0），B1（），C1（0，1，2）易知，=（0，1，0）是平面BDD1B1的一个法向量，设=（x，y，z）是平面OB1C1的一个法向量，则，即取z=﹣，则x=2，y=2，所以=（2，2，﹣）设二面角C1﹣OB1﹣D的大小为θ，易知θ是锐角，于是：cosθ=|cos＜，＞|=||==，故二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值为．点评：本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．20．（13分）（2014•湖南）已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a2和a3，再由等差中项的性质列出关于p的方程求解，利用“{a n}是递增数列”对求出的p的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“|a n+1﹣a n|=p n”、不等式的可加性，求出和a2n+1﹣a2n=，再对数列{a n}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{a n}的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．解答：解：（Ⅰ）∵数列{a n}是递增数列，∴a n+1﹣a n＞0，则|a n+1﹣a n|=p n化为：a n+1﹣a n=p n，分别令n=1，2可得，a2﹣a1=p，，即a2=1+p，，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，即4（1+p）=1+3（p2+p+1），化简得3p2﹣p=0，解得或0，当p=0时，数列a n为常数数列，不符合数列{a n}是递增数列，∴；（2）由题意可得，|a n+1﹣a n|=，则|a2n﹣a2n﹣1|=，|a2n+2﹣a2n+1|=，∵数列{a2n﹣1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，则﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，两不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，又∵|a2n﹣a2n﹣1|=＞|a2n+2﹣a2n+1|=，∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，则a2n+1﹣a2n=当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），，，，…，，这2m﹣1个等式相加可得，==，则；当数列{a n}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*），，，…，，这2m个等式相加可得，…﹣…+=﹣=，则，且当m=0时a1=1符合，故，综上得，．点评：本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．21．（13分）（2014•湖南）如图，O为坐标原点，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：﹣=1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2=，且|F2F4|=﹣1．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q 两点时，求四边形APBQ面积的最小值．考点：圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由斜率公式写出e1，e2，把双曲线的焦点用含有a，b的代数式表示，结合已知条件列关于a，b的方程组求解a，b的值，则圆锥曲线方程可求；（Ⅱ）设出AB所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB中点M的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB的长度，写出PQ的方程，和双曲线联立后解出P，Q的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P，Q到AB的距离，然后代入代入三角形面积公式得四边形APBQ的面积，再由关于n 的函数的单调性求得最值．解答：解：（Ⅰ）由题意可知，，且．∵e1e2=，且|F2F4|=﹣1．∴，且．解得：．∴椭圆C1的方程为，双曲线C2的方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F1（﹣1，0）．∵直线AB不垂直于y轴，∴设AB的方程为x=ny﹣1，联立，得（n2+2）y2﹣2ny﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则，．则==．∵M在直线AB上，∴．直线PQ的方程为，联立，得．解得，代入得．由2﹣n2＞0，得﹣＜n＜．∴P，Q的坐标分别为，则P，Q到AB的距离分别为：，．∵P，Q在直线A，B的两端，∴．则四边形APBQ的面积S=|AB|．∴当n2=0，即n=0时，四边形APBQ面积取得最小值2．点评：本题考查圆锥曲线方程的求法，是直线与圆锥曲线、圆锥曲线与圆锥曲线间的关系的综合题，考查了椭圆与双曲线的基本性质，关键是学生要有较强的运算能力，是压轴题．22．（13分）（2014•湖南）已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣．∴f′（x）==，∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当0＜a≤1时，由f′（x）=0得x=±，则函数f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≥1时，f′（x）≥0，此时f（x）不存在极值点．因此要使f（x）存在两个极值点x1，x2，则必有0＜a＜1，又f（x）的极值点值可能是x1=，x2=﹣，且由f（x）的定义域可知x＞﹣且x≠﹣2，∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a≠，则x1，x2分别为函数f（x）的极小值点和极大值点，∴f（x1）+f（x2）=ln[1+ax1]﹣+ln（1+ax2）﹣=ln[1+a（x1+x2）+a2x1x2]﹣=ln（2a﹣1）2﹣=ln（2a﹣1）2+﹣2．令2a﹣1=x，由0＜a＜1且a≠得，当0＜a＜时，﹣1＜x＜0；当＜a＜1时，0＜x＜1．令g（x）=lnx2+﹣2．（i）当﹣1＜x＜0时，g（x）=2ln（﹣x）+﹣2，∴g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（﹣1，0）上单调递减，g（x）＜g（﹣1）=﹣4＜0，∴当0＜a＜时，f（x1）+f（x2）＜0；（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+﹣2，g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，∴当＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（，1）．点评：本题主要考查学生对含有参数的函数的单调性及极值的判断，考查利用导数判断函数的单调性及求极值的能力，考查分类讨论思想及转化划归思想的运用和运算能力，逻辑性综合性强，属难题．。
2014年高考湖南理科数学试题及答案(详解纯word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（理工农医类)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 满足i z iz =+（i 为虚数单位）的复数=z A 。
i 2121+ B. i 2121- C 。
i 2121+- D 。
i 2121--2。
对一个容量为N 的总体抽取容量为m 的样本，若选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ，2p ，3p ,则A 。
321p p p <= B. 132p p p <= C 。
231p p p <= D 。
321p p p ==3. 已知分别)(x f ，)(x g 是定义在R 上的偶函数和奇函数,且1)()(23++=-x x x g x f ,则=+)1()1(g fA 。
3- B. 1- C 。
1 D. 34. 5)221(y x -的展开式中32y x 的系数是A. 20-B. 5- C 。
5 D. 205. 已知命题:p 若y x >, 则y x -<-；命题:q 若y x >，则22y x > . 在命题 ① q p ∧; ② q p ∨； ③ )(q p ⌝∧;④ q p ∨⌝)( 中，真命题是A 。
①③ B. ①④ C 。
②③ D. ②④6. 执行如图1所示的程序框图。
如果输入的]2,2[-∈t ，则输出的S 属于 A. ]2,6[-- B 。
]1,5[-- C. ]5,4[- D 。
]6,3[-7. 一块石材表示的几何体的三视图如图2所示。
将该石材切割、打磨，加工成球，则能得到最大球的半径等于A 。
1B 。
2C 。
3D 。
48。
某市生产总值连续两年持续增加。
湖南省湘中名校2014届高三第一次大联考试题数学理科(有答案)
湖南省湘中名校2014届高三第一次大联考试题数学理科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
考试时间120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷 （选择题，共40分）一、选择题（本大题8小题，每小题5分，共40分） 1、设集合}0212|{≤-+=x x x A ,集合B 是()ln(1x )f x =-｜｜的定义域， 则A U B . A 、[1,21] B 、(-1,2］Ｃ、（-1，1）U （1，2）D 、（-1，2）２、已知曲线x x y ln 342-=的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为 。
A 、3B 、2C 、1D 、21 3、已知定义在R 上的函数)(x f y =和)(x g y =，则“)()(x g y x f y ==和都是奇函数”是“)()(x g x f y +=是奇函数”的 条件。
A 、充分不必要 B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分也不必要4、函数)6cos()2(23x x Sin y -++=ππ的最大值为 。
A 、413 B 、413 C 、213 D 、135、四棱锥S-ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD 如下列结论中不正确的是 。
A 、AB ⊥SA B 、BC//平面SADC 、BC 与SA 所成的角等于AD 与 SC 所成的角D 、SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 6、已知数列｛a n ｝的通项公式为1n 1)32()94(---=n n a ,则数列｛a n ｝ A 、有最大项，没有最小项 B 、有最小项，没有最大项 C 、既有最大项又有最小项 D 、既没有最大项也没有最小项7、若0<x<4π,则4x 与3sin2x 的大小关系 。
A 、4x>3sin2xB 、4x<3sin2xC 、4x=3sin2xD 、与x 的取值有关8、ω是正实数，设ωS =｛θ｜f （x ）=cos[ω（x+θ）]是奇函数｝，若对每个实数a ，ωS （a ，a+1）的元素不超过4个，则ω的取值范围是 。
湖南省汝城县第一中学、长沙县实验中学高三数学十一月联考试题 文(含解析)新人教A版
第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本大题共9个小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.【题文】设全集U R =,集合{3},{05}A x x B x x =≥=≤<，则集合()U C A B = ( )A ．{03}x x <<B ．{03}x x ≤<C ．{03}x x <≤D ．{03}x x ≤≤2.【题文】设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3- Ｂ． 1-Ｃ．1Ｄ．33.【题文】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ) A ． 38 B ．338 C ．316D ．33164.【题文】等差数列}{n a 中,若1201210864=++++a a a a a ,则15S 的值为（ ） A ．180B ．240C ．360D ．7205.【题文】在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A.（-14，0） B.（0，14 ） C.（14，12） D.（12，34）【解析】6.【题文】已知,a b R ∈，则“a b ＝1”是222a b +≥的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.【题文】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －1x ＋7a －2x ＜1a xx ≥1在(－∞，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，12)C ．[38，12)D ．[38，1)8.【题文】设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于B A ,两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2e （ ） A ．221+ B ．223+ C ．224- D ．225-边平方得：22224(942)a b a c a +=-，222(942)b c a ∴+=-.9.【题文】定义在R 上的函数f (x)满足f (4)=1，()f x '为函数f (x)的导函数，已知()f x '的图像如图所示，若两个正数a ,b 满足f (2a+b )<1，则11b a ++的取值范围是（ ） 1111.(,5).(,).(,)(5,).(,3)3533A B C D -∞⋃+∞-∞第Ⅱ卷（共105分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）10.【题文】在直角坐标系xOy 中，过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ==⎧⎨⎩（ϕ为参数）的右焦点，斜率为12的直线方程为 .11.【题文】设α是第三象限角，且tan2α=，则sin()cos()23sin()2παπαπα-+=+.【解析】12.【题文】某调查机构就某单位一千多名职工的月收入进行调查，现从中随机抽出100名，已知抽到的职工的月收入都在[1500,4500)元之间，根据调查结果得出职工的月收入情况残缺的频率分布直方图如下图（图左）所示，则该单位职工的月收入的平均数．．．大约是元.13.【题文】执行上面（图右）的程序框图，输出的S 值为 .OA（3,1），（2,4），，点C在OA上的射影为点D，则|OD|的最大值14.【题文】已知=OB=|BC|=1为.考点：向量的模、向量的数量积15.【题文】某计算装置有一个数据入口A 和一个运算出口B ，从入口A 输入一个正整数n 时，计算机通过 循环运算，在出口B 输出一个运算结果，记为f (n).计算机的工作原理如下：31)1(=f 为默认值，f (n ＋1)的值通过执行循环体“f (n ＋1)＝)(3212n f n n ⋅+-”后计算得出.则f (2)＝ ；当从入口A 输入的正整 数n ＝__ _时，从出口B 输出的运算结果是5751.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.【题文】在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，已知：2222(sin sin )()sin A C a b B -=-，ABC ∆2.（1） 求角C 的大小；（2） 求ABC ∆的面积S 的最大值.2223sin (sincos sin cos )33A A A ππ=- 23sin cos 3sin A A A =+17.【题文】已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取学生n人，成绩分为A(优秀)、B（良好）、C(及格)三个等级，设x，y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中数学成绩为B等级的共有20+18+4=42人，已知x与y均为B等级的概率是0. 18．（1）若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；（2）在地理成绩为C等级的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数少的概率．18.【题文】如图，在四棱锥E—ABCD中，底面ABCD为边长为5的正方形，AE 平面CDE， AE=3.BE平面ACF；(1)若F为DE的中点，求证：//(2)求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值．19.【题文】大学生自主创业已成为当代潮流．某大学大三学生夏某今年一月初向银行贷款两万元作开店资金，全部用作批发某种商品．银行贷款的年利率为6%，约定一年后一次还清贷款．已知夏某每月月底获得的利润是该月月初投人资金的15％，每月月底需要交纳个人所得税为该月所获利润的20%,当月房租等其他开支1500元，余款作为资金全部投入批发该商品再经营，如此继续，假定每月月底该商品能全部卖出．（1)设夏某第n 个月月底余n a 元，第n+l 个月月底余1n a +元，写出a 1的值并建立1n a +与n a 的递推关系； （2）预计年底夏某还清银行贷款后的纯收入．111211-1112-121.12 3.48,1.12 3.90,0.127.4310,0.128.9210≈≈≈⨯≈⨯（参考数据：）由递推公式经变形，可通过等比数列通项公式得到18400 1.1212500n n a -=⨯+，再将12n =20.【题文】已知中心在原点O ，焦点在x 322,2 （1）求椭圆的方程；、、的斜率依次成等比数列，（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP PQ OQ面积的取值范围.求OPQ21.【题文】设函数()1ln 1af x x ax x-=-+-． （1）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）当13a =时，求函数()f x 的单调区间； （3）在（2）的条件下，设函数()25212g x x bx =--，若对于1x ∀∈[1，2]， 2x ∃∈[0，1]，使()()12f x g x ≥成立，求实数b 的取值范围.。
湖南省汝城县第一中学、长沙县实验中学高三数学十一月联考试题 理(含解析)新人教A版
湖南省汝城县第一中学、长沙县实验中学2014届高三数学十一月联考试题 理（含解析）新人教A 版第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{1，2，a －1}，B ＝{0，3，a 2＋1}，若{2}A B =，则实数a 的值为 （ ）A ．0B ．±1C ．－1D ．12.2{||1|1,},{|log 1,},A x x x R B x x x R =-≥∈=>∈则“x ∈A ”是“x ∈B ”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件3.已知}{n a 是等比数列，对任意*,0n n N a ∈>恒成立，且132546236a a a a a a ++=，则25a a +等于（ ） A ．36B ．±6C ．－6D ．6【解析】4.若,x y R ∈，且1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值等于（ ）A ．9B ．5C ．3D ．25.如图，平面内的两个单位向量,，它们的夹角是60°，OC 与OA 、OB 向量的夹角都为30︒，且|OC |=32，若OB OA OC μλ+=，则μλ+值为（ ） A ．2B ．4C ．32D ．346.如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ） A ．32B ．3C ．4D ．27.已知数列{},{}n n a b 满足11a =，且1,n n a a +是函数2()2n n f x x b x =-+的两个零点，则10b 等于 （ ）A ．24B ．32C ．48D ．648.若直角坐标系中有两点,P Q满足条件：（1）,P Q分别在函数()y f x=、()y g x=的图象上，（2）,P Q关于点（1，0）对称，则称,P Q是一个“和谐点对”.函数11yx=-的图象与函数2sinπ(24)y x x=-≤≤的图象中“和谐点对”的个数是（）A．4 B．6 C．8 D．10第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，每小题5分（第14、15题第一空2分，第二空3分），共35分.） 9.复数4+3i 1+2i的虚部是 .10.若11(2)3ln 2(1)ax dx a x+=+>⎰，则a 的值是 .11.若关于x 的不等式()21m x x x ->-的解集为{}12x x <<，则实数m 的值为 .【解析】12.已知二次函数2()()f x ax x c x R =-+∈的值域为[0,)+∞，则22c a a c+++的最小值为 .13.在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB⊥AC，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体A —BCD 中，DA⊥面ABC ，点O 是A 在面BCD 内的射影，且O 在面BCD 内，类比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面积之间关系为14.定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质：(1)2*20141=；(2)(22)*2014n +=3[(2)*2014]n ⨯，则2012*2014= .15.若函数D x x f y ∈=),(同时满足下列条件，（1）在D 内为单调函数；（2）存在实数m ， n ．当],[n m x ∈时，],[n m y ∈，则称此函数为D 内的等射函数，设aa a x f x ln 3)(-+=)1,0(≠>a a 且则： (1) )(x f 在(－∞,+∞)的单调性为 (填增函数或减函数)；(2)当)(x f 为R 内的等射函数时，a 的取值范围是 ．【解析】三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，△ABC 的面积S 满足cos 2S A =. （1）求角A 的值；（2）若a =B 的大小为,x 用x 表示c ，并求c 的取值范围．17.已知x ＝1是函数()(2)()x f x ax e a R =-∈的一个极值点， (Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)当12,[0,2]x x ∈时，证明：12()().f x f x e -≤【解析】18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，∠=90BAC ,点D 是棱11B C 的中点.（Ⅰ）求证：1A D ⊥平面11BB C C ； （Ⅱ）求证：1//AB 平面1A DC ； （Ⅲ）求二面角1D AC A --的余弦值.因为11C C B C C ,19.湖南省环保研究所对长沙市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数()f x 与时刻x 的关系为22()2,[0,24]13x f x a a x x =-++∈+，其中a 是与气象有关的参数，且1[0,]2a ∈，若用每天()f x 的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作()M a .(Ⅰ)令2,[0,24]1x t x x =∈+，求t 的取值范围； (Ⅱ)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？20.已知数列{}n a 满足：111,4,n n n a a a n S +=+=是数列{}n a 的前n 项和.数列{}n b 前n 项的积为n T ，且(1)22n n n T +=（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）是否存在常数a ,使得{}n S a -成等差数列？若存在，求出a ，若不存在，说明理由；（Ⅲ）是否存在*m N ∈，满足对任意自然数n m >时，nn b S >恒成立，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.21.设函数321()(4),()ln(1)3f x mx m xg x a x =++=-，其中0a ≠． ( I )若函数()y g x =图象恒过定点P ，且点P 关于直线32x =的对称点在()y f x =的图象上，求m 的值；(Ⅲ)在(I)的条件下，设(),2()(),2f x x G xg x x ≤⎧=⎨>⎩，曲线()y G x =上是否存在两点P 、Q ，使△OPQ(O 为原点)是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y 轴上？如果存在，求a 的取值范围；如果不存在，说明理由．0) ………………(1分)。
湖南省长沙县实验中学2014届高三下学期第一次模拟试题 数学(理) Word版含答案[ 高考]
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理科数学(2014.2.24)命题人：周强衡 审题人：黄亚林本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页22小题，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{1,2,3}A =，{}(,)|,,B x y x A y A x y A =∈∈+∈，则B 中所含元素的个数为A ．2B ．3C ．4D ．62．在复平面内，复数1i12iz -=+对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．以q 为公比的等比数列{n a }中，1a ＞0，则“13a a <”是“q ＞1”的A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（ ）5.两人进行乒乓球比赛,先赢三局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢 局次的不同视为不同情形)共有（ ） A ．30种B ．20种C ．15种D ．10种6．对于函数1()42x x f x m +=-⋅，若存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数m 的取值范围是( )A ．1m ≤B ．1m ≥C ．D ．7．已知1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=(0a >，0)b >的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．B ．(1C ．)+∞D ．)+∞8．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 的取值范围是（ ）A.10,5,5+∞（]（）B. 10,[5,5+∞（））C.11,]5,775（（）D.11,[5,775（））二、填空题：本大题共8小题，考生作答7个小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分） 9．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点M(4，3π)到曲线2)3cos(=-πθρ上的点最短距离为____，10．（几何证明选讲选做题）如图，⊙O 的直径AB =4，C 为圆周上一点，AC =3，CD 是⊙O 的切线，BD ⊥CD 于D ,则CD = ．11．(不等式选讲选做题) 设x ，y ，z∈R ，且满足：x 2＋4y 2＋9z 2＝3，则x ＋2y ＋3z 的最大值为________ （二）必做题（12-16题） 12. 已知0t >，若(21)6tx dx -=⎰，则t 的值等于13. 已知函数f （x ）＝－x 2＋ax －2b ．若a ，b 都是区间[0,4]内的数，则使f （1）>0成立的概率是 ．14. 我市教育管理部门用问卷调查的方式对市区1000名中学生开展 了‘我爱读名著”活动情况调查，x(单位：小时）表示平均半学年 度课外读书时间，现按读书时间分下列四种情况进行统计：① 0 ~ 10小时； ②10 ~ 20小时; ③20 ~ 30小时；④30小时以上。
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长沙县实验中学高三数学备课组组稿 命题人：曾福旺 审题人：张 旭时量：120分钟 满分：150分（考试范围：集合与常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、解三角形、平面向量、数系的扩充与复数的引入、数列、不等式、推理与证明、立体几何）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置。
1．已知集合A ＝{1，2，a －1}，B ＝{0，3，a 2＋1}，若{2}A B = ，则实数a 的值为 （ ） A ．0 B ．±1 C ．－1 D ．1 2．2{||1|1,},{|log 1,},A x x x R B x x x R =-≥∈=>∈则“x ∈A ”是“x ∈B ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3．已知}{n a 是等比数列，对任意*,0n n N a ∈>恒成立，且132546236,a a a a a a ++=，则25a a +等于（ ）A ．36B ．±6C ．－6D ．64．若,x y R ∈，且1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值等于（ ）A ．9B ．5C ．3D ．2 5．如图，平面内的两个单位向量OB OA ,，它们的夹角是60°，OC 与OA 、OB 向量的夹角都为30︒，且|OC |=32，若OB OA OC μλ+=，则μλ+值为（ ） A ．2B ．4C ．32D ．346．如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为 （ ） A ．32 B ．3C ．4D ．2第5题图 CBOA7．已知数列{},{}n n a b 满足11a =，且1,n n a a +是函数2()2nn f x x b x =-+的两个零点，则10b 等于（ ）A ．24B ．32C ．48D ．648．若直角坐标系中有两点,P Q 满足条件：（1）,P Q 分别在函数()y f x =、()y g x =的图象上，（2）,P Q 关于点（1，0）对称，则称,P Q 是一个“和谐点对”。
函数11y x=-的图象与函数2sin π(24)y x x =-≤≤的图象中“和谐点对”的个数是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10二、填空题：本大题共7小题，每小题5分（第14、15题第一空2分，第二空3分），共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 9．复数4+3i 1+2i的虚部是 。
10．若11(2)3ln 2(1)ax dx a x+=+>⎰，则a 的值是 。
11．若关于x 的不等式()21m x x x ->-的解集为{}12x x <<，则实数m 的值为 。
12．已知二次函数2()()f x ax x c x R =-+∈的值域为[0,)+∞，则22c a a c+++的最小值为 。
13．在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD·BC ．拓展到空间，在四面体A —BCD 中，DA ⊥面ABC ，点O 是A 在面BCD 内的射影，且O 在面BCD 内，类比平面三角形射影定理，△ABC ，△BOC ，△BDC 三者面积之间关系为 ．14．定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质：(1)2*20141=；(2)(22)*2014n +=3[(2)*2014]n ⨯，则2012*2014=15．若函数D x x f y ∈=),(同时满足下列条件，（1）在D 内为单调函数；（2）存在实数m ，n ．当],[n m x ∈时，],[n m y ∈，则称此函数为D 内的等射函数，设aa a x f x ln 3)(-+=)1,0(≠>a a 且则：(1) )(x f 在(－∞,+∞)的单调性为 (填增函数或减函数)；(2)当)(x f 为R 内的等射函数时，a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，△ABC的面积S 满足cos S A =。
（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =，设角B 的大小为,x 用x 表示c ，并求c 的取值范围．17．（本小题满分12分）已知x ＝1是函数()(2)()xf x ax e a R =-∈的一个极值点， (Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)当12,[0,2]x x ∈时，证明：12()()f x f x e -≤18．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，∠=90BAC,点D 是棱11B C 的中点. （Ⅰ）求证：1A D ⊥平面11BB C C ； （Ⅱ）求证：1//AB 平面1A DC ；（Ⅲ）求二面角1D AC A --的余弦值.19．(本小题满分13分)湖南省环保研究所对长沙市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数()f x 与时刻x 的关系为22()2,[0,24]13x f x a a x x =-++∈+，其中a 是与气象有关的参数，且1[0,]2a ∈，若用每天()f x 的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作()M a 。
(Ⅰ)令2,[0,24]1xt x x =∈+，求t 的取值范围； (Ⅱ)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足：111,4,n n n a a a n S +=+=是数列{}n a 的前n 项和.数列{}n b 前n 项的积为n T ，且(1)22n n n T +=（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）是否存在常数a ,使得{}n S a -成等差数列？若存在，求出a ，若不存在，说明理由；（Ⅲ）是否存在*m N ∈，满足对任意自然数n m >时，n n b S >恒成立，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由。
21．（本小题满分13分）设函数321()(4),()ln(1)3f x mx m xg x a x =++=-，其中0a ≠．( I )若函数()y g x =图象恒过定点P ，且点P 关于直线32x =的对称点在()y f x =的图象上，求m 的值；(Ⅱ)当8a =时，设()'()(1)F x f x g x =++，讨论()F x 的单调性；(Ⅲ)在(I)的条件下，设(),2()(),2f x x G x g x x ≤⎧=⎨>⎩，曲线()y G x =上是否存在两点P 、Q ，使△OPQ(O 为原点)是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y 轴上？如果存在，求a 的取值范围；如果不存在，说明理由．2014届高三年级十一月份联考理科数学长沙县实验中学高三数学备课组组稿 命题人：曾福旺 审题人：张 旭时量：120分钟 满分：150分（考试范围：集合与常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、解三角形、平面向量、数系的扩充与复数的引入、数列、不等式、推理与证明、立体几何）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置。
1．已知集合A ＝{1，2，a －1}，B ＝{0，3，a 2＋1}，若{2}A B = ，则实数a 的值为 （ C ） A ．0 B ．±1 C ．－1 D ．1 2．2{||1|1,},{|log 1,},A x x x R B x x x R =-≥∈=>∈则“x ∈A ”是“x ∈B ”的（ B ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3．已知}{n a 是等比数列，对任意*,0n n N a ∈>恒成立，且132546236,a a a a a a ++=，则25a a +等于（ D ）A ．36B ．±6C ．－6D ．64．若,x y R ∈，且1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值等于（ C ）A ．9B ．5C ．3D ．2 5．如图，平面内的两个单位向量OB OA ,，它们的夹角是60°，OC 与OA 、OB 向量的夹角都为30︒，且|OC |=32，若OB OA OC μλ+=，则μλ+值为（ B ） A ．2B ．4C ．32D ．346．如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为 （ A ） A ．32 B ．3C ．4D ．27．已知数列{},{}n n a b 满足11a =，且1,n n a a +是函数2()2nnf x x b x =-+的两个零第5题图汝城县第一中学 长沙县实验中学第6题图CBOA点，则10b 等于（D ）A ．24B ．32C ．48D ．648．若直角坐标系中有两点,P Q 满足条件：（1）,P Q 分别在函数()y f x =、()y g x =的图象上，（2）,P Q 关于点（1，0）对称，则称,P Q 是一个“和谐点对”。
函数11y x=-的图象与函数2sin π(24)y x x =-≤≤的图象中“和谐点对”的个数是（ A ）A ．4B ．6C ．8D ．10二、填空题：本大题共7小题，每小题5分（第14、15题第一空2分，第二空3分），共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 9．复数4+3i 1+2i的虚部是 －1 。
10．若11(2)3ln 2(1)ax dx a x+=+>⎰，则a 的值是 2 。
11．若关于x 的不等式()21m x x x ->-的解集为{}12x x <<，则实数m 的值为 2 。
12．已知二次函数2()()f x ax x c x R =-+∈的值域为[0,)+∞，则22c a a c+++的最小值为 10 。
13．在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD·BC ．拓展到空间，在四面体A —BCD 中，DA ⊥面ABC ，点O 是A 在面BCD 内的射影，且O 在面BCD 内，类比平面三角形射影定理，△ABC ，△BOC ，△BDC 三者面积之间关系为 2A B C O B C D B CS S S∆∆∆=⋅． 14．定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质：(1)2*20141=；(2)(22)*2014n +=3[(2)*2014]n ⨯，则2012*2014=1005315．若函数D x x f y ∈=),(同时满足下列条件，（1）在D 内为单调函数；（2）存在实数m ，n ．当],[n m x ∈时，],[n m y ∈，则称此函数为D 内的等射函数，设aa a x f x ln 3)(-+=)1,0(≠>a a 且则：(1) )(x f 在(－∞,+∞)的单调性为 增函数 (填增函数或减函数)；(2)当)(x f 为R 内的等射函数时，a 的取值范围是)2,1()1,0( ．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，△ABC 的面积S满足cos 2S A =。