河南省郑州市2019年高三第二次质量检测数学(理)试题 (1)

2019年郑州市高中毕业年级第二次质量预测
理科数学试题卷
2019.3
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分。

【1】若复数
i
i
b ++2为纯虚数，则实数b 等于（ ） （A ）3 （B ）21-
（C ）3
1
（D ）1- 【2】已知全集R =U ，)}1ln(|{2x y x A -==，}4|{2-==x y y B ，则=)(B C A R （ ）
（A ）)01
(，- （B ）)10[， （C ）)10(， （D ）]01(，- 【3】南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知
1220182019)(20172018++⋅⋅⋅++=x x x x f ，程序框图设计的是求)(0x f 的值，在M 处应填的执行语句
是（ ）
（A ）i n -=2018 （B ）i n -=2019 （C ）1+=i n （D ）2+=i n
【4】在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布)42(，-N 的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
（附：X ⁓),(2σμN ，则6827.0)(=+≤<-σμσμX P ，9545.0)22(=+≤<-σμσμX P 。

）
（A ）906 （B ）2718 （C ）1359 （D ）3413 【5】将函数x x f sin 2)(=的图象向左平移
6
π
个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到)(x g 的图象，下面四个结论正确的是（ ）
（A ）函数)(x g 在]2,[ππ上的最大值为1
（B ）将函数)(x g 的图象向右平移
6
π
个单位后得到的图象关于原点对称 （C ）点)0,3
(
π
是函数)(x g 图象的一个对称中心
（D ）函数)(x g 在区间]3
2,
0[π
上为增函数 【6】设变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤1
12
y x y x y ，则目标函数y x z +=3)31(的最大值为（ ）
（A ）11
)3
1( （B ）3
)3
1( （C ）3 （D ）4
【7】在ABC ∆Rt 中，
90=∠C ，2=CB ，4=CA ，P 在边AC 的中线BD 上，则BP CP ⋅的最小值为
（ ）
（A ）2
1
-
（B ）0 （C ）4 （D ）1- 【8】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为（ ）
（A ）
2545π （B ）2
5135π
（C ）π5180 （D ）π590 【9】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数，则][x y =称为高斯函数。

例如：3]1.2[-=-，
3]1.3[=，已知函数1
213
2)(+++=x x x f ，则函数)]([x f y =的值域为（ ）
（A ）)3,2
1( （B ）]2,0( （C ）}2,1,0{ （D ）}3,2,1,0{
【10】已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，若双曲线上存在点P 使
c
a
F PF F PF 2sin sin 1221=
∠∠，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） （A ）
21732173+<<-e （B ）2
7
32+<<e （C ）21731+<
<e （D ）2
17
32+<<e
【11】在ABC ∆中，已知32=AB ，62=BC ，
45=∠ABC ，D 是边AC 上的一点，将ABC ∆沿BD 折叠，得到三棱锥BCD A -，若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，设x BM =，则x 的取值范围是（ ）
（A ）)32,0( （B ）)6,3( （C ）)32,6( （D ）)62,32(
【12】已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于B A ,两点，且直线l 不
与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点)05(，
T ，则=∆AOB S （ ） （A ）22 （B ）3 （C ）6 （D ）63
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

【13】已知等比数列}{n a 为单调递增数列，设其前n 项和为n S ，若22=a ，73=S ，则5a 的值为 。

【14】已知5
3
4cos )3
cos(=
+-
απ
α，则=-)6cos(απ 。

【15】二项式6
)6
3(+
ax 的展开式中5x 的系数为3，则=⎰dx x a 0 。

【16已知函数),(21)(2R ∈--
=b a b x ae x f x
，若函数)(x f 有两个极值点21,x x ，且21
2≥x x
，则实数a 的取值范围是 。

三、解答题：本大题共70分，请写出解答的详细过程。

【17】（本小题满分12分）已知数列}{n a 中，11=a ，0>n a ，前n 项和为n S ，若1-+=
n n n S S a
,(*N ∈n 且)2≥n 。

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）记n a
n n a c 2⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n T 。

【18】（本小题满分12分）如图，等腰直角ABC ∆中，
90=∠B ，平面⊥ABEF 平面ABC ，
BE AB AF ==2， 60=∠FAB ，BE AF //。

（Ⅰ）求证：BF BC ⊥；
（Ⅱ）求二面角B CE F --的正弦值。

【19】（本小题满分12分）目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵”，有关其它省份新高考改革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到2020年，我国将全面建立起新的高考制度。

新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目。

若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定。

例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案。

某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？
（Ⅱ）将列联表填写完整，并通过计算判定能否有9.99％把握认为选历史是否与性别有关？
（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量⎩⎨⎧=名男生选考方案相同
名男生选考方案不同
2,12,0ξ，求ξ的
分布列及数学期望ξE 。

【20】（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：)0(222>=+r r y x 与直线0l ：22+=x y 相切，点A 为圆1C 上一动点，x AN ⊥轴于点N ，且动点满足=+，设动点M 的轨迹为曲线C 。

（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）设Q P ,是曲线C 上两动点，线段PQ 的中点为T ，OQ OP ,的斜率分别为21,k k ，且4
1
21-=k k ，求OT 的取值范围。

【21】（本小题满分12分）已知函数ax x x x x f -+=1ln
)()(2
，b ax x a x x g +--+=2)1(3
2
)(23，R ∈b a ,。

（Ⅰ）求函数)(x g 的单调区间；
（Ⅱ）若)()(x g x f ≤恒成立，求a b 2-的最小值。

【22】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程
为12sin 3cos 2222=+θρθρ，直线l 的参数方程为t t y t x (22222⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+-=为参数)。

直线l 与曲线C 分别交
于N M ,两点。

（Ⅰ）若点P 的极坐标为),2(π，求PN PM ⋅的值； （Ⅱ）求曲线C 的内接矩形周长的最大值。

【23】（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数)0(1)(>-++=a a x ax x f ，x x x g -=2
)(。

（Ⅰ）当1=a 时，求不等式)()(x f x g ≥的解集；
（Ⅱ）已知2)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围。

2019年郑州市高中毕业年级第二次质量预测
理科数学参考答案
一、单项选择题
二、填空题。