浙江专用2022高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第1讲函数及其表示学案(含答案)

高考数学一轮复习学案：
第1讲 函数及其表示
知识点
最新考纲
函数及其表示
了解函数、映射的概念．
了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)．
了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.
函数的基本性质
理解函数的单调性、奇偶性，会判断函数的单调性、奇偶性． 理解函数的最大(小)值的含义，会求简单函数的最大(小)值. 指数函数
了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算．
理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用. 对数函数
理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式． 理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用. 幂函数
了解幂函数的概念．
掌握幂函数y ＝x ，y ＝x 2
，y ＝x 3
，y ＝1
x
，y ＝x 1
2的图象和性质.
函数与方程
了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.
函数模型及其应用
了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征．
能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.
第1讲 函数及其表示
1．函数的概念 (1)函数的定义
①A ，B 是两个非空数集．
②对于A 中任意一元素x ，B 中都有唯一确定的元素y 与之对应． (2)定义域：x 的取值范围A . (3)值域：函数值的集合． 2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域
在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)函数的表示法
表示函数的常用方法：解析法、图象法和列表法． 3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
特别提醒
1．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致． 2．直线x ＝a (a 是常数)与函数y ＝f (x )的图象有0个或1个交点． 常见误区
1．函数定义域是研究函数的基础依据，必须坚持定义域优先的原则，明确自变量的取值范围．
2．分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
[思考辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f (x )＝x 2
－2x 与g (t )＝t 2
－2t 是相等函数．( )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ) (3)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点．( ) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× [诊断自测]
1．已知函数f (x )＝log a (3－x )
x －2，则函数f (x )的定义域为( )
A ．(－∞，3)
B ．(－∞，2)∪(2，3]
C ．(－∞，2)∪(2，3)
D ．(3，＋∞)
解析：选C ．要使函数有意义，则⎩
⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <3，
x ≠2，即
x <3且x ≠2，即函数f (x )
的定义域为(－∞，2)∪(2，3)，故选C ．
2．下列图形中可以表示为以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的
函数的是( )
解析：选C ．A 项，函数定义域为M ，但值域不是N ；B 项，函数定义域不是M ，值域为
N ；D 项，集合M 中存在x 与集合N 中的两个y 对应，不能构成函数关系．故选C 项．
3．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 不是函数的是________．(填序号)
①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝1
3x ；
③f ：x →y ＝2
3
x ；④f ：x →y ＝x .
解析：对于③，因为当x ＝4时，y ＝23×4＝8
3∉Q ，所以③不是函数．
答案：③
4．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________．
解析：令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2
，所以f (t )＝t 2
－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2
－1(x ≥0)． 答案：x 2
－1(x ≥0)
函数的定义域(自主练透) 1．函数f (x )＝3x
x －1
＋ln(2x －x 2
)的定义域为( )
A ．(2，＋∞)
B ．(1，2)
C ．(0，2)
D ．[1，2]
解析：选B ．要使函数有意义，则⎩
⎪⎨⎪
⎧x －1>0，2x －x 2
>0， 解得1<x <2.
所以函数f (x )＝
3x
x －1
＋ln(2x －x 2
)的定义域为(1，2)．
2．若函数f (x )的定义域为[0，6]，则函数f (2x )
x －3
的定义域为( ) A ．(0，3) B ．[1，3)∪(3，8] C ．[1，3)
D ．[0，3)
解析：选D ．因为函数f (x )的定义域为[0，6]，所以0≤2x ≤6，解得0≤x ≤3.又因为
x －3≠0，所以函数f (2x )
x －3
的定义域为[0，3)．
3．如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1
D ．2
解析：选D ．因为－2x ＋a >0， 所以x <a 2，所以a
2
＝1，所以a ＝2.
4．若函数f (x )＝mx 2
＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0对x ∈R 恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；
当m ≠0时，则⎩
⎪⎨⎪⎧m >0，
Δ＝m 2
－4m ≤0， 解得0<m ≤4.综上可得0≤m ≤4. 答案：[0，4]
求函数定义域的两种方法
方法 解读
适合题型
直接法
构造使解析式有意义的不等式(组)求解 已知函数的具体表达式，求f (x )的定义域
转移法
若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式
a <g (x )<
b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域
已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域
若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出
g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域
已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域
[提醒] 定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
函数的解析式(师生共研)
(1)已知函数f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x
＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为________．
(2)若f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，则f (x )的解析式为________．
(3)已知函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝2x ，则f (x )的解析式为________． 【解析】 (1)(换元法)令2
x
＋1＝t ，
得x ＝
2
t －1
，因为x ＞0，所以t ＞1， 所以f (t )＝lg
2
t －1
(t >1)， 即f (x )的解析式是f (x )＝lg
2
x －1
(x >1)． (2)(待定系数法)设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝c ＝3， 所以f (x )＝ax 2
＋bx ＋3，
所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2
＋b (x ＋2)＋3－(ax 2
＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.
所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，
所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2
－x ＋3. (3)(解方程组法)因为2f (x )＋f (－x )＝2x ，① 将x 换成－x 得2f (－x )＋f (x )＝－2x ，② 由①②消去f (－x )，得3f (x )＝6x ， 所以f (x )＝2x . 【答案】 (1)f (x )＝lg
2
x －1
(x ＞1) (2)f (x )＝x 2
－x ＋3 (3)f (x )＝2x
求函数解析式的4种方法
1．(一题多解)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2
－6x ＋5，则f (x )＝________． 解析：方法一(换元法)：令2x ＋1＝t (t ∈R )， 则x ＝
t －1
2
，
所以f (t )＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －122
－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )，
所以f (x )＝x 2
－5x ＋9(x ∈R )．
方法二(配凑法)：因为f (2x ＋1)＝4x 2
－6x ＋5＝(2x ＋1)2
－10x ＋4＝(2x ＋1)2
－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2
－5x ＋9(x ∈R )．
方法三(待定系数法)：因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2
＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2
＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .
因为f (2x ＋1)＝4x 2
－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，
所以f (x )＝x 2
－5x ＋9(x ∈R )． 答案：x 2
－5x ＋9(x ∈R )
2．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实数根，且f ′(x )＝2x ＋2；求f (x )的解析式．
解：设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝x 2
＋2x ＋c .又因为方程f (x )＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝4－4c ＝0，解得c ＝1，故f (x )＝x 2
＋2x ＋1.
分段函数(多维探究) 角度一 求分段函数的函数值
已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ≤0，log a x ，x >0.
若f (0)＋f (2)＝0，则a ＝________，f (f (12
))＝________．
【解析】 易知f (0)＝－1.因为f (0)＋f (2)＝0，所以f (2)＝1，即log a 2＝1，得a ＝2.所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ≤0，log 2x ，x >0，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (－1)＝1－1－1＝－12.
【答案】 2 －1
2
分段函数的求值问题的解题思路
(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应由内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
角度二 分段函数与方程、不等式问题
(1)(一题多解)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2(x －1)，x ≥1，
若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
(2)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，
x 2－4x ＋3，x >1，则f (x )<f (x ＋1)的解集是________．
【解析】 (1)方法一：当0＜a ＜1时，a ＋1＞1， 所以f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2a ， 所以a ＝1
4
.
此时f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a
＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1＞1，
所以f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2a ，无解．
综上，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a
＝6，故选C ．
方法二：因为当0＜x ＜1时，f (x )＝x ，为增函数， 当x ≥1时，f (x )＝2(x －1)，为增函数， 又f (a )＝f (a ＋1)， 所以a ＝2(a ＋1－1)， 所以a ＝1
4
.
所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a
＝f (4)＝6. (2)当x ≤0时，x ＋1≤1，易知f (x )单调递增，所以f (x )＜f (x ＋1)恒成立；当0＜x ≤1时，1＜x ＋1≤2，所以f (x )∈(1，2]，f (x ＋1)∈[－1，0)，则f (x )＜f (x ＋1)不成立；当
x ＞1时，f (x )＜f (x ＋1)可化为x 2－4x ＋3＜(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3，解得x ＞3
2，所以x ＞32
.
综上，f (x )＜f (x ＋1)的解集为(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，＋∞. 【答案】 (1)C (2)(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，＋∞
求解分段函数与方程、不等式问题的方法
方法一：解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
方法二：如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．
1．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x <2，x 2＋ax ，x ≥2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－6，则实数a 的值为________，f (2)
＝________．
解析：由题意得，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23＝3×23＋1＝3，
所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f (3)＝9＋3a ＝－6，
所以a ＝－5，f (2)＝4－5×2＝－6. 答案：－5 －6
2．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x
，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝1
2的x 的集合为________．
解析：由题意知，若x ≤0，则2x
＝12，解得x ＝－1；
若x >0，则|log 2x |＝1
2
，
解得x ＝212或x ＝2－
1
2.
故所求x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫
－1，2，22.
答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫
－1，2，22
3．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
＋x ，x ≥0，
－3x ，x <0，若
a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为
________．
解析：当a >0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0可化为a 2
＋a －3a >0，解得a >2.当a <0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0可化为－a 2
－2a <0，解得a <－2.综上所述，a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
函数的新定义问题(师生共研)
在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图
象恰好经过n (n ∈N *
)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数：
①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3
；
③h (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
；④φ(x )＝ln x .
其中是一阶整点函数的是( ) A ．①②③④ B ．①③ C ．①④
D ．④
【解析】 对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D ；
对于函数g (x )＝x 3
，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A ；
对于函数h (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B ．故选C ．
【答案】 C
(1)函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．
(2)破解函数的新定义题的关键：紧扣新定义函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识
的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f (x )的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．
1．若函数f (x )满足：对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有f (x 1)＋f (x 2)>2f (x 1＋x 2
2
)，
则称函数f (x )具有H 性质，则下列函数不具有H 性质的是( )
A ．f (x )＝(12)x
B ．f (x )＝ln x
C ．f (x )＝x 2
(x ≥0)
D ．f (x )＝tan x (0≤x <π
2
)
解析：选B ．若对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有f (x 1)＋f (x 2)＞2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22，则
点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的中点在点⎝
⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22
，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的上方，示意图如图所示
⎝
⎛⎭⎪⎫其中a ＝f (x 1)＋f (x 2)2，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.根据基本初等函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
，f (x )＝ln x ，
f (x )＝x 2
(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ＜π2的图象可知，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
，f (x )＝x 2(x ≥0)，
f (x )＝tan x ⎝
⎛⎭
⎪⎫
0≤x ＜π2
具有H 性质，函数f (x )＝ln x 不具有H 性质，故选B ．
2．若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： (1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0； (2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有
f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
<0.
①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3
；③f (x )＝1－x . 以上三个函数中，________是“优美函数”．(填序号)
解析：由条件(1)，得f (x )是R 上的奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调递减函数．对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3
既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”．
答案：②。