微积分4-7

. 例 求下列函数的反函数
x −1, x < 0, 1 y = lg(1− x), Df = (− ∞,0), 2 y = 2 ） ） x , x ≥ 0.
解答过程应注意： 10 x , D 解答过程应注意： 反解出 = f -1 (y) 20 互换符号 且写出 f -1 .
x + 1, x < −1, K ： y = 1 − 10 , x∈(0,+∞), 2 y = ey 1 ） ） x ≥ 0. x,
⇒ xsinx = esinxlnx , 是初等函数 .
形如 [ f ( x )] g ( x ) 的函数 ( f ( x ), g ( x ) 是初等函数 ), 其中 f ( x ) > 0 , 称之为幂指函数 .
因此幂指函数是初等函 数 . 因为 [ f ( x )]g ( x ) = e g ( x ) ln f ( x )，
{
1 f (， f . 例 .已知 ( x)的定义域为0 1)，求 (ln x)的定义域
2 F 例 . 求指定的复合函数 及其定义域
2 2
1. y = f (u) = 1+ u2 , u = g(x) = lg 1+ x2 , F由f和g复合而成 .
3. y = f (u) = u − 2, u = g(x) = sinx, F由g和f复合而成 .
2.倍角公式
(1)sin 2α = 2 sin α cos α (2)cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2 sin 2 α = 2 cos 2 α − 1
1 (3)sin α = (1 − cos 2α ) 2 1 2 (4)cos α = (1 + cos 2α ) 2
* 使得Qd = Qs的价格 0成为市场均衡价 p .
20 常用三角公式） sin(α + β), sinα + sinβ, sinαcosβ等的计算 常用三角公式） . 如
π π π π 1 因y = sinx在− , 上↑, 故函数 = sinx，∈ − , 有反函数 y x , 2 2 2 2 π π , 称为反正弦函数 记y = arcsin x,易知 ∈−1,1], arcsin x ∈ − , . x [ 2 2 0 2 类似可得⇒ 注意其定义域与值域 y = arccos x, y = arctan x, y = arc cot x,
教材P16例3, 例 教材
( ) 2. y = f (u) = 1+ u , u = g(x) = lg(1+ x ), F由g和f复合而成 .
若改为f和 复合 复合, 若改为 和g复合 不可行！ 不可行！
八. 初等函数 I. 基本初等函数 6类） （ f 1. 常）(x) ≡ C, 2. 幂）(x) = xα , α常数, 且α ≠ 0, f ↑, α > 0, α x 幂函数 在第一象限的单调性特 ： 点 ↓, α < 0. 3. 指）(x) = ax , 常数 > 0且a ≠ 1, Rf = (0,+∞), f a
2
3.积化和差公式 1 (1)sin α cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )] 2 1 (2)cos α sin β = [sin(α + β ) − sin(α − β )] 2 1 (3)cos α cos β = [cos(α + β ) + cos(α − β )] 2 1 (4)sin α sin β = − [cos(α + β ) − cos(α − β )] 2
4. 对）(x) = loga x, 常数a > 0, a ≠ 1, Df = (0,+∞), f
1 , , 注： 特别地 y = loge x = ln x= ex , 其中e ≈ 2.71828L. ,
20 y = ax与y = loga x互为反函数 ,
30 指 对） （ 数函数的换底公式 ⇒ ax = bx logb a , 特别地 ax = exlna , , logb x ln x loga x = , 特别地 loga x = , . logb a ln a
三角函数
5. 三角） = sinx, y = cos x, y = tan x, y = cot x, 三角） y 1 1 sec , 余割” csc , 及 正割” x = “正割” “余割” x = cos x sinx 注： 掌握以下要点 10 sinx, cos x, tan x, cot x的周期 单调区间 , .
, ⇒自学相关例子 从略.
需求供给函数
10 需求函数 d = fd (p), ↓, 线性化模型 Q ⇒ Qd = a − bp, 其中 , b为正常数 a .
II. 需求函数与供给函数 —以价格 为自变量 — p
20 供给函数 s = fs (p), ↑, 线性化模型 Q ⇒ Qs = −c + dp, 其中 , d为正常数 c .
. 六 反函数
1. 反函数概念——见教材 定义1.8. P12定义
2. 本原函数 与反函数 −1的关系 f f
10 Df −1 =Rf , Rf −1 =Df .
20 本原函数与反函数的图 关于 = x对称 y . 像
* 判断： 严格单调函数必有反函 （ ） 判断： 1 ） 数 √ 2 若函数 (x)存在反函数 则f (x)必为 f 上的单调函数 ×） f , D ） （
cos
α−β
II. 初等函数 , ——基本初等函数经有限 次的四则运算与复合运 算所得的函数并
且在定义域内具有统一 的表达式。 的表达式。 1 2 2 如 y = ax + bx + c, y = ln2arccos x + x −1, 3
y , 思考： 是否为初等函数？ 思考：= xsinx , x > 0是否为初等函数？若是如何经基本初等函数 . , . 运算得 若不是 说明理由
0
6. 反三角） 反三角）
* arcsin(− x) =− arcsin x, arccos(− x) = π − arccos x.
初等函数
1.和(差)角公式
(1)sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β (2)cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β
x
复合函数
. 七 复合函数
所构成的新函数(x) = f [g(x)], 其中 ∈x x ∈ Dg , 且 (x) ∈ Df }. F g x
y . 称F(x)是由函数 = f (u)和u = g(x)复合而成的复合函数
注意顺序哦！ 注意顺序哦！
g f 1. Dg →Rg , Df →Rf , 若Rg ∩ Df ≠ φ, 则 g 可得到由 , f依次作用
隐函数
简单的经济函数 三） I. 总成本函数 总收入函数及总利润函 , 数 ——以产量 销售量） （销售量） 为自变量
10 总成本函数C(x), ,线性化模型 C(x) = a + bx, ⇒ ↑
30 总利润函数 (x) = R(x) − C(x). L
20 总收入函数 (x) = p ⋅ x, R
4.和差化积公式
(1)sin α + sin β = 2 sin
α+β
2 2 α+β α−β (2)sin α − sin β = 2 cos sin 2 2 α+β α−β (3)cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α+β α−β (4)cos α − cos β = −2 sin sin 2 2
* 分段函数一般不是初等 函数.
试找出一个是初等函数的分段函数 应用举例
. 例 指出下列函数由哪些基 本初等函数复合而成
1 y = arccos e ）
( )
x
2 y = xtanx ）
1 2
1 ） . 解： 原函数由y = arccos u, u = ev , v = x 复合而成
2 原函数由 = eu , u = tan x ⋅ ln x复合而成 这里 为两个基本初等函数 y ） （ u 的乘积） . 的乘积）