2011考研数学归纳--高等数学(精心整理版).
2011考研数学高等数学基础课程讲义
6.可微与可导的关系f x 在0x 处可微 f x 在一般地， y f x ，则dy 所以导数 dyf x dx也称为微商，就是微分之商的含义。
00f f 曲线y x 在原点的切线不存在（见上图）【例2】设函数试确定a b 、的值，使 f x 解 可导一定连续， f x 由110lim x f f())a 和(,())B b f b 之间是连续曲线［包之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于处纵坐标相等。
点之间［不包括点A 和B］至少有一点，它的切线b01x 四、泰勒定理（泰勒公式）定理1（皮亚诺余项的n 阶泰勒公式）设 f x 在0x 处有n 阶导数，则有公式0001!f x f f x f x x x0x 其中 00nn R x o x x x x0lim 0n n x x R x x x有三个驻点和一个不可导点，考察它们两侧导数的符号，用第一充分判别法可知，另一个较小驻点为极小值点，原点为不可导点是极大值点，∴12=33f 为极小值【例3】设()f x 在0x 邻域内有定义，且00()()lim()nx x f x f x k x x ®-=-，其中n 为极值.解00()()()()nf x f x k x x x a -=+-，其中()()()n f x f x k x x a -=-+又可以用第一换元积分法，那么一般用第（2）22x x e dx注：复杂图形分割为若干个小图形，使其中每一个符合模型Ⅰ或模型Ⅱ加以计算，再相加．803．参数形式表出的曲线所围成的面积设曲线C 的参数方程()()x t y t j y ì=ïïíï=ïî()t a b ＃()a j a =，()b y b =，()t j 在 ，（或 ，）上有连续导数，且()0t j ³且连续则曲边梯形面积（曲线C 与直线x a =，x b =和x 轴所围成)()()b S ydx t t dtb y j ¢==蝌，y d =和y 轴围成绕y 轴旋转一周四、绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积(数学一和数学二)轴一周所得旋转曲面的面积为S．β）处法线与曲线所围成图形的面积的另一交点为932，21623y dy【例2】设1D 是由抛物线是极大值点，也是最大值点.此时1V+xdxsin d常微分方程基本概念和一阶微分方程解得23u x x ，即223y x x 则2223322x y为空间一个点集则称 u f x y z ，，它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
2011考研数学常见疑难知识点精析之《高等数学》三、一元函数积分学（精选5篇）
2011考研数学常见疑难知识点精析之《高等数学》三、一元函数积分学（精选5篇）第一篇：2011考研数学常见疑难知识点精析之《高等数学》三、一元函数积分学2011考研数学常见疑难知识点精析之《高等数学》三、一元函数积分学万学海文1．关于不定积分的一些知识1）、求导数与求不定积分是互逆的．已知一个函数其导数是唯一的，但是其逆运算——求不定积分的结果不是唯一的．dF(x)dx=f(x)，而，⎰f(x)dx=F(x)+C，由于C的不同，导致一个函数的不定积分有很多函数，这些函数之间相差一个常数．2）、一个函数的不定积分和原函数是两个不同的概念．如果F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，那么函数F(x)就是f(x)的在某个区间上的一个原函数；函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为该函数在某个区间上的不定积分，所以一个函数f(x)的原函数为其不定积分中的一个函数，而其不定积分则是一族函数，它们之间相差一个常数，即，⎰f(x)dx=F(x)+C3）、如果函数f(x)在区间上连续，则该函数在该区间上存在原函数；如果函数f(x)在区间上有第一类间断点，则该函数在该区间上不存在原函数．⎧1, x>0⎪例如，设f(x)=⎨0, x=0，则在任意一个包含x=0在其内部的区间上，一定不存⎪-1, x<0⎩在原函数．这是因为，当x≠0时x'=f(x)，因此当x≠0时，f(x)的一切原函数为x+C，而在x=0处x+C不可导，因此在任意一个包含x=0在其内部的区间上，x+C不可以认为是f(x)的原函数，所以在这种区间上f(x)不存在原函数．4）、奇偶性问题当函数f(x)为奇函数时，则其全体原函数均为偶函数；当函数f(x)为偶函数时，则其只有唯一一个原函数为奇函数．5)、周期函数的原函数不一定是周期函数．如果函数f(x)是以T为周期函数，那么其全体原函数也是以T为周期的充要条件是⎰f(t)dt=0．0T6）、如果分段函数存在原函数，则其原函数一定是连续的． 2．分段函数不定积分对于分段函数，在对其进行不定积分的时候，要注意在分别求不定积分的时候，最后的常数要统一，从而保证原函数的连续性．例3.1：设f(x)=⎨⎧sin2x,x≤0⎩ln(2x+1),x>0，求f(x)的原函数F(x)12解：（1）当x≤0时，⎰sin2xdx=-（2）当x>0时，cos2x+C1 ⎰ln(2x+1)dx==1212⎰ln(2x+1)d(2x+1)=12[(2x+1)ln(2x+1)-⎰2(2x+1)(2x+1)dx]+C2 [(2x+1)ln(2x+1)-2x]+C2，这时要对两个常数C1,C2进行统一．⎫+C1=F(0)⎪112⇒-+C=CC=-+C，（3）x→0，所以，取，C=C⎬122122⎪lim+F(x)=C2=F(0)x→0⎭lim-F(x)=-1⎧-⎪⎪则：F(x)=⎨⎪-⎪⎩1212cos2x+C (x≤0)[(2x+1)ln(2x+1)-2x]+C-12(x>0)3．利用换元法求解不定积分，最后的结果一定要变为原来的积分变量．例3.2：求⎰dx(2x2+1)x+122解：作积分变量变换，令x=tanu,则dx=secudu, 原式=⎰secudu(2tanu+1)tanu+1222 =⎰(2tansecudu22u+1)secu =⎰(2tan⎰2sindu2u+1)cosu=⎰(du2sinucosu22=+1)cosu⎰(2sincosudu 22u+cosu)cosu2=cosudu2u+cosu2=⎰sincosudu2u+1=⎰sindsinu2u+1=arctan(si nu)+C做到这里并没有完成求解原函数的任务，因为原积分变量为x，这里的最后结果不含x，而是含u，所以不能就此结束，而是要再重新换为原来的积分变量．sinu=arctan(sinu)+Ctanu1+tanu2 arctan(x1+x2tanu=xx1+x2)+C所以，最后的结果应为arctan()+C，而并非是arctan(sinu)+C．同时这里还要再次强调一下，最后的结果中常数C一定不能忘记． 4．下列两个命题是否正确？1）如果 f(x)在[a,b]上有原函数，那么 f(x)在[a,b]上可积； 2）如果 f(x)在[a,b]上可积，那么 f(x)在[a,b]上一定有原函数.答：两个命题都不正确.先讨论命题1），在[a,b]上有原函数的函数f(x)未必是可积的，1⎧2xsin,x≠0⎪2x例如函数F(x)=⎨，在[-1,1]内处处可导，且⎪0,x=0⎩121⎧2xsin-cos,x≠0⎪22xxx，因此f(x)在[-1,1]上的原函数是F(x).F'(x)=f(x)=⎨⎪0,x=0⎩但f(x)在[-1,1]上无界，所以f(x)在[-1,1]上不可积.再讨论命题2），在[a,b]上可积的函数不一定有原函数.例如符号函数sgnx在[-1,1]上可积，但x=0是它的第一类间断点，我们知道在某区间I上具有第一类间断点的函数在该区间上原函数不存在，所以sgnx在[-1,1]上的原函数不存在.5．在什么条件下，牛顿--莱布尼兹公式成立？答：如果函数 f(x)在[a,b]上连续，则牛顿—莱布尼兹公式成立，此公式也称为微积分基本定理.它把函数f(x)在区间[a,b]上的定积分的计算转化为求f(x)的原函数在区间[a,b]上的增量，使定积分的计算十分方便.当条件不成立时，就不能用此公式.当然，牛顿--莱布尼兹公式成立的条件还可以适当放宽，例如有下面结论：定理设 f(x)在[a,b]上可积，且原函数 F(x)存在，则⎰baf(x)dx=F(b)-F(a)6．对连续函数而言，奇函数的原函数是偶函数吗？偶函数的原函数是奇函数吗？答：奇函数的原函数是偶函数，但偶函数的原函数不全是奇函数.7．应用换元法计算定积分应注意哪些问题？答：在应用定积分的换元法时，首先要注意选取代换的函数x=ψ(t)必须在[α,β]上具有连续导数，且有ψ(α)=a, ψ例如，计算积分⎰令x=1t1-1-1-1不满足这些条件的代换将会导致错误的结果.(β)=b，11+x11-12dx，可得到⎰1+x2dx=-⎰1-111+1t2⋅1t2dt=-⎰1-111+t2dt 从而，原式为0，结果显然不正确.产生错误的原因在于x=1t在[-1,1]上不连续.其次，应注意在换元的同时要注意换积分限，即原积分对积分变量x的上、下限要换成新的积分变量t的上、下限.若换元法采用的凑微分法，而没有引进新的积分变量，则不需要换积分限.8．复合函数的变限积分函数，求导时应注意的问题．设F(x)=G(x)=⎰bφ(x)af(t)dt, 则，F'(x)=f(φ(x))φ'(x)，⎰ψ(x)g(t)dt，则，G'(x)=-g(ψ(x))ψ'(x)，这里一定要注意符号问题．若H(x)=H'(x)==⎰ψϕ(x)(x)xh(t)dt，则此时对该函数求导，要注意积分变量和求导时的变量．(⎰⎰ψϕ(x)ψ(x)xh(t)dt'=x⎰)(ϕ(x)ψ(x)h(t)dt'=)⎰ψϕ(x)(x)h(t)dt+x(⎰ϕ(x)ψ(x)h(t)dt')ϕ(x)(x)h(t)dt+x[h(ϕ(x))ϕ'(x)-h(ψ(x))ψ'(x)]在求导的过程中，是对t求导，所以可以把x看作常数．第二篇：2018考研数学考点解析：一元函数积分学_毙考题毙考题APP获取更多考试资料，还有资料商城等你入驻2018考研数学考点解析：一元函数积分学2018数学考试大纲已经出来了，记的去年是8月底出的，今年比去年晚了半个月的时间。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及答案解析
0
2
2
.
13.【答案】 1
【解】本题等价于将二次型 f (x, y, z) x2 3y2 z2 2axy 2xz 2 yz 经正交变换后化为
了 f y12 4z12 .由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为1, 4, 0 .
1 a 1
该二次型的矩阵为
A
a
3
1 ，可知 A a2 2a 1 0 ，因此 a 1 。
0
0
5.【答案】
【解】由初等矩阵与初等变换的关系知
AP1
B
，P2 B
E
，所以
A
BP11
P2
P 1 1 1
P2 P11
，
故选 D.
6.【答案】D
【解】由 x 0 的基础解系只有一个知 r( A) 3 ，所以 r( A) 1，又由 A A A E 0 知，
1,2 ,3,4 都是 x 0 的解，且 x 0 的极大线生无关组就是其基础解系，又
^
（1）求参数 2 的最大似然估计 2 ;
^
^
（2）计算 E( 2 ) 和 D( 2 ) .
2011 年全国研究生入学统一考试数学一试题
答案及解析
一、选择题
1.【答案】C
【解】由 y x 1x 22 x 33 x 44 可知1, 2,3, 4 分别是
y
x
1
x
2
2
x
33
x
4
4
0
的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关
C. P2P1
D. P21P1
6．设 A (1,2,3,4 ) 是 4 阶矩阵， A* 是 A 的伴随矩阵，若 (1,0,1,0)T 是方程组 Ax 0 的一 个基础解系，则 A*x 0 的基础解系可为( )
2011年考研数学真题及标准答案解析(考研必备!)
2011年考研数学真题试卷及标准答案解析---------------------心若在，梦就在，谨以此献给2012考研的同学们！！一选择题1.曲线y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4拐点A （1，0）B （2，0）C （3，0）D （4，0）2设数列{}n a 单调减少，∑=∞→⋯===nk k n n n n a S a 1,2,1(,0lim ）无界，则幂级数∑=-nk nk x a 1)1(的收敛域 A(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2]3.设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数)(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件A 0)0(,1)0(>''>f fB 0)0(,1)0(<''>f fC 0)0(,1)0(>''<f fD 0)0(,1)0(<''<f f4.设⎰⎰⎰===444000cos ln ,cot ln ,sin ln πππxdx K xdx J xdx I 的大小关系是、、则K J IA I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I5.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵。
记p1=10则A=A 21P PB 211P P -C 12P PD 112P P -6.设),,,(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若T )0,1,0,1(是方程组0=Ax 的一个基础解系，则0*=x A 的基础解系可为 A 31,αα B 21,αα C 321,,ααα D 432,,ααα7.设)(),(21x F x F 为两个分布函数，其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数，则必为概率密度的是A )()(21x f x fB )()(222x F x fC )()(21x F x fD )()()()(1221x F x f x F x f +8.设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记U=max{x,y},V={x,y},则E(UV)=A EUEVB EXEYC EUEYD EXEV 二填空题9.曲线)40(tan 0⎰≤≤=xx tdt y π的弧长s=____________10.微分方程x e y y x cos -=+'满足条件y(0)=0的解为y=____________ 11.设函数⎰+=xydt t ty x F 021sin ),(，则__________022=∂∂=x x F12.设L 是柱面方程为122=+y x 与平面z=x+y 的交线，从z 轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分⎰=++___________22dz y xdy xzdx13.若二次曲面的方程为42223222=+++++yz xz axy z y x ，经正交变换化为442121=+z y ，则=a _______________ 三解答题15求极限110))1ln((lim -→+x e x xx 16设))(,(x yg xy f z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求1,12==∂∂∂y x yx z17求方程0arctan =-x x k 不同实根的个数，其中k 为参数。
2011年考研数学解题快捷定理总结
2011年考研数学解题快捷定理总结考研数学作为一门逻辑性非常强的学科，在学习上除了要学会举一反三，不断的通过大量做题提高自己的熟练程度之外，无疑在解题上还要掌握一定的答题技巧。
下面，辅导专家就结合多年的辅导经验为广大20 11年考研学生简单的归纳概括一下高数、现代、概率和数理统计几门科目的快捷定理，希望对考生们能够有所帮助。
一、高等数学1.在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式。
2.在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下。
3.在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理。
4.对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)。
二、线性代数1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。
2.若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。
3.若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。
4.若要证明一组向量a1,a2,…,as线性无关，先考虑用定义。
5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理。
6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零。
7.若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理。
8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理。
三、概率与数理统计1.如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式;当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式。
2.若给出的试验可分解成(0-1)的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲数学二.doc
说明：2011考研数学二大纲无变化，下面是2010年考研数学二大纲供广大学员备考参考。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学二考试科目：高等数学、线性代数考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等教学78％线性代数22%四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题8小题，每小题4分，共32分填空题6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：，函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则．7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西( Cauchy ）中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．9．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式．5．了解反常积分的概念，会计算反常积分．6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数平均值．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）．五、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程．3．会用降阶法解下列形式的微分方程：和．4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．7．会用微分方程解决一些简单的应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件．理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的的正交规范化方法考试要求1．理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系．5．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解考试要求1．会用克莱姆法则．2．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法．4．理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念．5．会用初等行变换求解线性方程组．五、矩阵的特征值及特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵特征值和特征向量．2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵．3．理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1．了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2．了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．。
2011考研精华资料-考研高等数学公式word版,全面
多元复合函数的求导法：
z = f [u(t),v(t)] dz = ∂z ⋅ ∂u + ∂z ⋅ ∂v dt ∂u ∂t ∂v ∂t
z = f [u( x, y),v(x, y)] ∂z = ∂z ⋅ ∂u + ∂z ⋅ ∂v ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
当u = u(x, y)，v = v(x, y)时，
定积分的近似计算 ：
∫b
矩形法：f ( x) ≈
a
b
− n
a
(
y
0
+
y1 +Λ
+
yn−1 )
∫b
梯形法：f ( x) ≈
a
b
− n
a
[
1 2
(
y0
+
yn) +
y1
+Λ
+
yn −1 ]
∫b
抛物线法：f ( x) ≈
a
b−a 3n
[(
y
0
+
yn ) + 2( y2
+
y4
+Λ
+
yn−2 ) + 4( y1 +
2
2
∫ a2 − x2 dx = x a2 − x 2 + a2 arcsin x + C
2
2
a
三角函数的有理式积分：
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高等数学复习公式
sin
x
=
2u 1+ u 2
， cos
x
=
1− 1+
u2 u2
， u
=
tg
11年考研数学大纲内容-数一
11年考研数学大纲内容-数一D无变化高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限:0sin lim 1x x x →=， 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．本章考查焦点1.极限的计算及数列收敛性的判断2.无穷小的性质二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(,)a b 内，设函数()f x 具有二阶导数。
2011考研数学常见疑难知识点精析
2011考研数学常见疑难知识点精析（一）《高等数学》第一章 函数、极限、连续1.1 无界变量一定是无穷大量吗？答：不一定是．无界变量：设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正数M ，使得()f x M ≤，x X D ∀∈⊂ 则称函数()f x 在X 上有界，如果这样的M 不存在，就成函数()f x 在X 上无界；也就是说如果对于任何正数M ，总存在1x X ∈，使1()f x M >，那么函数()f x 在X 上无界．无穷大量：设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数X ），只要x 适合不等式00x x δ<-<（或x X >），对应的函数值()f x 总满足不等式()f x M >，则称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷大．注意相互关系: 无穷大变量一定是无界变量, 无界变量不一定是无穷大变量. 根据以上叙述, 很容易举出无界变量不一定是无穷大变量的反例:例1.1．()(),,0,x x n f x x g x x n ≠⎧==⎨ =⎩，()lim lim x x f x x →∞→∞==∞， 即当 x →∞时, ()f x 是无穷大量；对于()g x , 当x →∞时, ()g x 的值总可以大于任何的正数M, 但是也总有可能等于0 ()()0g n =. 所以当 x →∞时, ()g x 是无界变量但不是无穷大量. 例1.2． 当 ()g x 时, ()sin f x x x π=是无界变量, 不是无穷大量.1.2 当0a ≠时，0lim ()x f x a →=，可以推出0lim ()x f x a →=成立；反之，若0lim ()x f x a →=， 可以推出成立0lim ()x f x a →=吗？当0a =的时候呢？ 答：当0a ≠时，反过来是不一定成立的．例如：若11n n a n ⎧=⎨- ⎩为偶数为奇数, 则此时n a 的绝对值极限为1，而本身极限不存在． 当0a =时，00lim ()lim ()x x f x a f x a →→=⇔=，并且对于任意的极限过程都是成立的．1.3 设n n n x z y ≤≤，且lim()0,lim n n n n n y x z →∞→∞-=则一定存在吗？答：不一定存在．分析：若lim lim 0n n n n x y a →∞→∞==≠，由夹逼定理可得lim 0n n z a →∞=≠．取， 11(1),(1),(1)n n n n n n x y z n n=--=-+=-，则n n n x z y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=， 但lim n n z →∞不存在．遇到此类问题一定要会用反例．1.4 和函数的极限一定等于函数的极限和吗？答：不一定．例1.3： 22212lim(...)12n n n n n n n n n→∞+++++++++ 22212lim lim ...lim 12n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞=+++++++++ 00...00=+++=，对吗？显然不对．原因在于：错用了极限的运算法则中“和的极限等于极限的和”，这一法则只适用于有限项的和，不适用无限项的和．正确答案：因为，2222221212......12n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++≤+++++++++++++++ 22212 (111)n n n n n n n ≤+++++++++ 所以， 22222(1)12(1)...2()122(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n ++⇒≤+++≤++++++++++ 而，22(1)(1)1limlim 2()2(1)2n n n n n n n n n n n →∞→∞++==++++，故由夹逼准则得， 222121lim(...)122n n n n n n n n n →∞+++=++++++ 例1.4：求极限1lim ...n n →∞+解答：因为，1lim ...n n →∞+1lim n n k n ππ→∞==11lim ()n k n k k f x n ππ→∞==∆∑其中，()k f x x n π=∆=，所以，原式001cos 2x dx πππππ===⎰⎰如何求此类函数的极限值呢？通常有两种方法：①用“夹逼准则”，适当的“放大”和“缩小”所求的式子，求出其极限．如例1.3；②用“定积分定义”，把所求的式子看做是某个函数在某个区间上的积分，利用积分求出其极限值．如例1.4．。
2011考研数学一真题及答案
2011考研数学一真题及答案2011年的考研数学一真题堪称经典，下面将为各位考研数学一的学生详细讲解该真题的解答过程。
第一题：设函数$f(x)$在$x_0$处二阶可导，且$f''(x_0) \neq 0$，已知$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - ax^2}{(x - x_0)^2} = b$，求$a$和$b$。
解答过程：首先，我们将式子$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - ax^2}{(x - x_0)^2} = b$进行变形，得到：$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - ax^2 + ax_0^2}{(x - x_0)^2} = b$根据极限的性质，我们可以得到：$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - ax_0^2 - ax^2 + ax^2}{(x - x_0)^2} = 0$进一步变形，得到：$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0) - \frac{a}{2}(x - x_0)^2}{(x -x_0)^2} = 0$根据极限的定义，我们可以得到：$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{(x - x_0)^2} - \frac{a}{2} = 0$由于$f''(x_0) \neq 0$，我们可以得到：$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{(x - x_0)^2} =\frac{1}{2}f''(x_0)$将上式代入$\frac{1}{2}f''(x_0) - \frac{a}{2} = 0$，得到：$a = f''(x_0)$将$a$代入$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{(x - x_0)^2} -\frac{a}{2} = 0$，得到：$b = \frac{1}{2}f''(x_0)$所以，答案为$a = f''(x_0)$，$b = \frac{1}{2}f''(x_0)$。
2011考研数学常见疑难知识点精析
2011考研数学常见疑难知识点精析（二）《高等数学》第一章 函数、极限、连续1.6 含参数的数列极限中常见的问题.例1.6： lim(1)1lim 11lim(1)nx nx n nx nx n n e e e e --→∞--→∞→∞--==++，这样做对吗？ 这样做是不对的，错误在于，忽视了对参数取值范围的讨论.正确解答，当0x ≥时, lim(1)1lim 11lim(1)nx nx n nx nx n n e e e e --→∞--→∞→∞--==++. 当0x <时, lim (1)1lim11lim (1)nx nx nxn nx nx nx n n e e ee e e --→∞--→∞→∞--==-++ 注：含参数数列或函数求极限时，注意对参数进行讨论．1.7 如果函数极限不存在，那么极限一定是无穷大吗？ 答：不一定．当0x x →（或x →∞）时的无穷大的函数()f x ，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．例1.7：函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，当0x →时()f x 的极限不存在．1.8 如果0lim ()0x x f x →=，那么是否有01lim()x x f x →=∞？ 答：不一定．例 1.8：()0xx f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则0lim ()0x x f x →=，但由于1()f x 在0x =的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论1()f x 在0x =的极限． 结论：如果li m ()0x x f x →=，且()f x 在0x 的某一去心邻域内满足()0f x ≠，则1l i m()x x f x →=∞．反之，()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小．1.9 求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等，遇到间断点求极限要注意左右极限是否相等．例1.9：求极限10lim ,lim xxx x e e →∞→解：lim ,lim 0x x x x e e →+∞→-∞=+∞=，因而x →∞时x e 极限不存在．1100lim 0,lim x xx x e e →-→+==+∞，因而0x →时1xe 极限不存在．1.10 利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题．例1.10：求极限30tan sin limx x xx→- 解：3300tan sin lim lim 0x x x x x xx x→→--== 利用等价无穷小代换．这样计算对吗？计算的错误在于在运算过程中利用了未加证明的命题．若~',~'ααββ,则~''αβαβ--.考察这个命题，lim lim lim 11αβααβαβββαββαααβββ''''-⋅-''-==---，当lim 1αβ≠时,这个命题是真命题；当lim1αβ=时,命题是假命题． 对于例1.10，因为， sin ,tan ,''x x x αβαβ====，00sin limlim 1tan x x x xαβ→→== 所以，证明的结论是错误的．正确解答:2333000tan sin tan (1cos )12lim lim lim 2x x x x xx x x x x x x →→→--==. 例1.11：求201sin(sin )limx x x x→ 错误解答: 2200011sin(sin )sin1limlim lim sin 0x x x x x x x x x x x→→→=== 错误的原因在于在运算中错误的运用了等价无穷小代换：()2211sin sin sin ,0x x x x x⎛⎫ → ⎪⎝⎭而根据无穷小的比较的定义，当1()x n Z n π∈取时，21sin(sin )x x 和21sin x x均为0，所以不能用等价无穷小的代换．正确解答：当0x ≠时，22211sin(sin )sin x x x x x ≤≤，2211sin(sin )sinx x x x x x x≤≤0(0)x →→ 所以，由夹逼准则知原函数极限为0．例1.12：求极限sin limx xxπ→解：本题切忌将sin x 用x 等价代换，导致结果为1．应该为：sin sin lim 0x x x πππ→==.注意：（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用．这时，一般可以用泰勒公式来求极限．（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换．1.11 函数连续性的判断（1）设()f x 在0x x =间断，()g x 在0x x =连续，则()()f x g x ±在0x x =间断．而2()(),(),()f x g x f x f x ⋅在0x x =可能连续．例如，设0()1x f x x ≠⎧=⎨=⎩，()sin g x x =，则()f x 在0x =间断，()g x 在0x =连续，()()()sin 0f x g x f x x ⋅=⋅=在0x =连续．若设1()1x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，()f x 在0x =间断，但2()()1f x f x =≡在0x =均连续． （2）“()f x 在0x 点连续”是“()f x 在0x 点连续”的充分不必要条件．分析：由“若0lim ()x x f x a →=，则0lim ()x x f x a →=”可得“如果00lim ()()x x f x f x →=，则0lim ()()x x f x f x →=”，因此，()f x 在0x 点连续，则()f x 在0x 点连续．再由上例可得，()f x 在0x 点连续并不能推出()f x 在0x 点连续．（3）()x ϕ在0x x =连续，()f u 在00()u u x ϕ==连续，则(())f x ϕ在0x x =连续．其余结论均不一定成立．。
2011年考研数学大纲(数一、数二、数三)
2011考研数学大纲（数一）2011年考研数学大纲，从卷种分类，到题型，题量以及各科所占的分值比例，再到各部分的考试内容和考试要求考试科目高等数学、线性代数、概率论与数理统计试卷结构一、试卷满分及答题时间试卷满分为150分,考试时间为180分钟二、内容比例高等数学约56%线性代数约22%概率论与数理统计约22%三、题型结构单项选择题8小题,每小题4分,共32分填空题6小题,每小题4分,共24分解答题(包括证明题) 9小题,共94分试卷结构的变化2009年大纲与2008年大纲比较1.内容比例无变化2.题型结构无变化高等数学一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:，函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．本章考查焦点1.极限的计算及数列收敛性的判断2.无穷小的性质二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理．6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数。
2011考研数一真题及解析
轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分
xzdx
xdy
y2 2
dz
___________
13.若二次曲面的方程为 x2 3y2 z2 2axy 2xz 2yz 4 ，经正交变换化
为 y12 4z12 4 ，则 a _______________
三、解答题
15
求极限
lim( ln(1
x)
2z xy
f1[xy, yg(x)]
y[ xf11 ( xy,
yg(x)
g(x) f12 (xy,
yg(x)]
2z xy
fx(1,1)
f11(1,1)
f12 (1,1)
17 解：
令f (x) k arctan x x
f
( x)
k 1 x2 1 x2
(1)当k 1 0,即k 1时，f (x) 0(除去可能一点外f (x) 0),所以f (x)单调减少，
知，
2
0
未知，
_
x
和
S
2
分别表示样本均值和样本方差。
口
1）求参数 2 的最大似然估计 2
口
口
2）计算 E( 2 )和 D( 2 )
试题答案
1.C 2.C 3.A 4.B 5.D 6.D 7.D 8.B 填空题：
9. ln(1 2) 10 y ex sin x 11 4 12 13 a 1 14 ( 2 2 )
又因为 lim f (x) , lim f (x) , 所以方程只有一个根。
x
x
（2）当k 1 0,即k 1时，由f (x) 0得x k 1,
二、填空题
9.曲线
y
x
0
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【连续、可导、可微】对于一元函数：连续函数不一定可导（y=x的绝对值），可导函数一定连续；对于多元函数则两者都不一定，即不能互相推出。
而不论是一元还是多元函数，可微都等同于可导【极值与导数】（取极值的必要条件）设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取极值，则f'(x0)=0. （取极值的第一充分条件）设函数f(x)在x0的某一邻域内可微，且f'(x0)=0（或f(x)在x0处连续，但f'(x0)不存在.）(1)若当x经过x0时，f'(x)由“+”变“-”，则f(x0)为极大值；(2)若当x经过x0时，f'(x)由“-”变“+”，则f(x0)为极小值；(3)若f'(x)经过x=x0的两侧不变号，则f(x0)不是极值.(取极值的第二充分条件)设f(x)在点x0处有f''(x)≠0，且f'(x0)=0，则当f''(x0)<0时，f(x0)为极大值；当f''(x0)>0时，f(x0)为极小值.注：如果f''(x0)＝0，此方法失效【渐进线】水平渐近线：自变量趋近于无穷大时，因变量趋近于某常数垂直渐近线：自变量趋近于某常数时，因变量趋近于无穷大斜渐近线：若a=limx→∞f(x),b=li m[f(x)-ax]，则y=ax+b称为y=f(x)的斜渐近线x→∞x【凹凸性】根据图形的斜率来记忆，凹凸的方向是相对于y轴的正方向而言公式定理基本概念辨析注意事项【常用的等价无穷小当x→x时】 sinx⎫arcsinx⎪1⎪1-cosx x2tanx⎪2⎪⎬ x,1arctanx⎪1(1+x)n-1 xnln(1+x)⎪⎪ex-1⎪⎭【基本导数与微分表】y=tanx y'=y=cotx y'=-1=se2cx 2cosx1=-cs2cx 2sinxny=secx y'=secxtaxt y=cscx y'=-cscxcoxy=arcsinxy'= y=arccosxy'=y=arctanx y'=1 1+x21 1+x2y=arccotx y'=-【基本积分公式】1⎰x=lnx+C（注意绝对值）1⎰sinxdx=⎰cscxdx=lncscx-cotx+C 1⎰cosxdx=⎰secxdx=lnsecx+tanx+C⎰secxtanxdx=secx+C⎰cscxcotxdx=-cscx+C ⎰tanxdx=-lncosx+C⎰cotxdx=lnsinx+C ⎰a2dx1x=arctan+C2aa+x⎰1+xdx2=arctanx+C =arcsinx+C 2=arcsinx+Cadx1a+x=ln2⎰a-x2aa-x+Cdx11+x=2⎰1-x2ln1-x+C=lnxC【积分重点公式】(1)设f(x)在[-l,l]上连续，则⎰l-lf(x)dx=⎰[f(x)+f(-x)]dx =⎪⎨0lfx）为奇函数⎧0,当（2f(x)dx,当（fx）为偶函数⎪⎩⎰0l（2）设（fx）是以T为周期的连续函数，a为任意实数，则⎰a+Taf(x)dx=⎰T0f(x)dx=1a24⎰T2T-2f(x)dx. (3)⎰0=⎧n-1n-31π ,当n为偶数⎪⎪ nn-222nn(4)⎰2sinxdx=⎰2cosxdx⎨00⎪n-1n-3 2 1,当n为奇数⎪nn-23⎩ππ（5）⎰sinnxcosmxdx=⎰-ππ2π0⎧π,n=m sinnxcosmxdx=⎨⎩0,n≠m⎰π-πsinnxcosmxdx=⎰sinnxcosmxdx=0 02π⎰π-πcosnxcosmxdx=⎰2π0⎧π,n=m cosnxcosmxdx=0=⎨⎩0,n≠m【常用高阶导数公式】(sinkx)(n)=knsin(kx+n⋅) 2(coskx)(n)=kncos(kx+n⋅) 2ππ莱布尼兹公式：若u(x),v(x)均n阶可导，则 (uv)【重点公式】Th1(费马定理)若函数f(x)满足条件： (n)i(i)(n-i)，其中u(0)=u，v(0)=v=∑cnuvi=0n(1)函数f(x)在x0的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有f(x)≤f(x0)或f(x)≥f(x0),(2) f(x)在x0处可导,则有 f'(x0)=0Th2 (罗尔定理) 设函数f(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在(a,b)内可导，则在(a,b)内∃一个ξ，使f'(ξ)=0 Th3 (拉格朗日中值定理) 设函数f(x)满足条件：(1)在[a,b]上连续；(2)在(a,b)内可导；则在(a,b)内∃一个ξ，使 f(b)-fa()=f'(ξ) b-a Th4 (柯西中值定理) 设函数f(x)，g(x)满足条件：(1)在[a,b]上连续；(2)在(a,b)内可导且f'(x)，g'(x)均存在，且g'(x)≠0则在(a,b)内∃一个ξ，使 f(b)-f(a)'fξ() =g(b)-g(a)'gξ()泰勒公式: 设函数f(x)在点x0处的某邻域内具有n+1阶导数，则对该邻域内异于x0的任意点，在x0与之间至少∃一个ξ，使得xxf(x=)fx0f(x0)n12 +(x-x)+R)'''+(fx)x-x(+f)x(x-x)+ (0n(x)000n!2!(n)(n+1)f(ξ) 其中 Rn(x)=(x-x0)n+1称为f(x)在点x0处的n阶泰勒余项.令x0=0，则n 阶泰(n+1)!勒公式1f(n)(0)n2f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x+ +x+Rn(x)……(1)其中 2!n!f(n+1)(ξ)n+1，在0与之间.(1)式称为麦克劳林公式ξxRn(x)=x(n+1)!常用五种函数在x0=0处的泰勒公式121nxn+1ξe=1+x+x+ +x+e 或 =1+x+1x2+ +1xn+o(xn)2!n!(n+1)!2!n!x13xnnπxn+1n+1sinx=x-x+ +sin+sin(ξ+π) 或 3!n!2(n+1)!213xnnπ=x-x+ +si+ox(n )3!n!212xnnπxn+1n+1cosx=1-x+ +cos+cos(ξ+π) 或 2!n!2(n+1)!212xnnπn )=1-x+ +co+ox(2!n!2n1213(-1)nxn+1n-1x 或 ln(1+x)=x-x+x- +(-1)+n+123n(n+1)(1+ξ)n1213n-1x=x-x+x- +(-1)+o(xn)23n(1+x)m=1+mx+m(m-1)2m(m-1) (m-n+1)n +m(m-1) (m-n+1)xn+1(1+ξ)m-n-1 x++x(n+1)!2!n!或 (1+x)m=1+mx+m(m-1)x2+ 2!+m(m-1) (m-n+1)nx+o(xn)n!估值定理：设m≤f(x)≤M,x∈[a,b],其中m,M为常数，则m(b-a)≤⎰f(x)dx≤M(b-a)ab 积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少∃一个ξ,使⎰f(x)dx=(b-a)f(ξ)ab【不等式证明公式】定积分不等式证明中常用的不等式(1)a2+b2≥2ab (2a)>0a,+(3)柯西不等式：(⎰f(x)g(x)dx)2≤ab1≥ 2a(⎰baf2(x)dx ⎰g2(x)dx,a)(b) 其中（fx），（gx）在［a，b］上连续【多元函数的极值公式】Th（取极值的必要条件）1设z=f(x,y)在P(x0,y0)点的一阶偏导数存在，且'⎧⎪fx(x0,y0)=0P(x0,y0)是z=f(x,y)的极值点，则⎨'⎪⎩fy(x0,y0)=0Th（函数取极值的充分条件）2设z=f(x,y)在P(x0,y0)点的某邻域内有连续的二阶偏导数,且f'x(x0,y0)=0,f'y(x0,y0)=0[f"xy(x0,y0)]2-f"x2(x0,y0) f"y2(x0,y0)<0 则P(x0,y0)是z=f(x,y)的一个极值点(1)若f"x2(x0,y0)>0(或f"y2(x0,y0)>0),则P(x0,y0)为极小值点。
(2)若f"x2(x0,y0)<0(或f"y2(x0,y0)<0),则P(x0,y0)为极大值点。
无条件极值解题程序：(1)求出z=f(x,y)的驻点（x0,y0)；(2)用Th2判别(x0,y0)是否为极值点；是，则f(x0,y0)为z=f(x,y)的极值。
条件极值（拉格朗日乘数法）1）由条件ϕ(x,y)=0,求z=f(x,y)的极值解题程序:⎧f'x(x,y)+λϕ'x(x,y)=0⎪令F(x,y)=f(x,y)+λϕ(x,y);解方程组⎨f'y(x,y)+λϕ'y(x,y)=0 求驻点(x0,y0);⎪⎩ϕ(x,y)=0f(x0,y0)即为f(x,y)的极值（存在的话）2）由条件ϕ(x,y,z)=0,求u=f(x,y,z)的极值。
解题程序：令F（x,y,z)+λϕ（x,y,z); ⎧f'x(x,y，z)+λϕ'x(x,y,z)=0⎪⎪f'y(x,y,z)+λϕ'y(x,y,z)=0解方程组⎨⎪f'z(x,y,z)+λϕ'z(x,y,z)=0⎪ϕ(x,y,z)=0⎩若（x0,y0,z0)为其解f(x0,y0,z0)即为f(x,y,z)的极值（若存在的话）3）由条件ϕ（1x,y,z)=0.ϕ2(x,y,z)=0求函数u=f(x,y,z)的极值解题程序：令F（x,y,z)=f(x,y,z)+λ1ϕ（（1x,y,z)+λ2ϕ2x,y,z)以下仿 1），2）【微分方程公式】可分离变量方程f1(x)g1(y)dx+f2(x)g2(y)dy=0解法：两边同除g1(y)f2(x)≠0，得1齐次方程y'=f() 解法：令u=原方程 ydu，则y=ux，y'=u+x于是， xdxf1(x)g(y)dx+2dy=0f2(x)g1(y)f1(x)g(y)dx+⎰2dy=C f2(x)g1(y)⎰yx⇒u+xdududxdu=f(u)⇒=⇒⎰=lnx+C dxf(u)-uxf(u)-u⎛ax+b1y+c1⎫dy=f 1⎪ dxax+by+c⎝222⎭2可化为齐次型的方程解法：(1)当c1=c2=0时⎛ a1+b1⎛a1x+b1y⎫dy=f ⎪=f dxax+by⎝22⎭a2+b2⎝yxx⎫⎪y⎪=g()属于(2) x⎪⎪⎭(2)．a1a2b1b2=0,即⎛λ(a2x+b2y)+c1⎫a1b1dy==λ则=f ⎪=g(a2x+b2y)dxax+by+ca2b2⎝222⎭令a2x+b2y=u，则(3)．a1a2b1du=a2+b2f(u)属于（1） dx⎧a1x+b1y+c1=0≠0,c1,c2不全为0 解方程组⎨求交点(α,β) b2⎩a2x+b2y+c2=0令x=X+α,y=Y+β,则原方程⇒dyX=ϕ()属于（2） dXY3一阶线性方程y'+p(x)y=q(x)解法：用常数变易法求-p(x)dx(1)求对应齐次方程y'+p(x)y=0的通解y=Ce⎰-p(x)dx(2)令原方程的解为y=C(x)e⎰(3)代入原方程整理得-p(x)dxp(x)dx C'(x)e⎰=q(x)⇒C(x)=⎰q(x)e⎰dx+Cp((4)原方程通解 y=[⎰q(x)⎰ex)dx-⎰(p)xd+x ]Ce dx二阶常系数线性齐次方程y''+py'+qy=0 (1) 其中p,q均为常数解法：特征方程：λ2+pλ+q=0 （I）当λ1,λ2为相异的特征根时，方程(1)通解为y(x)=C1eλ1x+C2eλ2x（II）当λ1=λ2时，通解为y(x)=(C1+C2x)eλx 1（III）当λ=α±iβ（复根）时，通解为y(x)=eαx(C1cosβx+C2sinβx)1二阶常系数线性非齐次方程y''+py'+qy=f(x) (2)其中p,q均为常数解法：通解的求法程序(1)．求对应齐次方程的通解Y(x)(2)．求出(2)的特解y*(x)(3)．方程(2)的通解y=Y(x)+y*(x)λx)=xkQm(x)eλx，其中K按λ不是、对于f(x)=ePm(x)，设y*(x是单根、是重根分别去0、1、2对于f(x)=eλx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]，设12)n()(y*(x)=xkeλx⎡Rxcoswx+R()l⎣(x)sinwx⎤⎦，其中K按λ+iw不是、是特征方程的根取0、1【平面图形公式】1.弧微分：dS=.2.曲率：曲线y=f(x)在点(xy处的曲率k=,)y''(1+y')23.对于参数方程ϕ'(t)ψ''(t)-ϕ''(t)ψ'(t)⎧x=ϕ(t),k=. ⎨[ϕ'2(t)+ψ'2(t)]⎩y=ψ(t)3.曲率半径：曲线在点M处的曲率k(k≠0)与曲线在点M处的曲率半径ρ有如下关系：ρ=. 1k。