中级微观经济学 第二章 (2)

风险规避的度量
该测量方法可以测度不同行为主体的风险规避程度， 由普瑞特提出。
r(W)=U’’ (W)/U’(W)
该方法的原理为，既然风险规避者的效用函数为凹函 数，那么效用函数的弯曲程度就表示了消费者的风险 规避程度。越弯曲，代表对风险越厌恶。二阶导数表 示一个函数的弯曲程度。
由于凹函数为负值，所以前面加了负号。
同时，由于贝努利函数的单调变化（如u’(x)=au(x)+ b)代表了相同的偏好，所以二阶导数就和参数a有关 ，除以一阶导数后可以消除这种影响。
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保险的例子
如果不买保险，当事人的效用值为 E(u)=0.75ln(100000)+0.25ln(80000)=11.45714
如果购买公平的保险，则期望效用为 E(u)=ln(95000)=11.46163.
显然，此人应该购买保险。 思考：他愿意为此保险支付的最高保费是多
少？
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整理可得
上式被称为恩格尔加总。如果商品x为食品 ，由恩格尔定律可知其收入弹性小于1，则 说明非食品支出的收入弹性大于1。
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古诺加总
预算约束方程两边对商品x的价格求导，可 得到：
整理可得：
上式为古诺加总，它表明因为预算约束的存 在，商品x的价格变化对于商品y消费量的交 叉价格弹性受到限制。
P=P0=(Q0)
PP P1
P2 P3 P4
CCSS i
n10QP0 i ((QQi )dQi
1 )P0
nQ 0P0
消消费费者者剩剩余余CCSS
PP00
D
市市场场价价格格
D 实实际际支支出出
OO
1 2 34
QQ00
QQ
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消费者福利变化的其他评价方式
当价格上升时，可以给消费者一个补贴，使 得消费者在拿到补贴后的效用水平跟价格上 升之前相同。这种补贴被称为补偿变化 (Compensating variation, 简称CV)
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补偿变化的计算
补偿变化的值可以通过补偿需求函数求得。 由包络定理可知 (下式也被称为Shephard’s
lemma)
因此：
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不确定性与风险
前面对于消费者选择理论的分析都假定消费 者行动的结果是确定的。但有些时候，消费 者面临风险条件下的选择问题。
经济学中的风险是指一项经济活动具有两个 或者多个可能的结果。例如，买西瓜时，不 知道西瓜究竟甜不甜。
中级微观经济学
Intermediate Microeconomics
第二章 消费者行为理论 (续）
需求价格弹性
自需求弹性和交叉价格弹性
– 马歇尔需求弹性与希克斯需求弹性 利用斯卢茨基方程可得：
其中sx=pxx/I，代表商品x的支出份额。可见，斯卢 茨基方程表明，如果投入商品x的收入份额很小或 者商品x的收入弹性很小，那么补偿和未补偿的价 格弹性会很接近。
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概率和期望值
如果一个变量有多个可能的值，每个值都有 一个对应的概率，我们把这种变量称之为随 机变量。
随机变量的数学期望值描述了该变量的平均 取值。换句话说，期望值是各种结果的加权 和，权重就是各自结果发生的概率。具体而 言，如果两种结果为x1和x2,概率为p1和p2, 则期望值为：
EX=p1x1+p2x2
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不确定性下的决策理论
期望效用理论：追求期望效用的最大化 （此定理也被称为冯.诺伊曼-摩根斯坦定理 v-N-M）
假设一个随机变量有两种可能结果，W1和 W2，每种结果的概率分别为P1和P2,两种结 果实现的效用分别为u(W1)和u(W2）（注： 此效用也叫贝努利效用）, 那么此人对这个 赌注(lottery)的期望效用EU为
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消费者剩余的含义
消费者剩余（consumer
surplus）
其它消费(元)
5
消费者对一定量的
A
4
B
商品或劳务最多愿
3
C
U
意支付的价钱与实
O
际支付的价钱之差， 价格(元)
123
X
是对消费者从交易
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中所得利益的一种
3Hale Waihona Puke Baidu
货币度量。
O 123
X
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消费者剩余的计算
度量
设需求函数为P=(Q) ，市场价格为
对期望效用函数的质疑——阿莱悖论（Allais Paradox）
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期望效用理论与保险
考虑一个人，当前财富为100000元，有25% 的概率损失20000元。这个人的贝努利效用 函数为u(W)=lnW。假设此人可以购买一个 公平的保险(fair insurance, 保费=损失概率*损 失额，即5000元）。问：此人是否应该购买 该保险？
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需求函数的零次齐次性
由于需求函数是零次齐次的，利用欧拉定理 可得：
整理可得：
上式说明，各种需求弹性之间有其特定的内 在联系。
3
恩格尔定律
随着收入的增加，食品支出的比例将逐渐减 小。
该定律的另一种表达为，食品需求的收入弹 性小于1。（试证明二者的等价性）
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恩格尔加总
预算约束方程两边对收入求导，可得到：
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关于不确定信息的游戏
赌局A：100%的机会得到100万元。 赌局B：10%的机会得到500万元，89%的机
会得到100万元，1%的机会什么也得不到。
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游戏2
赌局C：11%的机会得到100万元，89%的机 会什么也得不到。
赌局D：10%的机会得到500万元，90%的机 会什么也得不到。
EU=P1 u(W1) + P2u(W2）
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几个概念的解释
风险规避 (risk-averse) U[pW1+(1-p)W2]>pU(W1)+(1-p)U(W2) 贝努利效用函数为凹函数
风险喜好 (risk-loving), 改为小于号，凸函数 风险中立 (risk-neutral)，改为等号，线性