数列通项公式求法
数列通项公式的九种求法
1数列通项公式的九种求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强 的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
笔者总结出九种求解 数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法， 类型的题目.2例1 .等差数列｛an｝是递增数列，前n 项和为S1，且引，*3，a9成等比数列，S 5^*5.求 数列｛a n｝的通项公式 解：设数列｛an｝公差为d(d >0)2•/a1，a 3，a 9 成等比数列，••• a 3 =a1a9 ,2 2即 @1 +2d)=印@1 +8d)，得 d =a 1d...d H0 a1=d--S s = a](n -1)n ,1a3 -a2 = ---这种方法适应于已知数列5a 1 +5*4d =⑻ +4d)2a1=3 —5 =3 -5 由①②得：3 •••an —5点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差(公比)后再 写出通项。
二、累加法求形如a n -a n 」= f(n) (f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列)的数列通项, …n — 1得到n — 1个式子累加求得通项。
+ (n-1)3 =-n 5可用累加法，即令 n=2, 3,例2.已知数列｛a n ｝中, an _an4解：由已知得a 1=1，对任意自然数 1an = an4 中n 都有n(n+1)，求 an .—n(n+1),an ~ an-2 1a 2y,13^4 ,丄+ an_ q _ 2x3+■(n-2)(n —1) (n —1)n n(n+1)31…a=2 n +1 ,点评：累加法是反复利用递推关系得到n —=丄n(n+1) nn +1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求｛f(n)｝的前n—1项的和，要注意求和的技巧.三、迭代法求形如a n* =q a n +d(其中q,d为常数)的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。
数列通项公式的常见求法
数列通项公式的常见求法数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的。
通项公式是描述数列中每一项之间的关系的公式。
在数学中，求解数列通项公式的方法有多种。
下面将介绍一些常见的求解数列通项公式的方法。
1.列举法：列举法是最直观也最简单的一种方法。
通过列举数列中的前几项，观察其中的规律，然后尝试推导出通项公式。
这种方法适用于数列规律较为简单的情况。
例如，观察以下数列：1,4,9,16,25,...我们可以发现，该数列的每一项都是前一项的平方。
因此，可以推测该数列的通项公式为 an = n^2，其中 n 表示项数。
2.递推法：递推法是通过已知数列的前几项推导出后面的项，进而求解通项公式的方法。
递推法常用于数列项与前一项之间存在较为简单的递推关系的情况。
例如，观察以下数列：2,4,8,16,32,...我们可以发现，该数列的每一项都是前一项乘以2、因此，可以得到递推关系 an = 2 * an-1、通过这个递推关系，我们可以利用已知的项数求解出后面的项，并进一步推导出通项公式。
3.等差数列通项公式：等差数列是指数列中每一项与前一项之间的差值相等的数列。
等差数列的通项公式可以通过递推法或利用其性质推导得出。
例如，观察以下等差数列：3,6,9,12,15,...可以发现，该等差数列的公差为3，即每一项与前一项之间的差值为3、利用等差数列的性质，可以推导出通项公式为 an = a1 + (n - 1)d，其中 a1 表示首项，d 表示公差，n 表示项数。
对于上述数列来说，首项a1 为3，公差 d 为3，所以通项公式为 an = 3 + (n - 1)34.等比数列通项公式：等比数列是指数列中每一项与前一项之间的比值相等的数列。
等比数列的通项公式可以通过递推法或利用其性质推导得出。
例如，观察以下等比数列：2,6,18,54,162,...可以发现，该等比数列的公比为3，即每一项与前一项之间的比值为3、利用等比数列的性质，可以推导出通项公式为 an = a1 * r^(n - 1)，其中 a1 表示首项，r 表示公比，n 表示项数。
求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十种方法求解数列的通项公式是高中数学中的一个重要问题，通常需要运用数学分析方法、递推关系、差分方法等多种技巧。
下面将列举十种常见的方法来求解数列的通项公式。
方法一：等差数列的通项公式对于等差数列 an = a1 + (n - 1) * d，其中 a1 为首项，n 为项数，d 为公差。
通项公式可以直接通过公式计算得出。
方法二：等差数列的求和公式对于等差数列 S = (n / 2) * (a1 + an)，其中 S 为前 n 项和，a1 为首项，an 为末项，n 为项数。
可以通过求和公式推导出等差数列的通项公式。
方法三：等比数列的通项公式对于等比数列 an = a1 * r^(n - 1)，其中 a1 为首项，r 为公比，n 为项数。
通项公式可以直接通过公式计算得出。
方法四：等比数列的求和公式对于等比数列S=(a1*(r^n-1))/(r-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
可以通过求和公式推导出等比数列的通项公式。
方法五：递推关系法对于一些递推关系的数列，可以通过寻找规律，构建递推关系来求解数列的通项公式。
例如斐波那契数列就可以通过递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(1)=1，f(2)=1，来求解通项公式。
方法六：二项式展开法对于一些满足二项式展开的数列，可以通过展开得到二项式系数，然后通过系数的通项公式来求解数列的通项公式。
例如二项式数列(x+1)^n的展开系数就是通过n阶二项展开推导出来的。
方法七：差分法通过对数列进行差分操作，找到规律来求解数列的通项公式。
例如，如果差分的结果是一个等差数列，那么原数列就是一个二次或高次多项式。
方法八：线性递推法对于一些线性递推关系的数列，可以通过构建矩阵形式或特征方程的方法来求解数列的通项公式。
例如，对于一阶线性递推数列a(n)=p*a(n-1)+q，可以通过特征方程x-p*x-q=0来求解通项公式。
方法九：插值法通过给定数列中的若干项，利用 Lagrange 插值公式来推导数列的通项公式。
求数列通项公式的三种方法
一般地，数列的通项公式可用数列的第n 项表示出来，因此求数列的通项公式，关键是根据数列各项之间的规律，求得数列第n 项的表达式.求数列的通项公式问题可采用公式法、逐差相加法、逐商相减法来求解.一、公式法对于求数列的通项公式来说，公式法是最简单，也最直接的方法，但该方法只适用于求解等差、等比数列的通项公式问题.在解题时，需首先根据等差、等比数列的定义判定数列的类型，然后求出数列的首项、公差、公比，再根据等差数列的通项公式：a n =a 1+(n -1)d ；等比数列的通项公式：a n =a 1q n -1来求解.例1.已知数列{a n }满足a 1=0，且11-a n +1-11-a n =1，求数列{a n }的通项公式.解:∵11-a n +1-11-a n =1,a 1=0，∴11-a 1=1，∴数列{}11-a n是以1为首项，1为公差的等差数列，∴11-a n =11-a 1+(n -1)×1=n ,∴数列{a n }的通项公式为a n =n -1n .由等差数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，可知数列{}11-a n是等差数列，求得数列的首项、公差，便可利用等差数列的通项公式求出数列{}11-a n 的通项公式，通过运算，即可得到a n 的表达式.二、逐差相加法逐差相加法也叫做累加法，是求数列通项公式的常用方法之一.当遇到形如a n +1-a n =f (n )的递推式时，可采用逐差相加法求数列的通项公式.首先令n =1,2,3,…,n ，得到a n +1-a n =f (n ),a n -1-a n -2=f (n -1),…,a 2-a 1=f (1)，再将各项相加可得a n -a 1=(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)=f (n )+f (n -1)+…+f (1).通过正负相消，即可求得a n 的表达式.例2.若数列{a n }满足a n +1=a n +2n +1,a 1=1,求数列{a n }的通项公式.解:∵a n +1=a n +2n +1，∴a n +1-a n =2n +1，a n -a n -1=2n -1，...a 3-a 2=3=3，a 2-a 1=1.将上述式子累加可得(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 3-a 2)+(a 2-a 1)=[2(n -1)+1]+[2(n -2)+1]+…+(2×2+1)+(2×1+1)=2[(n -1)+(n -2)+…+2+1]+(n -1)=2×(n -1)n 2+(n -1)=n 2-1,∴a n =n 2，即数列{a n }的通项公式为a n =n 2.有些数列的递推式并不满足n =1的情况，因此运用逐差相加法求数列的通项公式，要注意考虑n =1的情况是否满足所求得的数列通项公式.三、逐商相乘法逐商相乘法也叫做累乘法，主要适用于求解由形如a n +1a n=f (n )的递推式求数列的通项公式问题.在解题时，需先分别令n =1,2,3，…，n ，得到=f (n )，a n -1a n -2=f (n -1),…，a 2a 1=f (1)，再将各项相乘可得a n a 1=a n +1a n ·a n -1a n -2·…·a 2a 1=f (n )·f (n -1)·…·f (1).通过约分，即可求得a n 的表达式.例3.已知数列{a n }是首项为1的正项数列，(n +1)a 2n +1-na 2n +a n +1a n =0，求数列{a n }的通项公式.解：(n +1)a 2n +1-na 2n +a n +1a n =(a n +1+a n )[(n +1)a n +1-na n ]=0,∵a n +1+a n >0，∴(n +1)a n +1=na n ，∴a n +1a n =n n +1，∴a 2a 1=12，a 3a 2=23，a 4a 3=34，…，a n a n -1=n -1n ，将上述n -1个式子相乘可得a n a 1=1n ，∴数列{a n }的通项公式为a n =1n.将数列的递推公式变形后，便可得到形如a n +1a n=f (n )的式子，于是采用逐商相乘法来求解，就能得到数列{a n }的通项公式.总之，无论运用哪种方法求解，都需仔细研究数列的各项或递推式，将其进行适当的变形，使其转化为a n +1-a n =d 、a n +1-a n =f (n )、a n +1a n =d 、a n +1a n =f (n )的形式，然后采用定义法、逐差相加法、逐商相乘法来求出数列的通项公式.（作者单位：甘肃省庆阳市环县第五中学）杜海坤探索探索与与研研究究50。
求数列通项公式的11种方法
求数列通项公式的11种方法数列通项公式是数学中一种重要的概念，它通过确定数列中任意一项的值来描述数列的规律。
它与算法不同，可在一定程度上减少计算量。
本文将介绍求数列通项公式的11种方法，帮助读者更好地理解数列通项公式的意义。
第一种方法是利用数列中已知项，来求数列通项公式。
比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，那么数列的通项公式为a1+a2+ a3+ a4+a5，通过求和得出该数列的公式。
第二种方法是使用特征系数展开式求数列通项公式。
比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，那么可以使用特征系数展开式求出该数列的通项公式：a1+2a2+3a3+4a4+5a5。
第三种方法是倒数展开式求数列通项公式。
比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，那么可以使用倒数展开式求出该数列的通项公式：a1+a2/2+a3/3+a4/4+a5/5。
第四种方法是由观察法求数列通项公式。
比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，那么可以通过观察发现，这是一个等比数列，则该数列的通项公式为a1qn-1，其中q为公比。
第五种方法是由增量法求数列通项公式。
比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，增量法可以用来求出a2=a1+d1，a3=a2+d2，a4=a3+d3，a5=a4+d4，其中d1,d2,d3,d4为增量。
将这四式代入原式：a1+a2+a3+a4+a5，即可求出该数列的通项公式：a1+(n-1)(d1+d2+d3+d4)/2+nd5。
第六种方法是由公因式法求数列通项公式。
比如，一个数列已知前五项a1,a2,a3,a4,a5，那么可以将这五项分别除以共同的因子，求出最小因式，例如给定数列a1,a2,a3,a4,a5=2,4,8,16,32，其中32是最大因子，将其他四项都除以32，得到d1=1/2,d2=1/4,d3=1/8,d4=1/16，将d1,d2,d3,d4代入原式a1+a2+a3+a4+a5，即可求出该数列的公式。
求数列通项公式的十种办法
求数列通项公式的十种办法求数列的通项公式是数学中的一项重要工作。
下面列举了十种常用的求解数列通项公式的方法：1.递推法：这是最常见的一种方法。
通过观察数列中的规律，找出前一项与后一项之间的关系，并将其表达成递推公式，从而求得数列的通项。
例如斐波那契数列：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示第n项，F(n-1)表示第n-1项，F(n-2)表示第n-2项。
2.数列差法：如果数列的前后两项之间的差值有规律可循，可以通过观察差的变化规律来得到通项公式。
例如等差数列：a(n)=a(1)+(n-1)d，其中a(n)表示第n项，a(1)表示首项，d表示公差。
3.数列比法：如果数列的前后两项之间的比值有规律可循，可以通过观察比的变化规律来得到通项公式。
例如等比数列：a(n)=a(1)*r^(n-1)，其中a(n)表示第n项，a(1)表示首项，r表示公比。
4.代数方程法：数列中的数可以看作方程中的未知数，通过列方程组求解，得到方程的解即为数列的通项公式。
例如斐波那契数列可以通过矩阵的特征值和特征向量求得。
5.数列求和法：如果数列是由一个个项的和组成的，可以通过数列的求和公式求得通项公式。
例如等差数列的前n项和：S(n)=[n/2]*[2a(1)+(n-1)d]，其中[n/2]表示n除以2的整数部分，a(1)表示首项，d表示公差。
6.数列积法：如果数列可以表达为一系列项的连乘积的形式，可以通过求取连乘积的对数，再利用对数运算得到通项公式。
例如等比数列的前n项积：P(n)=a(1)^n*(r^n-1)/(r-1)，其中a(1)表示首项，r表示公比。
7.查表法：如果数列的部分项已知，可以通过列出表格的方式观察规律，推测出通项公式。
例如自然数列：1,2,3,...，通过观察可得到通项公式：a(n)=n。
8.数学归纳法：数学归纳法是一种证明方法，但也可以用来求数列的通项公式。
首先证明数列的通项公式对n=1成立，然后假设对n=k也成立，通过数学归纳法证明对n=k+1也成立，从而得到通项公式。
数列通项公式常见9种求法
解：令
，得
，则 是函数
的不动点。
因为
，所以
。
评注：本题解题的关键是通过将 形式，从而可知数列
最后再求出数列 的通项公式。
的换元为 ，使得所给递推关系式转化
为等比数列，进而求出数列
的通项公式，
，求数列 的通项公式。
解：令
，得
的两个不动点。因为
，则
是函数
。所以数列
是以
为首项，以 为公比的等比数列，故
，
则
。
评注：本题解题的关键是先求出函数
的不动点，即方程
的两
个根
，进而可推出
，从而可知数列
为等比数
列，再求出数列
的通项公式，最后求出数列 的通项公式。
例 15 已知数列 满足
，求数列 的通项公式。
并整理，得
，
，求数列 的通项公式。
，所以 ⑩
。在
式两边取
11
，则
，两边消去
，故
代入 11 式，得 由 得 则 所以数列 比数列，则
， ，
是以
12 及 12 式，
为首项，以 5 为公比的等 ，因此
则
。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式
转化为 ，从而可知数列
是等比数列，进而求出数列 公式，最后再求出数列 的通项公式。
解：设
⑥
将
代入⑥式，得
整理得
。
令
，则
，代入⑥式得
⑦
由
及⑦式，
得
，则
，
故数列 因此
是以 ，则
为首项，以 3 为公比的等比数列， 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式
求数列通项公式的8种方法
求数列通项公式的8种方法一、公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项 二、累加、累乘法1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++， 则111213333n n n n n a a +++-=+，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯，则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯-2、累乘法 适用于： 1()n n a f n a +=若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na aaf f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1111()nn k a a f k a +==⋅∏例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
数列通项公式常见求法
数列通项公式常见求法1.等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。
对于等差数列an，其通项公式可以通过以下方法求得：- 直接法：当等差数列已知首项a1和公差d时，通项公式可以通过观察数列的特点进行直接推导。
常用的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
-递推法：对于等差数列，可以通过递推方法得到通项公式。
具体步骤是观察数列的前几项，找到相邻两项之间的关系，然后递推得到通项公式。
- 代数法：利用等差数列的性质，可以通过代数方法求得通项公式。
例如，可以使用方程an = a1 + (n-1)d，联立已知条件求解未知数。
2.等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变的数列。
对于等比数列an，其通项公式可以通过以下方法求得：- 直接法：当等比数列已知首项a1和公比q时，通项公式可以通过观察数列的特点进行直接推导。
常用的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
-递推法：对于等比数列，可以通过递推方法得到通项公式。
具体步骤是观察数列的前几项，找到相邻两项之间的关系，然后递推得到通项公式。
- 代数法：利用等比数列的性质，可以通过代数方法求得通项公式。
例如，可以使用方程an = a1 * q^(n-1)，联立已知条件求解未知数。
3.斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项的和的数列。
斐波那契数列的通项公式可以通过以下方法求得：- 通项公式法：斐波那契数列有一个特殊的通项公式，即an = φ^n - (1-φ)^n / √5，其中φ为黄金分割比(约等于1.618)。
这个公式可以通过矩阵求解、特征方程、黄金分割法等方法推导得到。
4.幂方数列：幂方数列是指数列中每一项都是公比为一个固定值k的幂函数的数列。
幂方数列的通项公式可以通过以下方法求得：-递推法：对于幂方数列，可以通过递推方法得到通项公式。
具体步骤是观察数列的前几项，找到相邻两项之间的关系，然后递推得到通项公式。
求数列通项公式的13种方法
求数列通项公式的13种方法在数学中，数列是一组按照一定规律依次排列的数字集合。
求数列的通项公式是对该数列的每一项都能找到一个通用的公式来描述。
这篇文档将介绍13种求解数列通项公式的方法。
1. 模式观察法通过观察数列中数字的变化模式，尝试找出递推关系，并通过推测整理出数列的通项公式。
2. 公式转化法通过对数列进行一系列数学运算，如加减乘除、取幂次等，将数列转化成已知的常见数列，再推导出通项公式。
3. 递推法通过已知的前几项数值，推导出当前项和下一项之间的关系，进而获得数列的通项公式。
4. 二项展开法借助二项展开公式，将数列展开成多项式形式，从而得到数列的通项公式。
5. 求解差分方程法将数列转化为差分方程，通过求解差分方程得到数列的通项公式。
6. 系数法利用多项式系数之间的关系，通过观察系数之间的规律，推导出数列的通项公式。
7. 利用等差数列和等比数列性质对于满足等差数列或等比数列性质的部分数列，可以直接应用等差数列或等比数列的通项公式。
8. 利用级数展开对于部分数列，可以将其展开成级数形式，从而得到数列的通项公式。
9. 奇偶性分析法通过分析数列中数字的奇偶性规律，推导出数列的通项公式。
10. 利用生成函数通过构造数列的生成函数，将数列转化成幂级数形式，再求解得到数列的通项公式。
11. 递归关系法对于一些特殊的数列，可以通过递归关系推导出数列的通项公式。
12. 利用数学归纳法利用数学归纳法证明数列的通项公式的正确性。
13. 利用数值计算方法拟合通过计算机软件等数值计算方法，根据数列的前几项数值进行拟合，得到数列的通项公式。
以上是13种常用的求解数列通项公式的方法。
根据具体的数列情况和求解需要，选择合适的方法进行计算和推导。
> 注意：此文档中的内容仅供参考。
在确定数列的通项公式时，请务必进行独立决策，不要直接引用未经验证的内容。
---以上是对「求数列通项公式的13种方法」的介绍文档。
求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十种方法求解数列通项公式是数学中的一个重要问题，对于一些特殊的数列，我们可以通过观察规律来找到通项公式，但对于一般的数列来说，我们需要使用一些数学工具和技巧来解决这个问题。
在下面，我将介绍十种常用的方法来求解数列的通项公式。
方法一：递推法递推法是一种常见的求解数列的方法，通过观察数列中相邻项之间的关系，可以找到递推公式。
常见的递推公式有线性递推和非线性递推两种形式。
方法二：列元法列元法是一种将数列元素列出来，然后通过观察数列元素之间的关系，找到通项公式的方法。
常见的列元法包括列出常数项和差项、连加项、平方项和立方项等。
方法三：指数递推法指数递推法是一种将数列元素进行指数递推，然后通过观察递推结果找到通项公式的方法。
常见的指数递推法包括指数增长、指数递减和二阶指数递增等。
方法四：利用级数对于一些复杂的数列，可以使用级数的方法来求解通项公式。
通过构造级数和求导积分等操作，可以得到数列的通项公式。
方法五：利用生成函数生成函数是一种将数列转化为多项式的方法，通过多项式的操作，可以得到数列的通项公式。
常见的生成函数包括普通生成函数和指数型生成函数。
方法六：利用逼近方法逼近方法是通过找到数列与一些函数逼近的关系，然后通过求解该函数的表达式来求解数列的通项公式。
常见的逼近方法包括泰勒级数逼近和拉格朗日插值等。
方法七：利用矩阵运算对于一些特殊的数列，可以使用矩阵运算的方法来求解通项公式。
通过构造矩阵和矩阵的运算，可以得到数列的通项公式。
方法八：利用线性代数利用线性代数的方法，可以将数列看作向量空间中的向量，通过线性变换和线性方程组的解来求解数列的通项公式。
方法九：利用特殊函数对于一些特殊的数列，可以使用特殊函数的方法来求解通项公式。
常见的特殊函数有二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和双曲函数等。
方法十：利用离散数学离散数学是一种研究离散结构和离散规律的数学分支，通过利用离散数学的方法，可以求解数列的通项公式。
数列求通项公式的五种重要方法
求通项公式的5种重要方法一、Sn 法，根据等差数列、等比数列的定义求通项an=Sn-S n-1*121{}(1)()3(1),;(2):{}.n n n n n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列二、累加、累乘法1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=例1例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
2、累乘法 适用于： 1()n n a f n a += 若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na a a f f f n a a a +===，，， n a例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
例5 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.例6 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。
三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+分析：通过凑配可转化为1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+;解题基本步骤：1、确定()f n2、设等比数列{}1()n a f n λ+，公比为2λ3、列出关系式1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+4、比较系数求1λ，2λ5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式例7 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。
数列通项公式—常见9种求法
数列通项公式—常见9种求法数列通项公式是指能够直接给出数列中任意一项的公式。
找到数列通项公式可以帮助我们快速计算数列中的任意项，同时也能更好地理解数列的性质和规律。
在数学中，有多种方法可以求解数列通项公式，下面我们将介绍其中的9种常见方法。
1.递推关系法递推关系法是求解数列通项公式最常见的方法之一、当我们可以找到数列中每一项与前几项之间的关系时，可以利用递推关系求出通项公式。
例如，斐波那契数列中每一项都等于前两项的和，可以用递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)来求解。
2.等差数列通项公式等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。
等差数列通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。
3.等比数列通项公式等比数列是指数列中每一项与前一项的比都相等的数列。
等比数列通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示第一项，r 表示公比。
4.幂数列通项公式幂数列是指数列中每一项都是一个幂函数的形式。
幂数列通项公式为an = ar^(n-1)，其中an表示第n项，a表示一些常数，r表示递增的比值。
5.组合数列通项公式组合数列是指数列中每一项都是由组合数形成的数列。
组合数列通项公式可以通过求解组合数来获得。
6.一元多项式数列通项公式一元多项式数列是指数列中的每一项都是由一元多项式形成的数列。
可以利用多项式的相关性质和求解方法获得数列通项公式。
7.递推与线性常系数齐次差分方程法递推与线性常系数齐次差分方程法是利用递推关系和差分方程的性质求解数列通项公式的方法。
8.高阶递推关系法当数列中每一项与前面多个项之间有复杂的关系时，可以利用高阶递推关系进行求解。
9.查找数列在数学常数表中的表达式有些数列的通项公式可以在数学常数表中找到，例如斐波那契数列中的通项公式可以在黄金分割数相关的公式中找到。
以上是数列通项公式的9种常见求法，每种方法都可以根据不同的数列规律和特点进行选择和运用。
数列通项公式的十种求法
数列通项公式的十种求法方法一：直接法对于一些简单的数列，可以通过观察数列的规律，直接写出通项公式。
例如，对于等差数列an=3n+1，可以观察到每一项都是前一项加上3，因此可以直接写出通项公式。
方法二：递推法递推法是通过数列前一项和通项之间的关系式来推导通项公式。
例如，对于斐波那契数列an=an-1+an-2，可以通过给出前两项的值，然后通过关系式不断求解后续项的值，得到通项公式。
方法三：代数法对于一些特殊的数列，可以通过代数方式求解通项公式。
例如，对于等比数列an=2^n，可以通过代数方法得到通项公式。
方法四：数学归纳法数学归纳法是通过证明法来得到通项公式。
首先证明数列的前几项符合一些表达式，然后假设n=k时表达式成立，再证明n=k+1时也成立，从而得到通项公式。
方法五：求和法有些数列的通项公式可以通过求和公式得到。
例如，对于等差数列an=3n+1，可以通过求和公式求得前n项和Sn=3n(n+1)/2，然后推导出通项公式。
方法六：线性递推法对于一些特殊的数列，可以通过线性递推法求解通项公式。
线性递推法是通过设定通项公式的形式，然后求解出相应的系数。
例如，对于一阶等差数列an=ax+b，可以通过线性递推法求解出通项公式。
方法七：矩阵法矩阵法是通过将数列表示成矩阵的形式，然后通过矩阵运算求解出通项公式。
例如，对于数列an=2n+1，可以将其表示为一个2×2的矩阵，然后通过矩阵运算得到通项公式。
方法八：生成函数法生成函数法是通过定义一个函数来表示数列，然后通过函数运算求解出通项公式。
例如，对于斐波那契数列an=an-1+an-2，可以定义一个生成函数F(x)=a0+a1x+a2x^2+...，然后通过函数运算得到通项公式。
方法九：离散动力系统法离散动力系统法是通过建立数列的动力系统方程，然后求解出通项公式。
例如，对于一阶等差数列an=ax+b，可以将其表示为一个离散动力系统方程xn+1=axn+b，然后通过求解方程得到通项公式。
求数列通项公式的八种方法
求数列通项公式的八种方法一、公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项 二、累加、累乘法1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
：例2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231nn n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.nn a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++， 则111213333n n n n n a a +++-=+，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯， 则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯- 2、累乘法 适用于： 1()n n a f n a +=若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na aaf f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1111()nn k a a f k a +==⋅∏ ]例3 已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
史上最全的数列通项公式的求法15种
史上最全的数列通项公式的求法15种数列是数学中很重要的一种数学对象，它是由一系列的数按照一定的顺序排列而成。
数列通项公式是数列中的每一项与项号之间的关系式，可以通过该公式来求出数列的任意一项。
下面将介绍15种常见的数列通项公式的求法。
1.等差数列：等差数列是一种公差为常数的数列，通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。
2.等比数列：等比数列是一种比值为常数的数列，通项公式为an = a1 * r^(n - 1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项是其前两项之和，通项公式为an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 14. 平方数列：平方数列是由平方数所组成的数列，通项公式为an = n^25. 立方数列：立方数列是由立方数所组成的数列，通项公式为an = n^36.等差立方数列：等差立方数列是一种公差为常数的立方数列，通项公式为an = a1 + (n - 1)^3，其中a1为首项。
7.等比立方数列：等比立方数列是一种比值为常数的立方数列，通项公式为an = a1 * r^(n - 1)^3，其中a1为首项，r为公比。
8. 焦比数列：焦比数列是一种特殊的数列，每一项是其前一项的反数，通项公式为an = -1 / an-1，其中a1为首项。
9. 调和数列：调和数列是一种特殊的数列，每一项是其前一项的倒数与项号之和的倒数，通项公式为an = 1 / (1 / a1 + n - 1)，其中a1为首项。
10. 初等数列：初等数列是一种特殊的数列，每一项是其前一项与项号之和的和，通项公式为an = an-1 + n，其中a1为首项。
11.等差等比数列：等差等比数列是一种既是等差数列又是等比数列的数列，通项公式为an = a1 * (1 + (n - 1)d)，其中a1为首项，d为公差。
12. 菲波拿契数列：菲波拿契数列是一种特殊的数列，每一项是其前一项与项号之和的差，通项公式为an = an-1 - n，其中a1为首项。
数列求通项公式的9种方法
例14
已知 满足+2 = 3+1 − 2 ，2 = 2, 1 = 1，求 的通项公式
九、奇偶分项求通项公式
核心思想：
n为奇数时，设n=2k-1
n为偶数时，设n=2k
例15 数列 满足 = ቊ
2，为奇数时
，求 的通项公式。
2 ，为偶数时
变式训练15
n2
a n ，求 {an } 的通项公式.
n
变式训练 6 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1 2n an ，求 {an } 的通项公式.
变式训练 7 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an n(an1 an ) ，求 {an } 的通项公式.
四、加法构造
数列求通项公式常见的9种方法
知识复习
1、等差数列通项公式： an＝a1＋ (n－1)d
an＝am＋(n－m)d
2、等比数列通项公式： an＝ a1·
qn－1
am＝ a1·qn－m
一、利用 an 与 Sn 关系求 an
S1，
n＝1，
an＝
Sn－Sn－1， n≥2.
例1
n＋3.
已知数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n－1；(2)Sn＝2n2＋
17
3
变式训练 10 已知数列 {an } 满足 a1
， an an1 5( n 2) ，求 {an } 的通项公式.
2
2
五、倒数构造
型如 an1
m an
(m pq 0) 的数列直接取倒数
pan q
例 8 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1
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的递推
例2：在﹛an﹜中，已知a1=1,an=an-1+n (n≥2),求通项an.
(n+2)(n-1) =1+ 2 n 3 1 n 1 练： 已知 an 中, a1 1, an 3 an1 ( n 2)证明：an 2
二、迭加法（又叫累加法，逐加法）
例3，求数列：1，3，6，10，15，21，…… 的通项公式 {an } 解： a2 a1 2 ∴两边相加得： a3 a2 3
11,2,3,4, 3 1,1,1,1,
1 1 1 51, , , , 2 3 4
21,1,1,1, 41,2,3,4,
1 1 1 61, , , , 2 3 4
72,0,2,0, 89,99,999,9999, 1 n 1 nn 11 1 nn 4 a 5 a 1 a n 7 a 1 1 3 a 1 1 n 6 a 1 2 a 1 8 10 1 n n n n n n n n
99 10 1
2
999 10 1
3
9999 10 1
4
an 10 1
n
类型二、前n项和法 已知前n项和，求通项公式
( n 1) S1 an Sn Sn1 ( n 2)
例 2： 设﹛an﹜的前n项和为Sn,且满足sn=n2+2n-1,
求﹛an﹜的通项公式.
a a 4
4 3
a5 a4 ∴ 5
an an1 n
……
an a1 2 3 4 n
1 an n(n 1) 2
1 例二、已知数列 {an }满足a1 1, an1 an , n(n 1) 求通项公式an .
1 ln(1 ), 则an等 【典例3】(1)在数列{a }中,a =2,a n 1 n+1=an+ n A.2+lnn B.2+(n-1)lnn C.2+nlnn D.1+n+lnn
等差数列前n项和公式的应用 变式：已知数列﹛an﹜的前n项和公 式为sn=2n2-30n+1
这个数列还是等差数列吗？求 出它的通项公式；
思考？ 如果一个数列的前n项和的公式是 sn=an2+bn+c(a,b,c为常数），那么这 个数列一定是等差数列吗？ 结论：当c=0时这个数列是等差
数列
• 类型2 .已知数列的前n项和,即sn与n的关系, 求数列的通项公式. • 例1.已知数列的前n项和sn=3n–2 , 求它的通 项公式? • 分析:大家首先需要理解数列的前n项的和 与前 n–1项的和. sn=a1+a2+a3+…+an-1+an
2 2
2n 1
(n 2)
【变式训练】已知数列{an}的前n项和Sn,分别求 它们的通项公式an. (1)Sn=2n2+3n.(2)Sn=3n+1.
【解析】(1)由题可知,当n=1时,a1=S1=2×12+3×1=5,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-[2(n-1)2+3(n-1)]=4n+1.
解：变形为：101－1，102―1，103―1， 104―1，…… n ∴通项公式为：an 10 1
例2，求数列3，5，9，17， 1 2 3 33 ， …… 解：变形为：2 +1，2 +1，2 +1， 24+1，25+1，…… n ∴通项公式为： an 2 1
可见联想与转化是由已知认识未知的两 种有效的思维方法。
an n
an 2n 1
• (3) 3 ,5 ,7 ,9 ,…
• (4) 2 ,4 ,6 ,8 ,…
an 2n 1
an 2n
• (5) 1 ,4 ,9 ,16 ,…
• (6) 2 ,4 ,8 ,16 ,…
an n
2
an 2
n
(7) –1 ,1 , –1 ,1 ,…
(8) 1 , –1 ,1 , –1 ,…
【规范解答】(1)选A.a8=S8-S7=64-49=15. (2)选B．方法一：因为an+1=Sn+1-Sn,所以由Sn=2an+1得，Sn=2(Sn+1Sn)，整理得3Sn=2Sn+1，所以 项，
3 q :因为S =2a , 方法二 n n+1 2
所以Sn-1=2an(n≥2),
Sn 1 3 ， 为公比的等比数列，所以 Sn 2
当n=1时,4×1+1=5=a1, 所以an=4n+1. (2)当n=1时,a1=S1=3+1=4, 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2×3n-1. 当n=1时,2×31-1=2≠a1,
所以an=
4，n 1， n 1 2 3 ，n 2，n N*.
所以数列{Sn}是以S1=a1=1为首 故选B．
3 n 1 Sn ( ) ， 2
两式相减得:an=2an+1-2an,
所以 a n 1
3 . an 2
已知数列{an},an
∈N*,S
n=
an+2)2. (1)求证:{an}是等差数列. (2)设bn=
(
an-30,求数列{bn}的前n项和Tn 的最小值.
an (1)
n
an=(–1)n–1或(–1)n–1
(9) 等差数列的通项公式
an=a1+(n–1)d
(10)等比数列的通项公式 an=a1qn–1
一、观察法（又叫猜想法，不完全 归纳法）：观察数列中各项与其序 号间的关系，分解各项中的变化部 分与不变部分，再探索各项中变化 部分与序号间的关系，从而归纳出 构成规律写出通项公式 例1：数列9，99，999，9999，……
考点2
an与Sn关系式的应用 )
【典例2】(1)设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为(
A.15
B.16
C.49
D.64
)
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=(
A.2
n 1
3 n 1 B.( ) 2
2 n 1 C.( ) 3
1 D. n 1 2
【规范解答】(1)选A.由已知,an+1-an=ln n 1 ,a1=2,
n 所以an-an-1=ln (n≥2), n 1 an-1-an-2=ln n 1 , n2
…
a2-a1=ln
n
2 , 1
将以上n-1个式子叠加，得
n n 1 2 a n a1 ln ln ln n 1 n2 1 n n 1 2 ln( ) =ln n n. 1 n 2 1
当n 2时，an Sn Sn1 3 3
n n1
B
an 1 2 3 3, 是一个与n无关的常数 n 1 an 23
n
n 1满足上式， an
23
n 1
n N .
23 .
n 1
an 一定是等比数列
例7．已知下列两数列 {an } 的前n项和sn的 公式，求 {an } 的通项公式。 2 2 sn 2n 3n （2） （1） sn n 1 n2 时 解： （1） s 1 ，当
1 2 3 4 (4) 1 ,2 ,3 ,4 ,... 2 3 4 5
n an 2
2
n an n n 1源自• (5) _1 ,7 ,_13 ,19 ,…
n
1,7,13,19,...
an (1) (6n 5)
(6) 9 , 99 ,999 ,9999 ,…
9 10 1
1
n n
• 总结: (1)掌握基本数列的通项公式. • (2)分数形式的数列,保持分数线,分子分母 分别找通项. • (3)当数列中有分数,又有整数时,需要把整 数化成分数,即将分母补齐,然后分子分母 分别找通项. • (4)数列中的项正负交叉出现时,常用 (1)n+1或(-1)n-1来调解.当数列中的项是负正 出现时,常用(-1)n来调解. • (5)有的数列虽然有通项公式,但通项公式 不唯一. • (6)并不是所有的数列都有通项公式
数列通项公式的常见求法
类型1.已知数列的前几项,求数列的通项公式 • (1) 3 , 5 , 9 ,17 , … a 2n 1
n
• (2)
2 4 6 8 , , , ,... 3 15 35 63
2n an (2n 1)(2n 1)
1 9 25 ,2, ,8, ,... • (3) 2 2 2
23
1
n 1
n 1 n2
• 练习：已知数列的前n项和sn=2n_1 • 求数列的通项公式
练习：已知数列an 的前n项和Sn 3n 1, 那么an
A 一定是等差数列 B 一定是等比数列 C 既是等差数列，又是等比数列 D既不是等差数列，也不是等比数列 解：当n=1时，a1 S1 2,
等差数列前n项和公式的应用 例2：已知数列﹛an﹜的前n项和公 式为sn=2n2-30n:
这个数列是等差数列吗？求出它 的通项公式；
解：将n-1带入数列的前n项和公式，得 Sn-1=2(n-1)2-30(n-1). 因此 an=sn-sn-1=4n-32(n≥2) 当n=1时，a1=s1=2-30=-28,也适合上式，所 以这个数列的通项公式为 an=4n-32. 又因为 an-an-1=(4n-32)-[4(n-1)-32]=4(n≥2), 所以﹛an﹜是等差数列。