空间中的垂直关系(带答案)
空间中的垂直关系知识点
空间中的垂直关系练习题
知识点小结
一．线面垂直定义：如果直线AB与平面α相交于点O,并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，我们就说直线AB与平面α互相垂直，直线AB叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。
交点P叫做垂足。
垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做点到平面的距离。
由定义：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直。
二．判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。
符号语言：
推论1 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
推论2 如果在两条直线垂直于同一平面，那么这两条直线平行。
三．平面与平面垂直的判定
1.平面与平面垂直定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直。
2.平面与平面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直。
3.平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
空间中的垂直关系(一)
1.2.3 空间中的垂直关系(一)一、基础过关1． 下列命题中正确的个数是 ( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线；④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直．A ．0B ．1C ．2D ．32． 空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A ．垂直且相交B ．相交但不一定垂直C ．垂直但不相交D ．不垂直也不相交 3． 若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )① ⎭⎪⎬⎪⎫m∥n m⊥α⇒n⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αn⊥α⇒m∥n； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αn∥α⇒m⊥n; ④ ⎭⎪⎬⎪⎫m∥αm⊥n ⇒n⊥α. A ．1 B ．2 C ．3 D ．44． 如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B的任一点，则下列关系不正确的是 ( )A ．PA⊥BCB ．BC⊥平面PACC ．AC⊥PBD ．PC⊥BC5． 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为边BC 、CD 的中点，H 是EF 的中点．现沿AE 、AF 、EF 把这个正方形折成一个几何体，使B 、C 、D 三点重合于点G ，则下列结论中成立的是________．(填序号)①AG⊥平面EFG ；②AH⊥平面EFG ；③GF⊥平面AEF ；④GH⊥平面AEF.6． 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝______.7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．8．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.二、能力提升9．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为 ( )A．4 B．3 C．2 D．110．从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果这些斜线与平面成等角，有如下命题：①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的内心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．411．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．12．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC.三、探究与拓展13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．求证：MN⊥平面A1BC.答案1．B 2.C 3.C 4.C 5．① 6．90°7．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D.又∵CD⊥平面ADD 1A 1，∴CD⊥AD 1.∵A 1D∩CD＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC. 又∵MN⊥平面A 1DC ， ∴MN∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC. ∴ON 綊12CD 綊12AB ， ∴ON∥AM.又∵MN∥OA， ∴四边形AMNO 为平行四边形， ∴ON＝AM.∵ON＝12AB ，∴AM＝12AB ， ∴M 是AB 的中点． 8．证明 (1)∵PA⊥底面ABCD ，∴CD⊥PA. 又矩形ABCD 中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A ，∴CD⊥平面PAD ，∴CD⊥PD.(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG. 又∵G、F 分别是PD ，PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ， ∴四边形AEFG 是平行四边形， ∴AG∥EF. ∵PA＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG⊥PD，∴EF⊥PD， ∵CD⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD. ∴CD⊥AG.∴EF⊥CD. ∵PD∩C D ＝D ，∴EF⊥平面PCD.9．A 10．A 11．612．证明 (1)∵SA⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴SA⊥BC. 又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A ，∴BC⊥平面SAB.又∵AQ ⊂平面SAB ， ∴BC⊥AQ. 又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B ， ∴AQ⊥平面SBC.(2)∵AQ⊥平面SBC ，SC ⊂平面SBC ，∴AQ⊥SC. 又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A ，∴SC⊥平面APQ.∵PQ ⊂平面APQ ，∴PQ⊥SC.13．证明 如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC 1，得BC⊥平面ACC 1A 1.连接AC 1，则BC⊥AC 1.由已知，可知侧面ACC1A 1是正方形，所以A 1C⊥AC 1.又BC∩A 1C ＝C ，所以AC 1⊥平面A 1BC.因为侧面ABB 1A 1是正方形，M 是A 1B 的中点，连接AB 1，则点M 是AB 1的中点．又点N 是B 1C 1的中点，则MN 是△AB 1C 1的中位线，所以MN∥AC 1. 故MN⊥平面A 1BC.。
空间中的垂直关系(带答案)教学提纲
空间中的垂直关系(带答案)空间中的垂直关系专题训练知识梳理一、线线垂直：如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为，则称这两条直线互相垂直.二、线面垂直：1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的_________________，则称这条直线和这个平面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面.推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行.3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离.三、面面垂直：1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作α⊥β.2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直.3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于另一个平面.四、求点面距离的常用方法：1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形.2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解.3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，A C⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：B1D1⊥AE；（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE．【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CE⊥BD．又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵ E、F是C1C、B1B的中点，∴ CE∥B1F且CE=B1F，∴ 四边形B1FCE是平行四边形，∴ CF∥ B1E．∵ 正方形BB1C1C中，E、F是CC、BB的中点，∴ EF∥BC且EF=BC又∵ BC∥AD且BC=AD，∴ E F∥AD且EF=AD．∴ 四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，∵ AF∩CF=C，BE∩ED=E，∴ 平面ACF∥平面B1DE．又∵ AC⊂平面ACF，∴AC∥面B1DE．【变式2】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：FD=2：1．（Ⅰ）证明：EA⊥ PB；（Ⅱ）证明：BG∥面AFC．【解答】（Ⅰ）证明：因为面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以△ ACD为等边三角形，又因为E是CD的中点，所以EA⊥AB．又PA⊥平面ABCD，所以EA⊥PA．而AB∩PA=A所以EA⊥面PAB，所以EA⊥PB．（Ⅱ）取PF中点M，所以PM=MF=FD．连接MG，MG∥CF，所以MG∥面AFC．连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF，所以BM∥OF，所以BM∥面AFC．而BM∩MG=M所以面BGM∥面AFC，所以BG∥面AFC．【变式3】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．（1）证明：AA1⊥ BD（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．【解答】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵ A1O⊥平面ABCD且BD⊂面ABCD，∴A1O⊥BD，又∵ A1O∩AC=O，A1O⊂面A1AC，AC⊂面A1AC，∴BD⊥面A1AC，AA1⊂面A1AC，∴ AA1⊥BD．（2）∵ A1B1∥AB，AB∥CD，∴ A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴ A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵ A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴平面A1BD∥平面CD1B1．（3）∵ A1O⊥面ABCD，∴ A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高，在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1，∴ A1O=，∴ V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD•A1O=•（）2•=∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为．【变式4】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=BC=AC=AA1=4，点F在CC1上，且C1F=3FC，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥平面BCC1B1（2）求四棱锥A﹣B1C1FE的体积；（3）证明：B1E⊥AF．【解答】（1）∵ AB=AC，E是BC的中点，∴AE⊥ BC．在三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，BB1∥ AA1，∴ BB1⊥平面ABC，∵ AE⊂平面ABC，∴ BB1⊥ AE，…．（2分）又∵ BB1∩BC=B，…．（3分）BB1，BC⊂平面BB1C1C，∴AE⊥平面BB1C1C，…．（4分）（2）由（1）知，即AE为四棱锥A﹣B1C1FE的高，在正三角形ABC中，AE=AB=2，…在正方形BB1C1C，中，CE=BE=2，CF=1，∴=﹣﹣S△CFE=4×=11．…（6分）∴=•AE==…（7分）（3）证明：连结B1F，由（1）得AE⊥平面BB1C1C，∵ B1E⊂平面BB1C1C，∴AE⊥B1E，…．（8分）在正方形BB1C1C，中，B1F==5，B1E==2，EF==，∵ B1F2=B1E2+EF2，∴ B1E⊥EF…．（9分）又∵AE∩EF=E，…．（10分）AE，EF⊂平面AEF，∴ B1E⊥平面AEF，…．（11分）∵ AF⊂平面AEF，∴ B1E⊥AF．…．（12分）【变式5】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB（1）求证：PC⊥ BC；（2）求三棱锥C﹣DEG的体积；（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；否则，说明理由．【解答】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC．又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD．又∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD．又∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC．（2）∵BC⊥平面PCD，∴ GC是三棱锥G﹣DEC的高．∵ E是PC的中点，∴ S△EDC=S△PDC==×（×2×2）=1．V C﹣=V G﹣DEC=GC•S△DEC=××1=．DEG（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．证明：∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA．又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG．在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，BC=PD=2，CG=CB．∴△OCG≌△OAM，∴AM=CG=，∴所求AM的长为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【变式6】如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面A1B1C1，A1B1⊥B1C1且A1B1=BB1=B1C1，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1（Ⅱ）在直线CC1上是否存在一点E，使得A1E⊥平面A1BD，若存在，试确定E点的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：连接AB1∵ BB1⊥平面A1B1C1∴ B1C1⊥BB1∵ B1C1⊥A1B1且A1B1∩BB1=B1∴ B1C1⊥平面A1B1BA∴ A1B⊥B1C1 . 又∵ A1B⊥AB1且AB1∩B1C1=B1∴A1B⊥平面AB1C1∴A1B⊥AC1（Ⅱ）存在点E在CC1的延长线上且CE=2CC1时，A1E⊥平面A 1BD．设AB=a，CE=2a，∴，∴，，DE=，∴，∴A1E⊥A1D…∵BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1E⊂平面ACC1A1∴ A1E⊥ BD. 又BD∩A1D=D ，∴ A1E⊥平面A1BD【变式7】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥ BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．又因为AC=3，BC=4，AB=5，所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．又C1C∩BC=C，所以AC⊥平面CC1B1B，所以AC⊥ BC1．（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又∵D为AB的中点，∴DE为△BAC1的中位线．∴AC1∥DE。
人教版高数必修二第6讲：空间中的垂直关系(教师版)
空间中的垂直关系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题．一、直线与平面垂直1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互垂直．2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB⊥α，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离3.直线和平面垂直的判定4.(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．符号语言：l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α，如图：(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．符号语言：a∥b，a⊥α⇒b⊥α，如图：5．直线与平面垂直的性质(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，如图：(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，如图：6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．(2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．(3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．7．(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．二、直线和平面平行1．平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作α⊥β.2．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．符号表示：a⊥α，a⊂β⇒α⊥β，如图：3．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．符号表示：α⊥β，α∩β＝CD，BA⊂α，BA⊥CD，B为垂足⇒BA⊥β，如图：推论：如果两个平面垂直，那么过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．类型一线面垂直例1：如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.解析：由于D是AC中点，SA＝SC，∴SD是△SAC的高，连接BD，可证△SDB≌△SDA.由AB＝BC，则Rt△ABC是等腰直角三角形，则BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理即可得证．答案：(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，连接BD，则AD＝DC＝BD，又∵SB＝SA，SD＝SD，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥面ABC.(2)∵BA＝BC，D为AC中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥面ABC，∴SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，∴BD⊥平面SAC.练习1：((2014·河南南阳一中高一月考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：EF⊥平面PCD.答案：如图，取PD的中点H，连接AH、HF.∴FH 12 CD，∴FH AE，∴四边形AEFH是平行四边形，∴AH∥EF. ∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD.又∵PA⊥底面ABCD，∴PA ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD .又∵AH ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AH .又∵PA ＝AD ，∴AH ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， ∴AH ⊥平面PCD ，又∵AH ∥EF ，∴EF ⊥平面PCD .练习2：如右图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为ABCD 的中心， 求证：1B O ⊥平面PAC 答案：连结111,,PO PB B D ,由正方体的性质可知，1,AC BD AC BB ⊥⊥,且1BD BB B =I ∴AC ⊥面11BDD B 又∵BO ⊂面11BDD B ∴1B O AC ⊥ 设AB a =，则11121,2,2OB OD a B D a PD PD a ===== ∵2222222222221113113,22424OB OB BB a a a OP PD DO a a a =+=+==+=+= 222222111119244PB B D PD a a a =+=+=∴2221OB PO PB += ∴1B O PO ⊥ ∵PO AC O =I∴1B O ⊥平面PAC练习3：在如右图，在空间四边形ABCD 中，,AB AD BC CD ==, 求证：AC BD ⊥答案：设E 为BD 的中点，连结,AE EC∵AB AD = ∴BD AE ⊥ 同理可证：BD EC ⊥又∵AE EC E =I ∴BD ⊥面AEC∵AE ⊂面AEC ∴BD AC ⊥例2：如图在△ABC 中，∠B ＝90°，SA ⊥平面ABC ， 点A 在SB 和SC 上的射影分别是N 、M ，求证：MN ⊥SC .解析：根据直线平面垂直的性质，找到所求垂直的线段中的 一条与另一条所在的平面垂直，即可证明这两条线段互相垂直． 答案：证明：∵SA ⊥平面ABC ， ∴SA ⊥BC ，又∠ABC ＝90°， ∴BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面SAB ， ∴AN ⊥BC ，又AN ⊥SB ，∴AN ⊥平面SBC ，E ABCDOP D 1C 1B 1A 1DCBA∴AN ⊥SC ，又AM ⊥SC ， ∴SC ⊥平面AMN ， ∴MN ⊥SC .练习1：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1D 、AC 上的点，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .求证：EF ∥BD 1. 答案：如图所示，连接A 1C 1、C 1D 、BD 、B 1D 1. 由于AC ∥A 1C 1，EF ⊥AC ，∴EF ⊥A 1C 1. 又EF ⊥A 1D ，A 1D ∩A 1C 1＝A 1， ∴EF ⊥平面A 1C 1D . ∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴BB 1⊥A 1C 1.又∵四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1. ∵BB 1∩B 1D 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1D . 而BD 1⊂平面BB 1D 1D ，∴BD 1⊥A 1C 1. 同理，DC 1⊥BD 1，DC 1∩A 1C 1＝C 1， ∴BD 1⊥平面A 1C 1D . 由①②可知EF ∥BD 1.练习2：在空间中，下列命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②垂直与同一直线的两条直线平行；③平行与同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的由___． 答案：①④练习3：已知,,a b c 及平面β，则下列命题正确的是（ ）A 、////a a b b ββ⎫⇒⎬⊂⎭B 、a a b b ββ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭C 、//a c a b b c ⊥⎫⇒⎬⊥⎭D 、//a a b b ββ⊂⎫⇒⎬⊂⎭ 答案：B例3：如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.求证：BD ⊥平面PAC .解析：通过计算得到直角，进而得到垂直． 答案：∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA .∵∠BAD 和∠ABC 都是直角，∴tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BCAB＝3， ∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°.∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥AC ， 又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC .练习1：在正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点， O 为底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面PAC . 答案：如图所示，连接AB 1、CB 1、B 1D 1、PB 1、PO .设AB ＝a ，则AB 1＝CB 1＝B 1D 1＝2a ，AO ＝OC ＝22a ， ∴B 1O ⊥AC .∵B 1O 2＝OB 2＋BB 21＝⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＋a 2＝32a 2，PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋(2a )2＝94a 2，OP 2＝PD 2＋DO 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＝34a 2，∴B 1O 2＋OP 2＝PB 21，∴B 1O ⊥OP . 又PO ∩AC ＝O ，∴B 1O ⊥平面PAC . 练习2:如图，若测得旗杆PO ＝4，P A ＝PB ＝5，OA ＝OB ＝3，则旗杆PO 和地面α的关系是________．答案：∵PO ＝4，OA ＝OB ＝3，P A ＝PB ＝5，∴PO 2＋AO 2＝P A 2，PO 2＋OB 2＝PB 2， ∴PO ⊥OA ，PO ⊥OB .又OA ∩OB ＝O ，∴PO ⊥平面AOB ，∴PO ⊥地面α.类型二平面与平面垂直例4：(2014·山东临沂高一期末测试)如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点，求证：平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1.解析：运用平面垂直的判定．答案：∵△ABC 为正三角形，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC .又∵CC 1⊥底面ABC ，AD ⊂平面ABC ， ∴CC 1⊥AD .又BC ∩CC 1＝C ， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1. 又AD ⊂平面AC 1D ，∴平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1.练习1：三棱锥S －ABC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝60°，∠ASC ＝60°，SA ＝SB ＝SC . 求证：平面ABC ⊥平面SBC .答案：解法一：取BC 的中点D ，连接AD 、SD .由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角形，则AB ＝AC . ∴AD ⊥BC ，SD ⊥BC .令SA ＝a ，在△SBC 中，SD ＝22a ， 又∵AD ＝AC 2－CD 2＝22a ，∴AD 2＋SD 2＝SA 2. 即AD ⊥SD .又∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面SBC . ∵AD ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面SBC .解法二：∵SA ＝SB ＝SC ＝a ， 又∵∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∴△ASB 、△ASC 都是等边三角形． ∴AB ＝AC ＝a .作AD ⊥平面SBC 于点D ，∵AB ＝AC ＝AS ，∴D 为△SBC 的外心． 又∵△BSC 是以BC 为斜边的直角三角形， ∴D 为BC 的中点，故AD ⊂平面ABC . ∴平面ABC ⊥平面SBC .练习2：如右图,在四面体ABCD 中，2,BD a AB AD CB CD a =====．求证：平面ABD ⊥平面BCD ． 答案：取BD 的中点E ，连结,AE EC∵AB AD = ∴AE BD ⊥同理CE BD ⊥ 在△ABD 中，12,2AB a BE BD a === ∴2222AE AB BE a =-=同理22CE a = 在△AEC 中，2,2AE CE a AC a ===∴222AC AE CE =+ ∴AE CE ⊥ ∵BD CE E =I ∴AE ⊥平面BCD ∵AE ⊂平面ABD ∴平面ABD ⊥平面BCD 练习3：空间四边形ABCD 中，若,AD BC BD AD ⊥⊥，那么有（ ） A 、平面ABC ⊥平面ADC B 、平面ABC ⊥平面ADBC 、平面ABC ⊥平面DBCD 、平面ADC ⊥平面DBC 答案：D例5：已知P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AC .解析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面中，使另一条直线与该平面垂直，即由线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到：面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直． 答案：如图，在平面P AC 内作AD ⊥PC 于点D ，∵平面P AC ⊥平面PBC ，AD ⊂平面P AC ，且AD ⊥PC ， ∴AD ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴P A ⊥BC ，∵AD ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ， 又AC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥AC .练习1：已知三棱锥P －ABC 中，侧面PAC 与底面ABC 垂直，PA ＝PB ＝PC . (1)求证：AB ⊥BC ；(2)若AB ＝BC ，过点A 作AF ⊥PB 于点F ，连接CF ，求证：平面PBD ⊥平面AFC .ABCDE答案：如图所示：(1)取AC的中点D，连接PD、BD，∵PA＝PC，∴PD⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，∴PD⊥平面ABC，D为垂足．∵PA＝PB＝PC，∴DA＝DB＝DC，∴AC为△ABC的外接圆的直径，故AB⊥BC.(2)∵PA＝PC，AB＝BC，PB＝PB，∴△ABP≌△CBP.∵AF⊥PB，∴CF⊥PB，又AF∩CF＝F，∴PB⊥平面AFC，又PB⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面AFC.练习2：已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，如图所示．求证：P A⊥平面ABC.答案：如图所示，在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面PAC，又∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥DF，同理可证：DG⊥PA，∵DF∩DG＝D，且DF⊂平面ABC，DG⊂平面ABC，∴PA⊥平面ABC.1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是() A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定答案：B2．若一条直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l与α的关系是()A．平行B．相交C．垂直D．不确定答案：D3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个命题：①α∥β，l⊄β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确的两个命题是()A．①②B．③④C．②④D．①③答案：D4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC 答案：D5．若有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是()A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α 答案：D6.Rt △ABC 所在平面α外一点P 到直角顶点的距离为24，到两直角边的距离都是610，那么点P到平面α的距离等于__________．答案：12_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是()A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．不能确定 答案：B2．直线a ⊥直线b ，a ⊥平面β，则b 与β的位置关系是()A ．b ⊥βB ．b ∥βC ．b ⊂βD ．b ⊂β或b ∥β 答案：D 3．下列命题①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b ； ②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ∥b ⇒b ⊥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ∥α⇒a ⊥b; ④⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥ba ⊥b b ⊂αc ⊂α⇒a ⊥α； ⑤⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α； ⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥a ⇒b ∥α. 其中正确命题的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案：A4.．若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，那么a、b的位置关系是()A．无公共点B．平行C．既不平行也不相交D．相交答案：A5．直线a与平面α内的两条直线都垂直，则a与α的位置关系是()A．垂直B．平行C．a在平面α内D．不确定答案：D6．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则() A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直答案：C7．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为____________________．答案：MN⊥AB8．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A.答案：如图所示，连接A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．取BC的中点N，连接AN、DN，则DN∥A1B.又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN.又△ABC是正三角形，∴AN⊥BC.又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABCD∩平面BB1C1C＝BC，AN⊂平面ABC，∴AN⊥平面BB1C1C.又B1C⊂平面BB1C1C，∴B1C⊥AN.又AN⊂平面AND，DN⊂平面AND，AN∩DN＝N，∴B1C⊥平面AND.又C1A⊂平面AND，∴B1C⊥AC1.能力提升9．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个B．至多有一个C．有无数多个D．一定不存在答案：B10.已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝2r，则球的体积与三棱锥体积之比是()A．πB．2πC．3πD．4π答案：D11.(2014·浙江文，6)设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案：C12.已知平面ABC外一点P，且PH⊥平面ABC于H.给出下列4个命题：①若P A⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若P A、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则P A＝PB＝PC；④若P A＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案：D13.平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹为________．(填直线、圆、其它曲线)答案：直线14.如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，P A⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．答案：215.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD.底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________________时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的即可)答案：BM⊥PC（其它合理答案亦可）16.如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中点．(1)求证：DE＝DA；(2)求证：平面BDM⊥平面ECA；(3)求证：平面DEA⊥平面ECA.答案：(1)取EC的中点F，连接DF.∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.∵BD ∥CE ，∴BD ⊥平面ABC .在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，EF ＝12CE ＝DB ，DF ＝BC ＝AB ， ∴Rt △EFD ≌Rt △DBA .故DE ＝DA .(2)取AC 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN CF . ∵BD CF ，∴MN BD ，∴N ∈平面BDM . ∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN .又∵AC ⊥BN ，EC ∩AC ＝C ，∴BN ⊥平面ECA . 又∵BN ⊂平面BDM ，∴平面BDM ⊥平面ECA .(3)∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ，∴DM ⊥平面ECA .又∵DM ⊂平面DEA ，∴平面DEA ⊥平面ECA .。
立体几何空间中的垂直关系及答案
空间中的垂直关系1．线线垂直如果两条直线所成的角是______(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说______________________，记作______．直线l叫做______________，平面α叫做______________．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做______．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的________．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的______________都垂直，则该直线与此平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．用符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α．(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__________．3．直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．任一直线与平面所成角θ的范围是____________．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的______________________叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是__________．5．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直．自查自纠：1．直角2．(1)直线l与平面α互相垂直l⊥α平面α的垂线直线l的垂面垂足距离(2)两条相交直线(3)平行3．锐角[0°，90°]4．(1)两个半平面所组成的图形(2)垂直于棱[0°，180°]5．(1)直二面角(2)垂线(3)交线(2018·广东清远一中月考)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题：①α⊥β⇒l∥m；②α∥β⇒l⊥m；③l⊥m⇒α∥β；④l∥m⇒α⊥β，其中正确命题的序号是() A．①②③B．②③④C．①③D．②④．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则() A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC．(2017·湖北武汉模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，连接AC，交EF于点G，沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有()A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF(2018·临沂检测)设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________．(用序号表示)(2017重庆八中适应性考试)在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中正确的是________．(2017重庆八中适应性考试)在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中正确的是________．①BC∥平面PDF；②DF⊥平面P AE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面P AE⊥平面AB C．类型一线线垂直问题(2018·湖州模拟改编)如图所示，在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE⊥底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点．求证：(1)AO⊥CD；(2)CE⊥AF．点拨：本题主要考查线线、线面位置关系．证明线线垂直，其实质是通过证明线面垂直，再化归为线线垂直．(2017武汉市武钢第三子弟中学月考)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABCA1B1C1的体积．类型二线面垂直问题如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC交EF于点O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接P A，PB，PD，得到五棱锥PABFED，且PB＝10．(1)求证：BD⊥平面POA；(2)求四棱锥PBDEF的体积．点拨：证明线面垂直的基本思路是证明该直线和平面内的两条相交直线垂直，亦可利用面面垂直的性质定理来证明；题(2)的难点在于证明PO即是所求四棱锥的高．(2017锦州市第二高级中学月考)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN．类型三面面垂直问题如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M．点拨：求异面直线所成的角，一般方法是通过平移直线，把异面问题转化为共面问题，通过解三角形求出所构造的角；证明面面垂直，可转化为证明线面垂直，而线面垂直又可以转化为证明线线垂直，在证明过程中，需充分利用规则几何体本身所具有的几何特征简化问题，有时还需应用勾股定理的逆定理，通过计算来证明垂直关系，这在高考题中是常用方法之一．(2018·豫南九校质检)在四棱锥PABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥CD，△P AD是等边三角形，已知AD＝2，BD＝23，AB＝2CD＝4．(1)设M是PC上一点，求证：平面MBD⊥平面P AD；(2)求四棱锥PABCD的体积．类型四垂直综合问题(2017大连经济技术开发区一中月考)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′BCDE，其中A′O＝3．(1)证明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′CDB的平面角的余弦值．点拨：本题主要考查线面垂直及二面角的计算等．折叠要注意不变量；作二面角，往往要通过作垂线来实现．如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为AD的中点，O为BE的中点．将△ABE 沿BE折起到A′BE，使得平面A′BE⊥平面BCDE(如图2)．图1图2(1)求证：A′O⊥CD；(2)求直线A′C与平面A′DE所成角的正弦值．1．判断(证明)线线垂直的方法(1)根据定义．(2)如果直线a∥b，a⊥c，则b⊥c．(3)如果直线a⊥面α，c⊂α，则a⊥c．(4)向量法：两条直线的方向向量的数量积为零．2．证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理：两相交直线a，b⊂α，a⊥c，b⊥c⇒c⊥α．(2)a∥b，a⊥α⇒b⊥α．(3)利用面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β．(4)利用面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝m ，a ⊂α，a ⊥m ⇒a ⊥β；α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ⇒m ⊥γ． 3．证明面面垂直的主要方法(1)利用判定定理：a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β．(2)用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角．(3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：α∥β，α⊥γ⇒β⊥γ． 4．平面与平面垂直的性质的应用当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等．5．垂直关系的相互转化6．线面角、二面角求法 求这两种空间角的步骤：根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)⇒证⇒求(算)三步曲．也可用射影法：设斜线段AB 在平面α内的射影为A ′B ′，AB 与α所成角为θ，则cos θ＝||A ′B ′||AB ；设△ABC 在平面α内的射影三角形为△A ′B ′C ′，平面ABC 与α所成角为θ，则cos θ＝S △A ′B ′C ′S △ABC ．1．(2017·唐山三模)已知平面α⊥平面β，则“直线m ⊥平面α”是“直线m ∥平面β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2018·上饶质检)已知P 是△ABC 所在平面外一点，P 到AB ，AC ，BC 的距离相等，且P 在△ABC 所在平面的射影O 在△ABC 内，则O 一定是△ABC 的 ( ) A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心3．(2018·福建泉州)如图，在下列四个正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 均为所在棱的中点，过E ，F ，G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD 1与平面EFG 不垂直的是 ( )A BC D4．(2017沈阳市第一中学月考)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．(2018·广东模拟)如图所示是一个几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为所在棱P A，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面P A D．其中正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．46．(2017瓦房店市高级中学月考)如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF．正确的是()A．①和③B．②和⑤C．①和④D．②和④7．在正方体ABCDA′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)8．(教材改编)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中：①平面ADC⊥平面ABC；②平面ADC⊥平面ABD；③平面ADC⊥平面BD C．其中正确的是____________．(写出所有正确结论的编号)9．(2017钟祥市实验中学月考)如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD ＝a，P A＝PC＝2a．求证：(1)PD ⊥平面ABCD ；(2)平面P AC ⊥平面PB D ．10．(2018·河北石家庄联考)如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形， ∠BAD ＝60°．PB ＝PD ＝2，P A ＝6．(1)证明：PC ⊥BD ；(2)若E 为P A 上一点，记三棱锥P BCE 的体积和四棱锥P ABCD 的体积分别为V 1和V 2，当V 1∶V 2＝1∶8时，求EPAE的值．11．(2018·北京西城一模)如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB ＝AC ＝25，BC ＝4．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使得平面A 1DE ⊥平面BCED ，F 为A 1C 的中点，如图2所示．(1)求证：EF ∥平面A 1BD ；(2)求证：平面A 1OB ⊥平面A 1OC ；(3)在线段OC 上是否存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ？请说明理由．(2018·大连二模)如图所示，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，EF ∥CD ，CD ⊥EA ，CD ＝2EF ＝2，ED＝3，M 为棱FC 上一点，平面ADM 与棱FB 交于点N ．(1)求证：ED ⊥CD ； (2)求证：AD ∥MN ；(3)若AD ⊥ED ，试问平面BCF 是否可能与平面ADMN 垂直？若能，求出FMFC 的值；若不能，请说明理由．空间中的垂直关系1．线线垂直如果两条直线所成的角是______(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直． 2．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说______________________，记作______．直线l 叫做______________，平面α叫做______________．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P 叫做______．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的________．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的______________都垂直，则该直线与此平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．用符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α．(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__________．3．直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．任一直线与平面所成角θ的范围是____________．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的______________________叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是__________．5．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直．自查自纠：1．直角2．(1)直线l与平面α互相垂直l⊥α平面α的垂线直线l的垂面垂足距离(2)两条相交直线(3)平行3．锐角[0°，90°]4．(1)两个半平面所组成的图形(2)垂直于棱[0°，180°]5．(1)直二面角(2)垂线(3)交线(2018·广东清远一中月考)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题：①α⊥β⇒l ∥m；②α∥β⇒l⊥m；③l⊥m⇒α∥β；④l∥m⇒α⊥β，其中正确命题的序号是() A．①②③B．②③④C．①③D．②④解：①中l与m可能相交、平行或异面；②中结论正确；③中两平面α，β可能平行，也可能相交；④中结论正确．故选D．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC解：由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1，故选C．(2017·湖北武汉模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，连接AC，交EF于点G，沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有()A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF解：根据折叠前AB⊥BE，AD⊥DF，得折叠后AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF＝H，所以AH⊥平面EFH，B正确；因为过点A只有一条直线与平面EFH垂直，所以A不正确；因为AG⊥EF，EF⊥AH，AG∩AH＝A，所以EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，所以平面HAG⊥平面AEF，过点H作直线垂直于平面AEF，所作直线一定在平面HAG内，所以C不正确；因为HG不垂直于AG，所以HG⊥平面AEF 不正确，所以D不正确．故选B．(2018·临沂检测)设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________．(用序号表示)解：若①②③成立，则m与α的位置关系不确定，故①②③⇒④错误；同理①②④⇒③也错误；①③④⇒②与②③④⇒①均正确．故填①③④⇒②(或②③④⇒①)．(2017重庆八中适应性考试)在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中正确的是________．①BC∥平面PDF；②DF⊥平面P AE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面P AE⊥平面AB C．解：由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故①正确；若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE，故DF⊥平面P AE，故②正确；由PO⊥平面ABC，PO⊂平面P AE，可得平面P AE⊥平面ABC，故④正确，平面PDF不过PO，故③不正确．故填①②④．类型一线线垂直问题(2018·湖州模拟改编)如图所示，在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE⊥底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点．求证：(1)AO⊥CD；(2)CE⊥AF．证明：(1)因为△ABE为等边三角形，O为BE 的中点，所以AO⊥BE．又因为平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE＝BE，AO⊂平面ABE，所以AO⊥平面BCDE．又因为CD⊂平面BCDE，所以AO⊥C D．(2)连接BD，因为四边形BCDE为菱形，所以CE⊥B D．因为O，F分别为BE，DE的中点，所以OF∥BD，所以CE⊥OF．由(1)可知，AO⊥平面BCDE，因为CE⊂平面BCDE，所以AO⊥CE．因为AO∩OF＝O，所以CE⊥平面AOF．又AF⊂平面AOF，所以CE⊥AF．点拨：本题主要考查线线、线面位置关系．证明线线垂直，其实质是通过证明线面垂直，再化归为线线垂直．(2017武汉市武钢第三子弟中学月考)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABCA1B1C1的体积．解：(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B．因为CA＝CB，所以OC⊥A B．由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥A B．因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C．又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C．(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝3．又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋OA21，故OA1⊥O C．因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABCA1B1C1的体积为V＝S△ABC×OA1＝3．类型二线面垂直问题如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC交EF于点O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到五棱锥PABFED，且PB ＝10．(1)求证：BD⊥平面POA；(2)求四棱锥PBDEF的体积．解：(1)证明：如图，因为点E，F分别是题图中菱形ABCD的边CD，CB的中点，所以BD∥EF．因为菱形ABCD的对角线互相垂直，所以BD⊥AC，所以EF⊥A C．所以EF⊥AO，EF⊥PO．因为AO⊂平面POA，PO⊂平面POA，AO∩PO ＝O，所以EF⊥平面POA，所以BD⊥平面PO A．(2)如图，设AO∩BD＝H，连接BO．因为∠DAB＝60°，所以△ABD为等边三角形．所以BD＝4，BH＝2，HA＝23，HO＝PO＝3．在Rt△BHO中，BO＝7．在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2，所以PO⊥BO．因为PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF⊂平面BFED，BO⊂平面BFED，所以PO⊥平面BFE D．因为梯形BFED的面积为S＝12(EF＋BD)·HO＝33，所以四棱锥PBFED的体积V＝13S·PO＝3．点拨：证明线面垂直的基本思路是证明该直线和平面内的两条相交直线垂直，亦可利用面面垂直的性质定理来证明；题(2)的难点在于证明PO即是所求四棱锥的高．(2017锦州市第二高级中学月考)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN．证明：(1)如图，连接AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1，从而BC1∥FP．而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ．(2)如图，连接AC，BD，则AC⊥B D．由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥B D．又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1．而AC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥AC1．因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1．同理可证PN⊥AC1．又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN．类型三面面垂直问题如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M．解：(1)因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M和C1D1所成的角，因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°．而A1B1＝1，B1M＝B1C21＋MC21＝2，故tan∠MA1B1＝B1MA1B1＝2．(2)证明：由A1B1⊥平面BCC1B1，BM⊂平面BCC1B1，得A1B1⊥BM．①由(1)知，B1M＝2，又BM＝BC2＋CM2＝2，B1B＝2，B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M．②又A1B1∩B1M＝B1，由①②得BM⊥平面A1B1M．而BM⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M．点拨：求异面直线所成的角，一般方法是通过平移直线，把异面问题转化为共面问题，通过解三角形求出所构造的角；证明面面垂直，可转化为证明线面垂直，而线面垂直又可以转化为证明线线垂直，在证明过程中，需充分利用规则几何体本身所具有的几何特征简化问题，有时还需应用勾股定理的逆定理，通过计算来证明垂直关系，这在高考题中是常用方法之一．(2018·豫南九校质检)在四棱锥PABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥CD，△P AD是等边三角形，已知AD＝2，BD＝23，AB＝2CD＝4．(1)设M是PC上一点，求证：平面MBD⊥平面P AD；(2)求四棱锥PABCD的体积．解：(1)证明：在△ABD中，AD＝2，BD＝23，AB＝4，由勾股定理可得AD⊥B D．又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以BD⊥平面P AD，又BD⊂平面MBD，所以平面MBD⊥平面P A D．(2)取AD的中点O，连接PO，则PO是四棱锥PABCD的高，易得PO＝3，底面四边形ABCD的面积是12×(2＋4)×2×234＝33，所以四棱锥PABCD的体积为13×33×3＝3．类型四垂直综合问题(2017大连经济技术开发区一中月考)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′BCDE，其中A′O＝3．(1)证明：A′O⊥平面BCDE；(2)求二面角A′CDB的平面角的余弦值．解：(1)证明：在图1中，易得OC＝3，AC＝32，AD＝22．如图示，连接OD，OE，在△OCD 中，由余弦定理可得OD＝OC2＋CD2－2OC·CD cos45°＝5．由翻折不变性可知A ′D ＝22，易得A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥O D ．同理可证A ′O ⊥OE ．又因为OD ∩OE ＝O ，所以A ′O ⊥平面BCDE ． (2)过O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于H ，连接A ′H ，因为A ′O ⊥平面BCDE ，易知A ′H ⊥CD ，所以∠A ′HO 为二面角A ′CD B 的平面角．结合图1可知，H 为AC 中点，又O 为BC 中点，故OH ＝12AB ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋OA ′2＝302， 所以cos ∠A ′HO ＝OH A ′H＝155．所以二面角A ′CD B 的平面角的余弦值为155．点 拨：本题主要考查线面垂直及二面角的计算等．折叠要注意不变量；作二面角，往往要通过作垂线来实现．如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，E 为AD 的中点，O 为BE 的中点．将△ABE 沿BE 折起到A ′BE ，使得平面A ′BE ⊥平面BCDE (如图2)．图1 图2 (1)求证：A ′O ⊥CD ；(2)求直线A ′C 与平面A ′DE 所成角的正弦值． 解：(1)证明：如图1，在矩形ABCD 中，因为AB ＝2，BC ＝4，E 为AD 中点，所以AB ＝AE ＝2，因为O 为BE 的中点，所以AO ⊥BE ．由题意可知，A ′O ⊥BE ，平面A ′BE ⊥平面BCDE ．因为平面A ′BE ∩平面BCDE ＝BE ，A ′O ⊂平面A ′BE ，所以A ′O ⊥平面BCDE ． 因为CD ⊂平面BCDE ，所以A ′O ⊥C D ． (2)取BC 中点为F ，连接OF ，由矩形ABCD 性质，可知OF ⊥BE ，由(1)可知，A ′O ⊥BE ， A ′O ⊥OF ，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，在Rt △BAE 中，由AB ＝2，AE ＝2，则BE ＝22，OA ＝2，所以A ′(0，0，2)，E (0，2，0)，F (2，0，0)，B (0，－2，0)，C (22，2，0)，D (2，22，0)，则A ′C →＝(22，2，－2)，ED →＝(2，2，0)，A ′E →＝(0，2，－2)．设平面A ′DE 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A ′E →＝0，m ·ED →＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，2x ＋2y ＝0，令y ＝1，则x ＝－1，z ＝1，所以m ＝(－1，1，1)．设直线A ′C 与平面A ′DE 所成角为θ，sin θ＝|cos 〈A ′C →，m 〉|＝|A ′C →·m ||A ′C →|·|m |＝23，所以直线A ′C 与平面A ′DE 所成角的正弦值为23．1．判断(证明)线线垂直的方法(1)根据定义． (2)如果直线a ∥b ，a ⊥c ，则b ⊥c ． (3)如果直线a ⊥面α，c ⊂α，则a ⊥c ． (4)向量法：两条直线的方向向量的数量积为零． 2．证明直线和平面垂直的常用方法 (1)利用判定定理：两相交直线a ，b ⊂α，a ⊥c ，b ⊥c ⇒c ⊥α．(2)a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α．(3)利用面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β． (4)利用面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝m ，a ⊂α，a ⊥m ⇒a ⊥β；α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ⇒m ⊥γ．3．证明面面垂直的主要方法(1)利用判定定理：a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β．(2)用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角．(3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：α∥β，α⊥γ⇒β⊥γ．4．平面与平面垂直的性质的应用当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等．5．垂直关系的相互转化6．线面角、二面角求法 求这两种空间角的步骤：根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)⇒证⇒求(算)三步曲．也可用射影法：设斜线段AB 在平面α内的射影为A ′B ′，AB 与α所成角为θ，则cos θ＝||A ′B ′||AB ；设△ABC 在平面α内的射影三角形为△A ′B ′C ′，平面ABC 与α所成角为θ，则cos θ＝S △A ′B ′C ′S △ABC．1．(2017·唐山三模)已知平面α⊥平面β，则“直线m ⊥平面α”是“直线m ∥平面β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解：若α⊥β，且m ⊥α，则m ∥β或m ⊂β；若α⊥β，且m ∥β，则m ∥α或m 与α相交或m ⊂α．故选D ．2．(2018·上饶质检)已知P 是△ABC 所在平面外一点，P 到AB ，AC ，BC 的距离相等，且P 在△ABC 所在平面的射影O 在△ABC 内，则O 一定是△ABC 的 ( )A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解：因为P 到AB ，AC ，BC 三边的距离相等，且P 在△ABC 所在平面的射影O 在△ABC 内，则O 到AB ，AC ，BC 三边的距离也相等，即点O 为△ABC 的内切圆的圆心，即△ABC 的内心．故选A ．3．(2018·福建泉州)如图，在下列四个正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 均为所在棱的中点，过E ，F ，G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD 1与平面EFG 不垂直的是 ( )ABC D解：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，图形EFMNQG是一个平面图形，直线BD1与平面EFMNQG垂直，而选项A，B，C中的平面EFG与这个平面重合，D中EF∥BB1，而BB1与BD1不垂直，即BD1与平面EFG不垂直．故选D．4．(2017沈阳市第一中学月考)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当α⊥β时，由面面垂直的性质定理知b⊥α，则b⊥a．所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件．而当a⊂α，且a∥m时，因为b⊥m，所以b⊥a，而此时平面α与平面β不一定垂直．所以“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件．故选A．5．(2018·广东模拟)如图所示是一个几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为所在棱P A，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面P A D．其中正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解：画出该几何体的直观图，如图所示，①因为E，F分别是P A，PD的中点，所以EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线，故①不正确；②直线BE与直线AF满足异面直线的定义，故②正确；③由E，F分别是P A，PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以直线EF∥平面PBC，故③正确；④无法判定平面BCE⊥平面P AD，故④不正确．故选B．6．(2017瓦房店市高级中学月考)如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF．正确的是()A．①和③B．②和⑤C．①和④D．②和④解：因为正方形中折叠前后都有SG⊥GE，SG ⊥GF，所以SG⊥平面EFG．①正确，②错误．因为SG⊥GF，SG⊥GD，所以GF并不垂直于SF，GD并不垂直于SD，即③⑤错误．因为EF⊥GD，EF⊥SG，GD∩SG＝G，所以EF⊥面GS D．④正确．故选C．7．在正方体ABCDA′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)解：根据两平面平行的性质定理可得BFD′E为平行四边形，①正确；若四边形BFD′E是正方形，则BE⊥ED′，又A′D′⊥EB，A′D′∩ED′＝D′，所以BE⊥面ADD′A′，与已知矛盾，②错；易知四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形ABCD，③正确；当E，F分别为棱AA′，CC′的中点时，EF ∥AC，又AC⊥平面BB′D，所以EF⊥面BB′D，④正确．故填①③④．8．(教材改编)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°．将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中：①平面ADC⊥平面ABC；②平面ADC⊥平面ABD；③平面ADC⊥平面BD C．其中正确的是____________．(写出所有正确结论的编号)解：在四边形ABCD中，由已知可得BD⊥C D．又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，所以CD⊥A B．又AD⊥AB，AD ∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC，从而平面ABC⊥平面AD C．故填①②．9．(2017钟祥市实验中学月考)如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，P A＝PC＝2a．求证：(1)PD ⊥平面ABCD ；(2)平面P AC ⊥平面PB D ．证明：(1)因为PD ＝a ，DC ＝a ，PC ＝2a ， 所以PC 2＝PD 2＋DC 2，所以PD ⊥D C ． 同理可证PD ⊥AD ，又AD ∩DC ＝D ， 所以PD ⊥平面ABC D ． (2)由(1)知PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AC ，而四边形ABCD 是正方形， 所以AC ⊥BD ，又BD ∩PD ＝D ，所以AC ⊥平面PD B ．同时AC ⊂平面P AC ， 所以平面P AC ⊥平面PB D ．10．(2018·河北石家庄联考)如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形， ∠BAD ＝60°．PB ＝PD ＝2，P A ＝6．(1)证明：PC ⊥BD ；(2)若E 为P A 上一点，记三棱锥P BCE 的体积和四棱锥P ABCD 的体积分别为V 1和V 2，当V 1∶V 2＝1∶8时，求EPAE的值．解：(1)证明：连接AC 交BD 于点O ，连接PO ． 因为四边形ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ，且O 为BD 的中点，因为PB ＝PD ，所以PO ⊥BD ，又AC ∩PO ＝O ，所以BD ⊥平面P AC ，又 PC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥P C ．(2)因为AB ＝PB ＝2，AD ＝PD ＝2，BD ＝BD ，所以△ABD ≌△PBD ，所以AO ＝PO ＝3，因为P A ＝6，所以P A 2＝OA 2＋OP 2，所以PO ⊥A C ．又PO ⊥BD ，AC ∩BD ＝O ，所以PO ⊥平面ABC D ．过点E 作EF ∥PO ，交AC 于点F ，所以EF ，PO 分别是三棱锥E ABC 和四棱锥P ABCD 的高．又V 1＝V P ABC －V E ABC ＝13S △ABC ·(PO －EF )，V 2＝13S 菱形ABCD ·PO ，由V 1V 2＝18，得S △ABC ·（PO －EF ）S 菱形ABCD ·PO ＝18，即4(PO －EF )＝PO ，所以PO EF ＝43．因为EF ∥PO ，所以△AEF ∽△APO ， 所以PO EF ＝AP AE ＝AE ＋EP AE ＝43，所以EP AE ＝13．11．(2018·北京西城一模)如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB ＝AC ＝25，BC ＝4．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使得平面A 1DE ⊥平面BCED ，F 为A 1C 的中点，如图2所示．(1)求证：EF ∥平面A 1BD ；(2)求证：平面A 1OB ⊥平面A 1OC ；(3)在线段OC 上是否存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ？请说明理由．解：(1)证明：如图，取线段A 1B 的中点H ，连接HD ，HF ．因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC ，且DE ＝12B C ．因为H ，F 分别为A 1B ，A 1C 的中点，所以HF ∥BC ，且HF ＝12BC ，所以HF ∥DE ，且HF ＝DE ．所以四边形DEFH 为平行四边形，所以EF ∥H D ．因为EF ⊄平面A 1BD ，HD ⊂平面A 1BD ，所以EF ∥平面A 1B D ．(2)证明：因为在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以AD ＝AE ，所以A 1D ＝A 1E ，又O 为DE 的中点，所以A 1O ⊥DE ． 因为平面A 1DE ⊥平面BCED ，且平面A 1DE ∩平面BCED ＝DE ，A 1O ⊂平面A 1DE ， 所以A 1O ⊥平面BCED ，所以CO ⊥A 1O ． 又易求得OB ＝OC ＝22，所以OB 2＋OC 2＝BC 2，所以CO ⊥BO ， 又A 1O ∩BO ＝O ，A 1O ⊂平面A 1OB ，BO ⊂平面A 1OB ，所以CO ⊥平面A 1OB ，又CO ⊂平面A 1OC ，所以平面A 1OB ⊥平面A 1O C ．(3)在线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ．理由如下：假设在线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，连接GE ，GF ，则必有OC ⊥GF ，OC ⊥GE ．在Rt △A 1OC 中，由F 为A 1C 的中点，得G 为OC 的中点．在△EOC 中，因为OC ⊥GE ，所以EO ＝EC ，这显然与EO ＝1，EC ＝5矛盾． 所以在线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面。
高考数学一轮总复习：空间中的垂直关系
空间中的垂直关系[基础梳理] 1．直线与平面垂直(1)定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理：⎭⎬⎫a ，b αa ∩b ＝Ol ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角． (2)范围：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念：①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫作二面角的平面角． (2)平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl β⇒α⊥β⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl βα∩β＝al ⊥a⇒l ⊥α1．判定定理的理解若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α. 2．性质定理α⊥β，P ∈β，PQ ⊥α⇒PQβ时垂直于第三个平面，[四基自测]1．下列命题中不正确的是( )A ．如果平面α⊥平面β，且直线l ∥平面α，则直线l ⊥平面βB ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ答案：A2．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为() A．bαB．b∥αC．bα或b∥αD．b与α相交答案：C3．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则() A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案：C4．如图所示，在三棱锥V ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为________．答案：4考点一线面垂直的判定与性质◄考基础——练透[例1](2019·河南商丘模拟)如图所示，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确命题的序号是________．解析：由P A⊥平面ABC，BC平面ABC，可得P A⊥BC，又AB是圆O的直径，C是圆O上一点，则有BC⊥AC，又P A∩AC＝A，所以BC⊥面P AC，又AF面P AC，所以BC⊥AF，故③正确；因为AF⊥PC，PC∩BC＝C，所以AF⊥面PBC，又PB面PBC，所以AF⊥PB，故①正确；因为AE⊥PB，AF⊥PB，AE∩AF＝A，所以PB⊥平面AEF，又EF平面AEF，所以PB⊥EF，故②正确；由于AF⊥平面PBC，AF∩AE＝A，所以AE不与面PBC垂直，故④错误．综上可知正确命题的序号为①②③.答案：①②③证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理：在平面内找两条相交直线与该直线垂直．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理：在平面内找与两平面交线垂直的直线.如图所示，三棱锥P ABC中，△ABC是正三角形，PC⊥平面ABC，PC＝AC ＝2，E为AC中点，EF⊥AP，垂足为F.(1)求证：AP⊥FB；(2)求多面体PFBCE的体积．解析：(1)证明：由题意得BE⊥AC，又PC⊥平面ABC，∴PC⊥BE.又AC∩PC＝C，∴BE⊥面P AC.∴BE⊥AP.又EF ⊥AP ，EF ∩BE ＝E ，∴AP ⊥面BEF . ∴AP ⊥FB .(2)在△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝2，E 为AC 中点， ∴AE ＝1，BE ＝ 3.在△PCA 中，∠PCA ＝90°，AC ＝PC ＝2，∴∠P AC ＝45°.又EF ⊥P A ，∴EF ＝AF ＝22，S △AEF ＝12EF ·AF ＝14.易知，BE ⊥平面AFE .∴V ABEF＝V B AFE ＝13BE ·S △AEF ＝312，又V P ABC ＝13PC ·S △ABC ＝233，∴多面体PFBCE 的体积为V P ABC －V A BEF ＝7312. 考点二 平面与平面垂直的判定与性质◄考能力——知法[例2] (1)如图所示，一张A4纸的长、宽分别为22a,2a ，A ，B ，C ，D 分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P 1，P 2，P 3，P 4四点重合为一点P ，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题，正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①该多面体是三棱锥； ②平面BAD ⊥平面BCD ； ③平面BAC ⊥平面ACD ； ④该多面体外接球的表面积为5πa 2.解析：由题意得该多面体是一个三棱锥，故①正确；∵AP ⊥BP ，AP ⊥CP ，BP ∩CP＝P，∴AP⊥平面BCD，又∵AP平面ABD，∴平面BAD⊥平面BCD，故②正确；同理可证平面BAC⊥平面ACD，故③正确；通过构造长方体可得该多面体的外接球半径R＝52a，所以该多面体外接球的表面积为5πa2，故④正确，综上，正确命题的序号为①②③④.答案：①②③④(2)(2018·高考全国卷Ⅰ)如图所示，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM ＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.①证明：平面ACD⊥平面ABC；②Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝23DA，求三棱锥Q－ABP的体积．解析：①证明：由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.②由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3 2.又BP ＝DQ ＝23DA ， 所以BP ＝2 2.如图所示，过点Q 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE .由已知及(1)可得，DC ⊥平面ABC ， 所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1. 因此，三棱锥Q －ABP 的体积为V Q －ABP ＝13×S △ABP ×QE ＝13×12×3×22sin 45°×1＝1.应用线面垂直的判定与性质定理的思维(1)证明两个平面垂直，关键是选准其中一个平面内的一条直线，证明该直线与另一个平面垂直．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑． (2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．解析：(1)证明：由∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，又AP ∩PD ＝P ，从而AB ⊥平面P AD . 又AB平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD .(2)如图所示，在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .由(1)知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PE ，可得PE ⊥平面ABCD . 设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x .故四棱锥P ABCD 的体积V P ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而P A ＝PD ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2.可得四棱锥P ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3.考点三 空间垂直关系的探索与转化◄考基础——练透[例3] (1)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AC 1，A 1B 1的中点，点P 在其表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 的轨迹的周长等于________．解析：分别取BB 1，CC 1的中点E ，F ，连接AE ，EF ，FD ，则BN ⊥平面AEFD ，过点M 作平面α，使α∥平面AEFD ，则平面α与正方体表面的交线即为点P 的轨迹，该轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD 的周长相等，又矩形AEFD 的周长为2＋5，所以所求轨迹的周长为2＋ 5.答案：2＋5(2)如图所示，在四棱锥S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD.四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点．①求证：CD⊥平面SAD；②若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并证明你的结论．解析：①证明：因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD.又平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面SAD.②存在点N为SC的中点，使得平面DMN⊥平面ABCD.证明：连接PC、DM交于点O，连接PM、SP、NM、ND、NO，因为PD∥CM，且PD＝CM，所以四边形PMCD为平行四边形，所以PO＝CO.又因为N为SC的中点，所以NO∥SP.易知SP⊥AD，因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，并且SP⊥AD，所以SP⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD.又因为NO平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD.探索垂直关系，常采用逆向思维一般假设存在线线垂直，所利用的关系常有：(1)等腰三角形的高、中线与底边垂直．(2)矩形的相邻边垂直．(3)直径所对的圆周角的两边垂直．(4)菱形的对角线垂直．(5)给出长度，满足勾股定理的两边垂直．(6)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路．(2019·安阳模拟)如图所示，平面ABDE⊥平面ABC，AC＝BC，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD＝12AE，O，M分别为CE，AB的中点．(1)求证：OD∥平面ABC.(2)能否在EM上找一点N，使得ON⊥平面ABDE？若能，请指出点N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．解析：(1)证明：取AC中点F，连接OF，FB.∵F为AC中点，O为CE中点，∴OF∥EA且OF＝12EA.又BD∥AE且BD＝12AE，∴OF∥DB，OF＝DB，∴四边形BDOF是平行四边形，∴OD∥FB.∵FB平面ABC，OD平面ABC，∴OD∥平面ABC.(2)当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE.取EM中点N，连接ON，CM.∵AC＝BC，M为AB中点，∴CM⊥AB.又∵平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，CM平面ABC，∴CM⊥平面ABDE.∵N是EM中点，O为CE中点，∴ON∥CM，∴ON⊥平面ABDE.直观想象——立体几何中高维与低维转化中的学科素养立体几何中的点与点、点与线、线与线、线与面、面与面之间的关系是由低维逐步到高维的转化过程，解决立体几何问题不仅用到高维、也要用到低维．其中直观想象是重点的核心素养，是培养空间想象能力的基本方法．[例]如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，若二面角C－AB－C1的大小为60，则点C到平面ABC1的距离为________．解析：设所求距离为d ，两次计算三棱锥C 1－ABC (即三棱锥C －ABC 1)的体积，得：13×34×32＝13×12×1×3×h ，解得h ＝34.答案：34点评：本题将点到平面的距离问题转化为三棱锥的体积问题.课时规范练 A 组 基础对点练1．(2019·惠州模拟)P A 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于A ，B 两点的任一点，则下列关系不正确的是( ) A ．P A ⊥BC B ．BC ⊥平面P AC C ．AC ⊥PBD ．PC ⊥BC解析：由P A ⊥平面ACB ⇒P A ⊥BC ，故A 不符合题意；由BC ⊥P A ，BC ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ，可得BC ⊥平面P AC ，所以BC ⊥PC ，故B ，D 不符合题意；无法判断AC ⊥PB ，故C 符合题意． 答案：C2．(2019·石家庄模拟)已知平面α，β，直线l ，若α⊥β，α∩β＝l ，则( ) A ．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B ．垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α C ．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D ．垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直解析：垂直于平面β的平面与平面α重合、平行或相交，故A不正确；垂直于直线l的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B不正确；垂直于平面β的平面可能垂直于直线l，故C不正确；由面面垂直的判定定理知，垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直，故D正确．答案：D3．已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，则下列命题正确的是()A．若m∥n，nα，则m∥αB．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥αC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥α，m⊥β且l⊥m，则α⊥β解析：若m∥n，nα，则m∥α或mα，故A不正确；若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n与α相交或n∥α或nα，故B不正确；若l⊥n，m⊥n，则l与m相交、平行或异面，故C不正确；若l⊥α，m⊥β且l⊥m，则由直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知α⊥β.答案：D4．(2019·长春质检)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD ＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A－BCD，则在四面体A－BCD中，下列说法正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ACD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BCDD．平面ACD⊥平面ABD解析：由题意可知，AD⊥AB，AD＝AB，所以∠ABD＝45°，故∠DBC＝45°，又∠BCD＝45°，所以BD⊥DC.因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD.答案：D5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC解析：由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1，故选C.答案：C6．(2019·南昌调研)如图所示，四棱锥P－ABCD中，△P AB与△PBC是正三角形，平面P AB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是()A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD解析：如图所示，对于选项A，取PB的中点O，连接AO，CO.∵在四棱锥P －ABCD中，△P AB与△PBC是正三角形，平面P AB⊥平面PBC，∴AO⊥PB，CO⊥PB，∵AO∩CO＝O，∴PB⊥平面AOC，∵AC平面AOC，∴PB⊥AC，故选项A正确；对于选项B，设AC与BD交于点M，易知M为AC的中点，若PD⊥平面ABCD，则PD⊥BD，由已知条件知点D满足AC⊥BD且位于BM的延长线上，∴点D的位置不确定，∴PD与BD不一定垂直，∴PD⊥平面ABCD不一定成立，故选项B不正确；对于选项C，∵AC⊥PB，AC⊥BD，PB∩BD＝B，∴AC⊥平面PBD，∵PD平面PBD，∴AC⊥PD，故选项C正确；对于选项D，∵AC⊥平面PBD，AC平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，故选项D正确．故选B.答案：B7.如图所示，在四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M 是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：如图所示，连接AC，BD，则AC⊥BD，∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥BD.又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC，∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)8.如图所示，四棱锥P ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．求证：(1)AP∥平面BEF；(2)BE⊥平面P AC.证明：(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC，如图所示．由于E为AD的中点，AB＝BC＝12AD，AD∥BC，所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点．又F为PC的中点，因此在△P AC中，可得AP∥OF.又OF平面BEF，AP平面BEF.所以AP∥平面BEF.(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC.所以四边形BCDE为平行四边形，因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP，AC平面P AC，所以BE⊥平面P AC.9．(2019·唐山统考)已知四棱锥P ABCD的底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，E为棱PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)若PD＝AD＝2，PB⊥AC，求点P到平面AEC的距离．解析：(1)证明：如图所示，连接BD，交AC于点F，连接EF，∵底面ABCD 为矩形，∴F 为BD 中点， 又E 为PD 中点，∴EF ∥PB ， 又PB平面AEC ，EF平面AEC ，∴PB ∥平面AEC . (2)∵PD ⊥平面ABCD ， AC平面ABCD ，∴PD ⊥AC ，又PB ⊥AC ，PB ∩PD ＝P ，∴AC ⊥平面PBD ， ∵BD平面PBD ，∴AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 为正方形．又E 为PD 的中点，∴P 到平面AEC 的距离等于D 到平面AEC 的距离，设D 到平面AEC 的距离为h ，由题意可知AE ＝EC ＝5，AC ＝22，S △AEC ＝12×22×3＝6，由V D AEC＝V E ADC 得13S △AEC ·h ＝13S △ADC ·ED ，解得h ＝63，∴点P 到平面AEC 的距离为63.B 组 能力提升练10．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 相交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF 平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF . 由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ， 则DE ＝12h .又2×2＝h 22＋(2)2， 所以h ＝233，DE ＝33. 在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66.由面积相等得66× x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22x ，得x ＝12.答案：A11．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，nα，则m ⊥nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α解析：选项A.若m ∥α，n ∥α，则m 与n 可能平行、相交、异面，故A 错误；B ．若m ⊥α，nα，则m ⊥n ，显然成立；C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或nα，故C 错误；D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α或n ∥α或n 与α相交． 答案：B12.如图所示，三棱锥A －BCD 的底面是等腰直角三角 形，AB ⊥平面BCD ，AB ＝BC ＝BD ＝2，E 是棱CD 上的任意一点，F ，G 分别是AC ，BC 的中点，则在 下面命题中：①平面ABE ⊥平面BCD ； ②平面EFG ∥平面ABD ；③四面体FECG 体积的最大值是13.真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：①正确，因为AB ⊥平面BCD ，且AB平面ABE ，由面面垂直的判定定理可知平面ABE ⊥平面BCD ；②错误，若两平面平行，则必有AD ∥EF ，而点E 是棱CD 上任意一点，故该命题为假命题；③正确，由已知易得GF ⊥平面GCE ，且GF ＝12AB ＝1， 而S △GCE ＝12GC ·CE ·sin45°＝24CE ≤1，故V F －GCE ＝13S △GCE ·FG ≤13. 故正确的命题为①③. 答案：C13．已知平面α，β和直线m .给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③mα；④α⊥β；⑤α∥β.(1)当满足条件________时，有m ∥β. (2)当满足条件________时，有m ⊥β. 解析：(1)当mα，且α∥β时，有m ∥β，故填③⑤.(2)当m ⊥α，且α∥β时，有m ⊥β，故填②⑤. 答案：(1)③⑤ (2)②⑤14．(2019·北京东城区模拟)如图所示，在四棱锥E -BCD 中，AE ⊥DE ，CD ⊥平面ADE ，AB ⊥平面ADE ，CD ＝3AB .(1)求证：平面ACE⊥平面CDE；(2)在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出EFED的值；若不存在，说明理由．解析：(1)证明：因为CD⊥平面ADE，AE平面ADE，所以CD⊥AE.又AE⊥DE，CD∩DE＝D，所以AE⊥平面CDE，因为AE平面ACE，所以平面ACE⊥平面CDE.(2)在线段DE上存在一点F，且EFED＝13，使AF∥平面BCE.设F为线段DE上一点，且EF ED＝13.过点F作FM∥CD交CE于点M，连接BM，AF，则FM＝13CD.因为CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，所以CD∥AB.又FM∥CD，所以FM∥AB.因为CD＝3AB，所以FM＝AB.所以四边形ABMF是平行四边形，所以AF∥BM.又AF平面BCE，BM平面BCE，所以AF∥平面BCE.提能练(四) 立体几何A 组 基础对点练1．(2016·高考全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4π .9π2 C ．6π .32π3解析：设球的半径为R ，∵△ABC 的内切圆半径为6＋8－102＝2， ∴R ≤2.又2R ≤3，∴R ≤32，∴V max ＝43×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9π2. 答案：B2.(2019·成都模拟)如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．4πB ．16πC ．24πD ．25π 解析：由三视图知该几何体是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，三条侧棱长分别为2,2,4，将该三棱锥补成一个长方体，可知该三棱锥的外接球直径就是长方体的体对角线，所以外接球直径2R ＝22＋22＋42＝26，则R ＝6，故该球的表面积为4πR 2＝24π，故选C.答案：C3．(2019·洛阳模拟)已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为( )A.823πB.833πC.863πD.1623π解析：将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2 2.因为球O 与正四面体的各棱都相切，所以球O 为正方体的内切球，即球O 的直径为正方体的棱长22，则球O 的体积V ＝43πR 3＝823π，故选A.答案：A4．(2019·石家庄模拟)如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为( )A.83B.43C.823D.423解析：记由三视图还原后的几何体为四棱锥A －BCDE ，将其放入棱长为2的正方体中，如图，其中点D ，E 分别为所在棱的中点，分析知平面ABE ⊥平面BCDE ，点A 到直线BE 的距离即四棱锥的高，设为h ，在△ABE 中，易知AE ＝BE ＝5，cos ∠ABE ＝55，则sin ∠ABE ＝255，所以h ＝455，故四棱锥的体积V ＝13×2×5×455＝83，故选A.答案：A5．(2019·贵阳模拟)某几何体的三视图如图所示，正方形网格的边长为1，该几何体的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．15πB ．16πC ．17πD ．18π解析：由题中的三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥D 1－BCD ，将其放在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，则该几何体的外接球即长方体的外接球，长方体的长、宽、高分别为2,2,3，长方体的体对角线长为9＋4＋4＝17，球O 的直径为17，所以球O 的表面积S ＝17π，故选C.答案：C6．(2019·长春模拟)已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则该圆锥体积的最大值为________．解析：由题意得圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则h ＝9－r 2，所以圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13πr 29－r 2＝13π9r 4－r 6.设f (r )＝9r 4－r 6(r ＞0)，则f ′(r )＝36r 3－6r 5，令f ′(r )＝36r 3－6r 5＝6r 3(6－r 2)＝0，得r ＝6，所以当0＜r ＜6时，f ′(r )＞0，f (r )单调递增，当r ＞6时，f ′(r )＜0，f (r )单调递减，所以f (r )max ＝f (6)＝108，所以V max ＝13π×108＝23π.答案：23π7．(2019·惠州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为________．解析：将三视图还原为如图所示的三棱锥P －ABC ，其中底面ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ，P A ⊥平面ABC ，BC ＝27，P A 2＋y 2＝102，(27)2＋P A 2＝x 2，所以xy ＝x 102－[x 2－(27)2]＝x 128－x 2≤x 2＋(128－x 2)2＝64，当且仅当x 2＝128－x 2，即x ＝8时取等号，因此xy 的最大值是64.答案：648.如图，已知四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，AD ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 的中点．(1)证明：平面PCD ⊥平面PDE ；(2)若PD ＝3AD ，求点E 到平面PBC 的距离．解析：(1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥AB ，连接DB ，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，所以△DAB 为等边三角形，又E 为AB 的中点，所以AB ⊥DE ，又PD ∩DE ＝D ，所以AB ⊥平面PDE ，因为CD ∥AB ，所以CD ⊥平面PDE ，因为CD 平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PDE .(2)因为AD ＝2，所以PD ＝23，在Rt △PDC 中，PC ＝4，同理PB ＝4，易知S △PBC ＝15，S △EBC ＝32，设点E 到平面PBC 的距离为h ，连接EC ，由V P －EBC ＝V E －PBC 得，13S △EBC ·PD ＝13S △PBC ·h ， 所以h ＝155.B 组 能力提升练9．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，E 为AC 的中点，将△ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直，如图2.在图2所示的几何体D －ABC 中，(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)点F 在棱CD 上，且满足AD ∥平面BEF ，求几何体F －BCE 的体积． 解析：(1)证明：∵AC ＝AD 2＋CD 2＝22，∠BAC ＝∠ACD ＝45°，AB ＝4， ∴在△ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ×AB ×cos 45°＝8，∴AB 2＝AC 2＋BC 2＝16，∴AC ⊥BC .∵平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC ＝AC ，∴BC ⊥平面ACD .(2)∵AD ∥平面BEF ，AD平面ACD ，平面ACD ∩平面BEF ＝EF ，∴AD ∥EF .∵E 为AC 的中点，∴EF 为△ACD 的中位线．∵V F －BCE ＝V B －CEF ＝13×S △CEF ×BC ，∴S △CEF ＝14S △ACD ＝14×12×2×2＝12，∴V F －BCE ＝13×12×22＝23.10．(2019·南昌调研)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝AA 1＝3，AC ⊥BC ，点M 在线段AB 上．(1)若M 是AB 的中点，证明：AC 1∥平面B 1CM ；(2)是否存在点M 使得三棱锥B 1－BCM 的体积是三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积的19？若存在，试求BM 的长度；若不存在，请说明理由． 解析：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接ME . 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1是直三棱柱，所以侧面BB 1C 1C 为矩形．又M 是AB 的中点，所以ME 为△ABC 1的中位线，所以ME ∥AC 1. 因为ME 平面B 1CM ，AC 1平面B 1CM ，所以AC 1∥平面B 1CM .(2)存在点M 使得三棱锥B 1BCM 的体积是三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积的19. 理由如下：假设存在点M 使得三棱锥B 1－BCM 的体积是三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积的19.由题意知VB 1－BCM ＝13S △BCM ·BB 1，VABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ·BB 1，设BM ＝λBA,0＜λ＜1，则13λS △ABC ·BB 1＝19S △ABC ·BB 1，所以λ＝13，即BM ＝2，故当BM ＝2时，三棱锥B 1－BCM 的体积是三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积的19.。
第34讲 空间中的垂直关系(解析版)
第34讲 空间中的垂直关系一、 考情分析1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.二、 知识梳理1.直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和这个平面内过交点(O )的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂αb ⊂αa ∩b ＝O l ⊥al ⊥b⇒l ⊥α推论1如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面⎭⎬⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α 推论2如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 2.(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)范围：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：[0，π].4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α[微点提醒]1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.三、经典例题考点一线面垂直的判定与性质【例1】如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离.(1)证明因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2 3.连接OB.因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.(2)解作CH⊥OM，垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC＝12AC＝2，CM＝23BC＝423，∠ACB＝45°.所以OM＝25 3，CH＝OC·MC·sin∠ACBOM＝455.所以点C到平面POM的距离为45 5.规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α).2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.考点二面面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)∵平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，P A⊂平面P AD，∴P A⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，且P A∩AD＝A，P A，AD⊂平面P AD，∴CD⊥平面P AD，又PD⊂平面P AD，∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.规律方法 1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.考点三平行与垂直的综合问题角度1多面体中平行与垂直关系的证明【例3－1】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.证明(1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面P AD.所以AB⊥PD.又因为P A⊥PD，且P A∩AB＝A，所以PD⊥平面P AB.又PD⊂平面PCD，所以平面P AB⊥平面PCD.(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC.因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. 2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.角度2平行与垂直关系中的探索性问题【例3－2】如图，三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，P A＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥P－ABC的体积；(2)在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在点M，求出PMMC的值；若不存在，请说明理由.解(1)由题知AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，可得S△ABC ＝12·AB·AC·sin 60°＝32，由P A⊥平面ABC，可知P A是三棱锥P－ABC的高.又P A＝1，所以三棱锥P－ABC的体积V＝13·S△ABC·P A＝36.(2)在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM .由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM . 在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12， 从而NC ＝AC －AN ＝32. 由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13. 故存在满足条件的点M ，且PM MC ＝13.规律方法 1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点. 角度3 空间位置关系与几何体的度量计算【例3－3】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2.(1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； (2)求证：PD ⊥平面PBC ；(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.(1)解 如图，由已知AD ∥BC ，故∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角.因为AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝AD2＋PD2＝5，故cos∠DAP＝ADAP＝55.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为5 5.(2)证明由(1)知AD⊥PD，又因为BC∥AD，所以PD⊥BC.又PD⊥PB，BC∩PB＝B，所以PD⊥平面PBC.(3)解过点D作DF∥AB，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC.在Rt△DCF中，可得DF＝CD2＋CF2＝2 5.在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝PDDF＝55.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为5 5.规律方法 1.本题证明的关键是垂直与平行的转化，如由AD∥BC，AD⊥PD，得PD⊥BC，进而利用线面垂直的判定定理证明PD⊥平面PBC.2.利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程，缺一不可.(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.[方法技巧]1.证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎬⎫m ，n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β； 2.证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β. 3.转化思想：三种垂直关系之间的转化4.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.5.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.6.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.7.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.四、 课时作业1．（2020·陕西高三其他（文））已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α【答案】B【解析】对于A ，若m ∥α，n ∥α，则m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故A 不正确； 对于B ，根据垂直于同一个平面的两条直线平行可知，B 正确； 对于C ，若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 不正确；对于D ，若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α或//n α或n ⊂α或n 与α相交但不垂直，故D 不正确.2．（2020·甘肃城关�兰州一中高三一模（理））如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ､N 分别为AC ，A 1B 的中点，则下列说法错误的是（ ）A ．MN ∥平面ADD 1A 1B ．MN ⊥ABC ．直线MN 与平面ABCD 所成角为45° D ．异面直线MN 与DD 1所成角为60° 【答案】D【解析】如图，连结BD ，1A D ，由M ，N 分别为AC ，1A B 的中点知 1//MN A D ， 对A ，由1//MN A D ，从而MN ∥平面ADD 1A 1，A 正确；对B ，由AB ⊥面11ADD A ，可得AB ⊥1A D ，又1//MN A D ，得MN AB ⊥，B 正确； 对C ，由1//MN A D ，直线MN 与平面ABCD 所成角为145A DA ∠=︒，C 正确； 对D ，由1//MN A D ，直线MN 与DD 1所成角为11A DD ∠45=︒，D 错误；3．（2020·辽宁沈河�沈阳二中高三其他（理））已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//n m ，n α⊥，则m α⊥C ．若//m α，//n β，m n ⊥，则αβ⊥D ．若//m α，n β⊥，//m n ，则//αβ 【答案】B【解析】解：对于选项A ，若//m α，//n α，则m 与n 平行，相交或者异面，故A 错误； 对于选项B ，若//n m ，n α⊥，则m α⊥，故B 正确；对于选项C ，若//m α，//n β，m n ⊥，则α与β也可以平行，故C 错误；对于选项D ，若n β⊥，//m n ，所以m β⊥，因为//m α，则α与β垂直，故D 错误.4．（2020·乌鲁木齐市第四中学高一期末）如图，空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，90BAD ∠=︒，且AB ＝AD ，则AD 与平面BCD 所成的角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】B【解析】如图，过点A 作AE BD ⊥,垂足为E .因为平面ABD ⊥平面BCD ，AE BD ⊥，平面ABD ⋂平面BCD BD =,所以AE ⊥平面BCD ,所以AD 与平面BCD 所成的角是ADE ∠,因为90BAD ∠=︒，且AB ＝AD ，所以45ADE =∠.所以AD 与平面BCD 所成的角是45.5．（2020·全国高三（理））在三棱锥A BCD -中,AC ⊥底面，，BD DC =，，，则点C 到平面ABD 的距离是（ ）A ．55aB ．155aC ．35aD ．153a 【答案】B6．（2020·全国高一课时练习）如图，设平面PQ αβ⋂=，EG ⊥平面α，FH ⊥平面α，垂足分别为,G H .为使PQ GH ⊥，则需增加的一个条件是（ ）A ．EF ⊥平面αB ．EF ⊥平面βC ．PQ GE ⊥D ．PQ FH ⊥【答案】B 【解析】因为EG ⊥平面α，PQ ⊂平面α，所以EG PQ ⊥.若EF ⊥平面β，则由PQ ⊂平面β，得EF PQ ⊥.又EG 与EF 为相交直线，且EG ⊥平面α，FH ⊥平面α，则EG FH ，∴,,,E F H G 四点共面，所以PQ ⊥平面EFHG ，所以PQ GH ⊥，7．（2019·陕西武功�高三月考（理））已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，若αβ⊥，则下列结论正确的是A ．l β∥或l β⊂B ．//l mC ．m α⊥D ．l m ⊥ 【答案】A【解析】对于A ，直线l ⊥平面α，αβ⊥，则l β//或l β⊂，A 正确；对于B ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴B 错误； 对于C ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则m α⊥或m 与α相交或m α⊂或//m α，∴C 错误；对于D ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴D 错误． 8．（2019·营口市第二高级中学高一月考）在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点， 则点C 到平面A 1DM 的距离为 ( )A ．3aB ．6aC ．2aD ．12a 【答案】A【解析】画出图形如下图所示,设C 到平面1A DM 的距离为h ,则根据等体积法有11A CDM C A DM V V --=,即11113232a a a h ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅,解得3h a =,故选A .9．（2020·四川雨城�雅安中学高二月考（理））已知正方形ABCD 的边长为4，E ､F 分别是AB ､AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且2GC =，则点B 到平面EFG 的距离为（ ）A 211B 311C 210D 310 【答案】A【解析】设B 到平面EFG 的距离为h .1111422232323G BEF V BE AF CG -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=. 2222422426GE GF ==++==2222822EF =+==. 所以22112222211222GEF EF S EF GE ∆⎛⎫=⨯-=⨯= ⎪⎝⎭由G BEF B EFG V V --=得1421121133h h ⨯=⇒=. 故选：A10．（2020·山东芝罘�烟台二中高一月考）如图，ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，则以下结论：①BD ∥平面CB 1D 1；②AC 1⊥BD ；③AC 1⊥平面CB 1D 1其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】解：由正方体的性质得BD ∥11B D ，所以结合线面平行的判定定理可得：BD ∥平面11CB D ；所以①正确.由正方体的性质得 AC ⊥BD ，1C C ⊥BD ，可得BD ⊥平面1CC A ，所以1AC ⊥BD ，所以②正确.由正方体的性质得 BD ∥11B D ，由②可得1AC ⊥BD ，所以1AC ⊥11B D ，同理可得11AC CB ，进而结合线面垂直的判定定理得到：1AC ⊥平面11CB D ，所以③正确.故选：D. 11．（2018·安徽花山�马鞍山二中高三月考（文））已知a ，b 是平面α内的两条直线，l 是空间中的一条直线.则“直线l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：,,,l a b l a l b αα''''⊥⊂⇒⊥⊥，反之不一定成立，例如//a b 时．“直线l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的必要而不充分条件．12．（2020·全国高一课时练习）已知长方体1111ABCD A B C D -，在平面11AA B B 上任取点M ，作ME AB ⊥于点E ，则（ ）A ．ME ⊥平面ABCDB ．ME ⊂平面ABCDC ．ME 平面ABCD D ．以上都有可能【答案】A【解析】∵ME ⊂平面11AA B B ，平面11AA B B 平面ABCD AB =，且平面11AA B B ⊥平面,ABCD ME AB ，∴ME ⊥平面ABCD .13．（2020·全国高一课时练习）已知直线l ⊥平面α，直线m α⊂，则（ ）A ．l m ⊥B ．l mC ．,l m 异面D ．,l m 相交而不垂直 【答案】A【解析】根据线面垂直的定义，若直线与平面垂直，则直线垂直与该平面内的任意一条直线，因此 l m ⊥，故选A14．（2020·七台河市第一中学高一期末（理））已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m aD ．若m αβ=，n m ⊥，则n a ⊥【答案】C【解析】对于A ，直线m 与平面β可能垂直，也可能平行或m 在平面β内，故A 不正确；对于B ，直线m 与n 平行、异面或相交，故B 不正确；对于C ，m β⊥，则//m a 或m α⊂，又m α⊄，所以//m a ，故C 正确；对于D ，缺少条件n β⊂，故D 不正确；15．（2020·北京通州�高一期末）已知直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，则“直线m α⊥”是“m a ⊥，且m b ⊥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，则“直线m α⊥”能推出“m a ⊥，且m b ⊥”，是充分条件，反之“m a ⊥，且m b ⊥”，直线m 与平面α不一定垂直，不是必要条件，16．（2020·浙江高三其他）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体两两垂直的平面共有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对【答案】D 【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD -，其中ABCD 为边长为1的正方形，PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAC ⊥平面ABCD ,又,,AD AB PA AD AB PA A ⊥⊥⋂=,所以AD ⊥平面PAB ,平面PAD ⊥平面PAB ,又AC BD ⊥,,PA BD PA AC A ⊥⋂=,所以BD ⊥平面PAC ,平面PBD ⊥平面PAC ,同理可证：CD ⊥平面PAD ，CB ⊥PAB ，故平面PBC ⊥平面PAB ，平面PCD ⊥平面PAD ，故该几何体两两垂直的平面共有7对.17．（2019·重庆高三三模（文））下列命题错误的是（ ）A ．若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面βB ．若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线垂直于平面βC ．若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=则l γ⊥ 【答案】A【解析】对于选项A ．若平面α⊥平面β，则平面α内存在直线不垂直于平面β，命题错误；B ．若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线垂直于平面β，如平面α内垂直于两平面交线的直线，命题正确；C ．若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β，命题正确；D ．若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，如图，，设,a b αγβγ⋂=⋂=，在γ内直线a 、b 外任取一点O ，作OA a ⊥，交点为A ，作OB b ⊥，交点为B ， 因为平面α⊥平面γ，所以OA α⊥，又l α⊂，所以OA l ⊥，同理可得OB l ⊥，因为OA OB O =，且OA γ⊂,OB γ⊂，所以l γ⊥，D 选项正确.18．（2020·广东汕头�高三二模（文））在立体几何中，以下命题中假命题的个数为（ ）①若直线//a b ，b ⊂平面α，则//a α.②若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，则l γ⊥.③有3个角是直角的四边形是矩形.④若平面α⊥平面β，a ⊂平面α，b ⊂平面β，且a b ⊥，则a β⊥.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】D【解析】①若直线//a b ，b ⊂平面α，则//a α或a α⊂，所以不正确.②若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=,则l γ⊥，正确,证明如下. 如图设a αγ⋂=，b γβ=，在β内，直线,a b 外任取一点O ，作OA a ⊥，交点为A ，因为平面α⊥平面γ,则OA α⊥，所以OA l ⊥。
考点24 空间几何中的垂直(解析版)
考点24 空间几何中的垂直知识理解一．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：二．平面与平面垂直的判定定理与性质定理三．证明线线垂直的思路平行四边形：正方形、菱形、矩形图形三角形：等腰（等边）三角形--取中点正余弦定理边关系或边长勾股逆定理线面垂直的定义面面垂直的性质⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎩ 考向一 线面垂直【例1】3．（2021·江西吉安市·高三期末节选）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，22AD DC BC ===，PAD △为正三角形，Q 为AD 的中点，求证：AD ⊥平面PBQ【答案】证明见解析【解析】∵PAD △为正三角形，Q 为AD 的中点，∴PQ AD ⊥.∵//AD BC ，2AD DC BC ==，Q 为AD 的中点.∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴//BQ CD . 又90ADC ∠=︒，∴90AQB ∠=︒，即BQ AD ⊥.又PQBQ Q =，∴AD ⊥平面PBQ.考向分析【举一反三】1．（2021·河南信阳市节选）如图所示，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，AD DC ⊥，2224CD AD AB SD ====，SD ⊥平面ABCD ，求证:BC ⊥平面SBD【答案】证明见解析【解析】证明://,,2AB CD AD DC AB AD ⊥==，BD BC ∴==又4CD =，222CD BD BC ∴=+，故BC BD ⊥， 又SD ⊥平面,ABCD BC ⊂平面ABCD ，BC SD ∴⊥， 又SD BD D =，BC ∴⊥平面SBD .2．（2021·江西赣州市节选）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，13B BA π∠=，证明：1B C ⊥平面1ABC【答案】证明见解析【解析】证明：如图取AB 中点D ，连接1,B D CD ．因为四边形11BCC B 为菱形，所以11B C BC ⊥ 又因为三棱柱的所有棱长均为2，13B BA π∠=，所以ABC 和1ABB △是等边三角形，所以1,B D AB CD AB ⊥⊥因为1,B D CD ⊂平面11,B CD B D CD D ⋂=，所以AB ⊥平面1B CD 所以1B C AB ⊥，而1BC AB B ，所以1B C ⊥平面1ABC3．（2020·山东德州市节选）如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PAD ∆为等边三角形，,E F 分别为PC 和BD 的中点，且EF CD ⊥，证明:CD ⊥平面PAD【答案】证明见解析【解析】如图所示，连接AC ，由ABCD 是边长为2的正方形， 因为F 是BD 的中点，可得AC 的中点，在PAC △中，因为,E F 分别是,PC AC 的中点，可得//EF PA ， 又因为EF CD ⊥，所以PA CD ⊥，又由AD CD ⊥，且ADAP A =，所以CD ⊥平面PAD .考向二 面面垂直【例2】（2021·河南高三期末节选）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为平行四边形，3AD =，5AB =，3cos 5BAD ∠=，1BD DD =，E 是1CC 的中点，求证：平面DBE ⊥平面1ADD【答案】证明见解析【解析】由题意可得2222cos 16BD AD AB AB AD BAD =+-⨯∠=， 所以222AD BD AB +=，因此AD BD ⊥. 在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1.DD BD ⊥又因为1ADDD D =，1,AD DD ⊂平面1ADD ，所以BD ⊥平面1ADD ，因为BD ⊂平面DBE ，所以平面DBE ⊥平面1ADD ． 【举一反三】1．（2021·河南焦作市节选）如图所示，在四棱锥РABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面,ABCD 点Q 为线段PC 的中点，求证:平面BDQ ⊥平面PAC【答案】证明见解析【解析】因为四边形ABCD 是菱形，所以,AC BD ⊥ 因为PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面,ABCD 所以,BD PA ⊥ 又因为,PA AC A ⋂=所以BD ⊥平面,PAC 因为BD ⊂平面,BDQ 所以平面BDQ ⊥平面PAC .2．（2021·山东青岛市·高三期末节选）如图，在直角梯形ABED 中，//BE AD ，DE AD ⊥，BC AD ⊥，4AB =，BE =将矩形BEDC 沿BC 翻折，使得平面ABC ⊥平面BCDE ，若BC BE =，证明：平面ABD ⊥平面ACE【答案】证明见解析【解析】证明：连接BD ，因BC BE =所以BD CE ⊥ 因为平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABC 平面BCDE BC =，AC BC ⊥所以AC ⊥平面BCDE因为BD ⊂平面BCDE ，所以AC BD ⊥ 因为ACCE C =，所以BD ⊥平面ACE因为BD ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面ACE3．（2021·安徽马鞍山市节选）如图，BE ，CD 为圆柱的母线，ABC 是底面圆的内接正三角形，M 为BC 的中点，证明：平面AEM ⊥平面BCDE【答案】证明见详解【解析】根据题意可得，AM BC ⊥. 又BE 为圆柱的母线，BE ∴⊥平面ABC .BE AM ∴⊥，BC BE B =，AM ∴⊥平面BCDE .又AM ⊂平面AEM ，∴平面AEM ⊥平面BCDE ．考向三 线线垂直【例3】（2021·江西宜春市·高安中学节选）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，已知2,PB PD PA ===，E 为PA 的中点，求证PC BD ⊥【答案】证明见解析【解析】,AC BD 交点为O ，连接PO ，ABCD 是边长为2的菱形，,AC BD O ∴⊥是,AC BD 的中点，,PD O B BD P P =∴⊥，又PO ⊂平面POC ，AC ⊂平面POC ，POAC O =，BD ∴⊥平面POC ，PC ⊂平面POC ，.C BD P ∴⊥【举一反三】1．（2021·江苏南通市·高三期末节选）如图，在四棱锥A BCDE -中，//BC DE ，22BC DE ==，BC CD ⊥，F 为AB 的中点，BC EF ⊥，求证：AC BC ⊥【答案】证明见解析【解析】取AC 中点M ，连接FM ，DM ，,F M 分别为AB ，AC 中点，12FMBC ∴， 1,2DEBC FM DE ∴， ∴四边形DEFM 是平行四边形，//DM EF ∴，,EF BC DM BC ⊥∴⊥，,,CD DM CD DM ⊥⊂平面ACD ，CD DM D ⋂=，BC ∴⊥平面CDM ，AC ⊂平面CDM ，BC AC ∴⊥；2．（2020·山东德州市节选）如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60,ABC PA ∠=︒⊥平面,,ABCD E F 分别为,BC PA 的中点.（1）求证:AE PD ⊥; （2）求证://EF 平面PCD .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）连AC ，60ABC ∠=，底面ABCD 为菱形，ABC ∴是等边三角形， BE EC =，AE BC ∴⊥，又//BC AD ，AE AD ∴⊥，又PA ⊥面,ABCD AE ⊂面ABCD ，PA AE ∴⊥， PA AD A ⋂=，AE ∴⊥面,PAD PD ⊂面PAD ，AE PD ∴⊥.()2取PD 的中点M ，连,FM MC ，PF FA =，所以11//,22FM AD FM AD =， 又11//,22EC AD EC AD =， //,FM EC FM EC ∴=， ∴四边形FECM 是平行四边形，//EF MC ∴，又EF ⊄面,PCD MC ⊂面PCD ，//EF ∴面PCD .3．（2021·山东枣庄市节选）如图，四棱锥P ABCD -的侧面PAD △是正三角形，底面ABCD 是直角梯形，90BAD ADC ∠=∠=，22AD AB CD ===，M 为BC 的中点，求证：PM AD ⊥【答案】（1）证明见解析；（2）7. 【解析】证明：取AD 中点N ，连PN ，NM ， 因为PAD △是正三角形，所以PNAD .又M 是BC 中点，所以//NM AB .因为90BAD ∠=，即AB AD ⊥.所以NM AD ⊥，因为NM PN N ⋂=，NM ､PN ⊂平而PMN ， 所以AD ⊥平面PMN ，PM ⊂平面PMN ，所以AD PM ⊥.1．（2021·山东泰安市·高三期末节选）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，PB PD =，F 为PC 上一点，过AF 作与BD 平行的平面AEFG ，分别交PD ，PB 于点E ，G ，证明：EG ⊥平面PAC【答案】证明见解析【解析】证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接PO ． ∵//BD 平面AEFG ，平面PBD平面AEFG EG =，BD ⊂平面PBD ，∴//EG BD ．∵底面ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC ，BD 中点，强化练习又PB PD =，∴PO BD ⊥，又AC PO O =，,AC PO ⊂平面PAC ，∴BD ⊥平面PAC ，∴EG ⊥平面PAC ．2．（2021·浙江金华市·高三期末节选）在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA PB AB ====，）证明：PC ⊥平面ABC【答案】证明见解析；【解析】证明：取AB 中点D ，连接PD ，DC∵PA PB =，AC BC =，则AB PD ⊥，AB DC ⊥， 而PD DC D ⋂=，∴AB ⊥平面PDC ， 因为PC ⊂平面PDC ，故AB PC ⊥．在ABC 中，AB ==，故222AB AC BC =+，∴BC AC ⊥．又∵平面PAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，故BC PC ⊥． 因为AB BC B ⋂=，∴PC ⊥平面ABC ．3．（2021·河南焦作市节选）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥底面ABCD ，E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点，求证：DE ⊥平面PAH【答案】证明见解析【解析】因为PA ⊥底面ABCD ，DE ⊂底面ABCD ，所以PA DE ⊥，因为E ，H 分别为正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，,,AB DA BH AE HBA EAD ，所以Rt ABH Rt DAE ≌△△，所以BAH ADE ∠=∠，由90AED ADE ∠+∠= 所以90BAH AED ∠+∠=，所以DE AH ⊥， 因为PA ⊂平面PAH ，AH ⊂平面PAH ，PA AH A ⋂=，所以DE ⊥平面PAH .4．（2021·浙江温州市节选）如图，已知三棱锥P ABC -﹐PC AB ⊥，ABC 是边长为形，PB =60PBC ∠=，点F 为线段AP 的中点，证明：PC ⊥平面ABC【答案】证明见解析【解析】在PBC 中，PB =BC =60PBC ∠=，由余弦定理可得2222cos 36PC PB BC PB BC PBC =+-⋅∠=，222PC BC PB ∴+=，PC BC ∴⊥，PC AB ⊥，AB BC B ⋂=，PC ∴⊥平面ABC ；5．（2021·陕西咸阳市·高三一模节选）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PC AC ⊥，BC AC ⊥，2AC PC ==，4CB =，M 是PA 的中点，求证：PA ⊥平面MBC【答案】证明见解析【解析】平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC =AC ，BC ⊂平面ABC ，BC AC ⊥，∴BC ⊥平面PAC ， ∵PA ⊂平面PAC ， ∴BC PA ⊥，∵AC PC =，M 是PA 的中点， ∴CM PA ⊥， ∵CMBC C =，,CM BC ⊂平面MBC ，∴PA ⊥平面MBC ．6．（2021·浙江金华市节选）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD AB ==，平面PCD ⊥平面ABCD ，若E 为PC 的中点，求证：DE ⊥平面PBC【答案】证明见解析【解析】因为平面PCD ⊥平面ABCD ，且平面PCD平面ABCD CD =，底面ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，又CD ⊂平面PDC ，所以BC ⊥平面PDC ，又DE ⊂平面PDC ，所以BC DE ⊥；因为PD AB DC ==，所以PDC △为等腰三角形，E 为PC 的中点，所以DE CP ⊥，因为CPBC C =，,BC CP ⊂面PBC ，所以DE ⊥面PBC7．（2021·西安市铁一中学节选）如图，在底面为菱形的四棱锥P ABCD -中，60,1,ABC PA AC PB PD ︒∠=====，点E 在PD 上，且2PEED=，求证：PA ⊥平面ABCD【答案】证明见详解【解析】因为底面ABCD 是菱形，60ABC ︒∠=， 所以1AB AC AD ===，在PAB △中，1,PA PB ==由222PA AB PB +=，可得PA AB ⊥.同理，PA AD ⊥，又AB AD A ⋂=所以PA ⊥平面ABCD .8．（2021·河南高三期末节选）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为平行四边形，133,5,cos ,,5AD AB BAD BD DD E ==∠==是1CC 的中点，求证：平面DBE ⊥平面1ADD【答案】证明见解析【解析】由题意可得2222cos 16BD AD AB AB AD BAD =+-⨯∠=， 所以222AD BD AB +=，因此AD BD ⊥，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD BD ⊥， 又因为1ADDD D =，所以BD ⊥平面1ADD ，因为BD ⊂平面DBE ，所以平面DBE ⊥平面1ADD ．9．（2021·江苏南通市节选）如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，点G 、E 分别在线段AO 和BC 上，2BE EC =，2AG GO =，2CA CB CD BD ====，AB AD ==（1）求证：//GE 平面ACD ； （2）求证：平面ABD ⊥平面BCD . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）连接BG 并延长，交AD 于M ，连接MC ，在ABD △中，O 为BD 中点，G 在AO 上，2AG GO =， ∴G 为ABD △的重心∴21BG GM =， 又21BE EC =∴BG BEGM EC=∴//GE MC ， ∵GE ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ， ∴//GE 平面ACD ；（2）在ABD △中，O 为BD 中点，2BD =，AB AD ==∴AO BD ⊥∴1AO ==，在BCD △中，2BC CD BD ===，O 为BD 中点，连接OC ，则OC =又2CA =，∴222OA OC CA +=，∴AO OC ⊥ 由AO OC ⊥，AO BD ⊥，OC BD O =，,OC BD ⊂平面BCD ，得AO ⊥平面BCD ， 又AO ⊂平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BCD .10．（2021·山西吕梁市·高三一模节选）如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SCD为等边三角形， 4AB BC ==，2CD =，SB =BC SD ⊥【答案】证明见解析【解析】由已知4BC =，2SC =，SB =222SB BC SC =+，所以90BCS ∠=︒，所以BC CS ⊥，又,BC CD CDCS C ⊥=，所以BC ⊥平面SCD ，又SD ⊂平面SCD ，所以BC SD ⊥.11．（2021·云南高三期末）如图所示，在正方体ABCD A B C D ''''-中，点M 为线段B D ''的中点.（1）求证：DD AC '⊥； （2）求证：//BM平面ACD '.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）在正方体ABCD A B C D ''''-中， ∵DD AD '⊥，DD CD '⊥，且CDAD D =，∴DD '⊥平面ACD ，AC ⊂平面ACD . ∴DD AC '⊥（2）如图所示，连接BD ，交AC 于N ，连接D N '.由题设得：BN MD '=，//BN MD '， ∴四边形BMD N '为平行四边形. ∴//BM ND '.又∵ND '⊂平面ACD '，BM ⊄平面ACD '， ∴//BM平面ACD '.12．（2021·江西景德镇市节选）如图，已知四棱锥S ABCD -，其中//AD BC ，AB AD ⊥，45BCD ∠=，22BC AD ==，侧面SBC ⊥底面ABCD ，E 是SB 上一点，且ECD 是等边三角形，求证：CE ⊥平面SAB【答案】证明见解析 【解析】//AD BC ，AB AD ⊥，AB BC ∴⊥，侧面SBC ⊥底面ABCD ，侧面SBC底面ABCD BC =，AB平面ABCD ，AB ∴⊥平面SBC ，CE ⊂平面SBC ，CE AB ∴⊥，如下图所示，取BC 的中点F ，连接DF 、EF ，2BC AD =，且F 为BC 的中点，则AD BF =，//BC AD ，则//AD BF ，所以，四边形ABFD 为平行四边形，则//DF AB ， DF ⊥∴平面SBC ，EF 、BC ⊂平面SBC ，DF EF ∴⊥，DF BC ⊥，ECD 为等边三角形，则EF CF BF ===，所以，FBE BEF ∠=∠，FCE CEF ∠=∠，由2FBE BEF FCE CEF BEC π∠+∠+∠+∠=∠=，2BEC π∴∠=，即CE SB ⊥，SB AB B =，因此，CE ⊥平面SAB ；13．（2021·江西景德镇市·景德镇一中）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ，2,AB BC == 30ACB ∠=，13AA =，11BC A C ，E 为AC 的中点.（1）求证：1//AB 平面1C EB ； （2）求证：1A C ⊥平面1C EB .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）如下图所示，连接1AB 、1B C ，设11B CBC F =，连接EF ，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BB C C 为平行四边形， 因为11B CBC F =，在点F 为1B C 的中点，又因为点E 为AC 的中点，1//EF AB ∴，1AB ⊄平面1C EB ，EF ⊂平面1C EB ，所以，1//AB 平面1C EB ；（2）AB BC =，E 为AC 的中点，BE AC ∴⊥，因为平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，BE ⊂平面ABC ，BE ∴⊥平面11A ACC ，1A C ⊂平面11A ACC ，1A C BE ∴⊥， 11BC AC ⊥，1BE BC B =，1A C ∴⊥平面1C EB .14．（2021·陕西咸阳市）在三棱锥A BCD -中，E 、F 分别为AD 、DC 的中点，且BA BD =，平面ABD ⊥平面ADC .（1）证明：//EF 平面ABC ；（2）证明：BE CD ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）在ADC 中，E 、F 分别是AD 、DC 的中点，//EF AC ∴.EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//EF ∴平面ABC ；（2）在ABD △中，BA BD =，E 为AD 的中点，BE AD ∴⊥， 又平面ABD ⊥平面ADC ，平面ABD ⋂平面ADC AD =，BE ⊂平面ABD ，BE ∴⊥平面ADC .CD ⊂平面ADC ，BE CD ∴⊥.15．（2021·全国）已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PAB △为等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，90DAB ∠=︒且2AB CD =，点M 为PB 的中点，求证：PB DM ⊥.【答案】证明见解析.【解析】因为PAB △为等边三角形，M 为PB 的中点，所以AM PB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，DA AB ⊥，DA ⊂平面ABCD ， 所以DA ⊥平面PAB ，因为PB ⊂平面PAB ，所以DA PB ⊥，因为DA AM A ⋂=，所以PB ⊥平面ADM ，因为DM ⊂平面ADM ，所以PB DM ⊥.16．（2020·全国）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）若P 点是线段AM 的中点，求证：//MC 平面PBD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）因为矩形ABCD 所在平面与半圆弦CD 所在平面垂直，面ABCD 面CDM CD =，AD DC ⊥，AD ⊂面ABCD ，所以AD ⊥半圆弦CD 所在平面，且CM ⊂半圆弦CD 所在平面，所以CM AD ⊥；又M 是CD 上异于C ，D 的点，所以CM DM ⊥；又DM AD D =，所以CM ⊥平面AMD ；又CM ⊂平面CMB ，所以平面AMD ⊥平面BMC ；（2）由P 是AM 的中点，连接BD 交AC 于点O ，连接OP ，如图所示：由中位线定理得//MC OP ；又MC ⊂/平面BDP ，OP ⊂平面BDP ，所以//MC 平面PBD ．17．（2021·全国高三专题练习）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点.证明：平面AMD ⊥平面BMC .【答案】证明见解析【解析】由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM .因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM .又BC CM =C ，所以DM ⊥平面BMC .而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC .18．（2020·全国高三专题练习）已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，PAB △为等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，90DAB ∠=︒且2AB CD =，点M 为PB 的中点，求证：DM PB .【答案】证明见解析.【解析】证明：∵PAB ∆为等边三角形，M 为PB 的中点，∴AM PB ⊥， 又∵平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB 平面ABCD AB =， DA AB ⊥，DA ⊂平面ABCD ，∴DA ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，∴DA PB ⊥，∵DA AM A ⋂=，∴PB ⊥平面ADM ，又DM ⊂平面ADM ，∴PB DM ⊥.19．（2020·江苏苏州市·高三三模）如图，在三棱柱111A B C ABC -中，AB AC =，D 为BC 中点，平面ABC ⊥平面11BCC B ，11BC B D ⊥.（1）求证：1//A C 平面1AB D ；（2）求证：11AB BC ⊥.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】证明：（1）连结1A B 交1AB 于点O ，连结OD .因为111A B C ABC -是三棱柱，所以11ABB A 是平行四边形，所以O 为1A B 中点. 有因为D 为BC 中点，所以1OD AC . 又1AC ⊄平面1AB D ，OD ⊂平面1AB D ，所以1A C 平面1AB D . （2）因为AB AC =，D 为BC 中点，所以AD BC ⊥.又因为平面ABC ⊥平面11BCC B ，平面ABC 平面11BCC B BC =，AD ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面11BCC B . 因为1BC ⊂平面11BCC B ，所以1AD BC ⊥. 又因为11BC B D ⊥，1AD B D D ⋂=，AD ⊂平面1AB D ，1B D ⊂平面1AB D ， 所以1BC ⊥平面1AB D . 因为1AB ⊂平面1AB D ，所以11AB BC ⊥.。
垂直关系
空间中的垂直关系●知识梳理线面垂直1.如果一条直线与平面相交并且与平面内的所有直线都垂直，那么就说这条直线与这个平面垂直.2.直线与平面垂直的判定：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.3.直线与平面垂直的性质：如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线平行.面面垂直1.两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.3.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直.【基础练习】1.m、n表示直线，α、β、γ表示平面，给出下列四个命题，其中正确命题为①α∩β=m，n α，n⊥m，则α⊥β②α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m⊥n③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥α④m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βA.①②B.②③C.③④D.②④答案：C2．“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l α⊥”的 必要 条件。
3．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是 平行或相交 。
4.在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。
5．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是平行、相交或在另一个平面内 。
6．在正方体1111ABCD A BC D -中，写出过顶点A 的一个平面__AB 1D 1_____，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。
7.设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则（1）A 点到CD 1的距离为________； （2）A 点到BD 1的距离为________；（3）A 点到面BDD 1B 1的距离为_____________； （4）A 点到面A 1BD 的距离为_____________； （5）AA 1与面BB 1D 1D 的距离为__________.答案：（1）26（2）36（3）22（4）33（5）22【范例导析】例1．如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD =DC ,E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F .（1）证明PA //平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD . 解析：本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.证明：（1）连结AC ,AC 交BD 于O ,连结EO .∵底面ABCD 是正方形,∴点O 是AC 的中点 在PAC ∆中,EO 是中位线,∴PA // EO 而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB , 所以,PA // 平面EDB（2）∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ,∴DC PD ⊥∵PD =DC ,可知PDC ∆是等腰直角三角形,而DE 是斜边PC 的中线, ∴PC DE ⊥. ①同样由PD ⊥底面ABCD ,得PD ⊥BC .∵底面ABCD 是正方形,有DC ⊥BC ,∴BC ⊥平面PDC . 而⊂DE 平面PDC ,∴DE BC ⊥. ②由①和②推得⊥DE 平面PBC . 而⊂PB 平面PBC ,∴PB DE ⊥ 又PB EF ⊥且E EF DE = ,所以PB ⊥平面EFD .例2．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝A CCA＝2 BD，M是EA的中点，求证：（1）DE＝DA；（2）平面BDM⊥平面ECA；（3）平面DEA⊥平面ECA。
空间的垂直关系(含答案)
空间的垂直关系一、基础梳理1．直线和平面垂直（1）直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任何一条直线．．．．．．都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直。
其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。
交点叫做垂足。
直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况。
直线与平面垂直简称线面垂直，记作：aα⊥。
说明：①“任何”表示“所有”，注意与“无数”的区别；②“a⊥α”等价于“对任意的直线m⊂α，都有a⊥m”；练习：（1）过空间任一点作直线的垂面有 __________个；垂线有 _______条。
（2）过空间任一点作该平面的垂线有 _________条；平行线有 ______条。
（2）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线．．．．．．都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
符号语言：若l⊥m，l⊥n，m∩n＝。
简称：“线线．．垂直⇒线面垂直”定理：“如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
”已知：a∥b，a⊥α。
则：bα⊥。
（3）直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
简称“线面垂直⇒线线平行”。
已知：,a bαα⊥⊥，则：//ab。
2.（1）平面的斜线、垂线、射影①垂线：自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影。
这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。
②斜线一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线。
斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段。
③射影过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。
垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影。
练习（1）判断正误：①一条直线在平面上的射影一定是直线；（）②两平行直线在同一平面内的射影是平行线；（）③两相交直线在同一平面内的射影是相交直线；（）④两异面直线在同一平面内的射影一定是相交直线。
空间中的垂直关系 (文理)
空间中的垂直关系 （文理）一、 学习目标：1、知识与技能：掌握线面垂直,面面垂直的判定定理。
能够运用线面垂直,面面垂直的性质定理证题。
2、过程与方法：通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能力。
3、情感、态度、价值观：增强数学学习信心，体会数学的科学价值和美学价值，获得学习的快乐。
二、使用说明：1、导学案40分钟独立、规范完成。
2、积极探究、合作交流，大胆质疑。
三、知识梳理：1. 垂直关系的相互转化:线线垂直−−−−−←−−−−→−线面垂直的性质判定线面垂直线面垂直−−−−−←−−−−→−面面垂直的性质判定面面垂直面面垂直2. 线线垂直证法:①定义_____________________________________________________②三垂线定理____________________逆定理__________________③线面垂直性质定理___________________ ④向量法______________. 3. 线面垂直证法::①定义_______________________________________________②判定定理_________________________________________________ . ③面面垂直性质定理_________________________________________ 4. 面面垂直证法:①定义______________________________________________________. ②判定定理__________________________________________________. ③二面角为直二面角 。
四、基础训练：1.如图所示,在三棱锥D-ABC 中,若AB=BC,AD=CD,E 是AC 的中点,则平面的位置关系是______________. 2.设两个平面互相垂直,则( )A.一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面B. 过交线上的一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面上C.过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面D.分别在两个平面内的两直线互相垂直3．设γβα,,为平面，l n m ,,为直线，则β⊥m 的一个充分条件是（ ）Alm l ⊥=⋂⊥,,βαβα B.γβγαγα⊥⊥=⋂,,m Cαγβγα⊥⊥⊥m ,,D.αβα⊥⊥⊥m n n ,,4.下列四个命题中是真命题的是( ) A. 若直线l 与平面α内的两条直线垂直,则l ⊥αB. 若平面α内的两条直线与平面β 内的两条直线平行,则α// β C 若平面α与直二面角γβ--MN 的棱MN 交于A,与二面角的面γβ, 分别交于AB,AC,则 90≤∠BAC . D. 以上三个命题都是假命题五、合作、探究、展示：例1. 如图所示,AB 是圆O 的直径,PA 垂直于圆O 所在的平面,M 是圆周上的任意一点,PM AN ⊥,点N 为垂足（1） 求证:AN ⊥面PBM.（2） 此题再添加条件AQ ⊥PB,垂足为Q,求证:NQ ⊥PB.例2 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB =60°且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，若G 为AD 边的中点， （1）求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD ⊥PB ；（3）若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论.【感悟提升】六、课堂检测：、1.(2009山东卷理)已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.平面α截一个三棱锥,如果截面是梯形,则平面α必定和这个三棱锥的( ) A.某个侧面或底面平行 B. 某个侧面或底面垂直 C.某条棱垂直 D. 某条棱平行 七、体验高考1.（2010全国卷2理数）与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个2.（2010湖北文数）4.用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b . A. ①② B. ②③C. ①④D.③④八．课后作业1.在三棱锥A-BCD 中若AD ⊥BC,BD ⊥AD,BCD ∆是锐角三角形，则下列命题中错误 的个数是（ ）①. 平面ABD ⊥平面ADC ② 平面ABD ⊥平面ABC ③ 平面ADC ⊥平面BCD ④平面ABC ⊥平面BCD A.1 B. 2 C.3 D. 4 2.给出下列三个命题:(1)”直线b a ,为异面直线”的充分非必要条件是”直线b a ,不相交”;(2)”直线a 垂直b 直线”的充分非必要条件是”直线a 垂直直线b 在平面β内的射影”; (3)”直线a 垂直平面β”的必要非充分条件是”直线a 垂直平面β内的无数条直线”; 其中正确的命题个数是( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 33.在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 的中点，M 是EF 的中点，沿DE ，DF 及EF 把EBF DFC DAE ∆∆∆,,折起，使得A ，B ，C 三点重合，重合后的点记为P ，那么在四面体P-DEF 中必有（ ）A. DM ⊥面PEFB. 面PDE ⊥面PEFC.⊥PM 面DEFD.面DEF ⊥ 面PDE 4.在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是DC BB ,1的中点,直线1FD 与平面ADE 所成的角是________.5.如果三棱锥的三个侧面两两垂直，则顶点在底面的正射影是底面三角形的______心.6.自半径为R 的球面上一点M,引球的三条两两互相垂直的弦MA,MB,MC,则=++222MC MB MA ______________.7.已知βα,是两个不同的平面,n m ,是平面α及之β外的两条不同直线,给出四个论断:(1)n m ⊥(2)βα⊥(3)β⊥n (4)α⊥m ,以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题_________________________________________________.8.在棱长为1的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点。
空间中的垂直关系
③最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角， 是这条斜线和这个平面内任一条直线所成角中最小的角． cos =cos1cos2 (2)直线和平面所成的角： ①定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐 角，叫这条斜线和这个平面所成的角。 规定: 如果直线与平面垂直,那么这条直线和这平面所成的角 为90º ;如果直线与平面平行或直线在平面内,那么直线与平面 所成的角为0º . [0 ②范围： , 90 ] ③求法： 定义法：作出直线在平面上的射影. 向量法: 设n是平面的法向量,AB是平面的一条斜线,其中A∈,则 AB与平面所成的角为: | AB n | arcsin AB n
两个结论 1.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这 点在平面内的射影在这个角的平分线上. 2.过一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线,设它与已知角 两边的夹角为锐角且相等,则这条射线在平面内的射影是这 个角的平分线.
唯一性命题
1.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 2.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. 3.过一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 4.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
判定 性质 判定 性质
线面平行
线面垂直 线面垂直
判定 性质 判定 性质
面面平行
面面垂直 面面垂直
判定
性质
判定
性质
四.棱锥的顶点在底面上的射影与底面多边形的“心”的关 系 1.若棱锥的各侧棱长相等或棱锥的各侧棱与底面所成的角 相等,则顶点在底面上的射影是底面多边形的外心.
2.若棱锥的各侧面上的斜高相等或棱锥的各侧面与底面所成 的二面角的大小相等,则顶点在底面上的射影是底面多边形 的内心. 3.若三棱锥的各侧棱两两垂直或三棱锥的两相对棱互相垂直, 则顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心.
备战2021高考理数热点题型和提分秘籍 专题45 空间中的垂直关系(解析版)
专题四十五空间中的垂直关系【高频考点解读】1．以立体几何的定义、公理和定理为动身点，生疏和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简洁命题．【热点题型】题型一垂直关系的基本问题例1、(1)设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β() A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有很多对(2)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中，正确的命题序号有________．【提分秘籍】解决垂直关系的基本问题要留意(1)紧扣垂直关系的判定定理与性质定理．(2)借助于图形去推断．(3)举反例排解去推断．【举一反三】设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β【热点题型】题型二直线与平面垂直的判定与性质例2、(2021年高考重庆卷)如图，四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，P A＝23，BC＝CD＝2，∠ACB ＝∠ACD＝π3.(1)求证：BD⊥平面P AC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积．【提分秘籍】证明直线和平面垂直的常用方法有(1)利用判定定理；(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)利用面面垂直的性质．当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．【举一反三】如图，在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．(1)求证：AD⊥C1E；(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1－A1B1E的体积．【热点题型】题型三平面与平面垂直的判定与性质例3、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E，M分别为AB，DE的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为A′C的中点，A′C＝4.(1)求证：平面A′DE⊥平面BCD；(2)求证：FB∥平面A′DE.(2)取DC的中点N，连接FN，NB.∵A′C＝DC＝4，F，N分别是A′C，DC的中点，∴FN∥A′D.【提分秘籍】1．判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．2．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．【举一反三】如图，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD 的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面P AD.证明：(1)在△P AD中，由于E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD .又由于EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD .【热点题型】题型四平行与垂直的综合问题例4、(2021年高考北京卷)(本题满分14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【解析】(1)由于平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，所以P A⊥底面ABCD .3分(2)由于AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE .4分所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD .6分又由于BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BE∥平面P AD .8分【提分秘籍】空间线面平行，垂直的综合问题始终是命题的热点，多以解答题形式考查，此类题目重点考查了线、面、平行，垂直的判定与性质，解答时易忽视平行垂直判定与性质定理中满足条件．【高考风向标】1．（2022·福建卷）在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图1-5所示．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．图1-5【解析】解：(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD.由(1)知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.2．（2022·湖南卷）如图1-6所示，四棱柱ABCD -A1B1C1D1的全部棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1OB1D的余弦值．图1-6方法二：由于四棱柱ABCD -A1B1C1D1的全部棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直．3．（2022·江西卷）如图1-6，四棱锥P -ABCD中，ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD.图1-6(1)求证：AB⊥PD.(2)若∠BPC＝90°，PB＝2，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P -ABCD的体积最大？并求此时平面BPC 与平面DPC夹角的余弦值．【解析】解：(1)证明：由于ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面P AD，故AB⊥PD .5．（2022·辽宁卷）如图1-5所示，△ABC和△BCD所在平面相互垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC ＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．(1)求证：EF⊥BC；(2)求二面角E-BF-C的正弦值．图1-5图26．（2022·新课标全国卷Ⅰ）如图1-5，三棱柱ABC -A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C .图1-5(1)证明：AC＝AB1；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A -A1B1C1的余弦值．(2)由于AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO＝CO.又由于AB＝BC，所以△BOA≌△BOC.故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两垂直．以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .由于∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，又AB＝BC，则A⎝⎛⎭⎫0，0，33，B(1，0，0)，B1⎝⎛⎭⎫0，33，0，C⎝⎛⎭⎫0，－33，0.7．（2022·四川卷）三棱锥A -BCD及其侧视图、俯视图如图1-4所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角A -NP -M的余弦值．图1-4【解析】解：(1)如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO. 由侧视图及俯视图知，△ABD，△BCD为正三角形，(2)方法一：如图所示，作NQ⊥AC于Q，连接MQ.8．（2022·天津卷）如图1-4所示，在四棱锥P -ABCD中，P A⊥底面ABCD, AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．(1)证明：BE⊥DC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F -AB -P的余弦值．【解析】解：方法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．C由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)．9．（2022·浙江卷）如图1-5，在四棱锥A -BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC ＝ 2.(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B -AD -E的大小．(2)方法一：过B作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG.由(1)知DE⊥AD，则FG⊥AD.所以∠BFG是二面角B -AD -E的平面角．在直角梯形BCDE中，由CD2＝BC2＋BD2，得BD⊥BC. 方法二：以D为原点，分别以射线DE，DC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系D -xyz，如图所示．由题意知各点坐标如下：D(0，0，0)，E(1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，2，2)，B(1，1，0)．设平面ADE的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面ABD的法向量为n＝(x2，y2，z2)．可算得AD＝(0，－2，－2)，AE＝(1，－2，－2)，DB→＝(1，1，0)．10．（2022·重庆卷]如图1-3所示，四棱锥P ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12，MP ⊥AP .(1)求PO 的长；(2)求二面角A -PM -C 的正弦值．图1-3【解析】解：(1)如图所示，连接AC ，BD ，由于四边形ABCD 为菱形，所以AC ∩ BD ＝O ，且AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OA →，OB →，OP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O -xyz .由于∠BAD ＝π3，所以OA ＝AB ·cos π6＝3，OB ＝AB ·sin π6＝1，【随堂巩固】1．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β.给出下面四个命题： ①m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α； ②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ；③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α； ④α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β. 其中正确命题的序号是( ) A ．①③ B ．②④C．①④D．②③2．用m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题正确的是() A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αD．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n3．a，b表示直线，α、β、γ表示平面．①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；②若a⊂α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；④若a不垂直平面α，则a不行能垂直于平面α内的很多条直线；⑤若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β.上述五个命题中，正确命题的序号是()A．①②③B．②④⑤C．④⑤D．②⑤答案：D4.如图，在四周体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE5．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是() A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β6.如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的命题是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1 C．AH的延长线经过点C1 D．直线AH和BB1所成角为45°7．设α，β是空间内两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用序号表示)．8.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF .9.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把全部正确的序号都填上)．10.如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC .(1)求证：平面AEC ⊥平面ABE ；(2)点F 在BE 上，若DE ∥平面ACF ，求BFBE 的值．解析：(1)证明：∵ABCD 为矩形，11.如图所示，已知四棱锥的侧棱PD ⊥平面ABCD ，且底面ABCD 是直角梯形，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB ＝AD ＝12CD ＝2，点M 在侧棱PC 上．(1)求证：BC ⊥平面BDP ；(2)若tan ∠PCD ＝12，点M 是侧棱PC 的中点，求三棱锥M －BDP 的体积．解析：(1)证明：由已知可得BD ＝22， 又AD ＝2，CD ＝4，AB ＝2，(2)如图，过M 作MG ⊥DC 交DC 于点G .12．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1＝2，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 上异于端点的点．(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；(2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A 1－QC 1D 的体积．(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)解析：(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，由于l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC .。
专题17空间垂直关系-解析版
专题17 空间垂直关系空间异面直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直等垂直关系在复杂的空间图形中隐藏得比较深,不易发现或作出,若再渗透折叠,则容易产生思维痛点.证明空间垂直关系是高考数学命题中的必选项,垂直关系中,直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理、勾股定理的逆定理等是最基本的知识,不论是空间位置关系判定还是度量关系计算,基础都是人的空间概念与空间想象能力,没有在脑海中建立正确的空间概念是导致立体几何题求解失败的根本原因,看不清位置关系,卡壳点自然产生.一、巧连线寻找线面垂直关系二、问题1:如图1,已知三棱柱ABC−A1B1C1,平面A1ACC1⟂平面ABC,∠ABC=90∘,∠BAC=30∘,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.证明:EF⟂BC.【解析】卡壳点:不会寻找证明垂直关系的途径.应对策略1:把证明线线垂直关系转化为证明线面垂直关系.问题解答:连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⟂AC.又平面A1ACC1⟂平面ABC,A1E⊂平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC, 所以A1E⟂平面ABC,则A1E⟂BC.又因为A1F//AB,∠ABC=90∘,故BC⟂A1F.所以BC⟂平面A1EF.因此EF⟂BC.应对策略2:发现三线垂直关系,利用空间向量运算证明垂直关系.问题解答:连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⟂AC.又平面A1ACC1⟂平面ABC,A1E⊂平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以A1E⟂平面ABC.如图2,以点E为原点,分别以射线EC,EA 1为y 轴、z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系E −xyz . 不妨设AC =4,则A 1(0,0,2√3),B(√3,1,0),B 1(√3,3,2√3),F (√32,32,2√3),C (0,2,0)因此EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,2√3),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,0). 由EF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得EF⟂BC . 【反思】证明空间位置关系时,寻找或添加关键的辅助线是一个智慧点.二、勾股定理促线线位置关系分析问题2:已知等边ΔABC 的边长为3,点D,E 分别是边AB,AC 上的点,且满足AD DB =CE EA=12(如图3).将ΔADE 沿DE 折起到ΔA 1DE 的位置,使二面角A 1−DE −B 成直二面角,连接A 1B,A 1C (如图4).求证:A 1D⟂平面BCED .【解析】卡壳点:折叠前后对线线位朢关系的分析不到位.应对策略：结合勾股定理的逆定理,由计算结果来验证垂直关系.问题解答:因为等边ΔABC 的边长为3,且AD DB =CE EA =12,所以AD =1,AE =2. 在ΔADE 中,∠DAE =60∘,由余弦定理得DE =√12+22−2×1×2×cos60∘=√3.因为AD 2+DE 2=AE 2,所以AD⟂DE ,折叠后有A 1D⟂DE .因为二面角A 1−DE −B 是直二面角,所以平面A 1DE⟂平面BCED .又平面A 1DE ∩平面BCED =DE,A 1D ⊂平面A 1DE,A 1D⟂DE ,所以A 1D⟂平面BCED .【反思】(1)题设信息中隐藏着AD⟂DE ,需要用勾股定理的逆定理来证明,这是解决问题的一个关键点,必须识破.(2)题设给定的面面垂直与目标要证的线面垂直之间只需证明直线垂直于棱即可.三、逆向存在性问题顺向思考问题3:如图5,三棱柱ABC −A 1B 1C 1的各棱长均为2,侧面BCC 1B 1⟂底面ABC ,侧棱BB 1与底面ABC 所成的角为60∘,在线段A 1C 1上是否存在点P ,使得平面B 1CP⟂平面ACC 1A 1?若存在,求出C 1P 的长;若不存在,请说明理由.【解析】卡壳点:存在性命题的顺向思考方法韩失.应对策略:若空间位置关系复杂,可将逆向设计的存在性问题顺向思考. 问题解答:过点B 1作B 1O⟂BC 于点O ,因为侧面BCC 1B 1⟂底面ABC ,所以B 1O⟂底面ABC,∠B 1BC =60∘,所以O 为BC 的中点.以O 为原点,以AO,OC,OB 1分别为x 轴,y 轴,z 轴正方向建立如图6所示的坐标系, 则A(−√3,0,0),B (0,−1,0),C (0,1,0),B 1(0,0,√3),A 1(−√3,1,√3),C 1(0,2,√3). 假设在线段A 1C 1上存在点P ,使得平面B 1CP⟂平面ACC 1A 1.设C 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λC 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则C 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(−√3,−1,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3λ,1−λ,√3),B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3).设平面B 1CP 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则{m ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y 1−√3z 1=0,m ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3λx 1+(1−λ)y 1+√3z 1=0. 取z 1=1,则y 1=√3,x 1=2−λλ.故m =(x 1,y 1,z 1)=(2−λλ,√3,1).设平面ACC 1A 1的法向量为n =(x 2,y 2,z 2),则{n⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x2+y2=0,n⋅C1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−y2−√3z2=0.取z2=1,则y2=−√3,x2=1.n=(x2,y2,z2)=(1,−√3,1).m⋅n=(2−λλ,√3,1)⋅(1,−√3,1)=2−λλ−2=0,解得λ=23.所以|C1P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=43.【反思】(1)建立空间直角坐标系时,要对位置关系进行证明,这一点很重要,然后根据已证明的位置关系去建立坐标系.(2)用坐标法时,确定点的坐标非常重要,不能有一点错误,否则前功尽弃.四、学云动态研究空间垂直关系问题4:如图7,已知边长为1的菱形ABCD,设∠ABC=120∘,沿AC折叠后,取AC 的中点E,连接DE,BE,BD.(I)当平面ABC⟂平面ACD时(如图8)或(II)当平面ABC与平面ACD所成二面角的平面角为α时(如图9),分别探究以下各题.(1)AC与BD,AD与BC的位置关系.(2)AD与BC所成角大小(或余弦值).(3)BC与平面ADC所成角大小(或正弦值).(4)求二面角A−BD−C大小(或余弦值).(5)在此问题情境下,请你提出一个新的问题并探究之.【解析】卡壳点:面对开放性问题,创新思维准备不足.应对策略:面对两平面垂直关系时,较容易;面对一般情形时,要善于用抽象符号来表达.问题解答:(I)当平面ABC⟂平面ACD时.(1)由于AC⟂平面BDE,所以AC⟂BD,AD与BC为异面直线.(2)取AB的中点F,BD的中点G,连接EF,EG,FG,则∠EFG为AD与BC所成的角,EF=12,EG=√24,FG=12,cos∠EFG=14+14−182×12×12=34.(3)BE⟂平面ADC,∠BCE为BC与平面ADC所成角为π6.(4)(4)见（II)(4),令α=π2即可.(5)（5）见（II）(5),令α=π2即可.(6)(II)当平面ABC与平面ACD所成二面角的平面角为α时.(7)(1)由于AC⟂平面BDE,所以AC⟂BD,AD与BC为异面直线.(8)(2)取AB的中点F,BD的中点G,AD与BC所成的角为∠EFG,EF=FG=1 2,BD=√14+14−2×14cosα=sinα2,EG=cosα22,(9)所以cos∠EFG=14+14−14cos2α22×12×12=1−12cos2α2.(10)(3)如图10,在平面BDE中,过点B作BH⟂DE,易知BH⟂平面ACD,于是∠BCH为BC与平面ADC所成的角,BH=12sinα,sin∠BCH=BHBC=12sinα.(11)(4)如图11,过AC作BD的垂面,交BD于点G,则∠AGC为所求二面角的平面角.(12)由于ΔABD为等腰三角形,所以G为BD的中点,故AG=√1−DG2=√1−(12sinα2)2=CG,cos∠AGC=AG2+CG2−AC22AG⋅CG =2−12sin2α2−42−12sin2α2.(13)(5)提出的新问题如下.层次一求证:当α=π2时,平面BDE⟂平面ABC,或平面BDE⟂平面ADC.层次二求证:不论α为何值,平面BDE⟂平面ABC,或平面BDE⟂平面ADC,层次三在折叠过程中,是否存在α,使得平面ABD⟂平面CBD?【反思】空间位置关系与度量关系,从特殊到一般的探究,对于学生是一次重要体验.五、驾㲼经典模型中的垂直关系问题5:如图12,AC为圆O的直径,B为圆周上不与点A,C重合的点,PA垂直于圆O 所在的平面,连接PB,PC,AB,BC.(I)图12中直角三角形的个数为,异面垂直的直线有对;(II)若在图12中添加AN⟂PB,AS⟂PC,连接SN,如图13,则图13中直角三角形个数为异面垂直的直线有对;(III)图12中直线垂直平面的对数为对,图13中直线垂直平面的对数为(IV)图12中互相垂直的平面对数为对;(V)证明:平面ANS⟂平面PBC.【解析】卡壳点:空间概念弱导致数不清檚符合要求的直线与平面数.应对策略:对照空间图形,分类思考或数数.问题解答:(I)观察可知直角三角形有4个,异面垂直的直线只有1对,即PA⟂BC.(II)若在图12中添加AN⟂PB,AS⟂PC,连接SN,如图13,则图13中直角三角形个数为异面垂直的直线有对;(III)图12中直线垂直平面的对数为对,图13中直线垂直平面的对数为(IV)图12中互相垂直的平面对数为对;(V)证明:平面ANS⟂平面PBC.【解析】卡壳点:空间概念弱导致数不清檚符合要求的直线与平面数.应对策略:对照空间图形,分类思考或数数.问题解答:(I)观察可知直角三角形有4个,异面垂直的直线只有1对,即PA⟂BC.(II)在图12中添加了AN,AS,SN后,增加6个直角三角形,共有10个直角三角形;异面垂直的直线有3对,增加了AN⟂BC,AN⟂PC.(III)图12中有2对直线垂直平面:PA⟂平面ABC,BC⟂平面PAB;图13中增加2对:PC⟂平面ANS,AN⟂平面PBC.图13中共有4对直线与平面垂直.(IV)图12中有3对互相垂直的平面:平面PAB⟂平面ABC,平面PAC⟂平面ABC,平面PAB⟂平面PBC;图13中有5对互相垂直的平面,增加2对:平面ANS⟂平面PBC,平面ANS⟂平面PAC.(V)因为PA⟂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⟂BC.又AC为圆O的直径,所以AB⟂BC.因为AB∩PA=A,所以BC⟂平面PAB.又AN⊂平面PAB,所以AN⟂BC.因为AN⟂PB,PB∩BC=B,所以AN⟂平面PBC.又PC⊂平面PBC,所以AN⟂PC.因为PC⟂AS,AS∩AN=A,所以PC⟂平面ANS.又PC⊂平面PBC,所以平面ANS⟂平面PBC.【反思】(1)此空间经典模型可以将立体几何的所有问题融人其中,且对于训练学生的空间概念与空间想象能力非常有利.(2)此空间经典模型中的线线位置关系、线面位置关系、面面位置关系非常丰富,尤其是垂直关系.(3)学生在思考上述问题时,一是空间概念要清楚,二是观察要细致,三是思考要全面,四是证明的逻辑推理要有序.六、静态分析运动中的空间图形问题6:如图14,一个棱长为2的正四面体O−ABC的顶点O在平面α上,底面ABC 平行于平面α,平面OBC与平面α的交线为l.(I)当平面OBC绕l顺时针旋转时,求证:l⟂AO;(II)在上述旋转过程中,设ΔOBC在平面α上的投影为ΔOB1C1,如图15,若B1C1的中点为O1,当AO⟂平面α时,在OA上是否存在一点P,使O1P⟂平面OBC?【解析】卡壳点:面对几何体旋转的情境时不知所措.应对策略:面对运动的几何体,进行浯态分析.问题解答:(I)证明:因为平面ABC//平面α,平面ABC ∩平面COB =BC ,平面α∩平面COB =l ,所以BC//l .取BC 的中点E ,连接AE,EO ,则BC⟂AE,BC⟂EO .所以l⟂AE,l⟂EO,AE ∩EO =E,AE ⊂平面AOE,EO ⊂平面AOE ,所以l⟂平面AOE . 又AO ⊂平面AOE ,所以l⟂AO .(II)解法1当点P 与点A 重合时,O 1P⟂平面OBC ,如图16,因为BC⟂AE,BC⟂EO 1,所以BC⟂面AEO 1,BC⟂AO 1.在图中,作AS//OE,ES//OA ,由AS 2+O 1A 2=O 1S 2知∠SAO 为直角,OE⟂AO 1,AO 1⟂平面OBC .解法2易得AE =OE =√3,OA =2OE 1. 设点A 在平面OBC 上的射影为点G ,若O 1P⟂平面OBC ,则O 1P//AG,O 1E =1.所以OO 1=√2.设PO 1交OE 于点H,OH:OO 1=OO 1:OE,OH =2√33. 又OG =2√33,所以点P 与点A 重合. 解法3以O 1为原点,O 1C 1所在直线为x 轴,O 1O 所在直线为y 轴,O 1E 所在直线为z 轴建立平面直角坐标系,则O(0,√2,0),C (1,0,1),B (−1,0,1),A(0,√2,2).设P(0,√2,z),则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√2,1),O 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,z).由于BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟂O 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟂O 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以z =2,即点A 与点P 重合时,O 1P⟂平面OBC .【反思】高考数学命题中关于空间图形的问题情景主要是静态的、规则的图形中的点、线、面位置关系及度量关系,其中出现比较多的是平面图形翻折成空间图形或由规则图形截取得到不规则图形后的点、线、面位置关系及度量关系.强化练习1.已知三棱锥P−ABC的底面ABC是边长为2√3的正三角形,点A在侧面PBC内的射影H为ΔPBC的垂心,二面角P−AB−C的平面角的大小为60∘,则AP的长为A.3 B.3√2 C.√7 D.4【解析】如答图所示,连接并延长BH,交PC于点E,连接AE,设点P在底面ABC内的射影为点O,则PO⊥平面ABC,连接CO并延长,交AB于点F.因为点A在侧面PBC内的射影H为△PBC的垂心,所以AH⊥平面PBC,BE⊥PC,所以AH⊥PC.因为BE∩AH=H,BE⊂平面ABE,AH⊂平面ABE,所以PC⊥平面ABE,所以PC⊥AB.因为CB⊂平面ABC,PO⊥平面AC,所以PO⊥AB.因为PO∩PC=P,PO⊂平面PFC,PC⊂平面PFC,所以AB⊥平面PFC.因为CO⊂平面PFC,所以AB⊥CO.同理可证AC⊥BO.所以O是△ABC的垂心,所以三棱雉P−ABC为正三棱雉.因为三棱雉P−ABC的底面ABC是边长为2√3的正三角形,所以BF=√3,CF=3,则PO=1.因为二面角P−AB−C的平面角的大小为60∘,所以∠PFC为二面角P−AB−C的平面角.在Rt△POF中,∠PFC=60∘,FO=1,所以PF=2.在Rt△PFA中,PF=2,AF=√3,所以AP=√22+(√3)2=√7.故选C.第1题答图【反思】先判断三棱锥P−ABC为正三棱锥,然后根据异面直线所成的角的定义可得∠PFC为二面角P−AB−C的平面角,解直角三角形即可得解.2.如图,棱雉P−ABCD的底面是菱形,∠DAB=π,且ΔPAB是正三角形,求3证:PD⟂AB.【解析】取AB的中点O,连接OD,OP,由题意得△DAB为正三角形,所以AB⊥OD. 因为△PAB是正三角形,所以AB⊥OP.又OP∩OB=O,所以AB⊥平面POD且PD⊂平面POD,所以PD⊥AB.【反思】(1)立体几何命题的证明讲究逻辑,符合基本定理前提,此几何背景中有许多特殊的三角形,关键是找准一个点,即AB的中点.(2)为证线线垂直,转而证明线面垂直,而证线面垂直,线面垂直的判断是基础.3.如图,长方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⟂EC1.求证:BE⟂平面EB1C1.【解析】由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C1.【反思】根据线面垂直的判定定理,在复杂空间图形中寻找需要的条件.4.图1是由矩形ADEB、RtΔABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB= 1,BE=BF=2,∠FBC=60∘,将其沿AB,BC折起,使得BE与BF重合,连接DG,如图2,证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⟂平面BCGE.5.【解析】由已知得AD//BE,CG//BE,所以AD//CG,故AD和CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.【反思】翻折前后线线、线面位置关系的变与不变是思考的基础.6.已知在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60∘,沿AC折叠后,设平面ABC与平面ACD所成角为α,折叠过程中,是否存在α,使得平面ABD⟂平面CBD?7.【解析】由对称性且△ABD与△CBD为等腰三角形,取BD的中点G,则∠AGC为平面ABD与平面CBD所成二面角的平面角.在△BDE中,由余弦定理得BD2=34+34−2×34cosα=3sin2α2,或由三角函数定义可得BD=√3sinα2,于是AG2=1−34sin2α2=CG2.当AG2+CG2=AC2时,平面ABD⊥平面ADC,即当2(1−34sin2α4)=1,也即sinα2=√63时,平面ABD⊥平面ADC.由于12<69<34,所以π4<α2<π3.故存在α,使得平面ABD⊥平面CBD.【反思】(1)用最简单的平面图形创设问题情境,检测学生的空间想象能力与创新能力.面对新的数学问题,需要对问题情境有比较深入的理解,才能达到较高层次的认知,层次一属千找到一个;层次二不仅找到而且发现更一般的情形;层次三向更深的地方思考并探索,提出了存在性命题.这样一个开放性命题给不同数学认知水平的学生提供了一个平台,有利于培养学生创新意识.(2)在证明过程中,还可以逆向思考,要使∠AGC 为直角,只要AG =CG =√22,只要DG =√22,或BD =√2,只要sinα2=√638. 如图,在矩形ABCD 中,点E 在线段CD 上,AB =3,BC =CE =2,沿直线BE 将ΔBCE 翻折成ΔBC ′E ,使点C ′在平面ABED 上的射影F 落在直线BD 上.求证:直线BE⟂平面CFC ′.9.【解析】(I)如答图所示,在线段AB 上取点G ,使BG =2,连接CG ,交BE 于点H .因为在正方形BCEG 中,BE ⊥CG ,所以翻折后,BE ⊥C ′H,BE ⊥GH .又C ′H ∩GH =H ,所以BE ⊥平面C ′HG .又BE ⊂平面ABED ,所以平面ABED ⊥平面C ′HG .又平面ABED ∩平面C ′HG =GC ,所以点C ′在平面ABED 上的射影F 落在直线GC 上.又点C ′在平面ABED 上的射影F 落在直线BD 上,所以F 为直线BD 与GC 的交点,所以平面CFC ′即平面C ′HG ,所以直线BE ⊥平面CFC ′.第6题答图【反思】按照直线与平面垂直判定的逻辑推理方式进行规范的叙述.7.如图,在四棱锥P−ABCD中,PC⟂平面ABCD,AB⟂AD,AB//CD,PD=AB=2AD=2CD=2,E为PB的中点.证明:平面EAC⟂平面PBC.【解析】证明:PC⊥平面ABCD,故PC⊥AC.又AB=2,CD=1,AD⊥AB,所以AC=BC=√2.故AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC.所以AC⊥平面PBC,所以平面ACE⊥平面PBC.【反思】面对大量线段时,巧用勾股定理的逆定理判断位置关系.8如图,在三棱锥P−ABC中,PA⟂平面ABC,2AC=PC=2,AC⟂BC,D,E,F分别为AC,AB,AP的中点,M,N分别为线段PC,PB上的动点,且有MN//BC.(I)求证:MN⟂平面PAC;(II)探究:是否存在这样的动点M,使得二面角E−MN−F为直二面角?若存在,求CM的长;若不存在,说明理由.【解析】因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.又AC⊥BC,所以BC⊥平面PAC.又因为MN//BC,所以MN⊥平面PAC.（II)由条件可得,∠FMD即为二面角E−MN−F的平面角. 若二面角E−MN−F为直二面角,则∠FMD=90∘.在Rt△PCA中,设CM=t(0⩽t⩽2),则PM=2−t.在△MDC中,由余弦定理可得，DM2=CM2+CD2−2CM⋅CDcos60∘=t2+14−12t.同理可得,FM2=PM2+PF2−2PM⋅PFcos30∘=(2−t)2+34−32(2−t)又由FD2=FM2+MD2,得2t2−3t+1=0,解得t=1,或t=12.所以存在直二面角E−MN−F,且CM的长度为1或12.【反思】求是否存在点的位置可以转化为求是否存在一定长度的线段,把对“形”的研究转化到对“数”的分析上.。
课时作业(四十一) 空间中的垂直关系(含答案)
课时作业(四十一)空间中的垂直关系一、选择题1．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确的是()A．①②B．②③C．①④D．③④答案：B2．已知m，l是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若l⊥α，m∥α，则l⊥m；②若m∥l，m⊂α，则l∥α；③若α⊥β，m⊂α，l⊂β，则m⊥l；④若m⊥l，m⊂α，l⊂β，则α⊥β.其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：①正确；②错误，l有可能在平面α内；③错误；④错误，故选A.答案：A3．在四面体P—ABC中，若PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的()A．外心B．内心C．垂心D．重心解析：∵P在平面ABC内的射影为O，由PA＝PB＝PC，则对应的射影OA＝OB＝OC，故O为△ABC的外心．选A.答案：A4．在正四面体P—ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC解析：如图，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∴A正确；由图知BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE.∴DF⊥平面PAE.∴B正确．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．∴D正确．答案：C5．如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是()A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面解析：设AB的中点为E1，BC的中点为F1，则EF∥E1F1，而E1F1⊥BD，E1F1⊥BB1，∴EF⊥BB1，EF⊥BD，∴A、B项正确．又由EF∥E1F1知EF∥平面ABCD，∴EF与CD异面，C项正确．∴易知EF∥A1C1，D项错误．答案：D6．如图甲所示，在正方形ABCD中，EF分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图乙所示，那么，在四面体A—EFH中必有()A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面解析：∵AB⊥BC，AD⊥DF，∴AH⊥HE，AH⊥HF，∴AH⊥平面HEF，故选A.答案：A二、填空题7．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l⊥m；③l∥m⇒α⊥β；④l∥m⇒α∥β.其中正确的命题是________．解析：α∥β，l⊥α，∴l⊥β.又m⊂β，∴l⊥m.故①对；②中l有可能平行于m，也可能与m异面，故②错；③中l⊥α，l∥m，∴m⊥α.又m⊂β，∴α⊥β，故③对；④l⊥α，l∥m，∴m⊥α，∴α⊥β.④错．正确的命题是①③.答案：①③8．四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，在平面PAB、PBC、PCD、PDA和ABCD 中，互相垂直的平面一共有________对．解析：如图，已知PA⊥平面ABCD，PA⊂面PAB，PA⊂面PDA，∴平面PAB⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面ABCD.又BC⊥AB，∴BC⊥面PAB，AD⊥AB，AD⊥面PAB.∴面PAD⊥面PAB，面PBC⊥面PAB.又CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥面PAD.∴平面PCD⊥平面PDA，故共有5对互相垂直的平面．答案：59．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC 上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的即可)．解析：∵底面是菱形，∴AC⊥BD，又PA⊥底面ABCD，PA⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC，当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)答案不唯一三、解答题10．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AD、AB的中点．(1)求证：EF∥平面CB1D1；(2)求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1.证明：(1)连接BD，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，BD∥B1D1.又E、F分别为棱AD、AB的中点，∴EF∥BD，∴EF∥B1D1.又B1D1⊂平面CB1D1，EF⊄平面CB1D1，∴EF∥平面CB1D1.(2)∵在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1.又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，且AA1∩A1C1＝A1，∴B1D1⊥平面CAA1C1.又B1D1⊂平面CB1D1，∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1.11．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明：(1)在四棱锥P－ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，故PA⊥CD.又因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，得△ABC是等边三角形，故AC＝PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD 平面PCD，所以AE⊥PD.又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB.由已知得AB⊥AD，且PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD.又PD 平面PAD，所以AB⊥PD.因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.12．如图，四棱台ABCD—A1B1C1D1的直观图和三视图，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，A1A＝D1D＝A1D1＝1，M，N分别为A1D1，AD的中点．(1)由三视图判断平面AA1D1D与平面ABCD的位置关系(只须作出判断)；(2)求证：BC⊥平面MNBB1；解：(1)平面AA1D1D⊥平面ABCD. (2)由条件知四边形AA1D1D为等腰梯形．∵M，N为上下底边的中点，∴MN⊥AD.又AN＝12AB＝1，∠BAD＝60°，∴△ABN为直角三角形，∴BN⊥AD.又MN∩BN＝N，∴AD⊥平面MNBB1. ∵AD∥BC，∴BC⊥平面MNBB1.。
空间中的垂直问题练习题(答案)
空间线线、线面、面面垂直关系练习题一、填空题1．给出下列三个命题：①“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件是“直线a 、b 不相交”；②“直线a 垂直于直线b ”的充分非必要条件是“直线a 垂直直线b 在平面β内的射影”；③“直线a 垂直平面β” 的必要非充分条件是“直线a 垂直于平面β内的无数条直线” 其中所有真命题的序号是 ③2．如图，正方形ABCD ，P 是正方形平面外的一点，且P A ⊥平面A BCD 则在△P AB 、△PBC 、△PCD 、△P AD 、△P AC 及△PBD 中，为直角三角形有______5___个．3．在四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足 BM PC ⊥ 时，平面MBD ⊥平面PCD ．4．已知三棱锥ABC S -的底面是正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是SBC ∆的垂心，且SA 的长为定值，则下列关于此三棱锥的命题：①点B 在侧面SAC 上的射影是SAC ∆的垂心；②三棱锥ABC S -是一个正三棱锥；③三棱锥ABC S -的体积有最大值；④三棱锥ABC S -的体积有最小值.其中正确命题的序号为 ①②③ . 5．如果a,b 是异面直线，P 是不在a,b 上的任意一点，下列四个结论：（1）过P 一定可作直线L 和a , b 都相交；（2）过P 一定可作直线L 和a , b 都垂直；（3）过P 一定可作平面α和a , b 都平行；（4）过P 一定可作直线L 和a , b 都平行，其中正确的结论有___（2）______．6．给出下列命题：①分别和两条异面直线AB ．CD 同时相交的两条直线AC ．BD 一定是异面直线②同时和两条异面直线垂直的两直线不一定平行③斜线b 在面α内的射影为c ，直线a ⊥c ，则a ⊥b ④有三个角为直角的四边形是矩形，其中真命题是 ① ．7．点P 在直径为2的球面上，过P 作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是 ．8．正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB //平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成图形面积的取值范围是 ．9．直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面α、β内各有一条射线AB ，AC 和l 成450，AB βα⊂⊂AC ,，则∠BAC= ．（60或120，两种情形）10.四棱锥D ABCE -的底面是矩形，DE ⊥面ABCE ，3,1, 2.DE EC BC G ===为DA 的中点，Q 为DC 上一点，且EQ ⊥面GBC ，则DQQC＝ 32 .11．已知边长为23的正ABC ∆，点,D E 分别在边,AB AC 上，且//DE BC ，以DE 为折痕，把ADE ∆折起至A DE '∆，使点A '在平面BCED 上的射影H 始终落在BC 边上，记，则S 的取值范围为 ． 【答案】【解析】设A 到DE 的距离为x ，则DE 和BC 间距离为3x -，ADE∴∆的面积为233x ()222369A H x x x '=--=- S ∴的取值范围为．12．三棱锥ABC P -中，︒=∠=∠=∠90CPA BPC APB ，点M 在△ABC 内，且=∠MPA ︒=∠60MPB ，则MPC ∠的度数是___︒45______．13.如图，AD 和BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=，且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 。
空间中的垂直关系
空间中的垂直关系1．两条直线互相垂直定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a⊂αb⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α推论1如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面⎭⎪⎬⎪⎫a∥ba⊥α⇒b⊥α推论2如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b3. 平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β(3)平面与平面垂直的性质定理：文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊂βα∩β＝al ⊥a⇒l ⊥α1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( ) (2)若直线a ⊥平面α，直线b ∥α，则直线a 与b 垂直． ( ) (3)直线a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b . ( ) (4)若α⊥β，a ⊥β⇒a ∥α. ( ) (5)a ⊥α，a ⊂β⇒α⊥β.( )2． (2013·广东)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，，则m ∥nC ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β3． 设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( )A ．a ⊥c ，b ⊥cB ．α⊥β，a ⊂α，b ⊂β C ．a ⊥α，b ∥αD ．a ⊥α，b ⊥α4． 将图1中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 的中线折起得到空间四面体ABCD (如图2)，则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是( )A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直5． α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________________________.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是() A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α2. 如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A．P A＝PB>PCB．P A＝PB<PCC．P A＝PB＝PCD．P A≠PB≠PC3．在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是()A．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γB．l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥mC．α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，若l∥m，则l∥nD．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β4．正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于()A．A′C′B．BDC．A′D′D．AA′又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.5. 如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长，其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③二、填空题6．已知P为△ABC所在平面外一点，且P A、PB、PC两两垂直，则下列命题：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．7．在正三棱锥P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．8．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)三、解答题9．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝3，BC＝BE＝7，△DCE是边长为6的正三角形．(1)求证：平面DEC⊥平面BDE；(2)求点A到平面BDE的距离．B组专项能力提升1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则() A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直2．(2012·江苏)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________ cm3.3．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．。
空间中的垂直关系(带答案)
空间中的垂直关系专题训练知识梳理一、线线垂直:如果两条直线于一点或经过________ 后相交于一点，并且交角为，则称这两条直线互相垂直线面垂直:1•定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的___________________ ，则称这条直线和这个平面垂直•也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，么他就和平面内任意一条直线都•直线I和平面a互相垂直，记作I丄a .2•判定定理：如果一条直线与平面内的______________ 直线垂直，则这条直线与这个平面垂直•推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也____________ 于这个平面•推论②：如果两条直线___________ 同一个平面，那么这两条直线平行3•点到平面的距离：_____________ 长度叫做点到平面的距离、面面垂直：1•定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面________ ,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线___________ ，就称这两个平面互相垂直•平面a,3互相垂直，记作a丄B •2. ________________________________________________ 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的_______________________________________________ ，则这两个平面互相垂直.3. 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于____________ 直线垂直于另一个平面•四、求点面距离的常用方法：1・直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形•2. 转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解3. 体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解题型线线垂直、线面垂直的判定及性质例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，P从底面ABCD AB丄AD,AC丄CD, / ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点•求证：(1) CD丄AE;(2) P D丄平面ABE.证明：(I) PA丄底面AB 匚Lh /PA1CD, P An AC-A.故匚平面"匚.又AE匸平面PJX匚".CD_AE・(II)由題意：AB_AD,AB _平面PAD，从而負日一PD・=BCj 3zABC = 60°,.AC^AB,就而AOPA.又E为PCt*点」-AE_P匚.由(I)师：AE_CD f ..AE_^®PCD, AHnAE.PD・故PD亠平面汨巳【变式1】已知：正方体ABCD- A I B I C I D I , AA1=2, E为棱CG的中点.(I )求证：B1D1 丄AE;DE.(II )求证：AC// 平面B1又•••BC// AD 且BC=AD, /• E F// AD 且EF=AD /•四边形ADEF是平行四边形，可得AF// ED, •/AF P CF=C BE A ED=E平面ACF// 平面B1DE. 又T AC平面ACF, /• AC//面B1DE.【变式2】如图，已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形，PA丄平面ABCD / ABC=60 , 点E、G分别是CD P C的中点，点F在PD上，且PF: FD=2: i .(I )证明：EA丄PB;(H )证明：BG/ 面AFC(H )取PF 中点M，所以PM=MF=FD .连接MG , MG // CF,所以MG// 面AFC. 连接BM, BD,设ACH BD=O 连接OF,所以BM // OF,所以BM //面AFC.而BM H MG=M所以面BGM //面AFC,所以BG //面AFC.【变式3】如图，四棱柱ABC— A i B1C1D1的底面ABCD是正方形，0为底面中心，A i O丄平面ABCD, AB= . ：:, AA仁2.(1) 证明：AA i丄BD(2) 证明：平面A i BD//平面CD1B1;(3) 求三棱柱ABD- A i B i D l的体积.【解答】(1)证明：•••底面ABCD是正方形，•••又T 州0丄平面ABCD且BD面ABCD, •又T A i O H AC=O A i O 面A l AC, AC面A l AC,所以EA丄面PAB 所以EA丄PB.BD 丄AC,A i O丄BD,BD丄面A i AC, AA i 面A i AC, • AA i 丄BD.(2)A iB i / AB, AB// CD, • A i B i / CD,又A i B仁CD, • 四边形A i B i CD是平行四边形,A I D //B 1C,同理 A 1B // CDl , •/ A 1B 平面 A 1BD, A I D 平面 A 1BD, CD 1 平面 CD1B 1, B 1C 平面 CDiB ,且 A 1BAA 1D=A 1, CDQB 1C=C 二 平面 A 1BD//平面 CD 1B 1.（3） •/ A i O 丄面 ABCD, ••• A l O 是三棱柱 A 1B 1D 1 - ABD 的高， 在正方形 ABCD 中，AO=1 .在 Rt ^ A 1OA 中，AA 1=2, AO=1, • A 1O= 二 • V 三棱柱ABD -A1B1D1=S A ABDAI O」：（汀寸）2.「；=二• 三棱柱ABD- A i B I D i 的体积为.；【变式4】如图，三棱柱 ABC- A 1B 1C 1中，侧棱AA i 丄底面ABC, AB=BC=AC=AA=4, 点F 在CC 1上，且C 1F=3FC E 是BC 的中点. (1) 求证：AE 丄平面BC^B 1(2) 求四棱锥A - B i C i FE 的体积； (3) 证明：B IE 丄 AF .【解答】（1 ） •/ AB=AC, E 是BC 的中点, AE 丄 BC. 在三棱柱 ABC- A 1B 1C 1，中，BB 1// AA i , • BB i 丄平面ABC,•/ AE 平面 ABC,• BB i 丄 AE ,….（2 分） 又 T BB i n BC =B ….（3 分） BB i , BC 平面 BB i C i C,• AE 丄平面BB 1C 1C,….(4分)(2)由(1 )知，即AE 为四棱锥 A -B i C i FE 的高，在正三角形 在正方形BB I C I C ,中，CE=BE =2 CF =1，四边形]FE 吒正方形日瓦C 弋-2△斑：E -S A CFE =4 対 一+況 2况 4一 2 XI =11.…(6 分) •昭聶四边形B]C]FE AE 矛X11X2価_-(7分)ABC 中,（3）证明：连结B i F,由（1）得AE丄平面BB1C1C,：B1E 平面BB l C l C,：AE丄B1E,….（8分）在正方形BB i C l C,中，B l F=卜」［卜'=5, B1E=卜-.・=2 7EF寸c/+ CF ，•/ B l F2=B l E2+EF2,二B l E丄EF…（9 分）又••• AE n EF=E ….（10 分）AE, EF平面AEF,二B i E丄平面AEF, •••.（11 分）•/ AF平面AEF, ••• B1E丄AF.….（12 分）【变式5】如图，四棱锥P-ABCD中，PD丄平面ABCD,底面ABCD为正方形，BC=PD=2 E为PC的中点，G在BC上，且CG」-CB(1) 求证：PC X BC;(2 )求三棱锥C- DEG的体积；(3) AD边上是否存在一点M，使得PA//平面MEG若存在，求AM的长；否贝U,说明理由. p【解答】(1)证明：•/ PD丄平面ABCD, • PD丄BC.又T ABCD是正方形，•- BC丄CD.又••• PD n CD=D • BC 丄平面PC丄BC. (2) •/ BC丄平面ACG PCD.又•/ PC平面PCD, •PCD,• GC是三棱锥G- DEC的高.• PA/ 平面MEG.在正方形ABCD中，•/ O是AC的中点, BC=PD=2 CGYB.•••△ OCWA OAM , ••• AM=CG 』,二所求 AM 的长为丄. ---------------------------------3 3【变式6】如图所示，在三棱柱 ABC- A 1B 1C 1中，BB i 丄底面A l B l C l , A 1B 1丄B i C i 且A iB i =BB i =B iC i ,D 为 AC 的中点.(I )求证：A i B 丄AC 1(H )在直线CC|上是否存在一点 E,使得A i E 丄平面A i BD,若存在，试确定 E点的位置；若不存在，请说明理由.【解答】（I ）证明：连接AB i ••• BB i 丄平面 A i B i C iB iC i 丄 BB iB iC i 丄 A i B i 且 A i B iQB B i =B i • B i C i 丄平面 A i B i BAA iB 丄 B iC i .又 T A i B 丄 AB i 且 AB iQBi C i =B i • A i B 丄平面 AB i C i• A i B 丄 AC i(n )存在点E 在CCi 的延长线上且 CE=2CC 时, A i BD .设 AB=a , CE=2a, • 扎口BD 丄AC, BD 丄CG ,AC Q C （C=C , • BD 丄平面A i E 平面 ACQA i A A i E 丄 BD.又 BD AA i D=D , • A i BD【变式7】如图，在直三棱柱 ABC- A i B i C i 中，AC=3, BC=4, AB=5,点D 是AB 的中点.A i E 丄平面A 1 E =^3a ,ACGA iEAA i E ±平面•- A i E 丄 A iD …(i)求证：AC丄BG；(2) 求证：AC i // 平面 CDBl .【解答】证明：(1)因为三棱柱ABC- A 1B 1C1为直三棱柱, 所以C i C 丄 平面ABC,所以C i C 丄AC. 又因为 AC=3, BC=4, AB=5, 所以 A C 2+B (?=AB 2, 所以AC 丄BC.又C i C Q BC=C 所以AC 丄 平面CCB i B ,所以AC 丄 BC i . (2)连结GB 交CBl 于E ,再连结DE,由已知可得 E 为C i B 的中点，又•/ D 为AB 的中点，••• DE BACi 的中位线.••• AC1 // DE 。
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空间中的垂直关系专题训练知识梳理一、线线垂直：如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为，则称这两条直线互相垂直.二、线面垂直：1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的_________________，则称这条直线和这个平面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都.直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.,推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面.推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行.3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离.三、面面垂直：1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作α⊥β.2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直.3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于另一个平面.四、求点面距离的常用方法：1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形.;2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解.3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证：(1)CD⊥AE；@(2)PD⊥平面ABE.【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：B1D1⊥AE；（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE．【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥ BD．∵CE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CE⊥BD．又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣﹣﹣（5分）~（Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵E、F是C1C、B1B的中点，∴CE∥B1F且CE=B1F，∴四边形B1FCE是平行四边形，∴CF∥B1E．∵正方形BB1C1C 中，E、F是CC、BB的中点，∴EF∥BC且EF=BC又∵BC∥AD且BC=AD，∴ E F∥AD且EF=AD．∴四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，∵AF∩CF=C，BE∩ED=E，∴平面ACF∥平面B1DE．又∵AC⊂平面ACF，∴AC∥面B1DE．【变式2】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：FD=2：1．（Ⅰ）证明：EA⊥PB；（Ⅱ）证明：BG∥面AFC．【解答】（Ⅰ）证明：因为面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以△ ACD为等边三角形，又因为E是CD的中点，所以EA⊥AB．又PA⊥平面ABCD，所以EA⊥PA．…而AB∩PA=A所以EA⊥面PAB，所以EA⊥PB．（Ⅱ）取PF中点M，所以PM=MF=FD．连接MG，MG∥CF，所以MG∥面AFC．连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF，所以BM∥OF，所以BM∥面AFC．而BM∩MG=M所以面BGM∥面AFC，所以BG∥面AFC．【变式3】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．（1）证明：AA1⊥BD~（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．【解答】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵A1O⊥平面ABCD且BD⊂面ABCD，∴A1O⊥BD，又∵A1O∩AC=O，A1O⊂面A1AC，AC⊂面A1AC，∴BD⊥面A1AC，AA1⊂面A1AC，∴AA1⊥BD．（2）∵A1B1∥AB，AB∥CD，∴A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴平面A1BD∥平面CD1B1．（3）∵A1O⊥面ABCD，∴A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高，在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1，、∴A1O=，∴V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD•A1O=•（）2•=∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为．【变式4】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=BC=AC=AA1=4，点F在CC1上，且C1F=3FC，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥平面BCC1B1（2）求四棱锥A﹣B1C1FE的体积；（3）证明：B1E⊥AF．【解答】（1）∵AB=AC，E是BC的中点，&∴AE⊥BC．在三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，∵AE⊂平面ABC，∴BB1⊥AE，…．（2分）又∵BB1∩BC=B，…．（3分）BB1，BC⊂平面BB1C1C，∴AE⊥平面BB1C1C，…．（4分）（2）由（1）知，即AE为四棱锥A﹣B1C1FE的高，在正三角形ABC中，AE=AB=2，…在正方形BB 1C1C，中，CE=BE=2，CF=1，∴=﹣﹣S△CFE=4×=11．…（6分）】∴=•AE==…（7分）（3）证明：连结B1F，由（1）得AE⊥平面BB1C1C，∵B1E⊂平面BB1C1C，∴AE⊥B1E，…．（8分）在正方形BB1C1C，中，B1F==5，B1E==2，EF==，∵B1F2=B1E2+EF2，∴B1E⊥EF…．（9分）又∵AE∩EF=E，…．（10分）AE，EF⊂平面AEF，∴B1E⊥平面AEF，…．（11分）∵AF⊂平面AEF，∴B1E⊥AF．…．（12分）【变式5】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB（1）求证：PC⊥BC；（2）求三棱锥C﹣DEG的体积；（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG若存在，求AM的长；否则，说明理由．。
【解答】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC．又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD．又∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD．又∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC．（2）∵BC⊥平面PCD，∴GC是三棱锥G﹣DEC的高．∵E是PC的中点，∴S△EDC=S△PDC==×（×2×2）=1．V C﹣DEG=V G﹣DEC=GC•S△DEC=××1=．（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．证明：∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA．又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG．在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，BC=PD=2，CG=CB．∴△OCG≌△OAM，∴AM=CG=，∴所求AM的长为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣:【变式6】如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面A1B1C1，A1B1⊥B1C1且A1B1=BB1=B1C1，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1（Ⅱ）在直线CC1上是否存在一点E，使得A1E⊥平面A1BD，若存在，试确定E 点的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：连接AB1∵BB1⊥平面A1B1C1（∴B1C1⊥BB1∵B1C1⊥A1B1且A1B1∩BB1=B1∴B1C1⊥平面A1B1BA∴A1B⊥B1C1 . 又∵A1B⊥AB1且AB1∩B1C1=B1∴A1B⊥平面AB1C1∴A1B⊥AC1（Ⅱ）存在点E在CC1的延长线上且CE=2CC1时，A1E⊥平面A 1BD．设AB=a，CE=2a，∴，∴，，DE=，∴，∴A1E⊥A1D…∵BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1E⊂平面ACC1A1∴A1E⊥ BD. 又BD∩A1D=D ，∴A1E⊥平面A1BD{【变式7】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥ BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．又因为AC=3，BC=4，AB=5，所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．又C1C∩B C=C，所以AC⊥平面CC1B1B，所以AC⊥BC1．（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又∵D为AB的中点，∴DE为△BAC1的中位线．∴AC1∥DE。
又∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1．…【变式8】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2AC=2BC，D是AA1的中点，CD⊥B1D．（1）证明：CD⊥B1C1；（2）平面CDB1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【解答】（1）证明：由题设知，直三棱柱的侧面为矩形，由D为AA1的中点，则DC=DC1，又AA1=2AC，可得DC12+DC2=CC12，则CD⊥DC1，而CD⊥B1D，B1D∩DC1=D，则CD⊥平面B1C1D，由于B1C1⊂平面B1C1D，`故CD⊥B1C1；（2）解：由（1）知，CD⊥B1C1，且B1C1⊥C1C，则B1C1⊥平面ACC1A1，设V1是平面CDB1上方部分的体积，V2是平面CDB1下方部分的体积，则V1=V B1﹣CDA1C1=S CDA1C1•B1C1=וB1C13=B1C13，V=V ABC﹣A1B1C1=AC•BC•CC1=B1C13，则V2=V﹣V1=B1C13=V1，故这两部分体积的比为1：1．【变式9】如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面是边长为2的正方形，高为1，点E在B1B上，且满足B1E=2EB．（1）求证：D1E⊥A1C1；（2）在棱B1C1上确定一点F，使A、E、F、D1四点共面，并求此时B1F的长；（3）求几何体ABED1D的体积．;【解答】（Ⅰ）证明：连结B1D1．因为四边形A1B1C1D1为正方形，所以A1C1⊥B1D1．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，又A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以DD1⊥A1C1．因为DD1∩B1D1=D1，DD1⊂平面BB1D1D，B1D1⊂平面BB1D1D，所以A1C1⊥平面BB1D1D．又D1E⊂平面BB1D1D，所以D1E⊥A1C1．…（4分）（Ⅱ）解：连结BC1，过E作EF∥BC1交B1C1于点F．因为AD1∥BC1，所以AD1∥EF．所以A、E、F、D1四点共面．即点F为满足条件的点．又因为B1E=2EB，所以B1F=2FC1，所以．…（8分）（Ⅲ）解：四边形BED1D为直角梯形，几何体ABED1D为四棱锥A﹣BED1D．"因为==，点A到平面BED1D的距离h=，所以几何体ABED 1D的体积为：=．…（13分）题型二面面垂直的判定例2.如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点.（1）求证：平面PBE⊥平面PAC；（2）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF并说明理由.【变式1】如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．证明：平面AEC⊥平面BED.…【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴AC⊥BE，则AC⊥平面BED，∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED；【变式2】如图，三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：BD∥平面FGH；（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．【解答】在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G为AC的中点．∴，∴四边形CFDG是平行四边形，∴DM=MC．又BH=HC，。