空间中的垂直关系(一)
7.5 空间中的垂直关系
一、直线与平面垂直 1.直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们 l⊥α .直线l叫做 就说直线l与平面α互相垂直，记作 平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时, 它们唯一的公共点P叫做垂足.
根据定义，过一点 有且只有一条 直线与已知平面垂 直；过一点 有且只有一个平面 与已知直线垂直.
【评析】线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线
和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,是寻
找线线垂直的重要依据.
＊对应演练＊
如图,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作 AE⊥SB交SB于E,过E作EF⊥SC交SC于F. (1)求证:AF⊥SC; (2)若平面AEF交 SD于G,求证:AG⊥SD.
2.判定定理和性质定理 （1）判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则 该直线与此平面垂直. 垂直于同一个平面的两条直线平行 . （2）性质定理：
判定 图 形
a ⊥ b, b ⊂α
性质
(b为a内的 a ⊥ m , a ⊥ n, 条 a // b, a ⊥ α a // b, a ⊂α a ⊥ b, a ⊥ α 任一条直 m n = O 件 线) m ⊂α , n ⊂α 结 论
（1）平面BDM⊥平面ACE； （2）平面DEA⊥平面ECA.
a ⊥a
a ⊥a
b⊥a
a ⊥b
a // b
3.直线和平面所成的角 一条直线PA和一个平面α相 交， 但不和这个平面垂直 ，这条直线叫做这个平面的斜 线，斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的 一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做 斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上 的 射影所成的锐角 ，叫做这条直线和这个平面所成的 角. 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角 是 直角 ；一条直线和平面平行,或在平面内，我们 0° 的角. 说它们所成的角是 二、平面与平面垂直
第一章1.2.3空间中的垂直关系1教案教师版
1.2.3空间中的垂直关系(一)【学习要求】1．理解直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理及其性质定理．3．会应用两定理解决问题．【学法指导】借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义；通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理及性质定理；通过运用两定理感悟和体验线面垂直转化为线线垂直的思想方法.填一填：知识要点、记下疑难点1．如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．2．如果一条直线AB和一个平面α相交于点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线得垂面，交点叫做垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．3．线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．4．线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 .研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]生活中处处都有直线和平面垂直的例子，如旗杆和地面、路灯与地面等等．在判断线面平行时我们有判定定理，那么判断线面垂直又有什么好办法呢？本节我们就来研究这一问题．探究点一直线与平面垂直的定义问题1你能举出在日常生活中给人以直线与平面垂直的例子吗？答：旗杆与地面的关系，给人以直线与平面垂直的形象；大桥的桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象．问题2在平面内，如果两条直线互相垂直，则它们一定相交．在空间中，两条互相垂直的直线也一定相交吗？你能举例说明吗？答：不一定．在空间中，两条互相垂直相交的直线中，如果固定其中一条，让另一条平移到空间的某一个位置，就可能与固定的直线没有公共点，这时两条直线为异面直线，它们同样是互相垂直．小结：空间两直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．问题3在平面中，到线段AB两端距离相等点的集合是线段的垂直平分线，在空间中，线段AB的垂直平分线有多少条？AB的这些垂直平分线构成的集合是怎样的图形？答：容易发现，空间中线段AB的垂直平分线有无数多条，它们构成的集合是一个平面．问题4结合对下列问题的思考，试着说明直线和平面垂直的意义．(1)如图，阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗？答：垂直关系，所成的角度不变，都为90°.(2)旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′的位置关系又是什么？依据是什么？由此得到什么结论？答：垂直关系，依据是空间两直线垂直的定义．得到的结论是：如果一条直线与平面垂直，则这条直线垂直于该平面内的任意一条直线．问题5通过上述分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？答：直线与平面垂直的定义：如果一条直线AB和一个平面α相交于一点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足，垂线上一点到垂足间的线段叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．问题6如何画直线与平面垂直？如何用符号表示直线与平面垂直？答：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.问题7若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？答：不一定垂直，有可能平行或者相交．探究点二直线与平面垂直的判定定理问题1通常定义可以作为判定的依据，那么用上述定义判定直线与平面垂直是否方便？为什么？答：不方便，因为要验证直线垂直平面内所有的直线，这实际上是很困难的．问题2请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触)，问：折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？答： 从实验可知：当AD 与BC 不垂直时，翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕AD 与桌面不垂直；当AD 与BC 垂直时，翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕AD 与桌面垂直．问题3 由折痕AD ⊥BC ，翻折之后垂直关系不变，即AD ⊥CD ，AD ⊥BD.由此你能得到什么结论？答：若平面外一条直线与平面内两条相交直线垂直且相交，则该直线垂直这个平面．问题4 如图，把AD 、BD 、CD 抽象为直线l 、m 、n ，把桌面抽象为平面α，l 与α垂直的条件是什么？ 答：条件是l 与平面α内的两条相交直线m ，n 垂直且相交．问题5 如图，若α内两条相交直线m 、n 与l 无公共点且l ⊥m 、l ⊥n ，我们可以把直线l 平移到交点处，由此你能给出判定直线与平面垂直的方法吗？答：线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．问题6 如何用符号语言表示直线与平面垂直的判定定理？答： ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂αm∩n ＝P l ⊥m l ⊥n⇒l ⊥α即：线线垂直⇒线面垂直． 例1 已知：a ∥b ，a ⊥α.求证：b ⊥α.证明 在平面α内作两条相交直线m ，n.因为直线a ⊥α，根据直线与平面垂直的定义知a ⊥m ，a ⊥n.又因为b ∥a ，所以b ⊥m ，b ⊥n.又因为m ⊂α，n ⊂α，m ，n 是两条相交直线，所以b ⊥α.小结：推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．跟踪训练1 已知：直线l ⊥平面α，直线m ⊥平面α，垂足分别为A 、B ，如图，求证：l ∥m.证明：假设直线m 不与直线l 平行，过直线m 与平面α的交点B ，作直线m′∥l ，由直线与平面垂直的判定定理的推论可知m′⊥α，设m 和m′确定的平面为β，α与β的交线为a ，因为直线m 和m′都垂直于平面α. 所以直线m 和m′都垂直于交线a.因为在同一平面内，通过直线上一点与已知直线垂直的直线不可能有两条，所以直线m 和m′必重合，即l ∥m.小结：推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．例2 过一点和已知平面垂直的直线只有一条．已知：平面α和一点P(如下图)．求证：过点P 与平面α垂直的直线只有一条．证明：不论点P 在α外或内，设PA ⊥α，垂足为A(或P)．如果过点P ，除直线PA ⊥α外，还有一条直线PB ⊥α，设PA ，PB 确定的平面为β，且α∩β＝a ，于是在平面β内过点P 有两条直线PA ，PB 垂直于交线a ，这是不可能的．所以过点P 与α垂直的直线只有一条．小结：如果直接证明比较难或感觉无从下手，可以假设结论不成立，然后设出成立的结论，由此推理得出矛盾，从而说明原结论成立．跟踪训练2 已知：直线l ⊥平面α，垂足为A ，直线AP ⊥l. 求证：AP 在平面α内．证明：设AP 与l 确定的平面为β，假设AP 不在平面α内，则设平面β与平面α交于直线AM ，如下图所示：因为l ⊥α，AM ⊂α，所以l ⊥AM ，又因为AP ⊥l ，所以在平面β内过一点A 存在两条直线垂直于l ，这是不可能的，所以AP 在平面α内．例3 有一根旗杆高8 m(如图)，在它的顶点处系两条长10 m 的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点(与旗杆脚不在同一条直线上)．如果这两点与旗杆脚距 6m ，那么旗杆就与地面垂直，为什么？解：如题图，旗杆PO ＝8，两绳子长PA ＝PB ＝10，OA ＝OB ＝6，A ，O ，B 三点不共线，因此A ，O ，B 三点确定平面α，因为PO 2＋AO 2＝PA 2，PO 2＋BO 2＝PB 2，所以PO ⊥OA ，PO ⊥OB ，又OA∩OB ＝O.所以OP ⊥α，因此旗杆与地面垂直．小结：证明线面垂直的一般思路是依据线面垂直的判定定理，寻找满足定理的条件，当条件满足了，也就证明了线面垂直；线面垂直的定义说明了直线垂直平面，则直线垂直这个平面内的任意直线，常用此性质证，线面垂直线线垂直．跟踪训练3如图，直四棱柱A′B′C′D′—ABCD中，底面四边形满足什么条件时，A′C⊥B′D′？为什么？解：四边形ABCD的两条对角线互相垂直时，A′C⊥B′D′.因A′A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A′A⊥BD，又因AC⊥BD，A′A∩AC＝A，所以BD⊥A′C.由B′D′∥BD，得A′C⊥B′D′.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是(D)A．a⊥β B．a∥βC．a⊂β D．a⊂β或a∥β2．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(A)A．平行B．相交C．异面D．垂直3．如图所示，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.解析：∵AF、DE垂直于同一平面ABCD，∴AF∥DE，又∵AF＝DE，∴四边形ADEF为矩形，∴EF＝AD＝6.课堂小结：1．直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2．直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线面平行．3．“垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“垂直于同一直线的两个平面互相平行”都是真命题．但“垂直于同一直线的两条直线互相平行”、“垂直于同一平面的两个平面互相平行”都是假命题．。
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
空间几何中的垂直关系
空间几何中的垂直关系空间几何是数学中的一个重要分支，研究了在三维空间中的图形、形态和位置关系。
其中垂直关系是几何中的基本概念之一，它在建筑、工程、设计等领域都有广泛的应用。
本文将介绍空间几何中的垂直关系及其相关概念和性质。
1. 垂直关系的定义在空间几何中，两条直线、两个平面或者两个曲面相互垂直，意味着它们的方向互相垂直，不在同一平面上，并且它们的夹角是90度。
具体来说，垂直关系可以分为以下几种情况：1.1 直线的垂直关系空间中的两条直线相互垂直的判定条件有多种，最常用的方法是利用两条直线的方向向量之间的垂直性。
设直线L1的方向向量为a，直线L2的方向向量为b，若a·b=0，则直线L1与直线L2垂直。
1.2 平面的垂直关系两个平面相互垂直的判定方法一般都涉及到它们的法向量。
设平面P1的法向量为n1，平面P2的法向量为n2，若n1·n2=0，则平面P1与平面P2垂直。
1.3 直线与平面的垂直关系直线与平面相互垂直的条件也涉及到它们的方向向量和法向量。
设直线L的方向向量为a，平面P的法向量为n，若a·n=0，则直线L与平面P垂直。
2. 垂直关系的性质垂直关系有一些重要的性质，下面将介绍几个常见的性质。
2.1 垂直平面的夹角如果两个平面相互垂直，则它们的夹角是90度。
这一性质在空间几何中非常重要，可以用来判断两个平面是否相互垂直。
2.2 垂直直线与平面的关系如果一条直线垂直于一个平面，那么它一定位于该平面上的某条直径上。
这一性质可以应用到建筑设计、物理力学等领域。
2.3 垂直向量与平面的关系设一个向量与平面上的任意一条向量都垂直，那么这个向量一定垂直于该平面。
这一性质常用于计算向量与平面的垂直关系。
3. 应用实例垂直关系在实际应用中有很多场景，下面举几个例子进行说明。
3.1 平面墙与地板的垂直关系在建筑设计中，我们常常需要确保墙面与地板垂直，以保证建筑的稳定性和美观性。
3.2 直线与曲面的垂直关系在机械制造中，我们需要确保某些直线与曲面垂直，来实现零件的配合与连接。
空间中的垂直关系(一)
1.2.3 空间中的垂直关系(一)一、基础过关1． 下列命题中正确的个数是 ( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线；④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直．A ．0B ．1C ．2D ．32． 空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A ．垂直且相交B ．相交但不一定垂直C ．垂直但不相交D ．不垂直也不相交 3． 若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )① ⎭⎪⎬⎪⎫m∥n m⊥α⇒n⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αn⊥α⇒m∥n； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αn∥α⇒m⊥n; ④ ⎭⎪⎬⎪⎫m∥αm⊥n ⇒n⊥α. A ．1 B ．2 C ．3 D ．44． 如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B的任一点，则下列关系不正确的是 ( )A ．PA⊥BCB ．BC⊥平面PACC ．AC⊥PBD ．PC⊥BC5． 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为边BC 、CD 的中点，H 是EF 的中点．现沿AE 、AF 、EF 把这个正方形折成一个几何体，使B 、C 、D 三点重合于点G ，则下列结论中成立的是________．(填序号)①AG⊥平面EFG ；②AH⊥平面EFG ；③GF⊥平面AEF ；④GH⊥平面AEF.6． 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝______.7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．8．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.二、能力提升9．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为 ( )A．4 B．3 C．2 D．110．从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果这些斜线与平面成等角，有如下命题：①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的内心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．411．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．12．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC.三、探究与拓展13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．求证：MN⊥平面A1BC.答案1．B 2.C 3.C 4.C 5．① 6．90°7．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D.又∵CD⊥平面ADD 1A 1，∴CD⊥AD 1.∵A 1D∩CD＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC. 又∵MN⊥平面A 1DC ， ∴MN∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC. ∴ON 綊12CD 綊12AB ， ∴ON∥AM.又∵MN∥OA， ∴四边形AMNO 为平行四边形， ∴ON＝AM.∵ON＝12AB ，∴AM＝12AB ， ∴M 是AB 的中点． 8．证明 (1)∵PA⊥底面ABCD ，∴CD⊥PA. 又矩形ABCD 中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A ，∴CD⊥平面PAD ，∴CD⊥PD.(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG. 又∵G、F 分别是PD ，PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ， ∴四边形AEFG 是平行四边形， ∴AG∥EF. ∵PA＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG⊥PD，∴EF⊥PD， ∵CD⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD. ∴CD⊥AG.∴EF⊥CD. ∵PD∩C D ＝D ，∴EF⊥平面PCD.9．A 10．A 11．612．证明 (1)∵SA⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴SA⊥BC. 又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A ，∴BC⊥平面SAB.又∵AQ ⊂平面SAB ， ∴BC⊥AQ. 又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B ， ∴AQ⊥平面SBC.(2)∵AQ⊥平面SBC ，SC ⊂平面SBC ，∴AQ⊥SC. 又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A ，∴SC⊥平面APQ.∵PQ ⊂平面APQ ，∴PQ⊥SC.13．证明 如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC 1，得BC⊥平面ACC 1A 1.连接AC 1，则BC⊥AC 1.由已知，可知侧面ACC1A 1是正方形，所以A 1C⊥AC 1.又BC∩A 1C ＝C ，所以AC 1⊥平面A 1BC.因为侧面ABB 1A 1是正方形，M 是A 1B 的中点，连接AB 1，则点M 是AB 1的中点．又点N 是B 1C 1的中点，则MN 是△AB 1C 1的中位线，所以MN∥AC 1. 故MN⊥平面A 1BC.。
人教版高数必修二第6讲：空间中的垂直关系(教师版)
空间中的垂直关系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题．一、直线与平面垂直1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互垂直．2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB⊥α，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离3.直线和平面垂直的判定4.(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．符号语言：l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α，如图：(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．符号语言：a∥b，a⊥α⇒b⊥α，如图：5．直线与平面垂直的性质(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，如图：(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，如图：6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．(2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．(3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．7．(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．二、直线和平面平行1．平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作α⊥β.2．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．符号表示：a⊥α，a⊂β⇒α⊥β，如图：3．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．符号表示：α⊥β，α∩β＝CD，BA⊂α，BA⊥CD，B为垂足⇒BA⊥β，如图：推论：如果两个平面垂直，那么过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．类型一线面垂直例1：如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.解析：由于D是AC中点，SA＝SC，∴SD是△SAC的高，连接BD，可证△SDB≌△SDA.由AB＝BC，则Rt△ABC是等腰直角三角形，则BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理即可得证．答案：(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，连接BD，则AD＝DC＝BD，又∵SB＝SA，SD＝SD，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥面ABC.(2)∵BA＝BC，D为AC中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥面ABC，∴SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，∴BD⊥平面SAC.练习1：((2014·河南南阳一中高一月考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：EF⊥平面PCD.答案：如图，取PD的中点H，连接AH、HF.∴FH 12 CD，∴FH AE，∴四边形AEFH是平行四边形，∴AH∥EF. ∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD.又∵PA⊥底面ABCD，∴PA ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD .又∵AH ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AH .又∵PA ＝AD ，∴AH ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， ∴AH ⊥平面PCD ，又∵AH ∥EF ，∴EF ⊥平面PCD .练习2：如右图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为ABCD 的中心， 求证：1B O ⊥平面PAC 答案：连结111,,PO PB B D ,由正方体的性质可知，1,AC BD AC BB ⊥⊥,且1BD BB B =I ∴AC ⊥面11BDD B 又∵BO ⊂面11BDD B ∴1B O AC ⊥ 设AB a =，则11121,2,2OB OD a B D a PD PD a ===== ∵2222222222221113113,22424OB OB BB a a a OP PD DO a a a =+=+==+=+= 222222111119244PB B D PD a a a =+=+=∴2221OB PO PB += ∴1B O PO ⊥ ∵PO AC O =I∴1B O ⊥平面PAC练习3：在如右图，在空间四边形ABCD 中，,AB AD BC CD ==, 求证：AC BD ⊥答案：设E 为BD 的中点，连结,AE EC∵AB AD = ∴BD AE ⊥ 同理可证：BD EC ⊥又∵AE EC E =I ∴BD ⊥面AEC∵AE ⊂面AEC ∴BD AC ⊥例2：如图在△ABC 中，∠B ＝90°，SA ⊥平面ABC ， 点A 在SB 和SC 上的射影分别是N 、M ，求证：MN ⊥SC .解析：根据直线平面垂直的性质，找到所求垂直的线段中的 一条与另一条所在的平面垂直，即可证明这两条线段互相垂直． 答案：证明：∵SA ⊥平面ABC ， ∴SA ⊥BC ，又∠ABC ＝90°， ∴BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面SAB ， ∴AN ⊥BC ，又AN ⊥SB ，∴AN ⊥平面SBC ，E ABCDOP D 1C 1B 1A 1DCBA∴AN ⊥SC ，又AM ⊥SC ， ∴SC ⊥平面AMN ， ∴MN ⊥SC .练习1：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1D 、AC 上的点，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .求证：EF ∥BD 1. 答案：如图所示，连接A 1C 1、C 1D 、BD 、B 1D 1. 由于AC ∥A 1C 1，EF ⊥AC ，∴EF ⊥A 1C 1. 又EF ⊥A 1D ，A 1D ∩A 1C 1＝A 1， ∴EF ⊥平面A 1C 1D . ∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴BB 1⊥A 1C 1.又∵四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1. ∵BB 1∩B 1D 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1D . 而BD 1⊂平面BB 1D 1D ，∴BD 1⊥A 1C 1. 同理，DC 1⊥BD 1，DC 1∩A 1C 1＝C 1， ∴BD 1⊥平面A 1C 1D . 由①②可知EF ∥BD 1.练习2：在空间中，下列命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②垂直与同一直线的两条直线平行；③平行与同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的由___． 答案：①④练习3：已知,,a b c 及平面β，则下列命题正确的是（ ）A 、////a a b b ββ⎫⇒⎬⊂⎭B 、a a b b ββ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭C 、//a c a b b c ⊥⎫⇒⎬⊥⎭D 、//a a b b ββ⊂⎫⇒⎬⊂⎭ 答案：B例3：如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.求证：BD ⊥平面PAC .解析：通过计算得到直角，进而得到垂直． 答案：∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA .∵∠BAD 和∠ABC 都是直角，∴tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BCAB＝3， ∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°.∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥AC ， 又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC .练习1：在正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点， O 为底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面PAC . 答案：如图所示，连接AB 1、CB 1、B 1D 1、PB 1、PO .设AB ＝a ，则AB 1＝CB 1＝B 1D 1＝2a ，AO ＝OC ＝22a ， ∴B 1O ⊥AC .∵B 1O 2＝OB 2＋BB 21＝⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＋a 2＝32a 2，PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋(2a )2＝94a 2，OP 2＝PD 2＋DO 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＝34a 2，∴B 1O 2＋OP 2＝PB 21，∴B 1O ⊥OP . 又PO ∩AC ＝O ，∴B 1O ⊥平面PAC . 练习2:如图，若测得旗杆PO ＝4，P A ＝PB ＝5，OA ＝OB ＝3，则旗杆PO 和地面α的关系是________．答案：∵PO ＝4，OA ＝OB ＝3，P A ＝PB ＝5，∴PO 2＋AO 2＝P A 2，PO 2＋OB 2＝PB 2， ∴PO ⊥OA ，PO ⊥OB .又OA ∩OB ＝O ，∴PO ⊥平面AOB ，∴PO ⊥地面α.类型二平面与平面垂直例4：(2014·山东临沂高一期末测试)如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点，求证：平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1.解析：运用平面垂直的判定．答案：∵△ABC 为正三角形，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC .又∵CC 1⊥底面ABC ，AD ⊂平面ABC ， ∴CC 1⊥AD .又BC ∩CC 1＝C ， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1. 又AD ⊂平面AC 1D ，∴平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1.练习1：三棱锥S －ABC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝60°，∠ASC ＝60°，SA ＝SB ＝SC . 求证：平面ABC ⊥平面SBC .答案：解法一：取BC 的中点D ，连接AD 、SD .由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角形，则AB ＝AC . ∴AD ⊥BC ，SD ⊥BC .令SA ＝a ，在△SBC 中，SD ＝22a ， 又∵AD ＝AC 2－CD 2＝22a ，∴AD 2＋SD 2＝SA 2. 即AD ⊥SD .又∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面SBC . ∵AD ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面SBC .解法二：∵SA ＝SB ＝SC ＝a ， 又∵∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∴△ASB 、△ASC 都是等边三角形． ∴AB ＝AC ＝a .作AD ⊥平面SBC 于点D ，∵AB ＝AC ＝AS ，∴D 为△SBC 的外心． 又∵△BSC 是以BC 为斜边的直角三角形， ∴D 为BC 的中点，故AD ⊂平面ABC . ∴平面ABC ⊥平面SBC .练习2：如右图,在四面体ABCD 中，2,BD a AB AD CB CD a =====．求证：平面ABD ⊥平面BCD ． 答案：取BD 的中点E ，连结,AE EC∵AB AD = ∴AE BD ⊥同理CE BD ⊥ 在△ABD 中，12,2AB a BE BD a === ∴2222AE AB BE a =-=同理22CE a = 在△AEC 中，2,2AE CE a AC a ===∴222AC AE CE =+ ∴AE CE ⊥ ∵BD CE E =I ∴AE ⊥平面BCD ∵AE ⊂平面ABD ∴平面ABD ⊥平面BCD 练习3：空间四边形ABCD 中，若,AD BC BD AD ⊥⊥，那么有（ ） A 、平面ABC ⊥平面ADC B 、平面ABC ⊥平面ADBC 、平面ABC ⊥平面DBCD 、平面ADC ⊥平面DBC 答案：D例5：已知P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AC .解析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面中，使另一条直线与该平面垂直，即由线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到：面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直． 答案：如图，在平面P AC 内作AD ⊥PC 于点D ，∵平面P AC ⊥平面PBC ，AD ⊂平面P AC ，且AD ⊥PC ， ∴AD ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴P A ⊥BC ，∵AD ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ， 又AC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥AC .练习1：已知三棱锥P －ABC 中，侧面PAC 与底面ABC 垂直，PA ＝PB ＝PC . (1)求证：AB ⊥BC ；(2)若AB ＝BC ，过点A 作AF ⊥PB 于点F ，连接CF ，求证：平面PBD ⊥平面AFC .ABCDE答案：如图所示：(1)取AC的中点D，连接PD、BD，∵PA＝PC，∴PD⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，∴PD⊥平面ABC，D为垂足．∵PA＝PB＝PC，∴DA＝DB＝DC，∴AC为△ABC的外接圆的直径，故AB⊥BC.(2)∵PA＝PC，AB＝BC，PB＝PB，∴△ABP≌△CBP.∵AF⊥PB，∴CF⊥PB，又AF∩CF＝F，∴PB⊥平面AFC，又PB⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面AFC.练习2：已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，如图所示．求证：P A⊥平面ABC.答案：如图所示，在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面PAC，又∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥DF，同理可证：DG⊥PA，∵DF∩DG＝D，且DF⊂平面ABC，DG⊂平面ABC，∴PA⊥平面ABC.1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是() A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定答案：B2．若一条直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l与α的关系是()A．平行B．相交C．垂直D．不确定答案：D3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个命题：①α∥β，l⊄β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确的两个命题是()A．①②B．③④C．②④D．①③答案：D4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC 答案：D5．若有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是()A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α 答案：D6.Rt △ABC 所在平面α外一点P 到直角顶点的距离为24，到两直角边的距离都是610，那么点P到平面α的距离等于__________．答案：12_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是()A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．不能确定 答案：B2．直线a ⊥直线b ，a ⊥平面β，则b 与β的位置关系是()A ．b ⊥βB ．b ∥βC ．b ⊂βD ．b ⊂β或b ∥β 答案：D 3．下列命题①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b ； ②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ∥b ⇒b ⊥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ∥α⇒a ⊥b; ④⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥ba ⊥b b ⊂αc ⊂α⇒a ⊥α； ⑤⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α； ⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥a ⇒b ∥α. 其中正确命题的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案：A4.．若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，那么a、b的位置关系是()A．无公共点B．平行C．既不平行也不相交D．相交答案：A5．直线a与平面α内的两条直线都垂直，则a与α的位置关系是()A．垂直B．平行C．a在平面α内D．不确定答案：D6．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则() A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直答案：C7．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为____________________．答案：MN⊥AB8．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A.答案：如图所示，连接A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．取BC的中点N，连接AN、DN，则DN∥A1B.又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN.又△ABC是正三角形，∴AN⊥BC.又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABCD∩平面BB1C1C＝BC，AN⊂平面ABC，∴AN⊥平面BB1C1C.又B1C⊂平面BB1C1C，∴B1C⊥AN.又AN⊂平面AND，DN⊂平面AND，AN∩DN＝N，∴B1C⊥平面AND.又C1A⊂平面AND，∴B1C⊥AC1.能力提升9．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个B．至多有一个C．有无数多个D．一定不存在答案：B10.已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝2r，则球的体积与三棱锥体积之比是()A．πB．2πC．3πD．4π答案：D11.(2014·浙江文，6)设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案：C12.已知平面ABC外一点P，且PH⊥平面ABC于H.给出下列4个命题：①若P A⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若P A、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则P A＝PB＝PC；④若P A＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案：D13.平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹为________．(填直线、圆、其它曲线)答案：直线14.如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，P A⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．答案：215.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD.底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________________时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的即可)答案：BM⊥PC（其它合理答案亦可）16.如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中点．(1)求证：DE＝DA；(2)求证：平面BDM⊥平面ECA；(3)求证：平面DEA⊥平面ECA.答案：(1)取EC的中点F，连接DF.∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.∵BD ∥CE ，∴BD ⊥平面ABC .在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，EF ＝12CE ＝DB ，DF ＝BC ＝AB ， ∴Rt △EFD ≌Rt △DBA .故DE ＝DA .(2)取AC 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN CF . ∵BD CF ，∴MN BD ，∴N ∈平面BDM . ∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN .又∵AC ⊥BN ，EC ∩AC ＝C ，∴BN ⊥平面ECA . 又∵BN ⊂平面BDM ，∴平面BDM ⊥平面ECA .(3)∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ，∴DM ⊥平面ECA .又∵DM ⊂平面DEA ，∴平面DEA ⊥平面ECA .。
空间中的垂直关系
8． 5 空间中的垂直关系1．线线垂直如果两条直线所成的角是______ ( 无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)定义：如果直线I与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说__________________________ ，记作_______ .直线I叫做______________ ，平面a叫做_______________ .直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做________ .垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的______________ .(2)判定定理：一条直线与一个平面内的________________ 都垂直，则该直线与此平面垂直.推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.用符号表示： a // b,(3)__________________________________________ 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线 .3.直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 ___________ ，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°勺角.任一直线与平面所成角B的范围是 ____________ .4.二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的________________________ 叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 ______________ 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是 _______________ ．5．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_________________ ，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的__________ ，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于_____ 的直线与另一个平面垂直．自查自纠1．直角2.(1)直线I与平面a互相垂直I丄a平面a的垂线直线I 的垂面垂足距离(2)两条相交直线(3)平行3.锐角[0；90°4.(1)两个半平面所组成的图形(2)垂直于棱[0 ° 180°]5.(1)直二面角(2)垂线(3)交线0 （2017江西宜春四校联考）下列命题中错误的是（ ）A •如果平面a 丄平面3那么平面 a 内一定存在直线平行于平面 3B.如果平面 a 不垂直于平面 3,那么平面a 内一定不存在直线垂直于平面3C. 如果平面 a 丄平面 Y 平面3丄平面 Y a Q 3 =丨,那么I 丄平面 丫 D .如果平面a 丄平面3那么平面a 内所有直线都垂直于平面 3解：对于选项A ,可在a 内作直线平行于交线即可， A 正确；对于选项B ，假设在a 内存在直线垂直于平面 3则a 丄3这与已知矛盾，所以原命题成立，B 正确；对于选项C ,因为平面a 丄平面Y 所以在平面 丫内存在一条直线m 丄a 所以m i l.同理可知在平面 丫内存在直线n 丄3 n 丄I.若直线m , n 重合，则面a 与3重合或平 行，这与已知矛盾，所以直线 m , n 相交，又I 丄m , I 丄n ,所以I 丄面Y C 正确；对于选项 D ,易知a 与3的 交线I 并不垂直于面 3, D 错误.故选D.° （2017甘肃马营中学月考）若m 、n 是两条不同的直线,a 、3 丫是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ )A .若 m? 3 ,a 丄 3 ,贝U m 丄aB .若 aCl Y= m , 3C Y = n , m / n ,贝U a/ 3 C .若 m ± 3, m //a则a 丄3D .若 a 丄Y a 丄 3则 3-L Y解：若m? 3 , a 丄3 ,贝y m 与a 的关系可能平行也可能相交或 m? a ,贝y A 为假命题；选项 B 中，a 与3选C.而不充分条件.故填必要不充分.❺（2017重庆八中适应性考试）在正四面体P-ABC 中，D , E , F 分别是AB , BC , CA 的中点，下面四个结论 中正确的是 _________________ . ① BC //平面PDF ； ② DF 丄平面FAE ；③ 平面PDF 丄平面 ABC ； ④平面PAE 丄平面 ABC.解：由DF // BC 可得BC //平面PDF ,故①正确；若PO 丄平面ABC ,垂足为O ,贝U O 在AE 上,贝U DF 丄PO , 又DF 丄AE ,故DF 丄平面FAE ,故②正确；由PO 丄平面ABC , PO?平面PAE ,可得平面 FAE 丄平面 ABC , 故④正确，平面PDF 不过PO ,故③不正确.故填①②④.A . A 1E 丄 DC 1B . A 1E 丄 BDC . A 1E 丄 BC 1D . A 1E 丄AC解:由正方体的性质，得 A 1B 1 丄 BC 1 , BQ 丄 BC 1 ,所以 BG 丄平面 A 1B 1CD ,又 A 1E?平面 A 1B 1CD ,所以 A 1E 丄BC 1 ,故选C.（2017全国卷川）在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中, E 为棱CD 的中点，贝U（)❹ 若I , m 是两条不同的直线， m 垂直于平面a ,则"I 丄m ”是"I // a”的 _____________ 条件.解：若I 丄m , m 丄平面a,贝y I //a 或I? a ；若I //a, m 丄平面a,贝U I 丄m ,所以"I 丄m ”是"I // a”的必要 可能平行也可能相交，则B 为假命题；选项 D 中3与丫也可能平行或相交（不一定垂直），则D 为假命题.»为类解析触类旁邂类型一线线垂直问题EB 如图，在四棱台ABCD-A I B I C I D I中，D i D丄平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB= 2AD, AD =A1B1,Z BAD = 60°(1)证明：AA i 丄BD ；⑵证明：CC i//平面A I BD.证明：(1)因为D I D丄面ABCD，且BD?面ABCD，所以D i D丄BD.又因为AB = 2AD，/ BAD = 60°在厶ABD 中，由余弦定理得BD2= AD2+ AB2—2AD ABcos60°= 3AD2,所以AD2+ BD2= AB2所以AD丄BD.又因为AD n D I D = D，所以BD丄面ADD i A i.又AA I?面ADD I A I,所以AA I±BD.(2)连接AC, A i C i,设AC n BD = E,连接A I E.i因为四边形ABCD为平行四边形，所以EC = ^AC.由棱台定义及AB = 2AD = 2A i B i知A i C i // EC且A i C i = EC,所以四边形A I ECC I为平行四边形.所以CC i// A I E.又因为A I E?面A I BD, CC i?面ABD,所以CC I // 面A I BD.【点拨】本题主要考查线线、线面位置关系•第(i)问证明线线垂直，其实质是通过证明线面垂直，再化归为线线垂直；第(2)问证明线面平行，需转化为证明线线平行，由于面A I BD中没有与CC I平行的直线，故需作辅助线.(20i7武汉市武钢第三子弟中学月考）如图，三棱柱ABC-A i B i C i 中，CA= CB , AB = AA i , / BAA i= 60°.f(i)证明：AB 丄A I C ;⑵若AB= CB = 2, A I C = .6,求三棱柱ABC-A i B i C i的体积. 解：⑴证明：取AB的中点O,连接OC, OA i, A I B.因为CA = CB，所以0C丄AB.由于AB = AA i,/ BAA i= 60° °故厶AA i B为等边三角形，所以OA i丄AB.因为OC A OA i= 0,所以AB丄平面OA i C.又A i C?平面OA i C，故AB丄A i C.⑵由题设知△ ABC与厶AA i B都是边长为2的等边三角形，所以OC = OA i = .3. 又A i C = ■.6，贝U A i C2= OC2+ OA i,故OA i丄OC.因为OC A AB= O,所以OA i丄平面ABC, OA i为三棱柱ABC-A i B i C i的高.乂△ ABC 的面积S SBC= , 3,故三棱柱ABC-A i B i C i 的体积为V = S^ABC X OA i = 3.类型二线面垂直问题GE 如图，四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD , AB丄AD，点E在线段AD上，且CE // AB.（i）求证：CE丄平面PAD ;⑵若PA= AB= i , AD = 3, CD =运，/ CDA = 45° 求四棱锥P-ABCD 的体积. 解：（1）证明：因为PA丄底面ABCD , CE?平面ABCD，所以PA丄CE.因为AB丄AD, CE / AB，所以CE丄AD.又PA A AD = A，所以CE丄平面PAD.(2)由(1)可知CE丄AD.在Rt △ ECD 中，CE = CD sin45 = 1, DE = CD c os45°= 1, 又因为AB = 1，贝U AB = CE.又CE // AB, AB丄AD,所以四边形ABCE为矩形，四边形ABCD为梯形.因为AD = 3，所以BC = AE= AD —DE = 2,1 1 5S ABCD = 2(BC + AD) AB =彳(2 + 3)X 1 = §,1 1 5 5VP-ABCD=3SABCD'PA=3x只1=6.于是四棱锥P-ABCD的体积为|.【点拨】证明线面垂直的基本思路是证明该直线和平面内的两条相交直线垂直，亦可利用面面垂直的性质定理来证明；第（2）问的难点在于求底面四边形ABCD的面积，注意充分利用题设条件，先证明底面ABCD是直角梯形，从而求出底面面积，最后求体积.（2017锦州市第二高级中学月考）如图，在正方体ABCD-A i B i C i D i中，E, F , P, Q, M, N分别是棱AB, AD , DD i, BB i, “B i, AQ i 的中点•求证：⑴直线BC i〃平面EFPQ ;⑵直线AC」平面PQMN.证明：（1）如图，连接AD i，由ABCD-A i B i C i D i是正方体，知AD i II BC i, 因为F , P分别是AD, DD i的中点，所以FP II AD i,从而BC i I FP.而FP?平面EFPQ，且BC i?平面EFPQ , 故直线BC i I平面EFPQ.⑵如图，连接AC, BD，贝U AC丄BD.由CC i丄平面ABCD , BD?平面ABCD，可得CC i丄BD .又AC A CC i = C,所以BD丄平面ACC i A i.而AC i?平面ACC i A i,所以BD丄AC i.因为M, N分别是A i B i, A i D i的中点，所以MN I BD，从而MN丄AC i. 同理可证PN丄AC i.又PN A MN = N,所以直线AC i±平面PQMN.类型三面面垂直问题GO）如图所示，在长方体ABCD-A i B i C i D i中，AB = AD = i, AA i= 2, M是棱CC i的中点.B C又A1B1Q B I M = B i,由①②得BM丄平面A I B I M.而BM?平面ABM，所以平面ABM丄平面A i B i M.【点拨】求异面直线所成的角，一般方法是通过平移直线，把异面问题转化为共面问题，通过解三角形求出所构造的角；证明面面垂直，可转化为证明线面垂直，而线面垂直又可以转化为证明线线垂直，在证明过程中，需充分利用规则几何体本身所具有的几何特征简化问题，有时还需应用勾股定理的逆定理，通过计算来证明垂直关系，这在高考题中是常用方法之一.变式.（2017武汉市第四十三中学月考）如图，在五棱锥P-ABCDE 中，PA丄平面ABCDE , AB// CD，/ ABC=45° AB= 2 2, BC = 2AE = 4，三角形PAB是等腰三角形.求证：平面PCD丄平面PAC.证明：因为/ABC = 45° AB= 2 2, BC = 4,所以在△ ABC 中，由余弦定理得，AC2= (2 _ 2)2+ 42-2 X 2_2X 4COS45 = 8,解得AC= 2 ,2，所以AB2+ AC2= 8 + 8 = 16= BC2,即卩AB丄AC,又PA丄平面ABCDE，所以PA丄AB.又FA n AC = A，所以AB丄平面PAC,又AB // CD，所以CD丄平面FAC. 又因为CD?平面PCD，所以平面PCD丄平面PAC.类型四垂直综合问题EE （2017大连经济技术开发区一中月考）如图1，在等腰直角三角形ABC中，/ A = 90° BC= 6, D, E分别是AC ,AB上的点，CD = BE= 2,O为BC的中点.将厶ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A'B-DE ,其中AO = 3.（1）证明：A'O丄平面BCDE ;⑵求二面角A'C--B的平面角的余弦值.解：（1）证明：在图1中，易得OC = 3, AC = 3,2, AD = 2 2.如图示，连接OD , OE，在△ OCD中，由余弦定理可得OD = OC2+ CD2- 2OC CDcos45°= , 5•由翻折不变性可知AD = 2 _2,易得AO2+ OD2= AD2，所以A ‘0丄OD•同理可证A O丄OE.又因为OD n OE = O,所以A O丄平面⑵过O作OH丄CD交CD的延长线于H，连接A H，因为A ‘O丄平面BCDE，易知A H丄CD，所以/ A HO为二面角A‘ C--B的平面角.结合图1可知，H为AC中点，又O为BC中点，故OH = ^AB= 节，从而A H = OH2+ OA 2=亠3°, 所以cos/ A ‘ HO=-°^ =丘A ‘ H 5 '所以二面角A'CD-B 的平面角的余弦值为亠5【点拨】本题主要考查线面垂直及二面角的计算等.(2016全国卷I )如图，在以A , B , C , D , E , F 为顶点的五面体中,(1)证明：平面 ABEF 丄平面EFDC ;⑵求二面角E-BC-A 的余弦值.解：(1)证明：由已知可得 AF 丄DF , AF 丄FE ,又DF n FE = F ，所以AF 丄平面EFDC . 又AF?平面ABEF ，故平面ABEF 丄平面EFDC.⑵过D 作DG 丄EF ，垂足为 G ,由(1)知DG 丄平面ABEF.以G 为坐标原点， G F 的方向为x 轴正方向，|GF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 G -xyz.由(1)知/DFE 为二面角 D-AF-E 的平面角，故 / DFE = 60° 贝U DF = 2, DG可得 A(1 , 4, 0), B(-3,4, 0), E( — 3, 0, 0), D(0, 0, .3).由已知得，AB // EF ，所以 AB //平面 EFDC.又平面 ABCD n 平面 EFDC = CD ，故 AB / CD , CD // EF.由BE // AF ，可得BE 丄平面EFDC ，所以/CEF 为二面角C-BE-F 的平面角，故/CEF = 60°从而可得C(— 2,0, 3),连接 AC ,则 (1 , 0, . 3), EB = (0, 4, 0), AC = (— 3,— 4,3), AB = (— 4, 0, 0).设n = (x , y , z)是平面BCE 的法向量，贝Un EC =0,'x + T 3z = 0,厂即'所以可取n = (3, 0,—*3).InEB = 0,仆 0,m AC = 0,设m 是平面ABCD 的法向量，则m AB = 0,同理可取 m = (0, 3, 4),1. 判断(证明)线线垂直的方法 (1) 根据定义；(2) 如果直线a // b , a 丄c ,贝U b 丄c ;⑶如果直线 a 丄面a, c? a ,贝U a 丄c ;折叠要注意不变量；作二面角，往往要通过作垂线来实现.面ABEF 为正方形，AF = 2FD ,贝U cos 〈n , m >n m|n ||2「19 19 结合图形，得二面角 E-BC-A 的余弦值为一2 .'19/ AFD = 90° 且二面角揭示规漳⑷向量法：两条直线的方向向量的数量积为零.2.证明直线和平面垂直的常用方法（1）利用判定定理：两相交直线a, b? a , a丄c, b± c? c丄a;（2）a // b, a丄 a ? b± a ;⑶利用面面平行的性质：a// 3, a丄a ? a± 3 ；⑷利用面面垂直的性质：a丄3, a A 3 =m, a? a , a丄m? a丄3 ；a丄丫，3丄Y, a A 3 =m? m X 丫.3.证明面面垂直的主要方法（1）利用判定定理：a丄3, a? a ? a丄3 ；（2）用定义证明.只需判定两平面所成二面角为直二面角；（3）如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：a// 3, a丄丫? 3丄丫.4.平面与平面垂直的性质的应用当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线, 把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直（必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系），构造（寻找）二面角的平面角或得到点到面的距离等.5.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化判定定理判定定理线线垂直J *线面垂直・〜面面垂直性质定理性蜃定理6.线面角、二面角求法求这两种空间角的步骤：根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作（找）出该角，再解三角形求出该角，步骤是作（找）?证？求（算）三步曲.也可用射影法：设斜线段AB在平面a内的射影为A B AB与a所成角为0,贝U COS B 厂B厂I|AB|设厶ABC在平面a内的射影三角形为△ A B C 平面ABC与a所成角为0则COS 0 = S： B CS A ABC@|底翻科劃b查漏补缺折展延伸1.（2016浙江）已知互相垂直的平面 a , 3交于直线I •若直线m, n满足m// a, n丄3 ,则（）A . m / lB . m / n C. n丄I D. m± n解：由题意知aA A l，所以l? 3 •因为n丄3所以n丄I•故选C.2.已知a, 3为两个不同的平面，I为直线，若a丄3, a A 3 = I，则（）A .垂直于平面3的平面一定平行于平面aB.垂直于直线I的直线一定垂直于平面aC.垂直于平面3的平面一定平行于直线ID .垂直于直线I的平面一定与平面a, 3都垂直解：由面面垂直的判定定理可知，垂直于直线I的平面一定与平面a, 3都垂直.故选D.3.设m, n是两条不同的直线， a , 3是两个不同的平面.下列命题中正确的是（）A .若a丄 3 m? a , n? 3 ,贝U m± nB.若a// 3 m? a , n? 3 ,则m// nC.若m l n , m? a , n? 3 ,贝U a丄3D .若m±a,m / n ,n / 3 ,贝U a丄3解：若a丄B, m? a , n?卩，贝U m与n可能平行、相交或异面，故A错；若a//®, m? a , n?卩，则m与n可能平行，也可能异面，故B错；若m丄n, m? a , n? B ,贝U a与®可能相交，也可能平行，故C错；对于D项，由m丄a, m / n,得n丄a,又知n // B,故a丄B,所以D项正确.故选D.4.(2017沈阳市第一中学月考)设平面a与平面B相交于直线m,直线a在平面a 内，直线b在平面B内，且b丄m,则"a丄B'是"a丄b”的( )A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解：当a丄B时，由面面垂直的性质定理知b丄a,则b丄a.所以“a丄B”是“a丄b”的充分条件.而当a? a ,且a // m时，因为b丄m,所以b丄a，而此时平面a与平面B不一定垂直.所以“a丄B”不是“ a丄b ”的必要条件.故选A.5.(2015福建质量检查)如图，AB是圆O的直径，VA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A, B的任意一点，M , N分别为VA, VC的中点，则下列结论正确的是( )CA . MN // ABB.MN与BC所成的角为45°C.OC X平面VACD .平面VAC丄平面VBC解：依题意，MN // AC,又直线AC与AB相交，因此MN与AB不平行，A错误；注意到AC丄BC,因此MN 与BC所成的角是90°, B错误；注意到直线OC与AC不垂直，因此OC与平面VAC不垂直，C错误；由于BC丄AC, BC丄VA,因此BC丄平面VAC.又BC?平面VBC，所以平面VBC丄平面VAC, D正确.故选D.6. (2017瓦房店市高级中学月考)如图，在正方形SGG2G3中，E, F分别是G1G2, G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE, SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1, G2, G3三点重合于点G,这样，下列五个结论：(1)SG丄平面EFG ；(2)SD丄平面EFG ；(3)GF丄平面SEF；(4)EF丄平面GSD；(5)GD丄平面SEF.正确的是( )A. (1)和⑶B. ⑵和⑸C. (1)和⑷D. ⑵和⑷解因为正方形中折叠前后都有SG丄GE, SG丄GF，所以SG丄平面EFG.(1)正确，(2)错误:因为SG丄GF, SG丄GD，所以GF并不垂直于SF, GD并不垂直于SD,即卩⑶（5）错误.因为EF丄GD , EF丄SG, GD n SG= G ,所以EF丄面GSD.（4）正确.故选C.7.在正方体ABCD-A 'B 'C 'D中,过对角线BD '的一个平面交AA于E,交CC于F，贝U①四边形BFDE 一定是平行四边形；②四边形BFD E有可能是正方形；③四边形BFD E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD E有可能垂直于平面BB D.以上结论正确的为____________ .（写出所有正确结论的编号）解：根据两平面平行的性质定理可得BFD E为平行四边形，①正确；若四边形BFD E是正方形，则BE丄ED ', 又A ' D '丄EB, A ' D ' n ED ' = D '，所以BE丄面ADD A '，与已知矛盾，②错；易知四边形BFD E在底面ABCD内的投影是正方形ABCD，③正确；当E, F分别为棱AA ', CC '的中点时，EF // AC,又AC丄平面BB D, 所以EF丄面BB D，④正确.故填①③④.8.（2017沈阳市回民中学月考）ABCD是正方形，P为平面ABCD外一点，且PA丄平面ABCD，则平面PAB,平面PBC，平面PCD，平面PAD，平面ABCD这五个平面中，互相垂直的平面有 _________________ 对.解：因为PA丄平面ABCD，所以平面PAD丄平面ABCD，平面PAB丄平面ABCD.又因为AD丄平面FAB，所以平面FAD丄平面PAB,同理可得平面PBC丄平面PAB,平面PAD丄平面PCD，故互相垂直的平面有5对.故填5.9.（2017钟祥市实验中学月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD = a, PA = PC =■, 2a.求证：（1）PD 丄平面ABCD ；⑵平面PAC丄平面PBD.证明：⑴因为PD = a, DC = a, PC= 2a,所以PC2= PD2+ DC2,所以PD 丄DC.同理可证PD丄AD，又AD n DC = D ,所以PD丄平面ABCD.⑵由⑴知PD丄平面ABCD ,所以PD丄AC,而四边形ABCD是正方形，所以AC丄BD，又BD n PD = D，所以AC丄平面PDB.同时AC?平面PAC ,所以平面PAC丄平面PBD.10. （2017谷城县第一中学月考）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD , AB丄AD , AC丄CD，/ABC = 60° PA = AB = BC, E 是PC 的中点.证明：⑴CD丄AE;(2)PD丄平面ABE.证明：⑴ 因为PA丄底面ABCD , CD?平面ABCD，所以PA丄CD.因为AC丄CD , FA Q AC = A,所以CD丄平面FAC.而AE?平面PAC,所以CD丄AE.(2)由FA= AB= BC ,Z ABC= 60 °可得AC = PA•因为E是PC的中点，所以AE丄PC.由⑴知AE丄CD，且PC Q CD = C,所以AE丄平面PCD.而PD?平面PCD，所以AE丄PD.因为PA丄底面ABCD，所以PA丄AB.又因为AB丄AD且PA Q AD = A,所以AB丄平面PAD，而PD?平面PAD,所以AB丄PD.又因为AB Q AE= A,所以PD丄平面ABE.11. (2017 天津)如图，在四棱锥P- ABCD 中，AD 丄平面PDC , AD // BC, PD 丄PB, AD = 1 , BC = 3, CD = 4, PD = 2.AP 5因为PD丄平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以/ DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD // BC, DF // AB,故BF = AD = 1 ,由已知，得CF = BC- BF = 2.又AD 丄DC ,故BC 丄DC ,在Rt△ DCF 中，DF2= DC2+ CF2= 42+ 22= 20, DF = 2 5,所以在Rt△ DPF 中可得sin/ DFP = DD二亠5所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为—.5(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC丄BM，并求MC的值.解：⑴由题设AB= 1, AC = 2,/ BAC = 60°, 可得S A ABC=I' AB - AC • sin60 °= ^3.由PA丄平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高，又PA = 1,所以三棱锥P-ABC的体积⑵证明：在平面ABC内，过点B 作BN丄AC,垂足为N.在平面FAC内，过点N作MN // PA，交PC于点M ,连接BM •由FA丄平面ABC知FA丄AC,又MN // PA，所以MN丄AC•又BN丄AC, BN P MN = N, BN?平面MBN ,MN?平面MBN，所以AC丄平面MBN.又BM?平面MBN，所以AC丄BM.I 3 PM AN 1在Rt△BAN中,AN=ABcos/BAC=2 从而NC=AC-AN乜由MN〃PA，得MM=AN二./ BAC= 60 °V=3 ABC，PA=卡. (2015安徽)如图，三棱锥AB= 1 , AC= 2,(1) 求异面直线A i M和C i D i所成的角的正切值；⑵证明：平面ABM丄平面A i B i M.解：⑴因为C i D i I B i A i,所以/ MA i B i为异面直线A i M和C i D i所成的角，因为A i B i丄平面BCC i B i,所以/ A i B i M =90°而A i B i= i , B i M = . B i C?+ MC i= 2,故tan/ MA i B i = = .2.A iB i(2) 证明：由A i B i丄平面BCC i B i, BM?平面BCC i B i,得"B i丄BM •①由(i)知，B i M = 2,又BM = BC1 2+ CM2= .2, B i B= 2,B i M2+ BM2= B i B2,从而BM 丄B i M.②(1) 求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2) 求证：PD丄平面PBC;⑶求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.解：(1)如图，由已知AD // BC,故/DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD丄平面PDC，所以AD丄PD.在Rt△ PDA 中，由已知，得AP = AD1 2+ PD2= 5.故cos/ DAP = AD =血.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为-?.5⑵证明：因为AD丄平面PDC，直线PD?平面PDC，所以AD丄PD.又因为BC // AD，所以PD丄BC.又PD丄PB，所以PD丄平面PBC.⑶过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.。
垂直关系
空间中的垂直关系●知识梳理线面垂直1.如果一条直线与平面相交并且与平面内的所有直线都垂直，那么就说这条直线与这个平面垂直.2.直线与平面垂直的判定：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.3.直线与平面垂直的性质：如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线平行.面面垂直1.两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.3.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直.【基础练习】1.m、n表示直线，α、β、γ表示平面，给出下列四个命题，其中正确命题为①α∩β=m，n α，n⊥m，则α⊥β②α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m⊥n③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥α④m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βA.①②B.②③C.③④D.②④答案：C2．“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l α⊥”的 必要 条件。
3．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是 平行或相交 。
4.在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。
5．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是平行、相交或在另一个平面内 。
6．在正方体1111ABCD A BC D -中，写出过顶点A 的一个平面__AB 1D 1_____，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。
7.设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则（1）A 点到CD 1的距离为________； （2）A 点到BD 1的距离为________；（3）A 点到面BDD 1B 1的距离为_____________； （4）A 点到面A 1BD 的距离为_____________； （5）AA 1与面BB 1D 1D 的距离为__________.答案：（1）26（2）36（3）22（4）33（5）22【范例导析】例1．如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD =DC ,E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F .（1）证明PA //平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD . 解析：本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.证明：（1）连结AC ,AC 交BD 于O ,连结EO .∵底面ABCD 是正方形,∴点O 是AC 的中点 在PAC ∆中,EO 是中位线,∴PA // EO 而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB , 所以,PA // 平面EDB（2）∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ,∴DC PD ⊥∵PD =DC ,可知PDC ∆是等腰直角三角形,而DE 是斜边PC 的中线, ∴PC DE ⊥. ①同样由PD ⊥底面ABCD ,得PD ⊥BC .∵底面ABCD 是正方形,有DC ⊥BC ,∴BC ⊥平面PDC . 而⊂DE 平面PDC ,∴DE BC ⊥. ②由①和②推得⊥DE 平面PBC . 而⊂PB 平面PBC ,∴PB DE ⊥ 又PB EF ⊥且E EF DE = ,所以PB ⊥平面EFD .例2．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝A CCA＝2 BD，M是EA的中点，求证：（1）DE＝DA；（2）平面BDM⊥平面ECA；（3）平面DEA⊥平面ECA。
空间中的垂直关系
(2)如图，假设存在点F使平面 AFD⊥平面BFC， ∵AD∥BC，∴AD∥平面BFC， ∴AD平行于平面AFD与平面 BFC的交线l. 8分 ∵EP⊥平面ABCD， ∴EF⊥AD，而AD⊥AB， ∴AD⊥平面EAB， ∴l⊥平面EAB，
∴∠AFB是平面AFD与平面BFC 所成二面角的平面角， 10分 ∵P是AB中点，且FP⊥AB， ∴当∠AFB＝90°时，FP＝AP， FP ∴当 FP＝AP，即 ＝1 时，平面 AP AFD⊥平面 BFC.… 12 分
规律方法总结
1．空间的垂直关系有直线与直线 垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂 直．它们之间存在相互转化关系：
2．当有面面垂直时，一般是在 一个面内找(作)交线的垂线，则直线 垂直于面；在证面面垂直时，一般可 先从现有的直线寻找平面的垂线；在 证面面垂直时，一般可先从现有的直 线寻找平面的垂线，若没有，可作辅 助线解决．
(1)求证：DP⊥面EPC； (2)问在EP上是否存在点F使平面
FP AFD⊥平面 BFC？若存在，求出 的值． AP
解：(1)证明：∵EP⊥面 ABCD， ∴EP⊥DP， 又ABCD为矩形， AB=2BC， P、Q分别为AB、CD的中 点， 1 ∴PQ⊥DC且PQ= 2 DC， ∴DP⊥PC， 4分 又∵EP∩PC＝P，∴DP⊥ 面EPC. 6分
2．直线a与b垂直，b⊥平面α，则a与α的 位置关系是( ) A．a⊥α B．a∥α C．a⊂α D．a⊂α或a∥α 答案：D
3.如图，如果MC⊥菱形ABCD所在 平面，那么MA与BD的位置关系是( ) A．平行 B．垂直但不相交 C．异面 D．相交但不垂直 答案：B
三基能力强化
4．(教材习题改编) △ABC中，∠ABC=90°， PA⊥平面ABC，则图中直角三 角形的个数是 . 答案：4
空间中的垂直关系
空间中的垂直关系1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直 推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭。
注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。
2．线面垂直定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。
直线l 与平面α垂直记作：l ⊥α。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
3．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
题型1：线线垂直问题例1．如图1所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、L 、M 、N 分别为A 1D 1，A 1B 1，BC ，CD ，DA ，DE ，CL 的中点，求证：EF ⊥GF 。
例2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点，证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线。
空间中的垂直关系
③最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角， 是这条斜线和这个平面内任一条直线所成角中最小的角． cos =cos1cos2 (2)直线和平面所成的角： ①定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐 角，叫这条斜线和这个平面所成的角。 规定: 如果直线与平面垂直,那么这条直线和这平面所成的角 为90º ;如果直线与平面平行或直线在平面内,那么直线与平面 所成的角为0º . [0 ②范围： , 90 ] ③求法： 定义法：作出直线在平面上的射影. 向量法: 设n是平面的法向量,AB是平面的一条斜线,其中A∈,则 AB与平面所成的角为: | AB n | arcsin AB n
两个结论 1.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这 点在平面内的射影在这个角的平分线上. 2.过一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线,设它与已知角 两边的夹角为锐角且相等,则这条射线在平面内的射影是这 个角的平分线.
唯一性命题
1.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 2.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. 3.过一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 4.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
判定 性质 判定 性质
线面平行
线面垂直 线面垂直
判定 性质 判定 性质
面面平行
面面垂直 面面垂直
判定
性质
判定
性质
四.棱锥的顶点在底面上的射影与底面多边形的“心”的关 系 1.若棱锥的各侧棱长相等或棱锥的各侧棱与底面所成的角 相等,则顶点在底面上的射影是底面多边形的外心.
2.若棱锥的各侧面上的斜高相等或棱锥的各侧面与底面所成 的二面角的大小相等,则顶点在底面上的射影是底面多边形 的内心. 3.若三棱锥的各侧棱两两垂直或三棱锥的两相对棱互相垂直, 则顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心.
1.2.3 空间中的垂直关系
张喜林制1.2.3 空间中的垂直关系考点知识清单1．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面____，则叫做这条直线与这个平面垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(3)直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条直线2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面____，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线____，就称这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条，则这两个平面____．(3)平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于另一个平面．要点核心解读1．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义的理解．定义中的“任何一条直线”的含义是所有，而不是无数．这里要避免两个错误：①一条直线垂直于一个平面内的一条直线，它就垂直于这个平面（这一错误显然是受到了线面平行的判定定理的影响）．②一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，它就垂直于这个平面（无数条直线不能保证一定存在两条相交直线，可能是无数条平行直线）．直线和平面垂直的定义可看作是线面垂直的一条性质，如果有直线和平面垂直，那么这条直线就和这个平面内的所有直线都垂直．(2)直线与平面垂直的判定.①判定定理的符号表示：ααα⊥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊥⊥=⊂⊂l b l al p b a b a②定理中有三个条件：两个线线垂直和一个相交条件推得结论。
三个条件缺一不可，尤其最后一个——两条相交直线这一条件，极易被忽视．直线和平面垂直的判定定理是判定直线和平面垂直的理论依据. ③推论：αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥2121//l l l l (3)直线与平面垂直的性质，①性质定理的符号表示：b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα ②直线和平面垂直的性质定理也可以看作是线线平行的判定定理． (4)注意两个唯一性，①过一点有且只有一条直线和一个平面垂直． ②过一点有且只有一个平面和一条直线垂直． 2．平面与平面垂直(1)两个平面垂直的定义的理解，①两个平面垂直是两个平面相交的特例．②用两个平面的交线和这两个平面与第兰个平面的交线间的垂直关系——三线相互垂直来定义两个平面垂直．(2)两个平面垂直的判定定理． ①判定定理的符号表示：βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥a a②面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的理论依据，而且还是找出或作出与已知平面垂直的平面的理论依据．另外，面面垂直的判定定理还可以实现线面垂直和面两垂直之间的转化，具体如下：面面垂直判定定理线面垂直这个定理的实质是将面面垂直的问题转化为线面垂直的问题来处理，这样证明两个平面垂直的问题就转化为证明线面垂直(3)两个平面垂直的性质定理， ①性质定理的符号表示：αββαβα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊥⊂=⊥a la a l②平面与平面垂直的性质定理也可以看作是直线与平面垂直的判定定理，即：线面垂直性质定理面面垂直3．直线与平面、平面与平面的距离(1)直线与平面的距离①一条直线和一个平面平行，这条直线上的任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离．②直线到平面的距离是用点到平面的距离来度量的，归根结底还是点与点的距离． (2)平面与平面的距离．①两个平行平面的公垂线、公垂线段的定义：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，其中夹在这两个平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段，②两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离． 4．常见问题的处理方法(1)判断线面垂直的方法． ①利用定义。
高一数学空间中的垂直关系
图形语言：
ab
a b
O
简述为：线面垂直 线线垂直
直线与平面垂直的性质2：
推论1
如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面，那么另一条也垂直于这个平面．
a / /b 符号语言： a
图形语言：
b
a b
O
直线与平面垂直的性质3：
推论2
线面垂直的性质
复习
直线与平面垂直的判定定理那么这条直线垂直于这个平面
mn P l l m, l n
简记为：线线垂直
符号表示： m ,n
l
P
m
n
线面垂直
直线与平面垂直的性质1：
如果一条直线垂直于一个平面，那么这 条直线垂直于面上任意直线．（定义）
P
A E H B D
C
线线垂直
线面垂直
线线垂直
练习
1、如图，空间中直线l和三角形的两边 AC,BC同时垂直，则这条直线和三角形的 第三边AB的位置关系是（ ） A 平行 B 垂直 C C 相交 B A D 不确定 2 、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的 距离相等，则这条直线和平面的位置是（ ） A.平行 B.相交 C.平行或相交
P
E
F
A
B
C
软文推广 大连软文推广 / 软文推广 大连软文推广
vcg83wfv
娃娃们看去哇！”说完，回屋里拿上自己心爱的笛子和秀儿一起出门儿去了。耿英也回屋里拿了点儿什么，与大壮并肩走出了大门儿。 大家伙儿又聊着闲话各自随意吃一些瓜果。一会儿，听着外面开始热闹起来了，董妞儿第一个高兴地叫了起来：“开始摇火团儿了！” 说着，把吃剩的小半块香瓜往八仙桌上的瓜果缝隙中一搁，就从娘的膝盖上跳了下来。于是，青山拉了耿兰、二壮拉了妞儿，青海和耿 直自己跑着，一溜烟儿跑出去看摇火团儿了。大人们则继续坐在八仙桌周围聊天儿。裴氏说：“俺怎么就没有发现娃娃们都长大了呢？ 你们看，耿正和秀儿，大壮和英子是多么好的俩对儿啊！”刘氏也说：“俺只说他们打小儿一起玩耍，今儿个看来，大概是有些心事了 哇！”郭氏惋惜地拍拍膝盖说：“要不是今年老天爷这个样子，明年儿开春就给娃儿们定了亲，咱们也好早日做亲家！”耿老爹说： “等俺们回来，咱给娃娃们直接办婚事，还省了定亲的麻烦呢！”耿憨高兴地叫起来：“这敢情好，到时候咱三家一起办喜事，你一天 里嫁出闺女儿，娶回儿媳妇儿，够本儿啊！”董成家附在耿憨耳边低声儿笑着说：“岂止够本，还赚了一个女婿呢！”小院儿里的气氛 轻松起来，大家伙儿争先恐后地说起来娃娃们成长中的一些趣事儿。说着说着，话题又给转回到耿家父子们明日的出行上来了。耿老爹 说：“俺要带三个大娃儿们出门儿了，估计一时半会儿回不来。兰儿她娘也种不了那么多地。再说啦，那三亩水田种好就足够她们娘儿 俩交过了。东山上的那些坡地，你们两家分开种了哇。北头的三亩离憨子家的地近，归憨子你；南头的那几块儿，离家成哥家的地不远， 家成哥你全都种了得了。壮子眼见的长大了，你不愁没有劳力哇！”说到这里，耿老爹忽然感到有点儿内疚，说：“唉，没有了毛驴和 平车，你们来年种地恐怕要多受苦了呢。”董家成和耿憨连忙说：“没事，没事，只要毛驴和平车能为你们帮忙就最好了。你们出门儿 离不了驴和车的。”又拉了一会儿家常。说到了今年的收成，耿老爹问：“你们两家打的粮食恐怕不太够吃哇？”郭氏马上接话：“今 年的收成差，俺们家原本是不太够吃的。但他们爷儿四个这一走，家里少了四张嘴，就有些富余了。俺和兰兰吃不了多少。若你们不够 吃，就过来拿一些。等到明年儿春暖花开了，搀和着榆钱儿野菜的，怎么着也能挺得过去！”裴氏说：“不用不用，今年收的是有点儿 少，不过秀儿她爹说了，赶早儿就‘瓜菜代’节约着点儿，应该将就够吃的。”刘氏也说：“憨兄弟说得极对，赶早儿就‘瓜菜代’节 约着点儿吃最好了。实在不够吃的时候，再说哇。”耿憨犹豫了一会儿，低声儿问耿老爹：“你们大概什么时候能回来？”耿老爹还没 有开口，郭氏
空间中的垂直关系
空间中的垂直关系1．两条直线互相垂直定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a⊂αb⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α推论1如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面⎭⎪⎬⎪⎫a∥ba⊥α⇒b⊥α推论2如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b3. 平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β(3)平面与平面垂直的性质定理：文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊂βα∩β＝al ⊥a⇒l ⊥α1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( ) (2)若直线a ⊥平面α，直线b ∥α，则直线a 与b 垂直． ( ) (3)直线a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b . ( ) (4)若α⊥β，a ⊥β⇒a ∥α. ( ) (5)a ⊥α，a ⊂β⇒α⊥β.( )2． (2013·广东)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，，则m ∥nC ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β3． 设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( )A ．a ⊥c ，b ⊥cB ．α⊥β，a ⊂α，b ⊂β C ．a ⊥α，b ∥αD ．a ⊥α，b ⊥α4． 将图1中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 的中线折起得到空间四面体ABCD (如图2)，则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是( )A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直5． α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________________________.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是() A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α2. 如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A．P A＝PB>PCB．P A＝PB<PCC．P A＝PB＝PCD．P A≠PB≠PC3．在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是()A．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γB．l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥mC．α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，若l∥m，则l∥nD．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β4．正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于()A．A′C′B．BDC．A′D′D．AA′又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.5. 如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长，其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③二、填空题6．已知P为△ABC所在平面外一点，且P A、PB、PC两两垂直，则下列命题：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．7．在正三棱锥P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．8．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)三、解答题9．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝3，BC＝BE＝7，△DCE是边长为6的正三角形．(1)求证：平面DEC⊥平面BDE；(2)求点A到平面BDE的距离．B组专项能力提升1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则() A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直2．(2012·江苏)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________ cm3.3．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．。
空间中的垂直问题数学知识点
空间中的垂直问题数学知识点
广大同学要想顺利通过高考，接受更好的高等教育，就要做好考试前的复习准备。
数学网为大家整理了高三数学知识点空间中的垂直问题，希望对大家有所帮助。
一、线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的'二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角)，就说这两个平面垂直。
二、垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
以上就是高三数学知识点空间中的垂直问题，以供同学们参考。
【空间中的垂直问题数学知识点】。
空间中的垂直关系
例2．已知：直线l⊥平面α，垂足为A，直 线AP⊥l. 求证：AP在α内。
证明：设AP与l 确定的平面为β，假设AP 不在α内， 则设α与β相交于直线AM。 因为l⊥α，AM 所以l⊥AM，
α,
又已知AP⊥l，于是在平面β内，过点A有两条直线垂直于l，
这是不可能的， 所以AP一定在α内。
直线与平面垂直的判定方法 1.定义：如果一条直线垂于一个平面内的 任何一条直线，则此直线垂直于这个平面. 2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面 内的两条相交直线，那么此直线垂直于这 个平面。 3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面，那么另一条也垂直于同一个平面。 4.如果直线和平面所成的角等于90°,则这 条直线和平面垂直
例1．过一点和已知平面垂直的直线只有 一条。 已知：平面α和一点P. 求证：过点P与α垂直的直线只有一条。
证明：不论P点在α外或内，设PA⊥α，垂 足为A(或P)， 如果过P点，除直线PA⊥α外，还有一条直 线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β, 且α∩β=a， 于是在平面β内过点P有两条直线PA， PB垂直于交线a， 这是不可能的。所以过点P与α垂直的直 线只有一条。
∵ SC⊥平面ABCD，
∴ EF⊥平面ABCD，
又EF
平面BDE，
∴ 平面BDE⊥平面ABCD.
4． 在长方体ABCD－A1B1C1D1中， AB=BC=3，B1B=4，连接B1C，过B作 BE⊥B1C，交B1C于F，交CC1于E， 求证： 平面BDE⊥平面A1BCD1。 证明：连接AC， ∵ABCD－A1B1C1D1是长 方体， ∴ AA1⊥面ABCD， 又∵ ABCD是正方形， ∴ AC⊥BD，
空间中的垂直关系(1-2)
一. 直线与平面垂直的定义
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
空间中的垂直关系（一）
【知识概述】
垂直关系是每年高考必考的知识点之一，考查重点是线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质，以及线面角、二面角的求法．题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高，客观题突出“小而巧”，主要考查垂直的判定及性质，考查线面角、二面角的求法，主观题考查较全面，在考查上述知识的同时，还注重考查空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．本节课通过知识的梳理和典型例题的讲解，使同学们理解和掌握空间中的垂直关系（线线垂直、线面垂直、面面垂直），提高学生的空间想象能力、抽象概括能力、几何直观能力以及计算能力.
1.线线垂直
如果一条直线l 和一个平面α垂直，那么l 和平面α内的任意一条直线都垂直.（线面垂直⇒线线垂直）
2.线面垂直：
方法一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.（线线垂直⇒线面垂直）
方法二：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.（面面垂直+线线垂直⇒线面垂直）
3．面面垂直
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直⇒面面垂直）
4.垂直⇒平行
如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
【学前诊断】
1．[难度] 易
设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂
B ．若//,//l ααβ，则l β⊂
C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥
D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥
2．[难度] 易
已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥” 的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3．[难度] 中
如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.
（1）求证：平面AEC PDB ⊥平面；
（2）当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.
【经典例题】
例1．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α
B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α
C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m
D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m
例2．如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，P A ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有
一个点Q 满足PQ ⊥QD ，则a 的值等于________．
例3．如图，已知P A 垂直于矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若
∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD.
例 4．如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EC ⊥AC ，EF ∥AC ，
AB ＝2，CE ＝EF ＝1.求证：CF ⊥平面BDE.
例 5．如图所示，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD ，
M 是EA 的中点．求证：
(1)平面BDM ⊥平面ECA ；
(2)平面DEA ⊥平面ECA.
【本课总结】
1．直线和平面垂直
(1)判定定理可以简单地记为“线线垂直⇒线面垂直”，定理中的关键词语是“平面内两条相交直线”和“都垂直”．证题时常常是定义和判定定理反复使用，使线线垂直与线面垂直的关系相互转化．
(2)直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线⊥线⇒线⊥面⇒线∥线⇒线∥面．
2．垂直关系的转化
【活学活用】
1．[难度] 易
下列命题中错误的是
（ ）
A ．如果平面α⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，1αβ=I ，那么l ⊥平面γ
D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
2. [难度] 中
如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD =60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点.求证：
（1）直线EF ∥平面PCD ；
（2）平面BEF ⊥平面P AD.
13. [难度] 难
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，D ，E 分别为BC ，1BB 的中点， 四边形11B BCC 是正方形． （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1AC D ； （Ⅱ）求证：CE ⊥平面1AC D ．。