集合的概念和表示法集合与关系离散数学
离散数学第3章 集合
任取x， xX … xY (2) 证X=Y
方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x，xX … xY
注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分 必要的
27
第三章 集合
命题演算法
例3-3.2 证明A(AB) = A （吸收律）
元素a属于A，记作aA； 或者a不属于A，记作aA，也可以记作┓(aA)。
（4）任意性：集合的元素也可以是集合。 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} A=5，2A，{2}A，6A,{6}A
6
第三章 集合 例如：A={{a,b}，d，{{b}}}。可以用一种树形图来表示这种
隶属关系，该图分层构成，每一层上的结点都表示一个集 合，它的儿子就是它的元素。 集合的树型层次结构
32
第三章 集合
§3-3-3 笛卡儿积
定义3-3.2 两个元素a，b组成二元组，若它们有次序 之别，称为二元有序组，或称为有序对或序偶，记为<a， b>，称a为第一分量，b为第二分量；若它们无次序区分， 称为二元无序组，或称为无序对，记为（a，b）。
有序对具有如下性质。 （1）有序性：当x≠y时<x，y>≠<y，x>。 （2）<x，y>与<u，v>相等的充分必要条件是
A
B
11
第三章 集合
§3-2 集合之间的关系
§3-2-1 集合之间的关系 （1）相等关系： • 两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 • 若A与B相等，记为A=B；否则，记为A≠B。 • 可形式化为：A=B(x)(xAxB)。
12
第三章 集合
《离散数学》电子教案
第一章集合论一、教学内容及要求授课学时：2教学内容1.1 集合的基本概念集合的概念及其表示；集合与集合之间的包含、真包含和相等关系的定义，数学描述及判定和证明方法；空集、全集和幂集三个特殊集合的定义、性质以及幂集的计算算法。
1.2 集合的运算集合运算的定义、性质及证明1.3 无限集可数集合和不可数集合的概念。
1.4 与集合相关的应用与集合相关的简单应用实例。
基本要求1）能正确地用枚举法或叙述法表示一个集合，会画文氏图。
2）能判定元素与集合的属于关系。
3）能利用集合与集合关系的判定与证明方法证明两个集合之间的包含、相等、和真包含的关系。
4）能熟练计算集合之间的并、交、差、补运算，掌握集合运算的定律；5）能熟练地计算P(A)。
6）理解集合的归纳法表示。
7）理解集合的对称差运算。
8）了解集合的递归指定法表示。
9）了解无限集的基本概念。
10）了解集合的简单应用。
能力培养通过课堂讲解和课后实践作业，培养学生的抽象思维和问题解决能力。
二、教学重点、难点及解决办法教学重点：集合的概念及集合间关系的证明；集合的表示方法：列举法、描述法和文氏图；集合运算及定律和幂集P(A)的计算。
教学难点：从集合与元素两个角度去分析集合；集合与集合关系的证明和无限集基数的理解。
解决办法：1）在教学过程中，为了加强学生对一个集合“双重身份”的理解，可以通过实例教学法，让学生具体体会一个集合的“双重身份”带来的问题及解决办法；2）对于新概念—幂集，让学生编程实现求一个集合的幂集，从而加深对幂集的理解。
初步建立学生的发散思维能力以及实际动手编写程序的能力。
三、教学设计从集合伦论的创始人康托尔到集合论的最终完备，让学生明白科学研究的道路是坎坷的，但为全人类做出自己的贡献是有价值和意义的，从而要树立为科学献身的精神和爱国主义情怀。
从集合的定义入手，结合高中阶段对集合的认识，指出当时定义存在的不足，提出新的定义方法；重点介绍大学阶段学习集合的主要意义和内容，关注重点概念的理解；介绍属于关系与包含关系之间的区别与联系，特别是一个集合“双重身份”的理解；强调集合的基本运算，特别是幂集的计算；集合与集合包含、真包含和相等关系的数学描述及相应的证明方法。
数学一数学二和数学三的数学离散数学介绍
数学一数学二和数学三的数学离散数学介绍数学一、数学二和数学三的数学离散数学介绍数学在我们的生活中扮演着重要的角色，它是一门独特而又智慧的学科，被广泛用于解决实际问题和推动科学的发展。
而数学学科又可以分为许多分支，其中离散数学是一个重要而有趣的领域。
本文将介绍数学一、数学二和数学三的离散数学的相关概念和知识。
一、离散数学的概述离散数学是数学中的一门学科，与连续数学形成鲜明对比。
连续数学关注于连续对象，如实数、连续函数等，而离散数学则主要研究离散对象，如整数、集合、图等。
离散数学的研究对象离散且有限，因此被广泛应用于计算机科学、信息技术等领域。
二、数学一中的离散数学数学一作为大学数学课程中的一门重要课程，也涉及到了离散数学的部分内容。
在数学一中，离散数学主要包括以下几个方面的内容：1. 集合论：集合论是离散数学的基础，它研究集合及其操作和关系。
在数学一中，我们学习了集合的基本概念、集合的表示方法、集合之间的关系和运算等内容。
2. 逻辑与命题：逻辑与命题是离散数学中的重要部分。
在数学一的学习中，我们研究了命题及其逻辑运算、命题的等值关系、命题的推理和证明等内容。
3. 代数系统：数学一中的离散数学还包括了代数系统的研究，其中包括了群、环、域等代数结构的概念和性质。
三、数学二中的离散数学在数学二中，离散数学的研究进一步深入，涉及到以下几个方面的内容：1. 图论：图论是离散数学中的一个重要分支，它研究了图及其性质、图的遍历和连通性、最短路径和最小生成树等问题。
在数学二中，我们学习了图的基本概念、图的表示方法和图的算法以及与图相关的应用问题。
2. 网络流与匹配理论：网络流与匹配理论是离散数学中涉及到实际问题的一部分。
在数学二中，我们学习了网络流与匹配理论的相关概念和算法，并应用于实际问题的求解中，如网络传输、最大匹配问题等。
四、数学三中的离散数学数学三作为数学专业学生的一门重要课程，较为深入地研究了离散数学的相关内容。
离散数学知识点总结及应用
离散数学知识点总结及应用
知识点1: 集合论
- 集合的定义和表示方法
- 集合的运算：并、交、差、补
- 集合的基本性质和定律
知识点2: 逻辑与命题
- 命题的定义和特性
- 命题的联结词：与、或、非
- 命题的真值表和逻辑运算
- 命题的充分条件和必要条件
知识点3: 关系与函数
- 关系的定义和性质
- 关系的类型：自反、对称、传递、等价
- 函数的定义和基本概念
- 函数的特性和图像
知识点4: 图论
- 图的基本概念和术语
- 图的存储结构：邻接矩阵、邻接表
- 图的遍历算法：深度优先搜索、广度优先搜索
- 最短路径算法：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法
知识点5: 组合数学
- 排列和组合的基本概念
- 排列和组合的计算方法
- 随机变量和概率分布
- 组合数学在密码学等领域的应用
知识点6: 布尔代数
- 布尔代数的基本运算：与、或、非
- 布尔函数的最小化方法
- 布尔代数的应用：逻辑电路设计、编码器等
知识点7: 计算理论
- 自动机的基本概念和分类
- 正则语言和正则表达式
- 文法的定义和性质
- 上下文无关文法和巴科斯范式
知识点8: 数论
- 整数的性质和基本运算
- 质数和分解定理
- 同余关系和同余方程
- 数论在加密算法中的应用
以上是离散数学中的一些主要知识点和应用场景的简要总结，希望对你的研究有所帮助。
离散数学(本)主要概念
《离散数学(本)》主要概念、定理与方法第1章集合及其运算一、概念集合（元素）——集合是一些具有确定的、可以区分的若干事件的全体，而集合中的事件称为元素．因此，集合是由若干元素组成的．若a是集合A中的元素，则称a属于A，记作a∈A；若a不是集合A中的元素，则称a不属于A，记作a∉A．定义1.1.1（子集）对任意两个集合A和B，若B中的每个元素都是A中的元素，则称B 为A的子集，记作B⊆A或A⊇B．若B是A的子集，也称A包含B，或B被A包含．若B不是A的子集，即B⊆A不成立时，记作B⊆A．定义1.1.2（集合相等）对任意两个集合A和B，若有A⊆B且B ⊆A，则称A与B相等，记作A= B．定义1.1.3（真子集）对任意两个集合A和B，若B⊆A且B≠A，则称B为A的真子集，记作B⊂A或A⊃B．定义1.1.4（空集）不含任何元素的集合称为空集，记作∅．空集的定义也可以写成≠} （1.1.1）∅={x x xn元集（m元子集）——含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m（m≤n）个元素的子集叫做它的m元子集．定义1.1.5（全集）在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则将这个集合称为全集，记作E．定义1.1.6（幂集）设A是一个集合，由A的所有子集组成的集合，称为A的幂集，记作P(A)或2A．定义1.2.1（并集、交集、差集、补集、对称差）设E为全集，A和B是E中任意两个子集．（1）所有属于A或属于B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A⋃B．即∈}（1.2.1）{或x BA B x x A⋃=∈⋂．即（2）既属于A又属于B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A B∈}（1.2.2）{且x B⋂=∈A B x x A如果两个集合A和B没有公共元素，即A B⋂=∅，称为集合A与B不相交．-．即（3）属于A而不属于B的所有元素组成的集合，称为A与B的差集，记作A B-=∈∉A B且（1.2.3）x x A x B{}（4）由E中所有不属于A的元素组成的集合，称为A的补集，记作~A．即~A={}且（1.2.4）x x E x A∈∉补集~A可以看作全集E与集合A的差集，即~A = E -A．（5）集合(A - B )⋃(B - A )称为集合A和B的对称差，记作A⊕B．即A⊕B = (A - B )⋃(B - A )．（1.2.5）对称差运算的另一种定义是A⊕B = (A⋃B ) - (B ⋂A )．（1.2.5’）二、定理与性质集合包含关系的自反性：对于任意集合A，有A⊆A．集合包含关系的反对称性：对任意两个集合A和B，若有A⊆B且B⊆A，则A=B．集合包含关系的传递性：对任意三个集合A，B和C，若有A⊆B，B⊆C，则A⊆C．定理1.1.1空集是一切集合的子集．定理1.1.1的推论空集是唯一的．集合运算的交换律：A B B A⋃=⋃⋂=⋂A B B A集合运算的结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂集合运算的分配律：A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂()()()集合运算的幂等律：A ⋃A = AA ⋂A = A集合运算的同一律：A A ⋃∅=A E A ⋂=集合运算的零律：A ⋃E = EA ⋂∅=∅集合运算的补余律：A ⋃~A = EA ⋂~A =∅集合运算的吸收律：A A B A ⋃⋂=()A AB A ⋂⋃=()集合运算的摩根律：A - (B ⋃C ) = (A - B )⋂(A - C )A - (B ⋂C ) = (A - B )⋃(A - C )~ (B ⋃C ) = ~ B ⋂~ C~ (B ⋂C ) = ~ B ⋃~ C~∅= E~E =∅集合运算的双补律：~(~A ) = A对称差的交换律：A B B A ⊕=⊕对称差的结合律：()()A B C A B C ⊕⊕=⊕⊕对称差的分配律：A B C A B A C ⋂⊕=⋂⊕⋂()()()对称差的同一律：A A ⊕∅=对称差的零律：A ⊕A = ∅对称差的性质：A ⊕(A ⊕B ) = B定理1.2.1 对任意两个有限集合A 和B ，用S 表示有限集合S 中的元素数，则(1) A B ⋃≤A +B ； (2) A B ⋂≤min (A +B ) ；(3) A B -≥A -B ； (4) A B ⊕=A +B - 2A B ⋂ ．定理1.2.2（容斥定理） 对任意两个有限集合A 和B ，有A B ⋃= A +B - A B ⋂ （1.2.6） 其中A ，B 分别表示A ，B 的元素个数．定理1.2.2的推广结论：对于任意三个有限集合A , B , C ，有A B C ⋃⋃ = A +B +C -A B ⋂-A C ⋂-B C ⋂+A B C ⋂⋂（1.2.7）三、方法1．集合的三种表示方法列举法是列出集合的所有元素，并用花括号括起来．例如A = {a b c d ,,,}，N = {0, 1, 2, 3, …}．描述法是将集合中元素的共同属性描述出来．例如B = {x x x R 210-=∈且}，D = {x x 是正整数}．文氏图法是用一个简单的平面区域表示一个集合，用区域内的点表示集合内的元素．2．有限集合的计数方法首先根据已知条件把对应的文氏图画出来，然后将已知集合的元素填入表示该集合的区域内．通常从几个集合的交集填起，根据计算结果将数字逐步填入所有的空白区域内．如果交集的数字是未知的，可以将其设为x ，再根据已知条件列出方程或方程组，解出未知数x ．第2章 关系与函数一、概念有序对——有序对是指两个元素x 和y (允许x = y ) 按给定顺序排列组成的二元组合，记作<x , y > ．其中x 是它的第一元素，y 是它的第二元素．定义2.1.1（笛卡尔积、直乘积） 设A 和B 是任意两个集合，用A 中元素为第一元素，B 中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合称为集合A 和B 的笛卡尔积，或称为集合A 和B 的直乘积，记作A ⨯B ．即A ⨯B = {< x , y >x A ∈且y B ∈}定义2.1.2（二元关系） 任何一个有序对集合，称为一个二元关系，简称关系，记作R ．对于二元关系R ，若<a ，b >∈R ， 可记作aRb ；若<a ，b >∉R ， 则记作a R b ．定义2.1.3（从A 到B 的二元关系） 设A 和B 是两个集合，A ⨯B 的任一子集所定义的二元关系R 称为从A 到B 的二元关系．当A =B 时，称R 为A 上的二元关系．定义2.1.4（定义域、值域） 关系R 中有序对的第一元素所允许选取对象集合称为关系R 的定义域，记作Dom （R ），第二元素所允许选取对象集合称为关系R 的值域，记作Ran （R ）． 定义2.1.5（空关系、全关系、恒等关系） 对任何集合A ，(1) 因为空集∅是A ⨯A 的子集，所以定义了A 上的关系，称为A 上的空关系；(2) 定义 E A ={<a ，b >⎢a ∈A 且b ∈A }= A ⨯A ，称为A 上的全关系；(3) 定义I A ={<a ，a >⎢a ∈A }，称为A 上的恒等关系．定义2.1.6（关系矩阵） 设集合A ={a 1，a 2，…，a m }，B ={b 1，b 2，…，b n }，(1) 若R 是从A 到B 的一个关系，则R 的关系矩阵是m ⨯n 矩阵M R =()nm j i r ⨯， 其中 ⎪⎩⎪⎨⎧=ji j i j i b R a Rb a r 当当,0,1，(i =1, 2, …, m ；j =1, 2, …, n )． (2) 若R 是A 上一个关系，则R 的关系矩阵是m 阶矩阵M R =()mm j i r ⨯， 其中 ⎪⎩⎪⎨⎧=ji j i j i b R a Rb a r 当当,0,1，(i , j =1, 2, …, m )． 定义2.1.7（结点、关系图、自回路） 设集合A ={a 1，a 2，…，a m }，B ={b 1，b 2，…，b n }，若R 是从A 到B 的一个关系，则用m 空心点表示a 1，a 2，…，a m ，用n 空心点表示b 1，b 2，…，b n ，这些空心点统称为结点．如果a i Rb j ，那么由结点a i 到结点b j 作一条有向弧，箭头指向b j ；如果<a i ，b j >∉R ，那么结点a i 与b j 之间没有弧连结，这样的图形称为R 的关系图． 若R 是A 上一个关系，如果a i Ra j (i ≠j )，有向弧的画法与上面相同；如果a i Ra i ，则画一条从结点a i 到结点 a i 的带箭头的封闭弧，称为自回路．定义2.2.1（复合关系） 设A ，B ，C 是三个集合，R 是从A 到B 的一个二元关系，S 是从B 到C 的一个二元关系，则R 与S 的复合关系为R ·S ={<a , c >⎢a ∈A ，c ∈C ，且存在b ∈B ，使<a , b >∈R ，<b , c >∈S }这个复合关系是从A 到C 的一个二元关系．布尔运算——布尔运算只涉及数字0和1，规定：加法：0+0 = 0， 0+1 = 1+0 = 1+1 = 1；乘法：1⨯1 = 1， 1⨯0 = 0⨯1 = 0⨯0 = 0 ．定义2.2.2（复合关系矩阵） 设集合A ={a 1，a 2，…，a m }，B = {b 1，b 2，…，b n }，C = {c 1，c 2，…，c p }，从A 到B 的二元关系R 的关系矩阵M R 是一个m 行n 列的矩阵，从B 到C 的二元关系S 的关系矩阵M S 是一个n 行p 列矩阵，则从A 到C 的复合关系R ·S 的关系矩阵S R M •是一个m 行p 列矩阵，并且S R M •= M R ⨯ M S （2.2.1）其中⨯表示按布尔运算进行矩阵乘法运算．定义2.2.3（二元关系的幂） 设R 是集合A 上的一个二元关系，n ∈N ，则关系R 的n 次幂R n 定义为：(1) R 0= I A ，即R 0是集合A 上的恒等关系；(2) R n +1 = R n ·R ．定义2.2.4（逆关系） 设R 是从集合A 到B 的二元关系，则从集合B 到A 的二元关系R –1：R –1 = {<b , a > <a , b >∈R } (2.2.3) 称为R 的逆关系．定义2.3.1（自反关系、反自反关系） 设R 是集合A 上的二元关系，若对任意a ∈A ，都有aRa ，即<a , a >∈R ，则称R 为A 上自反的关系；若对任意a ∈A ，都有a R a ，即<a , a >∉R ，则称R 为A 上反自反的关系．定义2.3.2（对称关系、反对称关系） 设R 是集合A 上的二元关系，对任意a ，b ∈A ，若有<a , b >∈R ，就必有<b , a >∈R ，则称R 为A 上对称的关系；若有<a , b >∈R ，且<b , a >∈R ，就必有b = a ，则称R 为A 上反对称的关系．定义2.3.3（传递关系） 设R 是集合A 上的二元关系，对任意a ，b ，c ∈A ，若有<a , b >∈R ，且<b , c >∈R ，就必有<a , c >∈R ，则称R 为A 上传递的关系．定义2.3.4（自反闭包、对称闭包，传递闭包） 设非空集合A 上的二元关系R ，若有A 上的另一个二元关系R '满足：(1) R '是自反的（对称的，传递的）；(2) R ⊆R '；(3) 对A 上任何包含R 的自反（对称，传递）关系R ''都有R '⊆R ''；则称关系R '为R 的自反（对称，传递）闭包，记作r (R )（s (R )，t (R )）．定义2.4.1（等价关系） 设R 是非空集合A 上的二元关系，如果R 是自反的、对称的和传递的，则称R 是A 上的等价关系．设R 是一个等价关系，如果<a , b >∈R ，称a 等价于b ，记作a ~ b ．定义2.4.2（等价类） 设R 是非空集合A 上的等价关系，对任意a ∈A ，令[a ]R = {b ⎪b ∈A 且aRb } (2.4.1)则称集合[a ]R 为a 关于R 的等价类，简称a 的等价类，简记作[a ]或a ．定义2.4.3（商集） 设R 是非空集合A 上的等价关系，以R 的所有等价类作为元素的集合，成为A 关于R 的商集，记作A/R ．即A/R = {[a ]R ⎪a ∈A } (2.4.2) 定义2.4.4（划分块） 设A 是非空集合，若A 的子集族π满足：(1) π∉∅；(2) π中任何两个子集都不相交；(3) π中所有子集的并集就是A ．则称π为A 的一个划分，称π中的元素为A 的划分块．定义2.5.1（相容关系） 设R 是非空集合A 上的二元关系，如果R 是自反的、对称的，则称R 是A 上的相容关系．定义2.5.2（相容类） 设R 是非空集合A 上的相容关系，B 是A 的子集，如果在B 中的任意两个元素都是相关的，则称为由相容关系R 产生的相容类．最大相容类——R 是A 上的相容关系，B 是相容类，若在差集A -B 中没有一个元素能和B 中所有元素都是相关的，则称B 为最大相容类．定义2.5.3（覆盖） 设A 是非空集合，若A 的子集族π满足：(1) π∉∅；(2) π中所有子集的并集就是A ．则称π为A 的一个覆盖，称π中的元素为A 的覆盖块．定义2.5.4（完全覆盖） 设集合A 的子集族π={A 1 , A 2 , … , A n }是A 的覆盖，且对π中任意元素A i ，不存在其它元素A j ，使得A i 是A j 的子集，则称π为A 的一个完全覆盖．定义2.5.5（偏序关系） 设R 是非空集合A 上的二元关系，如果R 是自反的、反对称的和传递的，则称R 是A 上的偏序关系，或称序关系，记作≤．设≤是偏序关系，如果<a , b >∈≤，则记作a ≤b ，读作a “小于等于”b ．定义2.5.6（拟序关系） 设R 是非空集合A 上的二元关系，如果R 是反自反的和传递的，则称R 是A 上的拟序关系，记作<．设<是拟序关系，如果<a , b >∈<，则记作a <b ，读作a “小于”b ．定义2.5.7（全序关系、线序关系） 设R 是非空集合A 上的偏序关系，如果对任意a ，b ∈A ，必有a ≤b 或b ≤a ，则称R 是A 上的全序关系，或称线序关系．定义2.5.8（偏序集） 集合A 和A 上的偏序关系≤一起称为偏序集，记作<A ，≤>． 哈斯图——对于给定的偏序集<A ，≤>，用一个简化的偏序关系图来表示，我们将这种简化的关系图称为哈斯（Hasse ）图．它的作图规则为：(1) 去掉每个结点的自回路，只用一个空心点表示集合A 的元素；(2) 适当排列结点的顺序，即对任意a ，b ∈A ，若a ≤b ，则将a 画在b 的下方；(3) 对任意a ，b ∈A ，若a <b ，且不存在c ∈A ，使得a <c <b ，则就在a ，b 之间画一条无向弧．定义2.5.9（盖住） 设R 是非空集合A 上的偏序关系，a 和b 是A 中两个不同的元素，如果<a , b > ∈R ，且在A 中没有其它元素c ，使得<a , c >∈R 和<c , b >∈R ，则称元素b 盖住元素a ． 定义2.5.10（最大元、最小元、极大元、极小元） 设<A ，≤>为序集，集合B ⊆A ，存在元素b ∈B ，(1) 若对任意a ∈B ，都有a ≤b ，则称b 为B 的最大元；(2) 若对任意a ∈B ，都有b ≤a ，则称b 为B 的最小元；(3) 若对任意a ∈B ，且b ≤a ，都有a = b ，则称b 为B 的极大元；(4) 若对任意a ∈B ，且a ≤b ，都有a = b ，则称b 为B 的极小元．定义2.5.10（上界、下界、最小上界、上确界、最大下界、下确界） 设<A ，≤>为偏序集，集合B ⊆A ，存在元素b ∈A ，(1) 若对任意a ∈B ，都有a ≤b ，则称b 为B 的上界；(2) 若对任意a ∈B ，都有b ≤a ，则称b 为B 的下界；(3) 若集合C = {b ⎪b 为B 的上界}，则C 的最小元称为B 的最小上界或上确界；(4) 若集合D = {b ⎪b 为B 的下界}，则D 的最大元称为B 的最大下界或下确界． 定义2.6.1（函数、映射） 对集合A 到集合B 的二元关系f ，若满足下列条件：(1) 对任意a ∈Dom(f )，都存在唯一的b ∈Ran(f )，使<a , b >∈f ，（即afb ）成立；(2) Dom(f ) = A ；则称f 为从A 到B 的函数，或称为映射，记作f ：A →B ．若有afb ，则可记作b = f (a )．定义2.6.2（函数相等） 设f 和g 是从集合A 到B 的两个函数，若对任意a ∈A ，都有f (a ) = g (a )，则称函数f 和g 相等，记作f = g ．定义2.6.3（函数的象） 设f 是从集合A 到B 的函数，且A 1⊆A ，则将f (A 1) = {f (a ) a ∈A 1}称为A 1在f 下的象．特别地，称f (A )为函数的象．定义2.6.4（满射、单射、双射） 设f 是从集合A 到B 的函数，(1) 若Ran(f ) = B ，则称f 为从A 到B 的满射；(2) 若对任意b ∈Ran(f )，都存在唯一的a ∈Dom(f )，使得f (a ) = b ，则称f 为从A 到B 的单射，或称一对一的；(3) 若f 从A 到B 既是满射又是单射的，则称f 为从A 到B 的双射，或称一一对应的．定义2.6.5（常数函数、恒等函数、单调递增、严格单调递增、单调递减、严格单调递减、特征函数、自然映射）(1) 设f 是从集合A 到B 的函数，若存在一个b ∈B ，使得对所有的a ∈A 都有f (a ) = b ，则称f 是从A 到B 的常数函数．(2) 集合A 上的恒等关系I A 称为A 上的恒等函数．即对所有的a ∈A 都有I A (a ) = a ．(3) 设f 是实数集R 上的函数，对任意的a 1，a 2∈A ，如果由a 1< a 2，可得f (a 1)≤ f (a 2)，则称f 为单调递增的；如果由a 1< a 2，可得f (a 1)< f (a 2)，则称f 为严格单调递增的．类似地，可以定义单调递减的和严格单调递减的函数．(4) 设A 为集合，对任意子集A '⊆ A ，A '的特征函数A 'χ：E →{0 , 1}定义为A 'χ(a )=⎩⎨⎧'-∈'∈A A a A a ,0,1 (2.6.1) (5) 设R 是集合A 上的等价关系，令g 为从A 到A/R 的函数，即g (a ) =[a ]，则称g 为从A 到商集A/R 的自然映射．定义2.6.6（复合函数）设函数f：A→B，g：B→C，则将复合关系g•f = {<a , c> a∈A，c∈C，且存在b∈B，使f(a) = b，g(b) = c}称为函数f和g的复合函数．定义2.6.7（反函数）设函数f：A→B是双射的，则将f的逆关系称为反函数，记作f–1：B →A．可逆函数——如果函数f 存在反函数f–1，称f是可逆的．二、定理与性质有序对性质1 当x≠y时，有序对< x , y >≠< y , x > ．有序对性质2有序对< x , y > = < a , b > 的充分必要条件是x = a，y = b．笛卡尔积性质1对任意集合A，有A⨯∅= ∅，∅⨯A= ∅．笛卡尔积性质2 笛卡尔积运算不满足交换律，即当集合A≠∅，B≠∅且A≠B时，A⨯B≠B⨯A．笛卡尔积性质3笛卡尔积运算不满足结合律，即当集合A≠∅，B≠∅且C≠∅时，(A⨯B )⨯C≠A⨯(B⨯C )．笛卡尔积性质4对并集的分配律：A⨯(B⋃C ) = (A⨯B)⋃(A⨯C )；(B⋃C )⨯A= (B⨯A)⋃(C⨯A )；笛卡尔积性质5对交集的分配律：A⨯(B⋂C ) = (A⨯B)⋂(A⨯C )；(B⋂C )⨯A= (B⨯A)⋂(C⨯A )．定理2.1.1对任意三个集合A, B和C，若有C≠∅，则(1)A⊆B的充分必要条件是A⨯C⊆B⨯C；(2)A⊆B的充分必要条件是C⨯A⊆C⨯B．定理2.1.2对任意四个非空集合A, B, C和D，则A⨯B⊆C⨯D的充分必要条件是A⊆C，B⊆D．定理2.2.1设R和S从A到B的两个二元关系，那么R和S的R⋃S，R⋂S，R-S，~R，R⊕S仍然是从A到B的二元关系．定理2.2.2设R是从集合A到B的二元关系，S和T分别是从集合B到C的二元关系，U 是从集合C到D的二元关系，则(1) R·(S⋃T) = R·S⋃R·T；(2) R·(S⋂T)⊆R·S⋂R·T；(3)(S⋃T)·U = S·U⋃T·U；(4)(S⋂T)·U⊆S·U⋂T·U．定理2.2.3设R，S，T，分别表示从集合A到B，从集合B到C，从集合C到D的二元关系，则(R·S)·T= R·(S·T) （2.2.2）定理2.2.4设R是集合A上的二元关系，m，n∈N，则(1) R m·R n = R m + n；(2) (R m)n = R m n．定理2.2.5设R和S分别是从集合A到B的二元关系，则(1) (R –1)-1 = R(2) (R⋃S)-1 = R -1⋃S -1(3) (R⋂S)-1 = R -1⋂S -1(4) (R -S)-1 = R –1 -S -1(5) (~R)–1 = ~R -1(6) (A⨯B)-1 = B⨯A(7) ∅-1 =∅(8) R=S⇔R –1=S –1 (9) R⊆S⇔R -1⊆S -1定理2.2.6设R是从集合A到B的二元关系，S是从集合B到C二元关系，则(R·S)-1 = S -1·R –1定理2.3.1设R是非空集合A上的二元关系，则(1) R是自反的当且仅当r (R) = R；(2) R是对称的当且仅当s (R) = R；(3) R是传递的当且仅当t (R) = R；定理2.3.2设R是非空集合A上的二元关系，I A是A上的恒等关系，则r (R) = R⋃I A．（2.3.1）定理2.3.3设R是非空集合A上的二元关系，则s (R) = R⋃R –1（2.3.3）定理2.3.4 设R是非空集合A上的二元关系，则t (R) =∞=⋃1iR i=R⋃R 2⋃R 3⋃… （2.3.5）定理2.3.4的推论设R是非空有限集合A上的二元关系，且A有n个元素，则t (R ) = ni 1=⋃R i =R ⋃R 2⋃…⋃R n （2.3.6） 定理2.4.1 设R 是非空集合A 上的等价关系，对任意a , b ∈A ，(1) [a ]∅≠，且[a ]⊆A ； (2) 若aRb ，则[a ]= [b ]；(3) 若a R b ，则[a ]⋂[b ]= ∅； (4) ⋃{[a ]⎪a ∈A }= A ．定理2.5.1 设R 是集合A 上的拟序关系，则R 是反对称的．定理2.6.1 设函数f ：A →B ，g ：B →C ，那么复合函数g •f 是一个从A 到C 的函数，而且，对任意一个a ∈A ，都有(g •f )(a ) = g (f (a ))．定理2.6.2 设函数f ：A →B ，g ：B →C ，h ：C →D ，那么h •(g •f ) = (h •g )•f (2.6.2)定理2.6.3 设函数f ：A →B ，g ：B →C ，且g •f ：A →C ，那么(1) 若f 和g 都是满射的，则g •f 也是满射的；(2) 若f 和g 都是单射的，则g •f 也是单射的；(3) 若f 和g 都是双射的，则g •f 也是双射的．定理2.6.4 设函数f ：A →B ，g ：B →C ，且g •f ：A →C ，那么(1) 若g •f 是满射的，则g 也是满射的；(2) 若g •f 是单射的，则f 也是单射的；(3) 若g •f 是双射的，则g 是满射的，f 是单射的．定理2.6.5 设函数f ：A →B 是双射的，则f -1：B →A 也是双射的．定理2.6.6 如果函数f ：A →B 是双射的，则有(1) f –1•f = I A ， f •f –1= I B ；(2) (f –1)-1 = f ． (2.6.4) 定理2.6.7 设函数f ：A →B ，g ：B →C ，且f 和g 都是双射的，则有(g •f )-1 = f –1•g –1 (2.6.5)定理2.6.8 设函数f ：A →B ，g ：B →C ，且f 和g 都是双射的，则有(g •f )-1 = f –1•g –1三、方法1．关系的矩阵表示法设集合A ={a 1 , a 2 , … , a m }，B ={b 1 , b 2 , … , b n }，(1) 若R 是从A 到B 的一个关系，则R 的关系矩阵是m ⨯n 矩阵M R =()n m j i r ⨯，其中⎪⎩⎪⎨⎧=ji j i j i b R a Rb a r 当当,0,1 ，(i =1, 2, …, m ；j =1, 2, …, n ） (2) 若R 是A 上一个关系，则R 的关系矩阵是m 阶矩阵M R =()m m j i r ⨯，其中 ⎪⎩⎪⎨⎧=ji j i j i b R a Rb a r 当当,0,1 ，(i , j =1, 2, …, m ） 2．关系的图象表示法设集合A ={a 1 , a 2 , … , a m }，B ={b 1 , b 2 , … , b n }，若R 是从A 到B 的一个关系，则用m 空心点表示a 1 , a 2 , … , a m ，用n 空心点表示b 1 , b 2 , … , b n ，这些空心点统称为结点．如果a i Rb j ，那么由结点a i 到结点b j 作一条有向弧，箭头指向b j ；如果<a i , b j >∉R ，那么结点a i 与b j 之间没有弧连结，这样的图形称为R 的关系图．若R 是A 上一个关系，如果a i Ra j (i ≠j )，有向弧的画法与上面相同；如果a i Ra i ，则画一条从结点a i 到结点 a i 的带箭头的封闭弧，称为自回路．3．复合关系的矩阵运算法设集合A ={a 1，a 2，… ，a n }，B = {b 1，b 2，… ，b n }，C = {c 1，c 2，… ，c n }，从A 到B 的二元关系R 的关系矩阵M R 是一个m 行n 列的矩阵，从B 到C 的二元关系S 的关系矩阵M S 是一个n 行p 列矩阵，则从A 到C 的复合关系R ·S 的关系矩阵S R M •是一个m 行p 列矩阵，并且S R M •= M R ⨯ M S ，其中⨯表示按布尔运算进行矩阵乘法运算．4．二元关系性质的判别法(1) 若R 是集合A 上自反的关系，则有I A ⊆R ⊆E A ；(2) 若R 是集合A 上非自反的关系，则有R ⋂I A =∅；(3) R 为集合A 上对称关系的充分必要条件是R = R -1 ；(4) R 为集合A 上反对称关系的充分必要条件是R ⋂R -1⊆ I A ；(5) R 为集合A 上传递关系的充分必要条件是R ·R ⊆R ．5．求闭包的方法(1) 设R 是非空集合A 上的二元关系，I A 是A 上的恒等关系，则r (R ) = R ⋃I A ．(2) 设R 是非空集合A 上的二元关系，则s (R ) = R ⋃R –1．(3) 设R 是非空集合A 上的二元关系，则t (R ) = ∞=⋃1i R i =R ⋃R 2⋃R 3⋃… 设R 是非空有限集合A 上的二元关系，且A 有n 个元素，则t (R ) = ni 1=⋃R i =R ⋃R 2⋃…⋃R n ． 6．等价关系的判别方法利用等价关系的关系图进行判别，即当关系R 的关系图满足：每个结点都有自回路；两个结点a ，b 之间若有从a 指向b 的弧，就有从b 指向a 的弧；若有从结点a 指向b 的弧，且有从b 指向c 的弧，就有从a 指向c 的弧时，则R 是等价关系．7．哈斯图的作图规则(1) 去掉每个结点的自回路，只用一个空心点表示集合A 的元素；(2) 适当排列结点的顺序，即对任意a ，b ∈A ，若a ≤b ，则将a 画在b 的下方；(3) 对任意a ，b ∈A ，若a <b ，且不存在c ∈A ，使得a <c <b ，则就在a ，b 之间画一条无向弧．第3章 图的基本概念与性质一、概念图——图可以用集合的形式表示，即图可以表示为一个三元组，包含结点集、边集，以及边与结点对集间的映射．如果用结点对来表示边，则图可以表示成一个由结点集与边集组成的二元组．定义3.1.1 图G 是一个三元组<V （G ），E （G ），ϕG >，其中V （G ）是一个非空的结点集（或称顶点集），E （G ）是边集，ϕG 是从边集E （G ）到结点偶对（无序偶或有序偶）集上的函数．图定义中的结点偶对可以是有序的，也可以是无序的．有向边、端点——若图中的边e 所对应的结点偶对是有序的，记为<a ，b >，则称e 是有向边（简称弧）．a ，b 分别称为弧的始点与终点，并均称为e 的端点．称e 是关联于结点a 和b 的，结点a 和结点b 是相、邻的，或称结点a 和结点b 是邻接的．无向边、端点——若图中的边e 所对应的结点偶对是无序的，记为（a ，b ），则称e 是无向边（简称棱）．a ，b 称为e 的端点．称e 是关联于结点a 和b 的，结点a 和结点b 是相、邻的，或称结点a 和结点b 是邻接的．有向图——每一条边均为有向边的图称为有向图．无向图——每一条边均为无向边的图称为无向图．底图——如果把有向图中每条有向边都看作无向边，就得一个无向图，此无向图称为原有向图的底图．底图只表示出结点间的连接关系而没有表示出连接边的方向．弧立结点——图中不与任何相邻的结点称为弧立结点．零图——全由孤立结点构成的图称为零图．自回路（环）——关联于同一结点的一条边称为自回路或环．重边（平行边）——在有向图中，两结点间（包括结点自身间）若多于一条边，则称这几条边为重边或平行边．多重图——含有重边的图称为多重图．线图——非多重图称为线图．定义3.1.2（简单图）无自回路的线图称为简单图．定义3.1.3（结点的度数、最大度、最小度）图G=<V，E>中，与V中结点v（v∈V）相关联的边数，称为该结点的度数，记作为deg(v)．记∆（G）= max{deg(v)| v∈V（G）}，δ（G）= min{deg(v)| v∈V（G）}，分别称为G=<V，E>的最大度和最小度．定义3.1.4（出度、入度、度数）在有向图中，对于任何结点v，以v为始点的边的条数称为结点v的引出次数（或出度）；以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数（或入度）；结点v的引出次数和引入次数之和称为v的次数（或度数）．定义3.1.5（二部图）设G=〈V，E>是n阶无向图，若能将V分成两个互不相交的子集V1与V2使得G中任一边的两端点都不在同一个V i（i=1,2）中，则称G为二部图．记G=<V1,V2，E>．定义3.1.6（完全图）简单图G=<V，E>中，若每一对结点间都有边相连，则称该图为完全图．有n个结点的无向完全图记为K n．定义3.1.7（k-正则图）若无向简单图中，每个结点的度均为某个固定整数k，则称该图为k-正则图．定义3.1.8（赋权图）赋权图G是一个三重组<V，E，g>或四重组<V，E，f，g>，其中V 是结点集合，E是边的集合，f是定义在V上的函数，g是定义在E上的函数．定义3.1.9（补图）设图G=<V，E>有n个顶点，图H=<V，E’>也有同样的顶点，而E’是由n个结点的完全图的边删去E所得，则图H称为图G的补图，记为H=G，显然，G=H．定义3.1.10（子图、真子图、生成子图）设G=<V,E>和G’=<V’,E’>是两个图．(1)若V’⊆V且E’⊆E，则称G’是G的子图；(2)若V’⊂V或E’⊂E,则称G’是G的真子图；(3)若V’=V和E’ ⊆E,则称G’是G的生成子图；(4)若子图G’中没有孤立结点，G’由E’唯一确定，则称G’为由边集E’导出的子图；(5)若子图G’中，对V’中的任意两个结点u，v，当u，v∈V’时有[u，v]∈E’，则G’由V’唯一确定，则称G’为由结点集V’导出的子图．定义3.1.11(补图) 设G’=<V’，E’>是G=<V，E>的子图，若给定另外一个图G’’=<V’’，E’’>，使得E’’=E-E’，且V’’中仅包含E’’的边所关联的结点，则称G’’是子图G’的相对于G的补图．定义3.1.12(同构) 设G=〈V，E>和G’=<V’,E’>是两个图，若存在从V到V’的双射函数f，使对任意[a，b]∈E，当且仅当[f(a)，f(b)]∈E’，并且[a，b]和[f(a)，f(b)]有相同的重数，则称G 和G’是同构的．定义3.1.13(路径) 在图G=<V，E>中，设v0，v1，…，v n∈V，e1，e2,…., e n∈E，其中e i是关联于结点v i-1，v i的边，交替序列v0 e1 v1 e2…e n v n称为联结v0到v n的路径（或称路）．v0与v n 分别称为路的起点与终点，边的数目n称为路的长度．孤立点——长度为0的路定义为孤立点．简单路径——若序列中所有的边e1，e2,…., e n均互不相同，则称此路径为简单路径．基本路径——若序列中所有的点v0，v1，…，v n均互不相同，则称此路径是基本路径．回路——若v0=v n，即路径中的终点与始点相重合，则称此路径为回路．简单回路——没有相同边的回路称为简单回路．基本回路（圈）——各结点均互不相同的回路称为基本回路（或圈）．奇圈（偶圈）——长度为奇（偶）数的圈称为奇（偶）圈．定义3.2.1（可达、连通）在图G=<V,E>中，设有结点v j与v k，若从v j到v k存在任何一条路径，则称结点v k从结点v j可达，也称结点v j与v k是连通的．定义3.2.2（连通图、非连通图、分离图）若G是平凡图或G中任意两个结点都是连通的，则称G是连通图，否则称G为非连通图或分离图．定义3.2.3（连通分支） 设G =<V ,E >是图，连通关系的商集为{V 1, V 2,…, V m }，则其导出的子图G (V i)（i=1,2,…m ）称为图G 的连通分支（图），将图G 的连通分支数记作W （G ）．定义3.2.4（短程线） 设u 与v 是图G 的两个结点，若u 与v 连通，则称u 与v 之间的长度最短的路为u 与v 之间的短程线，短程线的长度可作为结点u 与v 间的距离，记作d (u ,v )，其满足下列性质：d (u ,v ) ≥ 0，u =v 时，d (u ,v ) =0 （非负性）d (u ,v ) = d (v ,u ) （对称性）d (u ,v ) + d (v ,w ) ≥ d (u ,w ) （三角不等式）若u 与v 不连通，则通常记d (u ,v ) = ∞ ．定义3.2.5（单向连通、强连通、弱连通） 在简单有向图中，如果在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G 是单向（侧）连通的；如果在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G 是强连通的；如果图的底图（在图G 中略去边的方向，得到无向图）是连通的，则称图G 是弱连通的． 定义3.2.6（极大强连通子图、极大单向连通子图、极大弱连通子图、强分图、单向分图、弱分图） 在简单有向图G =<V ，E >中，G’是G 的子图，如G’是强连通的（单向连通的，弱连通的），且没有包含G’的更大的子图G’’是强连通的（单向连通的，弱连通的），则称G’是极大强连通子图（极大单向连通子图，极大弱连通子图）又叫强分图（单向分图，弱分图）．定义3.2.7（点割集、割点） 设无向图G =<V ,E >为连通图，若有点集V 1⊂V ，使图G 删除了V 1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V 1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称V 1是G 的一个点割集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为割点．定义3.2.8（点连通度） 若G 为无向连通图且不含Kn 为生成子图，则称k (G )=min{|V 1| ∣V 1是G 的一个点割集}为G 的点连通度（简称连通度）．规定：完全图Kn 的点连通度为n ，n ≥1．非连通图的点连通度为0．若k (G ) ≥k ，则称G 为k -连通图．定义3.2.9（边割集、割边、桥） 设无向图G =<V ,E >为连通图，若有边集E 1⊂E ，使图G 删除了E 1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E 1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称E 1是G 的一个边割集．若某个边构成一个边割集，则称该结点为割边（或桥）．定义3.2.10（连通度） 若G 为无向连通图，则称λ(G )=min{|E 1| ∣E 1是G 的一个边割集}为G 的边连通度．规定：非连通图的边连通度为0．若λ(G ) ≥k ，则称G 为k 边-连通图．定义3.3.1（邻接矩阵） 设G =<V ，E >是一个简单图，其中V ={v 1，v 2，…， v n }，则n 阶方阵A （G ）=（a ij ）称为G 的邻接矩阵．其中各元素⎪⎩⎪⎨⎧==ji v v v v a j i j i ij 不相邻或与相邻与01 定义3.3.2（可达性矩阵） 设G =<V ，E >是一个简单图，|V |=n ,假定G 的结点已编序，即V ={v 1，v 2，…， v n }，定义一个n ⨯n 方阵P =（p ij ）．其中⎪⎩⎪⎨⎧=不存在一条路与从至少存在一条路到从j i j i ij v v v v p 01 则称矩阵P 为图G 的可达性矩阵．最短路径的数学模型——给定一个网络N （有向或无向赋权图），u 0与v 0是N 中指点的两个顶点，在N 中找一条从u 0到v 0且权最小的路．规定N 中的一条路P 的权w (P )称为p 的长度．若N 中存在从u 到v 的路，则将N 中从u 到v 且权最小的路称为u 到v 的最短路，其长度称为u 到v 的距离，记为d N （u ,v ）．二、定理定理3.1.1（握手定理） 设G 是一个图，其结点集合为V ，边集合为E ，则∑∈=V v E v ||2)deg(定理3.1.2 图中次数为奇数的结点有偶数个．。
离散数学_集合与关系_关系
13
例如 例3中的 A {1,2,3,4} ，
{(1,1), (1,2 ), (1,3 ), (1,4 ), ( 2,2 ), ( 2,4 ), ( 3,3 ), ( 4,4 )}
的关系图如下：
14
练习3-6
1. 设A
{0,1,2}，B {0,2,4} ，A到B的关系
B {1,2}
。 }
A B {
(0,1), (0,2), (1,1), (1,2) (1,1), (1,2 ), ( 2,1), ( 2, 2)
B B {
}
8
关系的表示
一、集合表示法
用表示集合的列举法或描述法来表示关系。
例1 设A { 2,3,4,8},B {1,5,7 } , 用描述 } 法定义由A到B的关系 {( a, b ) | a b，试
用列举法将
表示出来。
解
{( 2,5 ), ( 2,7 ),( 3,5 ), ( 3,7 ) ( 4,5 ), ( 4,7 )}
9
例2 有王、张、李、何是某校的老师，该校有
三门课程：语文、数学和英语，已知王可以教语文 和数学，张可以教语文和英语，李可以教数学，何 可以教英语，若记A={王，张，李，何}，B={语文， 数学，英语}。那么这些老师与课程之间的对应关系 就可以用由A到B的一个关系
3利用关系图求复合关系是有限集a上的关系则复合关系也是a上的关系由复合关系的定义对于任意的反映在关系图上这意味着当且仅当在的关系图中有某一结点存在使得有边由指向且有边由指向的关系图中有边从指向理同志关系上搞庸俗关系学热衷于迎来送往
1Байду номын сангаас
离散数学集合与关系
离散数学集合与关系离散数学是数学中一门独立的分支，它主要研究离散的数学结构和被限制在有限范围的对象。
集合论和关系理论是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、信息科学等领域具有广泛的应用。
一、集合的概念与基本运算集合是离散数学中最基本的概念之一，它是由确定的元素所组成的整体。
集合的表示通常使用大写字母，元素用小写字母表示，并用花括号{}括起来。
例如，集合A={1,2,3,4}表示由元素1,2,3,4组成的集合A。
在集合论中，集合之间的关系可以通过特定的运算来描述。
常见的集合运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是指所有属于被操作的集合的元素的集合。
交集是指同时属于所有被操作的集合的元素的集合。
差集是指属于一个集合而不属于另一个集合的元素的集合。
补集是指在全集中属于一个集合而不属于另一个集合的元素的集合。
二、关系的定义与性质关系是描述集合之间元素之间的某种联系或者规律的数学概念。
在离散数学中，关系可以用二元组的形式表示。
关系的性质包括自反性、对称性和传递性。
自反性是指元素与自身之间存在关系。
对称性是指如果两个元素之间存在关系，那么它们之间的关系是互逆的。
传递性是指如果两个元素之间存在关系，并且与另一元素之间也存在关系，那么这两个元素之间也存在关系。
三、集合的基数与幂集集合的基数是指集合中的元素个数。
若集合A中的元素个数为n，则记作|A|=n。
基数为有限值的集合称为有限集，基数为无限值的集合称为无限集。
幂集是指一个集合的所有子集所组成的集合。
例如，对于集合A={1,2}，它的幂集为{{},{1},{2},{1,2}}。
幂集的基数等于原集合的基数的2的幂次方。
四、关系的类型与性质在离散数学中，关系可以分为几种不同的类型。
常见的关系类型包括等价关系、序关系和函数关系。
等价关系是指满足自反性、对称性和传递性的关系。
序关系是指满足自反性、反对称性和传递性的关系。
函数关系是指每个定义域中的元素都有唯一对应的值域中的元素的关系。
离散数学第3章-集合与关系
员，或A包含a，a在A之中，a属于A。即 a A a A
（2）集合中元素具有互异性和无序性。如{a,b,c,d}={a,b,b,c,d}
3-1 集合的概念和表示法
(3) 集合的元素个数可以是有限个也可以是无限个，具有有限个元素的集 合的为有限集，否则称为无限集。 (4) 集合中的元素也可以是集合，如
称为A和B的笛卡尔积，记作：A B
例：A {、、 、、
则：
3-4 序偶和笛卡尔积
5、多重直积：
A1 A2 A3是集合，A1 A2是笛卡尔集，也是集合仍可再作笛卡尔积
A A A A A A ( ) { , , | , , }
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
A A A { , , | , , }
E AB
S={x∣(x∈A)∧（xB）}
={x∣（x∈A）∧ （x∈B）}
3-2 集合的运算
b）集合A关于全集E的补。 E-A称为A的绝对补，记作~A。
E A
~A={x∣(x∈E）∧（x A）}
~ A有下列性质： ⑴ ~（ ~A）=A
⑵ ~E=
⑶~ =E
⑷A∪~A=E
⑸A∩~A=
3-2 集合的运算
* 以后判断两集合相等就主要用这一重要定理。
定理：对任一Set A， A
3-1 集合的概念和表示法
例：若A={a,b,c},写出其所有子集。 解：Ø 、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}均是A的子 集
离散数学知识点
离散数学知识点摘要：离散数学是计算机科学和数学的一个分支，它专注于非连续结构的研究。
本文旨在概述离散数学的核心知识点，包括集合论、逻辑、关系、函数、图论、组合数学和递归等。
1. 集合论- 集合的基本概念：集合是离散数学的基础，它是一组明确的、无重复的对象的集合。
- 集合运算：包括并集、交集、差集、补集等。
- 幂集：一个集合所有子集的集合。
- 笛卡尔积：两个集合所有可能的有序对的集合。
2. 逻辑- 命题逻辑：研究命题（声明的真值）和它们之间的关系，如合取、析取、否定等。
- 谓词逻辑：使用量词（如全称量词和存在量词）来表达更复杂的逻辑关系。
- 逻辑推理：包括直接证明、间接证明和归谬法等。
3. 关系- 关系的定义：一个集合到另一个集合的有序对的集合。
- 关系的类型：自反性、对称性和传递性等。
- 关系的闭包：在给定关系下，集合的最小闭包。
4. 函数- 函数的定义：一个集合到另一个集合的映射，每个元素有唯一的像。
- 函数的类型：单射、满射和双射。
- 复合函数：两个函数可以组合成一个新的函数。
5. 图论- 图的基本概念：由顶点（节点）和边组成的结构。
- 图的类型：无向图、有向图、连通图、树等。
- 图的算法：如最短路径、最小生成树、图的着色等。
6. 组合数学- 排列和组合：从n个不同元素中取出r个元素的不同排列和组合的数量。
- 二项式定理：描述了二项式的幂展开的系数。
- 生成函数：一种编码序列的方法，用于解决复杂的计数问题。
7. 递归- 递归定义：一个对象通过引用比自己更小的版本来定义。
- 递归函数：在计算机程序中，一个函数调用自身来解决问题。
结论：离散数学为理解和设计计算机系统提供了基础工具和理论。
它的知识点广泛应用于算法设计、数据结构、编程语言理论和数据库等领域。
掌握离散数学对于任何希望在计算机科学领域取得进展的人来说都是至关重要的。
本文提供了一个简洁的离散数学知识点概述，每个部分都直接针对一个主题，避免了不必要的背景信息和解释。
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、电子工程等领域都有着广泛的应用。
下面我们来对离散数学的一些重要知识点进行整理。
一、集合论集合是离散数学的基础概念之一。
集合是由一些确定的、不同的对象组成的整体。
集合的表示方法有列举法和描述法。
集合的运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是指将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合。
交集则是指两个集合中共同拥有的元素组成的集合。
差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素得到的集合。
补集是在给定的全集范围内，某个集合之外的元素组成的集合。
集合之间的关系也非常重要，比如包含关系、相等关系等。
子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合。
如果两个集合相互包含，那么它们就是相等的。
二、关系关系是集合中元素之间的某种联系。
关系可以用矩阵和图形来表示。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
自反性是指集合中的每个元素都与自身有关系；反自反性则是集合中的每个元素都与自身没有关系。
对称性是指如果一个元素与另一个元素有关系，那么反过来另一个元素也与这个元素有关系；反对称性则是如果一个元素与另一个元素有关系，且另一个元素也与这个元素有关系，那么这两个元素必须相等。
传递性是指如果一个元素与另一个元素有关系，另一个元素与第三个元素有关系，那么第一个元素与第三个元素也有关系。
关系的合成是将两个关系结合起来得到一个新的关系。
三、函数函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，都有唯一的对应值在值域中。
函数的类型有单射、满射和双射。
单射是指定义域中的不同元素对应值域中的不同元素；满射是指值域中的每个元素都有定义域中的元素与之对应；双射则是既是单射又是满射。
四、代数系统代数系统由集合、运算和运算所满足的公理组成。
常见的代数系统有群、环、域等。
群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元的代数系统。
环是在群的基础上增加了两个运算，并且满足一定的运算规则。
集合的知识点总结框架
集合的知识点总结框架集合是数学中重要的基本概念之一，它是由一些确定的元素构成的整体。
集合论是数学的一个重要分支，研究集合的性质、关系和运算等。
在本文中，我们将从集合的定义、表示方法、运算法则以及集合之间的关系等方面进行探讨和总结。
一、集合的定义集合是由一些确定的元素构成的整体，这些元素可以是任意的对象，比如数字、字母、图形等。
集合的定义通常使用大写字母表示，如A、B、C等。
一个元素是否属于一个集合，可以用符号“∈”表示，例如a∈A表示元素a属于集合A。
二、集合的表示方法1. 列举法：将集合中的元素逐个列举出来，用大括号括起来表示，元素之间用逗号分隔。
例如，集合A={1, 2, 3}表示由元素1、2、3构成的集合A。
2. 描述法：用描述元素的特点或性质来表示集合。
例如，集合B={x | x是自然数，且x<10}表示由小于10的自然数构成的集合B。
三、集合的运算法则1. 并集：将两个集合的所有元素合并在一起，形成一个新的集合。
并集用符号“∪”表示。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
2. 交集：两个集合中共同存在的元素构成的集合。
交集用符号“∩”表示。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。
3. 差集：从一个集合中减去另一个集合中共有的元素，得到的剩余元素构成的集合。
差集用符号“-”表示。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。
4. 互斥集：两个集合没有共同的元素，称为互斥集。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={4, 5, 6}，则A和B是互斥集。
四、集合之间的关系1. 包含关系：一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则前者被包含在后者中。
包含关系用符号“⊆”表示。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={1, 2, 3, 4, 5}，则A⊆B。
离散数学 教案 第3章 集合
当n无限增大时，可以记为
21
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics
例1 集合A={x-2＜x＜2，xR}， B={x0≤x≤4,xR}
求A∪B，A∩B 。 解：A∪B={x-2＜x＜2或0≤x≤4,xR} ={x-2＜x≤4,xR} A∩B={x-2＜x＜2且0≤x≤4,xR} ={x0≤x＜2,xR}
把集合的所有元素写在花括号内，元素之间用逗 号分开；一般用于有限集和有规律的无限集合。
2.描述法 用谓词来概括集合中元素的属性。通常用 { xA(x)}来表示具有性质A的一些对象组成的集合。
例：D={(x,y)x2+y2≤1∧x∈R∧y∈R}
西南科技大学
5
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 常用集合的表示方法和表示符号 （1）自然数集N={0，1，2，…}
由定义可知，广义交和广义并是针对集族而言的， 对于非集族来说，其广义交和广义并为空集。
西南科技大学
25
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 下面以n个集合为例说明：
例如：
西南科技大学
26
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 可以把n个集合的并和交简记为: 和 ，即:
（2）整数集合I={…-2，-1，0，1，2，…}
（3）有理数集合Q={xx=Pq∧p,qZ}
（4）实数集合R={ x x是实数
（5）复数集合C={x x=a+bi∧a,bR∧i2=-1}
西南科技大学
6
计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics
3. 归纳定义法
离散数学中的集合与关系理论
离散数学中的集合与关系理论离散数学是数学中的一门重要分支，主要研究离散的数值和结构。
在离散数学中，集合与关系理论是两个基础且关键的概念。
本文将对离散数学中的集合与关系理论进行探讨。
一、集合在离散数学中，集合是由元素组成的整体。
集合的表示可以使用不同的方式，如枚举法、描述法和扩展法。
其中，枚举法通过罗列元素的方式来表示集合。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4}就是使用了枚举法表示的集合。
集合的运算是集合理论中的重要内容。
常见的集合运算有并集、交集、差集和补集。
并集表示两个集合中的所有元素的组合，交集表示两个集合中共有的元素，差集表示一个集合减去另一个集合中的元素，补集表示一个集合相对于全集中没有的元素。
集合的关系也是集合理论中的重要内容。
常见的集合关系有相等关系、包含关系和子集关系。
相等关系指的是两个集合具有相同的元素，包含关系指的是一个集合包含另一个集合中的所有元素，子集关系指的是一个集合包含于另一个集合。
二、关系关系是研究离散数学中元素之间联系的一种数学工具。
在离散数学中，关系可以用一个有序对的集合表示。
例如，关系R = {(1, 2), (2, 3),(3, 4)}表示了元素1与2之间、元素2与3之间、元素3与4之间的联系。
关系可以是自反的、对称的、传递的等。
自反关系指的是每个元素与自己之间有联系，对称关系指的是如果元素a与元素b之间有联系，则元素b与元素a之间也有联系，传递关系指的是如果元素a与元素b 之间有联系，元素b与元素c之间有联系，则元素a与元素c之间也有联系。
离散数学中的关系还可以进行合成和关系的闭包运算。
关系的合成指的是将两个关系进行组合，得到一个新的关系。
关系的闭包指的是将一个关系进行扩展，使得它满足某些性质。
集合和关系是离散数学中的两个重要概念，它们在离散数学中起着重要的作用。
集合可以用来整理和分类元素，关系可以用来描述元素之间的联系。
它们的研究对于理解和解决实际问题具有重要意义。
离散数学-3-1 集合的概念和表示法
3-1 集合的概念和表示法 授课人：李朔
Email:chn.nj.ls@
1
一、集合的概念
集合是不能精确定义的数学基本概念, 当我 们讨论某一类对象时，就把这一类对象的 全体称为集合。这些对象称为集合中元素。 元素也是抽象的，无法精确定义，可以认 为是存在于世界上的一切客观物体。 例如：地球上的人。
集合的元素又是能区分的，能区分的是指集合中的元素是 互不相同的。如果一个集合中有几个元素相同，算做一个。 例如集合1,2,3,3和1,2,3是同一集合, {a, b}, {a, a, b}与 {a,a,b,b,b} 是相同的集合。
集合的元素又是无序的，即1,2,3和3,1,2是同一集合。
4
一、集合的概念
2）描述法：用谓词概括该集合元素的属性。
B = { x P(x) } 表示B由使P(x)为真的x组成。
例： B={x x R 3 x ≤ 6 }, C={x x2=1}（={1，-1}） D={y| y是教室中所有听课的同学}
集合的元素必须是确定的。所谓确定的，是指任何一个对 象是不是集合的元素是明确的、确定的，不能模棱两可。 即对于集合A，任一元素a，要么a属于A，要么a不属于A， 两者必居其一。
集合的元素还可以允许是一个集合，如S= 1,2, 3, {a},a
5
二．集合之间的关系
集合之间有二种基本关系：
1）相等：两个集A，B称作相等，当且仅当A，B的元素完 全相同，记A=B，否则AB。(P82 外延性原理） 例 { {1, 2}, 4} {1, 2, 4} { 1, 3, 5 }={x x是正奇数} 2）子集（Ｐ83 定义3-1.1）：A，B为两个集合，若A的每 个元素都是B的元素，称A为B的子集，或A包含在B内， 或Ｂ包含Ａ，记AB或BA。 即 A B x(xAxB) 根据子集的定义，可立即有：对任意集合A，B，C： 1）AA； （自反性） 2）AB，BC则AC；(传递性）
大学数学总结知识点汇总
大学数学总结知识点汇总一、集合论和逻辑1. 集合的概念和表示方法：集合是由若干个确定的、互不相同的成员所组成的整体。
2. 集合的运算：包括并集、交集、补集、差集等运算。
3. 集合的基本关系：包括包含关系、相等关系等。
4. 逻辑运算：包括与、或、非等逻辑运算。
5. 命题和条件语句：对于一个命题，可以进行否定或假设，也可以通过条件语句进行命题的推导。
二、数理统计和概率论1. 随机变量和概率：随机变量是指在一次随机试验中，可能取其值的变量。
2. 概率分布：指一个随机变量在各个取值上的概率。
3. 大数定律和中心极限定理：包括伯努利大数定律、切比雪夫不等式、中心极限定理等。
4. 统计量及其分布：包括均值、方差、卡方分布、t分布、F分布等统计量及其分布。
三、微积分1. 函数及其性质：包括函数的定义、性质、极限等。
2. 导数和微分：包括导数的定义、性质、求导法则等。
3. 积分和不定积分：包括积分的概念、性质、不定积分的计算方法等。
4. 定积分与定积分的应用：包括定积分的计算方法、定积分的应用于求解曲线下面积、体积、质心等。
四、线性代数1. 行列式：包括行列式的定义、性质、计算方法等。
2. 矩阵及其运算：包括矩阵的定义、性质、加法、数乘、乘法等。
3. 求解线性方程组：包括克拉默法则、高斯消元法、矩阵法等方法。
4. 特征值和特征向量：包括特征值和特征向量的概念、计算方法、应用等。
五、离散数学1. 图论：包括图的概念、性质、连通性、欧拉回路、哈密顿回路等。
2. 代数系统：包括群、环、域等代数系统的定义、性质、应用等。
3. 排列与组合：包括排列的计算方法、组合的计算方法、多重集合等。
六、数学分析1. 级数：包括级数的性质、收敛性、敛散性判别法等。
2. Fourier级数：包括Fourier级数的定义、性质、收敛性等。
3. 多元函数微分学：包括多元函数的定义、极限、偏导数、全微分等。
4. 曲线积分和曲面积分：包括一元曲线积分、二元曲线积分、曲面积分等。
离散数学知识点归纳
离散数学知识点归纳一、集合论。
1. 集合的基本概念。
- 集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
例如，A = {1,2,3}，其中1、2、3是集合A的元素。
- 集合的表示方法有列举法（如上述A的表示）和描述法（如B={xx是偶数且x < 10}）。
2. 集合间的关系。
- 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆ B。
例如，{1,2}⊆{1,2,3}。
- 相等：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。
- 真子集：如果A⊆ B且A≠ B，则A是B的真子集，记作A⊂ B。
3. 集合的运算。
- 并集：A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。
例如，A = {1,2}，B={2,3}，则A∪B={1,2,3}。
- 交集：A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}。
对于上述A和B，A∩ B={2}。
- 补集：设全集为U，集合A相对于U的补集¯A=U - A={xx∈ U且x∉ A}。
二、关系。
1. 关系的定义。
- 设A、B是两个集合，A× B的子集R称为从A到B的关系。
当A = B时，R称为A上的关系。
例如，A={1,2}，B = {3,4}，R={(1,3),(2,4)}是从A到B的关系。
2. 关系的表示。
- 关系矩阵：设A={a_1,a_2,·s,a_m}，B={b_1,b_2,·s,b_n}，R是从A到B的关系，则R的关系矩阵M_R=(r_ij)，其中r_ij=<=ft{begin{matrix}1,(a_i,b_j)∈ R0,(a_i,b_j)∉ Rend{matrix}right.。
- 关系图：对于集合A上的关系R，用节点表示A中的元素，若(a,b)∈ R，则用有向边从a指向b。
3. 关系的性质。
- 自反性：对于集合A上的关系R，如果对任意a∈ A，都有(a,a)∈ R，则R 是自反的。
例如，A={1,2,3}，R = {(1,1),(2,2),(3,3)}是自反关系。
《离散数学》第3章 集合
P ( A) = {φ , A}
第二节 集合的运算 内容： 内容：集合的运算，文氏图，运算律。 重点： 重点：(1) 掌握集合的运算
A ∪ B, A ∩ B, A − B, ~ A, A ⊕ B
(2) 用文氏图表示集合间的相互 关系和运算， (3) 掌握基本运算律的内容及运用。
一、集合的运算。 集合的运算。 集合 A, B 的并集 A ∪ B， 交集 A ∩ B，相对补集
三 包含排斥定理 设A和 B是两个有限集合，则 A ∪ B = A + B − A ∩ B ，
B 其中 A, B 分别表示 A、的元数．
把包含排斥定理推广到n个集合的情况可用如下定 理表述： 设A1 , A2 ,⋯ A为有限集合，其元数分别为 A , A ,⋯, A ，则 n
1 2 n
A1 ∪ A2 ∪ ⋯ ∪ An
A= B ⇔ A⊆ B∧B⊆ A
5、特殊的集合。 空集 φ 全集 E (或 U )
φ ⊆ A ⊆ E ( A 为任一集合)
例1、选择适当的谓词表示下列集合。 、 (1) 小于5的非负整数集 (2) 奇整数集合
{x | x ∈ N ∧ x < 5} {x | x = 2n + 1 ∧ n ∈ Z }
{ } (8) {a, b} ∈ {a, b, {{a, b}}}
(7) {a, b} ⊆ a, b, {{a, b}}
例3、A, B, C 为集合，若 A ∈ B 且B ∈ C ， 、 有可能 A ∈ C 吗，有可能 A ∉ C 吗？ 解：两种情形都有可能。 设 A = {a}, B = {{a}} , C = {{a}, {{a}}} ， 则 A ∈ B, B ∈ C ，有 A ∈ C 。 又设 A = {a}, B = {{a}} , C = {{{a}}}， 则 A ∈ B, B ∈ C ，但 A ∉ C 。
离散数学课本定义和定理
第1章集合1.1 集合的基本概念1. 集合、元（元素）、有限集、无限集、空集2. 表示集合的方法：列举法、描述法3. 定义1.1.1（子集）：给定集合A和B，如果集合A的任何一个元都是集合B中的元，则称集合A包含于B或B包含A，记为或，并称A为B的一个子集。
如果集合A和B满足，但B中有元不属于A，则称集合A真包含于B，记为，并且称A为B的一个真子集。
4. 定义（幂集）：给定集合A，以A的所有子集为元构成的一个集合，这个集合称为A的幂集，记为或1.2 集合的运算定义1.2.1（并集）：设A和B是两个集合，则包含A和B的所有元，但不包含其他元的集合，称为A和B的并集，记为.定义1.2.2（交集）：A和B是两个集合，包含A和B的所有公共元，但不包含其他元的集合，称为A和B的交集，记为.定义1.2.3（不相交）：A和B是两个集合，如果它们满足，则称集合A和B是不相交的。
定义1.2.4（差集）：A和B是两个集合，属于A而不属于B的所有元构成集合，称为A和B 的差集，记为.定义1.2.5（补集）：若A是空间E的集合，则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集，记为.定义（对称差）：A和B是两个集合，则定义A和B的对称差为1.3 包含排斥原理定理设为有限集，其元素个数分别为，则定理设为有限集，其元素个数分别为，则定理设为有限集，则重要例题P11 例第2章二元关系2.1 关系定义（序偶）：若和是两个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个序偶。
※对于序偶和，当且仅当并且时，才称和相等，记为定义（有序元组）：若是个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个有序元组（简称元组）。
定义（直接积）：和是两个集合，则所有序偶的集合，称为和的直接积（或笛卡尔积），记为. 定义（直接积）：设是个集合，，则所有元组的集合，称为的笛卡尔积（或直接积），记为.定义（二元关系）若和是两个集合，则的任何子集都定义了一个二元关系，称为上的二元关系。