关系的性质-集合与关系-离散数学共32页文档
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离散数学第二章关系
例9 .设A={1,2,3,4} ，B={2,4,6,8,10} 。 R={(1,2),(2,4),(3,6)}。
则 (R) = {1,2,3}A ， (R) = {2,4,6}B 。
二.关系的一些关联性质 17
离散数学
定理1. 设R1,R2 A×B是两个关系。若 R1 R2 ，则
(1)保序性： (R1) (R2) ； (2)保序性： (R1) (R2) ；
注：笛卡尔(1596-1650 )，法国数学家， 1637年发表《方法论》之 一《几何学》，首次提出坐标及变量概念。这里是其概念的推广。
定义2. • 二个集合A，B的(二维或二重)叉积定义为 A×B ={(a, b): a A bB} ； •其元素——二元组(a, b)通常称为序偶或偶对(ordered
故 (R1)∩ (R2) = {1,2 }
21
离散数学
所以 (R1)∩ (R2) (R1 ∩ R2) 。
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)：
R(a)={b : bBaRb }B ；
(2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。
•当A=B时，即RA×A，则称R是A上的一个二元关 系。
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 11
离散数学
R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A 于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。
例2 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A 于是，
离散数学关系的性质
任取<x, y>
<x, y>R<y, x>R ………..………. x=y
前提
推理过程
结论
例6 证明若 R∩R1IA , 则 R 在 A 上反对称. 证 任取<x, y>
<x, y>R <y, x>R <x, y>R <x, y>R 1
<x, y>R∩R 1 <x, y>IA x=y 因此 R 在 A 上是反对称的.
有 R)
例(18) 不判自断反下也图不中反关自系反的；性对质称, 并, 不说反明对理称由；不传递. 注任因注<和只注列任证M对因f于反<W(于W对例例考当 R证考对其o3xx1r)aat意取此意证意的取于此等对等于23察检明察于中,,[M<rrj自和iyyss,x： <有 ： ： 元 <k于 称 于 k设 G查模 GkE>>hht(任R设RRj,反==RRR=aa]xx1,R1y是31的的ll在在M在素关：关A完 式000,,)则在123ll取A>y3，＝ ＝tR算算y,,,RR和＝＝＝＝o>111和r＝ 每 每上上上记系恒系所>是M∪<,,,和A不{{=n证法法………，{{{{xR<<({一一述述述作,等,有MtAM<<<Rad3<<上[,<是aaa小小明∩：的,,,<,iaaao)上ynnnyy0,,,y+,条条等等等关的Mbbb,,,ayR,,同>是,,,,=abc反jE于于依,z>,,>]Rxx的MMM>>，ckI>边边式式式系顶>zc,A,阶反+>>}[,}<自<,关关据>}<在kkk<i传,<b,,中中中点I,a,M1[[[b的jb对ARy反,,如如系系iii]Rc,b,递,,,,RRA.Rbt1矩矩矩后c，jjj>>1单[称]]]z；>>果 果,,,i===},}上关>,R阵阵阵就整整}}空<，R111，位的k有有(2x当当当自系R]2的的的得除除1……关,,矩.,一一Ry且且且)R反,RR元元元到关关……系>M阵R32条条34仅仅仅和＝2素素素图系系……是是t＝,[不xxk当当当MIR{相相相,,G..AAA{ii,<是包包4<’jt在上在到到在上是a]加加加都a.,A含含,a的的b时时时是xx>上Mx>关关jj,反关=<,使使使A的的<的的ya系系上b对系,用用用单单b传,转a,,>的称,>逻逻逻真真向向递,其置<,关<关辑辑辑包包边 边b关中a矩,系,系ac加加加含含,,系>阵>ii,}≠≠}...关关.其jj.,, 系系则则中在在GG中中加加(2一一)条条
最新离散数学课件第三章集合与关系-2精品文档
逆关系
定义3-7.2 设R是A到B的二元关系，则R的逆是B到A 的二元关系，记为Rc，其中Rc ={<y,x>|<x,y>R}。
注 ：（1）xRyyRcx （2）互换R的关系矩阵的行和列，即得Rc的
关系矩阵。 即 MRc＝MRT
（3）颠倒R的关系图中每条弧线的箭头方向， 即得Rc的关系图。
逆关系举例
发用一条规则推出一串字符，使其第一个字符恰为 xj 。说明每个字母连续应用上述规则可能推出的 头字符。
闭包运算的性质
设R为集合X上的任一二元关系，那么 a)rs(R)=sr(R) 自反对称闭包等于对称自反闭包 b)tr(R)=rt(R) 传递自反闭包等于自反传递闭包 c)ts(R)st(R) 传递对称闭包包含对称传递闭包
证明 rs(R)=sr(R)
证：
rs(R)= r(s(R))
= r(R∪Rc)
= Ix∪R∪Rc = Ix∪R∪Rc∪Ix = (Ix∪R)∪(Rc∪Ixc) = (Ix∪R)∪(R∪Ix)c = s(Ix∪R) = sr(R)
证明 rt(R)=tr(R)
证：rt(R) = r(R∪R2∪…) = IX∪R∪R2∪…
对最小元素极小元素和最大下界也存在类似的关系来说它的逆p也是一个偏序集的p中的最大元素极大元素上界最小上界是p中的最小元素极小元素下界最大下界反之亦然
离散数学课件第三章集合与关 系-2
复合关系举例
例：A={1，2，3，4}，B={3，5，7}，C={1，2，3} R={<2,7>，<3,5>，<4,3>}，S={<3,3>，<7,2>} 则 R◦S={<2，2>，<4，3>} 如图所示：
离散数学第3章 集合
命题演算证明法的书写规范 (以下的X和Y代表集合公式) (1) 证XY
任取x， xX … xY (2) 证X=Y
方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x，xX … xY
注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分 必要的
27
第三章 集合
命题演算法
例3-3.2 证明A(AB) = A （吸收律）
元素a属于A，记作aA； 或者a不属于A，记作aA，也可以记作┓(aA)。
（4）任意性：集合的元素也可以是集合。 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} A=5，2A，{2}A，6A,{6}A
6
第三章 集合 例如：A={{a,b}，d，{{b}}}。可以用一种树形图来表示这种
隶属关系，该图分层构成，每一层上的结点都表示一个集 合，它的儿子就是它的元素。 集合的树型层次结构
32
第三章 集合
§3-3-3 笛卡儿积
定义3-3.2 两个元素a，b组成二元组，若它们有次序 之别，称为二元有序组，或称为有序对或序偶，记为<a， b>，称a为第一分量，b为第二分量；若它们无次序区分， 称为二元无序组，或称为无序对，记为（a，b）。
有序对具有如下性质。 （1）有序性：当x≠y时<x，y>≠<y，x>。 （2）<x，y>与<u，v>相等的充分必要条件是
A
B
11
第三章 集合
§3-2 集合之间的关系
§3-2-1 集合之间的关系 （1）相等关系： • 两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 • 若A与B相等，记为A=B；否则，记为A≠B。 • 可形式化为：A=B(x)(xAxB)。
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第三章 集合
任取x， xX … xY (2) 证X=Y
方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x，xX … xY
注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分 必要的
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第三章 集合
命题演算法
例3-3.2 证明A(AB) = A （吸收律）
元素a属于A，记作aA； 或者a不属于A，记作aA，也可以记作┓(aA)。
（4）任意性：集合的元素也可以是集合。 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} A=5，2A，{2}A，6A,{6}A
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第三章 集合 例如：A={{a,b}，d，{{b}}}。可以用一种树形图来表示这种
隶属关系，该图分层构成，每一层上的结点都表示一个集 合，它的儿子就是它的元素。 集合的树型层次结构
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第三章 集合
§3-3-3 笛卡儿积
定义3-3.2 两个元素a，b组成二元组，若它们有次序 之别，称为二元有序组，或称为有序对或序偶，记为<a， b>，称a为第一分量，b为第二分量；若它们无次序区分， 称为二元无序组，或称为无序对，记为（a，b）。
有序对具有如下性质。 （1）有序性：当x≠y时<x，y>≠<y，x>。 （2）<x，y>与<u，v>相等的充分必要条件是
A
B
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第三章 集合
§3-2 集合之间的关系
§3-2-1 集合之间的关系 （1）相等关系： • 两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 • 若A与B相等，记为A=B；否则，记为A≠B。 • 可形式化为：A=B(x)(xAxB)。
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第三章 集合
关系的性质-集合与关系-离散数学
例如：朋友关系，同学关系，同乡关系，不相等关系() 是对称关系，相等关系(=)？？？ 。
非（不是）对称的 (x) (y) (xA∧yA∧<x,y> R ∧ <y,x> R )
第8 页
对称性的关系矩阵和关系图的特点
定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R) 从关系矩阵看对称性： 以主对角线为对称的矩阵。 从关系有向图看对称性： 在两个不同的结点之间，若 有边的话，则有方向相反的 ？ 1 0 两条边。
第2 页
一、自反性
定义：设R是集合A上的关系，若对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中的自反关系。即 R是A中自反的(x)(xA<x,x>∈R ) 该定义表明在自反关系 R中，除其他序偶外，必 须包括有全部由每个x ∈A所组成的相同元素的 序偶。 例如：设X={a,b,c}, R1={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>} 是自反关系。 R2={<a,a>,<b,b>,<a,b>} 不是自反关系。 例如：相等关系(=)，小于等于关系()，包含关系() 等是自反关系。 非（不是）自反的 (x)(xA∧<x,x> R )
第7 页
三、对称性
定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R)
非（不是）对称的 (x) (y) (xA∧yA∧<x,y> R ∧ <y,x> R )
第8 页
对称性的关系矩阵和关系图的特点
定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R) 从关系矩阵看对称性： 以主对角线为对称的矩阵。 从关系有向图看对称性： 在两个不同的结点之间，若 有边的话，则有方向相反的 ？ 1 0 两条边。
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一、自反性
定义：设R是集合A上的关系，若对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中的自反关系。即 R是A中自反的(x)(xA<x,x>∈R ) 该定义表明在自反关系 R中，除其他序偶外，必 须包括有全部由每个x ∈A所组成的相同元素的 序偶。 例如：设X={a,b,c}, R1={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>} 是自反关系。 R2={<a,a>,<b,b>,<a,b>} 不是自反关系。 例如：相等关系(=)，小于等于关系()，包含关系() 等是自反关系。 非（不是）自反的 (x)(xA∧<x,x> R )
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三、对称性
定义：R是集合A上的关系，若对任何x, y∈A，若有 <x,y>R，必有<y,x>R ，则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的 (x)(y)((xA∧yA∧<x,y>R) <y,x>R)
离散数学课件第四章 关系
Discrete Mathematics
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
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关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}
离散数学_集合与关系_关系
则ρ 的关系图如下 A B
13
例如 例3中的 A {1,2,3,4} ，
{(1,1), (1,2 ), (1,3 ), (1,4 ), ( 2,2 ), ( 2,4 ), ( 3,3 ), ( 4,4 )}
的关系图如下：
14
练习3-6
1. 设A
{0,1,2}，B {0,2,4} ，A到B的关系
B {1,2}
。 }
A B {
(0,1), (0,2), (1,1), (1,2) (1,1), (1,2 ), ( 2,1), ( 2, 2)
B B {
}
8
关系的表示
一、集合表示法
用表示集合的列举法或描述法来表示关系。
例1 设A { 2,3,4,8},B {1,5,7 } , 用描述 } 法定义由A到B的关系 {( a, b ) | a b，试
用列举法将
表示出来。
解
{( 2,5 ), ( 2,7 ),( 3,5 ), ( 3,7 ) ( 4,5 ), ( 4,7 )}
9
例2 有王、张、李、何是某校的老师，该校有
三门课程：语文、数学和英语，已知王可以教语文 和数学，张可以教语文和英语，李可以教数学，何 可以教英语，若记A={王，张，李，何}，B={语文， 数学，英语}。那么这些老师与课程之间的对应关系 就可以用由A到B的一个关系
3利用关系图求复合关系是有限集a上的关系则复合关系也是a上的关系由复合关系的定义对于任意的反映在关系图上这意味着当且仅当在的关系图中有某一结点存在使得有边由指向且有边由指向的关系图中有边从指向理同志关系上搞庸俗关系学热衷于迎来送往
1Байду номын сангаас
13
例如 例3中的 A {1,2,3,4} ，
{(1,1), (1,2 ), (1,3 ), (1,4 ), ( 2,2 ), ( 2,4 ), ( 3,3 ), ( 4,4 )}
的关系图如下：
14
练习3-6
1. 设A
{0,1,2}，B {0,2,4} ，A到B的关系
B {1,2}
。 }
A B {
(0,1), (0,2), (1,1), (1,2) (1,1), (1,2 ), ( 2,1), ( 2, 2)
B B {
}
8
关系的表示
一、集合表示法
用表示集合的列举法或描述法来表示关系。
例1 设A { 2,3,4,8},B {1,5,7 } , 用描述 } 法定义由A到B的关系 {( a, b ) | a b，试
用列举法将
表示出来。
解
{( 2,5 ), ( 2,7 ),( 3,5 ), ( 3,7 ) ( 4,5 ), ( 4,7 )}
9
例2 有王、张、李、何是某校的老师，该校有
三门课程：语文、数学和英语，已知王可以教语文 和数学，张可以教语文和英语，李可以教数学，何 可以教英语，若记A={王，张，李，何}，B={语文， 数学，英语}。那么这些老师与课程之间的对应关系 就可以用由A到B的一个关系
3利用关系图求复合关系是有限集a上的关系则复合关系也是a上的关系由复合关系的定义对于任意的反映在关系图上这意味着当且仅当在的关系图中有某一结点存在使得有边由指向且有边由指向的关系图中有边从指向理同志关系上搞庸俗关系学热衷于迎来送往
1Байду номын сангаас
离散数学第3章-集合与关系
（1） 任一对象a，对某一集合A来说，a属于A或a不属于A， 两者必居其一，且仅居其一。并且当a属于A时，称a是A的成
员，或A包含a，a在A之中，a属于A。即 a A a A
（2）集合中元素具有互异性和无序性。如{a,b,c,d}={a,b,b,c,d}
3-1 集合的概念和表示法
(3) 集合的元素个数可以是有限个也可以是无限个，具有有限个元素的集 合的为有限集，否则称为无限集。 (4) 集合中的元素也可以是集合，如
称为A和B的笛卡尔积，记作：A B
例：A {、、 、、
则：
3-4 序偶和笛卡尔积
5、多重直积：
A1 A2 A3是集合，A1 A2是笛卡尔集，也是集合仍可再作笛卡尔积
A A A A A A ( ) { , , | , , }
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
A A A { , , | , , }
E AB
S={x∣(x∈A)∧（xB）}
={x∣（x∈A）∧ （x∈B）}
3-2 集合的运算
b）集合A关于全集E的补。 E-A称为A的绝对补，记作~A。
E A
~A={x∣(x∈E）∧（x A）}
~ A有下列性质： ⑴ ~（ ~A）=A
⑵ ~E=
⑶~ =E
⑷A∪~A=E
⑸A∩~A=
3-2 集合的运算
* 以后判断两集合相等就主要用这一重要定理。
定理：对任一Set A， A
3-1 集合的概念和表示法
例：若A={a,b,c},写出其所有子集。 解：Ø 、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}均是A的子 集
员，或A包含a，a在A之中，a属于A。即 a A a A
（2）集合中元素具有互异性和无序性。如{a,b,c,d}={a,b,b,c,d}
3-1 集合的概念和表示法
(3) 集合的元素个数可以是有限个也可以是无限个，具有有限个元素的集 合的为有限集，否则称为无限集。 (4) 集合中的元素也可以是集合，如
称为A和B的笛卡尔积，记作：A B
例：A {、、 、、
则：
3-4 序偶和笛卡尔积
5、多重直积：
A1 A2 A3是集合，A1 A2是笛卡尔集，也是集合仍可再作笛卡尔积
A A A A A A ( ) { , , | , , }
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
A A A { , , | , , }
E AB
S={x∣(x∈A)∧（xB）}
={x∣（x∈A）∧ （x∈B）}
3-2 集合的运算
b）集合A关于全集E的补。 E-A称为A的绝对补，记作~A。
E A
~A={x∣(x∈E）∧（x A）}
~ A有下列性质： ⑴ ~（ ~A）=A
⑵ ~E=
⑶~ =E
⑷A∪~A=E
⑸A∩~A=
3-2 集合的运算
* 以后判断两集合相等就主要用这一重要定理。
定理：对任一Set A， A
3-1 集合的概念和表示法
例：若A={a,b,c},写出其所有子集。 解：Ø 、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}均是A的子 集