离散数学第七章 关系-集合的笛卡尔积集
n个集合笛卡尔积-概念解析以及定义
n个集合笛卡尔积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：集合是数学中重要的概念，它是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。
而笛卡尔积则是集合论中的一个重要概念，它是两个集合成对的元素组成的集合。
在本文中，我们将讨论n个集合的笛卡尔积，这是对笛卡尔积概念的推广和扩展。
本文将从集合的概念和笛卡尔积的定义开始，然后详细讨论n个集合的笛卡尔积，并探讨其应用和意义。
最后，我们将展望该概念可能的发展方向。
通过本文的阐述，读者将对n个集合的笛卡尔积有一个更加深入的理解，并且能够在实际问题中灵活运用。
1.2 文章结构文章结构部分:本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分中，将会对本文的主要内容进行概述，并介绍文章结构以及写作的目的。
在正文部分中，将深入讨论集合的概念，笛卡尔积的定义，以及n个集合的笛卡尔积。
最后，在结论部分中，将对本文的主要内容进行总结，探讨其应用和意义，并展望未来可能的研究方向。
通过这样的结构安排，读者能够清晰地了解本文的内容和逻辑发展。
1.3 目的目的部分的内容应该阐明本文的写作目的和意义，可以包括以下内容：1. 引起读者对n个集合笛卡尔积的兴趣，激发读者的求知欲和思考欲。
2. 解释为什么了解n个集合的笛卡尔积对于数学和计算机科学是重要的，以及在现实生活中的一些应用。
3. 引导读者对文章内容的主要讨论点和结论进行预期，帮助读者在阅读过程中更好地理解和吸收文章内容。
4. 可以突出本文的贡献和创新之处，强调写作本文的动机和意义。
2.正文2.1 集合的概念在数学中，集合是由一组互不相同的元素组成的。
这些元素可以是数字、字母、符号，甚至其他集合。
集合的概念是数学中非常基础的概念之一，它在各个领域都有着广泛的应用。
集合通常用大写字母表示，例如A、B、C等，而其中的元素用小写字母表示，例如a、b、c等。
集合可以用不同的方式描述，比如列举法、描述性定义、图示法等。
集合的特点包括互异性（集合中的元素各不相同）和无序性（集合中的元素没有顺序之分）。
集合上笛卡尔积的一些性质
定 义 ３ 假 设 Ｓ为一个 非 空集合 ， 笛 卡 尔 积 为 Ｓ 其 ×ｓ 如 果 存 在笛 卡尔 积 Ｓ×Ｓ的一 个 非 空 子 集 集合 ． Ｒ， 即 ≠ＲＣ Ｓ ×Ｓ， 么称 Ｒ是 集合 Ｓ的一 个关 系． 那 如果 集 合 Ｓ上具 有 多 种关 系 Ｒ。 … ， 那 么集 合 Ｓ ， ．一， Ｒ 和关 系类 一｛ ， ， 。组 合 在一起 一（ ） 为 系统 ， Ｒ。 … Ｒ 一 ｝ Ｓ， 称 简称 系统 ． 合 ｓ称为 系统 的状 态空 间 ， 集 而 状 态空 间 Ｓ内的元 素 称 为 系统 的一个 条件 ， 称条 件 ｚ 简 ． 定义 ４ ｒ 假设 一个 系统 的状 态 空间为 Ｓ， 笛卡 尔积 为 Ｓ×Ｓ 如果存 在笛 卡 尔积 Ｓ×Ｓ的两个 非 空 子 其 ，
２ 主 要 定 理
定理 １ 如果 Ｒ是 系统 的一 个关 系． ＲＣＳＸｓ， 么集合 Ｒ＿ ， ＸＲ 那 。Ｒ 和 （ ＵＲ ） Ｒ Ｒ ×（ ＵＲ ） 都
是关 系 （ 中 Ｒ 其 一｛ ：ｚ， ∈Ｒ）Ｒ ：｛ ：ｚ， ∈Ｒ｝ ， ≠Ｒ一 一 ｛ ， ：ｚ ） ｚ （ ） ， ｙ （ ） ） （ ） （ ， ∈Ｒ｝ ＣＳ×ｓ ． ）
Ｒ 一Ｒ ， 一尺。 我们 也说 ： ， ， 都 是状 态空 间 Ｓ的关 系 ， （ ，Ｒ。 … ， ） Ｒ ． Ｒ。 … Ｒ 且 Ｓ ｛ ， Ｒ ） 组成 系统 ． 例 ２ 假设 ～个 系统 的状 态空 问为 Ｓ ｛ ， ， ， ， ｝ 存在 一个 笛 卡尔积 的 Ｓ 一 １２３ ４５ ． ｘ５的三 个 子集 Ｒ ， ， 。 Ｒ。Ｒ
类似 地 ， Ｖ（ ） Ｒ ＵＲ ） ， （ ） Ｒ ＵＲ ） 于是 （ ） 或 （ ） 对 ， ∈（ 。 ～ 有 ｚ， ∈（ ｚ ， ｚ， ∈Ｒ ｚ， ∈Ｒｚ 即 （ ） ， ， ∈Ｒ『 Ｉ
同等学力研究生计算机学科离散数学基础第七章二元关系
第七章二元关系§1 有序对与笛卡尔积定义两个元素x与y按一定顺序排列构成的二元组称为一个有序对（或序偶），记为〈x,y〉，称x 为第一元素，y为第二元素。
性质 (1) ,,x y x y y x≠⇒〈〉≠〈〉(2) ,,x y u v x u y v〈〉=〈〉⇔=∧=例25 2,45,242xx x yx y+=⎧〈+〉=〈+〉⇒⎨=+⎩3,2x y⇒==−定义：设A、B为两个集合，称{},x y x A y B〈〉∈∧∈为集合A与B的笛卡尔积，记为A×B。
性质：(1) ,A A×=×=∅∅∅∅(2)笛卡尔积不满足交换律与结合律(3)笛卡尔积对并、交满足分配律×=××∪∪A B C A B A C()()()×=××∪∪B C A B A C A()()()×=××∩∩A B C A B A C()()()×=××∩∩B C A B A C A()()()(4)A C B D A B C D⊆∧⊆⇒×⊆×例A={1,2}，求P(A)×A。
§2 二元关系定义设R是集合，若R=∅或A≠∅且A中元素均为有序对，则称R为一个二元关系。
若〈x,y〉∈R，则称x与y有关系R，记为xRy。
定义：设A与B是两个集合，由A×B的子集定义的二元关系称为A到B的二元关系；当A=B 时，称之为A上的二元关系。
例 设A ={0,1}，则R 1={〈0,0〉,〈1,1〉}，R 2=∅， R 3=A ×A 都是A 上的二元关系。
例 设A 是n 元集，则A ×A 有n 2个元素，于是A ×A 有22n 个子集，由此得A 上有22n 个二元关系。
例 设A 是任一集合① 称∅是A 上的空关系 ② 称A ×A 是A 上的全域关系③ 称{},A I x x x A =〈〉∈是A 上的恒等关系。
离散数学课后答案
离散数学课后答案1. 集合论1.1. 集合的基本概念•问题1：什么是集合？如何表示一个集合？集合是由一些确定的元素构成的整体。
可以使用以下方式表示一个集合：–列举法：将集合的所有元素逐一列举出来，并用大括号{}包括起来。
–描述法：使用一种公式或条件来描述集合中的元素的特点，并用大括号{}包括起来。
–空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
•问题2：集合的关系有哪些？集合的关系有以下几种：–包含关系（⊆）：集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A是集合B的子集，表示为A⊆B。
–真包含关系（⊂）：集合A是集合B的子集，且A≠B，则称集合A是集合B的真子集，表示为A⊂B。
–并集（∪）：将两个集合中的所有元素合并在一起，去除重复元素。
–交集（∩）：将两个集合中共有的元素提取出来。
–差集（-）：从一个集合中去掉与另一个集合中相同的元素。
–互斥关系：两个集合没有共同的元素，即交集为空集。
1.2. 集合的运算•问题1：集合的运算有哪些？集合的运算有以下几种：–并集运算（∪）：将两个集合中的所有元素合并在一起，去除重复元素。
–交集运算（∩）：将两个集合中共有的元素提取出来。
–差集运算（-）：从一个集合中去掉与另一个集合中相同的元素。
–补集运算（C）：对于给定的全集U，集合A 在U中的补集就是U中除去集合A中的所有元素所构成的集合，表示为A’。
–笛卡尔积（×）：将两个集合的元素按照有序对的形式进行组合，构成一个新的集合。
•问题2：集合运算的性质有哪些？集合运算的性质有以下几种：–交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A。
–结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。
–分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)。
–吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A。
–互补律：A∪A’ = U，A∩A’ = ∅。
离散数学 集合的笛卡儿积与二元关系40页PPT
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
离散数学 集合的笛卡儿积与二元关系
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
▪
谢谢！
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高三离散数学知识点汇总
高三离散数学知识点汇总离散数学是计算机科学、信息技术以及其他相关领域中的重要基础学科，是高中阶段的数学课程之一。
下面将对高三离散数学的主要知识点进行汇总，以帮助学生更好地复习和掌握这门学科。
一、命题逻辑命题逻辑是离散数学的基础，它研究命题的逻辑关系及其合成。
以下是命题逻辑中常见的知识点：1. 命题与命题的合取（与）、析取（或）、非（非）运算；2. 命题的真值表与真值；3. 命题的等价、蕴含、互斥等逻辑关系；4. 命题的可满足性与有效性。
二、集合与关系集合论是离散数学中的另一重要组成部分，它研究集合及其间的关系。
以下是集合与关系中的主要知识点：1. 集合的表示方式与基本操作，如并集、交集、差集和补集；2. 笛卡尔积与关系的定义；3. 关系的性质，如自反性、对称性、传递性等；4. 等价关系与偏序关系的概念与判断；5. 关系的闭包与传递闭包。
三、图论图论是离散数学中的重要分支，它研究图及其相关的性质与算法。
以下是图论中的常见知识点：1. 图的基本概念与表示方式，如顶点、边、度、路径等；2. 树与森林的定义与性质，包括最小生成树与最短路径树等；3. 图的连通性与强连通性的判定；4. 图的着色与平面图的概念；5. 图的网络流与匹配等问题。
四、代数系统代数系统是离散数学的重要组成部分，它研究运算规则及其相应的结构。
以下是代数系统中的主要知识点：1. 半群、幺半群、群的概念与性质；2. 环、域的定义与性质；3. 线性方程组与矩阵的基本运算；4. 同余与剩余类的概念与应用。
五、概率与统计概率与统计是离散数学的重要应用领域，它研究随机事件及其规律性。
以下是概率与统计中的常见知识点：1. 随机事件的基本概念与性质；2. 概率的计算方法，包括古典概型、几何概型、条件概率等；3. 随机变量与概率分布的概念与应用；4. 抽样与统计推断，包括参数估计与假设检验等。
综上所述，高三离散数学的知识点涵盖了命题逻辑、集合与关系、图论、代数系统以及概率与统计等方面。
离散数学集合与关系共30页文档
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
30
离散数学_集合与关系_关系
13
例如 例3中的 A {1,2,3,4} ，
{(1,1), (1,2 ), (1,3 ), (1,4 ), ( 2,2 ), ( 2,4 ), ( 3,3 ), ( 4,4 )}
的关系图如下：
14
练习3-6
1. 设A
{0,1,2}，B {0,2,4} ，A到B的关系
B {1,2}
。 }
A B {
(0,1), (0,2), (1,1), (1,2) (1,1), (1,2 ), ( 2,1), ( 2, 2)
B B {
}
8
关系的表示
一、集合表示法
用表示集合的列举法或描述法来表示关系。
例1 设A { 2,3,4,8},B {1,5,7 } , 用描述 } 法定义由A到B的关系 {( a, b ) | a b，试
用列举法将
表示出来。
解
{( 2,5 ), ( 2,7 ),( 3,5 ), ( 3,7 ) ( 4,5 ), ( 4,7 )}
9
例2 有王、张、李、何是某校的老师，该校有
三门课程：语文、数学和英语，已知王可以教语文 和数学，张可以教语文和英语，李可以教数学，何 可以教英语，若记A={王，张，李，何}，B={语文， 数学，英语}。那么这些老师与课程之间的对应关系 就可以用由A到B的一个关系
3利用关系图求复合关系是有限集a上的关系则复合关系也是a上的关系由复合关系的定义对于任意的反映在关系图上这意味着当且仅当在的关系图中有某一结点存在使得有边由指向且有边由指向的关系图中有边从指向理同志关系上搞庸俗关系学热衷于迎来送往
1Байду номын сангаас
离散数学教程——集合的基本概念
集。记为P(A)。
例 1.1（已知A，求幂集）
定理 1.3 | P(A) |=2|A|
证明方法：组合的方法
求幂集 —— 代数法
P13 习题1.13 设A={a, {a}}，问： (1) {a}P(A)? {a}P(A)? (2) {{a}}P(A)? {{a}}P(A)? (3) 又设A={a, {b}}，重复(1)、(2)。 解: (1, 2)首先求P(A)，代数法：
反证法的思想 / 思维过程
“结论不成立”与“结论成立”必有一 个正确。
“结论不成立”会导致出现错误，推理 过程、已知条件、公理和已知定理没有错 误，惟一有错误的是一开始接假定的“结 论不成立”，所以“结论不可能不成立”， 即“结论成立”。
1.2 集合的子集
六 定义1.5（幂集）：
A的所有子集组成的集合称为A的幂
离散数学教程
——集合的基本概念
1.1 集合的表示 1.2 集合的子集 1.3 笛卡尔积 1.4 集合的运算 1.5 罗素悖论
引言：什么是集合？
一些自行车 在计算机系车棚内的自行车
一些自行车 不是集合，无法确定范围和性质
在计算机系车棚内的自行车 是集合，可以确定范围和性质
1.1 集合的表示
(1) 分配律
B(A1A2…An)=(BA1) (BA2) … (BAn) B(A1 A2… An)= (BA1) (BA2)…(BAn) (2) 狄•摩根律
n i 1
Ai
n i 1
Ai
n i 1
Ai
n i 1
Ai
1.4 集合的运算
六、广义并、广义交 1. 定义（广义并）
设Ǽ为一个集合族，称由Ǽ中全体元素的元 素组成的集合成为的Ǽ广义并集，记作Ǽ ，
集合的笛卡尔积集.ppt
覆盖
设(A，≺ )是一个偏序集， A是一个有限集，|A|=n。 对于任意的x，y∊A，且x≠y， 假设(x, y) ∊≺，即 x ≺ y。 如果对于∀z∊A，
由x ≺ z，且 z ≺ y，一定能够推出x=z或y=z， 那么我们说 y覆盖x。
例
A={1, 2, 3, 4} ≺={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (1,3), (1,4), (2,4)}
⋯⋯⋯
({ e }, ≺)
反链? 链?
全序集
设(A，≺)是一个偏序集， 如果它本身就是一条链， 那么称之为全序集，并称≺ 为全序关系。
例 A={ a, b, c, d, e}
d c
e b
a
d
c e
b a
≺={ (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (a,b), (a,c), (a,d), (a,e), (b,c), (b,d), (c,d), (e,d) }
✘✔ ✘ ✔
d
j
k
h
4
c
e
h
i
e
f
g
2
3b
f
g
b
c
d
1
a
bc de
a
a
图7.３(a)
(b)
(c)
(d)
命题 一个有限格，一定有最小元和最大元。
(1) 用数学归纳法证明一定有最小元如下： 设(A，≺)是一个有限格，记|A|=n。 当n=1时，结论显然成立。 归纳假设当n=k时，结论成立。考察n=k+1的情况： 不妨记 A={a1,…,ak, ak+1}=A’∪{ak+1} , 这里A’={a1,…,ak}, |A’|=k。 显然，(A’，≺)也是一个有限格 由归纳假设知道， (A’，≺)有最小元，不妨记之为d。 因为(A，≺)是一个格， 则A中存在d与ak+1的最大下界glb(d,ak+1), 可以说明它即为(A，≺)的最小元。
离散数学集合论基础知识
离散数学集合论基础知识离散数学是计算机科学中一门重要的基础学科，集合论是离散数学的基础之一。
在这篇文章中，我们将介绍离散数学集合论的基础知识，包括集合的定义、运算、关系等内容。
一、集合的定义与表示集合是具有确定性的事物或对象的总体，它是数学中的一个基本概念。
我们可以用不同的方式表示一个集合，包括列举法、描述法和图形法。
（一）列举法列举法是通过列举集合中的元素来表示一个集合。
例如，可以用列举法表示自然数集合N={1, 2, 3, 4, …}，表示所有正整数的集合。
（二）描述法描述法是通过描述集合中元素的性质来表示一个集合。
例如，可以用描述法表示偶数集合E={x | x是整数，且x能被2整除}，表示所有能被2整除的整数的集合。
（三）图形法图形法是用图形的方式表示一个集合。
例如，可以用图形法表示平面上所有整数坐标点构成的集合。
二、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。
（一）并集集合A与集合B的并集，记作A∪B，表示由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合。
例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
（二）交集集合A与集合B的交集，记作A∩B，表示由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合。
例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。
（三）差集集合A与集合B的差集，记作A-B，表示由属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合。
例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。
（四）补集对于给定的全集U，集合A相对于全集U的补集，记作A'或者A^c，表示由全集U中不属于集合A的元素组成的集合。
例如，设全集U为自然数集合N，A={2, 4, 6}，则A'={1, 3, 5, 7, ...}（即不是偶数的自然数）。
三、集合的关系集合的关系包括包含关系、相等关系和互斥关系等。
离散数学 第七章的课件
主要内容 有序对与笛卡儿积 二元关系的定义与表示法 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系
1
7.1 有序对与笛卡儿积
定义7.1 由两个元素 x 和 y(允许x = y)，按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对或序偶，记作<x,y>. 其中，x是它的第一个元素，y是它的第二个元素。
0 1 0 0
0 1 0 0
13
题目 A={a, b, c, d}, R={<a, a>,<a, b>,<a, c>,<b, a>,<d, b>}, R的关系矩阵 MR 和关系图 GR 如下：
1 1 MR 0 0
1 0 0 1
1 0 0 0
0 0 0 0
9
实例
例如, A={1, 2}, 则 EA = {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA = {<1,1>,<2,2>}
例如 A = {1, 2, 3}, B={a, b}, 则 LA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
c
d
14
7.3 关系的运算
关系的基本运算（7种） 定义7.6 设R是二元关系。 （1）R中所有的有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域，记作 domR，形式化表示为 domR = { x | y (<x,y>R) } （2）R中所有的有序对的第二元素构成的集合称为 R的值域，记作ranR， 形式化表示为 ranR = { y | x (<x,y>R) } （3）R的定义域和值域的并集称为R的域，记作fldR，形式化表示为 fldR = domR ranR
离散数学知识点整理
离散数学一、逻辑和证明1.1命题逻辑命题：是一个可以判断真假的陈述句。
联接词：A、V、一、f「。
记住“p仅当q”意思是“如果p,则q"，即p-。
记住“q除非p”意思是“」p-q”。
会考察条件语句翻译成汉语。
构造真1.2语句翻译系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。
1.3命题等价式逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
证逻辑等价是通过p推导出q,证永真式是通过p推导出T。
(p—r)A(q-r) = (pVq)-r(p—q)V(p-r) = p—(qVr)(p—r)V(q-r) = (pAq)-r双条件命题等价式pf = (pfq) A (qfp)pf = -pfqpf Q (pAq) V(-pA-q)「(pf) = pfq1.4量词谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如V x>0P(x)。
当论域中的元素可以一一列举，那么V xP(x)就等价于P(x1)AP(x2)...A P(xn)。
同理，3 xP(x)就等价于 P(x1)VP(x2)...VP(xn)。
两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如V x(P(x)AQ(x))和(V xP(x)) A (V xQ(x))。
量词表达式的否定：「V xP(x) Q 3 x-P(x),「3 xP(x) Q V x-P(x)。
1.5量词嵌套我们采用循环的思考方法。
量词顺序的不同会影响结果。
语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。
嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。
1.6推理规则一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。
但有效论证不代命题和量化命题的组合使用。
二、集合、函数、序列、与矩阵2.1集合£说的是元素与集合的关系，^说的是集合与集合的关系。
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息技术、通信工程等领域有着广泛的应用。
以下是对离散数学中一些重要知识点的整理。
一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
集合是由一些确定的、互不相同的对象所组成的整体。
集合的表示方法有列举法和描述法。
列举法就是将集合中的元素一一列举出来，用花括号括起来；描述法是通过描述元素所具有的性质来表示集合。
集合之间的关系包括子集、真子集、相等。
如果集合 A 的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集；如果 A 是 B 的子集，且 B 中存在元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集；如果两个集合的元素完全相同，那么它们相等。
集合的运算有并集、交集、差集和补集。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同的元素组成的新集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合的元素所剩下的元素组成的集合；补集是在给定的全集 U 中，去掉集合 A 的元素，剩下的元素组成的集合。
二、关系关系是集合中元素之间的某种联系。
可以用笛卡尔积来定义关系。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
自反性是指集合中的每个元素都与自身有关系；反自反性则是集合中的任何元素都与自身没有关系；对称性是如果 a 与 b 有关系，那么 b 与 a 也有关系；反对称性是如果 a 与 b 有关系且 b 与 a 有关系，那么 a 等于 b；传递性是如果 a 与 b 有关系，b 与 c 有关系，那么 a 与 c 有关系。
关系可以用关系矩阵和关系图来表示。
关系矩阵是一个二维矩阵，其中的元素表示对应元素之间是否有关系；关系图则是用节点表示元素，用有向边表示关系。
三、函数函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
函数的类型有单射函数（一对一函数）、满射函数（映上函数）和双射函数（一一对应函数）。
单射函数是指不同的定义域元素对应不同的值域元素；满射函数是指值域中的每个元素都有定义域中的元素与之对应；双射函数则同时满足单射和满射的性质。
离散数学知识点
离散数学知识点离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等众多领域都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起走进离散数学的知识世界。
首先，集合论是离散数学的基础。
集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总体。
比如一个班级里的学生可以组成一个集合，一周的七天也可以组成一个集合。
集合的运算包括并集、交集、差集等。
并集就是把两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集则是两个集合中共同拥有的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所剩下的元素组成的集合。
通过集合的运算，可以方便地处理和分析各种数据。
关系也是离散数学中的重要概念。
关系可以理解为两个集合元素之间的某种联系。
比如在学生集合和课程集合之间，存在着“选修”的关系。
关系可以用矩阵或者图来表示，这有助于直观地理解和分析关系的性质。
常见的关系有自反关系、对称关系、传递关系等。
自反关系指的是集合中的每个元素都与自身有某种关系；对称关系表示如果元素 a 与元素 b 有某种关系，那么 b 与 a 也有这种关系；传递关系是说如果 a 与 b 有某种关系，b 与 c 有这种关系，那么 a 与 c 也有这种关系。
接下来是函数。
函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
比如将学生的学号映射到学生的成绩，这就是一个函数。
函数在计算机程序设计中有着至关重要的作用，它可以帮助我们实现各种数据的处理和转换。
逻辑推理在离散数学中也占据着重要地位。
命题逻辑通过研究命题之间的关系和推理规则，帮助我们判断语句的真假和进行逻辑论证。
比如“今天是晴天并且我心情很好”，这就是一个由两个命题组成的复合命题，通过逻辑运算符“并且”连接。
谓词逻辑则在命题逻辑的基础上进一步深入，引入了量词（全称量词和存在量词），能够更精确地描述和推理数学中的各种陈述。
图论是离散数学中非常有趣且实用的一部分。
图由顶点和边组成，可以用来表示各种实际问题。
离散数学中的集合与关系理论
离散数学中的集合与关系理论离散数学是数学中的一门重要分支，主要研究离散的数值和结构。
在离散数学中，集合与关系理论是两个基础且关键的概念。
本文将对离散数学中的集合与关系理论进行探讨。
一、集合在离散数学中，集合是由元素组成的整体。
集合的表示可以使用不同的方式，如枚举法、描述法和扩展法。
其中，枚举法通过罗列元素的方式来表示集合。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4}就是使用了枚举法表示的集合。
集合的运算是集合理论中的重要内容。
常见的集合运算有并集、交集、差集和补集。
并集表示两个集合中的所有元素的组合，交集表示两个集合中共有的元素，差集表示一个集合减去另一个集合中的元素，补集表示一个集合相对于全集中没有的元素。
集合的关系也是集合理论中的重要内容。
常见的集合关系有相等关系、包含关系和子集关系。
相等关系指的是两个集合具有相同的元素，包含关系指的是一个集合包含另一个集合中的所有元素，子集关系指的是一个集合包含于另一个集合。
二、关系关系是研究离散数学中元素之间联系的一种数学工具。
在离散数学中，关系可以用一个有序对的集合表示。
例如，关系R = {(1, 2), (2, 3),(3, 4)}表示了元素1与2之间、元素2与3之间、元素3与4之间的联系。
关系可以是自反的、对称的、传递的等。
自反关系指的是每个元素与自己之间有联系，对称关系指的是如果元素a与元素b之间有联系，则元素b与元素a之间也有联系，传递关系指的是如果元素a与元素b 之间有联系，元素b与元素c之间有联系，则元素a与元素c之间也有联系。
离散数学中的关系还可以进行合成和关系的闭包运算。
关系的合成指的是将两个关系进行组合，得到一个新的关系。
关系的闭包指的是将一个关系进行扩展，使得它满足某些性质。
集合和关系是离散数学中的两个重要概念，它们在离散数学中起着重要的作用。
集合可以用来整理和分类元素，关系可以用来描述元素之间的联系。
它们的研究对于理解和解决实际问题具有重要意义。
824计算机专业基础A研究生入学考试大纲【模板】
824 计算机专业基础A 研究生入学考试大纲离散数学部分：1 命题演算基础1．1 命题与联结词①命题②联结词③合式公式④命题的符号化1.2 真假性①解释②等价公式③联结词的完备集④对偶式和内否式。
1.3 范式及其应用①范式②主范式2 命题演算的推理理论2.1 命题演算的公理系统①公理系统的组成部分②公理系统的推理过程2.2 命题演算的假设推理系统①假设推理系统的组成②假设推理系统的推理过程2.3 命题演算的归结推理法①归结证明过程②归结证明方法3 谓词演算基础3.1 谓词和个体①个体②谓词③语句的符号化3.2 函数和量词①函数项②量词3.4 永真性和可满足性①真假性②同真假性③永真性和可满足性④范式4 谓词演算的推理理论4.1 谓词演算的永真公理系统①公理系统的组成部分②公理系统的推理过程4.2 谓词演算的假设推理系统①假设推理系统的组成及证明方法②定理的推导过程4.3 谓词演算的归结系统①置换②归结反演系统③霍恩子句逻辑程序5递归函数论5.1 数论函数和数论谓词5.2 函数的构造6 集合6．1 集合的基本概念①集合；②子集合；③空集合；④集合的相等。
6．2 集合的基本运算①集合的运算；②集合的交；③集合的并；④集合的差；⑤集合的对称差；⑥集合的广义交；⑦集合的广义并；⑧幂集合。
6．3 全集和集合的补①全集；②集合的补；③德·摩根定律。
6．4 自然数与自然数集①自然数；②自然数集；③数学归纳法；④集合的归纳定义。
6．5 包含与排斥原理①有限集；②包含与排斥原理。
7 关系7．1 集合的笛卡尔积集①有序对；②集合的笛卡尔积集；③有序n(n2)元组；④n重(n2)笛卡尔积集。
7．2 二元关系的基本概念①二元关系；②二元关系的表示；③二元关系的图形表示；④二元关系的矩表示；⑤二元关系的运算；⑥二元关系的复合运算；⑦二元关系的逆关系。
7．3 二元关系的性质①二元关系的性质；②自反的二元关系；③反自反的二元关系；④对称的二元关系；⑤反对称的二元关系；⑥传递的二元关系。
《离散数学》课程教学大纲
《离散数学》课程教学大纲一、课程简介课程名称：离散数学英文名称：Discrete Mathematics课程代码：课程类别：专业基础课学分：3 总学时：48课程概要：《离散数学》是现代数学的一个重要分支，是计算机类各专业的一门重要基础课，是计算机科学理论的基础。
它是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可列个元素，因此它充分描述了计算机科学的离散性特点。
其主要内容包括数理逻辑、集合论、关系与函数、图论等内容。
该课程与计算机类专业中的数据结构、操作系统、编译原理、数据库原理与应用、人工智能等后继专业课程紧密相关，因此是一门重要的学科基础必修课程。
该课程以高等数学、线性代数为先修课程，但关系不很紧密。
二、教学目的及要求通过该课程的学习，使学生掌握命题逻辑与谓词逻辑、集合与关系、图与树的基本概念和基本理论与方法，为学生学习计算机领域的后续课程奠定理论基础，并培养学生抽象思维、缜密概括和严密的逻辑推理能力，为学生今后处理离散信息打好数学基础。
三、教学内容及学时分配第一章命题逻辑（12学时）1.命题及其表示；2.逻辑联结词；3.命题公式与翻译；4.真值表与等价公式；5.命题公式的分类与蕴含式；6.命题公式的范式；7.命题逻辑的推理理论。
教学要求：熟悉命题、命题的真值、简单命题、复合命题、命题公式、真值表、等价公式、重言式、矛盾式、蕴涵式、（主）析取范式、（主）合取范式等概念；熟悉五个基本联结词（⌝、∧、∨、→、↔）的定义；掌握命题公式的翻译、命题公式的类型的判别、命题定律、证明两个命题公式等价的真值表法和等值演算法及命题公式的（主）析取范式、（主）合取范式的求法；掌握推理证明的直接证法和间接证法。
重点：五个逻辑联结词；翻译、命题公式的等值演算、主析取范式、主合取范式；推理证明的直接证法和间接证法。
难点：命题公式的主析取范式、主合取范式的求法；推理证明的间接证法。
第二章谓词逻辑（10学时）1.谓词与量词；2.谓词公式与翻译；3.变元的约束；4.谓词演算的等价式与蕴含式；5.谓词演算的推理理论。
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（a1,a2,…,an-1,an ）
笛卡尔积集
定义4 设A1，A2，…，An 是 n(≥2)个集合，这n 个集合的笛卡尔积集记作 A1×A2×…×An，
即
A1×…×An＝{(a1,a2,…,an)│ a1∊A1,┅,an∊An}
当 A1＝A2＝…＝An时, 记之为An, 即 An= A×A×…×A
第七章 关系
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 集合的笛卡尔积集 二元关系的基本概念 二元关系的性质 二元关系的闭包运算 等价关系和集合的划分 偏序关系和格 链与反链
目录（集合论）
第六章 集合（4学时） 第七章 关系（8学时） 第八章 函数与集合的势（5学时）
第七章 关系
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 集合的笛卡尔积集 二元关系的基本概念 二元关系的性质 二元关系的闭包运算 等价关系和集合的划分 偏序关系和格 链与反链
7.1 集合的笛卡尔积集
思路: 要分别证明 A×(B∪C)⊆(A×B)∪(A×C) (A×B)∪(A×C) ⊆A×(B∪C)
例１ 求证： A×(B∪C)=(A×B) ∪(A×C)
证明：对于任意的x，y， 若(x,y) ∊A×(B∪C)，即有x∊A且 y∊B或C. 若y∊B, 则 (x,y) ∊A×B； 若y∊C, 则 (x,y) ∊A×C ， 所以(x,y) ∊(A×B) ∪(A×C)，故 A×(B∪C)⊆(A×B)∪(A×C). 对于任意的x，y，若(x,y) ∊(A×B) ∪(A×C)， 即(x,y)∊A×B, 或 (x,y) ∊A×C. 若(x,y)∊A×B，则x∊A且 y∊B； 若(x,y)∊A×C，则x∊A且 y∊C。 所以x∊A且 y∊B∪C, 得(x,y)∊A×(B∪C)，故 (A×B)∪(A×C) ⊆A×(B∪C). 综上可知， A×(B∪C)=(A×B) ∪(A×C) 。
例2 A，B，C，D为任意集合，判断等式
(A∪B)×(C∪D)=(A×C) ∪(B×D)
是否成立。
答：不成立。 若A=D=Ø，B=C={a}，则 (A∪B)×(C∪D)=B×C={(a,a)} (A×C) ∪(B×D)=Ø×Ø=Ø
有序 n元组
定义3 一个有序n(n≥3) 元组是一个有序二 元组，其中第一个元素是一个有序 (n-1)元组，记为
笛卡尔积集的性质
性质1．若A和B有一个是空集，则它们的笛卡尔积 集是空集，即 Ø ×B=A×Ø =Ø 性质2．当A≠B，且A和B均不是空集时，有 A×B≠B×A 性质3．当A，B，C均不是空集时，有 (A×B) ×C≠A×(B×C)
尚未定义(a,b,c)
((a,b),c)≠(a,(b,c))
例１ 求证： A×(B∪C)=(A×B) ∪(A×C)
定义1 a和b是两个元素，把a作为第一个元素，把b 作为第二个元素，按这个顺序排列的一个二元 组叫有序二元组, 简称有序对， 记为:
（a，b）
特点：
(1) 当a≠b时，（a，b）≠（b，a）； (2) 两个有序二元组相等，即（a，b）＝（x，y） 的充分必要条件是 a＝x 且b=y。
笛卡尔积集
定义：设A和B是两个集合，存在一个集合，它的元素 是用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素 构成的有序二元组。称它为集合A和B的笛卡尔 积集，记为 A×B 。即
A×B＝{(a,b)│a∊A,b∊B}。
例 A={1,2}， B={a,b,c}, A×B＝{(1,a), (1,b), (1,c), (2,a),es（1596～1650）
著名的法国哲学家、数学家、物理 学家，解析几何学奠基人之一。在 今天，巴黎安葬民族先贤的圣日耳 曼圣心堂中，庄重的大理石墓碑上 镌刻着“笛卡尔，欧洲文艺复兴以 来，第一个为人类争取并保证理性 权利的人”。 笛卡儿的著作，无论是数学、自然科学，还是哲学， 都开创了这些学科的崭新时代。《几何学》是他公开 发表的唯一数学著作，虽则只有117页，但它标志着代 数与几何的第一次完美结合，使形形色色的代数方程 表现为不同的几何图形，许多相当难解的几何题转化 为代数题后能轻而易举地找到答案.