离散数学第七章 关系-集合的笛卡尔积集
n个集合笛卡尔积-概念解析以及定义
n个集合笛卡尔积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：集合是数学中重要的概念，它是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。
而笛卡尔积则是集合论中的一个重要概念，它是两个集合成对的元素组成的集合。
在本文中，我们将讨论n个集合的笛卡尔积，这是对笛卡尔积概念的推广和扩展。
本文将从集合的概念和笛卡尔积的定义开始，然后详细讨论n个集合的笛卡尔积，并探讨其应用和意义。
最后，我们将展望该概念可能的发展方向。
通过本文的阐述，读者将对n个集合的笛卡尔积有一个更加深入的理解，并且能够在实际问题中灵活运用。
1.2 文章结构文章结构部分:本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分中，将会对本文的主要内容进行概述，并介绍文章结构以及写作的目的。
在正文部分中，将深入讨论集合的概念，笛卡尔积的定义，以及n个集合的笛卡尔积。
最后，在结论部分中，将对本文的主要内容进行总结，探讨其应用和意义，并展望未来可能的研究方向。
通过这样的结构安排，读者能够清晰地了解本文的内容和逻辑发展。
1.3 目的目的部分的内容应该阐明本文的写作目的和意义，可以包括以下内容：1. 引起读者对n个集合笛卡尔积的兴趣，激发读者的求知欲和思考欲。
2. 解释为什么了解n个集合的笛卡尔积对于数学和计算机科学是重要的，以及在现实生活中的一些应用。
3. 引导读者对文章内容的主要讨论点和结论进行预期，帮助读者在阅读过程中更好地理解和吸收文章内容。
4. 可以突出本文的贡献和创新之处，强调写作本文的动机和意义。
2.正文2.1 集合的概念在数学中，集合是由一组互不相同的元素组成的。
这些元素可以是数字、字母、符号，甚至其他集合。
集合的概念是数学中非常基础的概念之一，它在各个领域都有着广泛的应用。
集合通常用大写字母表示，例如A、B、C等，而其中的元素用小写字母表示，例如a、b、c等。
集合可以用不同的方式描述，比如列举法、描述性定义、图示法等。
集合的特点包括互异性（集合中的元素各不相同）和无序性（集合中的元素没有顺序之分）。
集合上笛卡尔积的一些性质
定 义 ３ 假 设 Ｓ为一个 非 空集合 ， 笛 卡 尔 积 为 Ｓ 其 ×ｓ 如 果 存 在笛 卡尔 积 Ｓ×Ｓ的一 个 非 空 子 集 集合 ． Ｒ， 即 ≠ＲＣ Ｓ ×Ｓ， 么称 Ｒ是 集合 Ｓ的一 个关 系． 那 如果 集 合 Ｓ上具 有 多 种关 系 Ｒ。 … ， 那 么集 合 Ｓ ， ．一， Ｒ 和关 系类 一｛ ， ， 。组 合 在一起 一（ ） 为 系统 ， Ｒ。 … Ｒ 一 ｝ Ｓ， 称 简称 系统 ． 合 ｓ称为 系统 的状 态空 间 ， 集 而 状 态空 间 Ｓ内的元 素 称 为 系统 的一个 条件 ， 称条 件 ｚ 简 ． 定义 ４ ｒ 假设 一个 系统 的状 态 空间为 Ｓ， 笛卡 尔积 为 Ｓ×Ｓ 如果存 在笛 卡 尔积 Ｓ×Ｓ的两个 非 空 子 其 ，
２ 主 要 定 理
定理 １ 如果 Ｒ是 系统 的一 个关 系． ＲＣＳＸｓ， 么集合 Ｒ＿ ， ＸＲ 那 。Ｒ 和 （ ＵＲ ） Ｒ Ｒ ×（ ＵＲ ） 都
是关 系 （ 中 Ｒ 其 一｛ ：ｚ， ∈Ｒ）Ｒ ：｛ ：ｚ， ∈Ｒ｝ ， ≠Ｒ一 一 ｛ ， ：ｚ ） ｚ （ ） ， ｙ （ ） ） （ ） （ ， ∈Ｒ｝ ＣＳ×ｓ ． ）
Ｒ 一Ｒ ， 一尺。 我们 也说 ： ， ， 都 是状 态空 间 Ｓ的关 系 ， （ ，Ｒ。 … ， ） Ｒ ． Ｒ。 … Ｒ 且 Ｓ ｛ ， Ｒ ） 组成 系统 ． 例 ２ 假设 ～个 系统 的状 态空 问为 Ｓ ｛ ， ， ， ， ｝ 存在 一个 笛 卡尔积 的 Ｓ 一 １２３ ４５ ． ｘ５的三 个 子集 Ｒ ， ， 。 Ｒ。Ｒ
类似 地 ， Ｖ（ ） Ｒ ＵＲ ） ， （ ） Ｒ ＵＲ ） 于是 （ ） 或 （ ） 对 ， ∈（ 。 ～ 有 ｚ， ∈（ ｚ ， ｚ， ∈Ｒ ｚ， ∈Ｒｚ 即 （ ） ， ， ∈Ｒ『 Ｉ
同等学力研究生计算机学科离散数学基础第七章二元关系
第七章二元关系§1 有序对与笛卡尔积定义两个元素x与y按一定顺序排列构成的二元组称为一个有序对（或序偶），记为〈x,y〉，称x 为第一元素，y为第二元素。
性质 (1) ,,x y x y y x≠⇒〈〉≠〈〉(2) ,,x y u v x u y v〈〉=〈〉⇔=∧=例25 2,45,242xx x yx y+=⎧〈+〉=〈+〉⇒⎨=+⎩3,2x y⇒==−定义：设A、B为两个集合，称{},x y x A y B〈〉∈∧∈为集合A与B的笛卡尔积，记为A×B。
性质：(1) ,A A×=×=∅∅∅∅(2)笛卡尔积不满足交换律与结合律(3)笛卡尔积对并、交满足分配律×=××∪∪A B C A B A C()()()×=××∪∪B C A B A C A()()()×=××∩∩A B C A B A C()()()×=××∩∩B C A B A C A()()()(4)A C B D A B C D⊆∧⊆⇒×⊆×例A={1,2}，求P(A)×A。
§2 二元关系定义设R是集合，若R=∅或A≠∅且A中元素均为有序对，则称R为一个二元关系。
若〈x,y〉∈R，则称x与y有关系R，记为xRy。
定义：设A与B是两个集合，由A×B的子集定义的二元关系称为A到B的二元关系；当A=B 时，称之为A上的二元关系。
例 设A ={0,1}，则R 1={〈0,0〉,〈1,1〉}，R 2=∅， R 3=A ×A 都是A 上的二元关系。
例 设A 是n 元集，则A ×A 有n 2个元素，于是A ×A 有22n 个子集，由此得A 上有22n 个二元关系。
例 设A 是任一集合① 称∅是A 上的空关系 ② 称A ×A 是A 上的全域关系③ 称{},A I x x x A =〈〉∈是A 上的恒等关系。
离散数学课后答案
离散数学课后答案1. 集合论1.1. 集合的基本概念•问题1：什么是集合？如何表示一个集合？集合是由一些确定的元素构成的整体。
可以使用以下方式表示一个集合：–列举法：将集合的所有元素逐一列举出来，并用大括号{}包括起来。
–描述法：使用一种公式或条件来描述集合中的元素的特点，并用大括号{}包括起来。
–空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
•问题2：集合的关系有哪些？集合的关系有以下几种：–包含关系（⊆）：集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A是集合B的子集，表示为A⊆B。
–真包含关系（⊂）：集合A是集合B的子集，且A≠B，则称集合A是集合B的真子集，表示为A⊂B。
–并集（∪）：将两个集合中的所有元素合并在一起，去除重复元素。
–交集（∩）：将两个集合中共有的元素提取出来。
–差集（-）：从一个集合中去掉与另一个集合中相同的元素。
–互斥关系：两个集合没有共同的元素，即交集为空集。
1.2. 集合的运算•问题1：集合的运算有哪些？集合的运算有以下几种：–并集运算（∪）：将两个集合中的所有元素合并在一起，去除重复元素。
–交集运算（∩）：将两个集合中共有的元素提取出来。
–差集运算（-）：从一个集合中去掉与另一个集合中相同的元素。
–补集运算（C）：对于给定的全集U，集合A 在U中的补集就是U中除去集合A中的所有元素所构成的集合，表示为A’。
–笛卡尔积（×）：将两个集合的元素按照有序对的形式进行组合，构成一个新的集合。
•问题2：集合运算的性质有哪些？集合运算的性质有以下几种：–交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A。
–结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。
–分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)。
–吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A。
–互补律：A∪A’ = U，A∩A’ = ∅。
离散数学 集合的笛卡儿积与二元关系40页PPT
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
离散数学 集合的笛卡儿积与二元关系
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
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谢谢！
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高三离散数学知识点汇总
高三离散数学知识点汇总离散数学是计算机科学、信息技术以及其他相关领域中的重要基础学科，是高中阶段的数学课程之一。
下面将对高三离散数学的主要知识点进行汇总，以帮助学生更好地复习和掌握这门学科。
一、命题逻辑命题逻辑是离散数学的基础，它研究命题的逻辑关系及其合成。
以下是命题逻辑中常见的知识点：1. 命题与命题的合取（与）、析取（或）、非（非）运算；2. 命题的真值表与真值；3. 命题的等价、蕴含、互斥等逻辑关系；4. 命题的可满足性与有效性。
二、集合与关系集合论是离散数学中的另一重要组成部分，它研究集合及其间的关系。
以下是集合与关系中的主要知识点：1. 集合的表示方式与基本操作，如并集、交集、差集和补集；2. 笛卡尔积与关系的定义；3. 关系的性质，如自反性、对称性、传递性等；4. 等价关系与偏序关系的概念与判断；5. 关系的闭包与传递闭包。
三、图论图论是离散数学中的重要分支，它研究图及其相关的性质与算法。
以下是图论中的常见知识点：1. 图的基本概念与表示方式，如顶点、边、度、路径等；2. 树与森林的定义与性质，包括最小生成树与最短路径树等；3. 图的连通性与强连通性的判定；4. 图的着色与平面图的概念；5. 图的网络流与匹配等问题。
四、代数系统代数系统是离散数学的重要组成部分，它研究运算规则及其相应的结构。
以下是代数系统中的主要知识点：1. 半群、幺半群、群的概念与性质；2. 环、域的定义与性质；3. 线性方程组与矩阵的基本运算；4. 同余与剩余类的概念与应用。
五、概率与统计概率与统计是离散数学的重要应用领域，它研究随机事件及其规律性。
以下是概率与统计中的常见知识点：1. 随机事件的基本概念与性质；2. 概率的计算方法，包括古典概型、几何概型、条件概率等；3. 随机变量与概率分布的概念与应用；4. 抽样与统计推断，包括参数估计与假设检验等。
综上所述，高三离散数学的知识点涵盖了命题逻辑、集合与关系、图论、代数系统以及概率与统计等方面。
离散数学集合与关系共30页文档
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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离散数学_集合与关系_关系
13
例如 例3中的 A {1,2,3,4} ，
{(1,1), (1,2 ), (1,3 ), (1,4 ), ( 2,2 ), ( 2,4 ), ( 3,3 ), ( 4,4 )}
的关系图如下：
14
练习3-6
1. 设A
{0,1,2}，B {0,2,4} ，A到B的关系
B {1,2}
。 }
A B {
(0,1), (0,2), (1,1), (1,2) (1,1), (1,2 ), ( 2,1), ( 2, 2)
B B {
}
8
关系的表示
一、集合表示法
用表示集合的列举法或描述法来表示关系。
例1 设A { 2,3,4,8},B {1,5,7 } , 用描述 } 法定义由A到B的关系 {( a, b ) | a b，试
用列举法将
表示出来。
解
{( 2,5 ), ( 2,7 ),( 3,5 ), ( 3,7 ) ( 4,5 ), ( 4,7 )}
9
例2 有王、张、李、何是某校的老师，该校有
三门课程：语文、数学和英语，已知王可以教语文 和数学，张可以教语文和英语，李可以教数学，何 可以教英语，若记A={王，张，李，何}，B={语文， 数学，英语}。那么这些老师与课程之间的对应关系 就可以用由A到B的一个关系
3利用关系图求复合关系是有限集a上的关系则复合关系也是a上的关系由复合关系的定义对于任意的反映在关系图上这意味着当且仅当在的关系图中有某一结点存在使得有边由指向且有边由指向的关系图中有边从指向理同志关系上搞庸俗关系学热衷于迎来送往
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（a1,a2,…,an-1,an ）
笛卡尔积集
定义4 设A1，A2，…，An 是 n(≥2)个集合，这n 个集合的笛卡尔积集记作 A1×A2×…×An，
即
A1×…×An＝{(a1,a2,…,an)│ a1∊A1,┅,an∊An}
当 A1＝A2＝…＝An时, 记之为An, 即 An= A×A×…×A
第七章 关系
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 集合的笛卡尔积集 二元关系的基本概念 二元关系的性质 二元关系的闭包运算 等价关系和集合的划分 偏序关系和格 链与反链
目录（集合论）
第六章 集合（4学时） 第七章 关系（8学时） 第八章 函数与集合的势（5学时）
第七章 关系
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 集合的笛卡尔积集 二元关系的基本概念 二元关系的性质 二元关系的闭包运算 等价关系和集合的划分 偏序关系和格 链与反链
7.1 集合的笛卡尔积集
思路: 要分别证明 A×(B∪C)⊆(A×B)∪(A×C) (A×B)∪(A×C) ⊆A×(B∪C)
例１ 求证： A×(B∪C)=(A×B) ∪(A×C)
证明：对于任意的x，y， 若(x,y) ∊A×(B∪C)，即有x∊A且 y∊B或C. 若y∊B, 则 (x,y) ∊A×B； 若y∊C, 则 (x,y) ∊A×C ， 所以(x,y) ∊(A×B) ∪(A×C)，故 A×(B∪C)⊆(A×B)∪(A×C). 对于任意的x，y，若(x,y) ∊(A×B) ∪(A×C)， 即(x,y)∊A×B, 或 (x,y) ∊A×C. 若(x,y)∊A×B，则x∊A且 y∊B； 若(x,y)∊A×C，则x∊A且 y∊C。 所以x∊A且 y∊B∪C, 得(x,y)∊A×(B∪C)，故 (A×B)∪(A×C) ⊆A×(B∪C). 综上可知， A×(B∪C)=(A×B) ∪(A×C) 。
例2 A，B，C，D为任意集合，判断等式
(A∪B)×(C∪D)=(A×C) ∪(B×D)
是否成立。
答：不成立。 若A=D=Ø，B=C={a}，则 (A∪B)×(C∪D)=B×C={(a,a)} (A×C) ∪(B×D)=Ø×Ø=Ø
有序 n元组
定义3 一个有序n(n≥3) 元组是一个有序二 元组，其中第一个元素是一个有序 (n-1)元组，记为
笛卡尔积集的性质
性质1．若A和B有一个是空集，则它们的笛卡尔积 集是空集，即 Ø ×B=A×Ø =Ø 性质2．当A≠B，且A和B均不是空集时，有 A×B≠B×A 性质3．当A，B，C均不是空集时，有 (A×B) ×C≠A×(B×C)
尚未定义(a,b,c)
((a,b),c)≠(a,(b,c))
例１ 求证： A×(B∪C)=(A×B) ∪(A×C)
定义1 a和b是两个元素，把a作为第一个元素，把b 作为第二个元素，按这个顺序排列的一个二元 组叫有序二元组, 简称有序对， 记为:
（a，b）
特点：
(1) 当a≠b时，（a，b）≠（b，a）； (2) 两个有序二元组相等，即（a，b）＝（x，y） 的充分必要条件是 a＝x 且b=y。
笛卡尔积集
定义：设A和B是两个集合，存在一个集合，它的元素 是用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素 构成的有序二元组。称它为集合A和B的笛卡尔 积集，记为 A×B 。即
A×B＝{(a,b)│a∊A,b∊B}。
例 A={1,2}， B={a,b,c}, A×B＝{(1,a), (1,b), (1,c), (2,a),es（1596～1650）
著名的法国哲学家、数学家、物理 学家，解析几何学奠基人之一。在 今天，巴黎安葬民族先贤的圣日耳 曼圣心堂中，庄重的大理石墓碑上 镌刻着“笛卡尔，欧洲文艺复兴以 来，第一个为人类争取并保证理性 权利的人”。 笛卡儿的著作，无论是数学、自然科学，还是哲学， 都开创了这些学科的崭新时代。《几何学》是他公开 发表的唯一数学著作，虽则只有117页，但它标志着代 数与几何的第一次完美结合，使形形色色的代数方程 表现为不同的几何图形，许多相当难解的几何题转化 为代数题后能轻而易举地找到答案.