大学物理学第二版第章习题解答精编

即
解出
系统的势能为
一双原子分子的势能函数为
式中 为二原子间的距离，试证明：
⑴ 为分子势能极小时的原子间距；
⑵分子势能的极小值为 ；
⑶当 时，原子间距离为 ；
证明：（1）当 、 时，势能有极小值 。由
得
所以 ，即 为分子势能取极值时的原子间距。另一方面，
当 时， ，所以 时， 取最小值。
（2）当 时，
(8)质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理与动能定理是否与惯性系有关？请举例说明.
(9)判断下列说法是否正确，并说明理由：
(a)不受外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.
(b)内力都是保守力的系统，当它所受的合外力为零时，其机械能守恒.
(c)只有保守内力作用而没有外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.
如题图，一条船平行于平直的海岸线航行，离岸的距离为 ，速率为 ，一艘速率为 的海上警卫快艇从一港口出去拦截这条船。试证明：如果快艇在尽可能最迟的时刻出发，那么快艇出发时这条船到海岸线的垂线与港口的距离为 ；快艇截住这条船所需的时间为 。
港口
习题图
证明：在如图所示的坐标系中，船与快艇的运动方程分别为
和
解
而
所以
一地下蓄水池，面积为 ，水深度为 ，假定水的上表面低于地面的高度是 ，问欲将这池水全部抽到地面，需作功多少?
习题图
解:建坐标如习题图，图中 表示水面到地面的距离， 表示水深。水的密度为 ，对于坐标为 、厚度为 的一层水，其质量 ，将此层水抽到地面需作功
将蓄水池中的水全部抽到地面需作功
(J)
一炮弹质量为 ，以速度 飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为 ，且一块的质量为另一块质量的 倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为 ， 。
一质点沿 轴运动，坐标与时间的变化关系为 ，式中 分别以 、 为单位，试计算：(1)在最初 内的位移、平均速度和 末的瞬时速度；(2) 末到 末的平均加速度；(3) 末的瞬时加速度。
解：
(1)最初 内的位移为为：
最初 内的平均速度为：
时刻的瞬时速度为：
末的瞬时速度为：
(2) 末到 末的平均加速度为：
终了在 点时， ，
由功能原理知：
经比较可知，用功能原理求最简捷。
墙壁上固定一弹簧，弹簧另一端连接一个物体，弹簧的劲度系数为 ，物体 与桌面间的摩擦因素为 ，若以恒力 将物体自平衡点向右拉动，试求到达最远时，系统的势能。
习题图
解：物体水平受力如图，其中 ， 。物体到达最远时， 。设此时物体的位移为 ,由动能定理有
。
在离船的高度为 的岸边，一人以恒定的速率 收绳，求当船头与岸的水平距离为 时，船的速度和加速度。
解:建立坐标系如题图所示，船沿 轴方向作直线运动，欲求速度，应先建立运动方程，由图题，可得出
习题图
两边求微分，则有
船速为
按题意 (负号表示绳随时间 缩短)，所以船速为
负号表明船速与 轴正向反向，船速与 有关，说明船作变速运动。将上式对时间求导，可得船的加速度为
(3)物体受到了几个力的作用，是否一定产生加速度？
(4)物体运动的速率不变，所受合外力是否一定为零？
(5)物体速度很大，所受到的合外力是否也很大？
(6)为什么重力势能有正负，弹性势能只有正值，而引力势能只有负值？
(7)合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，而其中某一分力做的功，能否大于物体动能的增量？
， ，
可解得
， ， 。
平板中央开一小孔，质量为 的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为 的重物。小球作匀速圆周运动，当半径为 时重物达到平衡。今在 的下方再挂一质量为 的物体，如题2-15图。试问这时小球作匀速圆周运动的角速度 和半径 为多少？
(10)在弹性碰撞中，有哪些量保持不变，在非弹性碰撞中，又有哪些量保持不变？
(11)放焰火时，一朵五彩缤纷的焰火质心运动轨迹如何？为什么在空中焰火总是以球形逐渐扩大？(忽略空气阻力)
质量为 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力 （ 为常数）作用， 时质点的速度为 ，证明：
（1） 时刻的速度为 ；
证明：设一块的质量为 ，则另一块的质量为 。利用 ，有
， ①
又设 的速度为 ， 的速度为 ，则有
②
[动量守恒]③
联立①、③解得
， ④
联立④、②解得
，于是有
将其代入④式，有
又因为爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，当 时只能取 。
一质量为 的子弹射入置于光滑水平面上质量为 并与劲度系数为 的轻弹簧连着的木块后使弹簧最大压缩了 ，求子弹射入前的速度 .
(2)子弹所受的冲量 ，将 代入，得
(3)由动量定理可求得子弹的质量
一质量为 的质点在xoy平面上运动，其位置矢量为 ，求质点的动量及 到 时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量。
解：质点的动量为
将 和 分别代入上式，得
，
动量的增量，亦即质点所受外力的冲量为
作用在质量为10kg的物体上的力为 ，式中 的单位是 。
(8)“物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此其法向加速度也一定为零.”这种说法正确吗？
(9)任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？
(10)质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大， 、 、 三者的大小是否随时间改变？
(11)一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？
（2）由0到 的时间内经过的距离为 ；
（3）停止运动前经过的距离为 。
证明：
(1)由 分离变量得 ，积分得
， ，
(2)
(3)质点停止运动时速度为零，即 ，故有 。
一质量为10 kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设 时，物体的速度为零，物体在力 (N)(t以s为单位)的作用下运动了3s，求它的速度和加速度.
（1）求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量；
（2）为了使这力的冲量为200Ns，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度 的物体，回答这两个问题。
解：(1)若物体原来静止，则
[ ]，沿x轴正向，
若物体原来具有初速度 ，则
于是
同理，
这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理．
（1）经过多长时间质点到达 轴；
（2）到达 轴时的位置。
解：
（1）当 ，即 时，到达 轴。
（2） 时到达 轴的位矢为：
即质点到达 轴时的位置为 。
一质点沿 轴运动，其加速度与坐标的关系为 ，式中 为常数，设 时刻的质点坐标为 、速度为 ，求质点的速度与坐标的关系。
解：按题意
由此有 ，
即 ，
两边取积分 ，
习题图
解方法一：当物体滑到与水平成任意 角的位置时，物体在切线方向的牛顿方程为
即
注意摩擦力 与位移 反向，且 ，因此摩擦力的功为
方法二：选 为研究对象，合外力的功为
考虑到 ，因而
由于动能增量为 ，因而按动能定理有
， 。
方法三：选物体、地球组成的系统为研究对象，以 点为重力势能零点。
初始在 点时， 、
习题图
解：子弹射入木块到相对静止的过程是一个完全非弹性碰撞，时间极短，木块获得了速度，尚未位移，因而弹簧尚未压缩.此时木块和子弹有共同的速度 ，由动量守恒，
此后，弹簧开始压缩，直到最大压缩，由机械能守恒，
由两式消去 ，解出 得
质量 的物体从静止开始，在竖直平面内沿着固定的四分之一圆周从 滑到 。在 处时，物体速度的大小为 。已知圆的半径为 ，求物体从 滑到 的过程中摩擦力所作的功：(1)用功的定义求；(2)用动能定理求；(3)用功能原理求。
(3)以炮弹为参照系，飞机的轨迹如何？
解：(1)以地球为参照系时，炮弹的初速度为 ，而 ，
消去时间参数 ，得到轨迹方程为：
（若以竖直向下为y轴正方向，则负号去掉，下同）
(2)以飞机为参照系时，炮弹的初速度为 ，同上可得轨迹方程为
(3)以炮弹为参照系，只需在(2)的求解过程中用 代替 ， 代替 ，可得 .
(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即
令 ，解得 。
一小船质量为100kg，船头到船尾共长3.6m。现有一质量为50kg的人从船尾走到船头时，船头将移动多少距离？假定水的阻力不计。
习题图
解：由动量守恒
又 ，
，
如图，船的长度
所以
即船头相对岸边移动
质量 的质点,从静止出发沿 轴作直线运动，受力 (N)，试求开始 内该力作的功。
（3）令 ，得到
， ，
质量为×10-23kg，速度为×107m/s的粒子A，与另一个质量为其一半而静止的粒子B相碰，假定这碰撞是弹性碰撞，碰撞后粒子A的速率为5×107m/s，求：
⑴粒子B的速率及偏转角；
⑵粒子A的偏转角。
习题图
解：两粒子的碰撞满足动量守恒
写成分量式有
碰撞是弹性碰撞，动能不变：
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， ，
，
根据伽利略变换，当以乙船为参照物时，甲船速度为
，
即在乙船上看，甲船速度为 ，方向为东偏北
同理，在甲船上看，乙船速度为 ，方向为西偏南 。
有一水平飞行的飞机，速率为 ，在飞机上安置一门大炮，炮弹以水平速度 向前射击。略去空气阻力，
(1)以地球为参照系，求炮弹的轨迹方程；
(2)以飞机为参照系，求炮弹的轨迹方程；
负号表明船的加速度与 轴正方向相反，与船速方向相同，加速度与 有关，说明船作变加速运动。
一质点沿半径为 的圆周运动，其角坐标 (以弧度 计)可用下式表示
其中 的单位是秒( )试问：(1)在 时，它的法向加速度和切向加速度各是多少？
(2)当 等于多少时其总加速度与半径成 角？
解：(1)利用 ， ， ，
解.根据质点动量定理,
,
根据牛顿第二定律，
(m/s2)
一颗子弹由枪口射出时速率为 ms-1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 N（a,b为常数），其中t以秒为单位：
（1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；
（2）求子弹所受的冲量；
（3）求子弹的质量。
解：
(1)由题意，子弹到枪口时，有 ,得
(3) 末的瞬时加速度为： 。
质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为 ，质点出发后，每经过 时间，加速度均匀增加 。求经过 时间后，质点的速度和位移。
解:由题意知，加速度和时间的关系为
利用 ，并取积分得
，
再利用 ，并取积分[设 时 ]得
，
一质点从位矢为 的位置以初速度 开始运动，其加速度与时间的关系为 .所有的长度以米计，时间以秒计.求：
大学物理学习题答案
习题一答案
习题一
1.1简要回答下列问题：
(1)位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相等？
(2)平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？
(3)瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什么？
(4)质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一定保持不变？
得
由此给出 ，
一质点的运动方程为 ，式中 ， 分别以 、 为单位。试求：
(1)质点的速度与加速度；(2)质点的轨迹方程。
解：(1)速度和加速度分别为： ，
(2)令 ，与所给条件比较可知 ， ，
所以轨迹方程为： 。
已知质点作直线运动，其速度为 ，求质点在 时间内的路程。
解:在求解本题中要注意：在 时间内，速度有时大于零，有时小于零，因而运动出现往返。如果计算积分 ，则求出的是位移而不是路程。求路程应当计算积分 。令 ，解得 。由此可知： s时， ， ； s时， ；而 s时， ， 。因而质点在 时间内的路程为
得到法向加速度和切向加速度的表达式
，
在 时，法向加速度和切向加速度为：
，
(2)要使总加速度与半径成 角，必须有 ，即
解得 ，此时
甲乙两船，甲以 的速度向东行驶，乙以 的速度向南行驶。问坐在乙船上的人看来，甲船的速度如何？坐在甲船上的人看来乙船的速度又如何？
解：以地球为参照系，设 、 分别代表正东和正北方向，则甲乙两船速度分别为
(5) 和 有区别吗？ 和 有区别吗？ 和 各代表什么运动？
(6)设质点的运动方程为： ， ，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出 ，然后根据
及
而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即
及
你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？
(7)如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的？
拦截条件为：
即
所以
，
取最大值的条件为： ，由此得到 ，相应地 。
因此 的最大值为
取最大值时对应的出发时间最迟。快艇截住这条船所需的时间为
。
习题二答案
习题二
简要回答下列问题：
(1)有人说：牛顿第一定律只是牛顿第二定律在合外力等于零情况下的一个特例，因而它是多余的.你的看法如何？
(2)物体的运动方向与合外力方向是否一定相同？