2020年高考文科数学预测押题密卷I卷 参考答案(1)

2
23 2
4 3， 3
当且仅当 a = b 时，取得最大值.
16.【答案】 4 5 5
【解析】抛物线 C= ： y2 2 px( p > 0) 的准线方程为 x = −2 ，
可知抛物线 C 的方程为： y2 = 8x ，过点 B 作直线 x = −2 的垂线，
垂足为 D，则 BF = BD ，∵
5 BF
a4 = 8 或 a4 = −27 ．故选 D.
4. 【答案】D 【解析】选一名医生和一名护士总的情况为，甲 A，甲 B，甲 C，
乙 A，乙 B，乙 C，丙 A，丙 B，丙 C，可知选甲 A 去的概率为 p = 1 ．故选 D.
9
5. 【答案】C
【解析】函数= f (x) 2020x + sin 2x 满足
1 ×2×4 2
3= 4
3 ．故选 A.
7. 【答案】B
【解析】 f (x) =sin(x + π )sin x + cos2 x
3
= (sin x cos π + cos xsin π )sin x + 1+ cos 2x
3
3
2
= 3 sin 2x + 1 cos 2= x + 3 1 ( 3 sin 2x + 1 cos 2x) + 3
6
6
66 2
最大值为 1 + 3 =5 ，故选项 C 错误； 24 4
对称中心为 ( kπ + π , 3)(k ∈ Z ) ，故选项 D 错误．故选 B. 4 24 4
8. 【答案】D 【解析】可知 ∠BDC =120° ，且 AD = 3 ，B=D D=C 1 ，在 ∆BDC 中，根据余弦定理可得 BC2 = 1+1− 2×1×1× cos120° = 3 ，∴ BC =3 ，
4
4
4 22
2
4
= 1 sin(2x + π ) + 3 ，
2
64
把函数 f (x) 的图象向右平移 π 单位，再把横坐标缩小到原来的一 6
半，得到函数 g(x) ，可得 g= (x) 1 sin(4x − π ) + 3 ，最小正周期为
2
64
2π = π ，故选项 A 错误； 42
x =π , 4x − π =4× π − π =π ，故选项 B 正确；
2
2
S = 4πR2 = 4π × ( 7 )2 = 7π ．故选 D. 2
9. 【答案】A
【解析】因为= f (−x) 5(−x3)x+−23s= −inx (−x) 5x3x+= −23si−nx x f (x) ，
所以 f (x) 是偶函数，排除 B，D，因为= f (π)
5π 3π − 3−π
(1= + 2n −1) × n 2
n2 ，
所以 Tn =6 + (2n −1)2n+1 − 2n+2 − n2 .---------------12 分
18.【解析】（1）证明： PD ⊥ 面 ABCD ，∴ PD ⊥ BC ，在梯形 ABCD
中，过 B 作 BH ⊥ DC 交 DC 于 H，
∴ BH = 1 ， BD = DH 2 + BH 2 = 1+1 = 2 ，
>0
，排除
C．
故选 A.
10. 【答案】C 【解析】点 P(x , y) 是圆上的任一点，设 x = cosα ， y = sinα ， 则 x + y + x=y cosα + sinα + cosα sinα ，
设=v sinα + cosα ， cosα sinα = v2 −1 ， v ∈[− 2 , 2] ， 2
BC = 2 ， ( 2)2 + ( 2)2 = 22 ，∴ DB2 + BC 2 = DC 2 ，
即 BC ⊥ DB .---------------2 分
BC ⊥ DB ， PD ∩ BD = D ， ∴ BC ⊥ 平面 PDB ， BC ⊂ 平面 EBC ，
∴ 平面 PBC ⊥ 平面 PDB .---------------4 分
故选 D.
2. 【答案】B
【解析= 】 z
1= − i 1+ 2i
(1− i)(1−= 2i) 5
−1− 3i ，复数 z 虚部为 − 3 .
5
5
故选 B. 3. 【答案】D
【解析】 a1 = 1 ， S3 = 7 ，
可得 S3 =
1− q3 = 1− q
q2 + q +1=
7 ，∴q =2 或 q = -3 ，
（2）连接 PH， BH ⊥ 面 PDC ，∴∠BPH 为 PB 与面 PDC 所成
的角， tan ∠BPH
= BH PH
=
2 2
， BH
= 1 ，∴ PH
=2 ，
PD2 + DH 2 = PH 2 ， PD2 +1 =2 ，∴ PD = 1 ，-------------6 分
可知三棱锥 VP−ABD =
2 An
=1× 22
+ 3× 23
++
(2n
− 3)2n
+
(2n
− 1)2n+1
，两式相减可得
− An
=2
+
2(22
+
23
++
2n )
− (2n
− 1)2n+1
，可得
An =6 + (2n −1)2n+1 − 2n+2 ，---------------10 分
而数列 {2n −1} 的前 n = 项的和为 Bn
x2 − y2 = λ ，把点 P (2 , 3) 代入可得 4 − 3 =λ ，∴λ =1 ，
3 双曲线的方程为 x2 − y2 = 1 ， c2 =1+ 3 =4 ，
3
( ) ( ) c = 2 ， F (2 , 0) ，可得 A 2 , 2 3 ， B 2 , − 2 3 ，
可得 S△AOB =
∴{an +1} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列. ---------------2 分 ∴ an +1 = 2 ⋅ 2n−1 = 2n ，∴an = 2n −1 . 即数列 {an} 的通项公式 a=n 2n −1 .---------------4 分 数列 {bn} 的前 n 项的和为 Sn = n2 ，可得 b=1 S=1 1, 当 n ≥ 2 时， bn = Sn − Sn−1 = n2 − (n −1)2 = 2n −1 ，
∆= a2 − 4 > 0
满足
t1t2 = a > 0
⇒ a > 2 ，可得实数 a 的取值范围为 (2 , + ∞) ．
t1
+ t2
=1 >
0
故选 A.
12. 【答案】A
【解析】由 g ( x) + h( x) =ex + sin x − x 得 g (−x) + h(−x) = e−x − sin x + x ， 由函数 f ( x) ， g ( x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，
= 2 AB
BD ，∴ =
ห้องสมุดไป่ตู้
2
，
AB 5
∴sin ∠DAB= BD= 2 ， cos ∠DAB =1− ( 2 )2 =1 ，
AB 5
5
5
点 F 到 AB 的距离为 AF sin ∠BAF =AF cos ∠DAB =4× 1 =4 5 . 55
三、解答题
17.【解析】(1)由 a1 = 1 a= n+1 2an +1 ，可得 an+1 +=1 2(an +1) ，
故数列 {bn} 的通项公式为 b=n 2n −1 .---------------6 分 （2）可知 cn= bn an= (2n −1)(2n −1)= (2n −1) × 2n − (2n −1) .
---------------7 分
设 An =1× 2 + 3× 22 + 5× 23 + + (2n −1)2n ，
取最大值为
1，
x− 2x −
y −1 =0 ⇒ y − 4 =0
A(3,
2)
，
代入可得 3a + 2b = 1 ，
则 1= + 1 3a + 2b + 3a + 2b
ab a
b
= 3 + 2b + 3a + 2 ≥ 5 + 2 ab
2b 3a ab
=5+
2
6，
当且仅当 b = 6 a 时取等号，可知最小值为 5 + 2 6 . 2
得： g ( x) − h( x) =e−x − sin x + x ， 联立方程消元即得： g ( x) = ex + e−x ，
2
( ) 所以 f x = 3 x−2020 − λ ex−2020 + e2020−x − 2λ 2 ，设 x − 2020 = t ∈ R ，
2
则函数 y = 3 x − λ et + e−t − 2λ 2 有唯一零点， 2
可得 sin B(2cosC +1) =0 ，∴cosC = − 1 ，∵ 0 < C < π ，∴C =2π ，
2
3
又 c = 4 ，根据余弦定理可得
16 = c2 = a2 + b2 − 2ab cosC = a2 + b2 + ab ≥ 3ab ，
可知
ab
≤
16 3
，则= S∆ABC
1 absin C ≤ 1 × 16= × 3
f (−x) =−2020x − sin 2x =− f (x) ，且 f '(x) =2020 + 2cos 2x > 0 ， 可知函数 f (x) 为单调递增的奇函数， f (x2 + x) + f (1− t) ≥ 0 可以变 为 f (x2 + x) ≥ − f (1−=t) f (t −1) ，
15.【答案】 4 3
3
【解析】 (a cos B + b cos A)cos B = 1 ，根据正弦定理可得
2a + b
2
2(a cos B + b cos A)cos B = 2a + b ，
∴2c cos B = 2a + b ， 2sin C= cos B 2sin A + sin B ，
2sin C cos=B 2sin(B + C) + sin B ，
可知 x2 + x ≥ t −1 ，∴t ≤ x2 + x +1 ， x2 + x +1 = (x + 1 )2 + 3 ≥ 3 ，
2 44
可知实数 t ≤ 3 ，故实数 t 的取值范围为 (−∞ , 3] ．故选 C.
4
4
6. 【答案】A
【解析】双曲线的渐近线方程为 y = ± 3x ，可知双曲线的方程为
根据正弦定理可得 BC = 2r ， sin120°
3 3
=
2r
，∴ r
=1 ，O1
为 ∆BDC
2 的外心，过点 O1 作 O1O ⊥ 平面BDC ，O 为三棱锥 A − BCD 的外接
球的球心，过点 O 作 OK ⊥ AD ，K 为 AD 的中点，连接 OD 即为
外接球的半径 R= 12 + ( 3 )2 = 7 ，可得外接球的表面积
1 3
×
PD
×
S
∆ABD
=
1 ×1× 1 ×1×1 = 32
1， 6
= SPDCE
(PD + E= C) × DC 2
(1+ 1) × 2 = 2
2
3， 2
∴VB−PDCE =
1 ×1× 3 = 32
1 ，---------------10 分 2
1
可知两部分的体积比为 VP−ABD= VB−PDCE
则 x + y + x=y cosα + sinα + cosα sinα
= v2 −1 +=v 1 (v +1)2 −1 ≥ −1 ，
2
2
可知 t2 + 2t − 4 ≤ −1 ， t2 + 2t − 3 ≤ 0 ，∴−3 ≤ t ≤ 1 ．故选 C.
11. 【答案】A 【解析】根据函数的图象可知，方程 f 2 (x) − af (x) +1 =0 有四个不 同的实根，设 f (x) = t ，则 t2 − at +1 =0 有两个不同的正根，
故选 A． 二、填空题
13.【答案】 9 5 5
【解析】向量 a + b 在 a 上的投影为
a + b cosθ=
(a + b)a= a
(−1,5)(1, 2)= 5
9 5. 5
14.【答案】 5 + 2 6
【解析】首先作出可行域，把 z =ax + by(a > 0,b > 0) 变形为
y = − a x + z ，根据图象可知当目标函数过点 A 时， bb
文科数学答案全解全析
一、选择题
1. 【答案】D
【解析】集合 A 满足： x2 − 3x − 4 > 0 ， (x − 4)(x +1) > 0 ， x > 4 或
x < −1 ，=A {x x > 4或 x < −1} ，∴CU A={x −1 ≤ x ≤ 4} ，
y = 2x + 2 > 2 ，=B {y y > 2} ，可知 (CU A) B= {x 2 < x ≤ 4} ．
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设 F (t ) = 3t − λ et + e−t − 2λ 2 ，
2
∵ F (−t ) = 3t − λ e−t + et − 2λ 2 = F (t ) ，
2
∴ F (t ) 为偶函数，又∵ y = F (t ) 与 t 轴有唯一的交点，
∴此交点的横坐标为 0，∴ 1− λ =2λ 2 ，解得 λ = −1 或 λ = 1 ． 2