推荐-八年级数学上册知识大综合基础练习精品精品

合集下载

八年级上册数学第一章知识点加经典例题

第一章认识三角形1.1认识三角形学习目标 1. 掌握三角形的概念，并能用符号正确表示三角形。

2. 能够正确地按角将三角形进行分类。

3. 理解三角形的三边关系，并利用其进行计算。

4. 理解三角形的角平分线、中线和高线的概念，会用量角器、三角尺等工具画三角形。

知识点1. 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。

“三角形” 用符号“△”表示，顶点是ABC 的三角形记做“△ABC ”读作“三角形ABC ”。

三角形基本元素（三条边、三个内角、三个顶点）三角形内角和为180°2. 性质：三角形任何两边之和大于第三边；三角形的任何两边之差小于第三边（两点之间线段最短） ★注：判断三条线段能否组成三角形，只有把最长的一条线段与另外两条线段的和作比较。

3. 按角进行分类：锐角三角形（三角形的三个内角都小于90°）；直角三角形（三角形有一个角是90°）；（记作Rt △ABC ）钝角三角形（三角形有一个角大于90°）。

AB CA B C4. ★三角形的角平分线、中线和高线角平分线定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的定点与交点之间的线段就叫三角形的角平分线。

中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线。

高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，定点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

★重要性质：1角平分线上的点到角的两边距离相等。

2中线平分与它相交的边。

3一个三角形有三条角平分线、三条中线，并且都在三角形内部，交于一点。

4三种三角形都有三条高线，且其所在直线都交于一点。

高线是顶点到对边所在直线的垂线段，所以垂足有可能在边的延长线上。

5. 三角形的面积：三角形的面积等于底乘于高除以2。

★同高等底的两个三角形面积相等。

三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形。

1.2定义与命题学习目标1.了解定义、命题的意义2.会区分命题的条件和结论3.会在简单情况下判断一个命题的真假4.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的知识点1. 定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。

初二数学上册知识点复习及配套练习测试(新北师大版本)

新北师大版八年级数学上册知识点复习第一章勾股定理1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即222a b c +=。

2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。

3．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。

满足222a b c +=的三个正整数称为勾股数。

第二章实数1．平方根和算术平方根的概念及其性质：（1）概念：如果2x a =，那么x 是a 的平方根，记作：a ±；其中a 叫做a 的算术平方根。

（2）性质：①当a ≥0时，a ≥0；当a ＜０时，a 无意义；②()2a ＝a ；③2a a =。

2．立方根的概念及其性质：（1）概念：若3x a =，那么x 是a 的立方根，记作：3a ；（2）性质：①33a a =；②()33a a =；③3a -＝3a -3．实数的概念及其分类：（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；（2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。

无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。

4．与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。

因此，数轴正好可以被实数填满。

5．算术平方根的运算律：（a ≥0，b ≥0）；（a ≥0，b ＞0）。

第三章位置与坐标1．直角坐标系及坐标的相关知识。

2．点的坐标间的关系：如果点A 、B 横坐标相同，则AB ∥y 轴；如果点A 、B 纵坐标相同，则AB∥x 轴。

3．将图形的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1-倍，所得到的图形与原图形关于y 轴对称；将图形的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的1-倍，所得到的图形与原图形关于x 轴对称；将图形的横、纵坐标都变为原来的1-倍，所得到的图形与原图形关于原点成中心对称。

全等三角形的判定-八年级数学上册同步精品课堂知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)

第二课时——全等三角形的判定知识点一：全等三角形的判定：判定方法内容数学语言图形表示注意点边边边（SSS ）三边分别相等的两个三角形全等。

可简写为“边边边”或“SSS ”在△ABC 与△DEF中：⎪⎩⎪⎨⎧===EF BC DF AC DE AB ∴△ABC ≌△DEF边角边（SAS ）两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。

可简写为“边角边”或“SAS ”在△ABC 与△DEF中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF AC D A DEAB ∴△ABC ≌△DEF用“边角边（SAS ）判定全等时，角一定是两边的夹角，否则不能判定全等。

在写条件的时候角必须写在中间。

角边角（ASA ）两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等。

可简写为“角边角”或“ASA ”在△ABC 与△DEF中：⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠E B DE AB DA ∴△ABC ≌△DEF用“角边角（ASA ）判定全等时，边是两角的夹边，在书写的过程中需把边写在中间特别提示：在写全等三角形的数学语言时，等号左边写“≌”左边三角形的条件，等号右边写“≌”右边三角形的条件。

并且条件的顺序必须和判定条件顺序一致。

方法总结：【类型一：补充证全等条件】1．如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝DE B．AE＝DBC．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D2．如图，在△ABC和△BAD中，AC＝BD，要使△ABC≌△BAD，则需要添加的条件是（）第2题第3题A．∠BAD＝∠ABC B．∠BAC＝∠ABD C．∠DAC＝∠CBD D．∠C＝∠D3．如图，BC＝BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（）A．AC＝AD B．∠ABC＝∠ABD C．∠CAB＝∠DAB D．∠C＝∠D＝90°4．如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AD＝CF，要使△ABC≌△DEF，则下列条件可以添加的是（）第4题第5题第7题A．∠B＝∠E B．∠A＝∠EDF C．AC＝DF D．BC∥EF5．如图，已知AB＝AE，∠EAB＝∠DAC，添加一个条件后，仍无法判定△AED≌△ABC的是（）A．AD＝AC B．∠E＝∠B C．ED＝BC D．∠D＝∠C6．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角对应相等B．一个锐角和斜边对应相等C．两条直角边对应相等D．一条直角边和斜边对应相等7．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，添加一个条件，不能使得Rt△ABC≌Rt△DCB 的是（）A．AB＝DC B．AC＝DB C．∠ABC＝∠DCB D．BC＝BD8．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（）A．AD＝CB B．∠A＝∠CC．BD＝DB D．AB＝CD【类型二：证明三角形全等】9．请将以下推导过程补充完整．如图，点C在线段AB上，AD∥BE，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．求证：△DCF ≌△ECF 证明：∵AD ∥BE ∴∠A ＝∠B在△ACD 和△BEC 中()⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠BC AD B A ∴△ACD ≌△BEC （）∴CD ＝CE （） ∵CF 平分∠DCE ∴ 在△DCF 和△ECF 中()⎪⎩⎪⎨⎧==CE CD CF CF ∴△DCF ≌△ECF （SAS ）10．如图，点C 在BD 上，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AC ⊥CE ，AB ＝CD ．求证：△ABC ≌△CDE ．11．如图，点A、D、B、E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF，求证：△ABC≌△DEF．12．如图，点D在线段BC上，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE：求证：△ABC≌△ADE．13．天使是美好的象征，她的翅膀就像一对全等三角形．如图AD与BC相交于点O，且AB＝CD，AD＝BC．求证：△ABO≌△CDO．14．如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，DE∥AC，且DE＝BC，AC＝BD．求证：△ABC≌△BED．15．如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC．求证：△ABC≌△DEC．16．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，BF＝CD．试说明：△ABC≌△EDF．17．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2．18．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．求证：CE ＝BF．19．如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．【类型三：全等三角形的判定与性质】20．如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，∠F AC ＝40°，则∠BFE＝（）第20题第21题A．35°B．40°C．45°D．50°21．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（）A．21B．24C．27D．3022．如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（）第22题第23题A．3B．5C．6D．723．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．424．如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．（1）求证：AB＝FE；（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△FDE；（2）连结AE，当AE⊥BF，BC＝2，AD＝1时，求AB的长．26．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E．（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数．【类型四：全等三角形的应用】27．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离．那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（）第27题第28题A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS28．打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（）A．带①②去B．带②③去C．带③④去D．带②④去29．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为cm．第29题第30题30．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB ＝OC，测得AB＝a，EF＝b，圆形容器的壁厚是（）A ．aB ．bC ．b ﹣aD ．21（b ﹣a ）一、选择题（10题）1．如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（）第1题第2题第3题A ．105°B ．120°C ．115°D ．135°2．如图，已知∠C ＝∠D ＝90°，添加一个条件，可使用“HL ”判定Rt △ABC 与Rt △ABD 全等．以下给出的条件适合的是（）A ．∠ABC ＝∠ABDB ．∠BAC ＝∠BAD C ．AC ＝AD D ．AC ＝BC3．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（）去．A ．①B ．②C ．③D ．①和②4．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC 的是（）A．∠C＝90°，AB＝6B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．AB＝5，BC＝3D．∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝45．如图，测河两岸A，B两点的距离时，先在AB的垂线BF上取C，D两点，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，测得ED的长就是A，B的距离，判定△EDC≌△ABC的依据是（）A．ASA B．SSS C．AAS D．SAS6．如图，已知∠EAC＝∠BAD，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠D．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD的距离间的关系是（）第7题第8题A．BD＞CD B．BD＜CD C．BD＝CD D．不能确定8．如图，AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（）分钟后，△CAP与△PQB全等．A．2B．3C．4D．89．把等腰直角三角形ABC，按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点距离桌面5cm和3cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的长为（）第9题第10题A．4cm B．6cm C．8cm D．求不出来10．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD（OA＜OC），∠AOB＝∠COD＝α，直线AC，BD 交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD，②∠OAM＝∠OBM，③∠AMB＝α，④OM平分∠BOC，其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（6题）11．如图，线段AB，CD相交于点O，AO＝BO，添加一个条件，能使△AOC≌△BOD，所添加的条件的是．12．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝．第12题第14题13．在△ABC中，AB＝3cm，AC＝4cm，则BC边上的中线AD的取值范围是．14．在直角三角形中，存在斜边的平方等于两条直角边的平方的和。

人教版初中数学八年级上册全册知识梳理及练习(基础版)(家教补习复习专用)

新人教版八年级上册数学全册知识点及巩固练习题与三角形有关的线段（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.(3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．【与三角形有关的线段 2、三角形的分类】2．三角形的分类(1)按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：要点诠释：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠A DB ＝∠ADC＝∠90°.注意：AD是ΔABC的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；要点诠释：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝21BC.要点诠释：（1）三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线 ∠BAD＝∠DAC＝21∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 要点诠释：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、三角形的定义及表示1．如图所示．(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来；(2)线段AE是哪些三角形的边?(3)∠B是哪些三角形的角?【思路点拨】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重、不漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了A、E再找一个第三点，使这点不在AE上，便可得到以AE为边的三角形；(3)问的突破口是∠B一定是以B为一个顶点组成的三角形中．【答案与解析】解：(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．(2)线段AE分别为△ABE，△ADE，△ACE的边．(3)∠B分别为△ABD，△ABE，△ABC的角．【总结升华】在数三角形的个数时一定要按照一定的顺序进行，做到不重不漏．举一反三：【变式】如图，，以A为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．【答案】3个,分别是△EAB, △BAC, △CAD.类型二、三角形的三边关系2. 三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【答案】D.【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D 选项中，2cm+3cm ＞4cm ．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形．【与三角形有关的线段例1】举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8.【答案】（1）能；（2）不能；（3）能.3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______.【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7, 即5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b. 举一反三：【变式】（2015春•盱眙县期中）四边形ABCD 是任意四边形，AC 与BD 交点O ．求证：AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA ）．【答案】证明：∵在△OAB 中OA+OB ＞AB在△OAD 中有OA+OD ＞AD ，在△ODC 中有OD+OC ＞CD ，在△OBC 中有OB+OC ＞BC ，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB ＞AB+BC+CD+DA即2（AC+BD ）＞AB+BC+CD+DA ，即AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA ）．类型三、三角形中重要线段4. （2016春•江阴市月考）如图，AD ⊥BC 于点D ，GC ⊥BC 于点C ，CF ⊥AB 于点F ，下列关于高的说法中错误的是（）A ．△ABC 中，AD 是BC 边上的高B ．△GBC 中，CF 是BG 边上的高C．△ABC中，GC是BC边上的高D．△GBC中，GC是BC边上的高【思路点拨】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解．【答案与解析】解：A、△ABC中，AD是BC边上的高正确，故本选项错误；B、△GBC中，CF是BG边上的高正确，故本选项错误；C、△ABC中，GC是BC边上的高错误，故本选项正确；D、△GBC中，GC是BC边上的高正确，故本选项错误．故选C．【总结升华】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．举一反三：C D5.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC ＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD为△ABC的AB边上的中线，∴ AD＝BD，即BC-AC＝3．又∵ BC＝8，∴ AC＝5．答：AC的长为5cm．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD＝BD是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC中，D、E分别为BC、AD的中点，且4ABCS△，则S阴影为________．【答案】1.类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．与三角形有关的线段（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．（2016•西宁）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用他们摆成三角形的是( ).A．3cm ，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．5cm ，6cm，11cm D．13cm ，12cm，20cm2．如图所示的图形中，三角形的个数共有( ).A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2015春•常州期中）如果三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是整数，而且是奇数，则第三边的长可以是（）A． 6 B． 7 C． 8 D． 94．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是( ).A．5m B．15m C．20m D．28m5．三角形的角平分线、中线和高都是( ).A．直线 B．线段 C．射线 D．以上答案都不对6．下列说法不正确的是( ).A．三角形的中线在三角形的内部 B．三角形的角平分线在三角形的内部C．三角形的高在三角形的内部 D．三角形必有一高线在三角形的内部7．如图，AM是△ABC的中线，那么若用S1表示△ABM的面积，用S2表示△ACM的面积，则S1和S2的大小关系是( ).A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．以上三种情况都有可能8．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( ).A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短二、填空题9．（2016•金平区一模）如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有________性．10．如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为________．11. 已知等腰三角形的两边分别为4cm和7cm，则这个三角形的周长为________．12. 如图，AD是△ABC的角平分线，则∠______＝∠______＝12∠_______；BE是△ABC的中线，则_____＝_____＝12____ ；CF是△ABC的高，则∠________＝∠________＝90°，CF________AB．13. 如图，AD、AE分别是△ABC的高和中线，已知AD＝5cm，CE＝6cm，则△ABE和△ABC的面积分别为________________．14.（2015春•焦作校级期中）AD是△ABC的边BC上的中线，AB=3，AC=4，则中线AD的取值范围是_____________.三、解答题15．判断下列所给的三条线段是否能围成三角形?(1)5cm，5cm，a cm(0＜a＜10)；(2)a+1，a+2，a+3；(3)三条线段之比为2:3:5．16．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠CAD，AE＝CE，AG⊥BC，AD与BE相交于点F，试指出AD、AF分别是哪两个三角形的角平分线，BE、DE分别是哪两个三角形的中线？AG是哪些三角形的高?17.（2014春•苏州期末）如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．18.利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D.2. 【答案】C；【解析】三个三角形：△ABC, △ACD, △ABD.3. 【答案】B；【解析】解：由题意，令第三边为x，则5﹣4＜x＜5+4，即1＜x＜9，∵第三边长为奇数，∴第三边长是3或5或7．∴三角形的第三边长可以为7．故选B．4. 【答案】D；【解析】因为第三边满足：|另两边之差|＜第三边＜另两边之和，故|6-12＜AB＜16+12 即4＜AB＜28故选D．5. 【答案】B.6. 【答案】C；【解析】三角形的三条高线不一定都在三角形内部.7. 【答案】C；【解析】中线把三角形分成面积相等的两个三角形.8. 【答案】A.二、填空题9. 【答案】稳定.10.【答案】5 cm或7 cm；【解析】三角形三边关系的应用.11.【答案】15cm或18cm；【解析】按腰为4 cm或7 cm分类讨论.12．【答案】BAD CAD BAC；AE CE AC；AFC BFC ⊥.13.【答案】15cm2，30cm2；【解析】S△ABE＝S△A CE＝15 cm2，S△AB C＝2 S△ABE＝30 cm2.14.【答案】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD，∴CE=AB．在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即1＜2AD＜7，＜AD＜．故答案为：＜AD＜．三、解答题15.【解析】解：(1)5+5＝10＞a(0＜a＜10)，且5+a＞5，所以能围成三角形；(2)当-1＜a＜0时，因为a+1+a+2＝2a+3＜a+3，所以此时不能围成三角形，当a＝0时，因为a+1+a+2＝2a+3＝3，而a+3＝3，所以a+1+a+2＝a+3，所以此时不能围成三角形．当a ＞0时，因为a+1+a+2＝2a+3＞a+3．所以此时能围成三角形．(3)因为三条线段之比为2:3:5，则可设三条线段的长分别是2k，3k，5k，则2k+3k＝5k不满足三角形三边关系．所以不能围成三角形．16.【解析】解：AD、AF分别是△ABC，△ABE的角平分线．BE、DE分别是△ABC，△ADC的中线，AG是△ABC，△ABD，△ACD，△ABG，△ACG，△ADG的高．17.【解析】解：∵AB=6cm，AD=5cm，△ABD周长为15cm，∴BD=15﹣6﹣5=4cm，∵AD是BC边上的中线，∴BC=8cm，∵△ABC的周长为21cm，∴AC=21﹣6﹣8=7cm．故AC长为7cm．18.【解析】解：如图与三角形有关的角（基础）知识讲解【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC ，求证：∠A+∠B+∠C ＝180°.证法1：如图1所示，延长BC 到E ，作CD ∥AB ．因为AB ∥CD （已作），所以∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC 边上任取一点D ，作DE ∥AB ，交AC 于E ，DF ∥AC ，交AB 于点F ．因为DF ∥AC （已作），所以∠1=∠C （两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC （两直线平行，内错角相等）．因为DE ∥AB （已作）．所以∠3=∠B ，∠DEC=∠A （两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．证法3：如图3所示，过A 点任作直线1l ，过B 点作2l ∥1l ，过C 点作3l ∥1l ，因为1l ∥3l （已作）．所以∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．同理∠3=∠4．又1l ∥2l （已作），所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．又∠2+∠3=∠ACB ，所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．证法4：如图4，将ΔABC 的三个内角剪下，拼成以C 为顶点的平角.证法5：如图5－1和图5－2，在图5－1中作∠1＝∠A ，得CD ∥AB ，有∠2＝∠B ；在图5－2中过A 作MN ∥BC 有∠1＝∠B ，∠2＝∠C ，进而将三个内角拼成平角.【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.2.在△ABC 中，已知∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，试求∠A ，∠B 和∠C 的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，知∠C＝100°．又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝50°．∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．举一反三：【变式】（2015春•安岳县期末）如图，在△ABC中，∠A=50°，E是△ABC内一点，∠BEC=150°，∠ABE的平分线与∠ACE的平分线相交于点D，则∠BDC的度数为多少？【答案】100°.解：∵△ABC中∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵△BCE中∠E=150°，∴∠EBC+∠ECB=180°﹣150°=30°，∴∠ABE+∠ACE=130°﹣30°=100°，∵∠ABE的平分线与∠ACE的平分线相交于点D，∴∠DBE+∠DCE=（∠ABE+∠ACE）=×100°=50°，∴∠DBE+∠DCE=（∠DBE+∠DCE）+（∠EBC+∠EC B）=50°+30°=80°，∴∠BDC=180°﹣80°=100°．类型二、三角形的外角【与三角形有关的角例2、】3.（1）如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．【答案与解析】解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如图，延长线段BD交线段于点E,在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①；在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②，将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证．【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．举一反三：【变式1】（新疆建设兵团）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°，则∠C等于（）.A、40°B、65°C、75°D、115°【答案】B.【变式2】如图，在△ABC中，∠A＝70°，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC的度数为 .【答案】125°.类型三、三角形的内角外角综合4.（2015春•江阴市校级月考）已知如图∠xOy=90°，BE 是∠ABy 的平分线，BE 的反向延长线与∠OAB 的平分线相交于点C ，当点A ，B 分别在射线Ox ，Oy 上移动时，试问∠ACB 的大小是否发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A ，B 的移动而变化，请求出变化范围．【思路点拨】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．【答案与解析】解：∠C 的大小保持不变．理由：∵∠ABY=90°+∠OAB ，AC 平分∠OAB ，BE 平分∠ABY ，∴∠ABE=∠ABY=（90°+∠OAB ）=45°+∠OAB ，即∠ABE=45°+∠CAB ，又∵∠ABE=∠C+∠CAB ，∴∠C=45°，故∠ACB 的大小不发生变化，且始终保持45°．【总结升华】本题考查的是三角形内角与外角的关系，掌握“三角形的内角和是180°”是解决问题的关键．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC 中，P 为内角平分线AD 、BE 、CF 的交点，过点P 作PG ⊥BC 于G ，试说明∠BPD 与∠CPG 的大小关系并说明理由．【答案】解：∠BPD ＝∠CPG ．理由如下：∵ AD 、BE 、CF 分别是∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的角平分线，∴ ∠1＝12∠ABC ，∠2＝12∠BAC ，∠3＝12∠ACB ． ∴ ∠1+∠2+∠3＝12(∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°．又∵ ∠4＝∠1+∠2，∴∠4+∠3＝90°．又∵ PG⊥BC，∴∠3+∠5＝90°．∴∠4＝∠5，即∠BPD＝∠CPG．与三角形有关的角（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．已知在△ABC中有两个角的大小分别为40°和70°，则这个三角形是( ).A．直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形2．若△ABC的∠A＝60°，且∠B:∠C＝2:1，那么∠B的度数为( ).A．40° B．80° C．60° D．120°3．(云南昆明)如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A＝80°，∠ACB＝60°，那么∠BDC＝( ).A．80° B．90° C．100° D．110°4．（2015•绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A.118°B.119°C.120°D.121°5．(山东济宁)若一个三角形三个内角度数的比为2:3:4，那么这个三角形是( ).A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形6．(山东菏泽)一次数学活动课上，小聪将一幅三角板按图中方式叠放．则∠α等于( ).A．30° B．45° C．60° D．75°二、填空题7．如图，AD⊥BC，垂足是点D，若∠A＝32°，∠B＝40°，则∠C＝_______，∠BFD＝_______，∠AEF＝________．8．在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，则∠C＝_______．9．根据如图所示角的度数，求出其中∠α的度数．10．如图所示，飞机要从A地飞往B地，因受大风影响，一开始就偏离航线(AB)38°(即∠A ＝38°)，飞到了C地．已知∠ABC＝20°，现在飞机要到达B地，则飞机需以_______的角飞行(即∠BCD的度数)．11．如图，有_______个三角形，∠1是________的外角，∠ADB是________的外角．12.（2014春•通川区校级期末）如图中，∠B=36°，∠C=76°，AD、AF分别是△ABC的角平分线和高，则∠DAF=度．三、解答题13．如图，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数．14．已知：如图所示，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．15．（2015春•石家庄期末）已知△ABC中，AE平分∠BAC，（1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE的度数；（2）如图2，P为AE上一个动点（P不与A、E重合，PF⊥BC于点F，若∠B＞∠C，则∠EPF=是否成立，并说明理由．16．如图是李师傅设计的一块模板，设计要求BA与CD相交成20°角，DA与CB相交成40°角，现测得∠B＝75°，∠C＝85°，∠D＝55°．能否判定模板是否合格，为什么?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D.2. 【答案】B；【解析】设∠B＝2x°，则∠C＝x°，由三角形的内角和定理可得，2x°＋x°＋60°＝180°，解得x°＝40°，∠B＝2x°＝80°．3. 【答案】D.4. 【答案】C；【解析】解：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=，∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故选：C．5. 【答案】B；【解析】先求出三角形的三个内角度数，再判断三角形的形状．6. 【答案】D；【解析】利用平行线的性质及三角形的外角性质进行解答．二、填空题7. 【答案】58°，50°，98°；【解析】在Rt△ADC中，∠A＝32°，∠C＝58°；在Rt△BDF中，∠B＝40°，∠BFD＝50°；在△BEC，∠AEF＝∠B＋∠C＝98°．8. 【答案】90°.9. 【答案】 (1)48°； (2)27°； (3)85°；【解析】充分利用：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．10．【答案】58°.11.【答案】8，△DBC，△ADE；【解析】考查三角形外角的定义．12.【答案】20；【解析】解：∵∠B=36°，∠C=76°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣36°﹣76°=68°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=×68°=34°，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=36°+34°=70°，∵AF⊥BC，∴∠AFD=90°，∴∠DAF=180°﹣∠ADC﹣∠AFD=180°﹣70°﹣90°=20°．三、解答题13.【解析】解：连接AD，在△ADC中，∠1+∠CAD+∠CDA＝180°，在△ABD中，∠3+∠BAD+∠BDA＝180°．∴∠1+∠2+∠3+∠4＝∠1+∠CAD+∠BAD+∠3+∠CDA+∠BDA．＝(∠1+∠CAD+∠CDA)+(∠3+∠BAD+∠BDA)＝180°+180°＝360°．14.【解析】解：设∠A＝x°，则∠ABC＝∠C＝2x°．在△ABC中，由内角和定理有x+2x+2x＝180°，∴ x＝36°．∴∠C＝72°，在△BDC中，∵ BD是AC边上的高，∴∠BDC＝90°，∴∠DBC＝90°，∴∠DBC＝90°-∠C＝18°．15.【解析】证明：（1）如图1，∵∠B=72°，∠C=36°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=72°；又∵AE平分∠BAC，∴∠1==72°，∴∠3=∠1+∠C=72°，又∵AD⊥BC于D，∴∠2=90°，∴∠DAE=180°﹣∠2﹣∠3=18°．（2）成立．如图2，∵AE平分∠BAC，∴∠1===90°﹣，∴∠3=∠1+∠C=90°﹣+，又∵PF⊥BC于F，∴∠2=90°，∴∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3=．16.【解析】解：分别延长CB、DA交于点P．因为∠C＝85°，∠D＝55°，由三角形内角和可知∠P＝180°-∠C-∠D＝40°，即DA与CB相交成40°角．同理可得BA与CD相交成20°角．所以这个模板是合格的．多边形（基础）知识讲解【学习目标】1.理解多边形的概念；2.掌握多边形内角和与外角和公式；3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【要点梳理】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形．知识点二、多边形内角和n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n-°；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】类型一、多边形的概念1．如图，在六边形ABCDEF 中，从顶点A 出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF 分成哪几个三角形?凸多边形凹多边形【答案与解析】解：如图，P从顶点A出发，可以画三条对角线，它们将六边形ABCDEF分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF.【总结升华】从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数(n-3)条，分成的三角形数是个数（n-2）个．举一反三：【变式】过正十二边形的一个顶点有条对角线，一个正十二边形共有条对角线【答案】9，54。

北师大版八年级上册专题复习(基础)

北师大版八年级数学上册专题复习（基础）专题一《勾股定理》全章复习与巩固（基础）专题二《实数》全章复习与巩固（基础）专题三《平面直角坐标系》全章复习与巩固(基础)知识讲解专题四《一次函数》全章复习与巩固（基础）专题五《二元一次方程组》全章复习与巩固（基础）专题六《数据的分析》全章复习与巩固（基础）专题七《平行线的证明》全章复习与巩固（基础）北师大版八年级上册数学期末卷（二）北师大版八年级上册数学期末卷（二）北师大版八年级上册数学期末卷（二）北师大版八年级上册数学期末卷（二）专题一《勾股定理》全章复习与巩固（基础）【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形；若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数：满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用例1、（2020•益阳）在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC 的面积．例2、如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，M 为AB 上一点．求证：2222AM BM CM +=．类型二、勾股定理及逆定理的综合应用例3、（2020黎川县期中）如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF 的形状，并说明理由．例4、如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA ，PB ，PC ，以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ．(1)观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．(2)若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．例5、如果ΔABC 的三边分别为a b c 、、，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断ΔABC 的形状.类型三、勾股定理的实际应用例6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处爬到B 处的最短路线长为多少?、巩固练习01、如图①、图②均为43⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形．(1)与ABC 全等，以点B 为一个顶点，另外两个顶点也在格点上．(2)与ABC 全等，且不与ABC 重合．02、在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12．求△ABC 的周长．03、已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上任一点，求证：22AB AD BD CD -=⋅.04、如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求DC 的长．05、（2020秋•郑州期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为边作正方形，面积分别记作S1、S2、S3．求证：S1+S2＝S3．3．已知某开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，∠CBD=90°，DB=5m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入?4．如图是一个棱长为6cm的正方体的有盖纸盒，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，其中BC＝2cm，那么蚂蚁爬行的最短行程是多少？5．如图，点O是位于东西海岸线的一个港口，A，B两艘客轮从港口O同时出发，A客轮沿北偏东75°航行，航速是每小时18海里，B客轮沿北偏西15°方向航行，航速是每小时24海里，请计算3小时之后两客轮之间的距离．专题二《实数》全章复习与巩固（基础）【要点梳理】要点一、平方根和立方根要点二、无理数与实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一一对应数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。

初二数学上册考试重点和练习题汇总.docx

初二数学（上册）考试重点第一章勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a, b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2+b 2 =c 2 2、勾股定理的逆定理（直角三角形的判定条件）如果三角形的三边长a, b, c 有关系a 2+b 2 =c 2,那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角。

3、勾股数：满足a 2+b 2=c-的三个正整数，称为勾股数。

第二章实数一、实数的概念及分类1、实数的分类负有理数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类: （1）开方开不尽的数，如"，迈等;JI（2）有特定意义的数，如圆周率兀，或化简后含有71的数，如一+8等;3（3）有特定结构的数，如0.1010010001-等；（4）某些三角函数值，如sin60°等二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）, 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=O, a=—b,反之亦成立。

有限小数和无限循环小数实数无限不循环小数正有理数零正无理数〜A2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

（|a|>0）o零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a,则a>0；若|a|=-a,则a<0o3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=l,反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算三、平方根、算术平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x?=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。

多边形及其内角和(精选精练)(专项练习)(教师版) 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项

专题11.8多边形及其内角和（精选精练）（专项练习）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（23-24六年级下·山东烟台·期中）过多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成3个三角形，这个多边形是（）A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形2．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）一个正多边形的内角和为1080︒．则这个正多边形的边数为（）A ．9B ．8C ．7D ．63．（2024·福建福州·模拟预测）如图1是颐和园小长廊五角加膛窗，其轮廓是一个正五边形，如图2是它的示意图，它的一个外角α的度数为（）A ．70︒B ．72︒C ．60︒D ．108︒4．（2020·辽宁葫芦岛·三模）如图，多边形ABCDEFG 中，108E F G ∠=∠=∠=︒,72C D ∠=∠=︒，则A B ∠∠+的值为（）A ．108︒B ．72︒C ．54︒D ．36︒5．（2024·内蒙古赤峰·三模）如果一个正多边形的一个外角是45︒，则这个正多边形是正（）边形A ．六B ．八C ．十D ．十二6．（2024·湖北荆门·模拟预测）小聪利用所学的数学知识，给同桌出了这样一道题：假如从点A 出发，沿直线走9米后向左转θ，接着沿直线前进9米后，再向左转θ，…，如此下去，当他第一次回到点A 时，发现自己一共走了72米，则θ的度数为（）A．60︒B．75︒C．30︒D．45︒7．（2024·云南玉溪·三模）若一个正多边形的每一个外角都是36︒，则该正多边形的内角和的度数是（）．A．1440︒B．360︒C．1800︒D．2160︒∠=︒，则1∠的度数为8．（2024·河北石家庄·三模）如图，五边形ABCDE是正五边形，AF DG∥，若226（）A．86︒B．64︒C．62︒D．52︒9．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）综合实践课上，嘉嘉用八个大小相等的含45°角的直角三角板拼成了一个环状图案，如图1，若淇淇尝试用含60°角的直角三角板拼成类似的环状图案，如图2，除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为（）A．3个B．6个C．9个D．12个10．（2024·河北沧州·二模）用“筝形”和“镖形”两种不同的瓷砖铺设成如图所示的地面，则“筝形”瓷砖中的∠的度数为（）内角BCDA．120︒B．135︒C．144︒D．150︒二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2024八年级下·全国·专题练习）一个八边形的内角和是．12．（23-24六年级下·山东济南·期中）若从n边形的一个顶点最多能引出2条对角线，则n是．13．（2024·湖北咸宁·一模）一个多边形的内角和为540︒，这个多边形的边数是．14．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）一个正多边形的内角比外角大90︒，则这个多边形的内角和为．15．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为1440︒，那么原多边形有条边．16．（19-20七年级下·江苏扬州·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝．17．（2024·陕西西安·模拟预测）一个正多边形的外角和与内角和的比为1:3，则这个多边形是正边形．18．（2024·云南昆明·二模）如图，一个正n边形被树叶遮掩了一部分，若直线a，b所夹锐角为36︒，则n的值是．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（21-22八年级下·广西桂林·期中）列式计算：求图中x的值．20．（8分）（23-24八年级上·江西南昌·期末）如果多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多30︒．（1）这个多边形的内角和是多少度？（2）求这个多边形的对角线的总条数．21．（10分）（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在五边形ABCDE 中，100120AE CD A B �靶=，，∥（1）若110D ∠=︒，请求E ∠的度数；（2）试求出C ∠及五边形外角和的度数．22．（10分）（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：（1）多边形内角和为什么不可能为2020︒？（2）明明求的是几边形的内角和？（3）错当成内角的那个外角为多少度？23．（10分）（2024·浙江杭州·一模）问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答．（1）若四边形的一个内角的度数是α．①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）；②求其他三个内角的和（用含α的代数式表示）．n>，除了一个内角，其余内角的和为920︒，求n的值．（2）若一个n边形(3)深入探究：n>的一个外角与和它不相邻的(n)1-个内角的和之间满足的等量关系，说明理由．（3）探索n边形(3)24．（12分）（1）已知图①中的三角形ABC，分别作AB，BC，CA的延长线BD，CE，AF，测量∠CBD，∠ACE，∠BAF的度数，并计算∠CBD+∠ACE+∠BAF．由此你有什么发现？请利用所学知识解释说明；（2）类似地，已知图②中的四边形PQRS，分别作PQ，QR，RS，SP的延长线QG，RH，SM，PN，测量∠RQG，∠SRH，∠PSM，∠QPN的度数，并计算∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN．由此你又有什么发现？（3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？参考答案：1．A【分析】本题考查了多边形的对角线数量问题，根据n 边形从一个顶点出发可引出()3n -条对角线，可组成()2n -个三角形，依此可求出n 的值，得到答案．【详解】解：设这个多边形是n 边形，由题意得：23n -=，解得：5n =，即这个多边形是五边形，故选：A ．2．B【分析】本题多边形内角和公式，解题关键是理解并熟记多边形内角和公式．根据多边形内角和定理：可得方程()18021080x ︒⨯-=︒，再解方程即可．【详解】解：设多边形边数有x 条，由题意得：()18021080x ︒⨯-=︒解得：8x =故选B3．B【分析】本题主要考查多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的外角和为360︒是解题的关键．根据多边形的外角和为360︒即可作答．【详解】解：360572÷=︒．故选：B ．4．B【分析】连接CD ，设AD 与BC 交于点O ，根据多边形的内角和公式即可求出∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠EDC ＋∠GCD ，根据各角的关系即可求出∠ODC ＋∠OCD ，然后根据对顶角的相等和三角形的内角和定义即可求出结论．【详解】解：连接CD ，设AD 与BC 交于点O∵∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠EDC ＋∠GCD=180°×（5－2）=540°，108E F G ∠=∠=∠=︒，72∠=∠=︒GCB EDA ，∴108°＋108°＋108°＋72°＋∠ODC ＋72°＋∠OCD=540°∴∠ODC ＋∠OCD=72°∵∠AOB=∠COD∴∠A ＋∠B=180°－∠AOB=180°－∠COD=∠ODC ＋∠OCD=72°故选B ．【点拨】此题考查的是多边形的内角和公式和对顶角的性质，掌握多边形的内角和公式和对顶角相等是解决此题的关键．5．B【分析】本题考查了正多边形的外角性质，根据正多边形的外角都相等以及外角和为360︒，列式36045︒÷︒进行计算，即可作答．【详解】解：∵一个正多边形的一个外角是45︒，∴360458︒÷︒=，∴这个正多边形是正八边形，故选：B ．6．D【分析】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是明确第一次回到出发点A 时，所经过的路线正好构成一个正多边形．第一次回到出发点A 时，所经过的路线正好构成一个正多边形，用8972=÷，求得边数，再根据多边形的外角和为360︒，即可求解．【详解】解：∵第一次回到出发点A 时，所经过的路线正好构成一个正多边形，∴正多边形的边数为：8972=÷，根据多边形的外角和为360︒，∴则他每次转动θ的角度为：360845︒÷=︒，故选：D ．7．A【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和，掌握内角和公式是解题的关键．根据任何多边形的外角和都是360︒，可以求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式，就得到多边形的内角和．【详解】解：根据题意得：该多边形的边数为：3601036︒=︒，∴该正多边形的内角和为：()1021801440-⨯︒=︒．故选：A ．8．C【分析】此题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，熟记多边形内角和公式及平行线的性质是解题的关键．连接AD ，根据多边形的内角和及平行线的性质求解即可．【详解】如图,连接AD ,∵五边形ABCDE 是正五边形，()521801085E BAE -⨯︒∴∠=∠==︒，EA ED =，()34180108236∴∠=∠=︒-︒÷=︒，5108472∴∠=︒-∠=︒，226∠=︒ ，2598,DAF ∴∠=∠+∠=︒,AF DG 98,ADG ∴∠=︒1362.ADG ∴∠=∠-∠=︒故选:C ．9．C【分析】本题主要考查了正多边形的外角和．多边形由拼图方法可知：环状图案的外围是正多边形，根据正多边形外角和等于360︒即可求出正多边形的边数．【详解】解：依题意可知：用含60°角的直角三角板按图示拼成类似的环状图案是正多边形，正多边形的外角180(9060)30=︒-︒+︒=︒，故正多边形的边数为3603012︒÷︒=（条）∴除了图上3个还需要含60°角的直角三角板的数量为1239-=（个）故选C ．10．C【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，根据5个“筝形”组成一个正十边形，结合多边形内角和定理求解即可【详解】解；由图可知，5个“筝形”组成一个正十边形，∴()180********BCD ︒⨯-∠==︒，故选：C11．1080︒/1080度【分析】本题考查了多边形内角和定理，直接套用多边形的内角和()2180n -⋅︒进行计算可求八边形的内角和，【详解】解：内角和：()8218061801080-⨯︒=⨯︒=︒．故答案为：1080︒12．5【分析】本题考查了多边形的对角线，牢记n 边形从一个顶点出发可引出(3)n -条对角线是解题的关键．据此求解即可．【详解】解：∵从n 边形的一个顶点最多能引出2条对角线，∴32n -=，∴5n =．故答案为：5．13．5【分析】本题考查多边形的内角和公式，n 边形的内角和公式为()2180n -⨯︒，由此列方程即可得到答案．【详解】解：设这个多边形的边数为n ，则()2180540n -⨯︒=︒，解得5n =，故答案为：5．14．1080︒/1080度【分析】本题考查了多边形外角和与内角和，掌握其计算公式是解题的关键．多边形的内角和公式为：()2180n -⨯︒（其中n 为多边形的边数），多边形的外角和是360︒．因为多边形的外角和是360︒，且正多边形的每个内角都相等，每个外角也都相等，设这个正多边形的一个外角为x ，则内角为90x +︒，根据内角与外角的和为180︒可列出方程．【详解】设外角是x ，则内角是180x ︒-，则18090x x ︒--=︒，解得45x =︒．则多边形的边数是：360458︒÷︒=．∴内角和是：()821801080-⨯︒=︒．故答案为：1080︒．15．11或10或9【分析】本题考查了多边形的内角和度数，熟记相关结论是解题关键．【详解】解：以五边形为例，如图所示：剪去一个内角后，多边形的边数可能加1，可能不变，也可能减1设新多边形的边数为n ，则()21801440n -⨯︒=︒，解得：10n =∴原多边形可能有11或10或9条边．故答案为：11或10或9．16．540°【分析】连接ED ，由三角形内角和可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE ，再由五边形的内角和定理得出结论．【详解】连接ED ，∵∠A+∠B=180°-∠AOB ，∠BED+∠ADE=180°-∠DOE ，∠AOB=∠DOE ，∴∠A+∠B=∠BED+∠ADE ，∵∠CDE+∠DEF+∠C+∠F+∠G=(5-2)×180°=540°，即∠CDO+∠ADE+BED+∠BEF+∠C+∠F+∠G=540°，∴∠A+∠B+∠C+∠CDO+∠BEF+∠F+∠G=540°．故答案为：540°．【点拨】本题考查了三角形的内角和公式，以及多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为(n -2)×180°是解答本题的关键．17．八【分析】本题主要考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式，是解决问题的关键设这个正多边形的边数为n ，根据正多边形的外角和与内角和的比为1:3，利用多边形内角和公式与外角和列方程解答并检验，即得【详解】设这是个正n 边形，∵这个正多边形的外角和与内角和的比为1:3，∴()360121803n =-⨯，解得，8n =，经体验8n =是所列方程的解，且符合题意，∴这是个正八边形，故答案为：八18．5【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的定义及性质和外角和．先根据题意画出图形，再根据已知条件求出2∠和3∠的度数，然后根据正多边形的性质和外角和，求出正多边形的边数即可．【详解】解：如图所示：由题意得：136∠=︒，123180∠+∠+∠=︒ ，2318036144∴∠+∠=︒-︒=︒，正多边形每个外角都相等，23144272∴∠=∠=︒÷=︒，正多边形的外角和为360︒，∴它的边数为：360725÷=，n ∴的值为5，故答案为：5．19．100【分析】本题考查了四边形的内角和定理，根据题意，列式109060360x x +++︒+︒=︒计算即可．【详解】根据题意，列式109060360x x +++︒+︒=︒，解得100x =，故图中x 的值为100．20．(1)1800︒(2)54【分析】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．另外还要注意从n 边形一个顶点可以引3n -（）条对角线．（2）求出多边形的边数，利用多边形内角和公式即可得到答案；（3）根据n 边形有()32n n -条对角线，即可解答．【详解】（1）解：设这个正多边形的一个外角为x ︒，依题意有430180x x ++=，解得30x =，3603012︒÷︒=∴这个正多边形是十二边形．∴这个正多边形的内角和为(122)1801800-⨯︒=︒（2）解：对角线的总条数为4(1231)252-=⨯(条)．21．(1)70E ∠=︒(2)140C ∠=︒，五边形外角和的度数是360︒【分析】本题主要考查多边形内角和、外角和及平行线的性质，熟练掌握多边形内角和及平行线的性质是解题的关键．（1）根据平行线的性质可进行求解；（2）根据多边形内角和、外角和及平行线的性质可进行求解．【详解】（1）解：∵AE CD ∥，∴180D E ∠+∠=︒，∴180********E D ∠∠=︒-=︒-︒=︒；（2）解：五边形ABCDE 中，()52180540A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠=-⨯︒=︒，∵180D E ∠+∠=︒，100A ∠=︒，120B ∠=︒，∴()540C D E A B∠∠∠∠∠=︒-+--140=︒；五边形外角和的度数是360︒．22．(1)见解析(2)十三边形或十四边形(3)110︒或20︒【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形内角和外角的关系以及二元一次方程组的应用．（1）根据多边形内角和定理公式计算判断即可．（2）设应加的内角为x ，多加的外角为y ，依题意可列方程为()21802020n y x -=-+ ，结合角的属性建立不等式求整数解即可．（3）分别计算十三边形的内角和以及十四边形的内角和，分别列出关于x ，y 的二元一次方程组求解即可．【详解】（1）设多边形的边数为n ，由题意得()18022020n -= ，解得2139n =，∵n 为正整数，∴多边形的内角和不可能为2020︒．（2）设应加的内角为x ，多加的外角为y ，依题意可列方程为()21802020n y x -=-+ ，∵180180x y -<-< ，∴()202018018022020180n -<-<+ ，解得22121499n <<，又∵n 为正整数，∴n 13=或14n =．故明明求的是十三边形或十四边形的内角和．（3）十三边形的内角和为()1801321980⨯-= ，∴2020198040y x -=-= ，又180x y += ，∴70x = ，110y = ．十四边形的内角和为()1801422160⨯-= ，∴21602020140x y -=-= ，又180x y += ，∴160x = ，20y = ．所以错当成内角的那个外角为110︒或20︒．23．（1）①180α︒-，②360α︒-（2）8n =；（3）(3)180n βα-=-⨯︒，理由见解析【分析】（1）①根据一个内角与它相邻的外角的和是180︒进行计算即可；②四边形的内角和是360︒进行计算即可；（2）根据多边形的内角和的计算方法进行计算即可；（3）表示出和它不相邻的(n )1-个内角的和即可．【详解】解：（1）①四边形的一个内角的度数是α，则与它相邻的外角的度数180α︒-；②由于四边形的内角和是360︒其中一个内角为α，则其它三个内角的和为360α︒-；（2）由题意得，(2)180920n α-⨯︒-=︒，3n > 的正整数，0180α︒<<︒，8n ∴=，即这个多边形为八边形；（3）设n 边形(3)n >的一个外角为α，它不相邻的(n )1-个内角的和为β，则有180(2)180n αβ︒-+=-⨯︒，即(3)180n βα-=-⨯︒．24．（1）见解析，∠CBD +∠ACE +∠BAF ＝360°，三角形中的外角和为360°，见解析；（2）∠RQG +∠SRH +∠PSM +∠QPN ＝360°，见解析；（3）多边形的外角和和都是360°，见解析【分析】（1）经测量得出∠CBD ＝138°，∠ACE ＝117°，∠BAF ＝105°，∠CBD +∠ACE +∠BAF ＝360°，则据此得出结论三角形中的外角和为360°，根据平角是180°和多边形内角和证明即可；（2）分别测量出几个角并求出这几个角的和，得出结论：在四边形的外角和是360°；根据（1）中证明方法证明即可；（3）猜想：多边形的外角和和都是360°．根据（1），（2）方法证明即可；【详解】解：（1）经测量知∠CBD ＝138°，∠ACE ＝117°，∠BAF ＝105°，∴∠CBD +∠ACE +∠BAF ＝360°，发现：三角形中的外角和为360°，理由：∵∠CBD+∠ABC＝180°，∠ACE+∠ACB＝180°，∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠CBD+∠ACE+∠BAF+∠ABC+∠ACB+∠BAC＝540°，又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°；（2）∠RQG＝125°，∠SRH＝113°，∠PSM＝48°，∠QPN＝74°，所以∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°；发现：在四边形的外角和是360°；∵∠RQG+∠PQR＝180°，∠SRH+∠QRS＝180°，∠PSM+∠RSP＝180°，∠QPN+∠QPS＝180°，∵∠RQG+∠PQR+∠SRH+∠QRS+∠PSM+∠RSP+∠QPN+∠QPS＝720°，∵∠PQR+∠QRS+∠RSP+∠QPS＝360°，∴∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°．（3）猜想：多边形的外角和都是360°．设多边形为n边形，则n边形的每一个内角与它相邻的外角的和为180°，∴n边形的外角和＝180°n﹣（n﹣2）×180°＝180°n﹣180°n+360°＝360°．【点拨】此题考查多边形外角和的知识，利用平角是180°结合多边形内角和证明即可．。

(完整版)新人教版八年级数学上册知识点总结和经典习题

八年级数学上册知识点总结第十一章三角形、知识框架:二、知识概念：1 .三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形^2 .三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边^3 .高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高^钝角三角形三条高的交点在三角形外，直角三角形的三条高的交点在三角形上，锐角三角形的三条高的交点在三角形内，三条高线的交点叫做三角形的垂心4 .中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.（三条中线的交点叫重心）5 .角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线角形三条角平分线的交点到三边距离相等，三条角平分线的交点叫做内心6 .三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性^（例如自行车的三角形车架利用了三角形具有稳定性）7 .多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形^8 .多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9 .多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角^10 .多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线^11 .正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12 .平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13 .公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和^性质2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角^⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n 2）• 180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引（n 3）条对角线，把多边形分成（n 2）个三角形.②n边形共有n（n 3）条对角线.2经典例题：1. 一个三角形的三个内角中（）A.至少有一个等于90°B. 至少有一个大于90°C. 不可能有两个大于89°D. 不可能都小于60°2.如图，△ ABC中,高CD BE、AF相交于点O,则△ BOC的三条高分别为 .3、三角形的一个外角大于相邻的一个内角，则它的形状 ;三角形的一个外角小于相邻的一个内角，则它的形状三角形的一个外角等于相邻的一个内角，则它的形状。

人教版八年级上数学全册知识点复习及练习

初二上知识点汇总
第十一章三角形 1.三角形：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形．
三角形具有稳定性． 2.三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角． 3.三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所成的角叫三角形的外角． 4.三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和
【例8】三角形的一个外角大于相邻的一个内角，则它是（）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
4 / 32
【例9】已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为．
【例10】若一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，那么相对应的三个外角的度数之比为（）
C．6，8，9 D．3，3，6
【例4】设三角形三边之长分别为 3，8，1－2a，则 a 的取值范围为（）
3 / 32
A．－6<a<－3 B．－5<a<－2 C．－2<a<5 D．a<－5 或 a>2
【例5】如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的中线，已知 AB=5cm，AC=3cm，求△ABD与△ACD 的周长之差．
高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对

人教版八年级数学上册知识整理与基础训练(全)

第十一章全等三角形一、全等形能够完全重合的两个图形叫做全等形。

二、全等三角形１、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

注意：（１）两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

（２）“能够完全重合”是指在一定的叠放下，能够完全重合。

２、全等三角形的符号表示、读法△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′全等记作△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′，“≌”读作“全等于”。

注意：（１）两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样对应的两个字母为端点的线段是对应边；对应的三个字母表示的角是对应角（若用一个字母表示一个角亦是如此）。

（２）对应角夹的边是对应边，对应边的夹角是对应角。

（３）对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系，对边是与角相对的边，对角是与边相对的角。

３、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。

４、三角形全等的识别方法（１）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”和“ＳＳＳ”。

（２）两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”和“ＳＡＳ”。

（３）两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”和“ＡＳＡ”。

（４）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”和“ＡＡＳ”。

（５）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”和“ＨＬ”。

注意：ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边和一角对应相等时，角必须是两边的夹角。

５、三角形全等的证明思路找夹角——ＳＡＳ（１）已知两边都是直角三角形——ＨＬ找另一边——ＳＳＳ找边的对角——ＡＡＳ（２）已知一边一角找夹角的另一边——ＳＡＳ找夹边的另一角——ＡＳＡ（３）已知两角找夹边——ＡＳＡ找其他任意一边——ＡＡＳ６、全等变换一个图形与另一个图形的形状一样，大小相等，只是位置不同，我们称这个图形是另一个图形的全等变换，三种基本全等变换：（１）旋转；（２）翻折；（３）平移。

北师大版八年级数学上册第二章二次函数知识整理及基础训练(含答案)

第二章二次函数知识整理及基础训练【知识整理】1. 定义：形如：c bx ax y ++=2（其中a,b,c 是常数，且a ≠0）的函数是二次函数。

2. 本质：二次函数是用自变量的二次式表示的函数。

3. 图象：二次函数的图象是抛物线，抛物线是轴对称图形，对称轴和抛物线的交点叫做抛物线的顶点。

4. 二次项的系数a 对抛物线的影响：当 a>0时,抛物线的开口向上, 当 a<0时,抛物线的开口向下；a 越大开口越小, a 越小开口越大、综上所述：a 决定抛物线的开口大小和方向，即a 决定抛物线的形状。

5. 一次项的系数b 对抛物线的影响：当b=0时,抛物线的对称轴是y 轴；当a,b 同号时,对称轴在y 轴的左边；当a,b 异号时,对称轴在y 轴的右边。

即“左同右异” 综上所述：a,b 决定抛物线的左右位置。

6. 常数项c 对抛物线的影响：当c>0时,抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；当c<0时,抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；当c=0时,抛物线经过原点、综上所述：c 决定抛物线的上下位置。

7. 判别式⊿对抛物线的影响：当⊿>0时,抛物线与x 轴有两个交点；当⊿=0时,抛物线与x 轴有一个交点,即顶点在x 轴上；当⊿<0时,抛物线与x 轴没有交点。

综上所述：⊿决定抛物线与x 轴交点的个数。

8. 当 a>0且⊿<0时, 二次函数c bx ax y ++=2的值恒为正；当 a<0且⊿<0时, 二次函数c bx ax y ++=2的值恒为负。

9. 当x=0, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c, 当x=1, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c b a ++, 当x=-1, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c b a+-,……10. 二次函数c bx ax y ++=2的对称轴为直线abx 2-=，顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,2211. 二次函数的解析式有如下三种形式：12. 当 a>0时，若a bx 2-<，y 随着x 的增大而减小，若a b x 2->，y 随着x 的增大而增大，当 a<0时，若a bx 2-<，y 随着x 的增大而增大，若ab x 2->，y 随着x 的增大而减小。

(完整版)八年级数学上知识点+习题+答案

（一）三角形部分一、知识点汇总1. 三角形的定义定义：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

三角形ABC用符号表示为△ABC。

三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示，顶点B所对的边AC可用b 表示，顶点A所对的边BC可用a表示。

注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；(2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC是三角形ABC的符号标记,单独的没有意义．2、(1）三角形按边分类：(2)三角形按角分类:3、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边.注意：(1）三边关系的依据是：两点之间线段最短；（2）围成三角形的条件是：任意两边之和大于第三边．4、和三角形有关的线段:（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段表示法:1、AD是△ABC的BC上的中线. 2、BD=DC=0.5BC。

3、AD是ABC的中线；注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点；④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角与交点之间的线段。

表示法：1、AD是△ABC的∠BAC的平分线.2、∠1=∠2=0。

5∠BAC。

3、AD平分BAC，交BC于D注意:①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部;③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；（3）三角形的高三角形的高：从三角形的一顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，表示法：1、AD是△ABC的BC上的高。

2、AD⊥BC于D。

3、∠ADB=∠ADC=90°.4、AD是△ABC的高.注意：①三角形的高是线段：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线.②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在三角形外；三角形三条高所在直线交于一点．（而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。

华师大版八年级上册初二数学(提高版)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(家教、补习、复习用)

华师大版八年级上册数学重难点突破全册知识点梳理及重点题型举一反三巩固练习平方根【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根和算术平方根．2．了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.平方根的定义如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.要点诠释：一个正数aa的负平方根用“”表示；因此，一个正数a”表示，其中a叫做被开方数.2.算术平方根的定义正数的正的平方根称为算术平方根.（规定0的算术平方根还是0）；一个数a（a≥0）.要点诠释：有意义时，a0，a≥0.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质(0)||0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩()2a a=≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25=2.5=0.25=. 【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.＝5，所以本说法正确；B.＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.4，所以本说法错误；D.因为＝0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（）（24=±．（）（3）21()10-的平方根是110±．（）（4）25--是425的算术平方根．（）【答案】√ ；×； √； ×，提示：（24=；（4）25是425的算术平方根．2、（2016•古冶区二模）如果一个正数的平方根为2a+1和3a-11，则a=（） A. ±1 B.1 C. 2 D. 9【思路点拨】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到a 的值．【答案】C ．【解析】解：根据题意得：2a+1+3a-11=0解得：a=2．故选C.【总结升华】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解决本题的关键．3、（2015•前郭县二模）观察下列各式：=2，=3，=4，…请你找出其中规律，并将第n （n≥1）个等式写出来______________________________. 【思路点拨】根据所给式子，找规律．【答案】．【解析】解：=（1+1）=2，=（2+1）=3，=（3+1）=4，…，故答案为：．【总结升华】本题考查了实数平方根，解决本题的关键是找到规律．举一反三：【变式】（2015•恩施州一模）观察数表：根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第8个数是．【答案】7．类型二、平方根的运算4、求下列各式的值．2234+；【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：2234+257535==⨯=；110.63035=⨯-⨯90.26 1.72=--=-．【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根(0)a a=>来解．举一反三：【变式】求下列各式的值：（1）（2（3（4【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）655类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x·3x＝132332x＝132321x=±x＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.【巩固练习】一.选择题1. （2016•泰州）4的平方根是（）A. ±2B.-2C. 2D.1 2±2．下列各数中没有平方根的是（）A．()23-B．0 C．81D．36-3．下列说法正确的是（）A．169的平方根是13 B．1.69的平方根是±1.3 C．()213-的平方根是－13 D．－（－13）没有平方根4．若m4，则估计m的值所在的范围是（）A．1＜m＜2 B. 2＜m＜3 C. 3＜m＜4 D. 4＜m＜55.（2015•重庆模拟）若+（y+2）2=0，则（x+y）2015等于（）A.﹣1B.1C.32014D.﹣320146.一个数的算术平方根是a，则比这个数大8数是（）A．a＋8B．a－4C．28a-D．28a+二.填空题7．计算：（1=______；（2）=______；（3）=______；（4=______；（5=______；（6）=______．8. （2016•广东）9的算术平方根是________.9.11125的平方根是______；0.0001算术平方根是______；0的平方根是______．10的算术平方根是____________．112，则这个数的平方是______．12．（2015春•罗田县期中）已知，，则=________.三.解答题13．求下列各式中的x．（1）21431x-=；（2）2410x-=；14．（2015春•昌江县校级期中）小文房间的面积为10.8m2，房间地面恰巧由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？15.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ；【解析】正数的平方根有两个，它们互为相反数. 2. 【答案】D ；【解析】负数没有平方根. 3. 【答案】B ；【解析】169的平方根是13±，()213-的平方根是13±.4. 【答案】B ；【解析】67<<，所以2－4＜3 . 5. 【答案】A ；【解析】解：∵+（y+2）2=0， ∴x=1，y=﹣2，∴（x+y ）2015=（1﹣2）2015=﹣1，故选A ．6. 【答案】D ；【解析】一个数的算术平方根是a ，则这个数是2a . 二.填空题7. 【答案】11；－16；12±；9；3；32-. 8. 【答案】3； 9. 【答案】65±；0.01；0. 10.【答案】2；－3；＝49，此题就是求4的算术平方根和9的算术平方根的相反数.11.【答案】16；【解析】一个数的平方根是±2，则这个数是4，4的平方是16. 12.【答案】578.9. 三.解答题 13.【解析】解：（1）2144x = （2）21=4x 12x =± 12x =±14.【解析】解：设每块地砖的边长是x ，则120x 2=10.8，解得x=±0.3（舍负），答：每块地砖的边长是0.3m. 15.【解析】解：∵25＜35＜36<即5＜35＜6∵35比较接近36，6.立方根【学习目标】1. 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根；2. 了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根；3. 会用计算器求立方根.【要点梳理】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，表示，其中a是被开方数，3是根指数..求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点三、立方根的性质=a=3a=要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.0.060.6660.【典型例题】类型一、立方根的概念1、下列结论正确的是（）A．64的立方根是±4 B．1-是16-的立方根C．立方根等于本身的数只有0和1D=【答案】D；【解析】64的立方根是4；12-是18-的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；=举一反三：【变式】下列说法正确的是（）A．一个数的立方根有两个B．一个非零数与它的立方根同号C．若一个数有立方根，则它就有平方根D．一个数的立方根是非负数【答案】B；提示：任何数都有立方根，但是负数没有平方根.2、（2016春•南昌期末）已知实数x 、y4240,2-3x y x y -+=求的立方根．【思路点拨】先由非负数的性质求得x 、y 的值，然后在求得代数式的值，最后再求得它的立方根即可．【答案与解析】解：由非负数的性质可知：2x -16=0，x -2y +4=0，解得：x =8，y =6．∴442-=28-6=833x y ⨯⨯. ∴42-3x y 的立方根是2.【总结升华】本题考查了非负数的性质、立方根的定义，求得x 、y 的值是解题的关键．类型二、立方根的计算3、求下列各式的值：（1）327102-- （2）3235411+⨯ （3）336418-⋅ （4（5）10033)1(412)2(-+÷-- 【答案与解析】解：（1）（2（3）43===91=241=2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-（4）=33=1-+（5）3=21247=1=33÷++【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.举一反三：【变式】（2015春•武汉校级期末）计算= ．【答案】．解：．类型三、利用立方根解方程4、（2015春•黄梅县校级月考）若8x 3﹣27=0，则x= ．【思路点拨】先求出x 3的值，然后根据立方根的定义解答．【答案】．【解析】解：8x 3﹣27=0，x 3=，∵（）3=，∴x=；【总结升华】本题考查了利用立方根求未知数的值，熟记立方根的定义是解题的关键．举一反三：【变式】求出下列各式中的a ：（1）若3a ＝0.343，则a ＝______；（2）若3a －3＝213，则a ＝______；（3）若3a ＋125＝0，则a ＝______；（4）若()31a -＝8，则a ＝______．【答案】（1）a ＝0.7；（2）a ＝6；（3）a ＝－5；（4）a ＝3．类型四、立方根实际应用5、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了169πcm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【思路点拨】铁块排出的643cm 水的体积，是铁块的体积，也是高为169πcm 烧杯的体积. 【答案与解析】解：铁块排出的643cm 的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为y cm ，可列方程364,y =解得4y =设烧杯内部的底面半径为x cm ，可列方程216649x ππ⨯=,解得x =6. 答：烧杯内部的底面半径为6cm ，铁块的棱长 4cm .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合. 举一反三：【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________。

【精品】初中数学八年级上册《三角形的高、中线与角平分线》基础练习

《三角形的高、中线与角平分线》基础练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A．B．C．D．2．（5分）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（）A．B．C．D．3．（5分）如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A．B．C．D．4．（5分）如图所示，△ABC中AC边上的高线是（）A．线段DA B．线段BA C．线段BC D．线段BD5．（5分）如图AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有（）个A．3B．4C．5D．6二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图所示：在△AEC中，AE边上的高是．7．（5分）如图，H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，则△BHA中边BH上的高是．8．（5分）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为cm．9．（5分）BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是．10．（5分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知△ABC，如图，过点A画△ABC的角平分线AD、中线AE和高线AF．12．（10分）如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长．13．（10分）如图，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点O．（1）在△BOC中，OB边上的高是，OC边上的高是，BC边上的高是．（2）在△AOC中，OA边上的高是，OC边上的高是，AC边上的高是．（3）在△AOB中，OA边上的高是，OB边上的高是，AB边上的高是．14．（10分）如图，已知CD是△ABC的中线，AC＝9cm，BC＝3cm，那么△ACD和△BCD 的周长之差是多少？15．（10分）如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？《三角形的高、中线与角平分线》基础练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据高线的定义即可得出结论．【解答】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，故选：A．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．2．（5分）下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（）A．B．C．D．【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BD是△ABC 的高．【解答】解：由图可得，线段BD是△ABC的高的图是D选项．故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．3．（5分）如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．【解答】解：过点B作AC边上的高，垂足为E，则线段BE是△ABC的高的图是选项C．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．4．（5分）如图所示，△ABC中AC边上的高线是（）A．线段DA B．线段BA C．线段BC D．线段BD【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．【解答】解：由图可得，△ABC中AC边上的高线是BD，故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的高线，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．5．（5分）如图AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有（）个A．3B．4C．5D．6【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．【解答】解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图所示：在△AEC中，AE边上的高是CD．【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形中高线的概念即可作答．【解答】解：由题意可得：△AEC中，AE边上的高是CD，故答案为：CD．【点评】本题考查了三角形高线的概念，三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．7．（5分）如图，H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，则△BHA中边BH上的高是AE．【分析】直接利用三角形高线的定义得出答案．【解答】解：如图所示：∵H是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，∴△BHA中边BH上的高是：AE．故答案为：AE．【点评】此题主要考查了三角形的高，正确钝角三角形高线的作法是解题关键．8．（5分）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为19cm．【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可．【解答】解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，∵△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，∴△ACD周长为：25﹣6＝19cm．故答案为19．【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC的长度的差是解题的关键．9．（5分）BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是2．【分析】根据三角形的中线的定义可得AD＝CD，再求出△ABD和△BCD的周长的差＝AB﹣BC．【解答】解：∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∴△ABD和△BCD的周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，∵AB＝5，BC＝3，∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于AB﹣BC是解题的关键．10．（5分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝50°．【分析】由AE平分∠BAC，可得角相等，由∠1＝30°，∠2＝20°，可求得∠EAD的度数，在直角三角形ABD在利用两锐角互余可求得答案．【解答】解：∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠EAD+∠2，∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝30°﹣20°＝10°，Rt△ABD中，∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣30°﹣10°＝50°．故答案为50°．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得∠EAD＝10°是正确解答本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知△ABC，如图，过点A画△ABC的角平分线AD、中线AE和高线AF．【分析】分别根据角平分线、三角形高线作法以及垂直平分线的作法得出答案即可．【解答】解：由题意画图可得：【点评】此题主要考查了复杂作图中线段垂直平分线的作法以及角平分线作法等知识，熟练掌握作图方法是关键．12．（10分）如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长．【分析】利用等积法求得AE的长度即可．【解答】解：如图，过点A作BC边上的高线AE，交CB延长线于点E．∵BC•AE＝AC •BD，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，∴×4AE＝×8×3，则AE＝6．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记三角形的面积公式即可解题，属于基础题．13．（10分）如图，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点O．（1）在△BOC中，OB边上的高是CE，OC边上的高是BF，BC边上的高是OD．（2）在△AOC中，OA边上的高是CD，OC边上的高是AF，AC边上的高是OE．（3）在△AOB中，OA边上的高是BD，OB边上的高是AE，AB边上的高是OF．【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据三角形高的定义判断．【解答】解：（1）由图可得，在△BOC中，OB边上的高是CE，OC边上的高是BF，BC 边上的高是OD．（2）由图可得，在△AOC中，OA边上的高是CD，OC边上的高是AF，AC边上的高是OE．（3）由图可得，在△AOB中，OA边上的高是BD，OB边上的高是AE，AB边上的高是OF．故答案为：CE，BF，OD；CD，AF，OE；BD，AE，OF．【点评】本题主要考查了三角形高线的定义，解决问题的关键是掌握：钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．14．（10分）如图，已知CD是△ABC的中线，AC＝9cm，BC＝3cm，那么△ACD和△BCD 的周长之差是多少？【分析】利用中线的定义可知BD＝AD，可知△ACD和△BCD的周长之差即为AC和BC 的差，可求得答案．【解答】解：∵CD是△ABC的中线，∴AD＝BD，∵△ACD周长＝AC+CD+AD，△BCD周长＝BC+CD+BD，∴△ACD周长﹣△BCD周长＝（AC+CD+AD）﹣（BC+CD+BD）＝AC﹣BC＝9﹣3＝6（cm），即△ACD和△BCD的周长之差是6cm．【点评】本题主要考查三角形中线的定义，由条件得出两三角形的周长之差即为AC和BC的差是解题的关键．15．（10分）如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？【分析】根据角平分线的定义和邻补角的定义可得∠DAE＝90°，从而得到AD⊥AE．【解答】解：AD⊥AE，理由如下：∵AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，∴∠DAE＝∠DAC+∠EAC＝∠BAC+∠CAF＝（∠BAC+∠CAF）＝×180°＝90°，∴AD⊥AE．【点评】本题考查了三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线，也考查了邻补角的定义以及垂直的定义．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

八年级数学上册知识大综合基础练习
试卷简介:全卷共四个大题，第一题是选择（1道，每道5分）；第二题是填空（10道，每道5分）；第三题是解答（4道，每道10分），第四题是作图（1道，每道5分），满分100分，测试时间30分钟。

本套试卷综合考察了八年级上册的基础知识，同学们在做题的过程中可以查漏补缺，做到及时巩固。

学习建议:本讲内容主要回顾了八年级上册学习的基础知识，大家可以针对自己的薄弱点再加强练习，争取做到牢固掌握各个知识点并且能够灵活综合应用。

一、单选题(共1道，每道5分)
1.一个多边形的每个内角都等于144°，则内角和是______，共有______条边.（）
A.1260°，8
B.1440°，10
C.1620°，9
D.1800°，11
二、填空题(共10道，每道5分)
1.______，的算术平方根的平方根是______.
2.下列说法正确的是______ ① 任何正数的两个平方根的和等于0 ② 任何实数都有一个立方根③ 无限小数都是无理数④ 实数和数轴上的点一一对应
3.菱形有一个内角是60°，边长为10，则它的面积是______
4.下列表述的图形中能进行密铺的有______ ①平行四边形②三角形③直角梯形④正五边形⑤正八边形
5.矩形ABCD的对角线AC，BD所成的锐角是60度，则下列说法正确的是______
①.AC+BD=AB+BC+CD+DA ②.BD+AC=AB+AC ③.BD=2AB ④.以上都不对
6.等腰梯形ABCD中，A=120°，AB=4，CD=10，各顶点坐标是A______，B______，C______，D(0，0)．
7.点P(a-1，-b+2)关于x轴对称与关于y轴对称的点的坐标相同，则a、b的值分别是______．
8.如图所示，图中函数的解析式为______
9.y=-2x+b与x轴交于（4，0），则它与y轴的交点为______，与y=x的交点坐标为______．
10.方程2x+y=7在自然数范围内的解有______对.
三、解答题(共4道，每道10分)
1.如图，菱形ABCD中，E是AD中点，EF⊥AC交CB的延长线与点F．
①DE和BF相等吗？请说明理由．
②连结AF、BE，四边形AFBE是平行四边形吗？说明理由．
2.如图，lA 、lB分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系．
（1）B出发时与A相距______千米．
（2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是______小时．
（3）B出发后______小时与A相遇．
（4）若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，______小时与A相遇，相遇点离B的出发点______千米．
（5）求出A行走的路程S与时间t的函数关系式．
3.列方程组解应用题：甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品提价40%，乙商品降价10%，两种商品的单价和比原来提高了20%，甲、乙两种商品原来的单价各是多少元？
4.在一次射击比赛中，19名参赛队员（每人打3发）的成绩如下表：
求出这组数据的平均数，众数，中位数．
四、作图题(共1道，每道5分)
1.将△ABC平移后，A点移到A1点，请作出平移后的图形.
八年级数学暑期预习领先班(八年级上册知识系统梳理+完美衔接、领先一步) 东区总校：郑州市文化路与黄河路交叉口中孚大厦7楼B室电话：65335902 西区总校：郑州市陇海路与桐柏路交叉口凯旋门大厦B座405室电话：68856662。