习题511下面哪些集合是偏序集解是偏序集
第9章习题答案
由格的基本性质，有 a∧b
∨(a∧c)) ∧(( a∧b)∨(b∧c)) 。 由于 a∧b a 和 a∧c a∧b。 a，得(a∧b)∨(a∧c) a。同理可得(a∧b)∨(b∧c) b。于是(( a∧b)∨(a∧c))
∧(( a∧b)∨(b∧c))
综上可得(( a∧b)∨(a∧c)) ∧(( a∧b)∨(b∧c)) ＝a∧b。 4. 完成定理 9.2 的证明。 证明 首首先证明 是一一个偏序关系。
设<L， >为分配格。 由(a∧c)
a∨(b∧c)， 所以(a∨b)
a∨(b∧c)。 反之，若对于任意的 a、b、c∈L，有(a∨b)∧c a∨(b∧c)。则(a∨b)∧c＝(( b∨a)∧c)∧c (b∨(a∧c)) (a∨b)
∧c(由已知条件)＝(( a∧c)∨b)∧c ∧c 得(a∧c)∨(b∧c)
（吸收率、交换率）
(a∨b)∧(a∨c)，故(( a∨b)∧(a∨c)) ∨a)＝(a∨b)∧(a∨c)。 a∨b∨c，故(( a∨b)∧(a∨c)) ∧(a∨b∨c)＝(a∨b)∧(a∨c)。
4
因为(a∨b)∧(a∨c)
第 9 章 格与布尔代数
将上述两结果代入入上式右端，再利用用吸收率得 右端＝(a∨b)∧(a∨c)。 于是 a∨(b∧c)＝(a∨b)∧(a∨c)。 由于分配率是对偶的，故只需要证明一一个分配率，所以<L， >是分配格。
1
f(b)。
反之，设 f(a)
f(b)，则 f(a)∧2 f(b)＝f(a∧1b)＝f(a)，由于 f 是双射，所以 a∧1b＝a，故 a
2
b。
第 9 章 格与布尔代数
设对"a、b∈L，有 a f(c)
3-12 序关系
R2不是全序关系
集合A3= {3,9,27,54}上的整除关系为 R3={<3,3>, <3,9>,<3,27>, <3,54>,<9,9>, <9,27>,
<9,54>,<27,27>,<27,54>,<54,54>}
COV A2 = {<3,9>,<9,27>, <27,54>}
偏序关系图为
3、哈斯图 对于给定偏序集<A，≤>，它的盖住关系是唯一的， 所以可用盖住的性质画出偏序集合图，或称哈斯图，其 作图规则为： (1)小圆圈代表元素。
(2)如果x≤y且x≠y，将代表y的小圆圈画在代表x的小圆圈
之上。 (3)如果<x，y>∈COVA，则在x与y之间用直线连结。
例：画出下列偏序集<{1，2，3，4，5，6}，DA>的哈斯图 （DA是A上的整除关系） DA={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>，<6，6>， <1，2>，<1，3>，<1，4>，<1，5>，<1，6>，<2，4>，<2，
（1）设集合为{3,5,15}，{1,2,3,6,12}，{3,9,27,54}，偏 序关系为整除，画出这些集合的偏序关系图，并指出
哪些是全序关系。
解 集合A1= {3,5,15}上的整除关系为 R1={<3,3>,<5,5>,<15,15>,<3,15>,<5,15>} COV A1 = {<3,15>,<5,15>} 偏序关系图为
离散数学(屈婉玲版)第六章部分答案
τ=（1634）（25）
（2）： 1. στ= (15423)
2．τσ=(15462)
3． 1 = (1256)(34)
6.11 判断以下映射是否为同态映射。如果是，说明它是否为单同态和满同态。
（1）G 为群， ：G →G, (x)=e,xG,其中 e 是 G 的幺元。 （2）G=<Z,+>为整数加群， :G→ G , (n) =2n,nZ .
对 2∈Z， x∈Z 有 x °2=x+2-2=x=2°x,
可见 , 存在幺元，幺元为 2。 对 x∈Z 有 4-x∈Z,使 x ° （4-x）= (4-x) °x=2
所以 x-¹= 4-x 所以 Z 与运算 ° 能构成群 。
6.7 下列各集合对于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格？ （1）L={1,2,3,4,5}. （2）L={1,2,3,6,12}. （3）L={1,2,3,4,6,9,12,18,36}. （4）L={1,2,2(2),…,2(n)}.
设 a={1,3} b={3,4,5} ∴a,b∈p(A) ∵<p(A), >构成群 a x=b ∴a-1 a x= a-1b
e x= a-1b x= a-1b
e= a-1=a ∴x=ab={1,3}{3,4,5}={1,4,5} (2)由 B 生成的循环子群<B>为 {,{1,4,5}}
6.10
6.4 设 Z 为正数集合，在 Z 上定义二元运算 ° ， x,y∈Z 有
x °y=x+y-2, 那么 Z 与运算 ° 能否构成群？为什么？
解： 设 a,b,c ∈Z
（a °b）°c = (a+b-2) °c = a+b- 2+ c-2 =a+b+c-4
9.6偏序关系
9.6偏序关系9.6偏序关系(Partial Order)偏序(Partial Order)定义:偏序(Partial order)：定义在A上的集合R是偏序关系iff(当且仅当)其具有以下性质:1. ⾃反性(reflexive)2. 反对称性(antisymmetric)3. 传递性(transtive)NOTE: R记作≼，注意这⾥的≼不必是指⼀般意义上的“⼩于或等于”,若有x≼y，我们也说x排在y前⾯（x precedes y).偏序集(Partially ordered set)/(或简写为poset): 集合A及定义在其上的偏序关系R⼀起称为偏序集，记作(A, R)，A中的元素也称为偏序集中的元素.线序/全序(Linear Order)如果(A, ≤)是⼀个偏序集(poset)，那么对于其中的元素a和b,1. a≤b 或者 b≤a,那么称为可⽐的(Comparable)2. 即不存在a≤b，也不存在b≤a,那么称为不可⽐的(Imcomparable)如果偏序集A中每对元素(every pair of elements)都是可⽐的，那么我们就称A是线序集合(linearly ordered set)或全序集合(totally ordered set),称偏序关系R为线序或全序关系(linear order). 我们也称A为链(chain).良序集(Well-ordered set)定义:设集合(S,≤)为⼀全序集，≤是其全序关系，若对任意的S的⾮空⼦集，在其序下都有最⼩元素，则称≤为良序关系，(S,≤)为良序集。
拟序(Quasiorder)定义:定义在A上的关系R是拟序关系iff其具有以下关系1. 反⾃反性(irreflexive)2. 传递性(transitive)NOTE:满⾜反对称性的拟序关系就称为偏序关系乘积偏序(Product Partial Order)如果(A, ≤)和(B, ≤)都是偏序集，那么他们的笛卡尔积也是个偏序集，其偏序关系≤被定义为:如果在A中有a ≤ a'，在B中有b ≤ b'，那么(a, b) ≤ (a', b')词典顺序(Lexicographic Order)对于⼀个乘积偏序，(a, b) ＜ (a', b')在a ＜ a'(或a == a'并且b ＜ b')时成⽴那么我们称其为词典顺序(Lexicographic Order)或字典序(“dictionary” order)哈斯图(Hasse Diagram)哈斯图是有限集A上的偏序图，并且:删除了所有的⾃环(self-cycles)消除了由传递性⽣成的边⾃底向上的制图设(S, ≤)是⼀个poset. 若x＜y且不存在元素z∈S，使得x＜z＜y，则称y∈S覆盖x∈S.⽽y覆盖x的有序对(x, y)的集合也称为(S, ≤)的覆盖关系.可以看出，(S, ≤)的哈斯图的边与其覆盖关系是⼀⼀对应的.同构(Isomorphism)对应原理(Principle of Correspondence)两个有限同构偏序集必定具有相同的Hasse图.拓扑排序(Topological Sorting)极⼤元(maximal element)和极⼩元(minimal element)定义:偏序集中的⼀个元素称为极⼤(⼩)元，当它不⼩(⼤)于这个偏序集中的任何其他元素, 利⽤哈斯图很容易判别它们就是图中的"顶"("底")元素极⼤(⼩)元⼀定存在，且可能是不唯⼀的最⼤元(greatest element)和最⼩元(least element)定义:如果在偏序集中存在⼀个元素⼤(⼩)于任何其他的元素，那么称这样的元素为最⼤(⼩)元最⼤(⼩)元可能不存在，若存在则唯⼀最⼩上界(least upper bound)和最⼤上界(greatest lower bound)定义:如果存在⼀个元素u(l)∈S，使得对于偏序集(S, ≤)的⼦集A中的所有元素a，有a≼u(l≼a)，那么称u(l)为A的⼀个上(下)界，如果u(l)是所有上(下)界中最⼩(⼤)的，就叫最⼩上界(LUB)(最⼤下界(GLB))上界的最⼩元就叫最⼩上界；下界的最⼤元叫最⼤下界(Topological Sorting)定义:对⼀个有向⽆环图DAG(Directed Acyclic Graph)G进⾏拓扑排序，是将G中所有顶点排成⼀个线性序列，使得图中任意⼀对顶点u 和v，若边<u,v>∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。
集合论--第9讲偏序关系
离散数学偏序关系第9讲定义9.1设R为非空集合A上的关系, 如果R是自反的、反对称的和传递的, 则称R为A上的偏序关系。
简称偏序, 记作≼。
设≼为偏序关系。
如果<x,y > ∈ ≼, 则记作x≼y, 读作“x小于等于y”。
意即：依据这个序，x排在y的前面或x就是y。
定义9.2设R是非空集合A上的偏序关系，定义(1) ∀x,y∈ A, x与y可比⇔x ≼y ∨ y ≼x。
(2)∀x,y∈ A, x ≺y ⇔x ≼y ∧ x≠y。
其中x≺y读作“x小于y”。
由上面定义可知，在具有偏序关系≼的集合A中任取两个元素x和y，可能有下述几种情况发生：x与y不可比；x≺y；y≺x；x=y。
定义9.3集合A和A上的偏序关系≼一起叫做偏序集，记作<A, ≼>。
利用偏序关系的自反性，反对称性和传递性可以简化一个偏序关系的关系图，得到偏序集的哈斯图。
我们需要下面覆盖的定义。
定义9.4设<A, ≼> 是偏序集， x,y∈ A ，如果x≺y且不存在z ∈ A使得x≺z≺y ，则称y覆盖x。
例子例9.1<A,≼>是偏序集,其中A＝{1,2,3,4,5}, ≼是整除关系。
解: 对任意x∈A都有1≼x,所以1和1,2,3,4,5都是可比的,但是2不能整除3,3也不能整除2,所以2和3是不可比的。
对于1和2来说,1≺2,并且不存在z∈A使得1整除z并且z整除2,所以,2覆盖1。
同样,4覆盖2,但4不覆盖1,因为有1≺2≺4成立。
如果x与y不可比,则一定不会有x覆盖y或y覆盖x。
哈斯图——关系图的简化哈斯图的画法1在关系图中去掉所有的自环。
2若y覆盖x，则保留从x到y的边，其它的边全去掉。
3若y覆盖x，将x放在下方，y放在上方，去掉边上的方向。
这一点是能做到的，因为偏序关系的关系图中无有向圈。
例子画出<{1,2,…,12},R 整除>和<P({a,b,c}), R >的哈斯图.例9.2179361211510248<{1,2,…,12},R 整除>{a}{b}{c}{b,c}{a,c}{a,b,c}{a,b}∅<P({a,b,c}), R >⊆⊆基本概念定义9.5设<A,≼>为偏序集,B ⊆A .①y∈B, y是B 的最小元: 若∀x(x∈B→y ≼x)成立。
哈工大集合论习题课-第三章 关系习题课(学生)
习 题 课例1设{,,}A a b c =，给出A 上的一个二元关系，使其同时不满足自反性、反自反性、对称性、反对称和传递性的二元关系，并画出R 的关系图。
解：{(,),(,),(,),(,)}R a a b c c b a c =，关系图如图所示。
例2 设X 是一个集合，X ＝n ，求：1.X 上的二元关系有多少？()22n 2. X 上的自反的二元关系有多少？ 3. X 上的反自反的二元关系有多少？解：因为把所有的反自反的二元关系的每个都加上对角线上的序对，就变成了自反的关系，因此，自反的与反自反的个数一样多。
即22nn-4. X 上的对称的二元关系有多少？2222n n n nn -++=，故共有222n n+个对称的关系。
5. X 上的反对称的二元关系有多少？22(32)n n n -∙6. X 上既是自反的也是反自反的二元关系的个数；(0)个7.X 上既不是自反的也不是反自反的二元关系有多少？2(2(22))n nn --解：解：可用容斥原理来计算设B 表示所有自反关系构成的集合，C 表示所有反自反关系构成的集合，则22nnB C -==。
而B C φ=，故B C B C =+，从而CC B C S B C S B C =-=--2222222222222(22)n n n n n n n n n n n ----=--=-=-于是，既不是自反的，也不是反自反关系共有22(22)n nn --个。
8.自反的且对称的关系有多少？[此结果与“反自反的且对称的关系有多少？”是一样多]即有222n n -（对角线上全去掉）9.自反的或对称的关系有多少？解：设B 表示自反关系的集合，C 表示对称关系的集合，则自反或对称关系的集合为：22222222n n n n nnB C B C B C +--=+-=+-。
10.X 上既是反自反的也是反对称的二元关系的个数为：223n n -；11.X 上既是对称的也是反对称的关系个数；解：X 上既是对称的也是反对称的关系X R I ⊆，故有2n 。
偏序关系整理
●定义：集合S上的关系R，如果它是自反的，反对称的和传递的，就称为偏序。
集合S与偏序R一起叫做偏序集，记做(S, R)●例子：●1、整数集合上的“大于或等于”关系●2、正整数集合上的整除关系●3、集合S的幂集合上的包含关系●符号：●通常用≼表示偏序关系,读作“小于等于”●<x,y>∈R ⇔ xRy ⇔ x≼y●使用这个记号是由于“小于或等于”关系是偏序关系的范例。
●“严格小于”: x≺y ⇔ x≼y ∧x≠y●当a与b是偏序关系（S, ≤）的元素时，不一定有a ≤b或b ≤a。
●定义2：偏序集（S, ≤）的元素a和b叫做可比的，如果a ≤b或b ≤a。
当a和b是S的元素且没有a ≤b，也没有b ≤a，则称a和b是不可比的。
●极大元素：偏序集的一个元素，它不小于这个偏序集的任何其他元素●极小元素：偏序集的一个元素，它不大于这个偏序集的任何其他元素●最大元素：偏序集的一个元素，它大于这个偏序集的所有其他元素●最小元素：偏序集的一个元素，它小于这个偏序集的所有其他元素设<S,≼>为偏序集, A⊆S, u,l∈A●上界(upper bound):u是A的上界⇔∀x( x∈A → x≼u )●下界(lower bound):l是A的下界⇔∀x( x∈A → l≼x )●例：<S,|>, S={1,2,3,4,5,6,9,10,15}●A1={1,2,3}, A2={3,5,15}, A3=S.●A1的上界是{6}, A1的下界是{1}●A2的上界是{15}, A2的下界是{1}●A3的上界集合的最小上界：集合的一个上界，它小于所有其他的上界●集合的最大下界：集合的一个下界，它大于所有其他的下界是{}, A3的下界I A R R∩I A=R=R R∩R-1 I A R R R最小元与极小元是不一样的。
最小元是B中最小的元素，它与B中其它元素都可比；而极小元不一定与B中元素可比，只要没有比它小的元素，它就是极小元。
第三部分 代数结构
解： （1）是封闭的。 （5）是不封闭的。 对于所给的二元运算在正实数集合上是不封闭的。 如：a=1，b=2； a b =-1 不在所给的正实数集合中，所以对该运算不封闭。 （7）是封闭的。
9-7、设 * 为Z 上的二元运算，x，y Z，x * y min （x，y），即x和y中较小的数 （1）求4*6,7*3； （2）*在Z 上是否满足交换律，结合律和幂等律； （3）求*运算的单位元，零元，以及Z中所有的可逆元素的逆元。 解： （1）4*6=4； 7*3=3； （2）*在Z 上满足交换律，结合律和幂等律； （3）*运算没有单位元和可逆元素，它的零元为1。
f1 f1 f1 f1 f1
f2 f1 f2 f3 f4
f3 f4 f3 f2 f1
f4 f4 f4 f4 f4
9-4、判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。 （1）整数集合 Z 和普通的加减运算。
（5）正实数集合R +和 运算，其中 运算定义为：a，b R +，a b ab a b。
习题十一 11-1、图 11.11 给出了 6 个偏序集的哈斯图，判断其中哪些是格，如果不是格，
-8-
说明理由。 （a） ．d ．c ．b
（c） f d b a e c
（e） f d c a b e
．a 解： 偏序集（a） ， （c）都是格 偏序集（e）不是格，因为在（e）中{a，b}没有最大下界。
解： 不能构成V的子代数，因为该运算对加法不封闭。 如：任意两个奇数的和是偶数，但是偶数并不属于集合S2。
9-17、V=<R * ,.>其中R *为非零实数集合，.为普通乘法，判断下面的哪些函数是V的自同态? 是否为单自同态，满自同态，自同构？计算V的同态像。 （1）f（x）= x ； （3）f（x）=x 2。 解： （1）x，y R *，使得f(x,y)= xy f(x)f(y),所以f是V的自同态; 又ranf R *，故f不是V的满自同态， 且对于y ranf，存在不唯一的x R *满足f ( x) y, 故f不是V的单自同态，也不是自同构。 f(V)=<R * , > (3)x，y R *，使得f（x，y）=x 2 y2 f ( x) f ( y) 所以f是V的自同态； f：R * R *，f（x）=x 2，f不是单调函数，且ranf R * 所以f不是V的单自同态，也不是满自同态，也不是自同构。 f(V)=<R * , >。
应用离散数学(方景龙)课后答案
令原子命题 p ：若下雪超过 20 公分，学校就停课， q ：若温度低于 −10°C ，学校就 停课，则同或和异或分别符号化为： p ∨ q 和 ( p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) 。
我认为该语句想表示的是“同或”。
6. 给出下列各蕴涵形式命题的逆命题、否命题和逆否命题。 （1）如果今天下雪，我明天就去滑雪。 （2）只要有测验，我就来上课。 （3）只有当正整数没有 1 和它自己以外的因数时，它才是质数。 解 （1）逆命题：如果我明天去滑雪，就今天会下雪；否命题：如果今天不下雪，我 明天就不去滑雪；逆否命题：如果我明天没去滑雪，今天就没下雪。 （2）逆命题：我来上课，就有测验；否命题：只要没有测验，我就不来上课；逆否命 题：我不来上课，就没有测验。 （3）逆命题：正整数是质数，则它没有 1 和它自己以外的因数；否命题：只有当正整 数有 1 和它自己以外的因数时，它才不是质数；逆否命题：正整数不是质数，则它有 1 和它 自己以外的因数。
§1.1 命题和逻辑连接词
习题 1.1
1. 下列哪些语句是命题，在是命题的语句中，哪些是真命题，哪些是假命题，哪些命题
的真值现在还不知道？
（1）中国有四大发明。
（2）你喜欢计算机吗？
（3）地球上海洋的面积比陆地的面积大。
（5） 2 + 3 = 6 。
（4）请回答这个问题！
（6） x + 7 < 10 。
（1）你的车速没有超过每小时 120 公里。 （2）你的车速超过了每小时 120 公里，但没接到超速罚款单。 （3）你的车速若超过了每小时 120 公里，将接到一张超速罚款单。 （4）你的车速不超过每小时 120 公里，就不会接到超速罚款单。 （5）你接到一张超速罚款单，但你的车速没超过每小时 120 公里。 （6）只要你接到一张超速罚款单，你的车速就肯定超过了每小时 120 公里。
离散数学答案 屈婉玲版 第二版 高等教育出版社课后答案,DOC
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1)⇔0（2）（p?r）∧(﹁q∨s)⇔（0?1）∧(1∨1)⇔0∧1⇔0.（3）（⌝(4)（176能被2q:3r:2s:619（4）(p（5）(p（6）((p答：（pqp→q⌝0011111011011110010011110011所以公式类型为永真式（5）公式类型为可满足式（方法如上例）（6）公式类型为永真式（方法如上例）第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1)⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P qrp∨qp∧r（p∨q）→(p∧r)0000010010014.(2)(p→(4)(p∧证明（2（45.(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解：（1）主析取范式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∧p)∨(⌝q∧⌝p)∨(p∧q)∨(p∧⌝q)⇔(⌝p∧⌝q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)⇔∑(0,2,3)主合取范式：(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p⇔1∧(p⇔(p∨⇔∏(2)⌝(p→q)⇔(p∧(3)⇔⌝⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明：(2)前提：p→q,⌝(q∧r),r结论：⌝p(4)前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：（2）①⌝(q∧r)前提引入②⌝q∨⌝r①置换③q→⌝r②蕴含等值式④r⑤⌝q⑥p→q⑦￢p（3证明（4①t②t③q④s⑤q⑥（⑦（⑧q⑨q⑩p15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→(q→r),s→p,q结论：s→r证明①s附加前提引入②s→p前提引入③p①②假言推理④p→(q→r)前提引入⑤q→r③④假言推理⑥q前提引入⑦r⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：(1)前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p②p③﹁④￢⑤￢⑥r⑦r⑧r3.:(1)均有2=(x+)(x).(2)其中(a)(b)解：F(x):2=(x+)(x).G(x):x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。
(完整版)洪帆《离散数学基础》(第三版)课后习题答案
第1章 集合1、列举下列集合的元素 (1) 小于20的素数的集合 (2) 小于5的非负整数的集合 (3) 2{|,10240515}i i I i i i ∈--<≤≤且 答：(1) {1,3,5,7,11,13,17,19}(2) {0,1,2,3,4} (3) {5,6,7,8,9,10,11}2、用描述法表示下列集合 (1) 12345{,,,,}a a a a a 答：{|,15}i a i I i ∈≤≤ (2) {2,4,8,}L 答：{2|}i i N ∈ (3) {0,2,4,100}L答：{2|,050}i i Z i ∈≤≤3、下面哪些式子是错误的？ (1) {}{{}}a a ∈ 答：正确 (2) {}{{}}a a ⊆ 答：错误 (3) {}{{},}a a a ∈ 答：正确 (4) {}{{},}a a a ⊆ 答：正确4、已给{2,,{3},4}S a =和{{},3,4,1}R a =，指出下面哪些论断是正确的？哪些是错误的？ (1) {}a S ∈ 错误(2) {}a R ∈ 正确 (3) {,4,{3}}a S ⊆ 正确 (4) {{},1,3,4}a R ⊆ 正确 (5)R S = 错误 (6) {}a S ⊆ 正确 (7) {}a R ⊆错误 (8) R φ⊆正确 (9) {{}}a R φ⊆⊆ 正确 (10) {}S φ⊆错误 (11) R φ∈错误 (12) {{3},4}φ⊆正确5、 列举出集合,,A B C 的例子，使其满足A B ∈，B C ∈且A C ∉答：{}A a =，{{}}B a =，显然A B ∈，{{{}}}C a =，显然B C ∈，但是A C ∉。
6、 给出下列集合的幂集 (1) {,{}}a b答：幂集{,{},{{}},{,{}}a b a b φ (2) {,,{}}a a φ答：幂集{,{},{},{{}},{,},{,{}},{,{}},{,,{}}}a a a a a a a a φφφφφ 7、设{}A a =，给出A 和2A 的幂集答：2{,{}}A a φ= 22{,{{}},{{}},{,{}}}Aa a φφφ=8、 设128{,,,}A a a a =L 由17B 和31B 所表示的A 的子集各是什么？应如何表示子集2,67{,}a a a 和13{,}a a 答：170001000148{,}B B a a ==310001111145678{,,,,}B B a a a a a ==2,670100011070{,}a a a B B ==，1310100000160{,}a a B B ==9、 设{1,2,3,4,5}U =，{1,4}A =，{1,2,5}B =，{2,4}C =，确定集合： (1) A B '⋂ (2) ()A B C '⋂⋃ (3) ()A B C ⋃⋂ (4)()()A B A C ⋃⋂⋃ (5) ()A B '⋂ (6) A B ''⋃ (7) ()B C '⋃ (8)B C ''⋂ (9) 22A C - (10)22A C ⋂ 答：(1) {3,4}B '=，{4}A B '⋂=(2) {1}A B ⋂=，{1,3,5}C '=，(){1,3,5}A B C '⋂⋃= (3) {2}B C ⋂=，(){1,2,4}A B C ⋃⋂=(4) {1,2,4,5}A B ⋃=，{1,2,4}A C ⋃=，()(){1,2,4}A B A C ⋃⋂⋃= (5) (){2,3,4,5}A B '⋂= (6) {2,3,5}A '=，{2,3,4,5}A B ''⋃= (7) {1,2,4,5}B C ⋃=，(){3}B C '⋃= (8) {3,4}B '=，{1,3,5}C '=，{3}B C ''⋂=(9) 2{,{1},{4},{1,4}}A φ=，2{,{2},{4}{24}}C φ=，，，22{{1},{1,4}}A C -= (10) 22{,{4}}A C φ⋂=10、 给定自然数集N 的下列子集：{1,2,7,8}A =，2{|50}B i i =<，{|330}C i i i =≤≤可被整数，0{|2,,06}k D i i k Z k ==∈≤≤求下列集合： (1) (())A B C D ⋃⋃⋃ 答：{1,2,3,4,5,6,7}B =，{0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}C =，{1,2,4,8,16,32,64}D =(()){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,16,18,21,24,27,30,32,64}A B C D ⋃⋃⋃= (2) (())A B C D φ⋂⋂⋂=(3) ()B A C -⋃解：{0,1,2,3,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30}A C ⋃=，(){4,5}B A C -⋃= (4) ()A B D '⋂⋃解：{3,4,5,6}A B B A '⋂=-=，(){1,2,3,4,5,6,8,16,32,64}A B D '⋂⋃=11、 给定自然数集N 的下列子集{|12}A n n =<，{|8}B n n =≤，{|2,}C n n k k N ==∈，{|3,}D n n k k N ==∈ {|21,}E n n k k N ==-∈将下列集合表示为由,,,,A B C D E 产生的集合：(1) {2,4,6,8} (2){3,6,9} (3){10} (4){|369}n n n n ==≥或或 (5) {|109}n n n n n ≤>是偶数且或是奇数且 (6) {|6}n n 是的倍数答：{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}A =，{1,2,3,4,5,6,7,8}B ={2,4,6,8,}C =L ，{3,6,9,12,}D =L ，{1,3,5,7,}E =L {2,4,6,8}B C =⋂ {3,6,9}=A D ⋂ {10}=(())A B D E ---(4){|369}n n n n ==≥=或或{3}{6}{9,10,11,12,}⋃⋃L{3,6,9,10,11,12,}()A D B '==⋂⋃L(5) {2,4,6,8,10,11,13,15,}(()())(())A E E B A D B =-⋃--⋂-L (6) {|6}{6,12,18,24,30}n n ==L 是的倍数C D ⋂12、 判断以下哪些论断是正确的，哪些论断是错误的，并说明理由。
离散数学习题答案（耿素云屈婉玲）
离散数学习题答案（耿素云屈婉玲）离散数学习题答案习题⼆及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）()()p q q r ?→∧∧解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111。
6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）()()p q p r ∧∨?∨解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式，所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取范式，再⽤主析取范式求主合取范式：（1）()p q r ∧∨解：原式()(()())p q r r p p q q r∧∧?∨∨?∨∧?∨∧()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。
主析取范式中没出现的极⼩项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极⼤项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。
9、⽤真值表法求下⾯公式的主析取范式：（1）()()p q p r ∨∨?∧解：公式的真值表如下：由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极⼩项的析取即为主析取范式，故主析取范式1234567m m m m m m m ?∨∨∨∨∨∨习题三及答案：（P52-54）11、填充下⾯推理证明中没有写出的推理规则。
前提：,,,p q q r r s p ?∨?∨→结论：s 证明：① p 前提引⼊② p q ?∨前提引⼊③ q ①②析取三段论④ q r ?∨前提引⼊⑤ r ③④析取三段论⑥ r s →前提引⼊⑦ s ⑤⑥假⾔推理15、在⾃然推理系统P 中⽤附加前提法证明下⾯推理：（2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→结论：p u →证明：⽤附加前提证明法。
偏序集的定义
偏序集的定义嘿，朋友们！今天咱来聊聊偏序集这个有意思的玩意儿。
你说啥是偏序集呢？咱可以把它想象成一个班级里的同学关系。
有些同学可能互相是好朋友，这就好比偏序集中的某些元素之间有特定的关系；但也不是所有同学之间都有这种亲密关系呀，就像偏序集中不是任意两个元素都一定有直接联系。
比如说，在这个班级里，小明和小红是好朋友，那他们之间就有了一种特殊的联系。
可小明和小李可能就只是普通同学，没那么亲密的关系。
这就跟偏序集里元素之间的关系一样，有的关系明确，有的就比较模糊。
再想想，在一个家族里也有类似的情况呀！长辈和晚辈之间有明确的辈分关系，这也是一种偏序关系呢。
爷爷肯定比爸爸大，爸爸又比咱大，这顺序多清楚呀！偏序集还有个特点，就是自反性。
这就好像你自己肯定和自己有关系呀！谁能和自己没关系呢？这多奇怪呀！然后还有反对称性，这就好比说如果 A 比 B 厉害，那 B 就不能比 A 还厉害，不然不就乱套啦？最后还有传递性，就像如果 A 比 B 强，B 又比 C 强，那自然 A 就比 C 强啦，这不是很容易理解嘛！咱生活中好多地方都能找到偏序集的影子呢。
比如比赛的排名，第一名肯定比第二名厉害，第二名又比第三名厉害，这就是一种偏序关系呀！还有公司里的职位层级，经理肯定比员工权力大，这也是一种偏序关系。
你说偏序集是不是挺有趣的？它就像一个隐藏在各种现象背后的小秘密，等着我们去发现。
当我们理解了偏序集，就能更好地理解很多看似复杂的关系和结构。
它就像是一把钥匙，能打开很多我们以前觉得难以理解的大门。
所以啊，可别小看了这偏序集，它虽然听起来有点专业，但其实就在我们身边呢！只要我们细心观察，就能发现它的踪迹。
下次当你看到一些有顺序、有层次的关系时，不妨想想，这是不是就是一个偏序集呢？怎么样，是不是对这个概念有了更深刻的认识啦？原创不易，请尊重原创，谢谢!。
集合 自然数 整除关系 偏序集合
集合自然数整除关系偏序集合嘿，朋友！咱们今天来聊聊集合、自然数、整除关系还有偏序集合这些看似高深，其实也挺有趣的玩意儿。
先说集合吧，集合就像是一个大口袋，啥都能往里装。
比如一个班级的同学可以组成一个集合，一堆水果也能组成一个集合。
那自然数呢？这可太熟悉啦，1、2、3、4……这些从小到大排着队的数字就是自然数呀。
它们就像一群调皮的孩子，一个接一个地跑着。
咱们再来说说整除关系。
整除，这就好比分苹果。
比如说 6 能被 2整除，那就相当于 6 个苹果能平均分给 2 个人，每人 3 个，一点儿不多一点儿不少。
要是 7 除以 3 呢，那就分不均匀啦，这就不是整除。
然后是偏序集合，这可有点复杂。
但咱可以把它想象成一个班级里的排名。
成绩好的同学在排名上就更靠前，可这排名不是绝对的，比如体育好的同学在体育方面可能就更厉害。
这就是一种偏序关系，不是单纯的谁比谁强，而是在某些方面有先后之分。
你说，这自然数里的整除关系，是不是有点像一群小伙伴在排队，能整除的就手拉手站一起，不能整除的就各站各的？而偏序集合呢，就像是把不同特点的小伙伴按照不同的标准排排队。
咱们在研究这些的时候，不就像是在一个神秘的数字花园里探索吗？有时候会碰到能整除的“和谐花朵”，有时候会碰到偏序关系的“特别树苗”。
你想想，如果没有这些概念，咱们怎么能更清楚地理解数字之间的关系呢？就像没有地图，怎么能在数字的世界里不迷路呢？所以说呀，集合、自然数、整除关系和偏序集合，它们可都是数学世界里的宝贝，能帮咱们把数字的奥秘看得更清楚，让咱们在数学的海洋里畅游得更自在！。
洪帆《离散数学基础》(第三版)课后习题答案
22 = {φ ,{{φ}},{{a}},{φ ,{a}}}
A
8、 设 A = {a1 , a2 , , a8 } 由 B17 和 B31 所表示的 A 的子集各是什么？应如何表示子 集 {a2, a6 , a7 } 和 {a1 , a3 } 答： = B17 B = {a4 , a8 } 00010001
(5) 当且仅当 B ⊆ C ，有 ( A − B ) ∪ C = A 答：不正确，因为若 B ⊆ C ，有 ( A − B) ∪ C = A 成立，但是反之不成立，反例如 下: A = {1, 2,3, 4,5} ， B = {1, 6} ， C = {1, 2} ，而 A − B = {2,3, 4,5} ，
C = {2, 4, 6,8,} ， D = {3, 6,9,12,} ， E = {1,3,5, 7,}
{2, 4, 6,8} = B ∩C
{3, 6,9} = A ∩ D {10} = (( A − B ) − D) − E
= 3或n = 6或n ≥ 9} = {3} ∪ {6} ∪ {9,10,11,12,} (4) {n | n
1
(2) {a} ∈ R 正确 (3) {a, 4,{3}} ⊆ S 正确 (4) {{a},1,3, 4} ⊆ R 正确 (5) R = S 错误 (6) {a} ⊆ S 正确 (7) {a} ⊆ R 错误 (8) φ ⊆ R 正确 (9) φ ⊆ {{a}} ⊆ R 正确 (10) {φ} ⊆ S 错误 (11) φ ∈ R 错误 (12) φ ⊆ {{3}, 4} 正确 5、 列举出集合 A, B, C 的例子，使其满足 A ∈ B ， B ∈ C 且 A ∉ C 答： A = {a} ， B = {{a}} ，显然 A ∈ B ， C = {{{a}}} ，显然 B ∈ C ，但是 A ∉ C 。 6、 给出下列集合的幂集 (1) {a,{b}} 答：幂集 {φ ,{a},{{b}},{a,{b}} (2) {φ , a,{a}} 答：幂集 {φ ,{φ},{a},{{a}},{φ , a},{φ ,{a}},{a,{a}},{φ , a,{a}}} 7、设 A = {a} ，给出 A 和 2 A 的幂集 答： 2 A = {φ ,{a}}
偏序关系举例
偏序关系举例偏序关系是指在集合中的元素之间存在某种偏序关系，即可以比较两个元素之间的大小关系，但并不要求所有元素之间都可以比较大小。
下面将举几个常见的偏序关系的例子来解释。
1. 整数集合的小于等于关系：在整数集合中，可以比较任意两个整数之间的大小关系。
例如，对于整数集合{1, 2, 3, 4, 5}，可以说1小于等于2、3、4、5，2小于等于3、4、5，依此类推。
但是，整数集合中的任意两个元素之间并不一定可以进行等于比较，如1和2之间不能说谁等于谁。
2. 字符串集合的子集关系：在字符串集合中，可以比较两个字符串之间的包含关系。
例如，对于字符串集合{'apple', 'banana','orange'}，可以说'apple'是'apple'、'apple'是'apple'和'banana'、'apple'是'apple'、'banana'和'orange'的子集。
但是，字符串集合中的任意两个元素之间并不一定可以进行等于比较，如'apple'和'banana'之间不能说谁等于谁。
3. 学生成绩的优劣关系：在学生成绩的集合中，可以比较两个学生之间的成绩优劣关系。
例如，对于学生成绩集合{90, 80, 70, 60, 50}，可以说90优于80、80优于70，依此类推。
但是，学生成绩集合中的任意两个成绩之间并不一定可以进行等于比较，如90和80之间不能说谁等于谁。
通过以上例子，可以看出偏序关系可以应用于各种领域，如数学、计算机科学、经济学等。
在实际应用中，我们常常需要根据具体的问题来定义偏序关系，并基于此进行排序、比较或优化等操作。
等价关系与偏序关系复习题
第5章 等价关系与偏序关系一、选择题（每题3分）1、设Z 为整数集，下面哪个序偶不够成偏序集（ ）A 、)(,小于关系：<><<ZB 、)(,小于等于关系：≤>≤<ZC 、,()ZD D <>关系：整除 D 、,()Z M M <>关系：整倍数2、序偶(),A ρ<>⊆必为（ B ）A 、非偏序集B 、偏序集C 、线序集D 、良序集3、设≤小于等于关系：Z 为整数集，下面哪个序偶能够成良序集（ ）A 、,()R R +<>≤：正实数集 B 、,()Q Q ++<≤>有理数集：正 C 、,()Z Z ++<≤>整数集：正 D 、,()N N <≤>：自然数集4、设{,{1},{1,3},{1,2,3}}A =∅，则A 上包含关系“⊆”的哈斯图为（ ）5、集合{ 1, 2, 3,4 }A =上的偏序关系图为则它的哈斯图为（ ）6、某人有三个儿子，组成集合123{ , , }A S S S =，则在A 上的兄弟关系一定不是（ ）A 、偏序关系B 、线序关系C 、良序关系D 、等价关系7、有一个人群集合12{ , , , }n A P P P =L ，则在A 上的同事关系一定是（ ）A 、偏序关系B 、线序关系C 、良序关系D 、等价关系8、设A 为非空集合，则下列A 上的二元关系中为等价关系的是（ ）A 、空关系B 、全域关系C 、恒等关系D 、上述关系都是9、设{ 1, 2, 3 }A =，则A 上不同等价关系的个数为（ ）A 、3B 、4C 、5D 、610、设{ 1, 2, 3, 4 }A =，则A 上不同等价关系的个数为（ ）A 、13B 、14C 、15D 、16注：除了等价关系可以对空集定义，而划分不能外，等价关系与划分是相同概念的不同描述．11、设{ 1, 2 }S =，“•”为S 中元素的普通乘法，定义S S ⨯上的等价关系 {,,, | ,,,,}R a b c d a b S S c d S S a d b c =<<><>><>∈⨯<>∈⨯•=•， 则由R 产生的S S ⨯上一个划分的分块数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4提示：记12341,1,1,2,2,1,2,2a a a a =<>=<>=<>=<>，则由R 的关系图易知1234{{},{},{},{}}S S a a a a ⨯=．12、设} 3 ,2 ,1 {=S ，“+”为S 中元素的普通乘法，定义S S ⨯上的等价关系},,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+⨯>∈<⨯>∈<><><<=，则由R 产生的S S ⨯上一个划分的分块数为（ ）A 、3B 、5C 、7D 、9提示：因a d b c +=+，则a b c d -=-因2,1,0,1,2a b -=--，则等价关系R 产生的S S ⨯上一个划分的分块数为5．二、填充题（每题4分）1、设{ , , , }A a b c d =，其上偏序关系R 的哈斯图为则R = ． 2、设{ , , ,,,, }A a b c d e f g =，偏序集,A R <>的哈斯图为a b c de fg， 则R = ．3、偏序集({,}),a b ρ<⊆>的Hass 图为4、对于{ 1,2,3,4,6,8,12,24 }A =，则偏序集,A <>整除关系的哈斯图为5、设{ 1,2,3,4,6,8,12,24 }A =，“≤”为A 上整除关系，则偏序集,A <≤>极小元为，最小元为，极大元为、最大元为．6、设{ 2,3,4,6,8,12 }A =，“≤”为A 上整除关系，则偏序集,A <≤>的极小元为，最小元为，极大元为，最大元为，既非极小元也非极大元的是． 7、设},,{c b a A =考虑下列子集}},{},,{{1c b b a S =，}},{},,{},{{2c a b a a S =，}},{},{{3c b a S =，}},,{{4c b a S =，}}{},{},{{5c b a S =，}},{},{{6c a a S = 则A 的覆盖有 ，A 的划分有． 8、设{ 1, 2, 3,4 }A =，{{1},{2,3},{4}}S =为A 的一个分划，则由S 导出的等价关系为 R = ．提示：R =({1}{1})({2,3}{2,3})({4}{4})⨯⨯⨯U U ． 9、非空正整数子集A 上的模k 等价关系R 的秩为k ，/A R =． 三、问答题（每题6分）1、试比较偏序集合、线序集合与良序集合．2、设||5A =，R 是A 的等价关系，由R 诱导的A 的划分块数为3，则不同的R 有多少种？3、设A 是实数集合，试判断{,3}R x y x A y A x y =<>∈∧∈∧-=是A 上的偏序关系吗？等价关系吗？为什么？{}b a ,{}a {}b Φ四、画图填表题（每题10分）1、设{ , , ,,}A a b c d e =上的关系R = {,}A c d I <>U ，画出偏序集,A R <>的哈斯图， 列表给出A 的子集123{ ,, ,,},{ ,},{,,}B a b c d e B c d B c d e ===的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界和下确界．2、设{ , , }A a b c =的幂集()A ρ上的关系⊆= {,()()}x y x A y A x y ρρ<>∈∧∈∧⊆， 画出偏序集(),A ρ<⊆>哈斯图，列表给出()A ρ子1{ ,{},{}}B a b =∅2,{{},{}}B a c =，3{{,},{,,}}B a c a b c =的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界和下确界．3、试填出{1,2,3,4,5}A =上的等价关系R ，其产生划分/{{1,2},{3},{4,5}}A R =,并画出关系图．六、证明题（每题10分）1、设R 是A 上的二元关系，如果R 是传递的和反自反的，称R 是A 上的拟序关系， 证明：如果R 是A 上的拟序关系，则()A r R R I =U 是A 上的偏序关系．2、设R 是A 上的二元关系，如果R 是传递的和反自反的，称R 是A 上的拟序关系， 证明：如果R 是A 上的偏序关系，则A R I -是A 上的拟序关系．3、设R 是A 上的对称和传递关系，证明：若,,,a A b A a b R ∀∈∃∈∂<>∈，则R 是A 上的等价关系．4、设R 是S 上的偏序关系，证明：1R -是S 上的偏序关系．5、设R 是S 上的等价关系，证明：1R -是S 上的等价关系．6、设,R S 是A 上的偏序关系，证明：R S I 是A 上的偏序关系．7、设,R S 是A 上的等价关系，证明：R S I 是A 上的等价关系．8、设R 是S 上的二元关系，'S S ⊆定义'S 上的二元关系'('')R R S S =⨯I ,证明：如果R 是S 上的偏序关系，那么'R 是'S 上的偏序关系．9、设R 是S 上的二元关系，'S S ⊆定义'S 上的二元关系'('')R R S S =⨯I ,证明：如果R 是S 上的等价关系，那么'R 是'S 上的等价关系．10、若R 是A 上的等价关系，则{,|,(,,)}S a b a b A c A a c R c b R =<>∈∧∃∈<>∈∧<>∈也是A 上的一个等价关系．六、证明计算题（每题10分）1、设{1,2,3}A =，在A A ⨯上定义:,,,R a b c d R <<><>>∈⇔ a b c d +=+， “+”为普通加法，证明：R 是A A ⨯上的等价关系，并求出[1,3],/R A A R <>⨯．2、设{1,2,3,4}A =，在A A ⨯上定义:,,,R a b c d R <<><>>∈⇔ c b d a +=+， “+”为普通加法，证明：R 是A A ⨯上的等价关系，并求出[2,4],/R A A R <>⨯．．3、设{1,2,3,4}A =，在A A ⨯上定义:,,,R a b c d R <<><>>∈⇔ a d b c =g g ， “g ” 为普通乘法，证明： R 是A A ⨯上的等价关系，并求出[2,4],/R A A R <>⨯．4、设{ 1, 2, 3, 4 }A =，在A 的幂集()A ρ上规定{,|,()(||||}R s t s t A s t ρ=<>∈∧=， 证明：R 是()A ρ上的等价关系，并写出商集()A R ρ．。
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习题5.1
1. 下面哪些集合是偏序集？
（1）=><，Z （2）≠><，Z （3）≥><，
Z
（4）>/<|，
Z 解 （1）是偏序集，（2）不是偏序集，（3）是偏序集，（4）不是偏序集
2. 确定由下面的关系图5.6表示的表示的3个关系是否为偏序？并列出这些关系中的所有序偶来进行验证。
解 略
图5.6 习题2的图
3.
确定由下面的关系矩阵表示的关系是否为偏序？
（1）⎪
⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧100011
101
（2）⎪
⎭⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧101010001
（3）⎪⎪⎭⎪
⎪⎬
⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧1011110001100101
解 略
4. 画出在下述集合上的整除关系的哈斯图。
（1）}87654321
{，，，，，，， （2）}131175321
{，，，，，， （3）}483624126321
{，，，，，，，
（4）}6432168421
{，，，，，， 解 （1）、（2）的哈斯图如下：
（3）、（4）略
5. 在下面偏序集中找出两个不可比的元素。
（1）⊆><，，，
})210{(p
（2）><|}86421{，，
，， 解 略
6. ><|}452415953{，，，，，，
是偏序集。
（1）求极大元素和极小元素。
（2）存在最大元素吗？存在最小元素吗？如果存在，请求出。
（3）找出子集}53{，的所有上界。
如果它的上确界存在的话，上确界。
（4）找出子集}4515{，的所有下界。
如果它的下确界存在的话，求出下确界。
解 （1）极大元素为9，15，24和45，极小元素为3和5。
（2）不存在最大元素，也不存在最小元素。
（3）子集}53{，的上界有15和45，上确界是15。
（4）子集}4515{，的下界有3，5和15，下确界是15。
7. ⊆><，，，，，，，，，，，，，，，，，}}432{}431{}43{}42{}41{}21{}4{}2{}1{{
是偏序集。
（1）求极大元素和极小元素。
（2）存在最大元素吗？存在最小元素吗？
（3）找出子集}}4{}2{{，
的所有上界。
如果它的上确界存在的话，上确界。
（4）找出子集}}432{}321{{
，，，，，的所有下界。
如果它的下确界存在的话，求出下确界。
解 略
8. 给出满足下列性质的偏序集。
（1）有一个极小元素但没有极大元素。
（2）有一个极大元素但没有极小元素。
（3）既没有极大元素也没有极小元素。
解 略
9. 设R 是集合X 上的半序。
（1）证明1
-R R 是等价关系。
（2）定义商集
)/(1
-=R R X Y 上的关系S ：Y D C ∈∀，，S D C >∈<，当且仅当在C 、D 中分别存在元素d c 、使得R d c >∈<，。
证明S 是商集Y 上的偏序。
解 略
10. 给出下面小写英文字母串的字典序。
（1）quack ，quick ，quicksilver ，quicksand ，quacking （2）open ，opener ，opera ，operand ，opened （3）zoo ，zero ，zoom ，zoology ，zoological 解 略
11. 给出二进制串0，01，11，001，010，011，0001和0101的基于10<的字典顺序。
解 略
12. 假设><11 ，X 和><22 ，X 是两个偏序集。
在笛卡儿积21X X ⨯上定义一个关系：><><2121b b a a ，， 当且仅当111b a 且222b a 。
证明这样定义的关系 是集合21X X ⨯上的偏序关系。
解 略
13. 求一个与集合}36241286321
{，，，，，，，上的整除关系相容的全序。
14. 如果表示建筑一座房子所需任务的哈斯图如下图5.7所示，通过制定这些任务的顺序来安排他们。
解 略
15. 对一个软件项目的任务进行排序，关于这个项目任务的哈斯图给在图5.8中。
图5.8 习题15的图
解对一个软件项目的任务排序如下：
确定用户需求，编写功能需求，开发系统需求，建立测试点，开发模块A，开发模块B，开发模块C，模块集成，写文档，α测试，β测试，完成。