江苏省徐州市-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

2016-2017学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B=．2．函数y=3tan（2x+）的最小正周期为．3．已知点A（﹣1，2），B（1，3），则向量的坐标为．4．若指数函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象经过点（3，8），则f（﹣1）的值为．5．cos240°的值等于．6．函数f（x）=的定义域是．7．已知向量，满足||=2，||=，与的夹角为，则||=．8．若偶函数f（x）满足f（x+π）=f（x），且f（﹣）=，则f（）的值为．9．设函数f（x）=则f（log214）+f（﹣4）的值为．10．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=4+log a（x+4）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则cosα的值为．11．将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若对于满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则f（）的值为．12．平行四边形ABCD中，||=6，||=4，若点M，N满足：=3，=2，则=．13．设函数f（x）=，若函数f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．14．已知不等式（mx+5）（x2﹣n）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，其中m，n是整数，则m+n的取值的集合为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）已知集合A=[0，3），B=[a，a+2）．（1）若a=﹣1，求A∪B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．16．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣2，2）．（1）若=，求（sinα+cosα）2的值；（2）若，求sin（π﹣α）•sin（）的值．17．（14分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求当x∈[﹣，]时，函数g（x）的值域；（3）若将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若=h（x）图象的一个对称中心为（），求θ的最小值．18．（16分）已知向量=（m，﹣1），=（）（1）若m=﹣，求与的夹角θ；（2）设．①求实数m的值；②若存在非零实数k，t，使得[+（t2﹣3）]⊥（﹣k+t），求的最小值．19．（16分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为2.6元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x吨．（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费34.7元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费．20．（16分）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的置于为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]的长度q﹣p）2016-2017学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B={0，1} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集的性质求解．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故答案为：{0，1}．【点评】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用．2．函数y=3tan（2x+）的最小正周期为．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据正切函数的周期公式进行求解即可．【解答】解：由正切函数的周期公式得T=，故答案为：【点评】本题主要考查三角函数的周期的计算，根据条件结合正切函数的周期公式是解决本题的关键．3．已知点A（﹣1，2），B（1，3），则向量的坐标为（2，1）．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标表示，即可写出向量的坐标．【解答】解：点A（﹣1，2），B（1，3），则向量=（1﹣（﹣1），3﹣2）=（2，1）．故答案为：（2，1）．【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题，是基础题目．4．若指数函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象经过点（3，8），则f（﹣1）的值为．【考点】指数函数的图象与性质．【分析】先根据指数函数过点（3，8）求出a的值，再代入计算即可．【解答】解：指数函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（3，8），∴8=a3，解得a=2，∴f（x）=2x，∴f（﹣1）=2﹣1=，故答案为：．【点评】本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．5．cos240°的值等于﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】将240°表示成180°+60°，再由诱导公式化简，再由特殊角的三角函数值求值．【解答】解：由题意得，cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了诱导公式的应用，熟记口诀：奇变偶不变，符号看象限，并会运用，注意三角函数值的符号，属于基础题．6．函数f（x）=的定义域是[e，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，求解对数不等式得答案．【解答】解：要使原函数有意义，则﹣1+lnx≥0，即lnx≥1，解得x≥e．∴函数f （x ）=的定义域是[e ，+∞）．故答案为：[e ，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了对数不等式的解法，是基础题．7．已知向量，满足||=2，||=，与的夹角为，则||=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的数量积的定义，根据||==，计算求的结果． 【解答】解：由题意可得||====，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．8．若偶函数f （x ）满足f （x +π）=f （x ），且f （﹣）=，则f （）的值为．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据偶函数f （x ）满足f （x +π）=f （x ），可知函数的周期T=π，则f （）=f （）即可得答案．【解答】解：由题意，f （x +π）=f （x ），可知函数的周期T=π，则f （）=f （）∵f （﹣）=，f （x ）是偶函数．∴f （）=即f （）的值为．故答案为：．【点评】本题考查了函数的周期性的运用和计算，比较基础．9．设函数f（x）=则f（log214）+f（﹣4）的值为6．【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】由已知中函数f（x）=，将x=log214和x=﹣4代入计算可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（log214）=7，f（﹣4）=﹣1，∴f（log214）+f（﹣4）=6，故答案为：6．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．10．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=4+log a（x+4）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则cosα的值为．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据函数f（x）恒过定点P，求出P点的坐标，利用cosα的定义求值即可．【解答】解：函数f（x）=4+log a（x+4）的图象恒过定点P，即x+4=1，解得：x=﹣3，则y=4故P的坐标为（﹣3，4），角α的终边经过点P，则cosα=．故答案为：．【点评】本题考查考查了对数函数的恒过点坐标的求法和余弦的定义．属于基础题．11．将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若对于满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则f（）的值为1．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意可得到函数g（x）=sinω（x﹣），对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=﹣，由此求得ω的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值．【解答】解：将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sinω（x﹣）的图象，若对于满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则﹣=，∴T==π，∴ω=2，f（x）=sin2x，则f（）=sin=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答，属于中档题．12．平行四边形ABCD中，||=6，||=4，若点M，N满足：=3，=2，则=9．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用，表示出，，在进行计算．【解答】解：∵=3，=2，∴，，==．∴==，==﹣．∴=（）•（﹣）=﹣=36﹣=9．故答案为：9．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．13．设函数f（x）=，若函数f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是1≤a＜2，或a≥4．【考点】函数零点的判定定理．【分析】分段函数求解得出2x﹣a=0，x2﹣3ax+2a2=（x﹣a）（x﹣2a），分类分别判断零点，总结出答案．【解答】解：∵y=2x，x＜2，0＜2x＜4，∴0＜a＜4时，2x﹣a=0，有一个解，a≤0或a≥4，2x﹣a=0无解∵x2﹣3ax+2a2=（x﹣a）（x﹣2a），∴当a∈（0，1）时，方程x2﹣3ax+2a2=0在[1，+∞）上无解；当a∈[1，2）时，方程x2﹣3ax+2a2=0在[1，+∞）上有且仅有一个解；当a∈[2，+∞）时，方程x2﹣3ax+2a2=0在x∈[1，+∞）上有且仅有两个解；综上所述，函数f（x）恰有2个零点，1≤a＜2，或a≥4故答案为：1≤a＜2，或a≥4【点评】本题考查了分段函数的性质的应用及分类讨论的思想应用，把问题分解研究的问题，拆开来研究，从多种角度研究问题，分析问题的能力．14．已知不等式（mx+5）（x2﹣n）≤0对任意x∈（0，+∞）恒成立，其中m，n是整数，则m+n的取值的集合为{﹣4，24} ．【考点】函数恒成立问题．【分析】对n分类讨论，当n≤0 时，由（mx+5）（x2﹣n）≤0得到mx+5≤0，由一次函数的图象知不存在；当n＞0 时，由（mx+5）（x2﹣n）≤0，利用数学结合的思想得出m，n的整数解，进而得到所求和．【解答】解：当n≤0 时，由（mx+5）（x2﹣n）≤0，得到mx+5≤0 在x∈（0，+∞）上恒成立，则m不存在；当n＞0 时，由（mx+5）（x2﹣n）≤0，可设f（x）=mx+5，g（x）=x2﹣n，那么由题意可知：，再由m，n是整数得到或，因此m+n=24或﹣4．故答案为：{﹣4，24}．【点评】本题考查不等式恒成立等知识，考查考生分类讨论思想、转化与化归思想及运算求解能力，属于较难题，根据一元一次函数和一元二次函数的图象和性质，得到两个函数的零点相同是解决本题的关键．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2016秋•徐州期末）已知集合A=[0，3），B=[a，a+2）．（1）若a=﹣1，求A∪B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）吧a的值代入确定出B，求出A与B的并集即可；（2）由A与B的交集为B，得到B为A的子集，确定出a的范围即可．【解答】解：（1）∵A=[0，3），B=[a，a+2）=[﹣1，1），∴A ∪B=[﹣1，3）； （2）∵A ∩B=B ，∴B ⊆A ， ∴，解得：0≤a ≤1．【点评】此题考查了集合的包含关系判断及应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．16．（14分）（2016秋•徐州期末）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣2，2）．（1）若=，求（sinα+cosα）2的值；（2）若，求sin （π﹣α）•sin （）的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用数量积运算、同角三角函数基本关系式可求2sinαcosα的值，即可得解．（2）根据平面向量的共线定理，同角三角函数基本关系式可求sinαcosα，进而利用诱导公式化简所求即可得解． 【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵向量=（cosα，sinα），=（﹣2，2）．=2sinα﹣2cosα=，∴解得：sinα﹣cosα=，两边平方，可得：1﹣2sinαcosα=，解得：2sinαcosα=﹣，∴（sinα+co sα）2=1+2sinαcosα=1﹣=．（2）∵，∴2cosα+2sinα=0，解得：cosα+sinα=0，∴两边平方可得：1+2sinαcosα=0，解得：sinαcosα=﹣，∴sin （π﹣α）•sin （）=sinα•cosα=﹣．【点评】本题考查了数量积运算、平面向量的共线定理，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17．（14分）（2016秋•徐州期末）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求当x∈[﹣，]时，函数g（x）的值域；（3）若将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若=h（x）图象的一个对称中心为（），求θ的最小值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【分析】（1）由表中数据列关于ω、φ的二元一次方程组，求得A、ω、φ的值，得到函数解析式，进一步完成数据补充．（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求g（x），利用正弦函数的性质可求其值域．（3）由（1）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g（x），令2x+2θ+=kπ，解得x=﹣θ，k∈Z．令：﹣θ=，结合θ＞0即可解得θ的最小值．【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=3，ω=2，φ=，数据补全如下表：函数表达式为f（x）=3sin（2x+）．（2）将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到图象对于的函数解析式为：g（x）=3sin（x+）．由x∈[﹣，]，可得：x+∈[﹣，]，可得：sin（x+）∈[﹣，1]，可得：函数g（x）=3sin（x+）∈[﹣，3]．（3）若将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若h（x）图象的一个对称中心为（），由（Ⅰ）知f（x）=3sin（2x+），得g（x）=3sin（2x+2θ+）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ+=kπ，解得x=﹣θ，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令：﹣θ=，解得θ=﹣，k∈Z．由θ＞0可知，当k=1时，θ取得最小值．【点评】本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律的应用，考查了正弦函数的图象和性质的应用，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出A，ω和φ值，属于中档题．18．（16分）（2016秋•徐州期末）已知向量=（m，﹣1），=（）（1）若m=﹣，求与的夹角θ；（2）设．①求实数m的值；②若存在非零实数k，t，使得[+（t2﹣3）]⊥（﹣k+t），求的最小值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积的定义求得cosθ=的值，可得θ的值．（2）①利用两个向量垂直的性质，求得m的值．②根据[+（t2﹣3）]•（﹣k+t）=0，求得4k=t（t2﹣3），从而求得=，再利用二次函数的性质求得它的最小值．【解答】解：（1）向量=（m，﹣1），=（），若m=﹣，与的夹角θ，则有cosθ===﹣，∴θ=．（2）①设，则=﹣=0，∴m=．②由①可得，=（，﹣1），=﹣=0，若存在非零实数k，t，使得[+（t2﹣3）]⊥（﹣k+t），故有[+（t2﹣3）]•（﹣k+t）=0，∴﹣k+[﹣k（t2﹣3）+t] +t（t2﹣3）=﹣k•4+0+t（t2﹣3）=0，∴4k=t （t2﹣3），∴=+t==≥﹣，当且仅当t=﹣2时，取等号，故的最小值为﹣．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量垂直的性质，二次函数的性质应用，属于中档题．19．（16分）（2016秋•徐州期末）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为2.6元，当用水超过5吨时，超过部分每吨4元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x吨．（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费34.7元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费．【考点】分段函数的应用．【分析】（1）由题意知：x≥0，令5x=5，得x=1；令3x=5，得x=．将x取值范围分三段，求对应函数解析式可得答案．（2）在分段函数各定义域上讨论函数值对应的x的值【解答】解：（1）由题意知，x≥0，令5x=5，得x=1；令3x=5，得x=．则当0≤x≤1时，y=（5x+3x）×2.6=20.8x当1＜x≤时，y=5×2.6+（5x﹣5）×4+3x×2.6=27.8x﹣7，当x＞时，y=（5+5）×2.6+（5x+3x﹣5﹣5）×4=32x﹣14；即得y=（2）由于y=f（x）在各段区间上均单增，当x∈[0，1]时，y≤f（1）=20.8＜34.7；当x∈（1，]时，y≤f（）≈39.3＞34.7；令27.8x﹣7=34.7，得x=1.5，所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S1=5×2.6+2.5×4=23元乙户用水量为3x=4.5吨，付费S2=4.5×2.6=11.7元【点评】本题是分段函数的简单应用题，关键是列出函数解析式，找对自变量的分段区间．20．（16分）（2016秋•徐州期末）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x ﹣1﹣2m+7．（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的置于为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[p，q]的长度q﹣p）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的对称轴，得到函数的单调性，解关于a的不等式组，解出即可；（2）只需函数y=f（x）的值域是函数y=g（x）的值域的子集，通过讨论m=0，m＞0，m＜0的情况，得到函数的单调性，从而确定m的范围即可；（3）通过讨论t的范围，结合函数的单调性以及f（2），f（﹣2）的值，得到关于t的方程，解出即可．【解答】解：（1）由题意得：f（x）的对称轴是x=﹣2，故f（x）在区间[﹣1，1]递增，∵函数在区间[﹣1，1]存在零点，故有，即，解得：0≤a≤8，故所求实数a的范围是[0，8]；（2）若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，只需函数y=f（x）的值域是函数y=g（x）的值域的子集，a=0时，f（x）=x2+4x﹣5，x∈[1，2]的值域是[0，7]，下面求g（x），x∈[1，2]的值域，令t=4x﹣1，则t∈[1，4]，y=mt﹣2m+7，①m=0时，g（x）=7是常数，不合题意，舍去；②m＞0时，g（x）的值域是[7﹣m，2m+7]，要使[0，7]⊆[7﹣m，2m+7]，只需，解得：m≥7；③m＜0时，g（x）的值域是[2m+7，7﹣m]，要使[0，7]⊆[2m+7，7﹣m]，只需，解得：m≤﹣，综上，m的范围是（﹣∞，﹣]∪[7，+∞）；（3）由题意得，解得：t＜，①t≤﹣6时，在区间[t，2]上，f（t）最大，f（﹣2）最小，∴f（t）﹣f（﹣2）=t2+4t+4=6﹣4t，即t2+8t﹣2=0，解得：t=﹣4﹣3或t=﹣4+3（舍去）；②﹣6＜t≤﹣2时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（﹣2）最小，∴f（2）﹣f（﹣2）=16=6﹣4t，解得：t=﹣；③﹣2＜t＜时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（t）最小，∴f（2）﹣f（t）=﹣t2﹣4t+12=6﹣4t，即t2=6，解得：t=或t=﹣，故此时不存在常数t满足题意，综上，存在常数t满足题意，t=﹣4﹣3或t=﹣．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，集合思想，是一道综合题．。