高一数学等差数列知识点及练习题

高一数学等差数列知识点及练习题

专题九 等差数列

一．等差数列基本概念

1．等差数列定义

2.等差数列通项公式 n a =______________或n a =___________.

3.等差数列前n 项和 1)n S =________________2).n S =_________________

4.等差中项 ：如果 ,,a b c 成等差数列，么b 叫做,a c 的等差中项，则有_________________

5.等差数列的判定方法 1) 定义法： 2)中项公式法：

3)通项法：已知数列n a 的通项公式为n a pn q =+，则n a 为等差数列，其中首项为1a =________，公差d=________。

4)前n 项和法：已知数列n a 的前n 项和2n S An Bn =+，则n a 为等差数列，其中首项为

1a =________，公差d=________，

6.等差数列性质

1) 121

2n n a a a a a

-+=+=

2)当*,,

,m n p k N ∈，且m n p k +=+，则m n p k a a a a +=+；特别当

2m n p +=时 2m n p

a a a +=

特别注意“m n p +=时，m n p a a a +=”是不正确的.

3) 数列n a 的前n 项和为n S ，则232...,,m m m m m S S S S S --成大差数列

4）当n 为奇数时，12

n n S na +=

二．例题分析

【类型1】求等差数列通项 【例1】.等差数列n a 中，5

1210,31a a ==，求1,,n d a a .

【变式1】四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数.

【例2】等差数列n a 中，381312a a a ++=，381324a a a ⋅⋅=，求通项公式n a .

【变式1】等差数列{}n a 中，51510,25,a a ==则25a 的值是 ．

【变式2】已知等差数列{}中．61018a a += 31a =，则13a = ．

【变式3】（09年安徽文） 等差数列{}n a 中，

135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a = ．

【变式4】(2008年天津文4）若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a = ．

【例3】已知数列中，=1，，则数列的通项公式为 ______

【变式1】已知数列{}中，=2,=3，其前 n 项和满足 (n ≥2，n ∈N)，则数列{}的通项公式为 ( )

A ．=n

B ．=

C ．= n-l

D ．=n+l

【例4】在数列{}n a 和数列{}n b 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足

22n S n n =+，数列{}n b 的前n 项和n T 满足13n n T nb +=，且11b =

（1）求数列{}n a 的通项公式 （2）求数列{}n b 的通项公式

【例5】数列n a 中，1155

1,n

n n a a a a +=+=，求数列{}n a 的通项公式；

【类型2】求等差数列前n 项和

【例1】（11年天津文11．）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，*n N ∈，若

32016,20,a S ==则10S 的值为_______

【变式1】如果是一个等差数列的前n 项和，其中 a ，b ，c 为常数，则c 的值为 ．

【例2】（10年全国文6） 等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么n a 的前7项和7S = ．

【变式1】已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，

且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ）

A ．55

B ．70

C ．85

D ．100

【例3】{}n a 通项公式为2

1

n a n n

=

+，则n S =_______ ．

【变式1】{}

n a 通项公式为n a =n S = ．

【变式2】 {}

n a 通项公式为n a =n 项和为10，则项数n

为 ．

【例4】等差数列{}n a 中，249n a n =-，前n 项和记为n S ，求n S 取最小值时n 的值.

【变式】差数列{}n a 中，213n a n =-，则n = 时n S 有最大值；

【类型3】等差数列性质的应用

【例1】（1）等差数列{}n a 中，230,100,m m S S ==求3m S 的值.

（2）等差数列{}n a 中，481,4S S ==，求17181920a a a a +++的值.

【例2】（2009年辽宁理科14） 等差数列{}n a 中， n a 的前n 项和为n S ，如果

369,36S S ==，则789a a a ++= ．

【变式1】（2009年辽宁文） 等差数列{}n a 中，

n a 的前n 项和为n S ，366,24,S S ==，

则9a = ．

【变式2】已知等差数列{}n a 中，12345612,18,a a a a a a ++=++=则

789a a a ++= ．

【变式3】已知数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，且7+1

,427n n A n B n =+求 1111

a b 的值.

【例3】等差数列的前n 项和记为，若为一个确定的常数，则下列 各数中一定是常数的是（ ）

C ． B ． C ．

D ．

【变式1】等差数列中，则（ ） C ．-36 B ．48 C ．54 D ．72

【变式2】等差数列中，已知前15项的和，则等于（ ） A ． B ．12 C ． D ．6