2014届高考数学(理)二轮复习大题规范训练三

弋阳一中2014届高考二轮复习 大题规范练(三) 数列综合题

(限时：60分钟)

1．(2013·高考山东卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.

(1) 求数列{a n }的通项公式；

(2) 设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋1

2

n

＝λ(λ为常数)，令c n ＝b 2n (n ∈N *

)，求

数列{c n }的前n 项和R n .

2．已知公比为q 的等比数列{a n }的前6项和S 6＝21，且4a 1、3

2

a 2、a 2成等差数列．

(1)求a n ；

(2)设{b n }是首项为2，公差为－a 1的等差数列，其前n 项和为T n ，求不等式T n －b n ＞0的解集．

3．(2014·济南市模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *

)，等差数列{b n }

满足b 3＝3，b 5＝9.

(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N *

)，求证：c n ＋1＜c n ≤13

.

4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝

a n

a n ＋3

(n ∈N *

)．

(1)求数列{a n }的通项a n ；

(2)若数列{b n }满足b n ＝(3n

－1)n

2n a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若不等式(－1)n

λ＜T n

对一切n ∈N *

恒成立，求λ的取值范围．

5．(2014·辽宁省五校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1

a n (其中p

为非零常数，n ∈N *

)． (1)判断数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

a n ＋1a n 是不是等比数列； (2)求a n ；

(3)当a ＝1时，令b n ＝na n ＋2

a n

，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n .

6．(2013·高考广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －2

3，n

∈

N*.

(1)求a2的值；

(2)求数列{a n}的通项公式；

(3)证明：对一切正整数n，有1

a1＋

1

a2

＋…＋

1

a n

＜

7

4

.

大题规范练(三)

1．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1，得

⎩

⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1.① 解得⎩

⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.

因此a n ＝2n －1，n ∈N *

.②(4分) (2)由题意知T n ＝λ－n

2n －1，

所以当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－

n

2

n －1

＋

n －12

n －2

＝

n －2

2

n －1

.

故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝ ⎛⎭

⎪⎫14n －1，n ∈N *

.(6分)

所以R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫140＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭

⎪⎫14n －1

，

则14R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .(8分)

两式相减得

34R n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝14－⎝ ⎛⎭⎪

⎫14n

1－

14－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝13

－1＋3n 3⎝ ⎛⎭

⎪⎫14n

， 整理得R n ＝19⎝ ⎛⎭

⎪⎫

4－3n ＋14n ＋1.

所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫

4－3n ＋14n －1.(12分)

2．解：(1)∵4a 1、3

2a 2、a 2成等差数列，

∴4a 1＋a 2＝3a 2，

即4a 1＝2a 2，∴q ＝2.(2分) 则S 6＝a 1（1－26）

1－2

＝21，解得a 1＝1

3

，

∴a n ＝

2

n －1

3

.(5分)

(2)由(1)得－a 1＝－13，∴b n ＝2＋(n －1)⎝ ⎛⎭

⎪⎫－13＝

7－n 3，

T n ＝2n ＋n

2(n －1)·⎝ ⎛⎭

⎪⎫－13＝

13n －n 2

6，(9分)

∴T n －b n ＞0，即－

（n －1）（n －14）6

＞0，解得1＜n ＜14(n ∈N *

)，

故不等式T n －b n ＞0的解集为{n ∈N *

|1＜n ＜14}．(12分) 3．解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1，① 得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *

)，② ①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)， ∴a n ＋1＝3a n (n ≥2，n ∈N *

)， 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，∴a n ＝3n －1

.(4分)

∵b 5－b 3＝2d ＝6，∴d ＝3， ∴b n ＝3n －6.(6分) (2)∵a n ＋2＝3n ＋1

，b n ＋2＝3n ，(8分)

∴c n ＝

3n 3n ＋1＝n

3

n ，(9分) ∴c n ＋1－c n ＝

1－2n

3

n ＋1＜0，(10分) ∴c n ＋1＜c n ＜…＜c 1＝1

3，(11分)

即c n ＋1＜c n ≤1

3.(12分)

4．解：(1)由题知，1

a n ＋1

＝

a n ＋3a n ＝3

a n

＋1， ∴

1

a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12，

∴1

a n ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋12·3n －1

＝3n

2

， ∴a n ＝

2

3n

－1

.(4分) (2)由(1)知，b n ＝(3n

－1)·n

2n ·23n －1＝n ·⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1，

T n ＝1×1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋n ·⎝ ⎛⎭

⎪

⎫12n －1

，

12T n ＝1×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋()n －1⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1＋