2014届高考数学(理)二轮复习大题规范训练三

弋阳一中2014届高考二轮复习 大题规范练(三) 数列综合题
(限时：60分钟)
1．(2013·高考山东卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.
(1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋1
2
n
＝λ(λ为常数)，令c n ＝b 2n (n ∈N *
)，求
数列{c n }的前n 项和R n .
2．已知公比为q 的等比数列{a n }的前6项和S 6＝21，且4a 1、3
2
a 2、a 2成等差数列．
(1)求a n ；
(2)设{b n }是首项为2，公差为－a 1的等差数列，其前n 项和为T n ，求不等式T n －b n ＞0的解集．
3．(2014·济南市模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *
)，等差数列{b n }
满足b 3＝3，b 5＝9.
(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N *
)，求证：c n ＋1＜c n ≤13
.
4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝
a n
a n ＋3
(n ∈N *
)．
(1)求数列{a n }的通项a n ；
(2)若数列{b n }满足b n ＝(3n
－1)n
2n a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若不等式(－1)n
λ＜T n
对一切n ∈N *
恒成立，求λ的取值范围．
5．(2014·辽宁省五校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1
a n (其中p
为非零常数，n ∈N *
)． (1)判断数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n ＋1a n 是不是等比数列； (2)求a n ；
(3)当a ＝1时，令b n ＝na n ＋2
a n
，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n .
6．(2013·高考广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －2
3，n
∈
N*.
(1)求a2的值；
(2)求数列{a n}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有1
a1＋
1
a2
＋…＋
1
a n
＜
7
4
.
大题规范练(三)
1．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1，得
⎩
⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1.① 解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.
因此a n ＝2n －1，n ∈N *
.②(4分) (2)由题意知T n ＝λ－n
2n －1，
所以当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－
n
2
n －1
＋
n －12
n －2
＝
n －2
2
n －1
.
故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫14n －1，n ∈N *
.(6分)
所以R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫140＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭
⎪⎫14n －1
，
则14R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .(8分)
两式相减得
34R n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝14－⎝ ⎛⎭⎪
⎫14n
1－
14－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝13
－1＋3n 3⎝ ⎛⎭
⎪⎫14n
， 整理得R n ＝19⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4－3n ＋14n ＋1.
所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫
4－3n ＋14n －1.(12分)
2．解：(1)∵4a 1、3
2a 2、a 2成等差数列，
∴4a 1＋a 2＝3a 2，
即4a 1＝2a 2，∴q ＝2.(2分) 则S 6＝a 1（1－26）
1－2
＝21，解得a 1＝1
3
，
∴a n ＝
2
n －1
3
.(5分)
(2)由(1)得－a 1＝－13，∴b n ＝2＋(n －1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13＝
7－n 3，
T n ＝2n ＋n
2(n －1)·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13＝
13n －n 2
6，(9分)
∴T n －b n ＞0，即－
（n －1）（n －14）6
＞0，解得1＜n ＜14(n ∈N *
)，
故不等式T n －b n ＞0的解集为{n ∈N *
|1＜n ＜14}．(12分) 3．解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1，① 得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *
)，② ①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)， ∴a n ＋1＝3a n (n ≥2，n ∈N *
)， 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，∴a n ＝3n －1
.(4分)
∵b 5－b 3＝2d ＝6，∴d ＝3， ∴b n ＝3n －6.(6分) (2)∵a n ＋2＝3n ＋1
，b n ＋2＝3n ，(8分)
∴c n ＝
3n 3n ＋1＝n
3
n ，(9分) ∴c n ＋1－c n ＝
1－2n
3
n ＋1＜0，(10分) ∴c n ＋1＜c n ＜…＜c 1＝1
3，(11分)
即c n ＋1＜c n ≤1
3.(12分)
4．解：(1)由题知，1
a n ＋1
＝
a n ＋3a n ＝3
a n
＋1， ∴
1
a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12，
∴1
a n ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋12·3n －1
＝3n
2
， ∴a n ＝
2
3n
－1
.(4分) (2)由(1)知，b n ＝(3n
－1)·n
2n ·23n －1＝n ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1，
T n ＝1×1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋n ·⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12n －1
，
12T n ＝1×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋()n －1⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1＋
n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n
，(6分) 两式相减得，
12T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2
n ＝1－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12n
1－
12
－n 2n ＝2－n ＋22n ，∴T n ＝4－n ＋2
2n －1.(8分) ∵T n ＋1－T n ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫4－
n ＋32n －⎝
⎛⎭
⎪⎫4－n ＋22
n －1＝n ＋1
2
n ＞0，
∴{T n }为递增数列．
①当n 为正奇数时，－λ＜T n 对一切正奇数成立， ∵(T n )min ＝T 1＝1，∴－λ＜1，∴λ＞－1； ②当n 为正偶数时，λ＜T n 对一切正偶数成立， ∵(T n )min ＝T 2＝2，∴λ＜2. 综合①②知，－1＜λ＜2.(12分)
5．解：(1)由a n ＋2＝p ·a 2n ＋1
a n ，得a n ＋2a n ＋1＝p ·a n ＋1a n
.(1分)
令c n ＝
a n ＋1
a n
，则c 1＝a ，c n ＋1＝pc n . ∵a ≠0，∴c 1≠0，c n ＋1
c n
＝p (非零常数)， ∴数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
a n ＋1a n 是等比数列．(3分) (2)∵数列{c n }是首项为a ，公比为p 的等比数列， ∴c n ＝c 1·p
n －1
＝a ·p
n －1
，即
a n ＋1a n
＝ap n －1
.(4分) 当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1
·a 1＝(ap n －2)×(aq n －3)×…×(ap 0)×1＝a n －1
p n 2
－3n ＋2
2，
(6分)
∵a 1满足上式，∴a n ＝a n －1
p
n 2
－3n ＋2
2
，n ∈N *
.(7分)
(3)∵
a n ＋2a n ＝a n ＋2a n ＋1·a n ＋1a n
＝(ap n )×(ap n －1)＝a 2p 2n －1
， ∴当a ＝1时，b n ＝
na n ＋2a n
＝np 2n －1
.(8分) ∴S n ＝1×p 1
＋2×p 3
＋…＋np
2n －1
，①
p 2S n ＝1×p 3＋…＋(n －1)p 2n －1＋np 2n ＋1.②
∴当p 2
≠1时，即p ≠±1时，①－②得：
(1－p 2)S n ＝p 1＋p 3＋…＋p
2n －1
－np
2n ＋1
＝p （1－p 2n ）1－p
－np 2n ＋1， 即S n ＝p （1－p 2n ）（1－p 2）2－np 2n ＋1
1－p
2；(11分)
当p ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝
n （n ＋1）
2
；(12分)
当p ＝－1时，S n ＝(－1)＋(－2)＋…＋(－n )＝－n （n ＋1）
2
.(13分)
综上所述，
S n
＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n ＋1）
2，p ＝1，
－n （n ＋1）
2
，p ＝－1，p （1－p 2n
）（1－p 2
）2
－np 2n ＋1
1－p 2
，p ≠±1.
6．解：(1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，
又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2分)
(2)解法一：由题意2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－2
3
n ，
所以当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2
－23(n －1)，(4分)
两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2
－3n ＋1)－(2n －1)－23，
整理得na n ＋1－(n ＋1)a n ＝n (n ＋1)，即
a n ＋1n ＋1－a n
n
＝1.(6分) 又当n ＝1时，a 22－a 11＝42－1
1
＝1，
所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 1
1＝1，公差为1的等差数列，
所以a n n
＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2
， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2
，n ∈N *
.(8分) 解法二：因为2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －2
3，
所以2S n n ＝S n ＋1－S n －13n 2－n －2
3
.(4分)
整理得
n ＋2n S n ＝S n ＋1－1
3
(n ＋1)(n ＋2)， 所以S n ＋1（n ＋1）（n ＋2）－S n n （n ＋1）＝1
3
，
所以数列⎩⎨⎧
⎭⎬⎫S n n （n ＋1）是首项为S 12，公差为1
3的等差数列，(6分)
所以
S n n （n ＋1）＝S 12＋13(n －1)＝2n ＋1
6
，
所以S n ＝
n （n ＋1）（2n ＋1）
6
，
所以S n －1＝
（n －1）n （2n －1）
6
(n ≥2)，
所以a n ＝S n －S n －1＝n 2
(n ≥2)． 因为a 1＝1符合上式，
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2
，n ∈N *
.(8分) (3)证明：设T n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1
a n
.
当n ＝1时，T 1＝1a 1＝1＜7
4
；
当n ＝2时，T 2＝1a 1＋1a 2＝1＋14＝54＜7
4；
当n ≥3时，1a n ＝1
n
2＜
1（n －1）n ＝1n －1－1
n
，(10分)
此时T n ＝1＋14＋132＋142＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n
＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74
.
综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜7
4.(12分)。