基于小波变换的数字通信信号处理
傅里叶变换小波变换应用场景
傅里叶变换小波变换应用场景
傅里叶变换和小波变换是数字信号处理领域中常用的数学工具，它们在不同的应用场景中发挥着重要的作用。
一、傅里叶变换的应用场景
1. 信号处理：傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，从而分析信号的频率成分和谱密度。
它在音频、视频、图像等信号处理中得到广泛应用，比如音频的频谱分析、图像的频域滤波等。
2. 通信系统：傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，使信号能够更好地传输和处理。
在调制解调、频谱分析、通信信号的滤波等方面都有重要作用。
3. 图像处理：傅里叶变换可以将图像从空域转换到频域，从而实现图像的频域滤波、频谱分析和图像增强等操作。
傅里叶变换在图像压缩、图像识别和图像恢复等方面也得到了广泛应用。
二、小波变换的应用场景
1. 信号处理：小波变换具有时频局部化的特点，可以在时域和频域上同时分析信号，适用于非平稳信号的分析。
小波变换在音频去噪、语音识别、振动信号分析等方面有重要应用。
2. 图像处理：小波变换可以提取图像的纹理特征、边缘信息和细节信息，从而实现图像的去噪、边缘检测、图像压缩等操作。
小波变换在图像处理和计算机视觉领域中广泛应用。
3. 生物医学信号处理：小波变换可以有效地分析和处理生物医学信号，如脑电图(EEG)、心电图(ECG)、血压信号等。
小波变换在生物医学信号的特征提取、异常检测和疾病诊断等方面具有重要应用。
傅里叶变换和小波变换在信号处理、通信系统、图像处理和生物医学信号处理等领域中都有广泛的应用。
它们在不同应用场景中发挥着关键的作用，为我们理解和处理复杂的信号提供了有力的工具。
小波变换在数字信号处理中的应用及其实例
小波变换在数字信号处理中的应用及其实例引言：数字信号处理是一门重要的学科，广泛应用于通信、图像处理、音频处理等领域。
在数字信号处理中，小波变换是一种常用的分析工具，能够将信号分解成不同频率的子信号，从而实现信号的时频分析和特征提取。
本文将探讨小波变换在数字信号处理中的应用，并给出一些实例。
一、小波变换的基本原理小波变换是一种时频分析方法，能够将信号分解成不同频率的子信号。
其基本原理是通过选择适当的小波基函数，将信号分解成不同尺度的子信号。
小波基函数具有局部性和多尺度性，能够更好地适应信号的时频特性。
二、小波变换在图像处理中的应用1. 图像压缩小波变换在图像压缩中有广泛的应用。
通过对图像进行小波变换，可以将图像分解成不同频率的子图像，然后根据子图像的重要性进行压缩。
小波变换在图像压缩中能够提供更好的压缩效果和图像质量。
2. 图像去噪小波变换在图像去噪中也有重要的应用。
通过对图像进行小波变换，可以将图像分解成不同频率的子图像，然后对子图像进行阈值处理，去除噪声分量。
小波变换在图像去噪中能够更好地保留图像的细节信息。
三、小波变换在音频处理中的应用1. 音频压缩小波变换在音频压缩中也有广泛的应用。
通过对音频信号进行小波变换，可以将音频信号分解成不同频率的子信号，然后根据子信号的重要性进行压缩。
小波变换在音频压缩中能够提供更好的压缩效果和音质。
2. 音频特征提取小波变换在音频特征提取中也有重要的应用。
通过对音频信号进行小波变换，可以将音频信号分解成不同频率的子信号，然后提取子信号的特征，如频率、能量等。
小波变换在音频特征提取中能够更好地分析音频信号的时频特性。
四、小波变换在通信中的应用1. 信号调制与解调小波变换在信号调制与解调中有重要的应用。
通过对信号进行小波变换，可以将信号分解成不同频率的子信号，然后对子信号进行调制或解调。
小波变换在信号调制与解调中能够更好地实现信号的传输与接收。
2. 信号检测与识别小波变换在信号检测与识别中也有广泛的应用。
同步压缩小波变换and通信and信号调制and信号识别
同步压缩小波变换（Synchronized Compressed Wavelet Transform）是一种信号处理技术，结合了小波变换和压缩算法，用于对信号进行压缩和重构。
在同步压缩小波变换中，信号首先通过小波变换进行频域分解，将信号分解为不同尺度的子带。
然后，利用压缩算法对每个子带进行压缩，通过保留重要的频域系数，舍弃冗余的部分来实现信号的压缩。
最后，通过逆小波变换将压缩后的信号进行重构。
通信（Communication）是指在发送方和接收方之间传输信息的过程。
在数字通信中，信号经过调制过程被转换为适合传输的信号形式，然后通过信道进行传输，并在接收端经过解调恢复原始信息。
信号调制（Signal Modulation）是将原始信号（调制信号）以一定的规则转换成适合传输的信号形式。
常见的信号调制方式包括调幅（AM）、调频（FM）、调相（PM）等，通过改变信号的某些特性如振幅、频率或相位来实现信号的调制。
信号识别（Signal Recognition）是指通过对信号进行分析和处理，从中提取出有用的信息或者判定信号所属的类别。
信号识别在许多领域中有广泛的应用，例如语音识别、图像识别、无线电通信中的调制识别等。
通过使用特定的识别算法和模型，可以对信号的特征进行提取和匹配，从而实现信号的识别和分类。
基于小波变换的信号去噪研究
频率特性 ， 的振荡性随 １ｌｌ 咖 ／ａ的增大而增大 ， （ ｎ是
频 率参 数， ｂ是 时域 参数 在 实 际问题 中， 取 为 紧支 集 或衰 减较 快 的函数， ￣ ｇ ａ ｌ ， 率均 具有 局部 性 ｑ３ ｕＮ
处理 、地震信号处 理 以及 数据压缩 处理等许 多领域 中
得到 了广泛 的应用 。 小波分 析 ， 是泛 函分析 、 傅立 叶分析 、 条理论 、 样 调 和分析 以及 数值分析 等多个学 科相互 交叉 、相 互融 合
由 小波函 ） 于 数 满足ｆ （ｔ 。 说明咖） ，）＝ 这 ５ｄＯ ｔ ｆ ￡ 具
有 振荡 特性， 它的这 一性质 反 映了小 波 函数 的某 种
展， 但具有强大生命力的新学科技术。近些年来 ， 小波
分析成 为信号处 理 中的研究 热点 ，不仅仅在 理论上 取 得 了很 多突破性 的进 展 ， 而且 还在 图像 处理 、 音信 号 语
其中
６ （ｎ ． １ ≠０ Ｊ， ￡
（） ２
频率 局部化 特征 。如果有效 信号 与噪音在频 谱上呈 现
明显 的分 离特 征， 能够通 过小 波变 换在 相平 面 ｒ 就 时
是小 波 函数 的共轭 。 由于连续 小波 变换
问一 率 平 面） 将有 效信 号 与噪 音 区分开 来 ， 到 滤 频 上 达பைடு நூலகம்
， ＋∞ ＇
∈ ） 通过 一带通 滤波 器 的滤波， 了更好 的理 解小 为 波 作为 系统 的概念， 引入小波变 换的另一 定义 ：
４ Ｘ＝ＩＸＩ Ｉ ｌ， 。 ‘ ｌ 咖 １
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ｗ￣ ／ｔ ，
５
ｆ
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［ ］ ｄ ．
（ ３ ）
自适应小波过滤
自适应小波过滤自适应小波过滤是一种信号处理方法，它利用小波变换的多尺度分析特性，能够有效地去除信号中的噪声和干扰，从而提取出信号的有效信息。
本文将从原理、应用和优势等方面介绍自适应小波过滤。
一、原理自适应小波过滤是基于小波变换的信号处理方法，它将信号分解为不同尺度的小波系数，通过对小波系数的阈值处理和重构，实现信号的去噪和降噪。
具体步骤如下：1. 对信号进行小波变换，得到小波系数。
2. 对小波系数进行阈值处理，将小于阈值的系数置零。
3. 对处理后的小波系数进行逆小波变换，得到去噪后的信号。
二、应用自适应小波过滤在信号处理领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 语音信号去噪：在语音通信和语音识别等应用中，常常会受到噪声的干扰，使用自适应小波过滤可以有效去除噪声，提高语音信号的质量和识别准确度。
2. 图像去噪：在数字图像处理中，自适应小波过滤可以用于去除图像中的噪声，提升图像的清晰度和细节信息。
3. 生物信号处理：在生物医学工程领域，如心电信号、脑电信号等的处理中，自适应小波过滤可以去除噪声和干扰，提取出有效的生物信号。
4. 振动信号分析：在机械故障检测和诊断中，自适应小波过滤可以用于提取故障信号，帮助判断设备的工作状态和故障类型。
三、优势相比于传统的滤波方法，自适应小波过滤具有以下优势：1. 多尺度分析：小波变换可以将信号分解成不同频率的小波系数，能够更好地捕捉信号的细节信息。
2. 自适应阈值：自适应小波过滤可以根据信号的特点自动调整阈值，避免了手动选择阈值的主观性。
3. 高效性：自适应小波过滤使用快速小波变换算法，计算速度较快，适用于实时处理和大规模数据处理。
4. 鲁棒性：自适应小波过滤对信号的幅度变化和噪声的影响较小，能够有效处理各种复杂信号。
自适应小波过滤是一种有效的信号处理方法，具有广泛的应用前景。
它可以在语音、图像、生物医学和机械故障等领域中去除噪声和干扰，提取出信号的有效信息。
小波变换在无线通信中的实际应用案例
小波变换在无线通信中的实际应用案例小波变换是一种数学工具，它在信号处理领域有着广泛的应用。
在无线通信中，小波变换可以用于信号的压缩、调制解调、信号检测等方面。
下面将介绍一些小波变换在无线通信中的实际应用案例。
首先，小波变换在无线通信中的一个重要应用是信号压缩。
无线通信中的信号通常具有高带宽和高速率的特点，传输和存储这些信号需要大量的资源。
小波变换可以对信号进行压缩，减小信号的冗余信息，从而降低传输和存储的成本。
例如，对于音频信号的压缩，可以使用小波变换将信号转换为频域表示，然后通过保留主要频率成分，舍弃次要频率成分来达到压缩的目的。
这样可以在不影响信号质量的情况下，减小信号的数据量，提高传输效率。
其次，小波变换在无线通信中的另一个应用是调制解调。
调制是将低频信号转换为高频信号的过程，而解调则是将高频信号转换为低频信号的过程。
小波变换可以用于调制解调中的信号分析和恢复。
例如，在无线通信中，调制解调器将数字信号转换为模拟信号进行传输，然后再将模拟信号转换为数字信号进行处理。
小波变换可以对调制解调器中的信号进行分析，提取信号的主要特征，从而实现信号的恢复和处理。
此外，小波变换还可以用于无线通信中的信号检测。
在无线通信中，信号检测是判断接收到的信号是否为所需信号的过程。
小波变换可以对接收到的信号进行分析，提取信号的特征，然后与预先设定的标准进行比较，从而判断信号是否符合要求。
例如，在无线电通信中，接收到的信号可能受到多径传播、噪声等干扰，通过对信号进行小波变换，可以将干扰信号和所需信号进行分离，从而实现信号的检测和识别。
最后，小波变换还可以用于无线通信中的信号分析和处理。
无线通信中的信号通常具有复杂的特征和变化，通过小波变换可以对信号进行分析，提取信号的频率、幅度、相位等特征，从而实现信号的处理和优化。
例如，在无线传感器网络中，通过对传感器采集到的信号进行小波变换，可以提取信号的主要特征，然后根据特征来进行数据处理和决策，从而实现对环境的监测和控制。
基于小波变换和神经网络模型的数字调制识别方法
（ 江南大学物联网工程学 院 江苏 无锡 ２４ ２ ） １ １２
摘 要
由于小波变换 对瞬态信息具有 较强的检 测能力， 数字调制信号在 间断点呈现不 同的瞬态信息 。使 用提取小波 变换 后包
络方差与均值 平方之比的特 征参数， 来实现 ３种信号（ Ｓ ＭＰ Ｋ和 ＭＱ Ｍ） ＭＦ Ｋ、 Ｓ Ａ 的类 间识别 。然 后提 取经小 波变换后 的信号 幅度层 数 Ⅳ１， ＭＦ Ｋ进行 类内识别 ， 对 Ｓ 提取经 归一化后 的信号再经过小波变换 后的尖峰数 Ⅳ 对 ＭＰ Ｋ进行 类内识别。最后利 用人工 神 ２， Ｓ
Ｄ ｅｔ ｔｅｓ ｏｇｄｔ ｔ ｎｃｐｂｌｙｏ ａｅｅ ｔ ｎｆ ｍ （ ｕ ｔ ｎ ｅｅ ｉ ａ ａｉｔ ｆ ｖｌ ａ ｓ ｒ ＷＴ）ｏ ａｓ ｎ ｉ ｏ ａ ｏ ， ｉｉｌ ｏｕａ ｄｓ ｎ ｓｐｅｅｔ ｏｈ ｒ ｃｏ ｉ ｗ ｔｒ ｏ ｎｔｎ ｉ ｔｎ ｒ ｔ ｎ ｄｇ ａｙｍ ｄｌｔ ｉ ａ ｒｓｎ ｒ ｅ ｆｍ ｉ ｔｌ ｅ ｇｌ
Ｗ ｘｒｃ ｄｔ ｒａ ｓ ｉｔ －ａｅｏｙｒｃｇｉｏ ｉ ａ （ Ｓ Ｔ ｉｅｔ ｔ ｏ ｅ ｉ ｎｅ ｃｔｇｒ ｅｏｎ ｉ ｏ ３ ｓ ｌ ＭＦ Ｋ，ＭＰ Ｋ ａｄ ＭＱ Ｍ） ｈ ｎ ｈｏ ｇ ｈ ｘ ａｔｎ ｏ ｉ ａ ｓ ａｅ ｌ ｅ ｒ ｔｎｆ ｎ ｇ ｓ Ｓ Ａ ．Ｔ ｅ ，ｔｒｕｈ ｔｅｅｔ ｃ ｏ ｆｓ ｌ ｎ ｒ ｉ ｎ ｇ
的 目的 …。在 民用方面 ， 政府有 关部 门要对通 信频谱 进行监视
和管理 ， 以防止对无 线频 谱的非法利用和干扰 ， 保证合法通信 的
正 常 进 行 。
目前 ， 调制识别方法一般有两种 ： 统计判决理论识别方法 和 统计模 式识 别方法。统计判决识别 方法需要 一定 的先 验知识和
数字信号处理中常见滤波算法详解
数字信号处理中常见滤波算法详解数字信号处理（Digital Signal Processing，DSP）中的滤波算法是处理信号的重要手段之一。
滤波算法可以对信号进行去除噪声、增强信号特征等操作，广泛应用于通信、音频处理、图像处理等领域。
本文将详细介绍数字信号处理中常见的滤波算法，包括FIR滤波器、IIR滤波器、傅里叶变换和小波变换等。
首先，我们来介绍FIR滤波器（Finite Impulse Response Filter）。
FIR滤波器是一种线性相位滤波器，其特点是零相位延迟响应。
FIR滤波器可以通过离散时间域的卷积运算来实现，其滤波系数在有限长时间内保持不变。
常见的FIR滤波器设计方法包括窗函数法、频率采样法等。
其中，窗函数法通过选择适当的窗函数和截断长度来设计滤波器，常见的窗函数有矩形窗、汉宁窗、汉明窗等。
频率采样法则通过在频率域上采样若干离散点并计算出滤波器的频率响应，然后通过反变换得到滤波器的时域响应。
FIR滤波器具有易于实现、稳定性好等优点，在数字信号处理中得到广泛应用。
其次，我们来介绍IIR滤波器（Infinite Impulse Response Filter）。
与FIR滤波器不同，IIR滤波器的系统函数中包含了反馈回路，因此其响应不仅依赖于当前输入样本，还依赖于历史输入样本和输出样本。
IIR滤波器与FIR滤波器相比，具有更高的滤波效率，但也存在着稳定性较差、相位畸变等问题。
常见的IIR滤波器设计方法有脉冲响应不变法、双线性变换法等。
脉冲响应不变法通过将连续时间域的系统函数变换为离散时间域的差分方程来实现，而双线性变换则通过将连续时间域的系统函数变换为离散时间域的差分方程，并在频率响应上进行双线性变换。
IIR滤波器在音频处理、图像增强等领域得到了广泛应用。
傅里叶变换也是数字信号处理中常用的滤波算法。
傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，可以实现将信号中的不同频率成分分离出来的目的。
10种常见的数字信号处理算法解析
10种常见的数字信号处理算法解析数字信号处理算法是数字信号处理领域的核心技术，它能够将连续型信号转化为离散型信号，从而实现信号的数字化处理和传输。
本文将介绍10种常见的数字信号处理算法，并分别从理论原理、算法步骤和典型应用三个方面进行解析。
一、傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的算法。
其原理是分解信号中的不同频率分量，使得信号频域分析更方便。
傅里叶变换的算法步骤包括信号采样、离散化、加窗、FFT变换、频谱分析等。
傅里叶变换广泛应用于通信、音频处理、图像处理等领域。
二、小波变换小波变换是一种将时域信号分解为多个小波信号的算法。
其原理是利用小波基函数将信号分解成不同频率和时间范围的小波信号。
小波变换的算法步骤包括信号采样、小波变换、重构等。
小波变换广泛应用于信号压缩、图像处理、语音信号处理等领域。
三、滤波器设计滤波器设计是一种根据需要设计出不同类型的滤波器的算法。
其原理是利用滤波器对信号进行滤波处理，达到对信号不同频率分量的取舍。
滤波器设计的算法步骤包括滤波器类型选择、设计要求分析、滤波器设计、滤波器性能评估等。
滤波器设计广泛应用于信号处理和通信系统中。
四、自适应滤波自适应滤波是一种能够自主根据需要调整滤波器参数的算法。
其原理是通过采样原始信号，用自适应滤波器对信号进行滤波处理，以达到信号降噪的目的。
自适应滤波的算法步骤包括信号采样、自适应算法选择、滤波器参数估计、滤波器性能评估等。
自适应滤波广泛应用于信号处理和降噪领域。
五、功率谱密度估计功率谱密度估计是一种用于估计信号功率谱密度的算法。
其原理是利用信号的离散傅里叶变换，对信号功率谱密度进行估计。
功率谱密度估计的算法步骤包括信号采样、离散傅里叶变换、功率谱密度估计等。
功率谱密度估计广泛应用于信号处理、通信、声学等领域。
六、数字滤波数字滤波是一种对数字信号进行滤波处理的算法。
其原理是利用数字滤波器对信号进行滤波处理，以取舍信号中不同频率分量。
数字信号处理中时频分析技巧
数字信号处理中时频分析技巧时频分析是数字信号处理中的重要技术之一，它能够提供信号在时域和频域上的详细分析信息。
在数字信号处理领域的应用非常广泛，包括通信系统、音频处理、图像处理等方面。
本文将介绍数字信号处理中的时频分析技巧，包括短时傅里叶变换（STFT）、小波变换（WT）、希尔伯特－黄变换（HHT）等方法。
首先要介绍的是短时傅里叶变换（STFT），它是一种将信号在时域和频域上进行分析的方法。
STFT使用窗函数将信号分割成一段一段的小块，并对每一段进行傅里叶变换。
这样可以得到信号在不同时间和不同频率上的频谱信息。
STFT能够较好地抓取信号的瞬时特性，但对于非平稳信号，频率分辨率较低，时间分辨率较高。
小波变换（WT）是另一种常用的时频分析方法。
它通过将信号与小波基函数进行相互作用，获得信号在不同尺度和不同位置上的时频信息。
小波基函数是一组具有局部性质的基函数，能够较好地表示信号的非平稳性。
WT具有较高的时间分辨率和较好的频率分辨率，适用于分析非平稳信号和突发信号。
希尔伯特－黄变换（HHT）是近年来提出的一种新型时频分析方法。
它结合了经验模态分解（EMD）和希尔伯特谱分析（HSA）两种方法。
EMD是一种将信号分解成多个固有振动模态的方法，而HSA则是对每个固有振动模态进行希尔伯特变换并求取瞬时时频图谱。
HHT能够较好地提取信号的非线性和非平稳特性，适用于分析振动信号和生物信号等。
除了这些常用的时频分析方法，还有一些其他的技术也值得关注。
例如，提取信号的瞬时参数可以通过瞬时频率（IF）、瞬时幅度（IA）、瞬时相位（IP）等来实现。
这些参数能够反映信号在时间和频率上的变化特性，对于信号的瞬态行为有较好的描述能力。
此外，盲源分析（BSS）也是一种常用的信号处理技术，它能够从复杂的混合信号中分离出各个源信号，进一步提取出它们的时频信息。
时频分析技巧在不同领域的应用非常广泛。
在通信系统中，时频分析一般用于信号调制与解调、频率同步、信道估计等方面，能够提取出信号的频谱特性，评估信号的品质。
滤波器设计中的自适应小波变换滤波器
滤波器设计中的自适应小波变换滤波器在信号处理领域中，滤波器是一种常用的工具，用于去除信号中的噪声或者频率成分。
而自适应小波变换滤波器作为一种特殊的滤波器，在处理非平稳信号方面表现出了良好的性能。
本文将探讨滤波器设计中的自适应小波变换滤波器以及其在信号处理中的应用。
一、自适应小波变换滤波器的概述自适应小波变换滤波器是一种基于小波变换的滤波方法。
小波变换是一种时频分析方法，相比于传统的傅里叶变换，小波变换能够更好地捕捉信号的时频特性，适用于处理非平稳信号。
在滤波器设计中，自适应小波变换滤波器能够根据信号的特性自动调整滤波参数，提高滤波效果。
二、自适应小波变换滤波器的设计过程自适应小波变换滤波器的设计过程包括以下几个步骤：1.选取小波基函数：在设计自适应小波变换滤波器时，需要选择适合信号特性的小波基函数。
常用的小波基函数包括Daubechies小波、Haar小波等。
2.计算小波系数：通过对信号进行小波变换，可以得到信号在不同尺度下的小波系数。
小波系数反映了信号在不同频率范围内的能量分布情况。
3.确定滤波阈值：在自适应小波变换滤波器中，滤波阈值的确定十分重要。
滤波阈值用于判断哪些小波系数是噪声，需要被滤除的。
常用的方法有硬阈值和软阈值。
4.滤波处理：根据滤波阈值对小波系数进行滤波处理，将噪声部分滤除，保留信号部分。
滤波后的小波系数通过逆小波变换可以得到滤波后的信号。
三、自适应小波变换滤波器的应用自适应小波变换滤波器在信号处理领域有着广泛的应用。
以下举几个例子来说明：1.语音信号增强：在语音通信中，经常会受到环境噪声的干扰，使用自适应小波变换滤波器可以对语音信号进行去噪处理，提高语音质量。
2.图像去噪：在数字图像处理中，图像经常会受到各种噪声的影响，自适应小波变换滤波器可以对图像进行去噪处理，提高图像质量。
3.生物信号处理：在生物医学领域，自适应小波变换滤波器可以用于处理心电信号、脑电信号等生物信号，从中提取有效的生理信息。
小波滤波方法及应用
小波滤波方法及应用一、本文概述本文旨在深入探讨小波滤波方法的理论基础、实现技术及其在信号处理、图像处理、数据压缩等多个领域的应用。
小波滤波作为一种新兴的信号处理技术，通过利用小波变换的多分辨率分析特性，能够在不同尺度上有效提取信号中的有用信息，实现对信号的高效滤波和去噪。
本文首先介绍小波滤波的基本概念、发展历程和主要特点，然后详细阐述小波滤波的数学原理和实现方法，包括小波变换的基本原理、小波基函数的选择、小波滤波器的设计等。
在此基础上，本文将重点分析小波滤波在信号处理、图像处理、数据压缩等领域的应用实例，探讨其在实际应用中的优势和局限性。
本文还将对小波滤波的未来发展趋势进行展望，以期为该领域的进一步研究提供参考和借鉴。
二、小波理论基础知识小波理论，作为一种现代数学工具，自20世纪80年代以来，已在信号处理、图像处理、数据压缩等众多领域展现出强大的应用潜力。
其核心思想是通过一组被称为“小波”的函数来分解和分析信号或数据。
与傅里叶变换等传统方法相比，小波变换提供了时频局部化的分析能力，意味着它可以在不同的时间和频率上同时提供信号的信息。
小波变换的基础是小波函数，也称为母小波。
这些函数具有有限的持续时间并且振荡，可以在时间和频率两个维度上进行局部化。
通过伸缩和平移操作，母小波可以生成一系列的小波基函数，这些函数能够匹配并适应不同频率的信号部分。
小波变换可以分为连续小波变换（CWT）和离散小波变换（DWT）两种类型。
连续小波变换在时间和频率上都是连续的，能够提供非常精细的分析结果，但计算复杂度较高。
而离散小波变换则对时间和频率进行了离散化，计算效率更高，更适用于实际应用。
小波变换的一个重要特性是多分辨率分析，它允许我们在不同尺度上观察信号。
通过逐层分解信号，我们可以得到从粗糙到精细的一系列逼近和细节分量。
这种特性使得小波变换在信号去噪、图像增强等应用中表现出色。
小波理论还涉及小波包、尺度函数、小波框架等概念，这些构成了小波分析的基础框架。
数字信号处理中的小波变换算法介绍
数字信号处理中的小波变换算法介绍数字信号处理是一门涉及信号的数字化、转换和处理的学科，广泛应用于图像处理、音频处理、通信系统、控制系统等领域。
小波变换是一种常用的数字信号处理算法之一，其优点在于精度高、计算速度快、处理效率高，是数字信号处理中应用广泛的算法。
一、小波变换的基本概念小波变换是一种将信号分解成一系列小波组成的线性组合的算法。
小波是一种能够局部表示信号特征的基函数，具体说来，小波函数在时间和频率上都具有局部性质，即小波函数具有在时间和频率上有限支持的特征。
小波变换将原信号分解为一系列小波系数，其中高频系数表示信号的高频特征，低频系数表示信号的低频特征。
二、小波变换的算法小波变换的算法有多种，常见的包括离散小波变换(DWT)、连续小波变换(CWT)、快速小波变换(FWT)等。
下面分别介绍这些算法。
1.离散小波变换(DWT)离散小波变换是一种将信号分解为一系列小波系数的线性变换，一般通过滤波器组合实现。
具体来说，DWT将原信号经过一系列低通和高通滤波器的滤波，再将得到的两个子信号进行下一次滤波，逐层迭代直到滤波器长度为1时停止，这样就得到了一系列小波系数。
DWT有多种实现方法，如一维DWT、二维DWT、多尺度DWT等，广泛应用于图像处理、音频处理等领域。
2.连续小波变换(CWT)连续小波变换是一种不断缩放和平移小波函数的过程，得到一系列小波系数的过程。
具体来说，CWT将原信号与一定的小波函数连续卷积，并随着时间变化不断改变小波函数的频率和位置，得到一系列小波系数。
由于CWT需要遍历连续的时间和频率空间，计算量较大，因此一般用于分析连续信号，如声音和图像等。
3.快速小波变换(FWT)快速小波变换是一种将DWT算法应用于固定长度而得到的基于快速傅里叶变换的快速小波变换算法。
FWT是一种快速、高效、无损的小波变换算法，具有广泛的应用，如图像压缩、特征提取、信号去噪、音频处理等。
三、小波变换的应用小波变换广泛应用于各种信号处理领域，如图像处理、音频处理、通信系统、控制系统等。
数字信号处理中的小波变换方法
数字信号处理中的小波变换方法在数字信号处理领域，小波变换（Wavelet Transform）被广泛应用于信号的分析和处理。
它是一种非平稳信号分析的有效工具，具有时频局部化特性和多分辨率分析能力。
本文将介绍小波变换的原理、常用方法以及在数字信号处理中的应用。
一、小波变换的原理小波变换是一种基于小波函数的信号分析方法，通过在时间和频率上对信号进行多尺度分解，将信号分解为不同频率成分。
小波函数是一组具有特定性质的函数，可以用于描述信号的时频特征。
小波变换的数学表达式为：$$ \psi_{a,b}(t) = \frac{1}{\sqrt{a}}\psi\left(\frac{t-b}{a}\right) $$其中，$\psi(t)$为小波函数，$a$和$b$为尺度参数和平移参数，$\psi_{a,b}(t)$表示对信号进行尺度为$a$、平移为$b$的小波变换。
二、常用的小波变换方法1. 连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）连续小波变换是小波变换最基本的形式，它对信号进行连续尺度的分解，能够提取信号在不同频率下的时域特征。
连续小波变换具有良好的时频局部化性质，但计算复杂度较高。
2. 离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）离散小波变换是对连续小波变换的离散化处理，通过有限个尺度和平移参数对信号进行分解。
离散小波变换可以通过滤波器组实现，具有快速计算和多分辨率特性。
常用的离散小波变换方法有基于Mallat 算法的一维和二维离散小波变换。
3. 快速小波变换（Fast Wavelet Transform，FWT）快速小波变换是对离散小波变换的改进，利用滤波器组的特殊性质实现高效的计算。
快速小波变换可以通过嵌套的低通和高通滤波器实现信号的分解和重构，大大减少计算复杂度。
三、小波变换在数字信号处理中的应用1. 信号压缩小波变换能够提取信号的局部特征，并且通过选择合适的小波系数进行信号重构，可以实现信号的压缩。
基于Haar小波变换的码元速率估计
(5)
采样，得到离散信号 x(k ) ，设其数学模型 为：
(k )e j (c k c ) n(k ) x ( k ) s ( k ) n( k ) s
WT (a, n) 的突变特性与尺度参数 a 的选择有着密切的关系，一般来说，小尺度下的小
波变换能精确刻画信号的边缘信息，但受噪声影响较大，不利于码元速率的精确估 (1) 计；大尺度下的小波变换对噪声有较好的平抑作用，但容易淹没真实局部极值，不能 正确反映信号的局部特征。文献[7][8]研究了如何选择最优尺度和如何进行多尺度小 波变换，利用他们提出的方法，可以大幅提高码元速率估计的准确性。为了便于分 析，本文只讨论单一尺度的小波变换，并假设尺度参数小于一个码元周期，此时（5） 式会出现两种情况：
(6)
x(k )
k
(
(2)
2）在尺度参数范围内有码元变化，即存在 i 满足 a / 2 i a / 2 1 ，当 a / 2 k i
(k ) A0 e j ，当 i k a / 2 1 时，有 s (k ) A1e j 。为方便计算，不妨设 i 时，有 s 计算的结果对分析小波变换的突变特性无太大影响。此时有：
(3)
增加系数的Haar小波函数为：
n ( ) x ( n)
0 k a x ( n)
k a / 2, a / 2 1,..., 1 k 0,1,..., a / 2 1 others
(4)
式中尺度参数 a 取偶数。在不考虑噪声的情况下，对信号 s(k ) 进行小波变换：
这里 s(k ) 是调制信号， n(k ) 是高斯白 噪声， c 2 f c / f s 是信号的数字频率， c
基于小波变换的数字调制识别技术研究
（Ｏ ＩＴ Ｃ ＭＮ ） 的关键内 ［ 。 容［ 在军事电 ６ ７ ］ 子对抗中， 战场信息的 传输主要依靠 无 线电通信来实 现，通 信信号侦察与午扰是电 子战的 主要内 容， 信号调制类型又 是信号侦察中的一个关 键步 它是对敌方通信进行干扰， 骤， 侦听和监测的 前提，
一旦知道 了调制类型，就可 以估 计调掉参数 ，数据解调 ，信 息提取和信 号干扰
关键词 ： 数字调制
小波变换
调制识别
瞬时特征提取
电子战
Ａ ｄ ｏ ｔｅ ｉ ｌ ｄｌ ｉ Ｉｅｔｉ ｔｎ ｓ ｙ ｈ Ｄｇ ａＭｏｕ ｔ ｎ ｎｉ ａｏ ｔ ｕ ｎ ｉｔ ａｏ ｄ ｆ ｉ ｃ
Ｔｃ ｏ ｇｅ ａｅ ｏ ｎ ｌ ｉ ｂ ｓｄ Ｗａｅ ｔ ｎｆｒ ｅｈ ｏ ｓ ｎ ｖｌ Ｔ ａｓ ｍ ｅ ｒ ｏ
无线 电台，在对信号进行接 收解调 前就首先 必须识别出该信 号的调制制式和其 它信 号参数 ， 才能解调 出调制制信息 ， 并根据 其信 息内容将 其转 换为其它频率 ，
因为小 波变换具有 良 好的时间，频率局域化特征和多 分辨率分析的 特性，所以
小波变换是 一种 能有效地 从不同调制类型的信 号中提取瞬 时特 征的技术 ，而且
不需要己 调信号 任何的 先验知识。 不同 类型信号的小 波变换系 数的明显不同非
常适合对数字调制信号 的调制 类型进行识别 。在理论上对 四种数 字通信信 号运 用 小波进行 分析后 得到 了不同的变换结果 ，在此基础 上建 立了同时对这 四种典 型数字通信信 号进行类 间和类 内识别 的调制识 别器模 型。这种调制识 别器 主要 利用输入信 号小波变换量 的不同来进行调制类型 的识别 。识别器通 过将小波变 换幅度 的方差 与判 决门限 比较来对类 间信号进行调制 识别，利用信 号的小波变 换 的幅度层 数和 峰值大 小种数 来进行类 内调制类型 的识别 。
基于小波变换的数字调制信号识别方法的研究
第 ２ 卷第 １ 期 ８ １
２０ ０ ６年 １ 月 １
电 子
与
信
息
学
２
ＮＯ ．０ ６ Ｖ２ ０
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｅ ｔｏ ｉｓ＆ Ｉ ｆｒ ｔ ｎＴ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｒ ａ Ｅｌｃｒｎｃ ｏ ｎ ｏｍａｉ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ｏ
多层 小波分解两种方法提取信号 的特征 ， 并且对 于不 同调 制信 号采用 了不 同的分类特 征。 算法 实现 时不需要进行码 元周期估计 以及 同步时问估计 ，从而使分类器的设计变得简单，判 决准则简化 ，提高了运算速度和识别率。 关键词 数字调制信号识别 ，连续小波变换 ，多层小波分解 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：１０ ．８ ６２ ０ ）１ ０ ６０ ０ ９５ ９ （０ ６ １． ２ ．４ ２ 中图分类号 ： Ｎ １． Ｔ ９ ７ １
Ａｂ ｔａ ｔ Ａ ｅ ｍｅｈ ｄｏ ｉｉ ｌ ｄ ｌｔ ｎｉｅ ｔ ｃ ｔ ｎｗｉ ｖ ｌｔ ｒｎ ｆ ｒ ｉ ｉｔ ｄ ｃ ｄｉ ｈｓ ａ ｅ． ｅｅａｅ ｓｒ ｃ ｎ ｗ ｔｏ ｆ ｇｔ ｄ ａ ｍｏ ｕａｉ ｎｉ ａｉ ｔ ｗａ ｅｅ ａ ｓｏ ｍ ｓ ｎｒ ｕ ｅ ｔｉ ｐ ｒＴｈ ｒ ｒ ｏ ｄ ｉ ｆ ｏ ｈ ｔ ｏ ｎ ｐ ｔ ｙ ｏｇ ｔ ｈ ｈ ｒｃｅｉｔ ｓ Ｏｎ ｅ ｈ ｃ ｌ ｘｍｕ ｗｉｈｔｅｃ ｎ ｉｕ ｕ ｖ ｌｔｒ ｎｆ ｒ ｔｅｏｈ ｒｉｔｅ ｗｏｗａ ｓ ｅ ｅｃ ａａｔｒｓｉ ． ｅｉｔ ｇ ｔ ｅｌ ａ ｔ ｔ ｃ ｓｏ ｔ ｏ ｍａ ｉ ｍ ｔ ｈ ｏ ｔｎ ｏ ｓ ｗａ ｅｅ ａ ｓｏ ｍ；ｈ ｔｅ ｔ ｓｈ ｍｕｔ ｅｏｕ ｉｎａ ａｙ ｉ． ｔ ｆ ｍ ａ ｅｂ ｅ ｓ ｄ Ｆ ｒ ｉ ｅｅ ｔ ｄ ｌｔｄｓｇ ａｓ ｄｆｅｅ ｔ ｈ ｒｃｅ ｉ ｉｓｈ ｖ ｅ ｎ ｌｒｓ ｌｔ ｎ ｌｓｓ Ｂｏｈ ｏ ￣ｅ ｈ ｖ ｅ ｎｕｅ ， ｏ ｆ ｒｎ ｉ ｏ ｄ ｆ ｍｏ ｕａｅ ｉｎ ｌ， ｉ ｒｎ ａａ ｔｒｓ ｃ ａ ｅｂ ｅ ｆ ｃ ｔ ｕ ｅ ． ｍｐ ｒｄ ｗｉ ｔｅｓ ｔｅｃａ ｓｆ ｒｉ ａｙｔ ｅ ｌ ｅａ ｄｔｅｄ ｃｓｏ ｓｓｍｐｅ Ｉ ｉ ｎ ｔｎ ｃ ｓａｙｔ ｓｉ ｔ ｈ ｓｄ Ｃｏ ａｅ ｔ ｏｈ ｒ，ｈ ｌｓｉ ｅ ｅ ｓ ｏｒａｉ ｎ ｈ ｅ ｉｉｎｉ ｉ ｌ． ｔ ｓ ｏ ｅ ｅ ｓｒ ｏｅ ｔ ｈ ｉ ｓ ｚ ｍａｅｔｅ ｃ ｄ ｅ ｉｄ ａ ｄ ｔｅｓ ｎ ｈｏ ｉａｉｎ ｔ ． ｅｐ ｒｅ ｔｇ ｆｃ ｒ ｃ ｅ ｔ ｃ ｔ ｎ ｉ ｉ ｒｖ ｄ Ｔｈ ｐ ｅ ｆｍｏ ｕａｉｎ ｏ ｅｐ ｒｏ ｎ ｈ ｙ ｃ ｒ ｎｚ ｔ ｉ ｏ ｍｅ Ｔｈ ｅｃ ｎａ ｅｏ ｏｒ ｔｉ ｎｉ ａｉ ｓ ｍｐ ｏ ｅ ． ｅｓ ｅ ｄｏ ｄ ｌｔｏ ｅ ｄ ｉ ｆ ｏ ｉｅ ｔｆ ａｉｎｉ ｃｅ ｓ ｄａ ｌ ｄ ｎｉ ｃ ｔ Ｓｉ ｒａ ｅ ｓｗｅ１ ｉ ｏ ｎ ． Ｋｅ ｒ ｓ Ｄｉｉ ｌ ｄ ｌｔ ｎｉｅ ｔ ｃ ｔ ｎ Ｃ ｎｉｕ ｕ ｖ ｌｔｒｎ ｆ ｒ ， ｕｔ ｅ ｏｕｉｎａ ａｙ ｉ ｙｗｏ ｄ ｇｔ ａ ｍｏ ｕａｉ ｎｉ ａｉ ， ｏ ｔｎ ｏ ｓ ｏ ｄ ｉ ｆ ｏ ｗａ ｅｅ ａ ｓｏ ｔ ｍ Ｍ ｌｒｓ ｌｔ ｎ ｌｓｓ ｉ ｏ
数字信号处理——原理、算法与应用
数字信号处理——原理、算法与应用
数字信号处理（DSP）是利用数字信号处理器和计算机算法对信号进
行分析、合成、处理和解释的技术。
它在信号处理领域中具有广泛的应用，例如音频和视频信号处理、过滤技术、数字图像处理、调制和解调、通信
和控制系统等领域。
原理：数字信号处理的核心原理是采用数字信号生成和处理方法，将
采集到的模拟信号转为数字信号进行处理，然后恢复成模拟信号输出。
数
字信号处理的主要任务是采集、采样、量化、编码、处理和还原。
算法：数字信号处理的主要算法包括滤波算法、频谱分析算法、基于
模型的信号处理算法、基于神经网络的信号处理算法、基于小波变换的信
号处理算法等。
其中，小波变换和离散余弦变换等变换算法是常用的信号
处理方法。
应用：数字信号处理广泛应用于音视频编解码、数字滤波、信号增强、图像处理、语音识别、生物医学信号处理、航空航天通信系统等领域。
同时，数字信号处理还可以与声学信号、电子信号等结合，构建自适应信号
处理系统和智能控制系统。
总之，数字信号处理是一种重要的信号处理技术，逐渐成为新一代信
号处理的核心技术，也是推动数字化技术发展的重要保障。
基于小波变换模极大值通信信号码元跳变检测
２ ０ 年第９ ０８ 期
中图分类号 ：Ｎ １ ． Ｔ ９ １７ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：０ ９ｚ５ （ｏ ８ｏ ０３ １０ －５ｚ ｚｏ ）９— ０９一ｏ ５
基 于 小 波 变 换 模 极 大 值 通 信 信 号 码 元 跳 变 检 测
ｐ ｒ ｒｓｎ ａｅ ｔ ｒｎｆ ｏ ｕ ｓｍ ｘｍ ｒ ｔ ｄｔ ｔ ｅｃ ｉ ｈｎ ｎ ．Ｔ ｅｓ ｕａ ｏ ａ ｄｔ 印ｅ ｐ ｅ ｔ ｗ ｖｌ ａｓ ｒ ｍ ｌ ａｉｕｎ ｏ ｅ ｃ ｔ ｏ ｎ ｃａｇ ｇ ｈ ｉ ｌｉ ｖｌ ａ ｓ ｅ ｓ ｅｔ ｏ ｍ ｄ ｕ ｅ ｈ ｄ ｇ ｉ ｍ ｔｎ ｉ ｅ
析数字信号 的 目的。刁彦华＿ 、 ８ 田岩岩＿利用 小波 Ｊ ６
变 换 的模极 大值 对 信 号 进行 分 析 ， 者 利 用 小 波 变 前 换 的模 极 大值检 测 故 障 点 ， 者 利 用 小 波 变 换 的模 后 极 大 值对 图像 信号 进行 处理 。 在数 字通 信信 号 中 ， 同一 码 元 内或 者 相 邻 码 元 相 同时 ， 号小 波 变 换 的幅 度 为 恒 定 值 。如 果 数 字 信 通 信 信号 的小 波变 换 区间 存 在 码 元 变 化 ， 小 波 变 则 换 后 的幅 度值取 决 于 前 后 码 元 的 幅 度 、 率 或 相 位 频 大 小 。本 文利用 小 波变 换模 极 大值 的方 法来 判别 数
字通信 信 号的 码元 跳 变 点进行 检 测 。计 算机 仿 真 结 果表 明 ，该 方 法 对 码 元 的跳 变 点 检 测 具 ；数字通信信号 ；码元跳变点 ；模极大值
Ｃｏ ｉ ｇ ｃ ａ ｉ ｇ ｄ ｔ ｃ ｉ ｎ ｏ ｈｅ ｃ ｍ ｍ ｕ ｉ ａ ｉ ｎ ｓｇ ａ ｄ ｎ ｈ ｎｇ ｎ ｅ ｅ ｔｏ ｆｔ ｏ ｎ ｃ ｔｏ ｉ ｎ ｌ ｂ ｓ ｄ ｏ ｖ ｌｔｔａ ｓｏ ｍ ｏ ｕ ｕ ａ ｉ ｕ ａ ｅ ｎ ｗａ ｅ ｅ ｒ ｎ ｆ ｒ ｍ ｄ ｌ ｓ ｍ ｘ ｍ ｍ
基于小波变换的数字通信信号码元速率估计算法
２ 小 波 变 换 的 理 论 基 础
通常平 方 可积信 号ｓ（ ｔ ）的小 波变换 定义 为 ：
＝
变换 与 小波 变换 就 是应 传统 傅 立 叶变换 不 能满 足
信号 处 理 的要求 而产 生 的 。短 时傅 里 叶变 换是 通
表 述信 号 的时 频局 域性 质 ，有 其 自身 的 缺陷 。 对 ．
于一些 非平 稳信 号 ，它 们 的频 域特 性 是 随时 间 变 化 的 。对 这一 类 信 号 ，用 傅立 叶变 换 进 行 分 析 ，
仅 能知 道信 号所 含 有 的频 率信 息 。但 不能 知 道 这
些 频率 信息 出现 在 什 么时段 上 。为 了研究 这 些信 号 的 局 部形 态 。人 们 对 傅立 叶分 析进 行 了改 进 ，
项 重 要 内容 。数 字通 信信 号 一般 是 由具 有 一定
码 元速 率 的数字 信 源来 进行 调 制 的 ，因此 ，数 字
信号 在 不 同的码 元 之 间存 在 着 瞬变 现象 （ 包括 幅
而 通 过 缩放 小 波 的 宽 度 （ 者 叫做 尺度 １则可 获 或 得信 号 的频 率 特性 。对 母 小波 的缩 放 和平 移操 作
多分 辨率 分析 的特 点 。
对 于 ＭＡ Ｋ、ＭＰ Ｋ、ＭＦ Ｋ信 号 而 言 ，在 码 Ｓ Ｓ Ｓ
元 状 态变 化 时刻 ，会 出现 信 号相 位 、频 率 变化 的 奇 异点 ，利 用 小 波 变 换 可 以检 测 到 这 些奇 异 点 ， 然 后 对 其 进一 步 分 析 和处 理 ，再 结 合Ｆ ｒ 论 即 Ｆ理 可 提 取 出信 号 的 码 元 速 率 。 本 文 研 究 了 ＭＡ Ｋ、 ‘ Ｓ ＭＰ Ｋ、ＭＦ Ｋ信号 的码 元 速率 的估 计 算 法 ，并 给 Ｓ Ｓ 出 了Ｍａｌｂ 境下 的仿 真验证 结果 。 ｔ 环 ａ
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package analysis method is adopted to decompose high frequency
摘
要
小波分析作为一种全新的信号处理方法，它将信号中各种不同的 频率成分分解到互不重叠的频带上，为信号滤波、信噪分离和特征提 取提供了有效途径。 因此， 本文在认真研究了小波分析基本理论之后， 将其应用到通信信号的去噪当中， 并通过实验予以仿真实现和结果分 析,取得了很好的消噪效果。另外，为了实现对高频部分 W (小波)空 间进行进一步分解，又引入了小波包分析方法，将其也应用于通信信 号去噪，同时在文中给出了仿真结果，并与小波去噪进行对比，得出 小波包去噪在分解高频部分较小波去噪的优势所在。
关
小ห้องสมุดไป่ตู้变换，小波包，去噪
键
词
ABSTRACT
As a new signal processing method, Wavelet analysis decomposed different kinds of frequency element to non-overlapped frequency bands and this method put forwards an effective way to signal filter, signal-noise separating and character picking-up. After serious study of wavelet analysis method, the paper applies it to communication signal de-noising and analyzes its simulink result. Result shows the de-noising effect is great. At last, wavelet
参考文献 ............................................ 22 附 谢 录 .......................................... 23 辞 .......................................... 27
(二) 小波降噪在通信信号中的应用及结果仿真 ........ 14 1. 单极性非归零码的小波降噪 .................. 14
四、 小波包应用于信号消噪处理 ...................... 15 (一) 小波包降噪的基本原理 ....................... 15 1. 2. 基本原理 .................................. 15 小波包降噪步骤 ............................ 16
目
摘
录
要 ........................................... 1
ABSTRACT ............................................. 1 一、 绪论 ........................................... 3 二、 小波及小波包分析的基本理论 ..................... 4 (一) 小波变换 .................................... 4 1. 2. 连续小波变换 ............................... 4 离散小波变换 ............................... 4
(二) 小波包降噪在通信信号中的应用及结果仿真 ...... 16 1. 单极性非归零码的小波包降噪 ................ 16
五、 小波与小波包降噪效果分析及比较 ................ 16 (一) 小波与小波包降噪效果分析 ................... 16 1. 2. 小波降噪效果分析 .......................... 17 小波包降噪效果分析 ........................ 17
(二) 小波及小波包降噪效果比较 ................... 17 1. 2. 3. 4. 5. 采用小波对单极性非归零码进行强制消噪处理 .. 17 采用小波包对单极性非归零码进行强制消噪处理 18 采用小波对 2FSK 进行强制消噪处理 ........... 18 采用小波包对 2FSK 进行消噪处理 ............. 19 总结分析 .................................. 19
(二) 多分辨率分析 ................................ 6 (三) 小波包分析 .................................. 7 1. 2. 3. 小波包的定义 ............................... 7 小波包的子空间分解 ......................... 8 最优小波包基的选择 ......................... 9
三、 小波分析应用于信号消噪处理 .................... 10 (一) 小波降噪的基本原理 ......................... 10 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 小波降噪的基本原理 ........................ 10 噪声在小波分解下的特性 .................... 10 小波降噪的步骤和方法 ...................... 11 小波阈值施加的方式 ........................ 12 小波阈值的估计 ............................ 12 小波阈值的选取规则 ........................ 13 小波基函数的选择 .......................... 13