粒子在电磁场中运动

现在如果我们简单的将A’,φ’代入薛定谔方程，当 然会得到一些破坏薛定鄂方程规范不变性的附加项。
第7章 电磁场中粒子的运动@ Quantum Mechanics
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为了消去这些项，只有让波函数也参与规范变换，但是 由于ψ*ψ有确定的物理意义，因此它和场强一样不会由 于变换而改变，唯一的可能是设
α 是 r, t 的任意适当的函数。
带入Schrödinger方程
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整理后可得
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令
薛定鄂方程具有规范不变性
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相应的能量本征值为
Larmor 频率
为屏蔽Coulomb场V(r) 中粒子的能量本征值。 屏蔽Coulomb场与纯Coulomb场有所不同，其能级与径 向量子数和角动量l有关，简并度为2l+1 (球对称性).
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Larmor频率
B的线性项表示电子的轨道磁矩与外磁场的相互作用，而 B2项则为反磁项。在Zeeman效应中，由于电子局限在原 子内部运动，在通常实验室所用磁场强度下，反磁项很 小，常忽略不计。 对自由粒子，或在极端环境下，如白矮星，中子星上， B2项就必须考虑。
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按照量子力学中的正则量子化程序，在坐标表象中，把 正则动量换成算符， 则电磁场中荷电q的粒子的Hamilton算符为
Schrödinger 方程为
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§2 正常Zeeman效应
原子中的电子，可近似看成在一个中心平均场中运动，能 级一般有简并。实验发现，如把原子置于强磁场中，原子 发出的每条光谱线都分裂为三条，此即正常Zeeman效应， 光谱线的分裂反映原子的简并能级发生分裂，即能级简并 被解除或部分解除。
在原子大小范围中，实验室里常用的磁场都可视为均匀磁
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流密度算符
速度算符
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2. 规范不变性
电磁场具有规范不变性，
E, B 均不变，其中 χ 是时间和空间的任意函数。经典牛 顿方程中，只出现E, B 因此是规范不变的。
可以证明Schrödinger方程在规范变换式下，只需波函数也 同时经受如下定域相位变换
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在原子中，x2+y2≈a2≈(10-8cm)2, 通常实验室中磁场强度 B<105Gs, 则有
最后一项可视为电子轨道磁矩
与外磁场相互作用。
外加均匀磁场中，原子系统球对称性被破坏，l不再为守恒 量。但l2及lz仍为守恒量。能量本征函数仍然可以选为（H, l2, lz,）的共同本征函数，即
第七章 电磁场中粒子的运动
教学内容
§1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量 §2 正常Zeeman效应 §3 Landau 能级
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§1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
考虑质量为μ, 荷电q的粒子在电磁场中的运动。 在经典力学中, 其Hamilton量为:
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一般说来，P和A不对易 但若利用库仑规范，
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讨论
1. 定域的概率守恒与流密度
取复共轭 （A, φ 为实，坐标表象中
ψ*×（1） - ψ × （2）
（1）
）
（2）
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场，记为B，不依赖于电子的坐标，于是，相应的矢势A
可写为:
不难验证
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取磁场方向为z轴方向，则
为计算简单起见，考虑碱金属原子。每个原子中只有一个 价电子，在原子核及内层满壳电子所产生的屏蔽Coulomb 场 V(r) 中运动. 价电子的Hamilton量可以表示为:
则Schrödinger方程形式上不变。
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Schrödinger方程具有规范不变性。容易证明，ρ， j, <v> 在规范变化下都不变。
经典力学中，矢势和标势进行规范变换后，场强不 变。如果物理现象仅仅决定于场强而不决定于势， 则这个规范不变性在量子理论中也必须成立。
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§3 Landau 能级
电子（质量为M, 电荷-e），均匀磁场B中运动。矢势取 为A=1/2 B×r，取磁场方向为z轴方向，
Hamilton量
讨论电子在xy平面中的运动，z方向，自由运动，平面波解。
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A为矢势， φ 为标势, P为正则动量。 理由如下：
正则方程 Newton 方程
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Lorentz 力
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证明：
在有磁场的情况下，带电粒子的 正则动量并不等于机械动量。
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加上外磁场后，球对称性被破坏，能级简并度被全部解除，
能量本征值和
均有关，原来的能级 分为2l+1条，
分裂后的相邻能级间距为
Байду номын сангаас
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光谱在外磁场中分裂的现象称为塞曼效应。 钠原子光谱黄线在强磁场中分裂为三条。 外磁场B愈强，则Zeeman分裂愈大。