高中数学奥林匹克训练题

第1页共10页高中数学高中数学奥林匹克训练题奥林匹克训练题第一试一、填空题1.若集合22{(,)|(20)(12),}P x y x y x Z y Z =−+−≤∈∈,则集合P 中的元素个数为____________.2.已知矩形ABCD 的顶点依次为(1,0)A −,(1,0)B ,(1,1)C ,(1,1)D −.若抛物线2y ax =平分矩形ABCD 的面积,则实数a 的值为______.3.在各边长均为整数的直角三角形中,斜边上的高也是整数的三角形的周长的最小值为______.4.在四面体ABCD 中,3,1==CD AB ,直线AB 与CD 的距离为2,夹角为°60,则四面体ABCD 的体积为____________.5.若直线134=+y x 与椭圆191622=+y x 相交于B A ,两点,则在该椭圆上满足PAB ∆的面积为3的点P 的个数为____________.6.若关于x 的方程sin cos 2x x m =+在[,]2ππ−内有两个不同实根,则m 的取值范围为____________.7.圆周上有100个等分点,以其中三个点为顶点的钝角三角形的个数为____________.8.若定义在],[b a 上的函数)(x f 满足:对任意的],[,21b a x x ∈,都有))()((21)2(2121x f x f x x f +≤+,则称函数)(x f 在],[b a 上具有性质P .如果已知函数)(x f 在]3,1[上具有性质P ,那么以下四个命题是真命题的有____________(写出相应命题的序号即可).①函数)(x f 在]3,1[上的图像是连续(不间断)的；②函数)(2x f 在]3,1[上具有性质P ；③若函数)(x f 在2=x 处取得最大值1,且1)1(=f ,则1)(=x f ,]3,1[∈x ；④对任意的]3,1[,,,4321∈x x x x ,都有不等式))()()()((41)4(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++成立.二、解答题9.已知F 是椭圆2222x y +=的左焦点,椭圆上的动点,A B 使得ABF ∆的内心总在直线1x =−上,求证:直线AB 过定点.10.数列}{n a 的前4项依次为⋯,5,8,9,1,且4+i a 是i i a a ++3的个位数字,求证:220002198621985|4a a a +++⋯.第2页共10页11.设函数)1ln(1)2()(2+−++++=x a x a x x f ,其中R a ∈.(1)已知曲线)(x f y =不经过第四象限,求实数a 的取值范围；(2)已知过坐标原点且与曲线)(x f y =相切的直线有且只有两条,求实数a 的取值范围.第二试一、已知直线,PB PC 分别是锐角ABC ∆外接圆的切线,点E 在线段PC 的延长线上,线段BE 交AC 于点D ,交AP 于点F ,且CE DE =,求证:BF DF =.二、已知p 为给定的奇素数,在数列{}n a 中,11a p=,12[]n n n a a a +=−(符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数),求证:存在实数t ,使得{}n a tn −为周期数列.三、设,,0a b c >,求证:()()()()25353533333a a a a a a a b c −+−+−+≥++.四、设123,,,,n a a a a ⋯是1,2,3,,n ⋯的一个排列,且对1,2,3,,k n =⋯都有122012k k k a a a ++++≤,其中规定11n a a +=,22n a a +=,求n 的最大值.第3页共10页高中数学高中数学奥林匹克训练题奥林匹克训练题第一试一、填空题1.若集合22{(,)|(20)(12),}P x y x y x Z y Z =−+−≤∈∈,则集合P 中的元素个数为____________.解析解析::由,x Z y Z ∈∈可知22(20)(12)x y k −+−=也一定是整数.当0k =时,元素(,)x y 有1个；当1k =时,元素(,)x y 有4个；当2k =时,元素(,)x y 有4个；当3k =时,无解；而4<,故,当4k ≥时,无解.综上可知,集合P 中的元素个数为9.2.已知矩形ABCD 的顶点依次为(1,0)A −,(1,0)B ,(1,1)C ,(1,1)D −.若抛物线2y ax =平分矩形ABCD 的面积,则实数a 的值为______.解析解析::由题意可得点E的坐标为(a,因此由抛物线、x 轴以及直线EF围成的封闭图形的面积为230)33a dx a a =⋅=.因此有132a a −=,解得169a =.3.在各边长均为整数的直角三角形中,斜边上的高也是整数的三角形的周长的最小值为______.解析解析::设直角三角形的三边长分别为2222,2,m n mn m n −+,其中(,)m n d =,且m n >,则由等面积法得斜边上的高22222()mn m n h m n −=+,令,m dx n dy ==,则(,)1x y =,222222()xy x y h d x y −=⋅+.故有22(2)1x y +=,,22()1xy x y +=,,2222()1x y x y −+=,,故222|x y d +.所以当2,1,5x y d ===时,h 为整数,此时的直角三角形周长取得最小值120.4.在四面体ABCD 中,3,1==CD AB ,直线AB 与CD 的距离为2,夹角为°60,则四面体ABCD 的体积为____________.解析解析::过点C 作CE 平行AB ,以CDE ∆为底面,BC 为侧棱作三棱柱ECD ABF −,则所求四面体ABCD 的体积V 为三棱柱ECD ABF −的体积'V 的三分之一.由于DCE CE CD S CDE ∠⋅⋅=∆sin 21,且直线AB 与CD 的距离MN 就是三棱柱ECD ABF −的高,因此232313221sin 21'=⋅⋅⋅⋅=∠⋅⋅⋅=DCE CE CD MN V .所以,21'31==V.第4页共10页5.若直线134=+y x 与椭圆191622=+y x 相交于B A ,两点,则在该椭圆上满足PAB ∆的面积为3的点P 的个数为____________.解析:设)sin 3,cos 4(ααQ 20(πα<<是椭圆上在第一象限内的一点.因为四边形OAQB 的面积:26)4sin(26cos 4321sin 3421≤+=⋅⋅+⋅⋅=+=+=∆∆∆∆παααOBQ OAQ QABOAB S S S S S ,所以由3626<−≤∆QAB S 可知,符合题意的点P 有且只有两个点.6.若关于x 的方程sin cos 2x x m =+在[,]2ππ−内有两个不同实根,则m 的取值范围为____________.解析:由sin cos 2x x m =+可得22sin sin 1x x m +−=.设sin t x =,则由[,]2x ππ∈−可知[1,1]t ∈−,但当[1,0){1}t ∈−∪时,x 与t 之间是一一对应的关系；当[0,1)t ∈时,两个x 值对应着一个t 值.xy0.5-0.5-1-1O1另外,由2()21f t t t =+−,[1,1]t ∈−可知:①当98m =−时,方程()f t m =有唯一实根14t =−,此时有唯一的x 符合题意.②当9(,1)8m ∈−−时,方程()f t m =有实根121,(,0)2t t ∈−,此时有两个不同的x 符合题意.③当1m =−时,方程()f t m =有实根121,02t t =−=,此时有三个不同的x 符合题意.④当(1,0)m ∈−时,方程()f t m =有实根1211(1,),(0,)22t t ∈−−∈,此时有三个不同的x 符合题意.⑤当0m =时,方程()f t m =有实根1211,2t t =−=,此时有三个不同的x 符合题意.⑥当(0,2)m ∈时,方程()f t m =有唯一实根1(,1)2t ∈,此时有两个不同的x 符合题意.⑦当2m =时,方程()f t m =有唯一实根1t =,此时有唯一的x 符合题意.综上可知,当918m −<<−或02m <<时,关于x 的方程sin cos 2x x m =+在[,]2ππ−内有两个不同的实数根.第5页共10页7.圆周上有100个等分点,以其中三个点为顶点的钝角三角形的个数为____________.解一解一::将100个等分点按顺时针方向依次记为10021,,,P P P ⋯.以1P 为一个顶点,沿顺时针方向在半圆周5032P P P ⋯内再任取两个点,由此三点组成的三角形必为钝角三角形,共249C 个.同理,以iP )100,,2,1(⋯=i 为一个顶点,沿顺时针方向在半圆周4921+++i i i P P P ⋯(规定:若100>k ,则100−=k k P P )内再任取两个点,由此三点组成的三角形必为钝角三角形,共249C 个.也就是说,对每一个点,对应的钝角三角形均有249C 个.所以,钝角三角形的个数为117600100249=C .解二解二::任取三点均可构成三角形,即三角形共有3100C 个；任意一条直径的两个端点以及另外任意一点均可构成直角三角形,共9850×个；任意一个锐角三角形,以其中两个顶点以及另一顶点关于圆心的对称点为顶点的三角形必为钝角三角形；同时,对任意一个钝角三角形,只有当钝角所在的顶点关于圆心的对称点与另两个顶点为顶点的三角形才是锐角三角形.即是说,钝角三角形的个数应当是锐角三角形个数的三倍.综上可知,钝角三角形的个数为117600)9850(433100=×−C .8.若定义在],[b a 上的函数)(x f 满足:对任意的],[,21b a x x ∈,都有))()((21)2(2121x f x f x x f +≤+,则称函数)(x f 在],[b a 上具有性质P .如果已知函数)(x f 在]3,1[上具有性质P ,那么以下四个命题是真命题的有____________(写出相应命题的序号即可).①函数)(x f 在]3,1[上的图像是连续(不间断)的；②函数)(2x f 在]3,1[上具有性质P ；③若函数)(x f 在2=x 处取得最大值1,且1)1(=f ,则1)(=x f ,]3,1[∈x ；④对任意的]3,1[,,,4321∈x x x x ,都有不等式))()()()((41)4(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++成立.解析:对于①,函数⎩⎨⎧≤<≤≤=32,321,1)(x x x f 就是一个反例；对于②,函数x x f −=)()31(≤≤x 就是一个反例；而对于③,④,则不难证明其正确性.故,本题答案应为③,④.二、解答题9.已知F 是椭圆2222x y +=的左焦点,椭圆上的动点,A B 使得ABF ∆的内心总在直线1x =−上,求证:直线AB 过定点.证明证明::由题意知直线AB 的斜率存在,故可设方程为x my n =+(0)m ≠,且1122(,),(,)A x y B x y ,则:由2222x my n x y =+⎧⎨+=⎩得222(2)220m y mny n +++−=.故12222mn y y m +=−+,212222n y y m −=+.第6页共10页因点F 的坐标为(1,0)−,且ABF ∆内心在直线1x =−上,故可得直线,AF BF 的斜率都存在,且和为0,即1212011y yx x +=++.又由1122(,),(,)A x y B x y 在直线x my n =+上得11x my n =+,22x my n =+.从而有12122(1)()0my y n y y +++=.再结合韦达定理可得2n =−.综上可知直线AB 过定点(2,0)−.10.数列}{n a 的前4项依次为⋯,5,8,9,1,且4+i a 是i i a a ++3的个位数字,求证:220002198621985|4a a a +++⋯.证明证明::当i a 为奇或偶时,分别记i b 为0,1,则得}{n b :⋯;1,1,1,0,0,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1;1,1,1,0,0,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1且i a 与i b 的奇偶性相同.由于数列}{n a ,}{n b 的定义及前面得到的新数列}{n b 的一些项,可见}{n b 是以15为周期的周期数列,即可得i i b b =+15,而)15(mod 52000,),15(mod 61986),15(mod 51985≡≡≡⋯,于是有051985==b b ,161986==b b ,…,052000==b b ,即在1985到2000的这16项中,奇数、偶数各有8项,由于偶数的平方能被4整除,奇数的平方被4除余1,由此命题得证.11.设函数)1ln(1)2()(2+−++++=x a x a x x f ,其中R a ∈.(1)已知曲线)(x f y =不经过第四象限,求实数a 的取值范围；(2)已知过坐标原点且与曲线)(x f y =相切的直线有且只有两条,求实数a 的取值范围.解:(1)原问题等价于:0)1ln(1)2(2≥+−++++x a x a x 对0>x 均成立,也即是11)1ln(−−++≥x x x a 对0>x 均成立.令11)1ln()(−−++=x x x x g ,则1)1()1ln(1)('2−++−=x x x g ,而由0>x 得0)('<x g ,故)(x g 递减.故1)0()(−=<g x g .所以,实数a 的取值范围为1−≥a .(2)设过坐标原点且与曲线)(x f y =相切的直线l 的切点为))(,(00x f x ,则由题意可得:)1ln(1)2()(00200+−++++=x a x a x x f ,11)2(2)('000+−++=x a x x f .从而,切线l 的方程为:)()()('000x f x x x f y +−⋅=,即:)1ln(111122(0002000+−++++−⋅+−++=x x x a x x x a x y .第7页共10页又由于切线l 过坐标原点,故有1)1ln(100020−+++−=x x x x a ,其中10−>x .设1)1ln(1)(2−+++−=x x x x x h ,1−>x ,则由)1(12(11)1(12)('22++⋅=+++−=x x x x x x h 可知:当)0,1(−∈x 时,0)('<x h ,)(x h 递减；当),0(+∞∈x 时,0)('>x h ,)(x h 递增.所以,函数)(x h 的最小值为1−,即当1−>a 时,方程a x h =)(有且只有两个不同实根,即过坐标原点且与曲线)(x f y =相切的直线有且只有两条.(事实上,可以说明:1)0())((min −==h x h ；且当0→x 时,+∞→)(x h ；当+∞→x 时,+∞→)(x h .即,当1−>a 时,方程a x h =)(有且只有两个不同实根,即过坐标原点且与曲线)(x f y =相切的直线有且只有两条.)第二试一、已知直线,PB PC 分别是锐角ABC ∆外接圆的切线,点E 在线段PC 的延长线上,线段BE 交AC 于点D ,交AP 于点F ,且CE DE =,求证:BF DF =.证明证明::由CE DE =可得ECD EDC ∠=∠,而EDC ACB CBD ∠=∠+∠,ECD ABC ABD CBD ∠=∠=∠+∠,故ACB ABD ∠=∠.又由180PBA PBC ABC ACB ∠=∠+∠=°−∠可得sin sin sin PBA ACB FBA ∠=∠=∠,由180PCA PCB ACB ABC ∠=∠+∠=°−∠可得sin sin sin PCA ABC FDA ∠=∠=∠.故可得sin sin sin sin sin sin sin sin PB PB PA PAB PCA FAB FDA PC PA PC PBA PAC FBA FAD ∠∠∠∠=⋅=⋅=⋅∠∠∠∠.又显然有PB PC =.所以有sin sin 1sin sin BF BF AF FAB FDADF AF DF FBA FAD∠∠=⋅=⋅=∠∠,即BF DF =.第8页共10页二、已知p 为给定的奇素数,在数列{}n a 中,11a p=,12[]n n n a a a +=−(符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数),求证:存在实数t ,使得{}n a tn −为周期数列.证明证明::设[]n n n a a a <>=−,则121p d a a a −=<>+<>++<>⋯为定值.∵12[][]n n n n n n n n a a a a a a a a +=−=+−=+<>,∴12n n n n a a a a +<>=<+<>>=<>,从而可得12n n a p−<>=<>.∵p 为给定的奇素数,∴由费尔马小定理可得121p −≡(mod )p ,故1|(21)p p −−.设(1)n k p r =−+,,k N r N ∈∈,且01r p ≤<−,则有:(1)111112(2)1222k p r p k r r r n r a a p p p p−+−−−−−−<>=<>=<⋅+>=<>=<>.∴111221()()()n p n n p n p n p n p n n a a a a a a a a ++++−+−+−++−=−+−++−⋯121n p n p n a a a +−+−+=<>+<>++<>⋯11121r r p p r a a a a a a −−−+=<>+<>++<>+<>+<>++<>⋯⋯121p a a a d −=<>+<>++<>=⋯.∴11(())((1))()(1)0111n p n n p n d d da n p a n a a p p p p ++++−⋅+−−⋅+=−−⋅−=−−−.∴存在实数21122()11p d t p p p p p−==⋅<>+<>++<>−−⋯,使得{}n a tn −为周期数列.三、设,,0a b c >,求证:()()()()25353533333a a a a a a a b c −+−+−+≥++.证明:因为()()()()()25322321110,a a a a a a a −+−+=−+++≥所以53232a a a −+≥+．同理,再得二式,三式叠乘,得()()()()()()535353222333222a a a a a a a b c −+−+−+≥+++．于是,只要证明不等式()()()()22222223.a b c a b c +++≥++成立即可．事实上,由均值不等式,得第9页共10页()()22222222224bc b c b c ++=+++()()()()()222222222311322323231,2b c b c b c b c bc bc b c =++++++≥++++⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦故,()()()22222312b c b c ⎡⎤+++≥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦．(*)由柯西不等式,得()()()22221212b c a b c a a ⎡⎤+⎛++=⋅+≤++⎢⎥⎜⎝⎢⎥⎣⎦，即()()()222212b c a a b c ⎡⎤+++≥++⎢⎢⎥⎣⎦．(**)于是,由不等式（*）和（**）,便得()()()()()()2222222223213.2b c a b c a a b c ⎡⎤++++≥++≥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦四、设123,,,,n a a a a ⋯是1,2,3,,n ⋯的一个排列,且对1,2,3,,k n =⋯都有122012k k k a a a ++++≤,其中规定11n a a +=,22n a a +=,求n 的最大值.解析解析::第一步:通过整体估计n 的范围令12k k k k b a a a ++=++,则1232012n b b b b n ++++≤⋅⋯,另一方面,由于有12312323434512()()()()n n b b b b a a a a a a a a a a a a ++++=++++++++++++⋯⋯12333()3(123)(1)2n a a a a n n n =++++=++++=+⋯⋯.因此由3(1)20122n n n +≤可得40213n ≤,故1340n ≤.第二步:说明n 不能为1340①若1340n =,则12331340134167040232n b b b b ++++=××=×⋯.②在12,,,n b b b ⋯中至少有一个为2012,否则12134020116704023n b b b +++≤×<×⋯.于是不妨设122012k k k k b a a a ++=++=,则1123122012k k k k k k k b a a a a a a ++++++=++≠++=,同理12012k b −≠.也就是说,在12,,,n b b b ⋯中2012的个数不会超过[]2n .第10页共10页③下面说明在12,,,n b b b ⋯中至少有一个小于2011.若2012k b =,则12011k b +=,否则结论已成立.故31k k a a +=−.由21k k b b ++≠得22012k b +=,否则结论已成立.故411k k a a ++=+.同理,521k k a a ++=−,且631k k a a ++=+.但由31k k a a +=−可得6=k k a a +,这与题意中的6k k a a +≠相矛盾.故必有62k k a a +≤−,从而4456121122010k k k k k k k b a a a a a a ++++++=++≤++−+−=.故在12,,,n b b b ⋯中至少有一个小于2011.由②,③可知12[2012([]1)201120102011[]1222n n n n b b b n n +++≤⋅+−−⋅+=+−⋯.因此,假设1340n =,则有1213402011670167040231n b b b +++≤×+−=×−⋯与①矛盾！所以,1340n ≠.第三步:通过构造说明n 能取到1339当1339n =时,如下给出121339,,,a a a ⋯:前669个数为21,671,1340i i i −−−(1,2,,223)i =⋯；第670个数为447；后669个数为4482,670,893j j j −++(1,2,,223)j =⋯.经验证,符合题意.综上可知n 的最大值为1339.陕西师大附中王全710061wangquan1978@。