高中数学奥林匹克训练题及答案
数学奥林匹克高中训练题(10)及答案
数学奥林匹克高中训练题（10）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题15)正方体表面正方形的对角线中存在异面直线，如果其中两条异面直线距离是1，那么，正方形的体积(C)． (A) 1 (B) 33 (C) 1 或33 (D) 33 或232．(训练题15)设有长度为12345,,,,a a a a a 的五条线段，其中任何三条线段都能组成一个三角形，共组成了10个三角形，这些三角形中(A)．(A) 必有一个锐角三角形 (B) 必有一个直角三角形(C) 不可能有锐角三角形 (D) 是否存在锐角三角形与已知线段长有关3．(训练题15)在锐角ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠为其内角，设cot 2cot 2cot 2T A B C =++，则一定有(C)．(A) 0T > (B) 0T ≥ (C) 0T < (D) 0T ≤4．(训练题15)C 为复数集，设18{|1,}A z z z C ==∈，18{|1,}B C ωωω==∈，{|,}D z z A B ωω=∈∈．则D 中的元素的个数为(D)个．(A)864 (B)432 (C) 288 (D) 1445．(训练题15)已知正数,,a b c ，满足1995ab bc cd ++=，则c ab +a bc +bca 的最小值为(B)． (A) 1995 (B) 3665 (C) 2665 (D) 6656．(训练题15)已知函数()f x 在(0,)+∞上有定义且为增函数，并满足1()(())1f x f f x x+=．则(1)f =(D)． (A)1 (B)0 (C)251+ (D) 251- 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题15)已知抛物线方程(0)2x y h h =-+>，点(2,4)P 在抛物线上，直线AB 在y 轴上的截距大于0，且与抛物线交于,A B 两点，直线PA 与PB 的倾斜角互补，则PAB ∆的面积的最大值是9． 2．(训练题15)设p 是一个素数，4p 的各正约数之和是一个完全平方数，则p = 3p = ．3．(训练题15)方程cos(1)cos(2)cos(3)0a x b x c x +++++=在开区间(0,)π内至少有两个根，则此方程的所有根为 一切实数 ．4．(训练题15)设12,x x 是实系数方程2240x kx ++=的两个非零实根，且满足221221()()7x x x x +>，则k 取值范围是k k ><5．(训练题15)设多项式()p x 的次数不超过3次，且(0)1,(3)0,(2)(2)p p p x p x ==+=-．若()p x 的首项系数为负数，则()p x = 1(1)(2)(3)6x x x ---- ．6．(训练题15)在一次网球比赛中，n 个女子和2n 个男子参加，并且每个选手与其他所有选手恰好比赛一次，如果没有平局，女子胜的局数与男子胜的局数之比7：5，则n = 3 ．第二试 一、(训练题15)(本题满分25分)求所有的a 的值，(,)22a ππ∈-，使方程组1arcsin(sin )1tan ()10y x y x απ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 在110x π≥的条件下恰有10个解． 二、(训练题15)(本题满分25分)已知,A n 均为自然数，其中21,n A n ><，且2|[]1n n A+．求A 的值． 三、(训练题15)(本题满分35分) 某厂第一天产品不超过a 件，以后每天日产量都有所增加，但每日增产数量也不超过a 件，且设,0b aq r r a =+≤≤，证明，当日产量达到b 件时，工厂生产产品总数不少于2)2)(1(r qa q ++件． 四、(训练题15)(本题满分35分) 平面上有n 个点，其中每两个点之间的连线均染成红色或黑色，若图中总存在两个没有公共边的同色三角形，求n 的最小值．。
全国高中数学奥林匹克竞赛试题
全国高中数学奥林匹克竞赛试题一、设集合A为所有满足条件“能被3整除且末位数字为7”的正整数的集合，集合B为所有满足条件“能被7整除且末位数字为3”的正整数的集合。
则集合A和B的交集：A. 只含有一个元素B. 含有有限个元素C. 含有无限多个元素D. 为空集（答案）C二、在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a + 2b = 3c，且sin A : sinB : sinC = 3 : 4 : 5，则cos C的值为：A. 1/5B. -1/5C. 3/5D. -3/5（答案）B三、已知函数f(x) = ax3 + bx2 + cx + d的图像经过点(0,1)，且在x=1处取得极值，在x=-1处取得最值。
则a+b+c的值为：A. -1B. 0C. 1D. 2（答案）D四、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = -23，且S10 = S14，则S20的值为：A. -110B. -90C. -70D. -50（答案）C五、已知椭圆C的方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a > b > 0)，其左焦点为F，过F作直线l 交椭圆C于A、B两点。
若|AF| = 3|FB|，且cos∠BFA = -5/13，则椭圆C的离心率为：A. √2/2B. √3/2C. 2√2/3D. √5/3（答案）A六、设函数f(x) = ex - ax - 1，若存在唯一的实数x0，使得f(x0) = 0，则实数a的取值范围为：A. a < 0B. 0 < a < 1C. a > 1D. a = 1（答案）C七、已知向量a = (1,2)，b = (2,m)，若a与b的夹角为锐角，则m的取值范围是：A. m > -1 且 m ≠ 4B. m > 4C. m ≠ 4D. -1 < m < 4（答案）A八、设函数f(x) = ln(x + 1) - x2/2，若对所有的x ∈ [0, +∞)，都有f(x) ≤ ax + b ≤ x2/2 + ln(x + 1)成立，则a + b的最大值为：A. -1B. 0C. 1/2D. 1（答案）B。
数学奥林匹克高中训练题()及答案
1 / 3 数学奥林匹克高中训练题（57）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题57)若()f x 是R 上的减函数，且()f x 图像经过点(0,3)A 和点(3,1)B -，则不等式(1)12f x +-<的解集为(D)．(A)(,3)-∞ (B)(,2)-∞ (C)(0,3) (D) (1,2)-2．(训练题57)若函数2()sin 2(2)cos 2f x a x a x =+-的图像关于直线8x π=-对称，则a 的值等于(C)．(B)1或1- (C)1或2- (D)1-或2 3．(训练题57)设椭圆的方程为221,(0,1)3x y A +=-为短轴的一个端点，,M N 为椭圆上相异两点，若总存在以MN 为底边的等腰AMN ∆，则直线MN 的斜率k 的取值范围是(C)．(A)(1,0]- (B)[0,1] (C)(1,1)- (D)[1,1]-4．(训练题57)()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的x 满足(1)()f x f x +=-．已知当(2,3]x ∈时，()f x x =．那么，当(2,0]x ∈-时，()f x 的表达式为(C)．(A)()4f x x =+ (B)4,(2,1]()2,(1,0]x x f x x x +∈--⎧=⎨-+∈-⎩(C)4,(2,1]()3,(1,0]x x f x x x +∈--⎧=⎨--∈-⎩ (D)1,(2,1]()3,(1,0]x x f x x x --∈--⎧=⎨--∈-⎩ 5．(训练题57)已知1111ABCD A BC D -是边长为１的正方体，P 为线段1AB 上的动点，Q 为底面ABCD 上动点．则1PC PQ +的最小值为(A)．(A)12+(C)2(D)12 6．(训练题57)已知在数列{}n a 中，11,n a S =为前n 项的和，且满足2(1,2,)n n S n a n ==．则n a 的表达式为(D)．2 /3 (A)1(2)2n n ≥+ (B)1(3)(1)n n n ≥- (C)1(4)2(1)n n ≥+ (D)2(1)n n + 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．(训练题57)在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，且13AD BC =．则AC AB AB AC +2．(训练题57)已知函数1a x y x a -=--的反函数图像关于点(1,4)-成中心对称．则实数a 的值 3． 3．(训练题57)集合11{|(1)},{|}22A x a xB x x =+=-<，当A B ⊆时，a 的取值范4．(训练题57)已知线段//AD 平面α，且到平面α的距离等于８，点B 是平面α内的一动点，且满足10AB =．若21AD =，则点D 与B 距离的最小值为 17 ．5．(训练题57)已知多项式21x x --整除多项式541ax bx ++．则实数a = 3 ，b5-．6．(训练题57)设[2002]S =++++，其中表示不超过的最大整数.则值等于 242 ．三、(训练题57)(本题满分20分)已知ABC ∆的三内角平分线分别为111,,AA BB CC ．若向量111,,AA BB CC 满足关系1110AA BB CC ++=，试证：ABC ∆为正三角形．四、(训练题57)(本题满分20分)已知数列{},n n a S 表示其前n 项和．若满足关系231n n S a n n +=+-，求数列{}n a 的通项公式n a 的表达式．(122n na n =-) 五、(训练题57)(本题满分20分)已知椭圆的半长轴为a ，半短轴为b ，短轴的一个端点为O ，,P Q 为椭圆上异于点O 的任意两点，OP OQ ⊥．若点O 在线段PQ 上的身影为M ，试求点M 的轨迹．第二试一、(训练题57)(本题满分50分)如图，已知在Rt ABC ∆中，,90,o AC BC C O >∠=为斜边AB 的中点，CH 为斜边AB 上的高，延长CH 到D ，使得,CH DH F =为中线CO 上任意一点，过B 作BE AF ⊥的延长线于E ，连结DE 交BC 于G ．求证：CF GF =．A GEF H O DC B3 / 3 二、(训练题57)(本题满分50分)设0x >．求函数1()[][][][]1x x f x x x x x +=+++的值域．其中[]x 表示不超过x 的最大整数．三、(训练题57)(本题满分50分)圆周上分布着2002个点，现将它们任意地染成白色或黑色，如果从某一点开始，依任一方向绕圆周运动到任一点，所经过的（包括该点本身白点总数恒大于黑点总数，则称该点为好点．为确保圆周上至少有一个好点．试求所染黑点数目的最大值．。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
数学奥林匹克高中训练题(22)及答案
数学奥林匹克高中训练题（22）第一试一、选择题（本题满分36分；每小题6分）1．(训练题27) 方程1lgsin cos x x -=的实根个数是(A)．(A) 0 (B)1 (C)2 (D) 大于22．(训练题27)22221x y a b+=的切线交x 轴于A 、交y 轴于B ；则AB 的最小值为 (B)．(A)a b + (C)ab 2(D)3．(训练题27)在ABC ∆中；lg tan lg tan 2lg tan A C B +=．则B ∠的范围是(B)． (A)03B π<∠≤ (B)32B ππ≤∠< (C)06B π<∠≤ (D)62B ππ≤∠<4．(训练题27)设{1,0,1},{2,1,0,1,2}X Y =-=--；且对X 的所有元素x ；有()x f x +均为偶数．则从X 到Y 的映射f 的个数是(C)．(A)7 (B)10 (C)12 (D)155．(训练题27)复数1234,,,z z z z 满足12341z z z z ====；且12340z z z z +++=．则以四个复数对应的点为顶点的四边形一定是(D)．(A) 梯形 (B) 正方形 (C) 平行四边形 (D) 矩形6．(训练题27)一只猴子在一架共有n 级的梯子上爬上爬下；它每次或者上升16级；或者下降9级．如果它能从地面爬到最顶上一级；然后又回到地面则n 的最小值是(C)．(A)22 (B)23 (C)24 (D) 大于24二、填空题（本题满分54分；每小题9分）1．(训练题3(1)n +=- 1 ．2．(训练题27)设,m n N ∈；且m n >；集合{1,2,3,,},{1,2,3,,}A m B n ==；又C A ⊂．则满足B C φ≠的C 的个数是 2(21)m n n -- ． 3．(训练题27)如图；ABCD 是正方形；E 是AB 的中点；如将DAE ∆和CBE∆分别沿虚线DE 和CE 折起；使AE和BE 重合；记A 与B 重合后的点为P ；则面PCD 与面ECD 所成的二面角为 30o ．4．(训练题27)设M 为所有满足12x a a -<+的整数x 的集合；N 为所有满足2()x a a N <∈的整数的总和等于 (21)a a - ． 5．(训练题27)在不透明的正方体的每一个面上都写着一个自然数；如果正方体的几个(一个、两个或三个)面可以同时看见；则求出这几个面上的数之和．用这种方法最多能够的到 26 个不同的数．6．(训练题27)设正整数列1234,,,a a a a 是等比数列；其公比r 不是整数而且1r >．这样的数列中4a 可取到最小值是 27 ．三、(训练题27)(本题满分20分)三棱锥S ABC -的底面是正ABC ∆；这个三角形的边长为4．又已知AS BS ==3CS =．求这个三棱锥的外接球的表面积．26811π 四、(训练题27)(本题满分20分)函数()(1,2,3,)n f x n =定义如下：21()4()(01)f x x x x =-≤≤；11()(())(1,2,3,)n n f x f f x n +==．设在[0,1]上使()n f x 取最大值的x 的个数为n a ；取最小值的x 的个数为n b ．试把n a 和n b 用n 表示；并用数学归纳法证明．五、(训练题27)(本题满分20分) 设22{|,}mn S m n N m n =∈+．求证：如果,x y S ∈；且x y <；那么一定存在z S ∈；使得x z y <<．第二试一、(训练题27)(本题满分50分)设ABCD 是圆内接四边形；,A B ∠∠的角平分线交于E ；过E 作平行于CD 的直线；与AD 交于L ；与BC 交于M ．求证：AL BM LM +=．二、(训练题27)(本题满分50分)已知两条对称轴互相平行的抛物线1L 和2L ；它们相交于两点0A 和0B ；在1L 上任取2n 个点122,,,n A A A ；在2L 上取这样2n 个点122,,,n B B B ；使01011212//,//,A A B B A A B B 212212,//n n n n A A B B --．求证：2020//n n A B B A ．三、(训练题27)(本题满分50分)证明：对任意的,2n N n ∈≥；都存在n 个互不相等的自然数组成的集合M ；使得对任意的a M ∈和b M ∈；a b -都可以整除a b +．。
高中奥林匹克试题及答案
高中奥林匹克试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，下列关于该函数的描述中，正确的是：A. 函数是奇函数B. 函数的对称轴为x = 2C. 函数的顶点坐标为(1, 0)D. 函数在(-∞, 1)上单调递减答案：D2. 若a, b, c是等差数列，且a + c = 2b，则下列等式中一定成立的是：A. a^2 + c^2 = 2b^2B. a^2 + c^2 = 4b^2C. a^2 + c^2 = b^2D. a^2 + c^2 = 6b^2答案：A3. 对于任意实数x，不等式x^2 - 6x + 8 ≥ 0的解集是：A. (-∞, 2] ∪ [4, +∞)B. (-∞, 4] ∪ [2, +∞)C. (-∞, 4] ∪ [2, +∞)D. (-∞, 2) ∪ (4, +∞)答案：A4. 若复数z满足|z - 1| = |z + i|，则z对应的点位于：A. 虚轴上B. 实轴上C. 直线y = x上D. 直线y = -x上5. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且a^2 + b^2 = c^2，下列关于三角形ABC的描述中，正确的是：A. 三角形ABC是锐角三角形B. 三角形ABC是直角三角形C. 三角形ABC是钝角三角形D. 三角形ABC是等腰三角形答案：B6. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间[0, 2]上单调递减，则实数k的取值范围是：A. k ≥ 2B. k ≤ 2C. k ≥ 1D. k ≤ 17. 已知集合A = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，B = {x | x^2 - 4x + 3 = 0}，则A∩B等于：A. {1, 2}B. {2, 3}C. {1, 3}D. {2}答案：D8. 若直线y = kx + b与椭圆x^2/4 + y^2/3 = 1有公共点，则实数k的取值范围是：A. -√3/2 ≤ k ≤ √3/2B. -2 ≤ k ≤ 2C. -√3 ≤ k ≤ √3D. -√6/3 ≤ k ≤ √6/3答案：D9. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(1) = 3，f(-1) = 1，则2a + b的值为：A. 0B. 2C. 4D. -2答案：B10. 若双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的一条渐近线方程为y =(√3/3)x，则双曲线的离心率为：A. √3B. 2C. 3D. √6答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，其前n项和Sn = 3^n - 1，则a_5的值为______。
2023年全国中学生数学奥林匹克暨2023年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)试题及参考答案
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）试题（含参考答案）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 设复数910i z （i 为虚数单位），若正整数n 满足2023n z ，则n 的最大值为 ． 答案：2．解：22910181nnnnz z．因21812023z ，而当3n 时，181132023nn n z，故n 的最大值为2．2. 若正实数,a b 满足lg 2b a ，lg lg 5a b a b ，则lg ()ab ab 的值为 ． 答案：20．解：因为lg lg lg lg 102a a b b b a ，所以lg lg lg lg lg lg lg ()()()52220ab a b a b b a ab ab a b a b ．3. 将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为,,x y z ，则事件“777C C C x y z”发生的概率为 ． 答案：127．解：由于162534777777C C C C C C ，因此当,,{1,2,3,4,5,6}x y z 时，事件“777C C C x y z”发生当且仅当“{1,6},{2,5},{3,4}x y z ”成立，相应的概率为321627． 4. 若平面上非零向量,, 满足 ，2|| ，3|| ，则||的最小值为 ．答案：23．解：由 ，不妨设(,0),(0,)a b ，其中,0a b ，并设(,)x y，则由2||得2by a ，由3|| 得3ax b ．所以2232||2223b ax y xy a b． 取3,2a b ，此时6x y ，||取到最小值23．5. 方程sin cos2x x 的最小的20个正实数解之和为 ． 答案：130 ．解：将2cos212sin x x 代入方程，整理得(2sin 1)(sin 1)0x x ，解得532,2,2()662Z x k k k k．上述解亦可写成2()36Z k x k，其中0,1,,19k 对应最小的20个正实数解，它们的和为192219202013036326k k． 6. 设,,a b c 为正数，a b ．若,a b 为一元二次方程20ax bx c 的两个根，且,,a b c 是一个三角形的三边长，则a b c 的取值范围是 ．答案：7,518． 解：由条件知2222()()()ax bx c a x a x b ax a ab x a b ，比较系数得22,b a ab c a b ，故24,11a a b c a a，从而 24231a a a b c a a a a a ．由于201a a b a，故112a ．此时显然0b c ．因此，,,a b c 是一个三角形的三边长当且仅当a c b ，即4211a a a a a，即2(1)0a a a ，结合112a ，解得15122a ．令23()f x x x x ，则()a b c f a ．显然当0x 时()f x 连续且严格递增，故a b c 的取值范围是151,22f f，即7,518 ． 7. 平面直角坐标系xOy 中，已知圆 与x 轴、y 轴均相切，圆心在椭圆2222:1(0)x y a b a b内，且 与 有唯一的公共点(8,9)．则 的焦距为 ．答案：10．解：根据条件，可设圆心为(,)P r r ，则有222(8)(9)r r r ，解得5r 或29r ．因为P 在 内，故5r ．椭圆 在点(8,9)A 处的切线为2289:1x y l a b ，其法向量可取为2289,n a b． 由条件，l 也是圆 的切线，故n 与PA 平行，而(3,4)PA ，所以223227a b．又2264811a b ，解得22160,135a b ．从而 的焦距为22210a b ．8. 八张标有,,,,,,,A B C D E F G H 的正方形卡片构成下图．现逐一取走这些卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例如可按,,,,,,,D A B E C F G H 的次序取走卡片，但不可按,,,,,,,D B A E C F G H 的次序取走卡片），则取走这八张卡片的不同次序的数目为 ．AB C D EFGH答案：392．解：如左下图重新标记原图中的八张卡片．现将每张卡片视为顶点，有公共边的两张卡片所对应的顶点之间连一条边，得到一个八阶图，该图可视为右下图中的2m n 阶图(,)G m n 在3,3m n 时的特殊情况．231-3-20P-1 G (m , n )Pn...210-1-2-m ...取卡片（顶点）的规则可解释为：(i) 若顶点P 已取走，则以下每步取当前标号最小或最大的顶点，直至取完； (ii) 若顶点P 未取走，则必为某个(,)(,0)G m n m n 的情形，此时若0m ，则将P 视为1 号顶点，归结为(i)的情形；若0,0m n ，则将P 视为1号顶点，归结为(i)的情形；若,1m n ，则当前可取P 或m 号顶点或n 号顶点，分别归结为(i)或(1,)G m n 或(,1)G m n 的情形．设(,)G m n 的符合要求的顶点选取次序数为(,)f m n ，本题所求即为(3,3)f ．由(i)、(ii)知1(,0)2(0)m f m m ，1(0,)2(0)n f n n ，且(,)2(1,)(,1)(,1)m n f m n f m n f m n m n ．由此可依次计算得(1,1)12f ，(1,2)(2,1)28f f ，(1,3)(3,1)60f f ，(2,2)72f ，(2,3)(3,2)164f f ，(3,3)392f ，即所求数目为392．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:4y x ，F 为 的焦点，,A B 为 上的两个不重合的动点，使得线段AB 的一个三等分点P 位于线段OF 上（含端点），记Q 为线段AB 的另一个三等分点．求点Q 的轨迹方程．解：设1122(,),(,)A x y B x y ．不妨设AP PQ QB ，则121222,33x x y y P． 易知(1,0)F ．由于点P 位于线段OF 上，故122[0,1]3x x ，12203y y ． ……………4分可设12,2y t y t ，则2212,4t x x t ．此时有2122[0,1]32x x t ，且由,A B 不重合知0t ，所以2(0,2]t ． ……………8分设(,)Q Q Q x y ，则21212232,343Q Q x x y y x t y t，有243Q Q y x ． 注意到2330,42Q x t ，故点Q 的轨迹方程为243(0)32y x x ．……………16分10.（本题满分20分）已知三棱柱111:ABC A B C 的9条棱长均相等．记底面ABC 所在平面为 ．若 的另外四个面（即面111111111,,,A B C ABB A ACC A BCC B ）在 上投影的面积从小到大重排后依次为23,33,43,53，求 的体积．解：设点111,,A B C 在平面 上的投影分别为,,D E F ，则面11111,,A B C ABB A 1111,ACC A BCC B 在 上的投影面积分别为,,,DEF ABED ACFD BCFE S S S S ．由已知及三棱柱的性质，DEF 为正三角形，且,,ABED ACFD BCFE 均为平行四边形．由对称性，仅需考虑点D 位于BAC 内的情形（如图所示）． 显然此时有ABED ACFD BCFE S S S ． ……………5分XFEB DCA由于,,,23,33,43,53DEF ABED ACFD BCFE S S S S ，故,ABED ACFD S S 必为23,33的排列，53BCFE S ，进而43DEF S ，得DEF 的边长为4，即正三棱柱 的各棱长均为4． ……………10分不妨设23,33ABED ACFD S S ，则333,2ABD ACD S S ．取射线AD 与线段BC 的交点X ，则23ABD ACD BX S CX S ，故85BX ．因此2242cos60195AX AB BX AB BX ， 而58ABD ACD ABC AD S S AX S ，故192AD． ……………15分 于是 的高221352h AA AD． 又43ABC S ，故 的体积615ABC V S h ． ……………20分11.（本题满分20分）求出所有满足下面要求的不小于1的实数t ：对任意,[1,]a b t ，总存在,[1,]c d t ，使得()()1a c b d ．解：记[1,]t I t ，()()S a c b d ．假如2t ，则当a b t 时，对任意,t c d I ，均有2(1)1S t ，不满足要求．假如312t，则当1,2a b t 时，对任意,t c d I ，均有 21a c t ，12t b d ．若,a c b d 同正或同负，则2(1)1S t ，其余情况下总有01S ，不满足要求． ……………5分以下考虑322t 的情形．为便于讨论，先指出如下引理．引理：若1,2u v ，且52u v ，则1uv ．事实上，当32u v 时，22225312244u v u v uv ． 当32u v 时，1131222uv ．引理得证． 下证对任意,t a b I ，可取11,t c d I ，使得111()()1S a c b d ．① 若12a b ，则取111c d ，此时1(1)(1)(1)(1)S a b a b ，其中31311,12222a b b a ，且5(1)(1)2()2a b a b ，故由引理知11S ．若12a b ，则取1132t c d I ，此时13322S a b， 其中331,222a b ，且3353222a b a b ，故由引理知11S ． ……………15分 注意到，当,t a b I 时，可取2t c I ，使得21a c （例如，当[1,1]a 时取20c ，当(1,]a t 时取21c ），同理，可取2t d I ，使得21b d ．此时22222()()1S a c b d a c b d ．②根据①、②，存在一个介于12,c c 之间的实数c ，及一个介于12,d d 之间的实数d ，使得()()1a c b d ，满足要求．综上，实数t 满足要求当且仅当322t ． ……………20分。
2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)
2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。
2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。
3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。
4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。
5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。
6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。
7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。
8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。
9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。
10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（ ，A 为C 的圆心。
直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。
则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。
数学奥林匹克高中训练题(26)及答案
数学奥林匹克高中训练题（26）第一试一、选择题（本题满分36分：每小题6分）1．(训练题59)已知,x y 是两个不等的正数：则2x yA +=：2x y B +=：211C x y=+的大小顺序是(C)．(A)A B C >> (B)A C B >> (C)B A C >> (D)B C A >> 2．(训练题59)函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域：对定义域中任何x ：有()()0f x f x +-=：()()1g x g x -=：且当0x ≠时：()1g x ≠：则2()()()()1f x F x f xg x =+-是(B)．(A)奇函数 (B)偶函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数 3．(训练题59)已知,a b 为非零常数：若sin cos M a b θθ=+：arctan )bN aθ=+：则对任意的θ(C)．(A)M N = (B)M N ≠ (C)仅当0a >时：M N = (D)仅当0b >时M N = 4．(训练题59)如图1：在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中：点E 、F 分别是面11BB C C 和ABCD 的中心：则异面直线EF 与11AC 的距离为(C)．(A)2a (B)a 22 (C)a 33 (D)a 465．(训练题59)已知周期数列{}n x 满足12(3)n n n x x x n --=-≥：若121,0x x a ==≥：则当该数列的周期最小时：数列的前2002项的和是(B)．(A)2002 (B)1335 (C)1949 (D)14286．(训练题59)设点12,F F 分别为椭圆22221x y a b +=的左右两焦点：l 为右准线：若在椭圆上存在点M ：使12,MF MF ：点M 到l 的距离d 成等比数列：则椭圆离心率e 的取值范围是(A)．(A)1,1)(B)1](C)(D) ABCD FEA 1B 1C 1D 1二、填空题（本题满分54分：每小题9分）1．(训练题59)已知复数12,z z ：满足12121,2,32z z z z ==-=+：则122z z +=937-+ ． 2．(训练题59)已知220,(4)4x x y ≥+-≤：设22222x y w x y ++=+：则w 的取值范围是522w ≤≤ ．3．(训练题59)已知在三棱锥S ABC -中：底面三角形每个顶点处的三个面角和均为180o：底面三角形三边分别是3、2和5：则该三棱锥的体积是． 4．(训练题59)设12()1f x x =+：定义11()[()]n n f x f f x +=：且(0)1(0)2n n n f a f -=+：则100a = 10112- ． 5．(训练题59)已知焦点在x 轴上的椭圆2212x ky +=：点,A B 是过原点的直线与椭圆的两个交点：若数k 使得在椭圆上还存在另一点C ：使ABC ∆为正三角形：则对所有这样的k ：ABC ∆的面积最大值是． 6．(训练题59)已知方程组22150x y a b x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩：有且仅有整数解：则满足题意的实数对(,)a b 的个数是 60 ．三、(训练题59)(本题满分20分)已知i a R +∈：且1,1,2,,1i i a a i n +≥=-：求证：12122312n n a a a na a a a a a +++≥+++．四、(训练题59)(本题满分20分)给定空间不共面的n 个点(4)n ≥．试问：是否一定存在这样一个平面：仅过这n 个点的其中三个？并请证明你的结论．五、(训练题59)(本题满分20分)如果在一条平面曲线上存在四点：使得这四点构成的图形是一个菱形：则称该曲线存在内接菱形．现已知双曲线22122:1x y c a b -=：双曲线22222:1x y c b a -=：其中,0,0a b a b ≠>>．证明：在双曲线1c 与2c 中有且仅有一条存在内接菱形．第二试一、(训练题59)(本题满分50分)如图2：点,P Q 是ABC ∆的外接圆上（异于,,A B C ）的两点：点P 关于直线,,BC CA AB 的对称点分别是,,U V W ：连线,,QU QV QW 分别与直线,,BC CA AB 交于,,D E F ：求证：（1）,,U V W 三点共线：（2）,,D E F 三点共线．二、(训练题59)(本题满分50分)已知0(1,2,,),2i x i n n ≥=≥：且21121ni k j i k j nkx x x j =≤≤≤+=∑∑：试求1nii x =∑的最大值和最小值．三、(训练题59)(本题满分50分)已知12(,,,)n a a a 是自然数1,2,,n 的一个排列：且满足：对任意11i n ≤≤-：均有11i i a i a i ++≤++．(1)若记i x 为数(1)i i n ≤≤在排列中所处位置的序号（如排列(1,3,4,2)中：12341,4,2,3x x x x ====）．求证：对每一个满足题意的排列12(,,,)n a a a ：均有11i i x i x i ++≤++(11)i n ≤≤-成立．(2)试求满足题意的排列的个数()n A ．。
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数学奥林匹克高中训练题（01）第一试一、选择题（本题满分30分，每小题6分） 1．(训练题06)设211)(xx x f +=，对任意自然数n ，定义))(()(11x f f x f n n =+，则)(1993x f 的解析式为(C)．(A)211993xx + (B)21993xx + (D)2199311993xx +2．(训练题06)若1532>==zy x ，则z y x 5,3,2从小到大的顺序是(A)．(A)z x y 523<< (B)y x z 325<< (C)z y x 532<< (D)x y y 235<< 3．(训练题06)自然数q p n m ,,,满足等式2222q p n m +=+，则q p n m +++(B)．(A)是质数 (B)是合数 (C)可能是质数，也可能是合数 (D)既不是质数，也不是合数 4．(训练题06)一圆台的上底半径为cm 1，下底半径为cm 2，母线AB 为cm 4，现有一蚂蚁从下底面圆周的A 点，绕圆台侧面(即要求与圆台的每条母线均相交)向上底面圆周的B 点爬行的最短路线是 (A)．(A)3234π+(B)3434π+ (C)3232π+ (D)3432π+ 5．(训练题06)若复数z 的共轭复数是z ，且1=z 又)1,0(),0,1(-=-=B A 为定点，则函数))(1()(i z z x f -+=取最大值时在复平面上以B A Z ,,三点为顶点的图形是(C)．(A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形6．(训练题06)若ABC ∆是钝角三角形，则)arccos(sin)arccos(sin )arccos(sin C B A ++的值域是(C)．(A)(0,]2π(B)}2{π (C)3(,)22ππ (D)3(0,)2π二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题06)满足不等式log log x x yy xy ≥的点),(y x 的集合是{(,)|1}{(,)|01}x y x y x x y x y x >><<<且且．2．(训练题06)一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为1V ，圆柱的体积为2V ，且21kV V =，则k 的最小值是43．3．(训练题06)一个三位自然数321a a a 称为凹数，如果同时有2321,a a a a >>（例如849,525,104都是凹数而200,684,123都不是凹数），则所有的凹数的个数是 285 ．4．(训练题06)如图，已知椭圆221,,,2x y DA AB CB AB +=⊥⊥2,23==CB DA ，动点P 在AB 上移动，则PCD ∆是45．(训练题06)四次方程038420234=++-kx x x 的四个根当中的两个的积是24，则k 的值是 140 ． 6．(训练题06)四个正数之和为4，平方和为8，则这四个数中最大的那个数的最大值是 1+ 三、(训练题06)(本题满分20分)n a a a a 321,,是互不相等的自然数，证明：+++++)(7737271n a a a a ≥++++)(5535251n a a a a 333321232()n a a a a ++++．四、(训练题06)(本题满分20分)设M P ,分别在正方形ABCD 的边CD BC ,上，PM 与以AB 为半径的圆相切，线段PA 与MA 分别交对角线BD 于N Q ,，证明：五边形PQNMC 内接于圆．五、(训练题06)(本题满分20分)100个火柴盒，标号为1至100.我们可以问其中任15个盒子总共含有的火柴为奇数或偶数，至少要问几才能确定1号盒子里的火柴数的奇偶性． (3个问题)第二试一、(训练题06)(本题满分35分)右图中CDE BCD ABC ∆∆∆,,都是正三角形，线段FG ∥BA ，连EF DG ,相交于O ，连CO 并延长与AB 的延长线相交于P ，证明：D二、(训练题06)(本题满分35分)假定10321,,a a a a 和10321,,b b b b 都是由不相等的复数所组成的序列，已知对10,,2,1 =i 均有1210()()()100i i i a b a b a b +⋅+⋅⋅+=.证明：对任何10,,2,1 =j ，乘积1210()()()j j j b a b a b a +++都等于同一常数，并求出此常数．三、(训练题06)(本题满分35分)证明任意28个介于104和208之间(包括104和208)的不同的正整数，其中必有两个数不互素(即此二数的最大公约数大于1)．。
数学奥林匹克高中训练题(31)及答案
数学奥林匹克高中训练题（31）第一试一、选择题（本题满分36分；每小题6分）1．(训练题31)方程3511()()()191919x x x ++=实根的个数是(B)． (A)0 (B)1 (C)2 (D) 无穷多2．(训练题31)已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1；点A 关于直线C A 1、1BD 的对称点分别为P 、Q ；则P 、Q 两点间的距离是(A)．(A) 232 (B) 223 (C) 243 (D) 234 3．(训练题31)已知cos coscos cos 221cos()cos()22βααββααβ+=--．则βαcos cos +的值等于(A)． (A) 1 (B)21 (C) 2 (D) 22 4．(训练题31)设cossin 55i ππω=+．则()()()()973ωωωω----x x x x 的展开式是(C)． (A)1234++++x x x x (B)124+++x x x (C)1234+-+-x x x x (D)124+--x x x5．(训练题31)在圆0522=-+x y x 内；过点53(,)22恰有n 条弦的长度成等差数列．如果公差11(,]63d ∈；那么；n 取值的集合是(D)． (A){4；5；6} (B){6；7；8；9} (C){3；4；5} (D){3；4；5；6}6．(训练题31)给定平面内的五个点，、、、、E D C B A 任意三点不共线；由这些点连成4条线段；每个点至少是一条线段的端点；则不同的连结方式有(D)．(A)120种 (B)125种 (C)130种 (D)135种二、填空题（本题满分54分；每小题9分）1．(训练题31)函数()()1122++=x x x f 的递增区间是 [1,1]- ．2．(训练题31)已知四面体ABCD 的体积为V ；E 为棱AD 的中点；延长AB 到F ；使AB BF =；设过F E C 、、三点的平面交BD 于G ；则四面体CDGE 的体积是 13V ．3．(训练题31)满足()()x x x x cos cos sin sin -=+的锐角x = 4π ． 4．(训练题31)设n S 是集合1111{1}242n A -=⋯，，，的含有3个元素的所有子集的元素之和；且a n S n n =∞→24lim ．则极坐标方程θρcos 21a -=表示的曲线是 4a =；双曲线的右支 ． 5．(训练题31)已知A 、B 、C 是平面上任意三点；且,,BC a CA b AB C ===．则c b y a b c =++的最小值是 122- ． 6．(训练题31)如图；有矩形1221A A B B 中；已知12122,2A A a B B a =<．以边12A A 为长轴作椭圆C ；C 的短轴长等于112A B ．在C 上任取一点P （不同于长、短轴的端点）．设直线12,PB PB 于12A A 的交点分别为12,M M ．则221221AM A M += 24a ．三、(训练题31)(本题满分20分)设n 为正整数．求证：11111212342122n n -+-++-<-． 四、(训练题31)(本题满分20分)在数列{}n a 中；112823,(2)4n n n a a a n a -==≥-．求n a 的表达式．12tan 32n n a π-=⋅五、(训练题31)(本题满分20分)经过点(2,1)M -作抛物线2y x =的四条弦(1,2,3,4)i i PQ i =；且1234,,,P P P P 四点的纵坐标成等差数列．求证：44332211MQ M P MQ M P MQ M P MQ M P ->-．第二试一、(训练题31)(本题满分50分)设CD 为Rt ABC ∆斜边AB 上的高；12,,O O O 分别是,,ABC ACD BCD ∆∆∆的内心。
数学奥林匹克高中训练题(36)及答案
数学奥林匹克高中训练题(36)第一试一、选择题(本题满分 36分，每小题6分)1. (训练题 36)给定三个二次三项式：P i (X )=X 2+b l X+C l, P 2(X )=X 2+b 2X+C 2, P 3(x)=x 2+b 3X+C 3.则方程 |P i (x)| + P 2(x)=| P 3(X )| 至少有(C)个根.(A)4(B)6(C)8(D)以上都不对2. (训练题36)函数f (x) =-log i (x 2-ax-a)在区间-：：,1-.3上是减函数.则a 的取值范围是(B).2(A) 0< a w 2 (B)2(1- ,3) < a < 2 (C) 0< a < 2或 a <- 4 (D) 2(1 -、「3) < a < 2或 a <- 43. (训练题36)空间中有九个点，其中任四点不共面，在这九点间连接若干条线段，使图中不存在四面体.则图中最多有(D)个三角形.(A) 21(B)24(C)25(D)274. (训练题 36)设 A={(x , y)| 0< x w 2, 0< y w 2}, B={(x , y)| x w 10, y > 2, y w x — 4}是直角坐标平面6.(训练题 36)设 a^R , A = 2(x,y) (x —1)2+(y —2)2 兰一 '与 B={(x, y)||x — 1|+2|y — 2|w a}是直角 I5J坐标平面xOy 内的点集.则B 的充要条件是(A).(A) a >2(B)a > .5(C) a 》.6(D)a > 3二、填空题(本题满分 54分，每小题9分) 1.(训练题36)平坦的桌面上，放有半径分别 1, 2, 2的三个木球，每球与桌面相切，且与其余两球外切另外，在桌面上还有一个半径小于 1的小木球在三球之间，与桌面相切，且与三木球都外切.那么，这个小木球的半径为4 - 2、、3.2 .(训练题36)设a 1 > a 2》a n 是满足下列条件的n 个实数：对任何整数k > 0,有kk ■-ka 1 ' a^ J11 ' a n > 0成立.那么，p=max{|a 1|,…,|a n |}= _____ 6 _______3. (训练题36) m 个互不相同的正偶数与 n 个互不相同的正奇数的和为117.对于所有这样的 m 与n ,3m+2n 的最大值是 37.4. (训练题36)已知点(a, b )在曲线arcsinx=arccosy 上运动，且椭圆ax 2+by 2=1在圆x 2，y 2 = 2L x Xo xOy 上的点集.则C = ..Wy 1 y2 (N ，yJ A,(X 2，y 2) B 所成图形的面积是(D). J(A) 6(B)6.5(C)2 n5. (训练题36) a 1, a 2,…，a 6是和为23的六个两两不同的正整数 值为(B). (D)7.那么 a 1a 2+ a 2a 3+ …+ a5&+ a 6a 1 的最小(A) 62(B)64(C) 65 (D)67的外部（包括两者相切的情形）•那么，arcsinb的取值范围为一，_6 4 -------------1 2 35. （训练题36）不等式—2 3的解集，是总长为2的一些不相交的区间的并集.x—1 x—2 26. （训练题36）在四张卡片的正反面上分别写有0与1, 0与2，3与4，5与6,将其中任三张并排放在一起组成三位数，总共可得124 个不同的三位数.1 三、（训练题36）（本题满分20分）证明：（1）对于任何x，数|sinx|与|sin（x+1）|中至少有一个大于丄;3 （2）|sin 10 | |sin 11| |sin 12 | 川|sin29| 110 11 12 29 6 .四、（训练题36）（本题满分20分）通过四面体ABCD的棱AD和BC的中点K、N作平面，交棱CD点M，交棱AB 于点L.证明：（1）|DM| : |MC|=|AL| : |LB|; （2）面积S^KLN =S^KMN .五、（训练题36）（本题满分20分）在复平面上有三个点：C1=a+bi，C2=m+bi，C3=a+ni，其中a> m，n1 1 1> b，C1C2C3 （这里C i表示复数C i对应的点）组成一个三角.证明：满足0的Z _ C[ Z _ C2 Z _ C3复数Z所代表的点乙位于这个三角形的内部.第二试一、（训练题36）（本题满分50分）Rt△ CDF中，/ D=90 °，DO丄CF，O为垂足.以C为圆心、CD为半径作一圆，AA '为过O点的圆C的动弦，E为直线A'A上一点，且EF丄CF .证明：由A、A ' 至EF的距离的倒数和为定值.二、（训练题36）（本题满分50 分）（1）当0w x< 1 时，求函数h（x）= （、、1 • x 亠1 —x • 2）（• 1 —X2• 1）a的取值范围；（2）证明：当0w x< 1时，存在正数3，使得不等式、、1 • x ：飞'1「X乞2「L成立的最小正数a =2.并求此时的最小正数3 .三、（训练题36）（本题满分50分）（1）对于三点A1（X1, y”，A2（x2，y2），A3（X3, y3）组成的三角形，有X1<X2V X3.证明：当d适当小时，点（X2，y2-d）及点（X2，y2+d），一在形内，一在形外.（2）S是平面上n（n > 3）个点A i组成的集合，S中任三点不共线.证明：平面上存在一个含有2n —5个点的集合P，使S中任意三点所组成的三角形内部至少有一个P集中的点•试问：对于怎样的n点，这样的P集的点数尚可减少？。
数学奥林匹克高中训练题(02)及答案
数学奥林匹克高中训练题（02）第一试一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题07)十个元素组成的集合{19,93,1,0,25,78,94,1,17,2}M =----．M 的所有非空子集记为(1,2,,1023)i M i =，每一非空子集中所有元素的乘积记为(1,2,,1023)i m i =.则10231i i m ==∑（C ）．（A ）0 （B ）1 (C) -1 (D)以上都不对2．(训练题07)ABC ∆△ABC 的三个内角,,A B C 依次成等差数列，三条边,,a b c 上的高,,a b c h h h 也依次成等差数列．则ABC ∆为（B ）（A ）等腰但不等边三角形 （B ）等边三角形 （C ）直角三角形 （D ）钝角非等腰三角形3．(训练题07)对一切实数x ，不等式42(1)10x a x +-+≥恒成立．则a 的取值范围是（A ）（A ）1a ≥- (B) 0a ≥ (C) 3a ≤ (D) 1a ≤4．(训练题07)若空间四点,,,A B C D 满足8,10,13AB CD AC BD AD BC ======，则这样的三棱锥ABCD 共有（A ）个．（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）多于25．(训练题07)已知不等式21log 0(0,)2m x x x -<∈在时恒成立，则m 的取值范围是（B ）（A ）01m << (B)1116m ≤< (C) 1m > (D) 1016m << 6．(训练题07)方程20(,,,0)ax b x c a b c R a ++=∈≠在复数集内根的个数为n .则（C ）（A ）n 最大是2 （B ）n 最大是4 （C ）n 最大是6 （D ）n 最大是8二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题07)函数368y x x =+-的值域是___10,210]_____2．(训练题07)已知椭圆22198x y +=，焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上任意一点（但P 点不在x 轴上），12PF F ∆的内心为I ，过I 作平行于x 轴的直线交12,PF PF 于,A B .则12PAB PF F S S ∆∆=___916_____. 3．(训练题07),,A B C 为ABC ∆的三个内角，且cot cot cot 2(cot cot cot )222A B C A B C T ++-++≥.则max T =3__. 4．(训练题07)实数,,a b c 满足22223,285a b c a b c c +-=-+++=.则ab 的最小值是__2516__. 5．(训练题07)在一次足球冠赛中，要求每一队都必须同其余的各个队进行一场比赛，每场比赛胜队得2分，平局各得1分，败队得0分．已知有一队得分最多，但它胜的场次比任何一队都少．若至少有n 队参赛，则n =__6____.6．(训练题07)若1013222m ++是一个完全平方数，则自然数m = 14 ．三、(训练题07)（本题满分20分）若正三棱锥底面的一个顶点与其所对侧面的重心距离为4，求这个正三棱锥的体积的最大值．(18)四、(训练题07)（本题满分20分）一个点在x 轴上运动的速度为2米/秒，在平面其它地方速度为1米/秒．试求该点由原点出发在1秒钟内所能达到的区域的边界线．五、(训练题07)（本题满分20分）已知x 为虚数，且1x x+是方程210y ay a -++=的实根．求实数的取值范围．(2225a a ≤->或) 第二试一、(训练题07)（本题满分20分）在ABC ∆中，M 为BC 边上的任一点，ME AB ⊥于E ，MF AC ⊥于F ，AN EF ⊥交BC 于N ． 求证：AM AN BM BN CM CN AB AC ⋅+⋅⋅⋅=⋅．二、(训练题07)（本题满分35分）用n 个数（允许重复）组成一个长为N 的数列，且2n N ≥.证明：可在这个数列中找出若干个连续的项，它们的乘积是一个完全平方数．三、(训练题07)（本题满分35分）空间中有100个点，其中每四点都不在同一平面上，每三点都不在同一条直线上，每一点都与其它33点连红线，与另33点连黄线，与最后的33点连蓝线．证明：一定会出现一个三边均不同色的三角形．。
数学奥林匹克高中训练题及答案
数学奥林匹克高中训练题（11）第一试一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题11)若,x y R ∈，则实数集2{|31}P s s x x ==++与2{|31}Q t t y y ==-+具有的关系是(D)．(A) P Q φ= (B)P Q ⊂ (C)Q P ⊃ (D)P Q =2．(训练题11)方程112log log y x x +-=的图象是(C)． 3．(训练题11)在ABC ∆中，cos2cos2B A >是A B >的(C)．(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要的条件 4．(训练题11)圆台两底面半径分别为R 和r ()R r >，平行底面的截面将圆台的侧面分成面积相等的两部分．那么，截面圆半径是(B)．(A) Rr (B) 222r R + (C) 2r R + (D) 无法确定 5．(训练题11)等差数列{}n a 中，2n ≥，公差0d <，前n 项和是n S ．则有(C)．(A)1n S na ≥ (B)n n S na ≤ (C)1n n na S na << (D)1n n na S na <<6．(训练题11)过抛物线y 2=4x 的焦点作直线与此抛物线交于P ，Q 两点。
那么，线段PQ 中点的轨迹方程是(B)．(A)221y x =- (B)222y x =- (C)221y x =-+ (D)222y x =-+二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．(训练题11)已知函数, 01,()1, 10.x x f x x x -<≤⎧=⎨+-≤≤⎩则它的反函数是11,(0,1](),[1,0]x x f x x x --∈⎧=⎨-∈-⎩．2．(训练题11)已知复数z 的模1z =且，111z z +=，则z=1(1)2±． 3．(训练题11)某市电话号码从六位升至七位，这一改可增加761010-个拨号．4．(训练题11)1arctan arctan 1x x x -++的值是 3144ππ-或 ． 5．(训练题11)平面α内有圆ABC (如图)AB 是直径，SA α⊥，C 是AB 上一点．若::1:2:2AC AB SA =，则二面角C SB A --的平面角的余弦值是5 ． 6．(训练题11)ABC ∆顶点在以x 轴为对称轴，原点为焦点的抛物线上，已知(6,8)A -，且ABC ∆的重心在原点，则过B ，C 两点的直线方程为480x y +-=．三、(训练题11)(本题满分20分) 如图，四棱锥S ABCD -的顶点在底面的射影恰是底面对角线的交点O ，已知棱锥S ABCD -的高恒为3，22,(,,)S ADO S BCO V m V n m n R m n +--==∈≠．问当四棱锥S ABCD -取得最小体积时，底面ABCD 是怎样的四边形？四、(训练题11) (本题满分20分) 抛物线22(0)y px p =>的焦点是F ．问：是否存在内接等腰直角三角形，该三角形的一条直角边过F 点？如果存在，存在几个？如果不存在，说明理由五、(训练题11)(本题满分20分)数列{}n a 的首项0a ≠，该数列是公比为a -的等比数列．记lg n n n b a a =，1nn i i S b ==∑．(1) 证明: 当1a ≠-时，对一切n N ∈，都有12lg [1(1)(1)](1)n n n a a S n na a a +=+-+++． (2) 当01a <<时，是否存在自燃数m ，使得对任何自然数n ，都有n m b b ≤．第二试一、(训练题11)(本题满分35分)H 为ABC ∆的垂心，,,D E F 分别是,,BC CA AB 中点，一个以H为S C B A OD圆心的H 交直线,,EF FD DE 于121212,,,,,A A B B C C ．求证：121212AA AA BB BB CC CC =====．二、(训练题11)(本题满分35分)若n 是素数，证明存在0,1,2,,1n -的一个排列12(,,,)n a a a ，使得11212312,,,,n a a a a a a a a a 被n 除的余数各不相同．三、(训练题11)(本题满分35分)某组学生进行一次考试，共有3道选择题，每题有四个选择支．已知这组学生中任何两人的答案都至多有一题相同，而且只要再加一人，则无论该人答案如何，上述性质都不再成立．问这组学生最少有多少人？。
数学奥林匹克高中训练题(附答案)
数学奥林匹克高中训练题_46学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、填空题三、解答题13．在△ABC 中，实数x 满足2222sec x csc A csc B csc C =++，求证：的定圆P 的圆心上一动点，Q 与P 相外切，Q 交l 于N 两点．对于任意直径使得△MAN 求△MAN 的度数．．设函数f(x)、g(x)定义为()f x ()()11?2000,n f a b ==，2000的最小正．上的O 与其他三边都相切，)0nn i i x b x ==∑的所有根的平方的相反数是f(x)=0的全部根．求证：参考答案：【详解】0,4a π⎛∈ ⎝()tanacota <)(cotatana <34t t ＜＜.【详解】1 022≤3.3arccot arc≤1 arccos2,a b a ≥∴(222a x a +1,?4y 又≥∴22 4.x y ∴+≤满足22x y +≤其面积为1··3π3((0011821122sina sin a b a β<<≤<=-即()26a -【详解】(a b c ++项，但(a )nc +的展开式中不同的项数为)(nd a ⎡+=⎣=AB AC∴⊥SD BC∴⊥面BC于是SA与2.当两条较长棱相邻时，不妨设2sec x csc=2∴=tan x2=+cot A(cotA cotB=+60【详解】以l为r,h）.△Q2222rh r k r +3,tan MAN ∠223r k r r nhr +-=)223nh k r r -=±+-两边平方，得2m 对于任意实数r≥1223,m k =-另一方面，用数学归纳法可证明：()281n n a b +>当n=1时，()31223181128n n a b a b +>=>.假设式(1)在n=k 时成立，即28k k a b +>.当n=k+1时，()()2883112121282000820008k k k k k b ba b b k k a b +++=>=>⨯>⨯=. 所以，式(1)对所有n 成立.由式(1)得1998199820008b b a ≤<.1998m ∴>.综上所述，m=1999.16．2或7【详解】1当p=7m -5(m 为自然数，下同)时，()123721p p m =+=-.当m ＞1时，1p 为合数.当m=1时，p=2.此时123456711,19,29,31,101p p p p p p ======，均为质数，所以p 可为2.2当p=7m -6时，()243743p p m =+=-.当m=1时，p=1与p 为质数相矛盾.当m>1时，2p 为合数.3当p=7m -3时，()383783p p m =+=-为合数.4当p=7m -2时，()41637165p p m =-=-为合数.5当p=7m -4时，()5323373223p p m =-=-为合数.6当p=7m -1时，()6642776413p p m =-=-为合数.7 当p=7m 时，因p 为质数,则p=7.当p=7时，1234561731,59,109,191,421p p p p p p ======，均为质数.AB AD =即OA OB +1sina sin ∴+11sin sin a +sin 2αβ+2cos α⎛∴ ⎝4sin sin 2a ⋅202β+＜22αϕ+∴即2αϕ+亦即BAD ∠则AB//CD。
高中数学奥林匹克训练题及答案
高中数学奥林匹克训练题第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1． 已知函数1x ay x a -=---的反函数的图象关于点(1,3)-成中心对称图形，则实数a 等于(A)．(A) 2 (B)3 (C)-2 (D)-42． 我们把离心率等于黄金比215-的椭圆称之为“优美椭圆”．设a by a x (12222=+＞b ＞0)为优美椭圆，,F A 分别是它的左焦点和右端点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠等于(C)．(A)60o (B)75o (C)90o (D)120o3． 已知ABC ∆三边的长分别是,,a b c ，复数12,z z 满足1212,,z a z b z z c ==+=，那么复数21z z 一定是(C)．(A)是实数 (B)是虚数 (C)不是实数 (D)不是纯虚数4． 函数21522223411(1)6()1x x C x x P f x C C C ++-⋅-⋅=+++ 的最大值是(D)． (A)20 (B)10 (C)10- (D) 20-5． 以O 为球心，4为半径的球与三条相互平行的直线分别切于,,A B C 三点．已知4=∆BOC S ，16ABC S ∆>，则ABC ∠等于(B)．(A)12π (B)512π (C)712π (D)1112π 6． 在集合{1,2,3,,10}M = 的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，那么这族子集最多有(B)．(A)102个 (B)92个 (C)210个 (D) 29个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．在直角坐标系中，一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴，且两直角边上的中线所在直线方程分别是31y x =+和2y mx =+，则实数m 的值是3124或 ．A 1 A C 1B 1BCD2． 设()(0,1)1xx a f x a a a =>≠+，[]m 表示不超过实数m 的最大整数，则函数]21)([21)([--+-x f x f 的值域是 {1,0}- ．3．设,,a b c 是直角三角形的三条边长，c 为斜边长，那么使不等式kabc b a c a c b c b a ≥+++++)()()(222对所有直角三角形都成立的k 的最大值是4． 如图，正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都是1，截面1BCD 在棱1AA 上的交点为D ，设这个截面与底面ABC 和三个侧面111111,,ABB A BCC B CAAC 所成的二面角依次为1234,,,αααα，若1234cos cos cos cos αααα+=+，则5． 已知()f x 是定义域在实数集的函数,且(2)[1()]1().(1)2f x f xf x f +-=+=若，则(1949)f 2 ．6． 设1x 是方程12cos 3sin 3-=-a x x 的最大负根，2x 是方程222cos 2sin xx a -=的最小正根，那么，使不等式12x x ≤成立的实数a 的取值范围是 1122a a ≤≤-=或 ．第二试一、 (本题满分25分)某眼镜车间接到一任务，需要加工6000个A 型零件和2000个B 型零件，这个车间有214名工人，他们每一个人加工5个A 型零件的时间可加工3个B 型零件．将这些人分成两组同时工作，每组加工同一型号的零件，为了在最短的时间完成，应怎样分组？77二、 (本题满分25分)已知一个四边形的各边长都是整数，并且任意一边的长都能整除其余三边之和．求证：这个四边形必有两边相等．三、 (本题满分35分)实数数列1231997,,,,a a a a 满足： 1223199619971997a a a a a a -+-++-= ．若数列{}n b 满足：12(1,21997)kk a a a b k k++== ．求199719963221b b b b b b -++-+- 的最大可能值．四、 (本题满分35分)给定两个七棱锥，它们有公共的底面1234567A A A A A A A ，顶点12,P P 在底面的两侧．现将下述线段中的每一条染红，蓝两色之一：12,P P ，底面上的所有的对角线和所有的侧棱．求证：图中心存在一个同色三角形．。
高中数学奥林匹克训练试卷附答案
数学奥林匹克第一天一、设实数a 、b 、c 满足2223232a b c ++=，求证：39271a b c---++≥ 二、设D 是ABC ∆的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。
如果DE=DF ， 求证：DM=DN三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。
（2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。
四、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。
如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。
求棋盘中“优格”个数的最大值。
第二天五、已知不等式63)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ+-+-<++对于0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围。
六、设点D 为等腰ABC ∆的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ∆内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。
求证：CD EF DF AE BD AF ⋅+⋅=⋅七、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。
但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。
如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。
注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。
八、求满足0x y y z z ux y y z z u---++>+++，且110x y zu ≤≤、、、的所有四元有序整数组（,,,x y z u ）的个数。
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高中数学奥林匹克训练题
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．已知函数的反函数的图象关于点成中心对称图形，则实数等于(A)．
(A) 2 (B)3 (C)-
2 (D)-4
2．我们把离心率等于黄金比的椭圆称之为“优美椭圆”．设
＞b＞0)为优美椭圆，分别是它的左焦点和右端点，是它的短轴的一个端点，则等于(C)．
(A) (B) (C)
(D)
3．已知三边的长分别是，复数满足，
那么复数一定是(C)．
(A)是实数(B)是虚数(C)不是实数 (D)不是纯虚数
4．函数的最大值是(D)．
(A) (B) (C)
(D)
5．以为球心，4为半径的球与三条相互平行的直线分别切于三点．已知，，则等于(B)．
(A) (B) (C)
(D)
6．在集合的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，那么这族子集最多有(B)．
(A)个(B)个(C)
个 (D) 个
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．在直角坐标系中，一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴，且两直角边上的中线所在直线方程分别是和，则实数的值
是．
2．设，表示不超过实数的最大整数，则函数
的值域是．
D
3．设是直角三角形的三条边长，为斜边长，那么使不等式
对所有直角三角形都成立的的最大值
是．
4．如图，正三棱柱的各条棱长都是1，截面在棱上的交点为，设这个截面与底面和三个侧面所成的二面角依次为，若，则截面的面积等
于．
5．已知是定义域在实数集的函数,且
，则的值是．
6．设是方程的最大负根，是方程
的最小正根，那么，使不等式成立的实数的取值范围
是．
第二试
一、 (本题满分25分)某眼镜车间接到一任务，需要加工6000个型零件和
2000个型零件，这个车间有214名工人，他们每一个人加工5个型零件
的时间可加工3个型零件．将这些人分成两组同时工作，每组加工同一型号的零件，为了在最短的时间完成，应怎样分组？77
二、 (本题满分25分)已知一个四边形的各边长都是整数，并且任意一边的长都能整除其余三边之和．求证：这个四边形必有两边相等．
三、(本题满分35分)实数数列满足：
．若数列满足：
．求的最大可能值．
四、 (本题满分35分)给定两个七棱锥，它们有公共的底面，顶点在底面的两侧．现将下述线段中的每一条染红，蓝两色之一：，底面上的所有的对角线和所有的侧棱．求证：图中心存在一个同色三角形．。