常用相关分析方法及其计算

二、常用相关分析方法及其计算

在教育与心理研究实践中，常用的相关分析方法有积差相关法、等级相关法、质量相关法，分述如下。

（一）积差相关系数

1. 积差相关系数又称积矩相关系数，是英国统计学家皮尔逊（Pearson ）提出的一种计算相关系数的方法，故也称皮尔逊相关。这是一种求直线相关的基本方法。

积差相关系数记作XY r ，其计算公式为

∑∑∑===----=

n

i i

n i i

n

i i

i

XY Y y X x Y y X x r 1

2

1

2

1

)

()()

)(( (2-20)

式中i x 、i y 、X 、Y 、n 的意义均同前所述。

若记X x x i -=,Y y y i -=，则（2-20）式成为

Y

X XY S nS xy

r ∑= (2-21)

式中n

xy ∑称为协方差，n

xy ∑的绝对值大小直观地反映了两列变量的一致性程

度。然而，由于X 变量与Y 变量具有不同测量单位，不能直接用它们的协方差

n

xy ∑来表示两列变量的一致性，所以将各变量的离均差分别用各自的标准差

除，使之成为没有实际单位的标准分数，然后再求其协方差。即：

∑∑⋅=

=

)()(1Y

X Y

X XY S y

S x n S nS xy

r

Y X Z Z n

∑⋅=

1

(2-22) 这样，两列具有不同测两单位的变量的一致性就可以测量计算。

计算积差相关系数要求变量符合以下条件：（1）两列变量都是等距的或等比的测量数据；（2）两列变量所来自的总体必须是正态的或近似正态的对称单峰分布；（3）两列变量必须具备一一对应关系。

2. 积差相关系数的计算

利用公式 (2-20)计算相关系数，应先求两列变量各自的平均数与标准差，再求离中差的乘积之和。在统计实践中，为方便使用数据库的数据格式，并利于计算机计算，一般会将(2-20)式改写为利用原始数据直接计算XY r 的公式。即： ∑∑∑∑∑∑∑---=

2

22

2

)

()

(i i

i i

i

i i i XY y y n x x n y x y x n r (2-23)

（二）等级相关

在教育与心理研究实践中，只要条件许可，人们都乐于使用积差相关系数来度量两列变量之间的相关程度，但有时我们得到的数据不能满足积差相关系数的计算条件，此时就应使用其他相关系数。

等级相关也是一种相关分析方法。当测量得到的数据不是等距或等比数据，而是具有等级顺序的测量数据，或者得到的数据是等距或等比的测量数据，但其所来自的总体分布不是正态的，出现上述两种情况中的任何一种，都不能计算积差相关系数。这时要求两列变量或多列变量的相关，就要用等级相关的方法。

1. 斯皮尔曼(Spearman)等级相关

斯皮尔曼等级相关系数用R r 表示，它适用于两列具有等级顺序的测量数据，或总体为非正态的等距、等比数据。

斯皮尔曼等级相关的基本公式如下： )

1(612

2--=∑n n D r R (2-24)

式中：

Y X R R D -=____________对偶等级之差； n ____________对偶数据个数。

如不用对偶等级之差，而使用原始等级序数计算，则可用下式 )]1()

1(4[13+-+⋅-=∑n n n R R n r Y

X R (2-25) 式中：

X R ___________X 变量的等级； Y R ____________Y 变量的等级；

n ____________对偶数据个数。

(2-25)式要求∑∑=Y X R R ，∑∑=2

2Y

X R R ，从而保证22Y X S S =。在观测变量中没有相同等级出现时可以保证这一条件。但是，在教育与心理研究实践中，搜集到的观测变量经常出现相同等级。在这种情况下，∑∑=Y X R R 的条件仍可得

到保证，但∑∑=2

2Y

X R R 的条件则不能得到满足。在有相同等级出现的情况下，∑2

R

随相同等级数目的逐渐增多而有规律地减少，其减少的规律如下：

12

)

1(2-=t t c

其中：

c ___________差数值（几个相同等级出现的∑2R 与没有相同等级出现的∑2

R

之差）；

t ____________某一等级的相同数。

当一列变量中有多个相同等级出现时，他们的差数值为：

∑∑-=12)

1(2t t c

从而，在出现相同等级情况下，计算斯皮尔曼等级相关系数的公式为：

∑∑∑∑

∑⋅-+=2

2

2222

y

x D y x r Rc (2-26)

式中：

∑∑---=12)

1(12)1(222

t t n n x ；

∑∑---=12)

1(12)1(222

t t n n y ；

n ____________对偶数据个数。

t ___________各列变量相同等级数； D ____________对偶等级差数；

2. 肯德尔W 系数（肯德尔和谐系数）

肯德尔W 系数又称肯德尔和谐系数，是表示多列等级变量相关程度的一种方法，它适用于两列以上等级变量。

肯德尔和谐系数用W 表示，其公式为 )(12

13

n n K SS W n Ri

-=

(2-27)

式中： Ri SS ___________

i

R 的离差平方和；