八年级数学下学期 6.3《直角三角形》同步练习 鲁教版
鲁教版八年级数学下册第六章综合素质评价 附答案
鲁教版八年级数学下册第六章综合素质评价一、选择题(每题3分，共36分)1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是()A．四条边相等，四个角相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相平分2．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则△ABC的周长等于() A．20 B．15 C．10 D．53．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的()A．15B．14C．13D．3104．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.如果再添加一个条件可推出四边形ABCD是正方形，那么这个条件可以是()A．AB＝CD B．BC＝CDC．∠D＝90°D．AC＝BD5．在四边形ABCD中，两对角线交于点O，若OA＝OB＝OC＝OD，则这个四边形()A．可能不是平行四边形B．一定是菱形C．一定是正方形D．一定是矩形6．顺次连接四边形ABCD各边的中点后所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是()A．菱形B．对角线互相垂直的四边形C．矩形D．对角线相等的四边形7．如图，把一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为()A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°8．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任意一点(点P 不与点A，C重合)，且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是()A．10 B．7.5 C．5 D．2.59．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC, BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为()A．3 B．8 C． 6 D．2710．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，点P是AB边上的一个动点，点E，F分别是DP，BP的中点，则线段EF的长为()A．2 B．4 C．8 D．1211．如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF ⊥BC，垂足为F，则DF的长为()A．23＋2 B．5－33C．3－ 3 D．3＋112．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC, PF⊥CD, E, F分别为垂足，连接AP，EF，下列命题：①若AP＝5，则EF＝5；②若AP⊥BD，则EF∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2.其中正确的命题是()A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题(每题3分，共18分)13．如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OEB＝________．14．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是________(写出一个即可)．15．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF＝5，则对角线BD的长为________．(结果保留根号)16．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE＝4，则线段BE的长为________．17．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝4.设AB＝x，AD＝y，则x2＋(y－4)2的值为________．18．如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF.若DE＝DC，EF＝EC，则∠BAF的度数为________．三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共66分) 19．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于点E，DF⊥BC交BC 的延长线于点F.求证：DE＝DF.20．如图，在▱ABCD中，G为BC边上一点，DG＝DC，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作AF∥ED交CD的延长线于点F.求证：四边形AEDF是菱形．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，DE∥AC，CE ∥AD，连接BE，CD.求证：四边形CDBE是正方形．22．如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG.(1)求证：△BCE≌△FDE.(2)当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．23．如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD.(1)求证：△ABE≌△FMN；(2)若AB＝8，AE＝6，求ON的长．24．如图，在▱ABCD中，点M是AD边的中点，连接BM，CM，且BM＝CM.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若△BCM是直角三角形，求AD与AB之间的数量关系．25．在菱形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上．连接AE，AF, 分别交BD 于G，H两点，CE＝CF.(1)如图①，求证：AE＝AF；(2)如图②，当∠ADB＝∠EAF＝45°时，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图②中的四个等腰三角形(每个等腰三角形都是锐角三角形，△AGH 除外)．答案一、1．D2．B3．B4．B5．D6．D 7．D8．D9．D 10．A提示：连接BD.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.又∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形．∴BD＝AD＝4.∵点E，F分别是DP，BP的中点，∴EF为△PBD的中位线．∴EF＝12BD＝2.11．D提示：如图，过点A分别作AG⊥BC于点G，AH⊥DF于点H，则∠AHF＝∠AGF＝90°.∵DF⊥BC，∴∠GFH＝90°.∴四边形AGFH是矩形．∴FH＝AG.∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，BC＝AB＝2.∴∠BAG＝30°，BG＝1.∴AG＝AB2－BG2＝ 3.∴FH＝ 3.在正方形ABED中，AD＝AB＝2，∠BAD＝90°，∴∠DAH＝∠BAG＝30°.∴DH＝12AD＝1.∴DF＝DH＋FH＝3＋1.12．A提示：连接CP交EF于点Q.∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP＝45°.又∵DP＝DP，∴△ADP≌△CDP(SAS)，∴AP＝CP.易知四边形CEPF为矩形，∴CP＝EF，∴AP＝EF，∴若AP＝5，则EF＝5.故①正确．若AP⊥BD，则易知∠P AD＝45°.∵△ADP≌△CDP，∴∠PCD＝∠P AD＝45°.∵四边形CEPF为矩形，∴FQ＝12EF，CQ＝12CP，CP＝EF，∴FQ＝CQ，∴∠EFC＝∠PCD＝45°.又∵∠BDC＝45°，∴∠EFC＝∠BDC，∴EF∥BD.故②正确．当AP⊥BD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，∵AB＝AD＝4，∴BD＝AB2＋AD2＝32，∴AP＝12BD＝322.又∵EF＝AP，∴EF的最小值为322.故③错误．二、13．70°14．AE＝AF(答案不唯一)15．2 516．52提示：设正方形ABCD的边长为a.∵S△ABE＝18，∴S正方形ABCD＝2S△ABE＝36.∴a2＝36.∵a＞0，∴a＝6.在Rt△BCE中，BC＝6，CE＝4，∠C＝90°，∴BE＝BC2＋CE2＝52.17．16提示：∵四边形ABCD是矩形，AB＝x，AD＝y，∴CD＝AB＝x，BC＝AD＝y，∠BCD＝90°.又∵BD⊥DE，点F是BE的中点，∴BF＝DF＝4，∴CF＝BF－BC＝4－y.在Rt△DCF中，DC2＋CF2＝DF2，即x2＋(4－y)2＝42＝16.∴x2＋(y－4)2＝16.18．22.5°提示：连接AE.∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，DA＝DC，∠DCB＝90°.∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝180°－45°2＝67.5°，DA＝DE.∴∠BCE＝∠DCB－∠DCE＝90°－67.5°＝22.5°，∠DAE＝∠DEA＝180°－45°2＝67.5°.∵EF＝EC，∴∠EFC＝∠ECF＝22.5°.∴∠FEC＝180°－∠EFC－∠ECF＝180°－22.5°－22.5°＝135°. ∴∠AEF＝360°－∠DEA－∠DEC－∠FEC＝90°.在△ADE和△CDE中，⎩⎨⎧DA ＝DC ，∠ADE ＝∠CDE ，DE ＝DE ，∴△ADE ≌△CDE (SAS)． ∴EA ＝EC .又∵EF ＝EC ，∴EA ＝EF . ∴△AEF 为等腰直角三角形． ∴∠AFE ＝45°.∴∠AFB ＝∠AFE ＋∠EFB ＝45°＋22.5°＝67.5°. ∵∠ABF ＝90°，∴∠BAF ＝90°－∠AFB ＝90°－67.5°＝22.5°. 三、19．证明：连接DB .∵四边形ABCD 是菱形， ∴BD 平分∠ABC .又∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF . 20．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAD ＝∠C ，AD ∥BC ，AB ∥CD . 又∵AF ∥ED ，∴四边形AEDF 是平行四边形． ∵AD ∥BC ，∴∠DGC ＝∠ADE . ∵DG ＝DC ，∴∠DGC ＝∠C .∴∠ADE ＝∠C . 又∵∠BAD ＝∠C .∴∠BAD ＝∠ADE .∴AE ＝DE . ∴四边形AEDF 是菱形． 21．证明：∵DE ∥AC ，CE ∥AD ，∴四边形ADEC 是平行四边形． ∴DE ＝AC ，CE ＝AD . 又∵AC ＝BC ，∴BC ＝DE . ∵D 为AB 的中点，∴AD＝DB，∴CE＝DB.又∵CE∥DB，∴四边形CDBE是平行四边形．又∵BC＝DE.∴四边形CDBE是矩形．∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝DB.∴四边形CDBE是正方形．22．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CBE＝∠DFE.∵E为CD边的中点，∴DE＝CE.又∵∠CEB＝∠DEF，∴△BCE≌△FDE(AAS)．(2)解：四边形AEFG是矩形．理由如下：由(1)得△BCE≌△FDE，∴BC＝FD，BE＝FE，∴FD＝AD.又∵DG＝DE，∴四边形AEFG是平行四边形．∵BF平分∠ABC，∴∠FBC＝∠ABF.又由(1)知∠FBC＝∠AFB，∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB.又∵BE＝FE，∴AE⊥FE，∴∠AEF＝90°.∴四边形AEFG是矩形．23．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠A＝∠D＝90°，AB∥DC.又∵MF∥AD，∴四边形ADFM 是矩形．∴AD ＝FM ，∠AMF ＝∠MFD ＝90°.∴∠BMF ＝∠NFM ＝90°，AB ＝MF .∴∠BMO ＋∠OMF ＝90°.∵MN 是BE 的垂直平分线，∴∠BOM ＝90°.∴∠BMO ＋∠MBO ＝90°.∴∠MBO ＝∠OMF .在△ABE 和△FMN 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠NFM ＝90°，AB ＝FM ，∠ABE ＝∠FMN ，∴△ABE ≌△FMN .(2)解：如图，连接ME .在Rt △ABE 中，BE ＝AB 2＋AE 2＝82＋62＝10. 由(1)可知△ABE ≌△FMN ，∴MN ＝BE ＝10.∵MN 是BE 的垂直平分线，∴BO ＝OE ＝12BE ＝5，BM ＝ME . ∴AM ＝AB －BM ＝8－ME .在Rt △AME 中，AM 2＋AE 2＝ME 2，∴(8－ME )2＋62＝ME 2，解得ME ＝254.∴BM ＝ME ＝254.在Rt △BMO 中，MO 2＝BM 2－BO 2，∴MO ＝BM 2－BO 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2542－52＝154.∴ON ＝MN －MO ＝10－154＝254.24．(1)证明：∵点M 是AD 边的中点，∴AM ＝DM .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝DC ，AB ∥CD ，在△ABM 和△DCM 中，⎩⎨⎧AM ＝DM ，AB ＝DC ，BM ＝CM ，∴△ABM ≌△DCM (SSS)．∴∠A ＝∠D .∵AB ∥CD ，∴∠A ＋∠D ＝180°，∴∠A ＝90°.∴四边形ABCD 是矩形．(2)解：∵△BCM 是直角三角形，BM ＝CM ，∴∠MBC ＝45°.由(1)知四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠A ＝90°.∴∠AMB ＝∠MBC ＝45°.∴△ABM 是等腰直角三角形．∴AB ＝AM .∵点M 是AD 边的中点，∴AD ＝2AM .∴AD ＝2AB .25．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BC ＝DC ，∠ABE ＝∠ADF .又∵CE ＝CF ，∴BC －CE ＝DC －CF ，即BE ＝DF .在△ABE 和△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠ABE ＝∠ADF ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF (SAS)．∴AE ＝AF .(2)解：△BAH ，△DAG ，△BEG ，△DFH . 提示：由(1)可知△ABE ≌△ADF ，∴∠BAE ＝∠DAF .∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°.∴∠BAD ＝90°.∵∠EAF ＝45°，∴∠BAE ＝∠DAF ＝22.5°.∴∠BAH ＝∠DAG ＝67.5°.∴∠BHA ＝∠DGA ＝45°＋22.5°＝67.5°.∴∠BHA ＝∠BAH ＝∠DGA ＝∠DAG ＝67.5°.∴△BAH ，△DAG 是等腰三角形，且是锐角三角形． ∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ＝DC .∴∠DBC ＝∠BDC ＝45°.∵∠BHA ＝∠DGA ＝67.5°，∴∠DHF ＝∠BGE ＝67.5°.∴∠BEG ＝∠DFH ＝180°－45°－67.5°＝67.5°. ∴∠BGE ＝∠BEG ＝∠DHF ＝∠DFH ＝67.5°，∴△BEG ，△DFH 是等腰三角形，且是锐角三角形．。
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的性质与判定》同步达标测试题(附答案)
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的性质与判定》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．下列关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形B．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形C．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形2．如图，正方形ABCD的面积为4，菱形AECF的面积为2，则EF的长是（）A．1B．C．2D．23．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（）A．75°B．60°C．55°D．45°4．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F 为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（）A．14B．16C．18D．125．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（）A．2B．3C．D．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣2，0），B （2，b），则正方形ABCD的面积是（）A．34B．25C．20D．167．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（）A．B．C．2D．38．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共7小题，满分35分）9．用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为．10．已知：如图，正方形ABCD和EFGH的边长都等于1，点E恰好是AC、BD的交点，则两个正方形的重叠部分（阴影部分）的面积是．11．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则BH＝．12．如图，点O是正方形ABCD的中心，过点O的直线与AD、BC交于点M、点N，DE ⊥MN，交AB于点E，若AM＝1，DM＝3，则DE的长为．13．如图，E，F，M，N分别是边长为4的正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM ＝DN．那么四边形EFMN的面积的最小值是．14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为；连接CP，线段CP的最小值为．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．（1）如果E、F分别是AD、BC的中点，G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，则AG 的长为；（2）如果E、F分别是AD、BC上的点，G，H是对角线AC上的点．下列判断正确的是．①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形；②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形；③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形；④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形．三．解答题（共5小题，满分45分）16．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB．（1）求证：PE＝PD；（2）连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论．17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10．求CE的长度．18．在正方形ABCD中，F是线段BC上一动点（不与点B，C重合）连接AF，AC，分别过点F，C作AF、AC的垂线交于点Q．（1）依题意补全图1，并证明AF＝FQ；（2）过点Q作NQ∥BC，交AC于点N，连接FN．若正方形ABCD的边长为1，写出一个BF的值，使四边形FCQN为平行四边形，并证明．19．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E．（1）求证：四边形MANP是正方形；（2）求证：EM＝BN．20．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：∵▱ABCD中，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，选项A符合题意；∵▱ABCD中，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B不符合题意；∵▱ABCD中，AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项C不符合题意；∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，选项D不符合题意；故选：A．2．解：连接AC，∵正方形ABCD的面积为4，∴AC2＝4，解得AC＝，∵菱形AECF的面积为2，∴AC•EF＝2，即×EF＝2，解得EF＝，故选：B．3．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°，∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；故选：B．4．解：在正方形ABCD中，BO＝DO，BC＝CD，∠BCD＝90°，∵F为DE的中点，∴OF为△DBE的中位线，ED＝2CF＝2EF，∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC，∵OF＝1，∴BE＝2OF＝2，∵CE＝6，∴BC＝BE+CE＝2+6＝8，∴CD＝BC＝8，在Rt△CED中，∠ECD＝90°，CD＝8，CE＝6，∴ED＝，∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC＝10+6＝16，故选：B．5．解：过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点，则有△BCF≌△BAE（ASA），则BE＝BF，S四边形ABCD＝S正方形BEDF＝8，∴BE＝＝．故选：C．6．解：作BM⊥x轴于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，∴∠DAO＝∠ABM，∵∠AOD＝∠AMB＝90°，∴在△DAO和△ABM中，，∴△DAO≌△ABM（AAS），∴OA＝BM，AM＝OD，∵A（﹣2，0），B（2，b），∴OA＝2，OM＝2，∴OD＝AM＝4，∴AD＝＝＝2，∴正方形ABCD的面积＝2×2＝20，故选：C．7．解：如图，连接BB'，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴BD＝AB＝2，BD平分∠ABC，∵E为AB边的中点，∴AE＝BE＝1，∵四边形BEB'F是正方形，∴BB'＝BE＝，BB'平分∠ABC，∴点B，点B'，点D三点共线，∴B'D＝BD﹣BB'＝，故选：A．8．解：作PH⊥AB于H，∴∠PHB＝90°，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PEB＝∠PEC＝∠PFC＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠1＝∠2＝∠BDC＝45°，∠ABC＝∠C＝90°，∴四边形BEPH和四边形PECF是矩形，PE＝BE，DF＝PF，∴四边形BEPH为正方形，∴BH＝BE＝PE＝HP，∴AH＝CE，∴△AHP≌△FPE，∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①、②正确，在Rt△PDF中，由勾股定理，得PD＝PF，∴PD＝CE．故③正确．∵点P在BD上，∴当AP＝AD、P A＝PD或DA＝DP时△APD是等腰三角形．∴△APD是等腰三角形只有三种情况．故④错误，∴正确的个数有3个．故选：C．二．填空题（共7小题，满分35分）9．解：∵正方形ABCD的面积为10，∴AD2＝10，∴DH＝＝＝1，∵△AHD≌△DGC，∴AH＝DG＝3，∴HG＝DG﹣DH＝2，∴正方形EFGH的面积＝HG2＝4，故答案为：4．10．解：∵四边形ABCD是正方形，∴EC＝ED，∠DEC＝90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠FEH＝90°，∴∠OEC＝∠MED，在△OEC和△MED中，，∴△OEC≌△MED（ASA）∴两个正方形的重叠部分（阴影部分）的面积＝△DEC的面积＝×正方形ABCD的面积＝0.25，故答案为：0.25．11．解：连接BD、BF，∵四边形ABCD，BEFG是正方形，且边长分别为3和4，∴∠DBC＝∠GBF＝45°，BD＝3，BF＝4，∴∠DBF＝90°，由勾股定理得：DF＝＝5，∵H为线段DF的中点，∴BH＝DF＝．故答案为：．12．解：如图，连接AC，过点A作AF∥MN，交BC于F，∵AM＝1，DM＝3，∴AD＝4，∵点O是正方形ABCD的中心，∴AO＝CO，AB＝AD＝BC＝4，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD∥BC，∴∠MAO＝∠NCO，又∵∠AOM＝∠CON，AO＝CO，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AM＝CN＝1，∵AD∥BC，AF∥MN，∴四边形AMNF是平行四边形，∴AM＝FN＝1，∴BF＝2，∵DE⊥MN，AF∥MN，∴DE⊥AF，∴∠AED+∠EAF＝90°，又∵∠EAF+∠AFB＝90°，∴∠AED＝∠AFB，又∵∠EAD＝∠ABF＝90°，AD＝AB，∴△ADE≌△BAF（AAS），∴AE＝BF＝2，∴DE＝＝＝2，故答案为2．13．解：∵AE＝BF＝CM＝DN，∴AN＝DM＝CF＝BE．∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF．∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．∴四边形EFMN是菱形．∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，∴∠ENA+∠DNM＝90°．∴∠ENM＝90°．∴四边形EFMN是正方形，∴EN最小时，正方形EFMN的面积最小，设AE＝DN＝x，则EN＝＝，∴x＝2时，EN的值最小，最小值＝，∴正方形EFMN的面积＝（）2＝8．14．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．故答案为：90°，﹣1．15．解：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，AD＝BC，∴AC＝＝＝10，∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE＝CF＝BF＝DE，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF＝AB＝6，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴EO＝FO＝3，AO＝CO＝5，当点G在点O上方时，∵∠EGF＝90°，EO＝FO，∴GO＝EO＝3，∴AG＝AO﹣GO＝5﹣3＝2，当点G'在点O下方时，∵∠EG'F＝90°，EO＝FO，∴G'O＝EO＝3，∴AG'＝AO+G'O＝5+3＝8，综上所述：AG＝2或8；（2）①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形，故该说法正确；②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形，故该说法正确；③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形，故该说法正确；④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形，故答案为①②③④．三．解答题（共5小题，满分45分）16．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠ACB＝∠ACD，在△PBC和△PDC中，，∴△PBC≌△PDC（SAS），∴PB＝PD，∵PE＝PB，∴PE＝PD；（2）判断∠PED＝45°．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∵△PBC≌△PDC，∴∠PBC＝∠PDC，∵PE＝PB，∴∠PBC＝∠PEB，∴∠PDC＝∠PEB，∵∠PEB+∠PEC＝180°，∴∠PDC+∠PEC＝180°，在四边形PECD中，∠EPD＝360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD＝360°﹣180°﹣90°＝90°，又∵PE＝PD，∴△PDE是等腰直角三角形，∴∠PED＝45°．17．解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG＝CE，连接BG，易知四边形BCDM是正方形，则△BEC与△BGM中，，∴△BEC≌△BMG（SAS），∴∠MBG＝∠CBE，BE＝BG，∵∠ABE＝45°，∴∠CBE+∠ABM＝∠MBG+∠ABM＝45°，即∠ABE＝∠ABG＝45°，在△ABE与△ABG中，，∴△ABE≌△ABG（SAS），∴AG＝AE＝10，设CE＝x，则AM＝10﹣x，AD＝12﹣（10﹣x）＝2+x，DE＝12﹣x，在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，∴100＝（x+2）2+（12﹣x）2，即x2﹣10x+24＝0；解得：x1＝4，x2＝6．故CE的长为4或6．18．解：（1）根据题意，作图如下：证明：在AB上截取BM＝BF，如下图，∵∠CFQ+∠AFB＝90°，∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠BAF＝∠CFQ，∵BF＝BM，∴CF＝AM，又∵∠AMF＝180°﹣45°＝135°，∠FCQ＝90°+45°＝135°，∴∠AMF＝∠FCQ，在△AMF和△FCQ中，，∴△AMF≌△FCQ（ASA），∴AF＝FQ；（2）当BF＝时，四边形FCQN为平行四边形，证明：如图，在AB上截取BM＝BF，连接MF，∵BF＝，BC＝1，∴FC＝，由（1）可得△BMF为等腰三角形，且△AMF≌△FCQ，∴CQ＝MF＝，∵NQ∥BC，∴∠FCQ+∠NQC＝180°，∵∠FCQ＝135°，∴∠NQC＝45°，∵∠NCQ＝90°，∴∠NQC＝45°＝∠NQC，∴，，∴NQ＝FC且NQ∥FC，∴四边形FCQN为平行四边形．19．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∴四边形MANP是矩形，∵AC平分∠DAB，PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM＝PN，∴四边形MANP是正方形；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴PM＝PN，∠MPN＝90°，∵∠EPB＝90°，∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN＝90°，∴∠MPE＝∠NPB，在△EPM和△BPN中，∵，∴△EPM≌△BPN（ASA），∴EM＝BN．20．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．。
鲁教版2019-2020八年级数学下册6.3正方形的性质与判定自主学习能力达标测试题3(附答案)
鲁教版2019-2020八年级数学下册6.3正方形的性质与判定自主学习能力达标测试题3（附答案）1．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝α，∠2＝β，那么∠3的度数是( )A ．90°－α－βB ．90°－α＋βC ．90°＋α－βD ．α＋β－90°2．下列命题中，假命题是（ ）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形3．下列命题中，假命题是（ ）A ．矩形的对角线相等B ．菱形的对角线互相垂直C ．正方形的对角线相等且互相垂直D ．梯形的对角线互相平分4．下列命题中正确的是（ ）A ．矩形的对角线一定垂直B ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C ．四个角都相等的四边形是正方形D ．菱形的对角线互相垂直平分 5．如图，等边ABC ∆与正方形DEFG 重叠，其中D 、E 两点分别在AB 、BC 上，且BD BE =．若6AB =，2DE =，则EFC ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．D ．46．以下命题，正确的是（ ）.A ．对角线相等的菱形是正方形B ．对角线相等的平行四边形是正方形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形7．下列说法中，不正确的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形D．有一组邻边相等的矩形是正方形8．下列命题中，正确的是（）A．菱形的对角线相等B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．正方形的对角线不能相等D．正方形的对角线相等且互相垂直9．正方形内有一点A，到各边的距离从小到大依次是1、2、3、4，则正方形的周长是（）A．10 B．20 C．24 D．2510．如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（﹣1，1），AB平行于x轴，则点C的坐标为（）A．（2，4）B．（2，5）C．（3，4）D．（3，5）11．现有若干张边长不相等但都大于4cm的正方形纸片，从中任选一张，如图所示，从距离正方形的四个顶点2cm处，沿45 角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间cm.阴影部分的面积是______212．已知，如图，正方形ABCD的面积为25，菱形PQCB的而积为20，则阴影部分的面积为________．13．如图，正方形ABCD 的边长为8，点M 在边DC 上，且DM =2，N 为对角线AC 上任意一点，则DN +MN 的最小值为______．14．如图，E 是正方形ABCD 的边AB 延长线上一点，且BE ＝AC ，则∠BED ＝_____．15．已知：正方形ABCD ，E 为平面内任意一点，连接DE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90︒得到DG ，当点B ，D ，G 在一条直线时，若4=AD ，DG =CE =________．16．如图，Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝5cm ，BC ＝2cm ，点P 从B 点出发以1cm /s 的速度沿CB 延长线运动，运动时间为t 秒．以AP 为斜边在其上方构造等腰直角△APD ．当t ＝1秒时，则CD ＝_____cm ，当D 运动的路程为cm 时，则P 运动时间t ＝_____秒．17．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具成为图1所示菱形，并测得，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线cm ，则图1中对角线的长为______cm.18．如图，正方形ABCD 和Rt AEF ∆，5,4AB AE AF ===，连接,BF DE ．若AEF ∆绕点A 旋转，当ABF ∠最大时，ADE S ∆=_____．19．现在全省各大景区都在流行“真人CS“娱乐项目，其中有一个“快速抢点”游戏，游戏规则：如图，用绳子围成的一个边长为10m 的正方形ABCD 场地中，游戏者从AB 边上的点E 处出发，分别先后赶往边BC 、CD 、DA 上插小旗子，最后回到点E.已知EB 3AE =，则游戏者所跑的最少路程是多少______m.20．如图，已知正方形ABCD 的边长为E 在对角线BD 上，且BE BC =，连接CE ，点P 是线段CE 上的一个动点，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，PR BE ⊥于点R ，则PQ PR +的值是______.21．如图，在正方形ABCD中，E是AD上一点，F是BA延长线上的一点，AF=AE，．（1）求证：△ABE≌△ADF（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论．22．如图，在等腰梯形中，，点是线段上的一个动点（与不重合），分别是的中点．（1）试探索四边形的形状，并说明理由．（2）当点运动到什么位置时，四边形是菱形？并加以证明．（3）若（2）中的菱形是正方形，探索线段与线段的关系，并证明你的结论．23．已知△ABC，分别以BC，AB，AC为边作等边三角形BCE，ACF，ABD(1)若存在四边形ADEF，判断它的形状，并说明理由．(2)存在四边形ADEF的条件下，请你给△ABC添个条件，使得四边形ADEF成为矩形，并说明理由．(3)当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在．24．如图，正方形ABCD 中，P 是BA 延长线上一点，且∠PDA =α（0︒<α< 45︒）.点 A ，点 E 关于 DP 对称，连接 ED ，EP ，并延长 EP 交射线CB 于点 F ，连接 DF .（1）请按照题目要求补全图形.（2）求证：∠EDF=∠CDF（3）求∠EDF(含有α 的式子表示)；（4）过 P 做PH ⊥DP 交 DF 于点 H ，连接 BH ， 猜想 AP 与 BH 的数量关系并加以证明.25．如图，已知正方形ABCD ，连接AC 、BD 交于点O ，CE 平分∠ACD 交BD 于点E ，（1）求DE 的长；（2）过点E 作EF ⊥CE ，交AB 于点F ，求BF 的长；26．如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，()()0,,,0,//A m B n AC OB ，且AC OB =，连接BC 交x 轴于点F ，其中mn 、28160n n ++=. （1）求A B 、两点坐标；（2）如图2，过A 作C AE B ⊥于E ，延长AE 交x 轴于点D ，动点P 从点B 出发以每秒2个单位的速度向x 轴正半轴方向运动，设PFD ∆的面积为S ，请用含t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接PE ，将PED ∆沿PE 翻折到PEG ∆的位置（点D 与点G 对应），当四边形PDEG 为菱形时，求点P 和点G 的坐标.27．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”，（1）已知点A（2，0），B（0，，则以AB为边的“坐标菱形”的面积为；（2）若点C（1，2），点D在直线y＝5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD解析式．参考答案1．A【解析】【分析】根据∠3=∠BOD+EOC-∠BOE，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOC的度数从而求解．【详解】解：如图：∵∠BOD=90°-∠1=90°-α，∠EOC=90°-∠2=90°-β，又∵∠3=∠BOD+∠EOC-∠BOE，∴∠3=90°-α+90°-β-90°=90°-α-β．故选：A．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角度的计算，正确理解∠2=∠BOD+EOC-∠BOE这一关系是解决本题的关键．2．D【解析】【分析】根据平行四边形的判定方法可知A是真命题，根据矩形的判定方法可知B是真命题，根据菱形的判定方法可知C是真命题，根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，可知D是假命题．【详解】A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题；C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题；D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，是假命题；故选：D．【点睛】本题主要考查了命题与定理，解题时注意：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，对角线互相垂直且相等的四边形可能是等腰梯形或筝形．3．D【解析】【分析】分别根据矩形，菱形，正方形，梯形对角线的特殊性质判断即可．注意只有在特殊情况下才有特殊的对角线之间的关系．【详解】A. 矩形的对角线相等，正确；B. 菱形的对角线互相垂直，正确；C. 正方形的对角线相等且互相垂直，正确；D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；故选D.【点睛】此题考查正方形的性质，梯形，菱形的性质，解题关键在于掌握各性质定理4．D【解析】【分析】根据矩形的性质、正方形的判定和菱形的性质逐项判断即可.【详解】解：A. 矩形的对角线相等且互相平分，不一定垂直，所以本选项不符合题意；B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以本选项不符合题意；C. 四个角都相等的四边形是矩形，不一定是正方形，所以本选项不符合题意；D. 菱形的对角线互相垂直平分，说法正确，所以本选项符合题意.故选D.【点睛】本题考查的是特殊四边形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是正确判断的关键.5．B【解析】【分析】作FM⊥BC于M，根据等边三角形性质得等边三角形，∠B=60°，BC=AB=6，根据直角三角形性质得FM=112EF=，根据三角形面积公式求解.【详解】如图，作FM⊥BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，BC=AB=6，∵BD=BE，∴△BDE是等边三角形，∴∠BED=60°，∵四边形DEFG是正方形，EF=DE=2，∠DEF=90°，∴∠FEM=30°，∴FM=11 2EF=∵EC=BC-BE=4，∴△EFC的面积= 1412 2⨯⨯=故选：B．【点睛】本题考查了正方形的对边平行，四条边都相等的性质，等边三角形的判定与性质，综合题，但难度不大，熟记各图形的性质是解题的关键．6．A【解析】【分析】利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A、对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误，是假命题，故选：A．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定方法．7．B【解析】【分析】平行四边形判定：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.所有邻角（每一组邻角）都互补的四边形是平行四边形；6.对角线互相平分的四边形是平行四边形.正方形判定：1.有一个内角是直角的菱形是正方形.2.邻边相等的矩形是正方形.3.对角线相等的菱形是正方形.4.对角线相互垂直的矩形是正方形.5.对角线相互垂直平分的平行四边形是正方形.菱形判定：1.四条边相等的四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形).3.一组邻边相等的平行四边形是菱形.4.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.【详解】A、正确．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；B、错误．比如等腰梯形，满足条件，不是平行四边形；C、正确．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；D、正确．有一组邻边相等的矩形是正方形；故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形与特殊的平行四边形的判定，牢固掌握判定定理即可解题.8．D【解析】【分析】根据菱形，平行四边形，正方形的性质定理判断即可．【详解】A.菱形的对角线不一定相等，A 错误；B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，B 错误；C. 正方形的对角线相等，C错误；D.正方形的对角线相等且互相垂直，D 正确；故选：D．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9．B【解析】【分析】正方形内一点到两边的距离之和等于边长，故找到1+4=2+3这个等量关系，可以确定边长=5，正方形周长=4×边长．【详解】解：由于A在正方形内，所以A到两组对边的距离之和相等，由于只有1+4=2+3=5，于是，正方形的边长只能为5，故正方形的周长=4×5=20，故选：B．【点睛】此题主要考查正方形的性质的知识点，题目的设置将正方形的边长为5，以条件“正方形内有一点A，到各边的距离分别为1，2，3，4”，将其巧妙地隐藏起来，等待解题者去发见．故解本题的关键是找到边长=5这个隐藏条件．10．D【解析】【分析】根据正方形的边长加上点A的横坐标得到点C的横坐标，加上点A的纵坐标得到点C的纵坐标，从而得解．【详解】解：如图，∵正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（﹣1，1），∴点C的横坐标为4﹣1＝3，点C的纵坐标为4+1＝5，∴点C的坐标为（3，5）．故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，根据图形明确正方形的边长与点的坐标的关系是解题的关键．11．8【解析】首先根据题意可计算的AB的长度，再根据面积计算公式可得阴影部分的面积.【详解】根据题意可得如图所示的AB=所以阴影部分的面积=(28=cm2因此答案为8cm2【点睛】本题主要考查正方形的性质，关键在于作图，求出阴影部分的边长.12．11【解析】【分析】由题意易得AB=BC=BP=PQ=QC=5，EC=4，在Rt△QEC中，可根据勾股定理求得EQ=3，又有PE=PQ-EQ=2，进而可得S阴影的值．【详解】∵正方形ABCD的面积是25，∴AB=BC=BP=PQ=QC=5，又∵S菱形PQCB=PQ×EC=5×EC=20，∴S菱形PQCB=BC•EC，即20=5•EC，∴EC=4，在Rt△QEC中，；∴PE=PQ-EQ=2，∴S阴影=S正方形ABCD-S梯形PBCE=25-12×（5+2）×4=25-14=11．故答案为：11．此题主要考查了菱形的性质和面积计算以及正方形的性质，根据已知得出EC=8，进而求出EQ的长是解题关键．13．10【解析】【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，连接BD,BM交AC于N′,连接DN′,N′即为所求的点，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又∵CM=CD−DM=8−2=6，∴在Rt△BCM中，10BM===，故答案为：10.【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出M关于直线AC的对称点M′,由轴对称及正方形的性质判断出点M′在BC上是解答此题的关键.14．22.5°【解析】【分析】首先连接BD，所以得BE＝AC＝BD，即得∠BED＝∠BDE，根据正方形的性质得∠ABD ＝45°，∠BED+∠BDE＝∠ABD＝45°，从而求得∠BED．【详解】∵正方形ABCD，AD＝AB，∴∠ABD＝45°，∴AC＝BD，∵BE＝AC，∴BE＝BD，∴∠BED＝∠BDE，∴∠BED+∠BDE＝∠ABD＝45°，∴2∠BED＝45°，∴∠BED＝22.5°，故答案为22.5°．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形底角相等的性质，根据∠BED＝∠BDE和∠BED+∠BDE＝∠ABD＝45°求∠BED是解题的关键．15．【解析】【分析】分两种情况讨论：（1）当点G在线段BD上时，如下图连接EG交CD于F；（2）当点G在线段BD的延长是线上时，如下图连接EG交CD的延长线于F.根据两种情况分别画出图形，证得GDE等腰直角三角形，求出DF=EF=2，然后在直角三角形ECF中利用勾股定理即可求出CE的长.【详解】解：分两种情况讨论：（1）当点G在线段BD上时，如下图连接EG交CD于F∵ABCD是正方形∴CD=AD=4∵线段DE绕点D顺时针旋转90︒得到DG∴GDE∆是等腰直角三角形，DE=DG=∴DF=EF=2∴CF=CD-DF=4-2=2∴CE=（2）当点G在线段BD的延长线上时，如下图连接EG交CD的延长线于F∵ABCD是正方形∴CD=AD=4∵线段DE绕点D顺时针旋转90︒得到DG∴GDE∆是等腰直角三角形，DE=DG=∴DF=EF=2∴CF=CD+DF=4+2=6∴=综上所述，CE的长为或【点睛】∆是本题考查了正方形的性质、旋转的性质及等腰直角三角形的性质，通过旋转证得GDE 等腰直角三角形进行有关的计算是解题的关键.16．8【解析】【分析】连接CD，作DF⊥CB于F，DE⊥CA于E．首先证明AC+CB，延长即可解决问题；【详解】解：连接CD，作DF⊥CB于F，DE⊥CA于E．∵DA＝DP，∠ADP＝90°，∴∠DAP＝∠DP A＝45°，∵∠ACP+∠ADP＝180°，∴A，C，P，D四点共圆，∴∠ACD＝∠APD＝45°，∴∠ACD＝∠DCF，∵DE⊥CA，DF⊥CF，∴DE＝DF，∵∠EDF＝∠ADP＝90°，∴∠ADE＝∠PDF，∵∠DEA＝∠DFP＝90°，∴△DEA≌△DFP（ASA），∴AE＝DF，∵CD＝CD，DE＝DF，∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），∴CE＝DF，∴四边形ECFD是正方形，∴AC+CP＝EC+AE+CF﹣PF＝2EC，∵t＝1s时，AC＝5cm，CP＝3cm，∴CD＝cm），，当t＝0时，CD当D运动的路程为cm时，CD＝，∵AC+CP，∴5+CP＝15，∴CP＝10，∴PB＝8，t＝8.故答案为：8．【点睛】本题考查勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．17．【解析】【分析】如图1，2中，连接AC．在图2中，理由勾股定理求出BC，在图1中，只要证明△ABC是等边三角形即可解决问题．【详解】如图1，2中，连接AC.在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC,∠B=90°，∵AC=40°，∴AB=BC=a ，在图1中,∵∠B=60°，BA=BC ，∴△ABC 是等边三角形，∴AC=BC=a.故答案为：a.【点睛】此题考查菱形的性质，正方形的性质，解题关键在于作辅助线.18．6【解析】【分析】作DH AE ⊥于H ，如图，由于A F=4，则AEF ∆绕点A 旋转时，点F 在以A 为圆心，4为半径的圆上，当BF 为此圆的切线时，ABF ∠最大，即BF AF ⊥，利用勾股定理计算出3BF =，接着证ADH ABF ∆≅∆得到3DH BF ==，然后根据三角形面积公式求解．【详解】作DH AE ⊥于H ，如图，4AF =，当AEF ∆绕点A 旋转时，点F 在以A 为圆心，4为半径的圆上，∴当BF 为此圆的切线时，ABF ∠最大，即BF AF ⊥，在Rt ABF ∆中，3BF ==,90EAF ︒∠=，90BAF BAH ︒∴∠+∠=，90DAH BAH ︒∠=+∠，DAH BAF ∴∠=∠，在ADH ∆和ABF ∆中AHD AFB DAH BAF AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADH ABF AAS ∴∆≅∆，3DH BF ∴==，1134622ADE S AE DH ∆∴=⋅=⨯⨯=． 故答案为：6．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．19．【解析】【分析】延长DC 到D ¢，使CD CD '=，G 关于C 对称点为G ，则FG FG '=，作D A CD '''⊥，D A DA ''=，H 关于C 的对称点为H '，则G H GH ''=；再作A B D A ''''⊥，E 关于G '的对称点为E '，则H E HE ''=；由两点之间线段最短可知当E 、F 、G '、H '、E '在一条直线上时路程最小，延长AB 至K 使BK AB =，连接E'K ，利用勾股定理即可求出EE'的长．【详解】延长DC 到D ¢，使CD CD '=，G 关于C 对称点为G ，则FG FG '=，作D A CD '''⊥，D A DA ''=，H 关于C 的对称点为H '，则G H GH ''=；再作A B D A ''''⊥，E 关于G '的对称点为E '，则H E HE ''=；延长AB 至K 使BK AB =，连接E'K ，如图所示：容易看出，当E 、F 、G '、H '、E '在一条直线上时路程最小，最小路程为EE '===(m)，故答案为：【点睛】本题考查的是正方形的性质以及最短路线问题，解答此题的关键是画出图形，根据两点之间线段最短的道理求解．20．4【解析】【分析】连接BP ，设点C 到BE 的距离为h ，然后根据BCE BCP BEP S S S ∆∆∆+＝，求出h PQ PR +＝，再根据正方形的性质求出h 即可．【详解】解：如图，连接BP ，设点C 到BE 的距离为h ，则,BCE BCP BEP S S S ∆∆∆+＝ 即111•••222BE h BC PQ BE PR +＝， BE BC ＝，h PQ PR ∴+＝，∵正方形ABCD 的边长为42h ∴＝． 故答案为4．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，熟记性质并作辅助线，利用三角形的面积求出PQ +PR 等于点C 到BE 的距离是解题的关键．21．（1）见解析；（2）(2)BE=DF ，BE ⊥DF ；证明见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和SAS 即可证明；（2）根据旋转的性质得出△ABE ≌△ADF ，从而得出BE=DF ，再根据正方形的性质得出BE ⊥DF ．【详解】(1)∵ ABCD 是正方形，∴DA=BA,∠DAB=∠DAF=90°，在△ABE 和△ADF 中，,DA BA DAB DAF AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE ≌△ADF （SAS ）证明：(2)BE=DF ，BE ⊥DF ；延长BE 交DF 于G ；由△ABE ≌△ADF ，得BE=DF ，∠ABE=∠ADF ；又∠AEB=∠DEG ；∴∠DGB=∠DAB=90°；【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.22．（1）四边形是平行四边形，理由详见解析；（2）当点运动到的中点时，四边形是菱形；（3）当（2）中的菱形是正方形时．，． 【解析】【分析】（1）由中位线定理可知，．利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边即可；（2）由BE=CE即可得四边形EGFH是菱形；所以需要当点E运动到AD的中点；（3）根据菱形EGFH是正方形即可得，；从而可得△BEC为等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出结论.【详解】解：（1）四边形是平行四边形．理由如下：∵分别是，，的中点，∴，．∴四边形是平行四边形（2）当点E运动到AD的中点时，四边形EGFH是菱形．证明：∵四边形是等腰梯形，∴，∠A=∠D，∵，∴(SSS)，∴．∵分别是，的中点，∴．由（1）知四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．（3）当（2）中的菱形是正方形时．，．证明：∵四边形是正方形，∴，．∵分别是，的中点，∴．∵是的中点，∴，．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质及菱形的判定，难度不大，关键是掌握菱形、正方形的判定方法和性质．23．（1）详见解析；（2）当∠BAC ＝150°时，四边形ADEF 是矩形；（3）∠BAC=60°时，这样的平行四边形ADEF 不存在.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC ＝AF ，AB ＝BD ，BC ＝BE ，∠EBC ＝∠ABD ＝60°，求出∠DBE ＝∠ABC ，根据SAS 推出△DBE ≌△ABC ，根据全等得出DE ＝AC ，求出DE ＝AF ，同理AD ＝EF ，根据平行四边形的判定推出即可；（2）当AB ＝AC 时，四边形ADEF 是菱形，根据菱形的判定推出即可；当∠BAC ＝150°时，四边形ADEF 是矩形，求出∠DAF ＝90°，根据矩形的判定推出即可；（3）这样的平行四边形ADEF 不总是存在，当∠BAC ＝60°时，此时四边形ADEF 就不存在．【详解】（1）证明：∵△ABD 、△BCE 和△ACF 是等边三角形，∴AC ＝AF ，AB ＝BD ，BC ＝BE ，∠EBC ＝∠ABD ＝60°，∴∠DBE ＝∠ABC ＝60°﹣∠EBA ，在△DBE 和△ABC 中BD BA DBE ABC BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBE ≌△ABC ，∴DE ＝AC ，∵AC ＝AF ，∴DE ＝AF ，同理AD ＝EF ，∴四边形ADEF 是平行四边形；（2）解：当∠BAC ＝150°时，四边形ADEF 是矩形，理由是：∵△ABD 和△ACF 是等边三角形，∴∠DAB ＝∠F AC ＝60°，∵∠BAC ＝150°，∴∠DAF ＝90°，∵四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF是矩形；（3）解：这样的平行四边形ADEF不总是存在，理由是：当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时点D、A、F在同一条直线上，此时四边形ADEF就不存在．【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．24．(1)图见解析，（2）证明见解析；（3）∠EDF=45°，（4）.【解析】【分析】（1）根据题目条件直接作图即可；（2）根据对称可知DE=AD，∠PAD=∠DEP=90°，易证Rt△EDF≌Rt△CDF，即可得到结论.（3）根据（2）可得∠EDF=∠CDF=12∠PDC，即可得∠EDF=45°+α；（4）作HG⊥PB，构造△PDA≌△HPG和等腰直角△HGB.由（3）得∠EDF=45°+α；可得∠PDH=45°，△PDG是等腰直角三角形，得PD=PH,进而可证△PDA≌△HPG，HG=PA=BG，即可得△HGB是等腰直角三角形，所以【详解】(1)如图：（2）证明：∵点 A，点 E 关于DP 对称，∴DE=AD ，∠PAD=∠DEP ，∵在正方形ABCD 中，AD=CD ，∠C=∠DAB=90°，∴DE=CD ，∠E=∠C=90°，在Rt △EDF 和Rt △CDF 中，DE AD DF DF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △EDF ≌Rt △CDF （HL ），∴∠EDF=∠CDF.（3）由（2）得∠EDF=∠CDF=12∠PDC ， 又∵∠PDC=90°+2α. ∴∠EDF=45°+α.（4）结论：PA.如图：过H 点作HG 垂直于PB ，∵∠PDF=∠EDF-∠EPD ，∵∠EDF=45°+α，∠EPD=α，∴∠PDF=45°.又∵PD ⊥PF ，∴△PDG 是等腰直角三角形，∴AP=HP ，又∵∠PDA+∠DPA=90°，∠PDA+∠HPA=90°，∴∠PDA=∠HPA,在△PDA 和△HPG 中，PD PH PDA HPG DAP PGH =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴△PDA ≌△HPG （AAS ）∴PA=HG ,DA=PG ,∵DA=AB ，∴BG=PA ，∴△HGB 为等腰直角三角形，∴，∴PA.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用在证明角相等，作辅助线构造成全等三角形是解题的关键．25．（1）DE= 2（2）BF= 2.【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，得到∠ABC=∠ADC=90°，∠DBC=∠BCA=∠ACD=45°，然后根据角平分线的意义求出∠ACE=∠DCE=12∠ACD=22.5°，进而得出△BCE 是等腰三角形，求得BC=BE ，然后根据勾股定理求出BD 的长，从而得到DE 的长；（2）根据正方形的性质，由全等三角形的判定证得△FEB ≌△ECD ，然后根据全等三角形的性质求解即可.【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=∠ADC=90°，∠DBC=∠BCA=∠ACD=45°，∵CE 平分∠DCA ，∴∠ACE=∠DCE=∠ACD=22.5°，∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+22.5°=67.5°，∵∠DBC=45°，∴∠BEC=180°﹣67.5°﹣45°=67.5°=∠BCE ， ∴BE=BC=，在Rt △ACD 中，由勾股定理得：BD==2， ∴DE=BD ﹣BE=2﹣；（2）∵FE ⊥CE ，∴∠CEF=90°，∴∠FEB=∠CEF ﹣∠CEB=90°﹣67.5°=22.5°=∠DCE ， ∵∠FBE=∠CDE=45°，BE=BC=CD ，∴△FEB ≌△ECD ，∴BF=DE=2﹣. 【点睛】此题主要考查了正方形的性质的应用，熟练掌握正方形的性质，并灵活利用正方形的性质求解是解题关键.26．（1）()()0,4,4,0A B -；（2）①当03t ≤<时，62S t =-，②当3t >时，26S t =-；（3）①当03t ≤<，2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，41255G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；②当3t >时，2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，41255G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭。
解直角三角形同步训练(附答案)2021--2022学年鲁教版(五四制)九年级数学上册
2.4解直角三角形同步优生辅导训练一．选择题（共12小题）1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD 长的最大值是（）A．2+B．2+1C．2+D．2+22．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan ∠OBD的值是（）A．B．2C．D．3．如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（）A．h1＝h2B．h1＜h2C．h1＞h2D．以上都有可能4．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，设∠CAB＝α，CD＝h，那么BC的长度为（）A．B．C．D．h•cosα5．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（）A．B．C．D．6．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值为（）A．2B．C．D．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列关系式中错误的是（）A．BC＝AB•sin A B．BC＝AC•tan A C．AC＝BC•tan B D．AC＝AB•cos B 8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝，则Rt△ABC的三边a、b、c之比a：b：c为（）A．2：：3B．1：：C．1：2：3D．2：：9．在△ABC中，BC＝2，AC＝2，∠A＝30°，则AB的长为（）A．B．2C．或4D．2或410．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，则cos A的值为（）A．B．C．D．11．在△ABC中，如果sin A＝，cot B＝，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形12．如图，已知∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，BE是∠CBD的平分线，O，P分别是BD，BE上的动点（与点B不重合），分别过点O，P作OM⊥BC，PN⊥BC，垂足分别是点M，N．当点M，N重合时，的值是（）A．+1B．2﹣3C．2D．二．填空题（共4小题）13．将一副直角三角板拼成如图所示的四边形ABCD，一边重合，若∠CAB＝45°，∠CAD ＝30°，连接BD，则tan∠DBC＝．14．如图△ABC中∠ACB＝90°，D在AC上，AD＝4CD，若∠BAC＝2∠CBD，则tan A＝．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，若斜边上的高CD＝2，则AC＝．16．在△ABC中，AB＝2AC，tan B＝，BC边上的高长为2，则△ABC的面积为．三．解答题（共4小题）17．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB．（1）若AE＝1，求△ABD的周长；（2）若AD＝BD，求tan∠ABC的值．18．如图1，△ABC中，D为AC边上一动点（不含端点），过点D作DE∥AB交BC于点E，过点E作EF∥AC交AB于点F，连接AE，DF．点D运动过程中，始终有AE＝DF．（1）求证：∠BAC＝90°；（2）如图2，若AC＝3，tan B＝，当AF＝AD时，求AD的长．19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝cos∠DAC．（1）求证：AC＝BD；（2）若sin C＝，BC＝12，求△ABC的面积．20．已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB边上一点，连接CD，E是CD上一点，且∠AED＝45°．（1）如图1，若AE＝DE，①求证：CD平分∠ACB；②求的值；（2）如图2，连接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值．参考答案一．选择题（共12小题）1．解：如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT＝，∵＝＝2，∴＝，∵∠ADT＝∠ABC＝90°，∴△ADT∽△ABC，∴∠DAT＝∠BAC，＝∴∠DAB＝∠TAC，∵＝，∴△DAB∽△TAC，∴＝＝，∴TC＝2，∵CD≤DT+CT，∴CD≤1+2，∴CD的最大值为1+2，故选：B．2．解：如图：作OF⊥AB于F，∵AB＝AC，AD平分∠BAC．∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．∴根据勾股定理得：AD＝＝8．∵BE平分∠ABC．∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42．∴x＝3．∴OD＝3．在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．故选：A．3．解：如图，分别作出△ABC底边BC上的高为AD即h1，△PQR底边QR上的高为PE 即h2，在Rt△ADC中，h1＝AD＝5×sin55°，在Rt△PER中，h2＝PE＝5×sin55°，∴h1＝h2，故选：A．4．解：∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠CAD＝α，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝，CD＝h，∴BC＝．故选：B．5．解：法一、如图，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴AB＝＝＝3，∴cos∠ABC＝＝＝．故选：B．法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴cos∠ABC＝cos45°＝．故选：B．6．解：∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，∴AC2+AB2＝BC2．∴∠CAB＝90°．∴tan∠ABC＝．故选：C．7．解：如图所示：∵sin A＝，∴BC＝sin A×AB，故选项A正确；∵tan A＝，∴BC＝tan A×AC，故选项B正确；∵tan B＝，∴AC＝tan B×BC，故选项C正确；∵cos B＝，∴BC＝cos B×AB≠AC，故选项D错误．故选：D．8．解：∵∠C＝90°，∴cos B＝＝，设a＝2x，c＝3x，∴b＝＝x，∴a：b：c＝2x：x：3x＝2：：3．故选：A．9．解：作CD⊥AB交AB的延长线于点D，当B2C＝2时，∵∠A＝30°，∠ADC＝90°，AC＝2，∴CD＝，∴AD＝＝3，B2D＝＝1，∴AB2＝3﹣1＝2，同理可得，AB1＝3+1＝4，即AB的长为2或4，故选：D．10．解：∵在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝36°．∵D是AB中点，DE⊥AB，∴AE＝BE，AD＝BD＝AB＝2，∴∠ABE＝∠A＝36°，∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°＝∠C，∴BE＝BC＝AE，设BC＝AE＝x，则CE＝AC﹣AE＝4﹣x．∵∠ABC＝∠BEC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BEC，∴＝，即＝，解得：x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（舍去），∴AE＝2﹣2，∴cos A＝＝＝，故选：C．11．解：∵sin A＝，cot B＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选：D．12．解：当M，N重合时，点P在OM上，如图，过点P作PH⊥BD于H，∵BE是∠CBD的平分线，PN⊥BC，∴PH＝PM，∵∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABC＝30°，∴∠BOP＝90°﹣30°＝60°，∵在Rt△POH中，PO＝＝PH，∴＝+1．故选：A．二．填空题（共4小题）13．解：作DE⊥BC，交BC延长线于点E，设CD＝x，∵∠CAB＝45°，∠CAD＝30°，一副直角三角板拼成的四边形ABCD，∴∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，∴∠DCE＝30°，∴BC＝AC＝2x，DE＝x，CE＝x，∴tan∠DBC＝＝＝．故答案为：．14．解：延长AC至E，使CE＝CD，连接BE，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵CE＝CD，∴BC是DE的垂直平分线，∴BD＝BE，∴∠E＝∠BDE，设∠CBD＝α，则∠BAC＝2α，∴∠E＝∠BDE＝90°﹣α，∴∠ABE＝180°﹣∠E﹣BAC＝180°﹣（90°﹣α）﹣2α＝90°﹣α，∴∠E＝∠ABE，∴AB＝AE，设CD＝x，则AD＝4x，∴AE＝AB＝6x，AC＝5x，在Rt△ABC中，BC＝＝＝x，∴tan A＝＝．故答案为：．15．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°．∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD＝90°．∴∠ACD＝∠B．∵sin B＝，∴sin∠ACD＝．∵sin∠BCD＝．∴＝．设AD＝a，则AC＝3a．．∵CD＝2，∴2．∴a＝．∴AC＝．故答案为：．16．解：在Rt△ADB中，tan B＝，∴＝，解得，BD＝6，由勾股定理得，AB＝＝＝2，∴AC＝＝＝，由勾股定理得，CD＝＝＝1，如图1，BC＝CD+BD＝1+6＝7，∴△ABC的面积＝×BC×AD＝×7×2＝7，如图2，BC＝BD﹣CD＝6﹣1＝5，∴△ABC的面积＝×BC×AD＝×5×2＝5，∴△ABC的面积为7或5，故答案为：7或5．三．解答题（共4小题）17．解：（1）如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，∴BD＝CD，C＝AB+AD+BD△ABD＝AB+AD+DC＝AB+AC，∵AB＝CE，＝AC+CE＝AE＝1，∴C△ABD故△ABD的周长为1．（2）设AD＝x，∴BD＝3x，又∵BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝4x，在Rt△ABD中，AB＝＝＝2．∴tan∠ABC＝＝＝．18．（1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形．∵AE＝DF，∴▱ADEF是矩形．∴∠BAC＝90°．（2）解：当AF＝AD时，由（1）知，此时四边形ADEF是正方形．方法1，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B，∠EDC＝∠BAC＝90°．∴tan∠DEC＝tan B＝．在Rt△DEC中，设DC＝3x，则DE＝4x．∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝DE＝4x．∴AC＝AD+DC＝7x＝3．∴x＝，∴AD＝4x＝．方法2：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan B＝，AC＝3，∴AB＝4．∵四边形ADEF是正方形，设AD＝DE＝x．∵DE∥AB，∴△CED∽△CBA．∴，即，解得x＝，∴AD＝．19．（1）证明：∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵tan B＝cos∠DAC，∴＝，∴BD＝AC；（2）解：设AC＝BD＝x，∴CD＝BC﹣BD＝12﹣x，∵sin C＝，∴cos C＝，tan C＝，∴＝，＝，即＝，解得：x＝，∴CD＝12﹣x＝，∴AD＝CD＝×＝8，∴△ABC的面积＝BC×AD＝×12×8＝48．20．（1）①证明：∵AE＝DE，∴∠ADE＝∠DAE，∵∠CAD＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∠DAE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠ACD，∴EA＝EC，∵∠AED＝45°＝∠CAE+∠ACD，∴∠ACD＝22.5°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACD＝22.5°，∴CD平分∠ACB．②解：如图1中，过点D作DT⊥BC于T．∵CD平分∠ACB，DT⊥CB，DA⊥CA，∴DA＝DT，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝45°，∴BD＝DT＝AD，∴＝．（2）解：如图2中，连接BE，过点C作CT⊥AT交AE的延长线于T．∵AE⊥BE，CT⊥AT，∴∠AEB＝∠T＝∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，∴∠ABE＝∠CAT，∵AB＝AC，∴△ABE≌△CAT（AAS），∴AE＝CT，BE＝AT，∵∠AED＝∠CET＝45°，∠T＝90°，∴ET＝CT＝AE，∴BE＝2AE，∴tan∠ABE＝＝。
鲁教版初中数学八年级下册《相似三角形的性质》同步练习1
8 相似三角形的性质一、请你填一填（1）某建筑物在地面上的影长为36米，同时高为1.2米的测杆影长为2米，那么该建筑物的高为________米.（2）垂直于地面的竹竿的影长为12米，其顶端到其影子顶端的距离为13米，如果此时测得某小树的影长为6米，则树高________米.（3）如图1，若OA∶OD=OB∶OC=n，则x=________（用a,b,n表示）.图1二、认真选一选（1）如图2，铁道口的栏道木短臂长1米，长臂长16米，当短臂下降0.5米时，长臂的端点升高________米（）A.11.25B. 6.6C.8D.10.5图2（2）一个地图上标准比例尺是1∶300000,图上有一条形区域，其面积约为24 cm2，则这块区域的实际面积约为（）平方千米（）A.2160B.216C.72D.10.72（3）如图3，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（）图3A.AE⊥AFB.EF∶A F=2∶1C.AF2=FH·FED.FB∶FC=HB∶EC三、用数学眼光看世界如图4，要测一个小湖上相对两点A、B的距离，要求在AB所在直线同一侧岸上测.小明采取了以下三种方法，如图5，6，7.图4（1）请你说明他各种测量方法的依据.（2）根据所给条件求AB的长.方法一：已知BC=50米，AC=130米，则AB=________米，其依据是________.图5方法二：已知AO∶OD=OB∶OC=3∶1,CD=40米，则AB=________米，其依据是_____________.图6方法三：已知E、F分别为AC、BC的中点，EF=60米，则AB=________米，其依据是_____________.图7参考答案一、（1）21.6 （2）2.5 （3）2nb a二、（1）C （2）B （3）C 三、方法一：AB =120米，△ABC 为直角三角形，根据勾股定理可得AB 长. 方法二：AB =120米，△AOB ∽△DOC 则对应边成比例.方法三：AB =120米，EF 是△ABC 的中位线，由三角形中位线定理得EF =21AB .。
鲁教版数学八年级下学期第六章《特殊平行四边形》单元测试题含答案解析
年春鲁教版八下《特殊四边形》检测题班级 姓名 分数一、选择题（每小题5分，共50分）1、平行四边形两个邻角的角平分线所成的角是（ ）A . 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 不能确定2、下列说法正确的是 （ ）A. 一组对边相等的四边形是平行四边形B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C. 一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形D. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形3、在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC ＝4，则ＢＤ的长为（ ）A. 38B. 34C. 32D. 84、 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）A.四条边相等B. 对角线互相垂直平分C. 对角线平分一组对角D. 对角线相等5、四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，能判定它为正方形的题设是（ ）（A ）AO=CO ，BO=DO; （B ）AO=CO=BO=DO;（C ）AO=CO ，BO=DO ，AC ⊥BD; （D ）AO=BO=CO=DO ，AC ⊥BD6、 已知四边形的两条对角线相等，那么顺次连结四边形各边中点得到得四边形是（ ）A.梯形B.矩形C. 菱形D. 正方形7、如果等腰梯形两底之差等于一腰的长，那么这个等腰梯形的锐角等于（ ）A. 60°B. 30°C. 45°D. 15°8、如图（1） ABCD 中，∠C ＝108°，BE 平分∠ABC ，则∠AEB 等于（ ）A. 18°B. 36°C. 72°D. 108°9、 如图（2），O 为平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 的交点，EF 经过点O ，且与边CD 、AB 分别交于点E 、F ，则图中的全等三角形有 ( )A. 2对B. 3对C. 5对D. 6对10、如图（3），在梯形ABCD 中A Ｄ∥ＢＣ，对角线AC ⊥ＢＤ，且ＡＣ＝１２，ＢＤ＝９，则AD+BC= （ ）A. 20B. 21C. 15D. 24二、填空题（每小题5分，共30分） 1、矩形一个角的平分线分矩形一边为1㎝和3㎝两部分，则这个矩形的面积为 。
鲁教版2019八年级数学下册第六章第三节正方形的性质与判定假期预习自主测试题一(基础部分含答案)
鲁教版2019八年级数学下册第六章第三节正方形的性质与判定假期预习自主测试题一（基础部分含答案）1．从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（）A．①B．②C．③D．④2．如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（）A．B．C．D．3．在四边形中，能判定这个四边形是正方形的条件是A．对角线相等，对边平行且相等B．一组对边平行，一组对角相等C．对角线互相平分且相等，对角线互相垂直D．一组邻边相等，对角线互相平分4．如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是( )A．1B．1.5C．2D．2.55．下列说法错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D．邻边相等的矩形是正方形6．下列说法正确的是（）A．两条对角线相等的四边形是平行四边形B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．两条对角线平分且相等的四边形是正方形7．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝60，则S2的值是（）A．12 B．15 C．20 D．308．下列说法正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是正方形B．有一组邻边相等的四边形是正方形C．有一组邻边相等的矩形是正方形D．四条边都相等的四边形是正方形9．七巧板是我国祖先创造的一种智力玩具，它来源于勾股法，如图①整幅七巧板是由正方形ABCD分割成七小块（其中：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形）组成，如图②是由七巧板拼成的一个梯形，若正方形ABCD的边长为12cm，则梯形MNGH的周长是cm（结果保留根号）．10．正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH沿FH 翻折，使点B的对应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交FH于点M，当GB平分∠CGE时，BM=，AE=8，则S四边形EFMG=________．11．已知正方形的边长为，则该正方形的边长与对角线之比为________．12．是正方形的对角线上一点，，，垂足分别是、．若，，则的长为________．13．如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形面积依次是、、、，则______．14．如图，在中，点是边上一动点，，，对及线段添加条件________使得四边形是正方形．15．如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_____．16．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E，F分别是边AD，BC上的点，将正方形纸片沿EF折叠，使得点A落在CD边上的点A′处，此时点B落在点B′处．已知折痕EF=13，则AE的长等于_________．17．以的各边，在边的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形，，，试探究：如图中四边形是什么四边形？并说明理由．当满足什么条件时，四边形是矩形？当满足什么条件时，四边形是正方形？18．综合与实践问题情境在综合实践课上，老师让同学们“以三角形的旋转”为主题进行数学活动，如图（1），在三角形纸片ABC中，AB=AC，∠B=∠C=α．操作发现（1）创新小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转角度α，得到△AFG，连接DF，得到图（2），则四边形AFDE的形状是．（2）实践小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针逆转90°，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△AFG，连接DF、DG、AE，得到图（3），发现四边形AFDB为正方形，请你证明这个结论．拓展探索（3）请你在实践小组操作的基础上，再写出图（3）中的一个特殊四边形，并证明你的结论．19．如图，在平行四边形ABCD中，点M、N分别在线段DA、BA的延长线上，且BD=BN=DM，连接BM、DN并延长交于点P．（1）求证：∠P=90°﹣∠C；（2）当∠C=90°，ND=NP时，判断线段MP与AM的数量关系，并给予证明．20．如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于F.（1）直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，若点E在AC的延长线上，过点A作AM⊥BE ,AM交DB的延长线于点F，其他条件不变.问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由；（3）如图3，当BC=CE时，求∠EAF的度数.21．如图，在▱ABCD中，∠ACB=45°，点E在对角线AC上，BE=BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH=AG，连接EH．（1）若BC=12，AB=13，求AF的长；（2）求证：EB=EH．22．如图，点P是正方形ABCD的边BC上的任意一点，连接AP，作DE⊥AP，垂足是E，BF⊥AP，垂足是F.求证：DE＝BF＋EF.答案1．C2．D3．C4．C5．B6．C7．C8．C9．24+24解：观察图形得MH=GN=AD=12，HG=AC，AD=DC=12，AC=12，HG=6．梯形MNGH的周长=HG+HM+MN+NG=2HM+4HG=24+24．故答案为：24+24．10．806 15解：过B作BP⊥EH于P，连接BE，交FH于N，则∠BPG=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，∴∠BCD=∠BPG=90°，∵∠EGB=∠CGB，BG=BG，∴△BPG≌△BCG，∴∠PBG=∠CBG，BP=BC，∴AB=BP，∵∠BAE=∠BPE=90°，BE=BE，∴Rt△ABE≌Rt△PBE（HL），∴∠ABE=∠PBE，∴∠EBG=∠EBP+∠GBP=12∠ABC=45°，由折叠得：BF=EF，BH=EH，∴FH垂直平分BE，∴△BNM是等腰直角三角形，∵BM=，∴BN=NM==，∴BE=，∵AE=8，∴DE=12﹣8=4，由勾股定理得：AB=12，设BF=x，则EF=x，AF=12﹣x，由勾股定理得：x2=82+（12﹣x）2，x=263，∴BF=EF=263，∵△ABE≌△PBE，∴EP=AE=8，BP=AB=12，同理可得：PG =125，Rt △EFN 中，FN = =3，∴S 四边形EFMG =S △EFN +S △EBG ﹣S △BNM =12FN •EN +12EG •BP ﹣12BN •NM =12××+12（8+125）×12﹣12×80615．故答案为： 80615．11．解:对角线长为：cm ，则边长与对角线之比为1：．12． 解:如图，连接CE ，∵BD 是正方形的对角线，∴∠BCD=90°，∠ABE=∠CBE=45°，AB=BC在△ABE 和△CBE 中，∴△ABE ≌△CBE ，∴AE=CE ，∵EF ⊥BC ，EG ⊥CD ，∴∠EGC=∠∠CFE=90°，∴∠EGC=∠CFE=∠BCD=90°，∴四边形EFCG 是矩形，∴EF=CG=6，根据勾股定理得，CE=．13．4解:由题意可得：∠ACB=∠ABD=∠BED=90°，AB=BD，∴∠CAB+∠ABC=90°，∠ABC+∠DBE=90°，∴∠CAB=∠DBE，∴△ABC≌△BDE，∴AC=BE，∵在△BDE中，BE2+DE2=BD2，∴AC2+DE2=BD2，又∵S3=AC2，S4=DE2，BD2=3，∴S3+S4=3，同理可得：S1+S2=1，∴S1+S2+S3+S4=4.故答案为：4.14．是等腰直角三角形，是角平分线解:首先，四边形AEDF是平行四边形，当∠BAC=90°时，四边形AEDF为矩形，只需令边相等即可.当AB=AC时成立，所以增加的条件是是等腰直角三角形，是角平分线. 15．6解：设BE与AC交于点P，连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD +PE =PB +PE =BE 最小．即P 在AC 与BE 的交点上时，PD +PE 最小，为BE 的长度； ∵正方形ABCD 的边长为6，∴AB =6．又∵△ABE 是等边三角形，∴BE =AB =6．故所求最小值为6．故答案为：6．16．16924解：过点F 作FG ⊥AD ,垂足为G ,连接AA ′.在Rt △EFG 中,EG5==,∵轴对称的性质可知AA ′⊥EF ，∴∠EAH +∠AEH =90∘.∵FG ⊥AD ，∴∠GEF +∠EFG =90∘.∴∠DAA ′=∠GFE .在△GEF 和△DA ′A 中， 90{ 'EGF D FG AD DAA GFE∠=∠=︒=∠=∠ ，∴△GEF ≌△DA ′A .∴DA ′=EG =5.设AE =x ,由翻折的性质可知EA ′=x ，则DE =12−x .在Rt △EDA ′中,由勾股定理得：A ′E 2=DE 2+A ′D 2,即x 2=(12−x )2+52.解得：x=16924. 故答案为：16924.17．四边形是平行四边形，理由；当时，平行四边形是矩形；当且时，四边形是正方形．解:图中四边形是平行四边形．理由如下：∵四边形、四边形、四边形都是正方形，∴，，，．∴（同为的余角）．在和中，，∴，∴，．∵是正方形的对角线，∴．∵，∴∴，∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等）．当四边形是矩形时，．则，即当时，平行四边形是矩形；当四边形是正方形时，，且．由知，当时，．∵四边形是正方形，∴．又∵四边形是正方形，∴，∴．∴当且时，四边形是正方形．18．（1）平行四边形；（2）证明（3）四边形AEDG是平行四边形．（1）证明：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的．∴DE＝AC＝AF，∠BAF＝α，∠DBE＝∠ABC＝α，∠DEB＝∠C＝α，∴∠DEB＝∠BAF，∴DE∥AF，∵DE＝AF，∴四边形AFDE是平行四边形，故答案为：平行四边形；（2）证明：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的，∴∠DBA＝∠FAB＝90°，DB＝AB＝AF，∴∠DBA＋∠FAB＝180°，∴DB∥AF，∵DB＝AF，∴四边形DBAF是平行四边形，∵∠DBA＝90°∴平行四边形DBAF是正方形．（3）四边形AEDG是平行四边形．证明：∵四边形ABDF是正方形，∴∠DFA＝∠DBA＝90°，AB＝DF，又∵∠DBE＝∠AFG＝α，∴∠EBA＝∠GFD．在△ABE和△DFG中，，∴△ABE≌△DFG，∴AE＝DG，又∵DE＝AG＝AB，∴四边形DEAG是平行四边形．19．(1)证明；（2）（1）证明：过点B作BF⊥PD于点F，过点D作DG⊥BP于点G，BF与DG交于点H，∴∠FHG+∠P=180°，∴∠DHB+∠P=180°，∴∠DHB=180°﹣∠P，∵BD=BN=DM，∴BF与DG是∠DBN、∠MDB的平分线，∴由四边形内角和为360°，可得∠P+∠FHG=180°，∵∠DHB=180°﹣（∠GDB+∠FBD）=180°﹣（180°﹣∠DAB）=90°﹣∠DAB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠C，∴∠DHB=90°﹣∠C，∵∠DHB=180°﹣∠P，∴180°﹣∠P=90°+∠C，∴∠P=90°﹣∠C；（2）MP：AM=：2．理由：过点P作PS⊥CD于点S，PR⊥BC于点R，当∠C=90°时，则∠DPB=45°，∵BN∥CD，∴∠BND=∠BDN=∠SDN，同理：∠PBD=∠PBR，作PK⊥BD于点K，在△PKD和△PSD中，∴△PKD≌△PSD（AAS），同理：△PKB≌△PRB，∴PS=PR，∴四边形PSCR是正方形，延长BN交QS于点Q，则Q为PS的中点，设QS=PQ=x，则PS=CS=RC=2x，RB=KB=x，设SD=m，BD=x+m，则（x+m）2=x2+（2x﹣m）2，∴m：x=2：3，∴DK=SD=x，BD=x，∴AM=DM﹣AD=BD﹣AD=x，根据勾股定理得，AB==x，在Rt△ABM中，BM=，∴PB=，∴PM=，∴MP：AM=：2．20．(1)OE=OF; (2)OE=OF仍然成立，理由;(3)67.5°.解：（1）OE=OF;（2）OE=OF仍然成立，理由是：由正方形ABCD对角线垂直得，∠BOC=90°，∵AM⊥BE ∴∠BMF=90°，∴∠BOC=∠BMF.∵∠MBF=∠OBE，∴∠F=∠E，又∵AO=BO，∴△AOF≌△BOE，∴OE=OF;（3）由（2）得OE=OF，且OB=OC，则BF=CE，∵BC=CE，∴AB=BF，∴∠F=∠FAB=∠ABD=22.5°，又∵∠BAO=45°，∴∠EAF=∠FAB+∠BAO=22.5°+45°=67.5°.21．（1）5；（2）证明.解：（1）如图，∵BF⊥AC，∠ACB=45°，BC=12，∴等腰Rt△BCF中，BF=sin45°×BC=12，又∵AB=13，∴Rt△ABF中，AF==5；（2）如图，连接GE，过A作AF⊥AG，交BG于P，连接PE，∵BE=BA，BF⊥AC，∴AF=FE，∴BG是AE的垂直平分线，∴AG=EG，AP=EP，∵∠GAE=∠ACB=45°，∴△AGE是等腰直角三角形，即∠AGE=90°，△APE是等腰直角三角形，即∠APE=90°，∴∠APE=∠PAG=∠AGE=90°，又∵AG=EG，∴四边形APEG是正方形，∴PF=EF，AP=AG=CH，又∵BF=CF，∴BP=CE，∵∠APG=45°=∠BCF，∴∠APB=∠HCE=135°，∴△APB≌△HCE（SAS），∴AB=EH，又∵AB=BE，∴BE=EH．22．解：∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°，∵DE⊥AG，∴∠DEG=∠AED=90°∴∠ADE＋∠DAE=90°又∵∠BAF＋∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ADE=BAF．∵BF∥DE，∴∠AFB=∠DEG=∠AED．在△ABF与△DAE中，AD=AB，∴△ABF≌△DAE(AAS)．∴BF=AE．DE=AF，∵AF=AE＋EF，∴DE=BF＋EF．。
八年级数学 等腰三角形、直角三角形以及轴对称图形同步练习 鲁教版
初二数学山东教育版等腰三角形、直角三角形以及轴对称图形同步练习（答题时间：60分钟）一、选择题：*1、等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形底边长为（ ）.（A ） 7 （B ） 3 （C ）7或3 （D ）52、如下图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=50°，P 是△ABC 内一点，∠PCB=∠PCA ，且∠PBC=∠PBA ，则∠BPC 的度数为（ ）. PAC B（A ）115° （B ）100° （C ）130° （D ）140°3、至少有两边相等的三角形是（ ）.（A ）等边三角形 （B ）等腰三角形（C ）等腰直角三角形 （D ）锐角三角形4、在线段、角、等腰三角形、正三角形中，是轴对称图形的有（ ）．（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个*5、下列说法中正确的是（ ）（A ）角是轴对称图形，它的平分线就是对称轴（B ）等腰三角形的内角的平分线，中线和高三线合一（C ）直角三角形不是轴对称图形（D ）等边三角形有三条对称轴6、等腰三角形的一个内角是50°，那么其它两个内角分别是（ ）（A ）50°和80° （B ）65°和65°（C ）50°和80°或65°和65° （D ）无法确定*7、等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ）.（A ）42° （B ）60° （C ）36° （D ）46°*8、如下图，△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=AC ，∠BAD=30°，且AD=AE ，则∠EDC 等于（ ） DB AEC（A ）10° （B ）12.5° （C ）15° （D ）20°*9、如下图，PM=PN ，MQ 为△PMN 的角平分线，若∠MQN=72°，则∠P 的度数是（ ）.QM N（A ）18° （B ）36° （C ）48° （D ）60°**10、已知△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，△ABC 的周长为36cm ，△ADC 的周长为30cm ，那么AD 等于（ ）.（A ）6cm （B ）8cm （C ）12cm （D ）20cm*11、如下图，在△ABC 中，AB=AC ， ∠A=36°，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，则图中等腰三角形的个数为（ ）. AD EC B O（A ）12 （B ）10 （C ）9 （D ）812、如果三角形一边的中线和这边上的高重合，那么这个三角形是（ ）.（A ）等边三角形 （B ）等腰三角形 （C ）锐角三角形 （D ）钝角三角形*13、在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形.其中正确的是（ ）.（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个14、在△ABC 中，∠B=∠C=40°，D 、E 是BC 上的两点，且∠ADE=∠AED=80°，则图中共有（ ）等腰三角形. AC B E D（A ）6个 （B ）5个 （C ）4个 （D ）3个二、填空题：1、在△ABC 中， ∠A=∠B=∠C ，则△ABC 是_____三角形；*2、在△ABC 中， ∠ABC=∠ACB ， ∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点D ，过D 作EF ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，则图中的等腰三角形有____个，分别是______.F D C B E3、等腰三角形的对称轴是_____，等边三角形有_____条对称轴，正方形有_____条对称轴，圆有_____条对称轴．4、三角形三条角平分线的交点到_____的距离相等．*5、等边三角形的两条中线相交所成的钝角的度数是_____．三、解答题：1、在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于点E ，则线段AE 与AC 是否相等，为什么？B2、△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，D 为底边BC 上一点，DE ∥AB 且交AC 于E ，请判断△EDC 是什么三角形？并说明理由.AC B E D3、如图所示，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB的角平分线相交于点O ，过O 作EF 平行于BC ，写出图中的所有等腰三角形【试题答案】一、1~5 B A B D D 6~10 C A C B C 11~14 D B C C二、1、等边2、5个分别是：△AEF △ABC △EBD △FDC △DBC3、底边的中垂线、3、4、无数4、三条边5、120°三、1、答：AE=AC解：∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠DAC∵CE∥AD∴∠BAD=∠E、∠ACE=∠DAC∴∠E=∠ACE∴AE=AC2、答：△EDC是等腰三角形理由：∵AB=AC ∴∠B=∠C，∵DE∥AB ∴∠B=∠EDC ∴∠EDC=∠C ∴ED=EC即：△EDC是等腰三角形3、△EBO，△FCO。
鲁教版(五四学制)八年级数学下册《第六章特殊的平行四边形》同步单元综合训练(附答案)
2021年度鲁教版八年级数学下册《第六章特殊的平行四边形》同步单元综合训练（附答案）1．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E是AB边上一动点（不与A、B重合），且∠EDF ＝∠A．则下列结论错误的是（）A．AE＝BF B．∠ADE＝∠BEFC．△DEF是等边三角形D．△BEF是等腰三角形2．如图，已知菱形ABCD对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE 的长是（）A．5B．2C．D．3．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（）A．40cm B．30cm C．20cm D．10cm4．如图，在▱ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是（）A．AM＝AN B．MN⊥ACC．MN是∠AMC的平分线D．∠BAD＝120°5．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．6．下列说法中不正确的是（）A．四边相等的四边形是菱形B．对角线垂直的平行四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直且相等D．菱形的邻边相等7．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40 B．24 C．20 D．158．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A 为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（）A．16 B．15 C．14 D．139．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（）A．5 cm B．4.8 cm C．4.6 cm D．4 cm10．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O．AC＝4，∠AOD＝120°，则BC的长为（）A．4B．4 C．2D．211．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝4，则该矩形的面积是（）A．16 B．8 C．16D．812．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若∠ACB＝30°，AB＝8，则MN的长为（）A．2 B．4 C．8 D．1613．能判定一个平行四边形是矩形的条件是（）A．两条对角线互相平分B．一组邻边相等C．两条对角线相等D．两条对角线互相垂直14．如图，已知在正方形ABCD中，AD＝4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF＝45°，EC＝1，点G在CB延长线上且GB＝DE，连接EF，则以下结论：①DE+BF＝EF，②BF＝，③AF＝，④S△AEF＝中正确的个数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．415．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝25°，则∠AED＝（）A．60°B．65°C．70°D．75°16．如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．17．如图，在正方形ABCD中，正方形的边长为4a，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，判断△AEF的形状并说明理由．18．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF＝EF，求∠EAF的度数．19．下列说法不正确的是（）A．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形B．一组邻边相等的菱形是正方形C．有三个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等的菱形是正方形20．下列说法错误的是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形B．矩形的对角线相等C．对角线相等的菱形是正方形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形21．已知四边形ABCD是矩形，当补充条件（用字母表示）时，就可以判定这个矩形是正方形．22．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果AB＝AC＝BC＝10，求四边形AEDF的面积S．23．如图，在菱形ABCD中，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F．（1）证明：△ADE≌△CBF；（2）连接AF、CE，四边形AECF是菱形吗？说明理由．24．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DB＝DC，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：四边形ABED是矩形；（2）连接AC，若∠ABD＝30°，DC＝2，求AC的长．25．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE＝OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB＝17，BC＝16，求四边形ADCE的面积．26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝2，求△OEC的面积．27．如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）连接AC、BF，若AE＝BC，求证：四边形ABFC为矩形；（3）在（2）条件下，当△ABC再满足一个什么条件时，四边形ABFC为正方形．28．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点C作AB的平行线，交DF的延长线于点E，连接CD，AE．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）当∠BAC的大小满足什么条件时，四边形AECD是正方形？证明你的结论．29．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF ⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．参考答案1．解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠ADB＝∠ADC，AB∥CD，∵∠A＝60°，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°，同理：∠DBF＝60°，即∠A＝∠DBF，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD，∵∠ADE+∠BDE＝60°，∠BDE+∠BDF＝∠EDF＝60°，∴∠ADE＝∠BDF，∵在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF（ASA），∴DE＝DF，AE＝BF，故A正确；∵∠EDF＝60°，∴△EDF是等边三角形，∴C正确；∴∠DEF＝60°，∴∠AED+∠BEF＝120°，∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A＝120°，∴∠ADE＝∠BEF；故B正确．∵△ADE≌△BDF，∴AE＝BF，同理：BE＝CF，但BE不一定等于BF．故D错误．故选：D．2．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6cm，BD＝8cm，∴AO＝CO＝3cm，BO＝DO＝4cm，∠BOC＝90°，∴BC＝＝5（cm），∴AE×BC＝BO×AC故5AE＝24，解得：AE＝．故选：C．3．解：∵菱形的对角线互相垂直平分，又直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∴根据三角形中位线定理可得：BC＝2OM＝10，则菱形ABCD的周长为40cm．故选：A．4．解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∠DAB＝∠DCB，AB＝CD，AD＝BC，∵AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∴∠DCN＝∠DCB，∠BAM＝∠BAD，∴∠BAM＝∠DCN，在△ABM和△CDN中，∴△ABM≌△CDN（ASA），∴AM＝CN，BM＝DN，∵AD＝BC，∴AN＝CM，∴四边形AMCN是平行四边形，A、∵四边形AMCN是平行四边形，AM＝AN，∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；B、∵MN⊥AC，四边形AMCN是平行四边形，∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；C、∵四边形AMCN是平行四边形，∴AN∥BC，∴∠MNA＝∠CMN，∵MN是∠AMC的平分线，∴∠NMA＝∠NMC，∴∠MNA＝∠NMA，∴AM＝AN，∵四边形AMCN是平行四边形，∴四边形AMCN是菱形，故本选项错误；D、根据∠BAD＝120°和平行四边形AMCN不能推出四边形是菱形，故本选项正确；故选：D．5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝BF，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．6．解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；D．菱形的邻边相等；正确；故选：C．7．解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24，故选：B．8．解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AO平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AB＝EB，同理：AF＝BE，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝8，∴AE＝2OA＝16．故选：A．9．解：如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，由题意知，AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵两张纸条等宽，∴AR＝AS．∵AR•BC＝AS•CD，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5．故选：A．10．解：如图，∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，∴OA＝OB＝AC＝2，又∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝2．∴在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴BC＝＝＝2故选：C．11．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD＝OB＝OC，∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴AD＝OD＝AO＝4，∴BD＝8，∴AB＝＝＝4，∴矩形的面积＝4×4＝16，故选：C．12．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AC，BD交于点O，∠ACB＝30°，AB＝8，∴BD＝AC＝2AB＝816，∴BD＝2BO，即2BO＝16．∴BO＝8．又∵M、N分别为BC、OC的中点，∴MN是△CBO的中位线，∴MN＝BO＝4．故选：B．13．解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形不一定是矩形，故本选项错误；C、根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项正确；D、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误．故选：C．14．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠ABG＝90°，∵EC＝1，∴GB＝DE＝1，∴AE＝AG＝5，即△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，∴∠DAE＝∠BAG，∵∠EAF＝45°，∴∠DAE+∠BAF＝45°＝∠GAB+∠BAF＝∠GAF＝45°，∵AG＝AE，∠F AE＝∠F AG＝45°，AF＝AF，在△AFE和△AFG中，，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，∵DE＝BG，∴EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故①正确；∵BC＝CD＝AD＝4，EC＝1，∴DE＝3，设BF＝x，则EF＝x+3，CF＝4﹣x，在Rt△ECF中，（x+3）2＝（4﹣x）2+12，解得x＝，∴BF＝，故②正确；∴AF＝＝＝，故③错误；∴GF＝3+＝，∴S△AEF＝S△AGF＝AB×GF＝4×＝，故④正确．所以正确的有①②④，共3个．故选：C．15．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝DA，∠BAE＝∠DAE＝45°．又AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS）．∴∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°．∴∠AED＝180°﹣45°﹣65°＝70°．故选：C．16．解：∵∠ADE＝∠BCE＝90°+60°＝150°，AD＝BC，DE＝CE，∴△ADE≌△BCE，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA．∵正方形中AD＝DC，等边三角形中DC＝DE，∴AD＝DE，∵∠ADE＝90°+60°＝150°，∴∠DEA＝＝15°，同理∠CEB＝15°，∴∠AEB＝60°﹣15°﹣15°＝30°，∴∠EAB＝＝75°．故答案为75°．17．解：△AEF为直角三角形．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，且边长为4a，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵E是BC的中点，且CF＝CD，∴BE＝CE＝2a，CF＝a，DF＝3a，在Rt△ABE中，由勾股定理可得：AE2＝AB2+BE2＝（4a）2+（2a）2＝20a2，同理在Rt△EFC，Rt△ADF中，可得EF2＝CE2+CF2＝（2a）2+a2＝5a2，AF2＝AD2+DF2＝（4a）2+（3a）2＝25a2，∴AE2+EF2＝AF2，∴△AEF为直角三角形．18．解：延长EB使得BG＝DF，连接AG，在△ABG和△ADF中，，可得△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF＝∠BAG，AF＝AG，又∵EF＝DF+BE＝EB+BG＝EG，AE＝AE，在△AEG和△AEF中，，∴△AEG≌△AEF（SSS），∴∠EAG＝∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE＝90°∴∠EAG+∠EAF＝90°，∴∠EAF＝45°．19．解：A、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确；B、一组邻边相等的菱形是正方形，错误；C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；D、对角线相等的菱形是正方形，正确．故选：B．20．解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项A错误；矩形的对角线相等，故选项B正确；对角线相等的菱形是正方形，故选项C正确；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项D正确；故选：A．21．解：因为有一组邻边相等的矩形是正方形，故补充的条件为：AB＝AD．22．解：（1）∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴Rt△ABD中，DE＝AB＝AE，Rt△ACD中，DF＝AC＝AF，又∵AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝DE＝DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）如图，∵AB＝AC＝BC＝10，∴EF＝5，AD＝5，∴菱形AEDF的面积S＝．23．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°，同理∠BCF＝90°．∴∠EAD＝∠BCF．在△AED和△CFB中∠ADB＝∠CBD，AD＝BC，∠EAD＝∠BCF，∴△ADE≌△CBF．（2）解：结论：四边形AECF是菱形．理由：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即AC⊥EF，由（1）△ADE≌△CBF，∴AE＝CF，∠AED＝∠BFC，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．24．（1）证明：∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°，∵DB＝DC，E是BC的中点，∴∠DEB＝90°，∴四边形ABED是矩形；（2）解：∵∠ABC＝90°，∠ABD＝30°，∴∠DBE＝60°，∵DB＝DC，∴△DBC是等边三角形，∴BD＝BC＝DC＝2，∵Rt△BAD中，∠ABD＝30°，∴AD＝1，AB＝，∴在Rt△ABC中，AC＝＝．25．（1）证明：∵点O是AC中点，∴AO＝OC，∵OE＝OD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC＝16，AB＝17，∴BD＝CD＝8，AB＝AC＝17，∠ADC＝90°，由勾股定理得：AD＝＝＝15，∴四边形ADCE的面积是AD×DC＝15×8＝120．26.（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．（2）作OF⊥BC于F．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO＝CO＝DO，∴BF＝FC，∴OF＝CD＝1，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，∴∠EDC＝45°，在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，∴△OEC的面积＝•EC•OF＝1．27．（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠EFC，∵E为BC的中点，∴BE＝EC，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），（2）证明：∵△ABE≌△FCE，∴AB＝FC，∵BE＝CE，∴四边形ABFC为平行四边形，∵AE＝EF＝AF，AE＝BC，∴BC＝AF，∴四边形ABFC是矩形；（3）解：当△ABC为等腰三角形时，即AB＝AC时，四边形ABFC为正方形；理由如下：∵AB＝AC，四边形ABFC是矩形，∴四边形ABFC为正方形．28．（1）证明：∵∠ACB＝90°，DF⊥AC，∴DF∥BC，∵点D是AB中点，∴F是AC的中点，∴AF＝CF，∵CE∥AB，∴∠ECF＝∠DAF，在△CEF和△ADF中，，∴△CEF≌△ADF（ASA），∴EF＝DF，∴四边形AECD是平行四边形，又∵DF⊥AC，∴四边形AECD是菱形；（2）解：当∠BAC＝45°时，四边形AECD是正方形；理由如下：∵四边形AECD是菱形，∴∠EAC＝∠BAC＝45°，∴∠EAD＝90°，∴四边形AECD是正方形．29．解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形．（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．（3）如图，作EH⊥DF于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵F是AB中点，∴AF＝FB∴DF＝＝2，∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，∴DH＝HF，∴EH＝DF＝，∵AF∥CD，∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，∴FM＝，∴HM＝HF﹣FM＝，在Rt△EHM中，EM＝＝。
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的性质与判定》同步练习题(附答案)
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的性质与判定》同步练习题（附答案）1．正方形具有而矩形不具有的性质是（）A．对角相等B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直2．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣3，0），B （2，b），则正方形ABCD的面积是（）A．20B．16C．34D．253．对角线互相垂直平分但不相等的四边形是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．平行四边形4．正方形具有而菱形不具备的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线平分一组对角D．对角线相等5．如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（）A．（）B．（2，﹣1）C．（1，）D．（﹣1，）6．如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形7．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形8．下列说法中，正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．矩形的对角线互相垂直C．菱形的对角线互相垂直且平分D．对角线互相垂直，且相等的四边形是正方形9．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形C．当AC＝BD时，平行四边形ABCD是正方形D．当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形10．下列说法不正确的是（）A．平行四边形对角相等B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．一组对边相等另一组对边平行的四边形是平行四边形D．菱形的对角线互相垂直平分11．如图，下列四组条件中，能判定▱ABCD是正方形的有（）①AB＝BC，∠A＝90°；②AC⊥BD，AC＝BD；③OA＝OD，BC＝CD；④∠BOC＝90°，∠ABD＝∠DCA．A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形D．当AC＝BD时，它是正方形二．填空题（共12小题）13．如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边△ADE，则∠ABE的度数是．14．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，AB＝10，则EF的长为．15．正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，AE与CD交于点F，则∠AFC ＝度．16．已知正方形的一条对角线长为8cm，则其面积是cm2．17．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝AC，若AE交CD于点F，则∠AFC＝°．18．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为．19．如图，由四个直角边分别为5和4的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中阴影部分面积为．20．如图，正方形ABCO的顶点C、A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是．21．如图，等边△ABE与正方形ABCD有一条公共边，点E在正方形外，连接DE，则∠BED ＝°．22．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是．23．如图，在等边△ABC的外侧作正方形ABDE，AD与CE交于F，则∠ABF的度数为．24．如图，已知点P为正方形ABCD内一点，且P A＝PB＝5cm，点P到边CD的距离也为5cm，则正方形ABCD的面积为cm2．三．解答题（共2小题）25．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．26．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点C、A分别在x、y轴上，A（0，6），E（0，2），点H、F分别在边AB、OC上，以H、E、F为顶点作菱形EFGH．（1）当H（﹣2，6）时，求证：四边形EFGH是正方形；（2）若F（﹣5，0），求点G的坐标．27．如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F是对角线AC的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若AC＝2AB，则四边形GEHF是形；（3）当AC、AB满足时，四边形GEHF是正方形．28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，四边形BCED为平行四边形，DE、AC相交于F，连接DC、AE．（1）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；（2）若AB＝8，AC＝6，求四边形ADCE的面积；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？请给予证明．参考答案1．解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．故选：D．2．解：作BM⊥x轴于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，∴∠DAO＝∠ABM，∵∠AOD＝∠AMB＝90°，∴在△DAO和△ABM中，∴△DAO≌△ABM（AAS），∴OA＝BM，AM＝OD，∵A（﹣3，0），B（2，b），∴OA＝3，OM＝2，∴OD＝AM＝5，∴AD＝＝，∴正方形ABCD的面积＝34，故选：C．3．解：A、菱形的对角线互相垂直平分，且不相等，故本选项正确；B、矩形的对角线互相平分，且相等，故本选项错误；C、正方形的对角线互相垂直平分，且相等，故本选项错误；D、平行四边形的对角线互相平分，故本选项错误．故选：A．4．解：A、对角线互相平分，正方形和菱形都具有，故本选项不符合题意；B、对角线互相垂直，正方形和菱形都具有，故本选项不符合题意；C、对角线平分一组对角，正方形和菱形都具有，故本选项不符合题意；D、正方形对角线相等，菱形对角线不相等，故本选项符合题意．故选：D．5．解：作AD⊥y轴于D，作CE⊥y轴于E，如图所示：则∠ADO＝∠OEC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵点A的坐标为（1，），∴AD＝1，OD＝，∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC＝90°，OC＝AO，∴∠1+∠3＝90°，∴∠3＝∠2，在△OCE和△AOD中，，∴△OCE≌△AOD（AAS），∴OE＝AD＝1，CE＝OD＝，∴点C的坐标为（，﹣1）．故选：A．6．解：由图可知，过A点作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∵两条纸条宽度相等，∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵S ABCD＝BC×AE＝CD•AF．又∵AE＝AF，∴BC＝CD，∴四边形ABCD为菱形．故选：B．7．解：根据正方形的判别方法知，两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，且相等又可判定为正方形，故选D．8．解：A错误，如等腰梯形即为一组对边平行，另一组对边相等的四边形，却不是平行四边形；B错误，由矩形的性质可知矩形的对角线互相平分且相等；C正确，由菱形的性质可知菱形的对角线互相垂直且平分；D错误，由正方形的性质及判定可知，对角线互相垂直，平分，且相等的四边形是正方形；故选：C．9．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；故选：C．10．解：A、平行四边形对角相等，正确；B、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；C、一组对边相等，且这组对边平行的四边形是平行四边形，错误；D、菱形的对角线互相垂直平分，正确．故选：C．11．解：①AB＝BC，∠A＝90°；根据有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，能判定▱ABCD是正方形，故此选项正确；②AC⊥BD，AC＝BD；由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定▱ABCD是正方形，故此选项正确；③OA＝OD，BC＝CD；由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，而OA＝OD，所以AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，能判定▱ABCD是正方形，故此选项正确；④∠BOC＝90°，∠ABD＝∠DCA；由∠BOC＝90°，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形；由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，AB∥CD，则∠ABD＝∠CDB＝∠DCA，所以OC＝OD，又对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定▱ABCD是正方形，故此选项正确．故选：D．12．解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB ＝BC时，它是菱形，故A选项正确；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC＝BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；综上所述，符合题意是D选项；故选：D．13．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴∠BAE＝∠BAD+DAE＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠ABE＝（180°﹣∠BAE）＝15°，故答案为：15°．14．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAD+∠DAE＝90°，∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，∴∠AFB＝∠AFD＝90°，∵∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE，∴AF＝DE＝8，BF＝AE，在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴AE＝6，∴EF＝AE+AF＝6+8＝14．故答案为14．15．解：∵四边形ABCD是正方形，CE＝CA，∴∠ACE＝45°+90°＝135°，∠E＝22.5°，∴∠AFC＝90°+22.5°＝112.5°．故答案为112.5．16．解：∵正方形的一条对角线长为8cm，∴面积是×8×8＝32cm2．故答案为：32．17．解：∵CE＝AC，∴∠E＝∠CAE，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ACB＝45°，∴∠E+∠CAE＝45°，∴∠E＝×45°＝22.5°，在△CEF中，∠AFC＝∠E+∠ECF＝22.5°+90°＝112.5°．故答案为：112.5．18．解：如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E．∵四边形ABCO是正方形，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∵∠COE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°，∴∠COE＝∠OAF，在△COE和△OAF中，，∴△COE≌△OAF，∴CE＝OF，OE＝AF，∵A（1，），∴CE＝OF＝1，OE＝AF＝，∴点C坐标（﹣，1），故答案为（﹣，1）．19．解：∵四个全等的直角三角形的直角边分别是5和4，∴阴影部分的正方形的边长为5﹣4＝1，∴阴影部分面积为1×1＝1．故答案为：1．20．解：过点D作DG⊥BC于点G，∵四边形BDCE是菱形，∴BD＝CD．∵BC＝2，∠D＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝CD＝2，∴CG＝1，GD＝CD•sin60°＝2×＝，∴D（2+，1）．故答案为：（2+，1）．21．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵等边三角形ABE，∴AB＝AE，∠BAE＝∠AEB＝60°，∠DAE＝∠BAD+∠BAE＝90°+60°＝150°，AD＝AE，∴∠AEB＝∠ABE＝（180°﹣∠DAB）÷2＝15°，∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°，故答案为：45°22．解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，∵H为AF的中点，∴CH＝AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，∴CH＝，故答案为：．23．解：∵△ABC是等边三角形，ABDE是正方形，∴AC＝AE，∴∠CAB＝60°，∠EAB＝90°，∴∠CAE＝150°，∴∠ACE＝∠AEC＝15°，∵△AEF和△ABF中，，∴△AEF≌△ABF（SAS），∴∠ABF＝∠AEF＝15°．故答案为：15°．24．解：过P作EF∥AD，则PE⊥CD，PF⊥AB，设PF＝x，则AB＝5+x，AF＝FB＝，在直角△APF中，AP为斜边，AP＝5cm，PF＝x，F A＝，且AF2+PF2＝AP2，解得x＝3cm，所以AB＝3cm+5cm＝8cm，故正方形面积为S＝AB•AB＝64cm2，故答案为64．25．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠FDC＝∠DCF＝45°，∵∠E＝90°，ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝45°，∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，∴四边形DFCE是矩形，∵DE＝CE，∴四边形DFCE是正方形．26．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAO＝∠AOC＝90°，∵E（0，2），H（﹣2，6），∴AH＝OE＝2，∵四边形EFGH是菱形，∴EH＝EF，在Rt△AHE和Rt△OEF中，，∴Rt△AHE≌Rt△OEF，∴∠AEH＝∠EFO，∵∠EFO+∠FEO＝90°，∴∠AEH+∠FEO＝90°，∴∠HEF＝90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．（2）连接EG交FH于K．∵HE＝EF，∴AH2+AE2＝EO2+OF2，∴AH2+16＝4+25，∴AH＝，∴H（﹣，6），∵KH＝KF，∴K（﹣，3），∵GK＝KE，∴G（﹣5﹣，4）．27．证明：（1）连接BD，如图：∵四边形ABCD是平行四边形，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F是对角线AC 的四等分点，∴点O是对角线AC，BD的交点，∴OB＝OD，∵G是AD的中点，∴EG是△AOD的中位线，∴EG∥OD，EG＝OD，同理：FH∥OB，FH＝OB，∴EG＝HF，EG∥HF，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）∵四边形GEHF是平行四边形，∴GH＝AB，∵AC＝2AB，∴AB＝AC＝EF，∴GH＝EF，∴四边形GEHF是矩形；故答案为：矩；（3））∵四边形GEHF是平行四边形，∴GH＝AB，∵AC＝2AB，∴AB＝AC＝EF，∴GH＝EF，∴四边形GEHF是矩形，∵AC⊥AB，∴EG⊥EH，∴矩形GEFH是正方形．故答案为：AC＝2AB，AC⊥AB．28．证明：（1）∵平行四边形BCED，∴CE∥BD，CE＝BD，∵D为AB中点，∴AD＝BD，∴CE∥AD，CE＝AD，∴四边形ADCE为平行四边形，又BC∥DE，∴∠AFD＝∠ACB＝90°，∴AC⊥DE，故四边形ADCE为菱形；（2）在Rt△ABC中，∵AB＝8，AC＝6，∴BC＝，∵D为AB中点，F也为AC的中点，∴DF＝，∴四边形ADCE的面积＝AC×DF＝6；（3）应添加条件AC＝BC．证明：∵AC＝BC，D为AB中点，∴CD⊥AB（三线合一的性质），即∠ADC＝90°．∵四边形BCED为平行四边形，四边形ADCE为平行四边形，∴DE＝BC＝AC，∠AFD＝∠ACB＝90°．∴四边形ADCE为正方形．（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形）。
2019-2020学年八年级数学相似三角形的性质 同步练习 鲁教版.doc
2019-2020学年八年级数学相似三角形的性质 同步练习 鲁教版1.填空题(1)已知△ABC∽△A 1B 1C 1，△ABC 的三边长为3、4、5，△A 1B 1C 1的最短边为9，则△A 1B 1C 1的周长是________ (2)如下图，∠AED=∠B,AD=3,DB=4,则AE·AC=______(3)两个相似三角形的相似比是3∶5，周长的和是24cm ，，则周长分别是________ (4)两个相似三角形对应高的比是3∶5，则对应中线的比是_______面积的比是________(5)两个相似三角形面积的比为4∶9，第一个三角形的周长为12cm ，则另一个三角形的周长是________ (6)连结三角形三边中点所成的三角形的周长与原三角形周长的比是________，面积的比是________ (7)在△ABC 中，∠C=90°，CD 是高，如果AD=9，BD=16,则CD=________,BC=________ (8)在△ABC 中，∠C=90°，CD 是高，如果AC=12cm,BC=5cm,则AD=________,DB=________(9)已知△ABC∽△A′B′C′，且S △ABC =2S △A′B′C′，那么B A AB''=________，A C C B B A ''+''+''++CA BC AB =________.(10)梯形的中位线长为8厘米，一条对角线把中位线分成两部分，这两部分的差为2厘米，那么梯形两底的长分别是________厘米和________厘米. (11)△ABC∽△A′B′C′，它们的面积之比等于25∶36.那么它们的相似比是________；若AB=5厘米，那么A′B′=________厘米.(12)在下图中，AD 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的高，若AC=4，AB=3，那么△ADC 与△ABC 的面积之比是________.(13)在下左图中，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且DE∥BC，AB AD =43，S △ABC =6，则S △ADE =________.(14)如上右图所示，△ABC 中，DE∥BC，AH⊥BC 于H ，AH 交DE 于点G ，已知DE=10，BC=15，AG=12，则AH=_______(15)如下左图所示，正方形ABCD 中，E 为AB 边中点，BF⊥CE 于F ，则的面积正方形的面积三角形ABCD BEF =________(16)在上右图中，已知△ABC 的BC 边长为12厘米，高AK 为8厘米，则△ABC 的内接正方形DEFG 的边长是________厘米.(17)如下左图所示，△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，若△ADE、△EFC 的面积分别为20厘米2、45厘米2，那么四边形BEFD 的面积等于________厘米2.(18)在上右图中，DE 为△ABC 的一条中位线，X 、Y 、Z 分别是AD 、DE 、AE 的中点，则△XYZ 与△BEC 的面积之比是________.(19)如下左图所示，△ABC 中，DE∥AC，AD∶DB=2∶1，F 是AC 上任意一点，△DEF 的面积为22，则△ABC 的面积等于________.(20)如上右图所示，矩形ABCD 中，两对角线相交于O ，OF⊥A B 于F ，AE⊥BD 于E ，且EB DE =31，OF=2cm ，则DB=________,∠DBA=________度. 2.选择题(1)如下左图，DE∥BC，S △ADE =S 四边形BCED ，BD=6cm,则DE=( )A.32cmB.62cmC.3cmD.43cm(2)如下图，AD=DF=FB,DE∥FG∥BC，且把△ABC 分成面积为S 1、S 2、S 3的三部分，则S 1∶S 2∶S 3=( )A.1∶1∶1B.1∶2∶3C.1∶3∶5D.1∶4∶9(3)如上图，DE∥FG∥BC，且S1=S2=S3,那么AD∶AF∶AB=( )A.1∶2∶3B.1∶2∶3C.3∶4∶5D.3∶5∶6(4)如下图，在△ABC中，∠ACB=Rt∠，CD是高，则( )①△ABC、△CBD、△ACD都相似②CD2=AD·DB③AC2=AD·AB，BC2=BD·AB④AC·BC=CD·AB其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4(5)在比例尺为1∶1000的地图上，1厘米2所表示的实际面积是( )A.1000厘米2B.100厘米2C.100米2D.100分米2(6)一个三角形三边之比为4∶5∶6，三边中点连结所成三角形的周长为30厘米，则原三角形各边的长是( )A.16cm、20cm、24cmB.8cm、10cm、12cmC.8cm、20cm、24cmD.以上结论都不正确(7)如果△ABC的边BC为15，引两条平行于BC的线段，把△ABC分成三个相等的面积，则近BC的平行线段的长是( )A.56B.10C.43D.7.5(8)如下图所示，梯形ABCD中，S△ABD=S1，S△CDB=S2，EF是梯形的中位线，则四边形AEFD与EBCF的面积之比是( )A.21S SB.12S SC.2121S S S 2S ++D.21213S S S 3S ++(9)在下左图中，已知Rt△ABC，在直角边AB 、BC 外侧作正方形BADE 、BFGC ，连CD 、AG 与AB 、BC 分别交于H 、K ，则BH 与BK 的大小关系是( ) A.BH ＜BKB.BH=BKC.BH ＞BKD.随AB 、BC 的长度变化，BH 和BK 的长度也发生变化(10)在上右图中，DE∥BC，DE 分△ABC 所得两部分的面积分别为259和2516，则DB AD等于( ) A.43B.23C.14D. 23或14(11)梯形ABCD 中，AD∥BC，两条对角线相交于O 点，△BOC 和△AOD 的面积分别等于9和4，那么这个梯形的面积等于( ) A.20B.25C.30D.35(12)在下图中，∠BAC=90°，AD⊥BC，△ABE、△ACF 都是等边三角形，则S △ABE ∶S △ACF 等于( )A.AB∶ACB.BD∶DCC.BD 2∶CD 2D.AC 2∶AB 2(13)在下左图中，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=c ，DEFG 是正方形，则AD∶DE∶EB 的值等于( ) A.a∶b∶c B.b 2∶ab∶a2C.a 2∶ab∶b 2D.b 2∶c 2∶a 2(14)在上右图中，△ABC 和△A′B′C′均是等边三角形，并且它们有相同的中心和平行的对应边，BC 与B′C′边之间的距离为△ABC 的高的61，△A′B′C′和△ABC 的面积比等于( )A.361B. 61C. 41D.433.判断题(1)把△ABC 的各边分别扩大为原来的3倍，得△A′B′C′，那么，判断下面的结论： ①△ABC∽△A′B′C′；( )②△ABC 与△A′B′C′的相似比为1∶4；( ) ③S △A′B′C′=16S △ABC ；( )(2)若△ABC∽△A′B′C′，其周长分别为3和6，则△ABC 和△A′B′C′面积之比为1∶2；( ) (3)把一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的10倍；( )(4)已知D 为△ABC 中AB 边上一点，且满足AC 2=AD·AB，那么∠ACD=∠ABC；( ) (5)两个全等三角形是相似比等于1的两个相似三角形；( )(6)两个相似三角形的对应高的比是m∶n，那么它们面积的比也等于m∶n；( ) (7)两个相似三角形对应中线的比等于它们面积之比的算术平方根；( )(8)如果一条平行于三角形一边的直线将三角形分成面积相等的两部分，那么被截出的新三角形与原三角形的相似比为1∶2；( )(9)如果△ABC∽△A′B′C′，AB=5cm,BC=6cm,AC=7cm ，而B′C′=8cm，则△A′B′C′的周长等于24cm ；( )(10)梯形ABCD 中，AD∥BC，两对角线AC 、BD 相交于O ，若△AOD 的面积为S 1，△AOB 的面积为S 2，△BOC 的面积为S 3，那么S 22=S 1·S 3.( ) 4.解答题(1)如下图，在平行四边形ABCD 中，AB=10cm,AD=6cm,E 为AD 中点，∠1=∠2,求AF 的长.(2)已知CD 是Rt△ABC 斜边AB 上的高，E 是CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，过F 作FG⊥AB 于G ，求证：FG 2=FC·FB.(3)如下图，BD 和CD 为△ABC 的两条角平分线，过D 点作直线交AB 于E ，交AC 于F ，且使AE=AF ，求证：EF 2=4BE·CF.(4)如下图，∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b,①当BD与a、b间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB?②过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB，求证：四边形AEDC是矩形.(5)如图，AB∥CD∥QP，且CD=3,AB=4,求PQ的值.(6)如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，G为DC延长线上的一点，∠BAF=∠BGD，求证：DC2=DE·DG.(7)△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，M为AD中点，BM的延长线交AC于P，PQ⊥BC于Q，求证：PQ2=PA·PC.(8)如图所示，已知△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，在BC上截取CD=CA，求证：AC2∶AD2=BC∶BD.(9)如图所示，在△ABC中，AD、BE是二条中线，它们相交于P，过P作AB的平行线FG，交BC、AC于F、G，求证：PF=PG.(10)如图所示，已知△ABC 中，AD∥BC，连CD 交AB 于E ，且AE∶EB=1∶2，过E 作EF∥BC 交AC 于F ，S △ADE =1，求S △BCD 和S △AEF .(11)如图所示，正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，BE 、AC 相交于G ，求S △AGE ∶S △BCG ∶ S 四边形EGCD ∶S 正方形ABCD 的值.(12)在梯形中，若两对角线的交点分别与两底边的端点构成的两个三角形的面积分别为P 2和Q 2，求证：梯形的面积等于(P+Q)2.1.如下图，梯形ABCD 中，AD∥BC，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF∥AD，(1)求证：OE=OF (2)求AD OE +BC OE 的值 (3)求证：AD 1+BC 1=EF2.2.△ABC 中，AB=AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过点C 作CF∥AB，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ，求证：BP 2=PE·PF.1.如图，在△ABC 的内部选取一点P ，过P 点作三条分别与△ABC 的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t 1、t 2、t 3的面积分别为4、9和49，求△ABC 的面积.2.如图，已知D 、E 、F 分别是锐角△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且AD 、BE 、CF 相交于点P ，AP ＝BP ＝CP ＝6，设PD ＝x ，PE=y,PF=z,若xy+yz+zx=28,求xyz 的值.3.设M 为△ABC 内任一点，连AM 、BM 、CM 分别与其对边交于D 、E 、F.求证：AD MD +BE ME +CF MF＝1.1.(浙江省中考题)如图，D 为△ABC 的边AC 上的一点，∠DBC＝∠A，已知BC ＝2△BCD 与△ABC 的面积的比是2∶3，则CD 的长是( )A.34B.3C.232D.3342.(陕西省中考题)如图，ABCD 是一个平行四边形，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，直线CE 交BA 的延长线于G ，直线DF 交AB 的延长线于H ，CG 与DH 交于点O ，若平行四边形ABCD 的面积为4，则三角形OGH 的面积为( )A.4B.4.5C.5D.5.53.(安徽省中考题)已知：△ABC 的边AB ＝23，AC ＝2，BC 边长的高AD ＝3. (1)求BC 的长；(2)如果有一个正方形的一边在AB 上，另外两个顶点分别在AC 、BC 上，求这个正方形的面积. 参考答案1.(1)28 (2)21 (3)9cm,15cm (4)3∶5，9∶25 (5)18cm (6)1∶2，1∶4 (7)5，231 (8)131441325 (9) 2，2 (10)6，10 (11)5∶6，6 (12)16∶25 (13)827 (14)18 (15) 201(16)4.8(17)60 (18)1∶8 (19)92 (20)8，302.(1)A (2)D (3)B (4)D (5)C (6)A (7)A (8)D (9)B (10)D (11)B (12)B (13)B (14)C3.(1)①√ ②× ③× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)× (7)√ (8)× (9)√ (10)√4.(1)8.2cm (2)延长GF 交AC 的延长线于M ，证明MF=FG,及△MFC∽△BFG (3)提示：先证ED=DF ，再证△EBD∽△FDC，∴DF EB =CF ED (4)①略 ②证∠AEB=Rt∠ ∠ACD=Rt∠ (5) 712(6)提示：先证△AED∽△GBD，∴ED·GD=BD·AD，再证△ADC∽△CDB，∴CD 2=AD·DB，∴CD 2=ED·G D (7)延长QP 交BA延长线于H (8)△ABC∽△DBA，ABD ABC S S △△=22AD AC 而ADB ABC S S △△=BD BC(9)连ED 则ED∥AB (10)S △BCE =4、S △AEF =32(11)△AGE∽△CGB，BGC AGE S S △△=41，AGB AEG S S △△＝BG EG =21，则S △ABC =6S △AGE ，结果为：1∶4∶5∶12 (12)设梯形ABCD 中，AD∥BC，S △AOD =P 2、S △BOC =Q 2，则有OB DO =Q P ，AOB AOD S S △△＝OB DO = Q P ，则S △AOB =P·Q1.(1)提示：OE∶AD=BE∶BA,OF∶AD=CF∶CD,又∵BE∶BA=CF∶CD，即得(2)OE∶AD=BE∶BA,OE∶BC=AE∶AB,∴AD OE +BC OE=1(3)由(2)同理可证AD OF +BC OF =1，∴AD OE +BC OE +AD OF +BC OF =2,即AD EF +BC EF =2，∴AD 1+BC 1=EF 22.提示：连接PC ，则PB=PC,再证△PCE∽△PFC 1.SABC＝144 2.xyz ＝24 3.用面积比来证明1.D2.B3.(1)BC ＝4或2 (2)当BC ＝4时，S 正＝12-63 当BC ＝2时，S正＝121348156。
鲁教版2019-2020八年级数学下册6.2矩形的性质与判定自主学习能力达标测试题3(附答案) (1)
鲁教版2019-2020八年级数学下册6.2矩形的性质与判定自主学习能力达标测试题3（附答案） (1)1．我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的边AB在x轴上，A B的中点是坐标原点O，固定点A、B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴的正半轴上的点D'处，则点C的对应点C'的坐标为（）A．(2,3)B．(2,1)C．(2,2)D．(2,5)2．如下图，沿Rt△ABC的中位线DE剪一刀后，用得到的△ADE和四边形DBCE拼图，下列图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④等腰梯形.一定能拼出的是（）A．只有①②B．只有③④C．只有①③④D．①②③④3．在△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD＝（）A．5 B．6 C．7 D．84．如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC折叠矩形ABCD，使点B落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长交AD于点Q．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA＝∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论为（）A．①②B．①②③C．①③④D．②③5．到直角三角形的三个顶点距离相等的点（）A．是该三角形三个内角平分线的交点B．是斜边上的中点C．在直角三角形的外部D．在直角三角形的内部6．如图．在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8．E 是边AD 的一个动点，将△BAE 沿BE 对折至△BFE 的位置，则线段DF 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．87．如图．在矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，且CE 与AB 交于F ，那么S △ACF 为( )A ．12B ．15C ．6D ．108．矩形的一边长为3，一条对角线将一个内角分成的两角之比为1：2，则此矩形的面积为（ ）A ．93B ．33或63C ．63或93D ．93或33 9．如图，△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，BD ⊥AE 于D ，DM ⊥AC 交AC 延长线于M ，连接CD ，下列四个结论：①∠ADC=45°；②BD=12AE ；③AC+CE=AB ；④AB-BC=2MC ，其中正确的有（ ）个.A ．1B ．2C ．3D ．410．下列命题是真命题的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．任意多边形的内角和为360°D ．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半11．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，AOB 36∠=︒，AE 平分BAC ∠交BD 于点E ，若AC 4=，则AB 的长度为______.12．已知，如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，()()10,0,0,4A C ，点D 是OA 的中点，点P 在直线BC 上运动，当ODP ∆是腰长为5的等腰三角形，则P 点的坐标为_________________________。
数学： 6.4《线段的垂直平分线》同步练习(鲁教版八年级下)
数学： 6.4《线段的垂直平分线》同步练习（鲁教版八年级下）【课标解读】经历探索、证明线段的垂直平分线的逆定理，并能利用证明相关结论，理解三角形的三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等. 一、选择题（每小题5分，共25分）1. 如图所示，到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的（ ） A ．三条中线的交点 B ．三条角平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条边的垂直平分线的交点BAC2. 线段AB 外有两点C ，D(在AB 同侧)使CA=CB ，DA=DB ，∠ADB=80°, ∠CAD=10°,则∠ACB=( ) A.80° B.90° C.100° D.110°3. 如图，点D 在△ABC 的边BC 上，且BC=BD+AD ，则点D 在（ ）的垂直平分线上 A ．AB B ．AC C ．BC D ．不能确定4. 如图，Rt△ABC 中，90ACB ∠=，BD=CD ，7.8AB =， 3.9AC =，则图中有（ ）个60的角． Ａ．2Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．55. 下列说法：①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线，则EA =EB ，PA =PB ；②若PA =PB ，EA =EB ，则直线PE 垂直平分线段AB ；③若PA =PB ，则点P 必是线段AB 的垂直平分线上的点；④若EA =EB ，则过点E 的直线垂直平分线段AB ．其中正确的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题5分，共25分）6. 若PA=PB ，DA=D B ，则PD 是AB 的 .7. 已知线段AB 和点C ，D ，且CA CB =，DA DB =，则直线CD 是线段AB 的 ． 8. △ABC 中，AB=AC ，P 为形内一点，PB=PC ，则P 在 的中垂线上，P 还在∠ 的9. 如图，在△ABC 中，D 为AB 上的一点，连接CD,AD=CD ,B ∠=115，且:5:3ACD BCD ∠∠=，则ACB ∠= ．10. 如图，已知AE=BE,12BF =，3CF =，则AC = ．三、解答题（50分）11. （12分） 如图，A 、B 、C 三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展需要，现三镇联合建造一所变电站。
八年级数学下学期 6.3《直角三角形》同步练习 鲁教版
直角三角形 一、填空题 1.直角三角形两直角边长分别为6和 8，则斜边上的高为_________. △ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠A =60°，AB =4 cm ，则CD =_________.个内角之比为1∶1∶2，则这个三角形的三边比为_________.△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，则a ∶b ∶c =_________.△ABC 中，a =b =5，c =52，则△ABC 为_________三角形.h 的等边三角形的边长为_________.m 的正方形的边长为_________.8.如图，Rt △ABC 和Rt △DEF ，∠C =∠F =90°（1）若∠A =∠D ，BC =EF ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________.（2）若∠A =∠D ，AC =DF ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________.（3）若∠A =∠D ，AB =DE ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________.（4）若AC =DF ，AB =DE ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________.（5）若AC =DF ，CB =F E ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________.9.已知：如图），AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ， AE =DF ，AB =DC ，则△______≌△_______（HL ）.10.已知：如图，BE ，CF 为△ABC 的高，且BE =CF ，BE ，CF 交于点H ，若BC =10，FC =8，则EC =__________.二、选择题△ABC 中，∠ACB =90°，AC =CB ，CD 是斜边AB 的中线，若AB =22，则点D 到BC 的距离为（ ）B.2 D.22 12.如左下图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BD =5，DC =1，AC =5，那么AB 的长度是( )A.27B.27C.109题图10题图 12题图14.以下各组数为边的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.3+1，3－1，22B.4，7.C.7，24，2515.如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是BC 上一点，∠BAE =∠DE C=60°，AB =3，CE =4，则AD 等于( )8 B.24216.等边三角形的高为2，则它的面积是（ ）B.4C.3343三、解答与证明逆命题是什么，判断它是否正确.①等腰三角形的两底角相等；②三角形的三内角之比为1∶1∶2，则三角形为等腰直角三角形；③三内角之比为1∶2∶3的三角形为直角三角形；④矩形的两组对边相等.18.已知：如下图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC =4，BC =3，DB =59.（1）求DC 的长；（2）求AD 的长；（3）求AB 的长；（4）求证：△ABC 是直角三角形.19.如下图，已知∠ABC =∠AD C=90°，E 是AC 上一点，AB =AD ，求证：EB=ED .15题图ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠AD边与对角线BD重合，得折痕DG，如图3所示，若AB=2，BC=1，求AG的长.。
八年级数学下册 6.3 直角三角形学案1 鲁教版五四制
八年级数学下册 6.3 直角三角形学案1 鲁教版五四制【学习目标】1、了解勾股定理及其逆定理的证明方法2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原命题成立其逆命题不一定成立。
【教学重点】进一步掌握演绎推理的方法。
【预习导学】1、认真阅读教材，熟记勾股定理及逆定理；2、独立规范完成随堂练习，尝试归纳本节课的学习目标和注意事项、【教学过程】一、知识梳理：1、勾股定理：_____________________________________________ 定理:如果三角形_________________________________________,那么_____________________2: 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 ____________和________,那么这两个命题称为____________,其中一个命题称为另一个命题的______3:如果一个定理的________经过证明是________,那么它也是一个________,这两个定理称为_________,其中一个定理称为另一个定理的_________4、写出下列命题的逆命题（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；（3）三角形中相等的边所对的角相等【预习质疑】二、探究与交流：例1、证明：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方已知：求证：证明：例2:求证:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形、已知: 求证: 证明思考：1、观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？2、你能写出直命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？，它们都是真命题吗？例3 写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
如果x=1，则x2=1；如果|a|=|b|，则a=b、随堂练习 P20随练1、一人口述解答，其他学生质疑或补充2、一人课堂板演，师生共同讲评三、盘点收获通过学习我掌握了……，我还有一些疑惑……四、达标测评1、若△ABC中，a=b=5，c=5，则△ABC为_________三角形、2、如图，△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，则BC边上的高 AD 等于________3、以下各组数为边的三角形中，不是直角三角形的是（）A、+1，－1，2B、4，7、5，8、5C、7，24，25D、3、5，4、5，5、54、下列关于命题的说法中正确的是（）A、每个命题都有逆命题B、每个定理都有逆定理C、每个真命题的逆命题也是真命题D、每个假命题的逆命题也是假命题。
(五四制) 鲁教版数学 8年级下册 配套练习册 一课一练 基本功训练_35
解：∵
AB AD
= DBCE = AACE
，
∴△ABC ∽ △ADE（三边成比例的两个三角形相似）.
∴∠BAC =∠DAE.
A
∴∠BAC -∠DAC = ∠DAE -∠DAC，
即∠BAD =∠CAE.
B
∵∠BAD = 20°， ∴∠CAE = 20°.
C
D
E
图 9-19
议一议
如图 9-20，△ABC 与△A'B'C' 相似吗？你有哪些判断方法？
4
探索三角形相似的条件
数学理解
3. 如图，P 是△ABC 的边 AB 上的一点.
A
（1）如果∠A C P =∠B，△A C P 与△A B C 是否相
似？为什么？
（2）如果
AP AC
= AC AB
，△ACP
与△ABC
是否相似？为
P
什么？如果
AC = BC CP AC
呢？
B
C
（第 3 题）
问题解决
2. 如图，△ABC 与△EFG 相似吗？为什么？
② ①
A
C
B G
E
F
（第 2 题）
③ ④ （第 3 题）
3. 如图所示的 6 个三角形中，哪些三角形相似？为什么？
⑤ ⑥
数学理解
4. 在一张 8×8 的方格纸上连接三个格点，得到一个三角形. 画出三对两两相似、 大小不同的△A'B'C'，使
AB A'B'
，
BC B'C'
和
AC A'C'
都等于给定的值 k.
（1）设法比较∠A 与∠A' 的大小；
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6.3直角三角形
一、填空题 1.直角三角形两直角边长分别为6和 8，则斜边上的高为_________. 2.Rt △ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠A =60°，AB =4 cm ，则CD =_________.
3.一个三角形三个内角之比为1∶1∶2，则这个三角形的三边比为_________.
4.在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，则a ∶b ∶c =_________.
5.若△ABC 中，a =b =5，c =52，则△ABC 为_________三角形.
6.高为h 的等边三角形的边长为_________.
7.对角线长为m 的正方形的边长为_________.
8.如图，Rt △ABC 和Rt △DEF ，∠C =∠F =90°
（1）若∠A =∠D ，BC =EF ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________.
（2）若∠A =∠D ，AC =DF ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________.
（3）若∠A =∠D ，AB =DE ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________.
（4）若AC =DF ，AB =DE ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________.
（5）若AC =DF ，CB =F E ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________.
9.已知：如图），AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ， AE =DF ，AB =DC ，则△______≌△_______（HL ）.
10.已知：如图，BE ，CF 为△ABC 的高，
且BE =CF ，BE ，CF 交于点H ，若BC =10，FC =8，则EC =__________.
二、选择题
11.在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =CB ，CD 是斜边AB 的中线， 若AB =22，则点D 到BC 的距离为（ ）
A.1
B.2
C.2
D.22
12.如左下图，在△A BC 中，AD ⊥BC 于D ，BD =5，DC =1，AC =5，那么AB 的长度是( )
A.27
B.27
C.10
D.25
13.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是
A.两条直角边对应相等
B.有两条边对应相等
C.一条边和一锐角对应相等
D.一条边和一个角对应相等
14.以下各组数为边的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.3+1，3－1，22 B.4，7.5，8.5
C.7，24，25
D.3.5，4.5，5.5
15.如图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是BC 上一点，∠BAE =∠DE C=60°，AB =3，CE =4，则AD 等于( )
9题图
10题图
12题图
A.4 8
B.24
C.10
D.12
16.等边三角形的高为2，则它的面积是（ ）
A.2
B.4
C.334
D.43
三、解答与证明
17.下列命题的逆命题是什么，判断它是否正确.
①等腰三角形的两底角相等；
②三角形的三内角之比为1∶1∶2，则三角形为等腰直角三角形；
③三内角之比为1∶2∶3的三角形为直角三角形；
④矩形的两组对边相等.
18.已知：如下图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC =4，BC =3，DB =
5
9. （1）求DC 的长；
（2）求
AD 的长；
（3）求AB 的长；
（4）求证：△ABC 是直角三角形.
19.如下图，已知∠ABC =∠AD C=90°，E 是AC 上一点，AB =AD ，
求证：EB=ED .
20.折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，如图3所示，若AB =2，BC =1，求AG 的长.
15题图。