空间直线和平面总结_知识结构图+例题
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直线、平面和简单的几何体
一、空间直线和平面：
（一）知识结构
（二）平行与垂直关系的论证
1、线线、线面、面面平行关系的转化：
线线∥
线面∥面面∥
公理
4
(a//b,b//c
a//c)
线面平行判定
αβ
αγβγ
//
,
//
I I
==
⇒
⎫
⎬
⎭
a b
a b
面面平行判定1
a b
a b
a
//
,
//
⊄⊂
⇒
⎫
⎬
⎭
αα
α
面面平行性质
a b
a b A
a b
⊂⊂
=
⇒
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
αα
ββ
αβ
,
//,//
//
I
线面平行性质
a
a
b
a b
//
//
α
β
αβ
⊂
=
⇒
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
I
面面平行性质1
αβ
α
β
//
//
a
a
⊂
⇒
⎫
⎬
⎭
面面平行性质
αγ
βγ
αβ
//
//
//
⎫
⎬
⎭
⇒
A b
α a
β
a
b
α
2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：
面面垂直判定
面面垂直定义
αβαβ
αβ
I=--
⇒⊥
⎫
⎬
⎭
l l
，且二面角
成直二面角
3. 平行与垂直关系的转化：
面面∥
面面平行判定2
a b
a
b
//
⊥
⇒⊥
⎫
⎬
⎭
α
α
a
b
a b
⊥
⊥
⇒
⎫
⎬
⎭
α
α
//
a
a
⊥
⊥
⇒
⎫
⎬
⎭
α
β
αβ
//
αβ
α
β
//
a
a
⊥
⊥
⎫
⎬
⎭
a
4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”
5. 唯一性结论：
（三）空间中的角与距离 1. 三类角的定义：
（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （时，∥或）θαα=︒⊂0b b
（3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°
2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。
3. 空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。
4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。
常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。 二、简单几何体：
（一）棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体）
性质
侧棱都相等
侧面是平行四边形
对角面是平行四边形
两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形
直截面周长侧棱长
底面积高直截面面积侧棱长
侧
柱
S
V
=⨯
=⨯=⨯
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
（二）棱锥（底面是多边形，其余各面是由有一个公共顶点的三角形所围成的多面体）h
S
3
1
V⋅
=
底
锥
定理：截面与底面平行则有
2
2
1
h
h
S
S
=
底
截
正棱锥的性质
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎨⎧∆=+=-=∆α=+=+=∆θ=α=-=∆OEB Rt n 180sin 2a a 41r h l R SEB Rt cos r a 41l r h h SOE Rt sin l sin h R l h SOB
Rt 22
22222222ο图）及元素之间的关系四个直角三角形（如上全等的等腰三角形侧棱都相等，侧面都是
O O O
O S S 11
221=λ是两个平行截面且、如图
）
（与定比分点公式比较则λ+λ+=1S
S S 21
概率与统计
（一）散型随机变量的分布列
性质：⎩⎨
⎧=++=≥1
p p 21i 0p 21i ΛΛ，，
二项分布：
)p 1q (npq D np E )p n k (b q p C )p n (B ~k
n k k n -==ξ=ξ=⋅ξ-，，，，， ξ ΛΛi 21x x x p
ΛΛ
i
2
1
p p p
若b a +ξ=η
则b aE )b a (E E +ξ=+ξ=η
ξ-=+ξ=ηD a )b a (D D 2
期望：ΛΛ++++=ξn n 2211p x p x p x E
方差：ΛΛ+ξ-++ξ-+ξ-=ξn 2
n 222121p )E x (p )E x (p )E x (D
（二）抽样方法
⎪⎩
⎪
⎨⎧分层抽样系统抽样简单随机抽样
【典型例题】
例1. 如图，在四面体ABCD 中作截面EFG ，若EG ，DC 的延长线交于M ，FG 、BC 的延长线交于N ，EF 、DB 的延长线交于P ，求证M 、N 、P 三点共线。