立体几何线面夹角的计算培训资料

αO A B C αO A B 直线和平面所成的角

1. 斜线,垂线,射影

⑴垂线自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影.这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.

⑵斜线一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平

面的斜线.斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这

个平面的斜线段. ⑶射影过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线

在这个平面内的射影.垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个

平面内的射影.

直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线.直线与平面垂直射影是点.斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.

2． 射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 ⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长.

⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长 ⑶垂线段比任何一条斜线段都短.

⑴O B =O C ⇒AB =AC O B >O C ⇒AB >AC

⑵AB =AC ⇒O B =O CAB >AC ⇒O B >O C

⑶O A

3．直线和平面所成角

（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个

平面所成的角.

一直线垂直于平面，所成的角是直角.一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒

角.直线和平面所成角范围：[0，2

π] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.

4．公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=.

1. 如图,正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧棱长为√2,底面三角形的边长为1,则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是＿＿.

A B

B 1

C

A 1 C 1

ϕ2ϕ1c b a θP

αO A B

2. 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍,则侧棱与底面所成角的余弦值等于＿＿.

3. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为＿＿.

4. 在如图所示的几何体中,EA ⊥平面ABC ， DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. 求DE 与平面EMC 所成角的正切值

5. 如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD,AB ⊥AD,AC ⊥CD,

∠ABC=60。,PA=AB=BC,E 是PC 的中点.求PB 与平面PAD 所成角的大小.

6. 四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,侧面SBC ⊥底面ABCD.已知∠ABC=45。，AB=2，BC=2√2，SA=SB=√3. 求直线SD 与平面SBC 所成角的大小.

A B C D A 1

B 1

C 1

D 1 B A C D

E M P

A E D

C B S

A C D

立体几何—异面直线夹角、线面角

1.直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于

(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°

2.正方体ABCD -1111A B C D 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为

（A ） （B （C ）23

（D 3.已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为

（A ） 4 (B) 4 (C) 4 (D) 34

3.直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于

(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°

4.正方体ABCD -1111A B C D 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为

（A ）

3 （B （C ）23

（D 5.已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为

（A ）

4 (B) 4 (C) 4 (D) 34