高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结

线面角的求法

1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。

B

M

H

S

C

A

解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,

图1

∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB,

又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM

过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC

∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7

（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι

其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。

A 1

C 1

D 1

H

4

C

B 1

23

B

A

D

解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 ，设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5，∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin0.8 3. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2

（如图3） 若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直线，

其中θ为OA 与OC 所成的角，

B α

O

A

C

图3

θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cos θ2，它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）

1．平面的斜线和平面所成的角：

已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是 斜线在平面α内的射影。设AC 是平面α内的任意一条直线，且BC AC ⊥，垂足为C ，又设AO 与AB 所成角为1θ，AB 与AC 所成角为2θ，AO 与AC 所成角为θ，则易知：

1||||cos AB AO θ=，212||||cos ||cos cos AC AB AO θθθ==

又∵||||cos AC AO θ=，

可以得到：12cos cos cos θθθ=⋅， 注意：2(0,

)2

π

θ∈（若22

π

θ=

，则由三垂线定理可知，

OA AC ⊥，即2

π

θ=

；与“AC 是平面α内的任意一条直线，且BC AC ⊥，垂足为C ”不相符）。

易得：1cos cos θθ< 又1,(0,

)2

π

θθ∈即可得：1θθ<．

则可以得到：

（1）平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角； （2）斜线和平面所成角：一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角，叫做斜线和平面所成角（或叫斜线和平面的夹角）。

说明：1．若a α⊥，则规定a 与α所成的角是直角；

2．若//a α或a α⊂，则规定a 与α所成的角为0；

3．直线和平面所成角的范围为：090θ≤≤；

4．直线和平面所成角是直斜线与该平面内直线所成角的最小值（12cos cos cos θθθ=⋅）。

例3（如图4） 已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与 面OBC 所成的角的余弦值。

O

α

D

A

C

B

θ

θ2

θ1O

C

B

A

α

解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD 上，则∠AOD 即为OA 与

面OBC 所成的角，可知∠DOC=30° ,cos ∠AOC=cos ∠AOD·cos ∠DOC ，∴cos60°=cos ∠AOD·cos30° ∴ cos ∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC 所成的角的余弦值为√3／3。

2．例题分析：

例1．如图，已知AB 是平面α的一条斜线，B 为斜足，,AO O α⊥为垂足，BC 为α内的一条直线，

60,45ABC OBC ∠=∠=，求斜线AB 和平面α所成角。

解：∵AO α⊥，由斜线和平面所成角的定义可知，ABO ∠为AB 和α

所成角，

又∵12cos cos cos θθθ=⋅，

∴cos cos 601cos cos cos 45222

ABC ABO CBO ∠∠=

=

=÷=∠，

∴45BAO ∠=，即斜线AB 和平面α所成角为45．

例2．如图，在正方体1AC 中，求面对角线1A B 与对角面11BB D D 所成的角。

〖解〗（法一）连结11AC 与11B D 交于O ，连结OB ，

∵111DD AC ⊥，1111B D AC ⊥，∴1

AO ⊥平面11BB D D ， ∴1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角，

在1Rt A BO ∆中，1

112

AO A B =，∴130A BO ∠=． （法二）由法一得1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角， 又∵112cos cos 452A BB ∠==

，11cos B B B BO BO ∠== ∴1111cos cos cos 2A BB A BO B BO ∠∠===∠，∴130A BO ∠=．

说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角。另外，在条件允许的情况下，用公式21cos cos cos θθθ=⋅求线面角显得更加方便。

例3．已知空间四边形ABCD 的各边及对角线相等，求AC 与平面BCD 所成角的余弦值。

解：过A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接,,CO BO DO ， ∵AB AC AD ==，∴O 是正三角形BCD 的外心，

设四面体的边长为a ，则CO =

， ∵90AOC ∠=，∴ACO ∠即为AC 与平面BCD 所成角，

O C

B A

α

O

C

B

A A 1