2020中考数学 几何综合探究 专题练习(含答案)

2020中考数学 几何综合探究 专题练习

例题1. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5075135AB DC AD BC ====，，，点P 从点B 出发沿

折线段BA AD DC --以每秒5个单位长度的速度向点C 匀速运动，点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK BC ⊥，交折线段CD DA AB --于点E ，点P 、Q 同时开始运动，当点P 与点C 重合时停止运动，点Q 也随之停止，设点P 、Q 运动的时间是t

秒()0t >

（1）当点P 到达终点C 时，求t 的值，并指出此时BQ 的长；

（2）当点P 运动到AD 上时，t 为何值能使PQ DC ∥?

（3）设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ，分别求出点E 运动到CD DA ，上时，S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）

【答案】⑴507550

355

t ++=

=()s 时，点P 到达终点C ， 此时，353105QC =⨯=，所以BQ 的长为 13510530-=．

⑵如图1，若PQ DC ∥，又AD BC ∥，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD QC =, 由35QC t BA AP t =+=，

得507553t t +-=，解得125

8

t =，

经检验：当125

8

t =时，有PQ DC ∥．

⑶①当点E 在CD 上运动时，如图2，分别过点A 、D 作AF BC ⊥于点F ，DH BC ⊥于点H ，

则四边形ADHF 为矩形，且ABF DCH △≌△，

从而75FH AD ==，于是30BF CH ==，∴40DH AF ==．

又3QC t =，从而tan 34DH

QE QC C t t CH

=⋅=⋅=（注：用相似三角形求解亦可）

∴21

62

QCE S S QE QC t ==⋅=△．

②当点E 在DA 上运动时，如图1，过点D 作DH BC ⊥于点H ， 由①知4030DH CH ==，，

又3QC t =，从而330ED QH QC CH t ==-=-

∴()1

1206002

QCDE S S ED QC DH t ==+=-梯形．

C

图1

C

图2

例题2. 如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC CD ，上的点，4

13

CE CF ==

，，直线EF 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H 作HM AG ⊥，HN AD ⊥，垂足分别为M N ，，设HM x =，矩形AMHN 的面积为y

（1）求y 与x 之间的函数关系式；

（2）当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积为多少？

【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长为4，4

13

CE CF ==，，

∴3BE =

又AG CF FEC GEB ∥，△∽△，4CF CE

BG BG BE

==，

又HM BE ∥

∴HMG EBG △∽△，MG HM

BG BE

=

∴44

833MG x AM x ==-，

∴()244880433y x x x x x ⎛

⎫=-=-+<≤ ⎪⎝

⎭

（2）∵()2

244831233

y x x x =-+=--+

∴当3x =时，矩形面积最大，最大面积为12

例题3.

如图，在平面直角坐标系中，点)0A

，()

2B ，()02C ，，动点D 以每秒1个单位的速

度从点O 出发沿OC 向终点C 运动，同时动点E 以每秒2个单位的速度从点A 出发沿AB 向终点B 运

动，过点E 作EF AB ⊥交BC 于点F ，连结OA 、OF ，设运动时间为t 秒．

（1）求ABC ∠的度数；

（2）当t 为何值时，AB DF ∥； （3）设四边形AEFD 的面积为S ， ①求S 关于t 的函数关系式；

②若一抛物线2y x mx =+经过动点E

，当S

【答案】（1）过点B 作BM x ⊥轴于点M

∵(

)()

022C B ，，，∴BC OA ∥，∴ABC BAM ∠=∠，

∵2BM AM ==，

∴tan 30BAM ABC BAM ∠∠=∠=︒． （2）∵AB DF ∥，∴30CFD CBA ∠=∠=︒，

N M

H G

F

E

D

C B

A

B

在直角三角形DCF 中，230CD t CFD =-∠=︒，，

∴)2CF t =-， ∵4AB =，∴4230BE t FBE =-∠=︒，，∴

242t BF -

=，

)

2t -+

=，∴5

7

t =

． （3）①解法一：过点E 作EG x ⊥轴于点G ，则EG

t =

，OG

，

∴)

E

t ，，∴DE x ∥轴，

1112222DEF DEA S S S DE CD DE OD =+=⨯+⨯=⨯=△△．

解法二：∵

242t BF -

=，∴

242t CF -==

， ∴ODA BFE CDF OABC S S S S S =---△△

△梯形

)(

)

)224142t t t =-+-=

②当

S <

，

∴1t <，因为0t >，所以01t

<<

m <

例题4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A B ，的坐标分别为()()4043，，，，动点

M N ，分别从点O B ，同时出发，

以每秒1个单位的速度运动，其中点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动，过点N 作NP BC ⊥，交AC 于点P ，连结MP ，当两动点运动了t 秒时．

（1）P 点的坐标为（ ， ）（用含t 的代数式表示）． （2）记MPA ∆的面积为S ，求S 与t 的函数关系式(04)t <<．

（3）当t = 秒时，S 有最大值，最大值是 ．

（4）若点Q 在y 轴上，当S 有最大值且QAN ∆为等腰三角形时，求直线AQ 的解析式．

【答案】（1）3

44

t t -，

（2）在MPA ∆中，4MA t =-，MA 边上的高为3

4

t

∴()13

424MPA S S t t ∆==-⋅，

即()233

0482S t t t =-+<<

（3）3

22

，

（4）由⑶知，当S 有最大值时，2t =，此时N 在BC 的中 点处，如图1．

设()0Q y ，，则222224AQ OA OQ y =+=+

()2

222223QN CN CQ y =+=+-，

2222232AN AB BN =+=+．