2013中考数学压轴题(含答案)

1、如图12，已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x =>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；
（2）若双曲线(0)k
y k x =>上一点C 的纵坐标为8，求A O C △的面积；
（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k
y k x =>于P Q ，两
点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面
积为24，求点P 的坐标．
解：(1)∵点A 横坐标为4 , ∴当 x = 4时，y = 2 .
∴ 点A 的坐标为（ 4，2 ）.
∵ 点A 是直线 与双曲线 （k>0）的交点 , ∴ k = 4 ×2 = 8 .
(2) 解法一：如图12-1，
∵ 点C 在双曲线上，y = 8时，x = 1
∴ 点C 的坐标为 ( 1, 8 ) .
过点A 、C 分别做x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，得矩形DMON .
S 矩形ONDM = 32 ， S △ONC = 4 ， S △CDA = 9， S △OAM = 4 .
S △AOC = S 矩形ONDM - S △ONC - S △CDA - S △OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 .
解法二：如图12-2，
过点 C 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E 、F ，
∵ 点C 在双曲线8
y x =上，当y = 8时，x = 1 .
∴ 点C 的坐标为 ( 1, 8 ).
图12
O x A y B x y 21x y 8=
∵ 点C 、A 都在双曲线8
y x =上 ,
∴ S △COE = S △AOF = 4 。

∴ S △COE + S 梯形CEFA = S △COA + S △AOF .
∴ S △COA = S 梯形CEFA .
∵ S 梯形CEFA = 1
2
×（2+8）×3 = 15 ,
∴ S △COA = 15 .
（3）∵ 反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形 ,
∴ OP=OQ ，OA=OB .
∴ 四边形APBQ 是平行四边形 .
∴ S △POA = S 平行四边形APBQ = ×24 = 6 .
设点P 的横坐标为m （m > 0且4m ≠）,
得P ( m , ) .
过点P 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E 、F ，
∵ 点P 、A 在双曲线上，∴S △POE = S △AOF = 4 .
若0＜m ＜4，如图12-3，
∵ S △POE + S 梯形PEFA = S △POA + S △AOF ,
∴ S 梯形PEFA = S △POA = 6 .
∴ 1
8
(2)(4)62m m +⋅-=.
41
41
m
8
解得m = 2，m = - 8(舍去) .
∴ P （2，4）.
若 m ＞ 4，如图12-4，
∵ S △AOF + S 梯形AFEP = S △AOP + S △POE ,
∴ S 梯形PEFA = S △POA = 6 .
∴1
8
(2)(4)62m m +⋅-=，
解得m = 8，m = - 2 (舍去) .
∴ P （8，1）.
∴ 点P 的坐标是P （2，4）或P （8，1）.
2、如图，抛物线21
2y x mx n =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点P 是它的顶点，点A
的横坐标是-3，点B 的横坐标是1．
(1)求m 、n 的值；
(2）求直线PC 的解析式；
(3）请探究以点A 为圆心、直径为5的圆与直线 PC 的位置关系，并说明理由．(参考数：2 1.41≈，3 1.73≈，5 2.24≈) 解： (1)由已知条件可知： 抛物线21
2y x mx n =++经过A (-3，0)、B (1，0)两点． ∴ 903,210.2m n m n ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ ……………………………………2分
解得 3
1,2
m n ==-． ………………………3分 (2) ∵213
22y
x x =+-， ∴ P (-1，-2)，C 3(0,)2-． …………………4分
设直线PC 的解析式是y kx b =+，则2,3.2
k b b -=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 解得13,22k b ==-． ∴ 直线PC 的解析式是1
3
22y
x =-． …………………………6分 说明：只要求对1
3
22k b ==-，，不写最后一步，不扣分．
(3) 如图，过点A 作AE ⊥PC ，垂足为E ．
设直线PC 与x 轴交于点D ，则点D 的坐标为(3，0)． ………………………7分 在Rt△O CD 中，∵ O C =32
，3O D =， ∴ 2233()3522C D =+=． …………8分
∵ O A =3，3O D =，∴AD =6． (9)
分 ∵ ∠C O D =∠AED =90o ，∠CD O 公用，
∴ △C O D ∽△AED ． ……………10分 ∴ OC
C D AE
AD =， 即33
5226AE =． ∴ 655AE =． …………………11分 ∵ 6
5 2.688 2.55> ，
∴ 以点A 为圆心、直径为5的圆与直线PC 相离． …………12分。