3.3.1几何概型(一)
3.3几何概型(1)
在 这 两个问题中 基 本 事 件有无限多个,虽然 , 类似于古典概型的 等可能性" 还存在着, 但是 " 显然不能用古典概型的 方法求解.怎么办呢? 考虑第一个问题, 如图, 记"剪得两段绳长都不 小于1 m " 为事件 A. 1 1
3 把经绳子三等分于是 , 当剪断位置处在中间一 段上时, 事件 A 发生.
1 12.22 P B 4 0.01. 1 1222 4
122cm
1 1222 cm2的大圆内, 4
从上面的分析可以看到对于一个随机试验 我们将每 , , 个基本事件理解为从某 个特定的几何区域内随 机地取 一点, 该区域中每一点被取到 的机会都一样 而一个随 ; 机事件的发生则理解为 恰好取到上述区域内的 某个指 定区域中的点这里的区域可以是线段 . 、平面图形、立 体图形等.用这种方法处理随机试 , 称为几何概型 验 geometric probabilit y mod el . 一般地, 在几何区域D中随机地取一点, 记事件" 该点落在 其内部一个区域 d 内"为事件 A, 则事件 A 发生的概率 d 的测度 P A . D 的测度 这里要求D的测度不为0, 其中 测度"的意义依D确定,当 " D分别是线段、平面图形 和立体图形时 相应的 测度" , " 分别是长度、面积和体 积等.
答 豆子落入圆内的概率为 . 4
例 2 在 1 L高产小麦种子中混入一 粒带麦锈 病的种子, 从中随机取出 mL, 含有麦锈病种 10 子的概率是多少 ? 分析 病种子在这1 L 种子中的分布可以看作 是 随 机的 , 取得的10 mL 种子可视作区域 d , 所 有种子可视为区域 D .
3.3.1几何概型
6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x. y 8
7
O
6.5 7.5 x
事件A表示父亲在离开家前能得到报纸，所构成的区 域A={（x，y）| 6.5≤x≤7.5，7≤y≤8， y≥x }，
即图中的阴影部分，面积为 1 1 1 1 7 222 8
6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x. 你能画出上述不等式组表示的平面区域吗？
6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x. y 8
7
O
6.5 7.5 x
根据几何概型的概率计算公式，事件A发生的 概率为多少？
6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x. y 8
7
O
6.5 7.5 x
试验的全部结果所构成的区域为
转动时指针落在白色部分的概率.
P( A) 1 2
引例3：在500ml的水中有一个草履虫，现从
中随机取出2ml水样放在显微镜下观察，求发
现草履虫的概率.
P( A) 1 250
建构数学 如果每个事件发生的概率只与构成该事件
区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
我们可以利用计算器或计算机产生整数值随机 数，还可以通过随机模拟方法求古典概型的概率近 似值，对于几何概型，我们也可以进行上述工作.
思考：计算机只能产生[0，1]上的均匀随机数， 如果试验的结果是区间[a，b]上等可能出现的任何 一个值，如何产生[a，b]上的均匀随机数？
首先利用计算器或计算机产生[0，1]上的均匀 随机数X=RAND, 然后利用伸缩和平移变换：
练习2：某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到
2015学年高中数学(人教A版必修三)配套课件 第3章 3.3.1 几何概型 课堂教学素材1
练习
3.欧阳修《卖油翁》中写道：“乃 取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以 杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿。” 可见“行行出状元”，卖油翁的技艺 让人叹为观止。若铜钱的直径是3cm的 圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若 你随机向铜钱上滴一滴油，则油正好 4 落入孔中的概率是 (假设油 9π
滴落在铜钱上且油滴的大小忽略不计）
1米
1米
1米
1 事件A发生的概率 P（A） = 3
知识串联：两种概型 概率公式的联系 古典概型 共同点 不同点 基本事件发生 的等可能性 几何概型 基本事件发生 的等可能性 基本事件个数 的无限性
基本事件个数 的有限性 古典概型概率计算公式:
P(A)=
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
几何概型概率计算公式:
3
（3－2）2 1 = = 9 32
解题方法小结：对于复杂的实际问题,解题的关键 是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对 应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用 几何概率公式求解.
练习
1.一个路口的红绿灯，红灯的 时间为30秒，黄灯的时间为5 秒，绿灯的时间为40秒。当 你到达路口不用停直接通过 的概率为 8/15
例2. 抛阶砖游戏“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏 之一.参与者只须将手上的“金币”（设“金币” 的半径为1）抛向离身边若干距离的阶砖平面上， 抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为 3的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠）， 便可获奖，许多人纷纷参与此游戏，却很少有人得 到奖品，你能用今天所学的数学知识解释这是为什 么吗？（假设每次抛的金币都落在阶砖上）
解:
设A= 等待的时间不多于10分钟
则事件A发生恰好是打开收音机的 时刻位于[50，60]时间段内，因此 由几何概型的求概率公式得
课件4：3.3.1 几何概型
解析：(1)不是几何概型；(2)(3)(4)是几何概型，满足无限性，
且等可能性． 2．用力将一个长为三米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部
位被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的 1 米到 2 米
刻度处的概率为( B )
A.23
B．13
C.16
D．14
解析：由几何概型得，米尺的断裂处恰在米尺的 1 米到 2 米刻
1．几何概型的定义与特点 (1) 定 义 ： 如 果 每 个 事 件 发 生 的 概 率 只 与 构 成 该 事 件 区 域 的 __长__度__(_面__积__或__体__积__) _成比例，则称这样的概率模型为几何概率
模型，简称为几何概型． (2)特点：①可能出现的结果有_无__限__多__个__；②每个结果发生的 可能性_相__等___．
度处的概率为 P＝2－3 1＝31.
3．如图，假设你在如图所示的图形中随机撒一粒黄豆，则它落 1
到阴影部分的概率为___π_____．
解析：设圆的半径为 R，则圆的面积为 S＝πR2，阴影的面积 S 阴＝21·2R·R＝R2，故所求概率 P＝SS阴＝πRR2 2＝π1 .
探究点一 与长度有关的几何概型
225 ＝2225，故所求概率为 P＝4200＝392.
(1)数形结合思想的实质就是把抽象的数学语言、数量关系和直 观的图形结合起来．包含“以形助数”和“以数辅形”两个方 面．在本节中把几何概型问题利用坐标系转化成图形问题(或符 合条件的点集问题)去解决． (2)与面积有关的几何概型的概率公式 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其 概率的计算公式为： P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的面区积域面积.
本例中，若将“x∈[－5，5], x0∈[－5，5]”分 别改为“x∈[0，5], x0∈[0，5]”，则概率为多少？ 解：当任取一点 x0∈[0，5]时，f(x0)≤0 的 x0 的取值范围为 x0 ∈[0，2]，故由几何概型概率计算公式可得，所求概率 P＝25－－00 ＝25.
3_3_1几何概型详案 (1)
3.3.1 几何概型（第一课时）【学习目标】1．了解几何概型的概念与基本特点；2．掌握简单的几何概型的概率运算.【重点与难点】重点：几何概型概念的建构.难点：几何概率模型中基本事件的确定，几何“测度”的选择；将实际问题转化为几何概型.【方法与手段】本节课以直观观察为主线，采用“引导发现、归纳猜想”为主的教学方法；以“课题性问题和导向性问题解决”作为教学路径，利用多媒体辅助教学手段.【活动方案】活动一：复习引入【以境激情，引出新知】试验1（幸运卡片）【设计意图】拉近师生距离，复习古典概型.班上有9位同学持有卡片，其中3张写着数学家的名言，老师随机选一张，恰好挑到写有名言的卡片的概率是多少？古典概型的特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（有限性）（2）每个基本事件的发生都是等可能的.（等可能性）试验2（剪绳试验）【设计意图】丰富感性认知，表现长度测度.取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的概率有多大？分析：一个基本事件：取到线段AB上某一点所有基本事件形成的集合：线段AB（除两端外）随机事件A（剪得两段的长度都不小于10cm）对应的集合：线段CD随机事件A发生(剪断位置处在中间一段CD上)的概率：试验3（射箭比赛）【设计意图】丰富感性认知，表现面积测度.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,黄心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少?分析：一个基本事件：在大圆面内取某一点所有基本事件形成的集合：直径为122cm的大圆面随机事件A（射中黄心）对应的集合：直径为12.2cm的小圆面随机事件A发生(中靶点落在黄心内)的概率：思考：【设计意图】引发认知冲突，引入几何概型.1．试验1是什么概率模型？有什么特点？是古典概型（有限性，等可能性）2．（1）试验2和试验3的一个基本事件是什么？试验2的基本事件：从每一个位置剪断都是1个基本事件，剪断位置能够是长度为30cm的绳子上除两端外的任意一点.（取到线段AB上某一点）试验3的基本事件：射中靶面上每一点都是1个基本事件，这个点能够是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点.（在大圆面内取某一点）（2）试验2、试验3与试验1的本质区别是什么？有什么特点？试验1的基本事件是有限个，试验2、3的基本事件是无限个；每个试验的基本事件的发生都是等可能的.【互动交流，建构新知】活动二：了解几何概型的定义、特点及求解方法1．几何概型的特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)每个基本事件出现的可能性相等．2．几何概型的概念：设D是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件能够视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生能够视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称几何概型．3．几何概型的概率计算公式：的测度的测度DdAP=)(思考：【设计意图】即时回扣情境，完成新知建构结合“打靶问题”，若让你改造箭靶，你将如何设置黄色区域，仍使击中黄色区域的概率为1001呢？事件A 发生的概率与d 的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d 区域的形状和位置无关.活动三：掌握简单的几何概型概率的求解例1：取一个边长为2a 的正方形及其内切圆(如图)，随机地向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．分析：基本事件：随机地向正方形内丢一粒豆子（在正方形内任取一点）；区域D ：正方形；区域d ：内切圆.（＂测度＂为面积）解：记“豆子落入圆内”为事件A ，因为是随机地丢豆子，故认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的，可将边长为2a 的正方形看作区域D ，其内切圆为区域d .22()44a P A a ππ===圆面积正方形面积. 答：豆子落入圆内的概率为4π. 小结：试归纳解决几何概型问题的一般步骤：(1)设定事件A ；(2)判断是否为几何概型；(3)确定几何区域D 和d 的测度；(4)利用几何概型的概率计算公式；(5)应用题要作答.【设计意图】明晰思维路径，明确答题规范。
高中数学 3.3.1几何概型1课件 新人教A版必修3
即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6.
2.已知地铁列车每10min一班,在车站停 1min.求乘客到达站台立即乘上车的概率.
练一练:
3.在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮 藏着石油.假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面 的概率是多少? 4.如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄 豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
是
.
3.(会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在 某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时 间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人 能会面的概率。
解： 以 X , Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，
于是 0 ≤ X ≤5, 0 ≤ Y ≤5. y
即 点 M 落在图中的阴影部
分.所有的点构成一个正方 形，即有无穷多个结果. 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的.
5
4
3
.M(X,Y)
2
1
0 1 234 5x
二人会面的条件是：| X Y | 1,
记“两人会面”为事件A
y
y=x+1
5
P(A) 阴影部分的面积 4 正方形的面积 3
2
5
2
1 2
基本事件:
射中靶面直径为122cm的大 圆内的任意一点.
这两个问题能否用古典概型的方法来求
解吗? 怎么办呢?
对于问题1.
记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A.
把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段 上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳 长的1/3.
3.3.1几何概型1
一根长度为3米的绳子上,有A1、A2、A3、A4、 A5五个点将绳子均分成六段，从A1、A2、A3、 A4、A5中任选一点将绳子剪断，那么剪得 的两段均不小于1米的概率是多少？
A1 A2 A3 A4 A5
如果有10个点将绳子均分呢？
3 米 11
回马枪：取一根长度为3m的绳子，如果拉 直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长 都不小于1m的概率有多大？
1m
C E 3m F
1m
D
例2.如图,转盘上有8个面积相等的扇形.
转动转盘,求转盘停止转动时指针落在阴
影部分的概率.(可选择不同的测度)
图一
图二
图三
例3.甲船在6:00-12:00的整点时分出港, 求甲船在8:00之前出港的概率.
几何概型的核心——“比例”， 每一份都均匀，即等可能性； 几何度量，即总数无限，求长度、面 积、体积的比值；
例1.取一个边长为2a的正方形及其内切圆， 若随机向正方形内撒一粒豆子，求豆子 落入圆内的概率. 2a
变式1：一个棱长为2a的正方体内有一个 内切球，若随机向正方体内任取一点， 求该点落入球内的概率.
几何概型定义:
事件A理解为区域Ω 的某一子区域A，A
的概率与 与A的位置和形状无关。 子区域A的几何度量 （长度、面积、体积）成正比；
A
满足以上条件的试验称为几何概型。
几何概型的特征 无限性。在一次试验中，可能出现的结 果有无限个，即有无限个不同的基本事 件； 等可能性。每个基本事件发生的可能性 是均等的。
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
取一根长度为3m的绳子，如果拉直后在任 意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于 1m的概率有多大？
§3.3.1-1几何概型(一)
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.3.1-1几何概型(一)
复习 1、古典概型有哪两个基本特点？ （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）.
2013-8-15
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
2013-8-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 14
60 50 1 P( A) , 60 6
§3.3.1-1几何概型(一)
练习：某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒,绿 灯60秒,黄灯4秒.当人或车随意经过该路口时,遇到 哪一种灯的可能性最大?遇到哪一种灯的可能性最 小?根据什么? 遇到红灯,绿灯,黄灯的概率各是多少？为什么？
2013-8-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 6
§3.3.1-1几何概型(一)
问题：有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏.规定当指 针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.在两种情况下 分别求甲获胜的概率是多少？ B N B N N
B
N B
B
N
B
与扇形的弧长（或面积或圆心角）有关，与扇 形区域所在的位置无关.
2013-8-15
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
4
§3.3.1-1几何概型(一)
问题：有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏.规定当指 针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.在两种情况下 分别求甲获胜的概率是多少？ B N B N N
B
N B
B
N
B
以左边转盘为游戏工具时，甲获胜的概率为1/2 以右边转盘为游戏工具时，甲获胜的概率为3/5
2013-8-15
人教版数学必修三3.3.1 几何概型 经典教学设计
《几何概型》教学设计一、教学内容解析1.内容：几何概型2.内容解析：本节课是人教A版教材数学必修3第三章第三节的内容。
“几何概型”这一章节内容是在安排“古典概型”之后的第二类概率模型，是对古典概型的内容进一步拓展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。
此节内容也是新课本中增加的，这是与以往教材安排上的最大的不同之处。
这充分体现了数学与实际生活的紧密关系，来源生活，而又高于生活。
同时也暗示了它在概率论中的重要作用，在高考中的题型的转变。
本章主要学概率问题的基本概念、基本原理、基本方法，因此在教学中要求应适当，难度要控制，同时要接近生活，基本应以贴近生活的例题与习题为主。
二、教学目标设置知识与技能目标：（1）通过对本节内容的学习，正确理解几何概型的意义、特点；掌握几何概型的概率公式：，会用公式计算几何概型。
（2）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（3）通过解决具体问题的实例感受理解几何概型的概念，掌握基本事件等可能性的判断方法，逐步学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的能力。
感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法。
过程与方法目标：（1）通过古典概型的例子，稍加变化后成为几何概型，从有限个等可能结果推广到无限个等可能结果，让学生经历概念的建造这一过程，感受数学的拓展过程。
（2）发现法教学，通过师生共同对“问题链”的探究，运用观察、类比、思考、探究、概括、归纳的方法和动手尝试相结合体会数学知识的形成的过程，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力。
（3）通过试验，感知应用数学解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
情感态度与价值观目标：本节课的主要特点是贴近生活，体会概率在生活中的重要作用，感知生活中的数学，激发学生提出问题和解决问题的勇气，培养积极探究的精神。
同时，随机试验多，学习时养成勤学严谨的思维习惯。
【绝对经典】几何概型1
3.3.1几何概型编撰人：王惠卿张纹境审核人：高一数学组包科领导签字：【教学目标】1.理解并掌握几何概型的定义；会求简单的几何概型试验的概率．2通过探究，让学生理解几何概型试验的基本特征，并与古典概型相区别.3.通过学习，让学生体会生活和学习中与几何概型有关的实例，增强学生解决实际问题的能力.【教学重点】几何概型概念的理解和公式的运用。
【教学难点】几何概型的应用。
【使用说明】请在15分钟之内自主预习课本135-136页的内容，并完成学案上自主学习部分，准备老师检查；小组成员合作完成课堂检测部分，提出问题，交科代表转交老师。
一、知识梳理1上节课我们认识了概率论中的新朋友古典概型，下面让我们来回顾一下，古典概型的概率计算公式；古典概型具有哪些特点呢？2.判断下列试验中事件发生的概率是否为古典概型?（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（2）5本不同的语文书，4本不同的数学书，从中任取2本，取出的书恰好都是数学书的概率；（3）取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率二、预习引导1.下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向黑色区域时，甲获胜，否则乙获胜.你认为甲获胜的概率分别是多少？2.由上面的1、2问，你能得到概率的另一个新朋友是谁吗？它的名字是什么？3.几何概型的定义是什么？命运掌握在自己手中。
命运掌握在自己手中。
4.几何概型的特点:？5.几何概型的公式？三、预习自测1.取一根长为４m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不少于１m 的概率是多少？2.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率？3.取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.？命运掌握在自己手中。
4.将一个长与宽不等的长方形水平放置，长方形对角线将其分成四个区域.在四个区域内涂上红、蓝、黄、白四种颜色，并在中间装个指针，使其可以自由转动.对于指针停留的可能性，下列说法正确的是（ ）A ．一样大 B. 黄、红区域大 C. 蓝、白区域大5.某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟的概率？通过预习自测的四道题总结几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目外，还解决和哪些量有关的题目。
3.3.1几何概型
3.几何概型：
诱思探究1
某班公交车到终点站的时间可能是11：30～12： 00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一粒芝麻， 芝麻可能落在方格中的任何一点上.这两个试验可能 出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因 素，每个试验结果出现的可能性是否相等？ 含义：若每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长 度（面积或体积）成比例，则称这样的的概率模型为几 何概型。 特点:（1）可能出现的结果有无限多个;（无限性） （2）每个结果发生的可能性相等. (有限性）
设使AM AC 为事件M，则 事件M所含区域角度为 BCC 15
BCC 15 1 P（M） ACB 90 6
1 答：使 AM AC 的概率为 . 6
课堂小结
• 1.几何概型的特点. • 2.几何概型的概率公式.
构成事件A的区域长度（面积或体积） P( A) 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
3.在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM交 线段AB于M，求使|AM|>|AC|的概率． 解：由题意得： 全部结果所含区域角度 为：
ACB 90
如图，在AB上取一点C，使AC AC，则：
180－A 180－30 ACC＝ ＝ ＝75 ２ ２
BCC＝90－ACC＝ 15
1.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用 一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯 水中含有这个细菌的概率.
2.如右下图,假设你在每个图形上随机撒一 粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
例题剖析1
某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想 听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率. 解：由题意得：
人教a版必修三分层训练：3.3.1几何概型(含答案)
3.3 几何概型3.3.1 几何概型一、基础达标 1．下列概率模型：①在区间[－10，10]中任取一个数，求取到1的概率；②从区间[－10，10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10，10]内任取一个整数，求取到大于1且小于5的整数的概率；④向一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离中心不超过1 cm 的概率．其中，是几何概型的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 ①是．因为区间[－10，10]有无限多个点，取到1这个数的概率为0. ②是．因为在[－10，10]和[－1，1]上有无限多个点可取，且在这两个区间上每个数取到的可能性相同．③不是．因为[－10，10]上的整数只有21个，不满足无限性．④是．因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点，且每个点被投中的可能性相同．2．有四个游戏盘，如图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为( )答案 A解析 对A ，P (A )＝38，对B ，P (B )＝13；对C ，P (C )＝4－π4＜14；对D ，P (D )＝1π，显然P (A )最大，因此应选游戏盘A.3．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110 B.19C.111D.18答案 A解析 试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110. 4．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12 C.34 D.23答案 C解析 如右图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S4”等价于事件“|BP |∶|AB |＞14．即P (△PBC 的面积大于S 4)＝|PA ||BA |＝345．在如图所示的正方形中随机撒入1 000粒芝麻，则撒入圆内的芝麻数大约为________(结果保留整数)． 答案 785解析 设正方形边长为2a ，则S 正＝4a 2，S 圆＝πa 2.因此芝麻落入圆内的概率为P ＝πa 24a 2＝π4，大约有 1 000×π4≈785(粒)．6．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________． 答案 0.005解析 由几何概型知P ＝2400＝0.005. 7．平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r ＜a 的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．解 设事件A ：“硬币不与任一条平行线相碰”．为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ，垂足为M ，参看图，这样线段OM 长度(记作|OM |)的取值范围是[0，a ]，只有当r ＜|OM |≤a 时，硬币不与平行线相碰，其长度范围是(r ，a ]．所以P (A )＝（r ，a ]的长度[0，a ]的长度＝a －ra.二、能力提升8．(2013·蚌埠高一检测)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ( ) A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π答案 A解析 设OA ＝OB ＝r ，则两个以r2为半径的半圆的公共部分面积为2⎣⎢⎡⎦⎥⎤14π·⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22＝（π－2）r 28，两个半圆外部的阴影部分面积为14πr 2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22×2－（π－2）r 28＝（π－2）r 28，所以所求概率为2×（π－2）r 2814πr 2＝1－2π.9．已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，则此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率为( )A ．1－3π12B ．1－3π24C.3π12D.3π24答案 B解析 设正三角形ABC 的边长为4，其面积为4 3.分别以A ，B ，C 为圆心，1为半径在△ABC 中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，其面积为43－3×12×π3×12＝43－π2，故所求概率P ＝43－π243＝1－3π24. 10．(2013·湖北高考)在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________． 答案 3解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2＜m ＜4时，由题意得m －（－2）6＝56，解得m ＝3.11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率．解 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设M －ABCD 的高为h ，则13×S 四边形ABCD ×h <16， 又S 四边形ABCD ＝1，则h <12M 在正方体的下半部分．故所求概率P ＝12V 正方体V 正方体＝12.三、探究与创新12．在街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm 的小圆板．规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱才可玩；若压在正方形塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问：(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解 (1)如图(1)所示，因为O 落在正方形ABCD 内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD 的边相交接是在圆板的中心O 到与它靠近的边的距离不超过1 cm 时，所以O 落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD 的边相交接，这个范围的面积等于92－72＝32(cm 2)，因此所求的概率是3292＝3281.(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆心O 与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径1 cm 时，如图(2)阴影部分，四块合起来面积为π cm 2，故所求概率是π81. 13．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(2)若a 是从区间[0，3]上任取的一个数，b 是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为 P (A )＝912＝34. (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}．构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．所以所求的概率为P(A)＝3×2－12×223×2＝23.。
几何概型(1)课件
解:P(A)= μA/μΩ=2/500=0.004
5
注
意
古典概型与几何概型的异同点
古典概型—— 有限性、等可能性. 几何概型—— 无限性、等可能性.
6
一、与长度有关的几何概型问题
例1 已知函数 y=x2-x-2, x∈［-5，5］，那么任 取一点x0∈［-5，5］，求使f(x0)≤0的概率。
而只有 r＜ OM a 时硬币不与平行线相碰. 所以
M O
L1
L2
r , a 的长度 a r P( A) 0，a 的长度 a
8
二、与面积有关的几何概型问题
例3：一海豚在水池自由游弋,水池长30m,宽20m的长 方形.求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.
解: μΩ=30×20=600(m2) μA=600-26×16 =184(m2) P(A)=μA/μΩ =184/600 =23/75
解： 记“使f(x0)≤0”的事件为A 显然当x0∈［-1，2］时， 总有f(x0)≤0成立.
-5 -1
y
o
2
5
x
A 2 (1) 3 p( A) 5 (5) 10
7
一、与长度有关的几何概型问题
例2： 平面上有一些彼此相距2a的平行线，把一枚半 径r<a的硬币任意地掷在这个平面上，求硬币不 与任一条平行线相碰的概率。 解： 记“硬币不与任一条平行线相碰”为事件 A 由于 OM 0，a 即Ω的几何度量 2a
10
C
M N
AOLeabharlann B三、与体积有关的几何概型问题
例3：在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病 的种子，从中随机取出1毫升，则取出的种 子中含有麦锈病的种子的概率是多少？
3_3_1《几何概型》
3.3.1<<几何概型>>一、教学目标：1、 知识与技能：（1）准确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；2、 过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理水平.3、 情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。
二、重点与难点：几何概型的概念、公式及应用；三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学．四、教学设想：1、创设情境：在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。
例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。
2、基本概念：（1）几何概率模型：假如每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ； （3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本领件）有无限多个；2）每个基本领件出现的可能性相等．3、 例题分析：课本例题略例1 判以下试验中事件A 发生的概度是古典概型，还是几何概型。
（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（2）如课本图3．3-1中的(2)所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。
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30 60 2 87.5%. P( A) 2 60
2
2
12 点到 5 点之间在 某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时 间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人 能会面的概率。 解： 以 x , y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是
(约会问题)甲、乙二人约定在
0 x 5, 0 y 5.
即 点 M 落在图中的阴影部 5 分.所有的点构成一个正方形，4 即有无穷多个结果.由于每人 3 在任一时刻到达都是等可能 2 的，所以落在正方形内各点 1 是等可能的. 0
y
.M(x,y)：
| x y | 1,
y
5 4 3 2 1
记“两人会面”为事件A.
阴影(红色）部分的面积 P(A) 正方形的面积 1 2 25 2 4 2 25 9 25.
在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
构成事件A的区域长度（面积或体积） P( A) 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
古典概型 所有的基本事件 每个基本事件的 发生
有限个
几何概型
无限个
等可能
等可能
每个基本事件的 发生的概率
概率的计算
1/n
/
例1、某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,
3.3.1
几何概型1
问题1：有两个转盘，甲乙两人玩游戏。规定 当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜。 在两种情况下分别求甲获胜的概率？
甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆弧的 长度有关，而与字母B所在区域的位置无关.
问题2取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意 位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的 概率有多大？
3.公式的运用.
例2：在圆心角为90 的扇形中，以圆心 O为起点作射线OC，求使得∠AOC和 ∠BOC都不小于30 0的概率.
0
解：记“这杯水含有这 个细菌” 为事件A.
取出水的体积 P ( A) 所有水的体积 0 .3 ＝ 12 1 ＝ . 40
5、如图,假设你在每个图形上 随机撒一粒黄豆,分别计算它落 到阴影部分的概率.
P 1 1
3 P2 8
6、一张方桌的图案如图所示（小正方形面积都相 等）。将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子 不落在线上，求下列事件的概率： （1）A={豆子落在红色区域} （2）B={豆子落在黄色区域} （3）C={豆子落在绿色区域} （4）D={豆子落在红色或绿色区域} （5）E={豆子落在黄色或绿色区域}
y =x+1
y=x -1
0
1
2 3 4
5 x
变式1：在等腰Rt△ABC，在斜边AB上
任取一点M，求AM＜AC的长的概率.
变式2：在面积为s的 △ABC内任意取一点
s M求△MBC的面积大于 的概率. 3
对于复杂的实际问题,解题的关键是要 建立模型,找出随机事件与所有基本事 件相对应的几何区域,把问题转化为几 何概率问题,利用几何概率公式求解.
古典概型特点:
(1)试验中所有可能出现的基本事件有 有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
A包含基本事件的个数 公式：P( A) 基本事件的总数
课堂小结
1.几何概型的特点. 2.几何概型的概率公式.
构成事件A的区域长度（面积或体积） P( A) 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
解:设A={等待的时间不多于10分 钟}.我们所关心的事件A恰好是 打开收音机的时刻位于[50,60] 时间段内,因此由几何概型的求 概率的公式得 60 50 1
P( A)
60
, 6
即“等待的时间不超过10分钟”
的概率为
1 6
练习1：公共汽车站每隔５分钟有一辆汽车 通过，乘客到达 汽车站的任一时刻都是等 可能的，求乘客候车不超过３分钟的概率．
基本事件:
从30cm的绳子上的任意一点剪断.
记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A. 把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的1/3.
1 事件A发生的概率P( A) 3
几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域 的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模 型为几何概率模型,简称为几何概型. 几何概型的特点: (1)试验中所有可能的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
练习2：某公共汽车站，每隔15分种有一辆车 发出，并且发出前在车站停靠3分钟. （1）求乘客到站候车时间大于10分钟的概率.
（2）求候车时间不超过10分钟的概率.
（3）求乘客到达车站立即上车的概率.
练习
4、有一饮水机装有12升的水,其中 含有1个细菌,用一个下面的奥运福 娃纪念杯从这饮水机中取出一满杯 水,求这杯水中含有这个细菌的概率.
例3.某一交通路口的红绿灯，红灯的 时间是50秒，黄灯的时间是10秒， 绿灯的时间为60秒，问一车经过此 路口遇上红灯或黄灯的概率是 多少?
例4、假设你家订了一份报纸. 送报人可能在早上6:30— 7:30之间把报纸送到你家 你父亲离开家去工作 的时间在早上7:00— 8:00之间 问你父亲在离开家前能 得到报纸(称为事件A)的 概率是多少?
6:30—7:30之间 报纸送到你家 7:00—8:00之间 父亲离开家 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事 件A)的概率是多少?
提示： 如果用X表示报 纸送到时间,用Y表 示父亲离家时间,那 么X与Y之间要满足 哪些关系呢？
解:以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标Y表示 父亲离家时间建立平面直角坐标系,假设随机试 验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符 合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部 分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即时间A 发生,所以