高三数学解答题难题突破 圆锥曲线的切线问题

高三数学解答题难题突破 圆锥曲线的切线问题【题型综述】圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数)(x f y =，利用导数法求出函数)(x f y =在点),(00y x 处的切线方程，特别是焦点在y 轴上常用此法求切线；思路2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x （或y ）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式0=∆，即可解出切线方程，注意关于x （或y ）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.【典例指引】类型一 导数法求抛物线切线例1 【2017课表1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．类型二 椭圆的切线问题例2（2014广东20）（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.类型三 直线与椭圆的一个交点例3.【2013年高考安徽卷】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点A ,连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由.【解析】（1）因为椭圆过点P ∴22231a b += 且222a b c =+ ∴ 28a = 24b = 24c = 椭圆C 的方程是22184x y += （2）由题意，各点的坐标如上图所示，则QG 的直线方程：0000808x x y y x x --=-化简得20000(8)80x y x x y y ---=又220028x y +=， 所以00280x x y y +-=带入22184x y += 求得最后0∆=所以直线QG 与椭圆只有一个公共点. 类型四 待定系数求抛物线的切线问题例4 【2013年高考广东卷】已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．（3）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+， 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y y x y y +-+=，2212001202,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++220019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为92【扩展链接】1. 椭圆的切线方程：椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是12020=+b y y a x x ；椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外一点),(00y x P 所引两条切线方程是12020=+b y y a x x .2. 双曲线的切线方程：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是12020=-b y y a x x ；双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点),(00y x P 所引两条切线方程是12020=-b y y a x x .3. 抛物线的切线方程：抛物线)0(22>=p px y 上一点),(00y x P 处的切线方程是)(00x x p y y +=；抛物线)0(22>=p px y 上一点),(00y x P 所引两条切线方程是)(00x x p y y +=.4.设抛物线)0(2:2>=p py x C 的焦点为F ，若过点P 的直线PB PA ,分别与抛物线C 相切于B A ,两点，则PFB PFA ∠=∠.5.设椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的焦点为F ，若过点P 的直线PB PA ,分别与椭圆C 相切于B A ,两点，则PFB PFA ∠=∠.6.设双曲线C :)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点为F ，若过点P 的直线PB PA ,分别与椭圆C 相切于BA ,两点，则PFB PFA ∠=∠.【同步训练】1．已知椭圆与抛物线y 2=2px （p ＞0）共焦点F 2，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于|MF 2|﹣1，且椭圆与抛物线的交点Q 满足|QF 2|=． （1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点P 作抛物线的切线y=kx+m 交椭圆于A 、B 两点，求此切线在x 轴上的截距的取值范围． 【思路点拨】（1）由抛物线的性质，求得x=﹣1是抛物线y 2=2px 的准线，则，求得p 的值，求得焦点坐标，代入抛物线方程求得Q 点坐标，利用椭圆的定义，即可求得a 的值，由b 2=a 2﹣c 2=8，即可求得椭圆方程；（2）将直线分别代入抛物线，由△=0，求得km=1，将直线方程代入椭圆方程，求得△＞0，代入即可求得m 的取值范围，切线在x 轴上的截距为，又，即可求得切线在x 轴上的截距的取值范围．（ 2）显然k≠0，m≠0，由，消去x，得ky2﹣4y+4m=0，由题意知△1=16﹣16km=0，得km=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）由，消去y，得（9k2+8）x2+18kmx+9m2﹣72=0，其中（9k2+8）（9m2﹣72）＞0，化简得9k2﹣m2+8＞0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）又，得m4﹣8m2﹣9＜0，解得0＜m2＜9，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）切线在x轴上的截距为，又，∴切线在x轴上的截距的取值范围是（﹣9，0）．﹣﹣（12分）2.（2017•鸡泽县校级模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中一个顶点是双曲线﹣=1的焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，过点A，B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为，其中一个顶点是双曲线﹣=1的焦点，旬出方程组求出a，b，c，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3，设A（x1，y1），B（x2，y2），求出椭圆在点A处的切线方程为=1，①椭圆在点B处的切线方程为=1，②，联立①②，得y=，求出交点的轨迹方程为y=．当直线l的斜率不存在时，无交点．由此能过求出过点A，B所作椭圆的两条切线的交点的轨迹方程．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3，设A（x1，y1），B（x2，y2），设在A（x1，y1）处切线方程为y﹣y1=k1（x﹣x1），与椭圆C：=1联立，消去y，得（）x2+8k1（﹣k1x1+y1）x+4（﹣k1x1+y1）2﹣75=0，由△=0，得[8k1（﹣k1x1+y1）]2﹣4（4+3）[4（﹣k1x1+y1）2﹣75]=0，化简，得（），由，得4x12﹣100=﹣，4y12﹣75=﹣3x12，∴上式化为﹣=0，3.设椭圆C：+=1（a＞b＞0），定义椭圆的“伴随圆”方程为x2+y2=a2+b2；若抛物线x2=4y的焦点与椭圆C的一个短轴重合，且椭圆C的离心率为．（1）求椭圆C的方程和“伴随圆”E的方程；（2）过“伴随圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，延长PA与“伴随圆”E交于点Q，O为坐标原点．①证明：PA⊥PB；②若直线OP，OQ的斜率存在，设其分别为k1，k2，试判断k1k2是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．【思路点拨】（1）由抛物线的方程，求得b的值，利用离心率公式，即可求得a的值，求得椭圆方程；（2）①设直线y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k PA•k PB=﹣1，即可证明PA⊥PB；②将直线方程代入圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得k1k2=，代入即可求得k1k2=﹣．当切线的斜率不存在或等于零结论显然成立，∴PA⊥PB，②当直线PQ的斜率存在时，由①可知直线PQ的方程为y=kx+m，，整理得：（k2+1）x2+2kmx+m2﹣4=0，则△=4k2m2﹣4（k2+1）（m2﹣4），将m2=3k2+1，代入整理△=4k2+12＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1•x2=，∴k1k2===，=，将m2=3k2+1，即可求得求得k1k2=﹣，当直线PQ的斜率不存在时，易证k1k2=﹣，∴综上可知：k1k2=﹣．4.左、右焦点分别为F1、F2的椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点Q（0，），P为椭圆上一点，△PF1F2的重心为G，内心为I，IG∥F1F2．（1）求椭圆C的方程；（2）M为直线x﹣y=4上一点，过点M作椭圆C的两条切线MA、MB，A、B为切点，问直线AB是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【思路点拨】（1）由过点Q，则b=，求得，△PF1F2的重心为G点坐标，由IG∥F1F2，|y0|=3r，根据三角形的面积公式可知a=2c，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）利用椭圆的切线发浓缩，求得直线AB的方程，由点M为直线x﹣y=4上，代入整理即可求得定点坐标．（2）设M（x1，y1），A（x2，y2），B（x3，y3）则切线MA，MB的方程分别为，．…（7分）∵点M在两条切线上，∴，，故直线AB的方程为．…（9分）又∵点M为直线x﹣y=4上，∴y1=x1﹣4即直线AB的方程可化为，整理得（3x+4y）x1=16y+12，由解得，因此，直线AB过定点．…（12分）5.平面直角坐标系xoy中，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6．（1）求椭圆的方程；（2）A，B是抛物线C2：x2=4y上两点，且A，B处的切线相互垂直，直线AB与椭圆C1相交于C，D两点，求弦|CD|的最大值．【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（2）设直线AB为：y=kx+m，由，得x2﹣4kx﹣4m=0，由此利用韦达定理、直线垂直推导出直线AB过抛物线C1的焦点F，再由，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，由此利用弦长公式能求出弦|CD|的最大值．故切线PA，PB的斜率分别为，k PB=，再由PA⊥PB，得k PA•k PB=﹣1，∴，解得m=1，这说明直线AB过抛物线C1的焦点F，由，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∴|CD|=•=≤3．当且仅当k=时取等号，∴弦|CD|的最大值为3．6.已知椭圆C：（a＞b＞0）的上、下两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，且△MNF2的周长为8，椭圆C的离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M'，N'是直线l上的两点，且F1M'⊥l，F2N'⊥l，求四边形F1M'N'F2面积S的最大值．【思路点拨】（1）由△MNF2的周长为8，求出a=2，再由，求出b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）将直线l的方程y=kx+m代入到椭圆方程中，得（4+k2）x2+2kmx+m2﹣4=0．由直线与椭圆仅有一个公共点，利用根的判别式求出m2=4+k2．由此利用弦长公式，结合已知条件能求出四边形F1M'N'F2面积的最大值．所以==．因为四边形F1M'N'F2的面积，所以=．令k2+1=t（t≥1），则==，所以当时，S2取得最大值为16，故S max=4，即四边形F1M'N'F2面积的最大值为4．7.已知A，B分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，D椭圆上的一点，△DF1，F2的周长为．（1）求椭圆C的方程；（2）若P是圆x2+y2=7上任一点，过点作P椭圆C的切线，切点分别为M，N，求证：PM⊥PN．【思路点拨】（1）由2a+2c=6，，b2+c2=a2，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）分类讨论，当切线PM斜率不存在或者为零时，根据对称性即可求得PM⊥PN；当斜率不为零时，分别求得直线PM，PN的方程，由△=0即可求得k1，k2是方程的两个根，则，则PM⊥PN．∴．∵y0=k1x0+m，∴m=y0﹣k1x0，∴．即；同理：切线PN：y=k2x+t中，，∴k1，k2是方程的两个根，又∵P在圆上，∴，∴，∴，∴PM⊥PN．综上所述：PM⊥PN．8.已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2=9，M在抛物线C：x2=2py（p＞0）上，圆M过原点且与C的准线相切．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）点Q（0，﹣t）（t＞0），点P（与Q不重合）在直线l：y=﹣t上运动，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B．求证：∠AQO=∠BQO（其中O为坐标原点）．【思路点拨】（1）由圆M与抛物线准线相切，得，且圆过又圆过原点，故，可得，解得p=4，即可（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（m，﹣t），可得，，即x1，x2为方程x2﹣2mx﹣4t=0的两根，所以x1+x2=2m，x1x2=﹣4t，可得，化简=．可证得∠AQO=∠BQO．又因过点P（m，﹣t），故可得，，（7分）即，同理可得，（8分）所以x1，x2为方程x2﹣2mx﹣4t=0的两根，所以x1+x2=2m，x1x2=﹣4t，（9分）因为Q（0，﹣t），所以，（10分）化简=．（11分）所以∠AQO=∠BQO．（12分）9.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，右焦点为F．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相切于点P（不为椭圆C的左、右顶点），直线l与直线x=2交于点A，直线l与直线x=﹣2交于点B，请问∠AFB是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明．【思路点拨】（1）由2a=4，离心率e==，b=即可求得a和b，即可求得椭圆C的方程；（2）l的斜率为0时，∠AFB为直角，则∠AFB为定值，当斜率不为0时，将切点代入椭圆方程，求得交点坐标，求得AF和BF的斜率k AF及k BF，即可求得k AF•k BF=﹣1，即可求得∠AFB为定值．10.已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A、B两点．（1）设抛物线在A、B处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程．（2）若直线l与椭圆+=1的交点为C，D，问是否存在这样的直线l使|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．【思路点拨】（1）设，直线AB：，从而得到过A，B，M的圆是以AB为直径的圆，由此结合已知条件能求出圆的方程．（2）设，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出满足条件的直线方程．（2）设设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则又，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4将，…①由将，由①②得k=0或k2=1，k=±1，经检验k=0，k=±1时，A、B、C、D四点各异，且满足要求故直线l存在，且方程为y=±x+1或y=1…（13分）11.在平面直角坐标系中，已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，动直线l′垂直l于点H，线段HF的垂直平分线交l′于点P，设点P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）以曲线C上的点P（x0，y0）（y0＞0）为切点作曲线C的切线l1，设l1分别与x，y轴交于A，B两点，且l1恰与以定点M（a，0）（a＞2）为圆心的圆相切，当圆M的面积最小时，求△ABF与△PAM面积的比．【思路点拨】（1）由丨PH丨=丨PF丨，根据抛物线的定义，点P的轨迹是以l为准线，F为焦点的抛物线，即可求得抛物线方程；（2）由y＞0时，求导，求得切线斜率，利用点斜式方程即可求得切线方程，取得A和B点坐标，利用点到直线的距离公式，根据基本不等式的性质，当P（a﹣2，2）时，满足题意的圆M的面积最小，求得A和B点坐标，利用三角形的面积公式即可求得△ABF与△PAM面积的比．A（﹣x0，0），…（7分）点M（a，0）到切线l的距离d==+≥2，（当且仅当y0=2时，取等号）．∴当P（a﹣2，2）时，满足题意的圆M的面积最小．…（9分）∴A（2﹣a，0），B（0，），∴S△ABF=丨1﹣（2﹣a）丨•丨丨=（a﹣1），S△PAM=丨a﹣（2﹣a）丨•丨2丨=2（a﹣1），…（11分）∴=，△ABF与△PAM面积的比．…（12分）12.在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左焦点为，且点在上. （1）求椭圆的方程；（2）设直线同时与椭圆和抛物线：相切，求直线的方程.【思路点拨】（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆，得b=1，由此能求出椭圆C1的方程；（2）设直线l的方程为y=kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．因为直线l与椭圆C1相切，所以△=0，得到两个变量的等量关系．再由直线和抛物线相切，联立方程，运用判别式为0，再构造两个变量的等量关系，从而解出两个变量的值，由此能求出直线l的方程．。