高三数学解答题难题突破 圆锥曲线的切线问题

高三数学解答题难题突破 圆锥曲线的切线问题

【题型综述】

圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数)(x f y =，利用导数法求出函数)(x f y =在点),(00y x 处的切线方程，特别是焦点在y 轴上常用此法求切线；思路2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x （或y ）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式0=∆，即可解出切线方程，注意关于x （或y ）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.

【典例指引】

类型一 导数法求抛物线切线

例1 【2017课表1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =2

4

x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．

（1）求直线AB 的斜率；

（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．

类型二 椭圆的切线问题

例2（2014广东20）（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.

类型三 直线与椭圆的一个交点

例3.【2013年高考安徽卷】已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的焦距为4，且过点P .

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点A ,连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由.

【解析】（1）因为椭圆过点P ∴

22

231a b += 且222

a b c =+ ∴ 2

8a = 2

4b = 2

4c = 椭圆C 的方程是22

184

x y +

= （2）

由题意，各点的坐标如上图所示，

则QG 的直线方程：00

00

808x x y y x x -

-=-

化简得20000(8)80x y x x y y ---=

又

220028x y +=， 所以00280x x y y +-=带入22

184

x y += 求得最后0∆=

所以直线QG 与椭圆只有一个公共点. 类型四 待定系数求抛物线的切线问题

例4 【2013年高考广东卷】已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的

．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；

(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．

（3）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+， 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++

联立2004220

x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()222

00020y y x y y +-+=，

22

1200120

2,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=

()2

222

00000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++

2

2

0019=22+5=2+22y y y ⎛

⎫++ ⎪⎝

⎭

∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为9

2

【扩展链接】

1. 椭圆的切线方程：椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是12020=+b y y a x x ；椭圆

)0(12

2

22>>=+b a b

y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线方程是12020=+b y y a x x .

2. 双曲线的切线方程：双曲线)0,0(122

22>>=-b a b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是12020=-b y y a x x ；

双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 上一点),(00y x P 所引两条切线方程是12020=-b y y a x x .

3. 抛物线的切线方程：抛物线)0(22>=p px y 上一点),(00y x P 处的切线方程是)(00x x p y y +=；抛物线)0(22>=p px y 上一点),(00y x P 所引两条切线方程是)(00x x p y y +=.

4.设抛物线)0(2:2>=p py x C 的焦点为F ，若过点P 的直线PB PA ,分别与抛物线C 相切于B A ,两点，则PFB PFA ∠=∠.

5.设椭圆C :)0(122

22>>=+b a b

y a x 的焦点为F ，若过点P 的直线PB PA ,分别与椭圆C 相切于B A ,两

点，则PFB PFA ∠=∠.

6.设双曲线C :)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的焦点为F ，若过点P 的直线PB PA ,分别与椭圆C 相切于B

A ,两点，则PF

B PFA ∠=∠.

【同步训练】

1．已知椭圆

与抛物线y 2

=2px （p ＞0）共焦点F 2，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于

|MF 2|﹣1，且椭圆与抛物线的交点Q 满足|QF 2|=． （1）求抛物线的方程和椭圆的方程；

（2）过抛物线上的点P 作抛物线的切线y=kx+m 交椭圆于A 、B 两点，求此切线在x 轴上的截距的取值范围． 【思路点拨】（1）由抛物线的性质，求得x=﹣1是抛物线y 2

=2px 的准线，则

，求得p 的值，求得焦

点坐标，代入抛物线方程求得Q 点坐标，利用椭圆的定义，即可求得a 的值，由b 2

=a 2

﹣c 2

=8，即可求得椭圆方程；

（2）将直线分别代入抛物线，由△=0，求得km=1，将直线方程代入椭圆方程，求得△＞0，代入即可求得m 的取值范围，切线在x 轴上的截距为，又

，即可求得切线在x 轴上的截距的取值范

围．