大学物理静电场习题集答案解析

第12章 静电场

P35．

12．3 如图所示，在直角三角形ABCD 的

A 点处，有点电荷q 1 =

1.8×10-9C ，B 点处有点

电荷q 2 = -4.8×10-9C ，AC = 3cm ，BC =

4cm ，试求C 点的场强．

[解答]根据点电荷的场强大小的公式

22

014q q

E k

r r ==

πε， 其中1/(4πε0) = k = 9.0×109N ·m 2·C -2．

点电荷q 1在C 点产生的场强大小为

1

12

01

4q E AC =

πε 9

9

4-122

1.810910 1.810(N C )(310)

--⨯=⨯⨯=⨯⋅⨯， 方向向下．

点电荷q 2在C 点产生的场强大小为

2220||

1

4q E BC =

πε

99

4-1

22

4.810910 2.710(N C )(410)--⨯=⨯⨯=⨯⋅⨯，

方向向右．

C 处的总场强大小为

E =

44-110 3.24510(N C )==⨯⋅，

总场强与分场强E 2的夹角为

1

2

arctan

33.69E E ==︒θ．

12．4 半径为R 的一段圆弧，圆心角

为60°，一半均匀带正电，另一半均匀带负

电，其电线密度分别为+λ和-λ，求圆心处的

场强．

[解答]在带正电的圆弧上取一弧元

d s = R d θ， 电荷元为d q = λd s ，

在O 点产生的场强大小为

220001

d 1d d d 444q s E R R R λλθπεπεπε=

==，

场强的分量为d E x = d E cos θ，d E y =

d E sin θ．

对于带负电的圆

图13.1

弧，同样可得在O 点的场强的两个分量．由于弧形是对称的，x 方向的合场强为零，总

场强沿着y 轴正方向，大小为

2d sin y L

E E E ==⎰θ

/6/6

000

0sin d (cos )22R R

==-⎰ππλλ

θθθπεπε

0(12R

=-λπε．

12．5 均匀带电细棒，棒长a = 20cm ，电荷线密度为λ = 3×10-8C ·m -1，求：

（1）棒的延长线上与棒的近端d 1 = 8cm 处的场强；

（2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距d 2 = 8cm 处的场强．

[解答]（1）建立坐标系，其中L = a /2 = 0.1(m)，x = L+d 1 = 0.18(m)．

在细棒上

取一线

元d l ，所带的电量为d q = λd l ，

根据点电荷的场强公式，电荷元在P 1点产生的场强的大小为

1220d d d 4()

q l

E k

r x l ==-λπε 场强的方向沿x 轴正向．因此P 1点的总场

强大小通过积分得

120d 4()

L L l E x l λπε-=-⎰ 01

4L

L

x l

λπε-=

-

011

()4x L x L

λπε=

--+ 2201

24L x L λ

πε=

-． ①

将数值代入公式得P 1点的场强为

8

9

122

20.13109100.180.1E -⨯⨯⨯=⨯⨯-

= 2.41×103(N ·C -1)，

方向沿着x 轴正向．

（2）建立坐标系，y = d 2．

在细棒上取一线元d l ，所

带的电量为

d q = λd l ，

在棒的垂直平分线上的P 2点产生的场强的大小为

222

0d d d 4q l

E k

r r λπε==

， 由于棒是对称的，x 方向的合场强为零，y 分量为 d E y = d E 2sin θ．

由图可知：r = d 2/sin θ，l = d 2cot θ， 所以 d l = -d 2d θ/sin 2θ， 因此 02

d sin d 4y E d λ

θθπε-=

，

总场强大小为

02

sin d 4L

y l L

E d λθθπε=--=

⎰

02

cos 4L

l L

d λθπε=-=

L

L

=-=

=

． ②

将数值代入公式得P 2点的场强为

8

9

221/2

20.13109100.08(0.080.1)y E -⨯⨯⨯=⨯⨯+

= 5.27×103(N ·C -1)．

方向沿着y 轴正向．

[讨论]（1）由于L = a /2，x = L+d 1，代

入①式，化简得

10110111

44/1

a E d d a d d a λλπεπε=

=++，

保持d 1不变，当a →∞时，可得

101

4E d λ

πε→

， ③

这就是半无限长带电直线在相距为d 1的延长线上产生的场强大小．

（2）由②式得

y E =

=

，

当a →∞时，得 02

2y E d λ

πε→

， ④

这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式．

如果d 1=d 2，则有大小关系E y = 2E 1．

12．6 一均匀带电无限长细棒被弯成如

图所示的对称形状，试

问θ为何值时，圆心O 点处的场强为零．

[解答]设电荷线密度为λ，先计算圆弧

的电荷在圆心产生的场强．

图13.4