浅谈数学和谐美
浅谈数学之美
浅谈数学之美【摘要】数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。
“那里有数学，哪里就有美”,数学美不是什么虚无缥缈、不可捉摸的东西，而是有其确定的客观内容.数学美的内容是丰富的，如数学概念的简单性、统一性,结构系统的协调性、对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性等，都是数学美的具体内容。
本文主要围绕数学美的三个特征:简洁性、和谐性和奇异性进行阐述。
【关键词】数学，数学美，美学特征数学美的表现形式是多种多样的，从外在形象上看：她有体系之美、概念之美、公式之美；从思维方式上看：她有简约之美、无限之美、抽象之美、类比之美；从美学原理上看：她有对称之美、和谐之美、奇异之美等.此外，数学还有着完美的符号语言、特有的抽象艺术、严密的逻辑体系、永恒的创新动力等特点。
但这些都离不开数学美的三大特征，即：简洁性、和谐性和奇异性。
1简洁性是数学美的首要特点爱因斯坦说:“美，本质上终究是简单性"，“只有既朴实清秀,又底蕴深厚，才称得上至美”。
简洁本身就是一种美,而数学的首要特点在于它的简洁性.数学中的基本概念、理论和公式所呈现的简单性就是一种实实在在的简洁美。
数学家莫德尔说过:“在数学里美的各个属性中，首先要推崇的大概是简单性了”.数学的简洁性在人们生活中屡见不鲜：钱币只须有一分、二分、五分、一角、二角、五角、一元、二元、五元、十元……就可简单的构成任何数目的款项；圆的周长公式：C=2πR，就是“简洁美”的典范，它概括了所有圆形的共同特性；把一亿写成l08，把千万分之一写成10—7；二进制在计算机领域的应用……化繁为简，化难为易，力求简洁、直观。
数学不仅仅是在运算上要求这样，论证说明也更是如此。
显然，数学的公式与公理就是简洁美的最佳证据之一.1.1简洁性之一:符号美实现数学的简洁性的重要手段是使用了数学符号.符号对于数学的发展来讲是极为重要的，它可使人们摆脱数学自身的抽象与约束，集中精力于主要环节，没有符号去表示数及其运算，数学的发展是不可想象的。
谈数学课堂的和谐美
师： 那为 什 么都 可 以用 四分 之 一
ｒ
、
表 示呢 ？ ｊ 生 ：他 们都是把桃 子平均分成４；
份， 每只小猴都是得到这样的ｌ 所 ｛ 份，
以 都用四分 之一表示。 ｛荽 师： 是把１ 不管 个桃子还是把几 ｊ ．
个 桃 子 组成 一 个 整 体 ， 均 分 成４ ， 平 份
子 的 四 分之 二 。
目的 ， 近 了数 学 知 识 与学 生 之 间 的 距 离 ， 于 学 生 自 拉 便 主 地 调 动 已有 的知 识 、 验 和 兴 趣 ， 而 积 极 主 动 地 参 经 从 与 到 知 识 的获 取 过 程 中 ， 与 到 问题 的解 决 过 程 中 。和 参 谐 的 教 学 情 境 使 学 者愉 悦 、 者轻 松 ， 个 课 堂 生 机 勃 教 整 勃 、 味盎然。 趣
份 ， 以每 只 小猴 分 得 这 盘 桃 子 的 二 所
分之一。
化 知 识 、 化 认 识 、 发 兴 趣 ， 学 生 初 步 感受 分 数 知 识 深 激 让 的应 用 价 值 。毛 老 师 创 设 的 １境 有 层 次 ， 不 同的 教 学 青 有
生 ： 觉得 每 只 小猴 分得 这 盘 桃 我
师 ： 只 小猴 能分 得 这 个 桃 的 几 分之 几 呢 ？ 每
谈 数 学 课
分之一 ， 现在得到二 分之一呢？ 生： 因为 刚 才是 平均 分成４ ， 只 小猴 得 到 这 样 的 份 每 份 ， 以 是 四 分 之 一 ， 在 是 平 均 分 成 ２ ， 只 小猴 所 现 份 每
每份都是 它的四分之一。
师 ： 出示情 景 图二 ） 果 把 这 盘 （ 如
桃 子 平 均分 给 两只猴 子？ 么 分？ 怎 （ 生 动 手 分一 分 ） 学 师 ： 在 每 只 小 猴 分 得 这 盘桃 子 现
试论数学的和谐美
发 现数 学和 谐 美、 认 识数 学和 谐 美的 目的 ． 关 键词 ：悖论 ； 和谐 性 ； 连续； 三 次 方程
中图分 类号 ： ０１ ３— ４
文 献标 识码 ：Ａ
文 章编 号 ：１ ０ ０ ８— ３ ４ ３ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ ２— ６ ５— ０ ３
宇宙 概念 常 常在哲 学 家脑子 里 表现 为 和谐—— 因为宇 宙 是 和谐 的 ． 宇 宙 的和谐 美是 思 维 实践 地 转化 为 感觉 、 理性 实 践地 转化 为感 性 的结果 ． 艺术 （ 如音乐和美术 ） 的和 谐 可 以被人 “ 感觉到” ； 数 学 以至 科 学 的和 谐， 人 们 同样 也可 以 “ 感觉” ， 它们 被 比拟 为艺 术 的表 现手 法 ， 从 而被 人 们 感 觉到 ． 玻尔 （ Ｎ． Ｂ ｏ ｈ ｒ ） 提 出的 院子 模 型 理论被 爱 因斯 坦称 为 “ 思想 领域 中最 高 的音乐 神韵 ” ； 罗塞伯 罗 姆 （ Ｐ ． Ｃ ． Ｒ ｏ ｓ ｅ ｌ ｂ ｌ ｏ ｏ ｍ） 说“ 一 个 数 学证 明 ，
＜０
）＝｛０ 【 ，
１．
＝０
０ ＜ ＜ 仃
可 表 示 为 ） ： （ ＋ 学＋ 学＋ …） ， ∈ ｃ 一 仃 ， 仃 ， ．
上 述 函数 依照 欧拉 的见解 ， 既是 不连 续 的 ， 同时 又是 连续 的． 在这 里显 然 出现 了一 个悖 论． １ ８ ２ １ 年， 柯西 对 “ 连续 ” 这 一概 念进 行 了重 新评 价 、 重 新审 度． 直至 １ ８ ５ ０年 外 尔斯 特拉 斯 给 出“ｓ一６形
第２ ７卷
第 ２期
开封大学学报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｋ ＡＩ Ｆ Ｅ ＮＧ ＵＮＩ ＶＥ ＲＳ Ｉ Ｔ Ｙ
数学之美：通过数学问题的美学呈现,激发学生对数学的兴趣和美的追求
引导学生欣赏数学的美学价值
展示数学的美学元素，如对称、比例、黄金分割等 引导学生发现生活中的数学美，如建筑设计、音乐节奏等 让学生参与数学美的创作，如几何作图、数学游戏等 培养学生的数学审美能力，提高对数学美的敏感度和鉴赏力
培养学生的审美情趣和审美能力
引导学生发现数 学之美：通过展 示数学中的对称、 比例、黄金分割 等美学元素，引 导学生感受数学 的美。
组织数学竞赛活动提高学生的兴趣
竞赛形式：定期组织数学竞赛活动，吸引学生参与 奖励机制：设立奖励和荣誉，激励学生积极参与 团队合作：培养学生团队合作和竞争意识 互动交流：提供学生之间互动交流的平台，促进学习经验的分享
通过实际应用让学生感受到数学的实用性
引入生活实例：将数学问题与日常生活相结合，让学生意识到数学在解决实际问题中的 应用。
数学公式的美感： 简洁的公式中蕴 含着深刻的数学 原理，如圆的面 积公式。
分形几何：具有 自相似性的图形， 如雪花、海岸线 等。
数学中的和谐美
数学中的和谐美是指数学中的各个部分之间的协调与平衡，如几何图形的对称、数列的周期 性等。
数学中的和谐美也可以表现为数学概念之间的相互联系和统一，如代数与几何之间的联系等。
美学教育能够培 养学生的情感和 价值观，使学生 更加热爱数学和 数学学习。
美学教育能够提 高学生的综合素 质，促进学生的 全面发展。
感谢您的观看
汇报人：XX
数学之美的美 学呈现方式
通过数学游戏展示数学之美
数学游戏的特点： 趣味性、互动性、 挑战性
数学游戏的作用： 激发学生对数学 的兴趣、培养数 学思维、提高解 决问题的能力
举例说明：数独、 24点游戏、数学 谜题等
如何在教学中运 用数学游戏：选 择合适的游戏、 设计有针对性的 教学目标、引导 学生积极参与并 思考
浅析数学之美
【 专题研讨 】
浅析数学 之美
曹
２ ． 海南师范大学
鹏 ， 符方健 ， 黄
婷 ， 罗 自强
海口 ５ ７ ｔ １ ０ ０ ；
（ １ ． ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 台师范高 等专科 学校
数理 系 ， 海南
信息科学技术学院， 海南
海口 ５ ７ １ １ ５ ８ ）
摘要 ： 数 学不仅 能 带给我 们 巨大的科技 成 就 ， 更带给 我们 纯精 神领 域 的 美的愉 悦 。 本 文从 美学的三 个 角度和谐 美、 简洁 美和 奇异 美来探 讨 数 学之 美 。 关键 词 ： 数 学； 美学 ； 方法 中图分 类号 ： Ｇ ６ ４ ２ ． ４
渊 冲先 生 的译 文 ： “ Ｔ ｈ ｅ Ｓ ａ ｄ Ｚ ｉ ｔ ｈ ｅ ｒ Ｗｈ ｙ ｓ ｈ ｏ ｕ ｌ ｄ ｔ ｈ ｅ ｚ ｉ ｔ ｈ ｅ ｒ
ｈ ａ ｖ ｅ ｉ ｆ ｆ ｔ ｙ ｓ ｔ ｉ ｒ ｎ ｇ ｓ ？Ｅａ ｃ ｈ ｓ ｔ ｉｎ ｒ ｇ ， ｅ ａ ｃ ｈ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｅ ｖ ｏ ｋ ｅ ｓ ｂ ｕ ｔ ｖ ａ ｎ ｉ ｓ ｈ ｅ ｄ ｓ ｔ ｒ ｉ ｎ ｇ ｓ ． Ｄｉ ｍ ｍｏ ｒ ｎ ｉ ｎ ｇ ｄ ｒ ｅ ａ ｍｓ ｔ ｏ ｂ ｅ ａ ｂ ｅ ａ ｕ ｔ ｙ ｌ ｆ ｙ， Ａｍｏ ｒ ｏ ｕ ｓ ｈ ｅ ａ ｒ ｔ
们巨大的科技成就 ， 更带给我们纯精神领域的美的愉悦 。 本文将 从 以下几 个美 学 的角 度来探 讨数 学之 美 。 和 谐 美 和谐 即适 当和 匀称 。现 实世 界 具 有极 精 美 的数 学结
浅谈数学美的表现形式
浅谈数学美的表现形式数学美的表现形式是多种多样的，从数学内容看，有概念之美、公式之美、体系之美等；从数学的方法及思维看，有简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美等；从狭义美学意义上看，有对称之美、和谐之美、奇异之美等。
（一）语言美数学有着自身特有的语言———数学语言，其中包括：1 数的语言——符号语言关于“∏” ，《九章算术》 如斯说：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”；面对“√2”这一差点被无理的行为淹没的无理数，我们一直难以忘怀那位因发现“边长为1的正方形，其对角线长不能表示成整数之比”这一“数学悖论”而被抛进大海的希帕索斯（公元前五世纪毕达哥拉斯学派成员）。
还有sin∂、∞ 等等，一个又一个数的语言，无不将数的完美与精致表现得淋漓尽致。
2形的语言——视角语言从形的角度来看——对称性（“中心对称”、“轴对称”演绎了多少遥相呼应的缠绵故事）；比例性（美丽的“黄金分割法”分出的又岂止身材的绝妙配置？）；和谐性（如对数中：对数记号、底数以及真数三者之间的关联与配套实际上是一种怎样的经典的优化组合！）；鲜明性（“最大值”、“最小值” 让我们联想起——“山的伟岸”与“水的温柔”，并深切地感悟到：有山有水的地方，为何总是人杰地灵的内在神韵……）和新颖性（一个接一个数学“悖论”的出现，保持了数学乃至所有自然科学的新鲜与活力）等等。
（二）、简洁美爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。
”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。
朴素，简单，是其外在形式。
只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。
欧拉给出的公式：V －Ｅ＋Ｆ＝２，堪称“简单美”的典范。
世间的多面体有多少？没有人能说清楚。
但它们的顶点数Ｖ、棱数Ｅ、面数Ｆ，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？！在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。
浅谈数学美的鉴赏
浅谈数学美的鉴赏人类对数学的认识最早是从自然数开始的。
这看似极普通的自然数里面，其实就埋藏着数不尽的奇珍异宝。
古希腊的毕达哥拉斯学派对自然数很有研究，当他们将这数不尽的奇珍异宝的一部分挖掘出来并呈现于人类面前时，人们就为这数的美震撼了。
其实，“哪里有数学，哪里就有美”，这是古代哲学家对数学美的一个高度评价。
一、简洁美数学中的概念许许多多，但每个概念都就是以最为提炼、最归纳的语言得出的。
例如在《图的初步科学知识》教学中，可以先使学生回去探究过两点的直线存有多少条？然后再使学生用自己的语言去归纳这个结论，最后教师再得出“两点确认一条直线”，短短的一句话，简洁细致，内涵多样，充份使学生体会了数学定理的简约之美；又例如九年级上圆的定义“圆就是至定点的距离等同于定长的点的子集”，若并无“子集”则构成了点，二重未成圆，一字之差则情况差距万里，体现了数学概念的简约美。
欧拉给出的公式：v-e+f=2堪称“简单美”的典范。
世间的多面体有多少？没有人能说清楚。
但它们的顶点数v、棱数e、面数f，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。
二、人与自然美和谐是数学美的最高境界。
如果把数学比作一座殿堂，那么和谐性是其主要建筑特色，无论从局部或整体来看，都让人体会到平衡协调、相互呼应、浑然一体的美感。
欧拉公式：v-e+f=2 曾获得“最美的数学定理”称号欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系。
和谐美，在数学中多得不可胜数。
如著名的黄金分割比。
即0.…。
“黄金分割”问题，为什么它被誉为“黄金”呢？黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用。
达？芬奇称黄金分割比为“神圣比例”。
他认为“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上”。
维纳斯的美被所有人所公认，她的身材比也恰恰是黄金分割比。
浅谈小学数学中的美
参 考 文献
１ ． 黄伯荣，瘳序 东 《 现代汉语》 （ 增订三版 ） 高等教育出版社 ， ．
２ ０ ． ０ ２
２叶蜚声，徐通锵． 语言学纲要 》． ． 《 北京大学出版社 ，１９ ． ９７ ３王建 平． 语 言 交际 中的 艺术—— 语 境 的逻辑 功 能 》． 实 出版 社 ． 《 求
，
１ ８ ． ９ ９
１８５
算 ，启人 心扉 ，令 人赞 叹 。 魔 幻 谜题 ，运 用 科 学 思 维 ， “ 子会 告密 ” 、 “ 片 能 说 弹 卡 话 ”， 能知 你姓 氏，知 你 出生 年月 ，甚 至 能窥 见 你脑 中所 想 ，心 中所 思… …真 是奇趣 玄妙 ，鬼 斧 神工 。
２数 学的 简单 、和 谐美 ． 简单 性是 数 学美 的基 本 内容 ，数学 具 有形 式简 洁 、有 序 、规 整 和 高度 统 一 的特 点 ，许 多纷 繁复 杂 的现 象 ，可 以归 纳 为简 单 的 数 学 公式 。例 如 ，各 种 各样 三 角形 的面 积 可 以统一 用 一个 公 式表 示 ：Ｓａ ／ ．又 如 ，用 字 母表 示数 ，这 是 算术 到代 数 的飞 跃 ，不 ＝ｈ ２ 论 从 结构 或 是形 式上 ，都使 人感 到 式简 意 明 。数量 的和 谐 ： 空 间 的协 调是 构成 数 学美 的重 要 因素 。例如 ，加 、减 、乘 、除 的运 算 意 义 和各 部 分 ，构成 一 个整 体之 间 的相 依 、相 反关 系 。从 横 向分 析 ，加与 减 、乘 与除 之 间存 在着 可逆 的 关 系 ；从纵 向分析 ，加 与 乘 、减与 除之 间 又存 在着 互 相转 换 的关 系 。分 数除 法可 以转化 为 乘 法 ，乘 法也 可 以转 化 为除法 。学 生从 和谐 的 数学 关系 中，真 切 地 感受 到数 学知 识 的和谐 美与 结构 美 。 ３ 数学 的对 称美 ． 对称 是形 式美 的 要求 ，它 给 以人 以 圆满 、匀 称 、平 衡 、稳 重 和 沉静 的 感觉 。对 称 在小 学几 何 图形 中 随处 可 见 。长方 形 、正 方 形 、等 腰三 角 形 、圆 等都 是对 称 的例 子 。长 方 形具 有对 称 、稳 重 之 美 ；正 方形 具有 刚 健 、宏伟 之 美 ；等腰 三 角 形具 有安 祥 、庄 重 习数 学 的兴趣 。 之 美 ：圆 则是 小学 数 学教 材 中最 具有 代表 性 的对 称 图形 ， 它既 是 ２数 学美 可 以推动 学 生思维 的发 展 ． 轴对 称 图形 ，又是 中心对 称 图形 ，具 有柔 和 、完 满 、流 转之 美 ， 一 在数 学 教 学中 教学 可 以通 过对 数 学美 的追 求 ，弓 导学 生在 获 无 怪 有 人 称 “ 切 图形 中最 美 的是 圆形 ” 。通 过 对 这 些 图 形 的 Ｉ 得美 感 的 同时 ，不 断提 高 自己的思 维 能力 。在 数学 教 学活 动 中 ， 观 察 、分析 、研 究 、解 答 ，学 生在 学 习知 识 的 同时 ，受 到美 的 熏 教师 引导学 生领 略 数 学美 ，使 学生 对数 学 产生 强烈 的 情感 、浓 厚 陶 。 ４数 学 的 内在 美 ． 的兴 趣和 探 讨 的欲 望 ，将美 感 渗透 于数 学 教学 的全 过 程 。这种 审 美心 理 活动 能启 迪 和推 动 学生 数学 思 维活 动 ，触发 智 慧 的美感 ， 新 的 课 程 标 准 指 出 数 学 作 为 一种 普遍 适用 的 技 术 ， 有助 于 使学 生 的聪 明才智 得 以充分 发挥 。 人们 收 集 、整 理 、描述 信 息 ，建立 模 型 ，进 而解 决 问题 ，直 接 为 ３数 学美 是培 养学 生数 学创 新能 力的源 泉 ． 社会 创造 价 值 。数 学不 仅 帮助 人们 更 好地 探求 客 观世 界 的规 律 ， 首先 ，对 数 学美 感 的追 求是 人 们进 行数 学 创造 的 动力 来源 之 同 时为人 们 交 流信 息提 供 了一 种有 效 、简 捷 的手 段 。数 学是 人们 美 的信 息 隐藏 于数 学知 识 中 ，随着 信 息的 大量 积 累 、分解 和 在对 客观 世 界 定性 把握 和 刻画 的基 础 上 ，逐 步抽 象概 括 ，形 成 方 组合 ，达 到 一定 程度 时就会 产 生飞 跃 ，出现 顿 悟或 产 生灵 感 ，产 法和 理 论 ，并进 行应 用 的 过程 ，这 一 过程 充满 着 探索 与创 造 、观 生新 的 结论和 思 想 。所 以对 美 的不 断追 求促 使 人们 不 断地 创造 。 察 、实验 、模拟 、猜 测 和 调控 等 ，如 今 已经成 为人 们 发展 数 学 、 其次 ，数 学 美是 数 学创造 能力 的一 个有 机 组成 部分 。创 造 能力 更 应用 数 学 的重要 策 略 。正 是 由 丁有 上 述特 点 ，构 成 了数 学 巾的 内 多地 表现 为对 已有成 果 是否 满足 ，希望 由已知 推 向未 知 ， 由复 杂 在美 。数 学 中 的 内在美 ，不 是 以色 彩 、线 条 、旋律 等 形象 语 言表 化为 简单 ，将 分 散 予 以统一 。这 些 都需 要用 美 感去 组合 。再次 ， 现 出来 ，而 是把 自然规 律抽 象 成一 些 概念 、法 则 或公 式 ，并 通过 数学 美的方 法 也是数 学创 造 的一种 有 效方法 。 演绎 而构 成 一幅 现 实世 界 与理 想空 间 的完 美 图像 。如 在 分数 运算 三 、数 学 中的 美 中 ， 由于倒 数 的建立 ，除法 可 以转 化 为乘 法 ，乘法 可 以转 化 为 除 １数学 的趣 味美 ． 法 ，乘和 除这 一 对 矛盾达 到 了辩证 和 统一 ，充 分 体现 了数 学 的 内 数 学 是思 维 的体 操 。思 维 触 角 的 每 一 次 延 伸 ， 都 开 辟 了 一 在美 。 个 新 的天 地 。数 学 的趣味 美 ，体 现 为它奇 妙 无穷 的变 幻 ，而 这 种 数 学 之美 ，还 可 以 从更 多 的角 度 去 审 视 ，而 每 一 侧 面 的美 变 幻 是其他 学 科 望尘 莫及 的 。揭 开 了隐藏 于数 学 迷 宫 的奇异 数 、 都不 是孤 立 的 ，它们 是 相辅 相成 、密 不可 分 的 。如 果 在学 习过 程 对 称数 、 完全 数 、魔 术数 … …的 面纱 ，令 人惊 诧 ；观 看 了数 字波 中 ，我们 能与 数 学家 一起 探 索 、发 现 ，从 中获 得成 功 的喜 悦和 美 涛 ，数 字 旋涡 … …令 人感 叹 。一个 个 数字 ，非但 毫不 枯燥 ，而 且 的享受 ，那 么我 们就 会不 断深 入其 中 ，欣 赏和创 造 美 。 生机 勃 勃 ，鲜 活亮 丽 。根 据法 则 、规 律 ，运 用严 密 的逻辑 推 理演
谈高中数学新课程的人文价值之“数学的和谐美”
Ｓ —Ｓ ＋ Ｓ 一这个 公 式 蕴 涵 的和 谐 性 ． 我 们 进 行 复 在 数教 学 时 ， 同学 对 ｅ 十１ —０惊 叹 不 已 ， ， ，， Ⅱ ｅ ｉ ｌ这 四个 数 学 中的 常 数 被 和 谐 地 统 一 在 这 个 公 式 中 ， 至 有 同 甚 学 说 到 “ 完 美 了 ， 一 定 是数 学 中最 美 的 定理 ” 太 这 ． 在 数学 的教 育 中 ， 们 还 可 以 通 过 对 数 学 概 念 、 我 公 式 的不 和谐 现象 的 分 析 来 深 化 学 生 对 知 识 的 理 解 ． 在 简 单 多 面体 欧拉 公 式 ＋ Ｆ— Ｅ一 ２的 探 究 中 ， 一 位 有 同学 发 现对 其 他 类 型 的 多 面 体 也 应 该 有 类 似 的 和谐 公 式 ， 通 过 自 己 的 努 力 钻 研 ， 过 引 进 同胚 的 概 念 ， 他 通 将 ＋Ｆ —Ｅ一２推 广 为 Ｖ＋ Ｆ Ｅ— 其 中 取 决 于胚 的 — ，
和感 悟 ， 高他 们 的数 学 素 养 和 问题 的解 决 能力展
在 数 学 的 发展 史 中 ， 有 三 次 数 学 危 机 ． 们 分 别 共 他
是 无 理 数 的 发现 、 积 分 的 产 生 、 素 悖 论 引 出 的 数 学 微 罗 基础研究． 古 希 腊 的毕 达 哥 拉 斯 学 派 认 为 世 间 的 一 切 事 物 都 可 以归 结 为整 数 或 整 数 的 比例 ， 是 世 界 所 以美 好 的 这
速度 问题 、 变力 做 功 问 题 等 ） 但 是 成 功 获 得 的 光 环 掩 ， 盖 不 了其 建 立 之 初 基 础 不 牢 所 致 的 不 和 谐 之 音 ． 古 从 希腊 学 者 芝 诺 的 四个 悖 论 （ 分 法 悖 论 、 基 里 斯 悖 二 阿 论 、 的悖 论 、 场 悖 论 ） 英 国 大 主 教 贝 克 莱 的 贝 克 箭 操 到 莱悖 论 ， 均体 现 了无穷 小量 在 定 义 上 的不 和谐 性． 法 在 国数 学 家 柯 西 和 德 国 数 学 家 魏 尔 斯 特 拉 斯 的 努 力 下 ， 通 过 “＿” 方 法 将 无 穷 小 量 定 义 在 算 术 概 念 的 基 础 ￡ 的 艿 上 ， 而暂 时 结 束 了数 学 的 混 乱 的局 面． １０ 从 在 ９２年 ， 数 学 家 罗 素提 出 了 “ 发 师 悖 论 ” 引 发 了集 合 论 中 自相 理 ， 矛 盾 的结 果 ， 此 ， 学 家们 就 开 始 为 这 场 危 机 寻 找 解 从 数 决 的 办法 ， 中之 一 是 把 集 合 论 建 立 在 一 组 公 理 之 上 ， 其 以回 避悖 论 ． 先 进 行 这 个 工 作 的 是 德 国数 学 家 策 梅 首 罗 ， 提 出七 条 公 理 ， 立 了一 种 不 会 产 生 悖 论 的集 合 他 建 论 ， 经 过德 国 的另 一 位数 学 家 弗 芝 克 尔 的 改 进 ， 成 又 形 了 一个 无 矛 盾 的 集 合 论 公 理 系 统 （ 所 谓 Ｚ 即 Ｆ公 理 系 统 ） 这 场 数 学 危 机终 于缓 和 下 来． ，
数学与音乐的共鸣感受数学的和谐之美
数学与音乐的共鸣感受数学的和谐之美数学与音乐的共鸣：感受数学的和谐之美数学与音乐，看似截然不同的两个领域，但实际上它们之间却存在着一种神奇的共鸣。
数学的和谐之美在于它的逻辑严谨与世界的普适性，而音乐则通过音符之间的组合与节奏的变化，传达出动人心弦的情感。
本文将探讨数学与音乐之间的奇妙联系，并从数学的角度解读音乐所营造的和谐氛围。
一、数学与音乐的共同特点数学和音乐都是以规律为基础存在的艺术形式，它们都追求一种内在的和谐。
在数学中，存在着数列、比例、对称等各种不同的关系，而音乐中则有音符的高低、音调的变化等元素。
这些规律与关系，在数学中被称为公式和方程，在音乐中则被称为调子和和弦。
二、数学在音乐创作中的应用1. 节奏与拍子：在音乐中，节奏与拍子是十分重要的元素，它们能够为乐曲增添活力和节奏感。
而实际上，在数学中也存在着与节奏和拍子相关的理论与公式。
例如，数学家斐波那契的数列中的递推关系，与音乐中的律动节奏紧密相连。
2. 音程与和弦：音程和和弦是音乐中的基本概念，它们决定了音乐的调性与和谐度。
这些概念与数学中的比例和对称有着密切的联系。
比如，一个和弦的构成可以通过数学上的比例关系解释，而音程的大小也可以通过数学上的比较来衡量。
三、数学对音乐欣赏的影响1. 音乐的数学分析：数学的逻辑思维能够帮助我们对音乐进行更深入的分析与理解。
通过数学的方法，我们可以探究乐曲中的调性、节拍、和弦以及结构等方面，进一步领略音乐所传递的情感与意义。
2. 数学与音乐的共存：数学家们在研究数学的同时，也对音乐有着浓厚的兴趣。
例如，贝多芬就是一位数学家兼作曲家，他的音乐作品不仅具有极高的艺术价值，更是蕴含了数学思维的痕迹。
数学的严谨性和创造力为他的音乐带来了独特的风格。
四、数学与音乐的启发1. 创造力的相通：数学和音乐在激发创造力方面都具有相通之处。
数学家在研究中需要发散思维，进行创新的思考，而音乐家在创作中也需要有创新的元素。
论和谐(统一)美在数学解题中的指导作用
２ ２ ｇ （２ ） ， … … … ・ ｘ ＋２ｏ ２ｘ —１ ＝５… ｌ ② 从形式结构上看， 、② 都为等式， １ ２ ① ＋
为代数式， 了统一， 为 可设 ｌ ２＝ ｔ 又 因为 ＋Ｘ ． ①、② 式各含有指数和对数， 形式不统一， 可以
Ｊｘ４ ， … … … ① 则 （）＝ —＋— 【 ｌ２ … … … … ２－ ｌ ｘ —
分析： 已知条件 ａ ＋ｂ ｂ ２ ＋ａ ＝ 是一个等式， 目标ａ 是一个代数式， ＋６ 形式结构上不和谐、 不
找差异后， 努力寻求统一， 用和谐 （ 统一） 美实现
成功解题的心路历程． 寻求次数的和谐统一
一
统一， 为此设 ａ ＝ｔ通过换元化为统一的等 ＋ｂ ，
式结构． 又由于条件等式中ａ 为一次项， ６ ＋６ ０ 为 二次项， 为寻求次数统一， ＋ｂ 两边平方， 将ａ ＝
、
例 １ 已知 ａ＋ ｂ Ｃ＝ ０ 求证 ０ ＋６ ＋ ＋ ， ６ ｃ
ｃ ａ≤０ ．
接下来用均值不等式后， 再转化为关于ｔ 的不等
式即可求解．
分析： 已知的是一个次数为 １ 的等式， 而要证 的是一个二次的不等式， 已知和未知在次数上不 和谐、不统一， 为此， 可以把已知式两边平方， 化
（） １ ～ ６ ５： ５ １ ．
２ １年第 １期 ００ １ 分 解： 由题意有
数 学教学
１—１ １３ ，
（导 （３ （ ； （４ Ａ ； Ｂ； ｃ Ｄ． ） ） ） ）
这 目的 式 达 了谐 一 样标形就 到和统。
了用函数的单调性来证明・ （） 设九 ＝
的切线相交于点 Ｑ， 则点 Ｑ的轨迹方程为 一
Ｙ ＝ Ｐ。
．
例 ４ （０９ ２０ 年辽 宁省高考 （ 试题） 理） 若 １ 满足２ ＋２ ５ Ｘ 满足 ２ ＝ ， ２ ＋２ｏ ２ ｌ （ ｇ 一１ ＝ ） ５ 那么 １ ２ ， ＋Ｘ ＝… … … … … … … … － （ ） …
徜徉和谐海洋 感受数学之美
徜徉和谐海洋感受数学之美人们惊叹“鸟巢”的壮观，“水立方”的大气，其实这一切都源自自然与人类社会的和谐。
和谐本身就是一种美，只有构建起和谐高效的数学新课堂，才能引领学生徜徉在和谐的海洋里，真正感受数学之美。
怎样才算是和谐高效的数学课堂呢？我想谈谈我的几点看法：一、和谐的课堂首先要有和谐的师生关系所谓“亲其师，才能信其道”，良好的师生关系是建立和谐课堂的感情基础。
课堂教学是师生相互主动、有效的交往活动。
在这一交往过程中，师生、学生间都要互动。
而学生具有的个性差异决定了和谐课堂教学要充分体现民主性、包容性特点。
师生只有建立起民主与和谐、尊重与理解、沟通与交流、互信与互爱的合作伙伴关系，才能为学生提供公平的发展机会，使每个学生都能得到充分发展，才能为建立和谐高效课堂打下坚实感情基础。
在平日教学中，我们必须将民主、平等意识贯穿于教学每一环节，放下架子，将自己看做是学生的学习伙伴，和学生平等对话，把爱带进课堂，用你的语言、表情、动作去鼓励和鞭策学生，时刻尊重学生，让课堂在教师和学生的积极互动中碰撞出智慧的火花。
二、和谐的课堂要和谐的招牌教学设计是课堂教学的灵魂，而课堂导入则是教学设计的招牌。
课堂导入是抓住学生参与课堂的关键。
情景教学是课堂导入的一个必要教学手段。
数学教学必须从学生熟悉的生活，感兴趣的事件中提供观察和操作机会，使他们体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，并逐渐产生亲切感。
教师在平日教学中一定要注意多学习，多积累，从生活中寻找教学素材，丰富自己的知识面，为课堂教学准备丰富的知识素材。
古人云：学起于思，思源于疑。
学生的质疑、求知欲望一旦被激发起来，教师就可以顺水推舟，将学生带入知识的海洋了。
三、和谐的课堂要有智慧的问答教学不是单纯的给予，更重要的应当是引导学生去获取。
英国学者欧内斯特说：数学不仅要关注定律真理的判定，更要注重数学知识的生成。
因而，也就必然要求数学教学从重视知识的静态结果转向关注知识发展的动态过程。
感受数学课堂＂和谐的美＂
感 受数 学课 堂 和 谐 钓 美
◇尹 霞
切 。”
数学 是美 的 。 她 自古 以来 就吸 引着 人们 的注 意力 。但 是数 学美 不 同于 其它 的美 ， 它 没有 绘 画或音 乐 那样 华丽 ，它 是独 特 的 、 内 在的、 纯结 的 、 祟高 的， 这 种美 是 一种 理性 的 美， 抽 象 的美 ， 和谐 的 美 ， 我认 为可 以从如 下 几个 方面 去感 受数 学课 堂“ 和谐 的美 ” 。
堂。
形 式及 图形 的对 称 和谐 ， 还体 现在 数学 内容 之间。 如： 几个 公理 、 定理 、 概念 、 命题 就 能把 庞 杂 的数学 分支处 理 好 ， 井 然有序 。 加法 、 减 法统一 于代 数 和 ； 乘法 、 除法 统 一成 乘法 ， 解 析几何 又体 现 了代数 与 几何 的统 一 。 当你从 多角 度审 视 、 用 多 种方 法解 决 同一 道数 学题 时， 那种“ 殊途 同归 ” 也 会使 你为 数 学 内部知 识结构 的 如此 和谐 而赞叹 。
美。 如： 对称 图形 的教学 ， 教 师 出示 了许 多生
这 种 和谐美 的产 生不 同与前 者 ， 它 是在 课堂 上 自然生 成 的。《 数 学课 程标 准 》 指出， “ 学生 是 数学 学 习的主 人 ，教师 是数 学学 习 的组 织者 、 引导 者与 合作 者 。 ” 老师 能注 意从 过去 的居 高临 下 、 课堂 统领 者 角色 向教 师是 学 生学 习 的引领 者转 变 。在课 堂 中 ， 教 师要 努 力创设 民主 、 平等、 和谐 的课 堂氛 围 ， 力求 实 现教 师与学 生 、 学生 与 学生 之 间的平 等对 话。几乎每节课 ， 老师们都注重从创设生动 具 体 的情 景人 手 ， “ 蹲” 下 身来 参与 学生 的学 习活动 ， 努力 追求 教 师 与学生 、 学 生与 学生 、 学 生与 文本 之 间的零 距 离 。课 堂 上 ， 教 师 的 教 学 行 为特 别 是课 堂 用 语发 生 了明 显 的 变 化， 商量 的语 气 多 了 ， 激励 的语 言 多 了 ， 宽 容 的言行 多 了 ， 体现 了新 课 程理 念下 的课 堂 教 学 是 民主 、 平等、 和谐 的对话 过程 。 ｌ 、体 现在 师 生之 阀 的伦 理关 系 与情 感
浅谈数学之美
浅谈数学之美2019-07-05美是⼈类创造性实践活动的产物，是⼈类本质⼒量的感性显现。
通常我们所说的美以⾃然美、社会美以及在此基础上的艺术美、科学美的形式存在。
数学美是⾃然美的客观反映，是科学美的核⼼。
简⾔之数学美就是数学中奇妙的有规律的让⼈愉悦的美的东西。
⼀、数学美的性质1、数学美的客观性：即指客观存在于数学领域中的审美对象是不以审美主体是否承认、是否意识到为转移的，尽管因审美主体的主观条件的不同，并不是所有的或特定的数学美都能为审美主体所感知，但这并不能改变这数学美的存在。
2、数学美的社会性：数学美是⼀种社会现象，因为数学美是对⼈⽽⾔的。
数学家通过数学实践活动（特别是数学理论创造的实践活动），使⾃⼰的本质⼒量“对象化”了，或者说“⾃然⼈化”了。
所谓的“⼈化”就是⼈格化，即⾃然物具有⼈的本质的印记，实质上就是社会化。
这种社会化的内容正是数学美的内容，它是数学美产⽣的本原。
3、数学美的物质性：数学美的内容⼈的本质⼒量必须通过某种形式呈现出来，必需要有附体，数学美的这种形式或附体，即数学美的物质属性。
⼆、数学美的表现形式1、简单性，是数学美的基本表现形式之⼀。
作为反映现实世界量及其关系规律的数学来说，那种最简洁的数学理论最能给⼈以美的享受。
简单性⼜是数学发现与创造中的美学因素之⼀。
最简单的例⼦便是代数运算中之乘法与幂的运算的引进是源于避免重复的加法运算和重复的乘法运算。
2、统⼀性，是指部分与部分，部分与整体之间的内在联系或共同规律所呈现出来的和谐、协调、⼀致。
数学美中的统⼀性在数学中有很多体现。
数学推理的严谨性和⽭盾性体现了和谐；表现在⼀定意义上的不变性，反映了不同对象的协调⼀致。
例如，数的概念的⼀次次扩张和数系的统⼀，运算法则的不变性；⼏何中的圆幂定理是相交弦定理、切、割线定理的统⼀形式。
3、对称性，是指组成某⼀事物或对象的两个部分的对等性。
数学形式和结构的对称性、数学命题关系中的对偶性、数学⽅法中的对偶原理⽅法都是对称美的⾃然表现。
数学中的和谐概念
数学中的和谐概念和谐概念在数学中是一个广泛而深刻的概念，涉及到数学的各个分支和领域。
和谐的数学可以被理解为一种统一和协调的状态，表现为数学结构、关系和性质之间的和谐和平衡。
它涉及到数学的内在美、一致性和自洽性，强调各个数学部分之间的相互关系和相互作用。
首先，和谐的数学表现为数学结构的内在美。
数学是一个系统的学科，包括了各种数学结构，如集合、群、环、域、度量空间等等。
这些数学结构有着自己的内在美，表现为它们的对称性、周期性、完备性、稳定性等。
例如，对称几何是和谐的数学的一部分，表现为平面图形的对称性和旋转不变性。
对称性可以从多个角度看待，包括点、线、面的对称性等等。
数学结构的内在美反映了数学世界的和谐，体现了数学的美感和智慧。
其次，和谐的数学要求各个数学领域之间的一致性和自洽性。
数学分为多个领域和分支，如代数、几何、分析、拓扑等等。
这些领域之间有着紧密的联系和相互渗透，没有一个领域可以完全独立于其他领域存在。
和谐的数学要求这些领域之间具有一定的一致性和自洽性，即数学的不同分支需要保持一定程度的内在联系和统一性。
这使得数学变得更加统一和完整，从而加深了数学的内在和谐。
再次，和谐的数学强调数学中的关系和性质之间的和谐和平衡。
在数学中，各个数学概念、定理、问题之间都有着复杂的关系和联系。
这些关系可以是层次关系，如布尔代数中命题逻辑的与、或、非关系；也可以是包含关系，如集合论中的子集关系；还可以是等价关系，如模运算中的同余关系。
和谐的数学要求这些关系和性质之间保持一定的和谐和平衡，使得数学的整体结构更加稳定和有序。
例如，在拓扑学中，基本拓扑空间和拓扑映射之间的关系可以告诉我们很多关于空间的性质，如连通性、紧致性、酒鬼定理等。
最后，和谐的数学还要求数学与其他学科之间的和谐和统一。
数学作为一门基础学科，与其他学科有着密切的联系和相互作用。
数学方法和数学理论不仅被广泛应用于物理学、化学、生物学等自然科学，还被运用于社会科学、经济学、工程学等应用科学。
数学之美数学是美丽的，哪里有数哪里就有美
数学之美数学是美丽的，哪里有数哪里就有美数学是美丽的，哪里有数哪里就有美。
数学的定义是：研究数量关系和空间形式的一门科学。
但有句名言说：数学比科学大得多，因为它是科学的语言。
数学不仅用来写科学，而且可用来写人生。
所以说数学是一切学科的基础，是核心学科，就像人们知识金字塔的底部垫基石，所以数学被誉为科学的皇后。
数学分基础和应用两部分组成的，前者追求真和美，后者是把这种真和美应用到现实生活。
一切美的事物都有两条衡量标准：一是绝妙的美都显示出奇异的均衡关系（培根）；二是美是各部分之间以及各部分与整体之间都有一种协调一致的和谐（海森保）。
而数学的外在美和内在美无一不把上述的两种美感体现的淋漓尽致，而且它还另赋有真理美和一种冷峭、严峻的美。
一、数学外在美：形象美、对称美、和谐美1形象美黑格尔说：“美只能在形象中出现。
”谈到形象美，一些人便只联想到影视、雕塑或绘画等，而数学离形象美是遥不可及的。
其实数学的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面。
从幼儿时代伊伊学语的“1像小棒、2像小鸭、3像耳朵……”的直观形象，再到小学二、三年级所学的平均数的应用的宏观形象之美——商场货架货物平均间距摆放以及道路植树的平均间距……由平均数的应用给人们带来的美感不胜玫举。
再到初中所学的“⊥”（垂直符号），看到这样的符号，就让我们联想起矗立在城市中的高楼大厦或一座屹然峻俏、拔地而起的山峰，给人以挺拔巍峨之美。
“—”（水平线条），我们想起静谧的湖面，给人以平静心情的安然之美；看到“~”（曲线线条），我们又有小溪流水、随波逐流的流动乐章之美。
到了高中的“∈”（属于符号），更是形象的表现了一种归属关系的美感。
还有现在最新研究的数学分形几何图形，简直就是数学上帝造物主的完美之作。
美得让人晕撅的数学分形几何图形▼2对称美对称是美学的基本法则之一，数学中许多轴对称、中心对称图形，都赋予了平衡、协调的对称美。
就连一些数学概念本身都呈现了对称的意境——“整—分、奇—偶、和—差、曲—直、方—圆、分解—组合、平行—交叉、正比例—反比例”。
数学的和谐与统一——谈论数学中的美
数学的和谐与统一——谈论数学中的美数学的和谐与统一，是数学之美的核心体现，它超越了数字和公式的表面，深入到了数学结构的本质之中。
这种美，既是一种理性的美，也是一种超越感官的精神享受，它让人们在探索数学奥秘的过程中感受到无尽的魅力。
数学的和谐之美和谐，在数学中表现为各种元素之间的协调与平衡。
这种和谐不仅体现在数学公式和定理的简洁与对称上，还体现在数学结构内部的自洽与统一之中。
例如，欧几里得几何中的五条公设，它们之间相互独立而又相互支持，共同构建了一个严谨而和谐的空间体系。
这种和谐之美，让人不禁赞叹数学思维的精妙与深邃。
数学的统一之美统一，是数学追求的另一个重要目标。
数学中的许多看似不相关的领域，往往能够通过某种方式联系在一起，形成一个统一的整体。
这种统一不仅揭示了数学内部的深刻联系，还为我们理解现实世界提供了有力的工具。
例如，微积分作为数学的一个分支，不仅解决了许多与速度和加速度相关的问题，还深刻影响了物理学、工程学、经济学等多个领域的发展。
这种统一之美，展现了数学跨越学科的巨大力量。
数学之美的其他表现形式除了和谐与统一之外，数学之美还体现在许多其他方面。
比如，数学中的简洁性，用最少的符号和公式表达最丰富的信息；数学中的抽象性，通过构建抽象的数学模型来解决实际问题；以及数学中的创造性，不断提出新的概念和理论来拓展数学的边界。
这些特点共同构成了数学独特的美学价值。
数学之美的意义数学之美不仅仅是一种审美体验，更是一种精神追求和智慧的结晶。
它激发了人们对未知世界的好奇心和探索欲，推动了数学乃至整个科学的进步和发展。
同时，数学之美也让我们意识到，科学和艺术之间并非泾渭分明，而是相互渗透、相互影响的。
数学的美学价值不仅丰富了人类的文化宝库，也为我们提供了一种独特的思考方式和生活态度。
总之，数学的和谐与统一是数学之美的重要体现。
它们让我们在探索数学奥秘的过程中感受到了无尽的魅力和智慧的光芒。
同时，数学之美也提醒我们，要始终保持对未知世界的好奇心和探索欲，用数学的眼睛去发现世界的美好和真理。
浅谈数学的美
浅谈数学的美通过对中小学学生的调查我们发现，大多数学生认为数学是重要的，同时又是抽象和枯燥的。
数学是机械记忆和解题训练加黑板上令人昏昏欲睡的讲解，数学只给我们压力，不给我们魅力。
正是因为学生对数学的错误认识，研究数学美就变得尤为重要，数学美可以使学生正确的认识数学了解数学。
帮助学生学习数学。
一、有关数学美的引入没有一门学科像数学那样，在大家的心目中其重要性和亲近性竟产生这么大的分歧，一方面，所有的中小学生都把数学作为一门重要的基础课程学习着;另一方面，大家对数学又望而却步。
数学是我们从小到大都接触的一门学科，它在我们的学生生涯中占了很重的位置。
学生学习数学是为了分数，没有乐趣，得不到享受，数学课没有情感体验和审美愉悦，我们往往把数学理解成很枯燥乏味的东西。
但是事实并非如此，数学本身包含着很多很多的美，只要我们细心体会，数学的美无处不在。
罗素就认识到了数学中的美，他曾如此描述这种美：“正确地说，数学不仅拥有真理，而且还拥有极度的美，一种冷静和朴素的美，犹如雕塑那样，虽然没有任何诱惑我们脆弱本性的内容，没有绘画或音乐那样华丽的外衣。
但是，却显示了极端的纯粹和只有伟大的艺术才能表现出来的严格的完美。
”数学美的魅力是诱人的，数学美的力量是巨大的，数学美的是神奇的。
它可以改变我们对数学枯燥无味的成见，让我们认识到数学也是一个五彩缤纷的美妙世界。
由此产生学习数学的兴趣，从而促使外来动机向内在动机转化，并成为学习的持久动力。
我们只有从中发现数学的美才能更快乐更高效的学习数学。
二、数学在文学文艺中的美人们喜欢借用数字的谐音来表示一些现实意义：一是万物之始，一统天下，一马当先，何其壮美;二是偶数，双喜临门，比翼双飞，多么美好幸福;三是升的谐音，表示多数，三教九流，三生有幸，三番四次，四是全包围结构，四平八稳，四通八达。
更深层次来看，诗词是华夏文明的重要组成部分，是文学的瑰宝。
在文学这个百花园中，有些诗词同数学时有联姻，如把数字嵌入诗、词之中，有的一首诗就是一道数学题。
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浅谈数学和谐美
数学历来被人们称作自然科学的“皇后”。
其实社会科学也无法离开数学，然而人们往往在注
重她的实用时，却忽略了她的“美”。
数学与艺术、一个以抽象的逻辑思维而见长，一个又以
形象思维为特征而相互区别，被认为是处在人类科学世界的“两极”。
但它们却有共同的根基
和思想脉络，那就是两者在相当大的程度上都是依赖于人的自由想象不断进行创造和发明的。
这对离现实越来越远，越来越抽象的现代数学来讲，尤其如此。
它们愈来愈象艺术一样，成
为人类的创造物，一种任意的结构。
以致许多人认为数学家和艺术家及诗人都是想象家，他
们工作时，几乎什么都不要，只要一只笔和一叠纸，就能弛骋于思维王国，而不管外部世界
给予他们什么。
正是依靠思维的创造性，数学家形成了奇特的概念、定理和命题，创造出优
美的数学形式和和谐完美的数学体系，使人叹为观止，给人以美的享受和陶冶。
人们把这种
比之自然美、艺术美更高层次的以数学的理论、体系结构的和谐与秩序而具有的理性美，称
之为数学美。
数学美有着丰富的内容和形式，数学概念的简单性、抽象性，结构系统的统一性、对称性与和谐性，数学命题与数学模型的概括性，典型性与普遍性，还有数学中的奇异
性等等都是数学美的具体内容。
归纳起来，数学美主要表现为简洁美、和谐美、奇异美。
本
文仅探讨其中一个方面：和谐美。
1.数学和谐美的表现
美是和谐的。
毕达哥拉斯通过对数学和科学的研究，深信“哪里有数，哪里就有美。
”整个宇
宙都是按照优美的数学方式设计的，都符合数的和谐。
数学和谐美基本表现为其内容和形式
的统一性和对称性两个方面。
统一性
数学和谐美的统一性主要表现为各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，以及数学理
论系统的完整性、推理的严谨性和无矛盾性与对立面的相互转化。
正如希腊数学家裴安所说：“和谐是杂多的统一，是对立的协调，经过数学变化出现了统一的均衡美。
”
亚里士多德认为，美在于事物本身的秩序匀称，互相协调，和谐统一，数学内容尽管丰富多彩，却处于和谐的统一体中，数学方法尽管绚丽多姿，却能互相转化，结合达到高度统一。
可以毫不奈张的说，和谐统一在数学中无处不有，比比皆是。
一些本质上截然不同的概念，一些形态上完全各异的图形，却能在某些方面分别找到其一致点。
例如：指数函数、三角函数本是两类完全不同的函数，但欧拉公式e =cosx+isinx却使二
者紧密统一起来，特别当x=π 时，可得到e +1=0 .0、1、i、e、π 是数学中五个最富有情感的
数字。
它们分别代表实的、虚的、有理的、无理的数，然而却极为和谐的统一在一个公式之中。
又如解析几何中最基本的直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线五类曲线分别具有不同的方
程和不同的性质特征，然而它们却可以概括在一个统一的表达式中。
立体几何中棱柱、棱锥、棱台和旋转体中圆柱、圆锥、圆台的体积公式也可以统一为。
再如三角形、梯形、平行四边
形均可视为梯形，圆、椭圆、双曲线都可统一为有心二次曲线。
这些都体现了数学成员之间
的和谐统一。
各类常见的解题方法也说明了几何、代数、三角间的相互转化和统一。
如代数问题的三角法
求解、三角问题的几何法求解、几何问题的代数法、三角法求解等等。
使各种数学方法之间
形成了一种不分你我、互通有无、亲密无间的和谐关系。
这一切也表明各类数学思想与形式
是和谐的统一、美的结合。
四则运算、分解与化简、微分与积分等等各类互逆运算，以及互补概念，互否命题都是对立
统一的，也体现了数学和谐统一之美。
这样的例子举不胜举，美不胜收，让人目不暇接。
它们充分反映出数学王国犹如一个十分和
美的大家庭，它的各个成员“相处”得是那样的融洽，整个体系显得是那样的完整和协调，各
部分内容的配合是那样的默契，恰似一个个跳动的音符，经过艺术家的巧妙组合，谱出了一
曲曲优美的乐章。
对称性
从古希腊起对称性就被认为是数学美的一个基本内容。
对称通常指图形或物体对于某个点、
直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系。
在数学中，对称的概念略有拓广，常把某些具有关连或对立的概念视为对称。
“对称”最初起源于几何。
对称性是最能给人以美感的一种形式，德国数学家和物理学家魏尔
曾指出：“美和对称性紧密相关。
”如所知，对称性是数学美的基本特征之一。
现实中许多美好的事物都具有对称性，这是不言而喻的。
在数学理论中，也处处可见人们对
自然界对称美的追求和反映。
数学中数和形的对称，就像一个人的左右手那样对称着：实数——数轴，复数——平面，平面上的点——有序实数对，函数——图像等等。
在代数学中，实
系数一元n次方程虚根的成对出现，解线性方程组的克莱姆法则等，几何学中的中心对称，
轮换对称和轴对称等，也都呈现着对称美。
毕达哥拉斯曾说过：“一切立体图形中最美的是
球形，一切平面图形中最美的圆形。
”这是因为球和圆在各个方向上都是对称的。
亚里士多德认为，天体的运动必然采取圆周运动的形式，否则就会降低了其“至高无上”的完
美性。
著名的“黄金分割”揭示出匀称美的线段比例关系。
比如，正是埃及胡夫金字塔与米洛
的维纳斯中的一些长度的比值符合黄金分割数，才给人以美的感受。
并在以后的优选法中发
挥了关键的作用。
对此，达芬奇曾评价说：“黄金分割是美的原则。
”不仅如此，数学中的许
多对称美，往往能使门外汉也深有体会。
例如人们称“行列式”为“美丽的花园，而且每一边都
可以扩展”。
四阶行列式是由16个元素按四行、四列排成的一个正方形，既使不懂数学的人
也能深感其排列整齐和处处对称，以致给人一种美的享受。
射影几何的建立，在一定程度上也可以说是由于追求对称性而发展起来的一门学科。
射影几
何的创始人之一，法国数学家代沙格把直线视为一种封闭图形，每条直线都有一个无穷远点，从而在射影几何中点与直线的地位就完全对称了。
这样在所有涉及平面图形的定理中，若把“点”换成“直线”、“直线”换成“点”，并把从属关系作相应的对换，那么所得到的新命题仍然是射影几何中的定理。
这就是著名的对偶定理。
例如，我们从“如果两个三角形之对应顶点的连线共点，则其对应边的交点共线。
” 这一定理出发，利用代沙格的对偶定理，即可得到如下
定理：“若两个三角形对应边的交点共线，则其对应顶点的连线必共点。
”所以射影几何理论
的发展和点与直线之间的对称性考虑密切相关。
到了今天我们发现：“对称”的概念是极其重要的。
20世纪的物理学家们在研究中发现：对称的重要性在与日俱增。
可以毫不夸张地说，数学中不少概念与运算，都是由人们对于“对称”
问题的探讨派生出来的。