动力学第十一章
第11章 化学动力学(天津大5版)
N2+ 3H2 2NH3
k
k N2 1
kH2 3
k NH3 2
化学反应速率方程的说明
a. 反应级数可为整数、分数、正数、负数或零，它的大小反 映了所对应物质浓度对反应速率的影响。
如 2O3 ==3O2
kC C
§11.1 化学反应速率及速率方程
1. 反应速率的定义
对于非计时反应
0＝ΣνBB d dnB / B
转化速率:单位时间内发生的反应进度。广度量，单位mol.s-1
d / dt
1
B
dnB / dt
反应速率：单位体积的转化速率。强度量，单位mol.m-3.s-1
1 dnB / dt V BV
'' '
''
'
3. 初始速率法 n n n 0 kcA,0cB,0cC,0 ......
A B B
lg v0 lg k nA lg cA,0 nB lg cB,0 nC lg cC,0 .....
保持每次实验B,C,…..的初始浓度相同
lg v0 nA lg cA,0 K
④ 反应转化率
lncA- lncA,0= -kt
某一时刻反应物A反应掉的分数称为该时刻A的转 化率xA
xA (cA,0 cA ) / cA,0
则:
1 k t ln 1 xA
一级反应的转化率与反应物的初始浓度无关，仅 与反应时间有关。
⑤ 半衰期
一级反应的半衰期t1/2与反应速率常数成反比，与反应物的 初始浓度无关。
第十一章 化学动力学第七节 复杂反应(复合反应)
不是简单一步直接完成的反应，称复杂反应，又称复合反应。常 见的有对行、平行、连串（连续）反应和链反应
一、对行反应（opposing reaction） (可逆反应，对峙反应) ●定义 正、逆方向上能同时进行的反应。只将正、逆反应的
速率可相比拟者作对行反应处理
●示例 一些分子内重排成异构化反应
物较多或所需反应称主反应，其他称副反应
●速率方程 例，两个平行的一级反应
k1 BdcΒιβλιοθήκη dtk1cA(1)
A k2 C
dc C dt
k2cA
(2)
显然
- dcA dcB dcC
dt dt dt
若开始时，cB,0=cC,0=0，则到t时刻 cA+cB+cC=cA,0
将式(1)和(2)代入得 2023/2/21
2A(g)+B(g)Y(g)+Z(s)已知速率方程为-dpA/dt=kApA2pB。设开始时 总压力为30Pa，反应在7.5min后总压力降至20Pa。问再继续反应多 长时间可由20Pa降至15Pa？A的消耗速率常数kA=？
解：由 2A(g)+B(g)Y(g) + Z(s)
t=0时 pA,0 1/2 pA,0 0
总压降至15Pa, pA＝ptot-(1/2) pA,0=5Pa，
t=1/(510-4)0.5(1/25-1/400)=37.5min,扣除原来的7.5min，则为
30min
2023/2/21
9
二、平行反应（parallel reaction）
●定义 反应物能同时进行不同的反应，得到不同的产物
●示例 甲苯硝化成邻、对、间位硝基甲苯。将反应较快、或产
11第11章质点动力学的基本方程PPT课件
略摩擦及AB质量;λ=r/l 较小时,以O为坐标原点,滑块B的运动方
程近似为
x l( 1 24 ) r [ct o (s 4 )c,试2 o 求t]s
t0和 时2,AB所受的力。
解:以滑块B为研究对象
mxaFcos
yA
O
F
FN
x
由滑块B的运动方程得
a x x r 2 (c to c s2 o t)s
§11-2 动力学的基本定律
牛顿三定律
第一定律(惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
包括受平衡力系作用的质点
不受力作用的质点处于静止状态，或保持其原有的 速度(包括大小和方向)不变的性质称为惯性。
第一定律阐述了物体作惯性运动的条件，故称为惯 性定律。
§11-2 动力学的基本定律
从这种意义上说，动力学是理论力学中最具普遍意义 的部分，静力学、运动学则是动力学的特殊情况。
动力学的研究对象：低速、宏观物体的机械运动的普 遍规律。
动力学的力学模型
质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 地球绕太阳的公转——质点 刚体的平动——质点
质点系：系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性， 并占据一定的空间；质点之间以不同的方式连接或者 附加以不同的约束。 地球的自转——质点系
刚体：质点系的一种特殊情形——不变形的质点系 其中任意两个质点间的距离保持不变。
工程实际中的动力学问题
v1
F
v2
棒球在被球棒击 打后，其速度的大 小和方向发生了变 化。如果已知这种 变化即可确定球与 棒的相互作用力。
工程实际中的动力学问题 载人飞船的交会与对接
v2 v1
B A
第11章 机械系统动力学
l ——外力矩M L作用构件的角速度；
u xp、u yp、ul ——相应类速度。
3. 动力学方程
在不考虑系统势能变化的情况下（对于刚体机械系统，一般情 况下，构件重量产生的势能 构件动能，可以略去），将 E 1 J e1q12微分，得 2 E J e1q1 q
E 1 2 dJ e1 q1 q1 2 d q1
凯思方程：
是将主动力和惯性力都转化到广义坐标中，它们在广义
坐标中也同样应用达朗贝尔原理，表达式为：
( r ) M *(r ) FP Fm 0
P P 1 m 1
M个惯性力对第r个广义坐标的广义惯性力之和
P个主动力对第r个广义坐标的广义力之和
11-2 刚性机械系统动力学
系统的简化：
1. 系统的动能： 设系统有m个活动构件，则系统的总动能E：
1 m 2 2 E mi xsi ysi J sii2 2 i 1
“.”表示对时间的导数
由于xsi、ysi、i 都是广义坐标q1的函数，即 xsi xsi (q1 ) ysi ysi (q1 ) (q ) i 1 i 所以
H 13
（2）求等效转动惯量J e 根据动能等效原则，得：
1 1 2 2 2 J e12 J112 J 22 J H H m2vO2 2 2
2 2
2
vO2 2 H Je J 1 J2 J H m2 1 1 1 2 H 2 z3 2 H 由i23 1 3 2 3 H H z2 H 1 2 H 1 1 2 又 1 4
K第十一章 动力学基本定律(H)ok
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
第十一章 动力学基本定律
舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞
第十一章 动力学基本定律
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
v1
F v2
棒球在被球棒击打后， 棒球在被球棒击打后，其 速度的大小和方向发生了变 化。如果已知这种变化即可 确定球与棒的相互作用力。 确定球与棒的相互作用力。
动力学涉及的内容与重要性 ★ 系统的运动轨迹、速度、加速度、角速度、 系统的运动轨迹、速度、加速度、角速度、 角加速度等描述运动的量。 角加速度等描述运动的量。 ★ 系统的动量、冲量、动量矩、动能等描述运 系统的动量、冲量、动量矩、 动效应的量。 动效应的量。 ★ 系统的质量与描述运动的量和描述运动效应 的量之间的关系。 的量之间的关系。
m1
第十一章 动力学基本定律
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
工程动力学的研究模型
广义的质点系统
封闭质点系－既无外部质点进入， 封闭质点系－既无外部质点进入， 又无内部质点流出的质点系统。 又无内部质点流出的质点系统。
m1 m mi mn
2
开放质点系－有质点进入或流出， 开放质点系－有质点进入或流出， 或者二者兼而有之的质点系统。 或者二者兼而有之的质点系统。
第十一章 动力学基本定律
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
动力学在工程分析与工程设计中的重要作用
● 航空航天、交通运输、高速机械、军事工程、 航空航天、交通运输、高速机械、军事工程、
第十一章 非线性动力学
可饱和的代谢过程；酶诱导；较高剂量时 的肝中毒；肝血流的变化；代谢物的抑制 作用
二、非线性药物动力学特点与识别
特点：
药物消除为非一级动力学，遵从米氏方程 AUC与剂量不成正比 消除半衰期随剂量增大而延长，剂量增加至一定 程度时，半衰期急剧增大 动力学过程可能会受到合并用药的影响 代谢物的组成比例受剂量的影响
当C0>>Km时, t1/2=C0/(2Vm) 当Km>>C0时, t1/2=0.693Km/Vm
清除率Cl
dX dt Cl C VmC dX dt ( dC dt ) V V Km C Vm V Cl Km C
当C>>Km时, Cl与C成反比：CL=Vm*V/C 当Km>>C时, Cl与C无关： CL=Vm*V/Km
线性动力学
血药浓度与剂量呈正比 ； AUC与剂量呈正比；t1/2、k、 V、Cl与剂量无关
非线性动力学
Dose-dependant PK 动力学参数与剂量有关 存在饱和现象
k
AUC
t1/2
X0
X0
X0
注：图中实线表示非线性，虚线表示线性非线性药代动力学主要见于：
与药物代谢有关的可饱和的酶代谢过程； 与药物吸收、排泄有关的可饱和的载体转 运过程； 与药物分布有关的可饱和的血浆/组织蛋白 结合过程； 酶诱导及代谢产物抑制等其他特殊过程。
五、非线性动力学参数的求算
1. Km及Vm的求算：根据-dC/dt 求算
dC Vm C dt K m C
Lineweaver-Burk方程式： Hanes-Woolf方程式： Eadie-Hofstee方程式：
第十一章 动量定理
C
A
x
方向为C点速度的方向。
二、 质点系的动量定理
11.1 即质点系的动量对于时间的导数等于作用在该质点 动 上所有外力的矢量和，这就是微分形式的质点系的 动量定理。 量 将上式投影在直角坐标轴上，则得 定 dp z dpy e dp x e e Fz Fx Fy 理 dt dt dt 这就是微分投影形式的质点系的动量定理。 将前式两边同乘以 ，并在时间间隔 (t2 t1 ) 内 积分，得
1
动 量 定 理
p 2m1vC m1vC1 m2vA m2vB
建立如图直角坐标系，则动量的投影为 px 2m1vC sin t m1vC1 sin t m2v A l 2m1l sin t m1 sin t m2 2l sin t 2 l (5m1 4m2 ) sin t 2
（1） （2）
动 y x 45 C FN P sin 45 mgcos30 量 定 从而摩擦力为 FN mg 理 F fFN f (P sin 45 mgcos30 )
0 0 (P sin 45 FN mgcos30 )t 由（2）式，得 B P
p px p y
B
2m1vC
C
C
m1vC1
O
px cos( p, i ) cos sin t p
2
(5m1 4m2ຫໍສະໝຸດ )tC1 m2 v A A
x
动量
y p1 p AB p A pB 解2： p1 B 2(m1 m2 )vC 11.1 C p2 C p2 pOC m1vC1 动 O t 量 p p p p p p p 1 2 AB B OC A 定 vC 理 2(m1 m2 )vC m1 2 1 (5m1 4m2 )vC 2 1 由于vC l ，所以 p (5m1 4m2 )l 2
十一化学动力学
、主要概念反应速率，依时计量学反应，（非依时计量学反应，）消耗速率，生成速率，基元反应，非基元反应，质量作用定律，级数，总级数，（基元反应的）反应分子数，速率方程，半衰期，反应级数的确定方法（积分法，微分法，初浓度法，隔离法，半衰期法），活化能，指前因子，速率常数，表观活化能或经验活化能2,对行反应，平行反应，连串反应，稳态处理法，平衡态近似法，单分子反应机理，直链反应，支链反应，爆炸，碰撞理论要点，势能面，反应途径，过渡状态理论要点。
笼罩效应，遭遇对，量子效率，催化剂二、主要定义式与公式1 .反应速率：标准反应0=1B V B B ，反应进度：d E =dn B /V B ,反应速率：r = d E /Vdt =dn B/ Vv B dt =（恒V）dC B/v B dt r生成速率（反应物）:r B = -dC B/ dt消耗速率（产物）：r B = dC B/ dt2. 质量作用定律：对基元反应aA + bB +... —IL +mM速率方程：-dC A/dt = k C A a C B b…a3. 速率方程的一般形式：经验式：-dc A/dt = k c A 分式）式中：：反应物A，B的分级数，反应的总级数n=「：; k-速率常数，与温度有关。
4.简单级数反应的动力学特征表、简单反应浓度对反应速率的影响级数微分式积分式半衰期k量纲线形关系式°A=k C AO- CA =ktt=£AO%2 2k［浓度］［时间］-1—A0L t・第十一章化学动力学注意：用浓度表示的反应速率如—d c A/d t=k c C A，则k指k c。
若用分压表示的反应速率一dp A/dt=k p p A n，则k 指k p。
两者关系为k p = k c (RT) 1-n5 •确定反应级数的方法C Aa P-dCA/ C A C B ...t(1)积分法：C A,0= k dt(积分式)把实验数据C A~t关系代入各级数的反应积分式中求出k，若k为常数则为此级数，或作其线性关系图，若呈直线则为该级数。
理力11(动力学)-动量定理
b b1
vb
附加动约束力由下式确定：
F qv (vb va )
设截面aa与bb的面积分别为Sa和Sb，由不可压缩流 体的连续性定律知
qv Sa va Sb vb
16
例题
第十一章 动量定理
例 题 11-2
因此，只要知道流速和曲管的尺寸，即可求得附 加动约束力。 在应用前面的公式时应取投影形式。
b b1
vb
则质点系在时间dt内流过截面的质量为
dm qvdt
时间间隔dt内质点系动量的变化为
p p0 pa1b1 pab ( pbb1 pa1b ) ( pa1b paa1 )
14
例题
第十一章 动量定理
例 题 11-2
因为管内流动是稳定的，有 pa1b pa1b 于是
n
(e)
质点系的质量与质心加速度的乘积等于作 用于质点系外力的矢量和（外力的主矢）。 ——质心运动定律
23
第 十一 章 动量定理
§ 11-3 质心运动定理
24
25
26
第 十一 章 动量定理
§ 11-3 质心运动定理
质心运动定理
maC Fi ( e )
i 1
n
质点系质心的运动，可以看成为一个质点 的运动，设想此质点集中了整个质点系的质量 及其所受的力。 质点系的内力不影响质心的运动，只有外 力才能改变质心的运动。
p´= pBD + pB + pD = 2(m1 + m2)vA
由于动量 pOA 的方向也是与 vA 的方向一致， 所以整个椭圆机构的动量方向与 vA 相同， 而大小等于
vE
φ E
D
第十一章动量定理
二、 质点系的动量定理
设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的 动量为mivi ，作用在该质点上的外力与内力的合力 (i) (e) 为Fi 与 i ，由质点的动量定理有 F (e) (i) d (mi vi ) Fi Fi (i 1, 2, , n) dt 将n个方程相加，即得 (e) (i) d (mv ) F F dt 改变求和与求导次序，则得 (e) (i) d ( mv ) F F dt
3. 前面五个公式是动量定理的导数形式, 在本课程中最常用. 还 有相应的微分形式和积分形式. ( 见书上)
4. 动量定理是矢量定理, 在具体用到相应的公式时一般用的是其 投影形式. 最常用的是直角坐标系下的投影.( 见书上)
§11－3 质点系动量守恒 , 质心运动守恒. 如果一质点系统的外力系的主矢等于零, (不可说外力系为零) 则系统的动量保持为一常矢量. 或系统的质心的速度为一常矢. 如果一质点系统的外力系的主矢在某一方向上的投影为零 , 则系统的动量在此方向上的投影保持为一常量.
质心运动定理直角坐标投影式
maCx Fx maCy Fy maCz Fz
自然轴上的投影式
(e) (e)
(e)
d vC vC 2 m Ft (e) , m Fn (e) , Fb (e) 0 dt
如果作用于质点系的外力主矢恒等于零， 则质心作匀速直线运动；若系统开始静止， 则质心位置始终保持不变。 如果作用于质点系的所有外力在某轴上 的投影的代数和恒等于零，则质心速度在该 轴上的投影保持不变；若开始时速度投影等 于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。
A
本题中, 求系统的动量的方法有好几种.
第十一章 动能定理
1 3
m1l
2
2
1 6
m1l 2 2
EKAB
1 2
J
I
2 AB
4 3
m1l 2 2
EKA
EKB
1 2
m2
(v
2 A
vB2 )
2m2l 2 2
EK
EKOC
EKAB
EKA
EKB
(
5 3
m1
2m2 )l 2 2
一、常力的功
1
第二节 功的概念和计算
2
W Fscos
功是标量，可为正、负或零。
功的量纲为
重物A上所有力的功的总和。摩擦力不计。
解：作出重物A的受力图；
A
重物W和弹力F作功
WF
W1 mgs sin
平衡时 F mg sin k0
FN o mg sin / k 1 o s
W2
k 2
( o2
12 )
k 2
(s2
2 o s)
ks2
W
W1
W 2
2
例11-5 重9.8N的滑块放在光滑的水平槽内，一端与刚度系数 k=50N/m的弹簧连接，另一端被一绕过定滑轮C的绳子拉住。滑
ml2
Ek
2
1 6
ml2
1 2
ml2
5 6
ml 2
例11-2 周转轮系机构置于水平面内，曲柄OA质量为m， 以角速度转动。定齿轮 O 的半径为R，动齿轮A 的半径 为 r，质量为 m。求系统的动能。
解: 杆OA定轴转动，轮A平面运动， I为瞬心。
O
AA
I
vA
vA= (R+r) = r A
第十一章 化学反应动力学
第十一章 化学反应动力学§11.1 引言一、化学动力学的任务对任一化学反应有两个最基本的问题：① 在指定条件下化学反应能否进行？若能进行其最大产率是多少？若不能进行则改变外界条件能否使其进行？……这类问题属于化学热力学范畴。
② 在指定条件下化学反应进行的速率是多少？外界条件如何影响其速率？化学反应究竟通过哪些步骤进行的？这些问题是化学反应速率和机理问题，属化学动力学范畴。
这是两类性质不同的问题，例如对氢氧反应在298.15K1θm r 222m ol 237.19KJG Δ O(l)H (g)O 21(g)H -⋅-===+ 从热力学观点看，这意味着此反应的自发趋势是很大的，而且此反应可进行得很完全（即平衡常数亦很大）。
但实际上H 2和O 2的混合物放在一密闭容器中，好几年亦觉察不到有生成水的痕迹，这说明此反应进行的速率太慢了，而不是热力学的结论错误；如果将此H 2和O 2的混合物升高温度至1073K 时，反应可以爆炸的形式瞬时完成。
再如合成氨的反应，从热力学可知，此反应在常温常压下，其0G Δm r <，即可以自发进行，但速率很慢。
为使反应加快，就需选择合适的催化剂。
选择合适的反应途径。
目前合成氨工业就是在此基础上形成的。
可是人们都很奇怪，为什么豆科植物根部的瘤菌却能在常温下将空气中的氮固定成可溶性的氮肥供植物吸收，这就是目前化学家和生物学家共同努力的目标，即将固氮酶的化学组成搞清楚，然后用化学方法合成固氮酶，在常温常压下即可造出氮肥，这对合成氨工业无疑将是巨大的革命。
因此对任何一化学反应，首先要用热力学判断，此反应有没有可能实现；然后再用动力学去研究该如何去实现。
就目前所知，从热力学上可实现的反应，其反应速率的差别是很大的，有的反应，其反应速率很慢，如岩石的风化和地壳中的一些反应；有的反应速度很快，如离子反应、爆炸反应等瞬时即可完成。
人们期望能控制反应的速率，这将依赖于化学动力学的研究。
第十一章匀相反应动力学
第十一章勻相反應動力學(1) 在密閉系中，一化學反應的正逆反應速率相等時，即達，此時反應乃在進行，各物質的量（質量、濃度）呈固定，且巨觀的性質（如顏色、壓力）不再發生變化。
生成物與反應物之濃度比稱為(2)然而此平衡狀態會受溫度、壓力、濃度等外加因素的影響，而引起，而引起之平衡移動可由勒沙特列原理來判定之。
(3)各種化學反應之並不相同，達成平衡狀態所需的時間長短亦不相同，而多種因素（溫度、壓力…）將會影響反應速率。
(4) 勻相反應動力學是在研究均勻相中化學反應的機程（反應機構），程度（反應物轉化率）及反應速率（反應快慢）。
內容包含：（一）化學平衡：○1.化學平衡的意義○2.平衡常數（K）○3.平衡的移動（二）反應速率：○1.反應級數及反應速率方程式○2.影響反應速率的因素(一)化學平衡：指一（可逆）反應無論從何種方向開始進行，當反應一段時間後，反應物生成產物的速率（正反應速率）必定和生成物生成反應物的速率（逆反應速率）相等。
此時稱為化學平衡，平衡時，反應乃在進行，且反應中各物質的量（指質量、莫耳數，濃度）一定（凈變化為零）。
但巨觀的性質（如顏色、壓力）不再發生變化，一般稱為反應完成、反應停止。
以醋酸與乙醇之酯化反應為例說明：（化學計量以物質之莫耳數、濃度（M）進行之）CH3COOH + C2H5OH →CH3COOC2H5 + H2O（二）平衡常數（K）：指一反應達平衡時，生成物與反應物之濃度比值。
平衡常數越大表示平衡時生成物量多，（正）反應易進行；平衡常數小表示反應物量多，反應不易進行。
一反應 a A + b B →c C + d D平衡時：K＝，（亦表示為Kc）＊【】表示，K大則；K小則。
＊任一化學反應不可能反應物完全消耗完，即K≠∞。
反應平衡時，反應物、生成物將同時存在。
例1：表示乙醇與醋酸酯化反應之平衡常數？CH3COOH + C2H5OH →CH3COOC2H5 + H2O平衡時1/3 1/3 2/3 2/3K＝例2：討論酸的解離常數？通式HA →H+ + A－Ka ＝1. 醋酸水溶液解離平衡：HAc →H+ + Ac-－Ka ＝2. 鹽酸水溶液解離平衡：HCl →H+ + C l－Ka ＝＊HCl之Ka（酸的解離常數）大，則多，水溶液之大。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
动力学第十一章动量矩定理本章介绍动量矩定理，它建立了质点系动量矩与外力主矩之间的关系，并以此为基础，导出刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程。
第一节动量矩的概念动量是描述质点系机械运动强弱的一个物理量，但它只能反映质点系随质心的平动，而不能反映质点系相对于质心的转动。
例如，圆轮绕质心转动时，无论它怎样转动，圆轮的动量恒为零，可见，此时动量就不能描述该圆轮的运动，而必须用动量矩这一物理量来描述一、质点的动量矩1．质点对固定点的动量矩设质点M的质量为m,某瞬时的速度为v，质点相对于固定点O的矢径为r，如图11-1所示。
与第三章中空间力对点之矩的定义相似，质点对固定点的动量矩定义为:质点M的动量对于O点的矩，称为质点对于O点的动量矩，即(11-1)可见，质点对于固定点O的动量矩是固定矢量，它垂直于矢径r与m v所形成的平面，指向按右手法则确定，其大小为式中表示三角形OMA的面积。
图11-12．质点对固定轴的动量矩与空间力对轴之矩的定义相似，质点对固定轴的动量矩定义为:质点动量m v在Oxy 平面内的投影(m v)xy对于点 O的矩，称为质点对于z轴的动量矩，即(11-2)质点对于固定轴z的动量矩是代数量，其正负号的规定与空间力对轴之矩的正负号规定相同。
质点对固定点O的动量矩与对固定轴z的动量矩的关系为：质点对固定点O的动量矩在过O点的某一轴z上的投影，等于质点对z轴的动量矩，即[LO]z= L z(11-3)动量矩的量纲为dim L=ML2T－1。
在国际单位制中，动量矩的单位为 kg·m2／s二、质点系的动量矩质点系中各质点对固定点O的动量矩的矢量和称为质点系对固定点O的动量矩，或质点系动量对O点的主矩，即(11-4)同样，质点系中各质点对同一轴z的动量矩的代数和称为质点系对固定轴z的动量矩，即(11-5)由式(11-1)～式(11-5)容易得到[LO]z= L z(11-6)即质点系对固定点O的动量矩在过O点的某一轴z上的投影，等于质点系对z轴的动量矩。
刚体的平动和转动是刚体的两种基本运动，对于这两种运动刚体的动量矩，可根据动量矩的定义进行计算。
刚体平动时，可将刚体视为一个全部质量集中于质心的质点来计算其动量矩。
下面计算刚体定轴转动时的动量矩。
三、定轴转动刚体对转轴的动量矩设刚体以角速度w绕固定轴z转动，如图11-2所示，则它对转轴的动量矩为令，J z称为刚体对于z轴的转动惯量。
则L z=J zω(11-7)即定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。
图11-2第二节转动惯量一、转动惯量的概念由上节可知，刚体对某轴z的转动惯量Jz等于刚体内各质点的质量与该质点到轴z的距离平方的乘积之和，即(l1-8)可见，转动惯量恒为正标量，其大小不仅与刚体质量大小和质量的分布情况有关，还与z轴的位置有关。
转动惯量是刚体定轴转动时惯性的度量，这一点将在本章第四节中说明。
当质量连续分布时，刚体对z轴的转动惯量可写为(l1-9)转动惯量的量纲为dim J＝ML2在国际单位制中，转动惯量的单位为kg·m2二、回转半径工程上常把刚体的转动惯量表示为或(l1-10)式中，ρz称为刚体对z轴的回转半径(或惯性半径)，即物体的转动惯量等于该物体的质量与回转半径平方的乘积。
式(11-10)说明，如果把刚体的质量全部集中于与转轴垂直距离为ρz的一点处，则这一集中质量对于z轴的转动惯量，就正好等于原刚体的转动惯量。
几何形状相同的均质刚体的回转半径是相同的。
在国际单位制中，回转半径的单位为m。
三、平行轴定理下面研究刚体对于两平行轴的转动惯量之间的关系。
设刚体的质量为m，质心在C点，z1轴是通过刚体质心的轴(简称质心轴)，z轴平行于z1轴，两轴间距离为d，如图11-3所示。
图11-3分别以 C点、O点为原点，作直角坐标系 Cx1y1z1和Oxyz，根据转动惯量的定义，可知，刚体对质心轴的转动惯量J zc和对z轴的转动惯量J z分别为因为所以由质心坐标公式得故为质心在直角坐标系Cx1y1z1中的坐标，由于坐标原点取在质心C，,于是得(l1-11)上式表明：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于平行于该轴的质心轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方之乘积。
这就是转动惯量的平行轴定理。
由此可见，在相互平行的各轴中，刚体对质心轴的转动惯量为最小。
四、转动惯量的计算刚体转动惯量的计算是以式(11-8)和式(11-9)为依据的。
对于几何形状简单的均质刚体，一般可用积分法计算，或查阅有关工程手册；对于由几个简单形体组合而成的复合形体，可用组合法进行计算，即先求出其中各简单形体对指定轴的转动惯量，然后相加即得复合形体对该轴的转动惯量；在已知刚体对质心轴的转动惯量时，可应用平行轴定理，来计算刚体对平行于质心轴的某轴的转动惯量；对于不便计算的形状复杂的刚体或非均质刚体，其转动惯量可用本章第四节中介绍的实验法测定。
第三节动量矩定理一、质点动量矩定理设质点的质量为m，在力F作用下运动，某瞬时其速度为v，如图11-8所示，则该质点对固定点O的动量矩为图11-8将上式对时间求一阶导数，有因为O为固定点，故有又根据质点的动量定理，有因此得(11-12)将式(11-12)向过O点的固定轴投影，并将质点对固定点的动量矩与对轴的动量矩之间的关系式和力对点之矩与力对轴之矩的关系式代入，得(11-13)式（11-12）和式(11-13)表明：质点对任一固定点(或轴)的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点上的力对同一点(或轴)之矩。
这就是质点的动量矩定理。
其中式（11-12）为矢量形式，而式（11-13）为投影形式。
二、质点系动量矩定理设质点系由n个质点组成，取其中第i个质点来考察，将作用于该质点上的力分为内力 F i i和外力F i e，根据质点的动量矩定理，有整个质点系共有n个这样的方程，相加后得由于质点系中的内力总是等值反向地成对出现，因此，上式中质点系内力对O点矩的矢量和(内力系对O点的主矩) ，交换左端求和及求导的次序，有简写为(11-14)与质点的动量矩定理相同，将式(11-14)向直角坐标轴投影，得(11-15)式（11-14）和式(11-15)表明：质点系对任一固定点(或轴)的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系上所有外力对同一点(或轴)之矩的矢量和(或代数和)。
这就是质点系的动量矩定理。
三、动量矩守恒由质点系的动量矩定理可知，质点系的内力不能改变质点系的动量矩，只有作用于质点系的外力才能使质点系的动量矩发生变化。
当时，L O=常矢量；当时，L x=常量。
即当外力系对某一固定点(或某固定轴)的主矩(或力矩的代数和)等于零时，则质点系对该点(或该轴)的动量矩保持不变，这就是质点系的动量矩守恒定律。
应当注意，上述动量矩定理的形式只适用于对固定点或固定轴，在本章第五节中将介绍质点系相对于质心的动量矩定理。
而质点系相对于一般动点或动轴的动量矩定理，形式将更复杂，本书不作讨论。
第四节刚体定轴转动微分方程一设一刚体在主动力F1，F2，…，F n和轴承的约束力F N1，F N2作用下，以角速度ω和角加速度α绕z轴转动，如图11-12所示，由于轴承约束力均通过z轴，如不计轴承的摩擦，则它们对z轴的力矩都等于零，根据式(11-7)知，刚体对z轴的动量矩为图11-12代入质点系对z轴的动量矩定理得(11-16)或(11-17)(11-18)以上三式均称为刚体定轴转动微分方程，它表明：刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴之矩的代数和。
从刚体定轴转动微分方程可以看出，对于不同的刚体，若主动力对转轴之矩相同时，转动惯量大的刚体，角加速度α小，即转动状态变化小；反之，转动惯量小的刚体，角加速度α大，即转动状态变化大。
这说明，转动惯量是刚体转动时惯性的度量。
将刚体定轴转动微分方程与质点运动微分方程加以比较，可见它们的形式相同，因此，用式(11-16)～式(11-18)也可求解刚体定轴转动的两类动力学问题，但它不能用来求解支座处的约束反力。
第五节质点系相对于质心的动量矩定理在本章第三节中介绍的动量矩定理的形式仅适用于惯性参考系，所取矩心(矩轴)是固定点或固定轴时才成立。
对于一般动点或动轴，其动量矩定理有更复杂的形式，但是，如取质点系中某些特殊的点(例如质心)为矩心，则动量矩定理仍有相似的简明形式。
本节介绍质点系相对于质心的动量矩定理。
一、质点系相对于质心的动量矩如图11-16所示，O为固定点，C为质点系质心，建立固定坐标系Oxyz及随质心平动的坐标系Cx'y'z'，质心C相对于固定点O的矢径为r C，质点系中第i个质点的质量为m i，相对于质心C的矢径为r ir，相对于固定坐标系Oxyz的速度为v i，相对于动系的速度为v ir，则质点系相对于质心的动量矩定义如下：定义质点系中各质点在定系Oxyz中运动的动量对质心C之矩的矢量和(绝对运动动量对C点的主矩)称为质点系相对于质心的动量矩，即(11-19)图11-16一般说来，用绝对速度计算质点系相对于质心的动量矩并不方便，通常用相对于动系Cx'y'z'的相对速度进行计算。
由于动系随质心作平动，故任一点的牵连速度均等于质心C的速度v C，则根据速度合成定理，有故由质心的定义，有，其中r Cr为质心相对于动系原点的矢径，而此时质心C 恰为动系Cx'y'z'的原点，故有r Cr=0，因此，上式可写成(11-20)其中，L Cr是在随质心作平动的动系中，质点系相对运动对质心的动量矩(相对运动动量对C 点的主矩)。
结论质点系相对于质心的动量矩L C既可用各质点的绝对速度来计算，也可用各质点在随质心平动的动坐标系中的相对速度来计算，其结果是一样的。
根据定义式(11-19)，容易得到质点系相对于固定点的动量矩与相对于质心的动量矩之间的关系。
如图11-16所示，质点系对于固定点O的矩为而于是式中，为质点系动量；而为质点系相对质心C的动量矩。
于是得（11-21）上式表明：质点系对任意一固定点O的动量矩，等于质点系对质心的动量矩L C，与集中于质心的质点系动量对于O点动量矩的矢量和。
二、质点系相对于质心的动量矩定理质点系对固定点O的动量矩定理为将式（11-21）和代入，有即根据质心运动定理，上式可改写为而为质点系外力对质心之矩的矢量和，即外力系对质心C的主矩。
于是，得（11-22）上式表明：质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系上的所有外力对质心之矩的矢量和外力系对质心的主矩）。
这就是质点系相对于质心的动量矩定理。
由式(11-22)可知，质点系于相对质心的运动只与外力系对质心的主矩有关，而与内力无关。