平面向量与三角函数教案

平面向量与三角函数教案

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第十讲 平面向量及其应用

例1:△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB.若CB →＝a ，CA

→＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝ （ ） 例题 2.如图，在直角梯形ABCD 中，

,1,3

AB AD AD DC AB ⊥===，动点P 在BCD ∆内

运动，（含边界）， 设

()

,AP AB AD R αβαβ=+∈u u u r u u u r u u u r

，则αβ+的取值范围

是 .

例3.设P 是ABC ∆内一点，满足()()()

21,AP x y AB y AC x y R =-+-∈u u u r u u u r u u u r

.

则x 的取值范围是 .

.已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为1

S ，△ABC 的面积为2

S ，

AP pPB

=u u u r u u u r

，

AQ qQC

=u u u r u u u r ，

则（ⅰ）pq p q

=+ ， （ⅱ）12

S

S 的取值范围是 .

例1. 在

ABC

V 中，

60,3,

B A

C ∠=o 则

2AB BC

+的最大值为

_________．

例2. 在锐角△ABC 中，tan A = t + 1，tan B = t - 1，则t 的取值范围是_________．

例3. 在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD = BC ，

b ，

c 分别表示角B ，C 所对的边长，则b c

c b

+的取值范围是____________．

例4. 在等边ABC V 中，点P 在线段AB 上，满足,AP AB λ=uu

u r uu u r

若,

CP AB PA PB ⋅=⋅uu r uu u r uu r uu r

则实数λ的值是_________．

例5. 在ABC V 中有如下结论：“若点M 为ABC V 的重心，

则0MA

MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r

”，设a ，b ，c 分别为ABC V 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为ABC V 的重心.如果30aMA bMB ++=uuu r uuu r uuu

r r ，

则内角A 的大小为_________；若a ＝3，则ABC V 的面积为_________．

例6. 点O 为△ABC 的外心，已知AB =3，AC = 2，若

AO xAB y AC

=+uuu r uu u r uuu r ，x + 2y = 1，则cos B = _________．

例7. 如图，平面内有三个向量,,，其中OA u u u r 与OB u u u r

的

夹角为120°，OA u u u r

与OC u u u r 的夹角为150°，且

1

OA OB ==u u u r u u u r ，

23

OC =u u u r

若()OC OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r

，，则

λμ

+的值为_________．

A O

B x

y

1 23

5.0- 3

-

例8. 在□ABCD 中，AB = 5，AD = 4，点

P 在△BCD 内（包括周界），设AP xAB y AD

=+uu u r uu u r uuu r ，则一切点（x ，y ）形成区域的面积为_________．

例9. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，3BC BD

=uu u r uu u r ，

||

AD uuu r = 1，

则AC AD

⋅uuu r uuu r

= _________．

例10. 在△ABC 中，已知AB = 3，O 为△ABC 的外心，

且OA

BC ⋅uu r uu u r

= 1，则AC = ________． 例11. 已知平面上三点,,A B C ，满足||2,||3AB BC ==u u u r u u u r

，

||4,

CA =u u r

则

23_________.

AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

例12. 直线l 与函数sin ([0,])

y x x π=∈P

D

C

B

A

的图像相切于点A ，切//l OP ，O 为坐标原点，P 为图像的极值点，l 于x 轴交于B 点，过切点A 做x 轴的垂线，垂足为C ，则________

BA BC ⋅=u u u r u u u r

例13. 在ABC ∆中，满足：AB AC

⊥u u u r u u u r ，M 是BC 中点

（1）若

||||

AB AC =u u u r u u u r ，求向量

2AB AC

+u u u r u u u r 与向量2AB AC

+u u u r u u u r 的夹角的余弦值；

（2）若O 是线段AM 上任意一点，且

||||2

AB AC ==u u u r u u u r

OA OB OC OA

+u u u r u u u r u u u r u u u r g g 的最小值；

（3）若点P 是BC 边上的一点，且22

AP AC AP AB ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，||2

AP =uuu r ，

求||

AB AC AP ++u u u r u u u r u u u r

的最小值.

13.如图，在直角△ABC 中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值.