平面向量与三角函数教案

合集下载

八年级数学认识三角函数和平面向量课程的优秀教案范本

八年级数学认识三角函数和平面向量课程的优秀教案范本

八年级数学认识三角函数和平面向量课程的优秀教案范本一、引言本教案旨在帮助八年级学生全面认识三角函数和平面向量的概念和应用。

通过清晰明了的教学目标,以及多种交互式教学方法,旨在激发学生的学习兴趣,提高他们的数学思维能力和问题解决能力。

二、教学目标1. 了解三角函数的基本概念和定义;2. 掌握三角函数的常用性质和计算方法;3. 熟练运用三角函数解决实际问题;4. 理解平面向量的概念和性质;5. 能够进行向量的加减运算,并解决与向量相关的几何问题;6. 通过课堂练习和小组合作,培养乐于思考和合作的学习态度。

三、教学内容1. 三角函数的基本概念与定义a. 角度与弧度制的转换b. 正弦、余弦、正切等三角函数的定义c. 三角函数图像的性质2. 三角函数的性质和计算方法a. 周期性与对称性b. 三角函数的值域和定义域c. 三角函数的基本计算方法3. 三角函数的应用a. 角度的解法与应用b. 三角函数解决几何问题c. 三角函数与实际问题的联系4. 平面向量的概念与性质a. 平面向量的定义与表示b. 平行向量、共线向量和零向量的性质c. 向量的模长和方向角的计算5. 平面向量的运算与应用a. 向量的加减法b. 数量积和向量积的定义与计算c. 几何问题中的向量应用四、教学方法1. 导入:通过引发学生的兴趣,提出与三角函数和平面向量相关的实际问题,激发他们的思考和探索欲望。

2. 讲解:采用板书、示意图和多媒体等多种形式,对三角函数和平面向量的概念、性质和计算方法进行详细讲解,并提供实例进行演示。

3. 练习:组织学生进行课堂练习和小组合作,巩固所学内容,培养学生的合作能力和问题解决能力。

4. 探究:引导学生通过实例和问题的探究,深入理解三角函数和平面向量的应用,并锻炼学生的数学思维能力。

5. 总结:对本节课所学内容进行总结归纳,明确重点和难点,并进行重点复习和强化训练。

五、教学评估1. 在课堂练习中对学生的基础知识和应用能力进行评估;2. 通过小组合作和讨论,评估学生的合作能力和问题解决能力;3. 通过个人作业和考试来全面评估学生对三角函数和平面向量的掌握程度。

三角函数与平面向量-精选教学文档

三角函数与平面向量-精选教学文档

三角函数与平面向量简介:三角函数与平面向量三角函数的图象与性质1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质;会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象;掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质.2. 高考试题中,三角函数题相对比较传统,位置靠前,通常是以简单题形式出现.因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性,特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等).3. 三角函数是每年高考的必考内容,多数为基础题,难度属中档偏易.这几年的高考中加强了对三角函数定义、图象和性质的考查.在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法,如函数法、待定系数法、数形结合法等的训练.1. 函数y=2sin2-1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数.2.函数f(x)=-cosx在[0,+∞)内的零点个数为________.3.函数f(x)=2cos2x+sin2x的最小值是________.4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sinx,则f的值为________.【例1】设函数f(θ)=sinθ+cosθ,其中角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π.(1) 若点P的坐标是,求f(θ)的值;(2) 若点P(x,y)为平面区域上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f(θ)的最小值和最大值.【例2】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示.(1) 求f(0)的值;(2) 若0<φ<π,求函数f(x)在区间上的取值范围.【例3】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<& phi;<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.(1) 求f的值;(2) 将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.【例4】已知函数f(x)=2sin2-cos2x-1,x∈R.(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 若h(x)=f(x+t)的图象关于点对称,且t∈(0,π),求t的值;(3) 当x∈时,不等式|f(x)-m|<3恒成立,求实数m的取值范围.1. (2019·江西)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=-,则y=________.2.(2019·全国)函数f(x)=sin-2sin2x的最小正周期是________.3.(2009·全国)函数y=sincos的最大值为________.4.(2019·广东)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,则f(x)的单调递增区间是________.(2019·四川)已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).(1) 求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;(2) 若f(x0)=,x0∈,求cos2x0的值.5.(2009·福建)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,|φ|<.(1) 若coscosφ-sinπsinφ=0,求φ的值;(2) 在(1)的条件下,若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,求函数f(x)的解析式;并求最小正实数m,使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数.(2009·重庆)(本小题满分13分)设函数f(x)=sin-2cos2+1.(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求当x∈时,y=g(x)的最大值.解:(1) f(x)=sinxcos-cosxsin-cosx=sinx-cosx(3分)=sin,(5分)故f(x)的最小正周期为T ==8.(7分)(2) (解法1)在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于x=1的对称点为(2-x,g(x)).由题设条件,点(2-x,g(x))在y=f(x)的图象上,从而g(x)=f(2-x)=sin=sin=cos.(10分)当0≤x≤时,≤x+≤,因此y=g(x)在区间上的最大值为g(x)max=cos=.(13分)(解法2)因区间关于x=1的对称区间为,且y=g(x)与y=f(x)的图象关于x=1对称,故y=g(x)在上的最大值为y=f(x)在上的最大值,由(1)知f(x)=sin,当≤x≤2时,-≤x-≤,因此y=g(x)在上的最大值为g(x)max=sin=.(13分)第7讲三角函数的图象与性质1. 若【答案】-8 解析:令tanx=t∈(1,+∞),y=,y′(t)=得t=时y取最大值-8.2. 已知函数f(x)=2cos2x+sin2x.(1) 求f的值;(2) 求f(x)的最大值和最小值.解:(1) f=2cos+sin2=-1+=-.(2) f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)=3cos2x-1,x∈R.因为cosx∈[-1,1],所以当cosx=±1时,f(x)取最大值2;当cosx=0时,f(x)取最小值-1.基础训练1. π 奇解析:y=-cos=-sin2x.2. 1 解析:在[0,+∞)内作出函数y=,y=cosx的图象,可得到答案.3. -+1 解析:f(x)=2cos2x+sin2x=sin+1.4. - 解析:f=f=f=sin=-.例题选讲例1 解:(1) 根据三角函数定义得sinθ=,cosθ=,∴ f(θ)=2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ=,从而求出 f(θ)=2).(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤,f(θ)=sinθ+cosθ=2sin,∴θ=0,f(θ)min=1;θ=,f(θ)max=2.(注:注意条件,使用三角函数的定义; 一般情况下,研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时,常可以先将函数化简变形为y=Asin(ωx+φ)的形式) 例2 解:(1)由题图可知:A=,=π-=,ω=2,2×+φ=2kπ+,φ=2kπ+,k∈Z,f(0)=sin=.(2) φ=,f(x)=sin.因为0≤x≤,所以≤2x+≤π,所以0≤sin≤1.即f(x)的取值范围为[0,].(注:本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y=Asin(ωx+φ)的图像与性质以及诱导公式,运用数形结合思想,属于中档题)变式训练已知A为△ABC的内角,求y=cos2A+cos2的取值范围.解: y=cos2A+cos2=+=1++=1+=1+cos.∵ A为三角形内角,∴ 0∴ y=cos2A+cos2的取值范围是.例3 解:(1)f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) =2=2sin.因为f(x)为偶函数,所以对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,因此sin=sin.即-sinωxcos+cosωxsin=sinωxcos+cosωxsin,整理得sinωxcos=0.因为ω>0,且x∈R,所以cos=0.又因为0<φ<π,故φ-=.所以f(x)=2sin=2cosωx.由题意得=2×,所以ω=2.故f(x)=2cos2x.因此f=2cos=.(2) 将f(x)的图象向右平移个单位后,得到f的图象,所以g(x)=f=2cos=2cos.当2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z),即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减,因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).例4 解:(1)函数可化为f(x)=-cos-cos2x=2sin,故f(x)的最小正周期为π.(2) h(x)=2sin.令2×+2t-=kπ,k∈Z.又t∈(0,π),故t=或.(3) 当x∈时,2x-∈, ∴f(x)∈[1,2].|f(x)-m|<3,即f(x)-3变式训练设函数f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4,x∈R,其中|t|≤1,将f(x)的最小值记为g(t).(1) 求g(t)的表达式;(2) 讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.解:(1) f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4=sin2x-2tsinx+4t3+t2-3t+3=(sinx-t)2+4t3-3t+3.由于(sinx-t)2≥0,|t|≤1,故当sinx=t时,f(x)达到其最小值g(t),即g(t)=4t3-3t+3.(2) g′(t)=12t2-3=3(2t+1)(2t-1),-1列表如下:tg′(t)g(t)极大值极小值由此可见,g(t)在区间和上单调增,在区间上单调减,极小值为g=2,极大值为g=4.高考回顾1. —8 解析:sinθ==-,解得y=-8或8(舍).2. π 解析:f(x)=sin-2sin2x=sin-.3. 解析: y=cosx=sin+.4. ,k∈Z 解析:f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)=2sin.∵ 周期为π,∴ ω=2,∴f(x)=2sin.2kπ-≤2x+≤2kπ+,即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.5. 解: (1) 由f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1,得f(x)=(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=sin2x+cos2x=2sin.所以函数的最小正周期为T==π.因为x∈,所以2x+∈.所以2x+∈,即x∈时,函数f(x)为增函数,而在x∈时,函数f(x)为减函数,所以f=2sin=2为最大值,f=2sin=-1为最小值.(2) 由(1)知,f(x0)=2sin.又由已知f(x0)=,则sin=.因为x0∈,则2x0+∈.因此cos<0,所以cos=-,于是cos2x0=cos,=coscos+sinsin=-×+×=.6. 解:(1) 由coscosφ-sinπsinφ=0得coscosφ-sinsinφ=0即cos=0,又|φ|<,∴ φ=.(2) 由(1)得f(x)=sin,依题意,=,又T=,故ω=3,∴ f(x)=sin,函数的图像向左平移m个单位后对应的函数为g(x)=sin,g(x)是偶函数,当且仅当3m+=kπ+(k∈Z),即m=+(k∈Z),从而最小正实数m=.。

三角函数的定义及应用教学教案(优秀4篇)

三角函数的定义及应用教学教案(优秀4篇)

三角函数的定义及应用教学教案(优秀4篇)(经典版)编制人:__________________审核人:__________________审批人:__________________编制单位:__________________编制时间:____年____月____日序言下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改,请根据实际需要进行调整和使用,谢谢!并且,本店铺为大家提供各种类型的经典范文,如总结报告、心得体会、策划方案、合同协议、条据文书、竞聘演讲、心得体会、教学资料、作文大全、其他范文等等,想了解不同范文格式和写法,敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as summary reports, insights, planning plans, contract agreements, documentary evidence, competitive speeches, insights, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you want to learn about different sample formats and writing methods, please stay tuned!三角函数的定义及应用教学教案(优秀4篇)EXcel中经常需要使用到三角函数进行计算,三角函数具体该如何使用呢?读书破万卷下笔如有神,以下内容是本店铺为您带来的4篇《三角函数的定义及应用教学教案》,希望朋友们参阅后能够文思泉涌。

山东乐陵一中2015高三上数学教案:平面向量与三角函数的综合

山东乐陵一中2015高三上数学教案:平面向量与三角函数的综合

【学习目标】 1.掌握三角函数及正、余弦定理. 2.能进行向量的坐标运算.3. 向量与三角函数交汇创新是近年高考命题的热点,主要涉及三种情形:①以向量为载体,考查三角变换与求值; ②向量与解三角形交汇求边与角;③以三角函数表示向量坐标,研究向量运算及性质.【重点难点】重点 :(1)三角函数与向量的交汇;(2)解三角形与向量的交汇;。

难点 :先利用向量进行转化,再利用三角函数的知识求解【自我检测】1. 已知向量a =(2,sin x ),b =(cos 2x,2cos x ),则函数f (x )=a·b 的最小正周期是( )A.π2 B .π C .2π D .4π2. 已知a ,b ,c 为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,m =(3,-1),n =(cos A ,sin A ).若m ⊥n ,且a cos B +b cos A =c sin C ,则角A ,B 的大小分别为( ) A.π6,π3 B.2π3,π6 C.π3,π6 D.π3,π33. 已知函数f (x )=sin x -cos x ,且f ′(x )=2f (x ),f ′(x )是f (x )的导函数,则1+sin 2x cos 2x -sin 2x=________. 4. 设向量a =(3sin x ,sin x ),b =(cos x ,sin x ),x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2. (1)若|a|=|b|,求x 的值;(2)设函数f (x )=a b →→⋅,求f (x )的最大值.5. 设a =(cos α,(λ-1)sin α),b =(cos β,sin β),⎝⎛⎭⎫λ>0,0<α<β<π2是平面上的两个向量,若向量a +b 与a -b 互相垂直.(1)求实数λ的值;(2)若a ·b =45,且tan β=43,求tan α的值.【合作探究】例1:已知向量(3)OP→=,4,绕原点逆时针旋转45°到OP →'的位置,求点()P x y ''', 的坐标.【变式训练】已知向量(4)OP→=,3,绕原点旋转-60°到OQ →的位置,求点()Q x y '',的坐标.例3. 在△ABC 中,BC=2,.(1)求AB AC →→⋅;(2)设(1)(0)BP BA BC λλλ→→→=-+>,当△ABP 时,求λ的值.【变式训练】在△ABC 中,已知AB →·AC →=3BA →·BC →.(1)求证:tan B =3tan A ;(2)若cos C =55,求A 的值知识总结方法总结【达标检测】1.已知向量OB →=(2,0),向量OC →=(2,2),向量CA →=(2cos α,2sin α),则向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0,π4B.⎣⎡⎦⎤π4,512πC.⎣⎡⎦⎤512π,π2D.⎣⎡⎦⎤π12,512π 2.已知向量a =(cos α,sin α),b =(2,3),若a ∥b ,则sin 2α-sin 2α的值等于A .-513B .-313 C.313 D.5133.已知a ,b ,c 为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,向量m =(3,-1),n =(cos A ,sin A ).若m⊥n ,且a cos B +b cos A =c sin C ,则角A ,B 的大小分别为A.π6,π3B.2π3,π6C.π3,π6D.π3,π34.已知O 为坐标原点,对于函数f (x )=a sin x +b cos x ,称向量OM →=(a ,b )为函数f (x )的伴随向量,同时称函数f (x )为向量OM →的伴随函数.(1)设函数g (x )=sin(π2+x )+2cos(π2-x ),试求g (x )的伴随向量OM →的模; (2)记ON →=(1,3)的伴随函数为h (x ),求使得关于x 的方程h (x )-t =0在⎣⎡⎦⎤0,π2内恒有两个不相等实数解的实数t 的取值范围.【选做题】5.已知向量m =⎝⎛⎭⎫3sin x 4,1,n =⎝⎛⎭⎫cos x 4,cos 2x 4. (1) 若m·n =1,求cos ⎝⎛⎭⎫2π3-x 的值; (2)记f (x )=m·n ,在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且满足(2a -c )cos B =b cos C ,求函数f (A )的取值范围.6.△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c 且2sin 2A +B 2+cos2C =1. (1)求角C 的大小;(2)若向量m =(3a ,b ),向量n =(a ,-b 3),m ⊥n ,(m +n )·(m -n )=16,求a ,b ,c 的值.。

(完整版)向量与三角,不等式等知识综合应用

(完整版)向量与三角,不等式等知识综合应用

第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用常熟市中学 蔡祖才一、高考要求平面向量与三角函数、不等式等知识的综合应用是高考的主要考查内容之一.掌握向量的几何表示、向量的加法与减法和实数与向量的积,掌握平面向量的坐标运算、平面向量的数量积极其几何意义,掌握向量垂直的条件,并且能熟练运用,掌握平移公式.注重等价转化、分类讨论等数学思想的渗透. 二、考点解读考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识,考查推理和运算能力.考查平面向量的概念和计算,三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能,着重考查数学运算能力.平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一. 三、课前训练1.把曲线y cos x +2y -1=0先沿x 轴向右平移2π个单位,再沿y 轴向下平移1个单位,得到的曲线方程是 ( )(A)(1-y )sin x +2y -3=0 (B)(y -1)sin x +2y -3=0 (C)(y +1)sin x +2y +1=0 (D) -(y +1)sin x +2y +1=02.函数y =sin x 的图象按向量a =(32π-,2)平移后与函数g (x )的图象重合,则g (x )的函数表达式是 ( ) (A )cos x -2 (B )-cos x -2 (C )cos x +2 (D )-cos x +23.已知向量a = (1,sin θ),b = (1,cos θ),则 | a - b | 的最大值为.4.如图,函数y =2sin(πx+φ),x ∈R,(其中0≤φ≤2π)的图象与y 轴交于点(0,1). 设P 是图象上的最高点,M 、N 是图象与x 轴的交点,则PM PN u u u u r u u u r与的夹角余弦值为 .四、典型例题例1 已知a =(3sin ωx ,cos ωx ),b =(cos ωx ,cos ωx )(ω>0),记函数f (x )= a · b ,且f (x )的最小正周期是π,则ω= ( )(A) ω=1 (B) ω=2 (C) 21=ω ( D) 32=ω 例2 在△OAB 中,O 为坐标原点,]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ,则△OAB 的面积达到最大值时,=θ ( )(A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π例3 设向量a r =(sin x ,cos x ),b r =(cos x ,cos x ),x ∈R ,函数f(x)=a r ·(a r +b r).使不等式f (x )≥23成立的x 的取值集合为 .例4 在△ABC 中,O 为中线AM 上的一个动点,若AM =2,则()OA OB OC ⋅u u u r u u u r u u u r+的最小值是 .例5 已知函数f (x )=a +b sin2x +c cos2x 的图象经过点A (0,1),B (4π,1),且当x ∈[0, 4π]时,f (x )取得最大值22-1.(Ⅰ)求f (x )的解析式;(Ⅱ)是否存在向量m ,使得将f (x )的图象按向量m 平移后可以得到一个奇函数的图象?若存在,求出满足条件的一个m ;若不存在,说明理由.例6 已知向量m =(cos ,sin )θθ和n =sin ,cos ),(,2)θθθππ∈,且| m + n |=,5求cos()28θπ+的值.第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 过关练习1.已知i r ,j r 为互相垂直的单位向量,2a i j =-r r r ,b i j λ=+r r r ,且||||a b r r与的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是( )(A )),21(+∞ (B ))21,2()2,(-⋃--∞ (C )),32()32,2(+∞⋃- (D ))21,(-∞2.在直角坐标系中,O 是原点,OQ =(-2+cos θ,-2+sin θ) (θ∈R),动点P 在直线x =3上运动,若从动点P 向Q 点的轨迹引切线,则所引切线长的最小值为 ( )(A ) 4 (B ) 5 (C ) 26 (D )263.已知||2||0a b =≠r r ,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=r r r 有实根,则a r 与b r 的夹角的取值范围是 ( )(A )[0,6π] (B )[,]3ππ (C )2[,]33ππ (D )[,]6ππ 4.设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=u u u r u u u r,若OP AB PA PB ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r,则实数λ的取值范围是 ( )(A )112λ≤≤ (B )11λ-≤≤(C )1122λ≤≤+ (D )1122λ-≤≤+ 5. 已知向量a r =(cos α,sin α),b r =(cos β,sin β),且a b ≠±r r ,那么a b +r r 与a b-r r的夹角的大小是 .6. 已知向量].2,0[),2sin ,2(cos ),23sin,23(cos π∈-==x x x x x 且若||2)(x f +-⋅=λ的最小值为32-,则λ的值为 .7.已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角,向量(m =-u r(cos ,sin ),n A A =r 且 1.m n ⋅=u r r(Ⅰ)求角A ; (Ⅱ)若221sin 23cos sin BB B+=--,求tanC . 8.设函数f (x )=a b ⋅r r ,其中向量a r =(2cos x ,1),b r=(cos x ,3sin2x ),x ∈R .(Ⅰ)若f(x)=1-3且x ∈[-3π,3π],求x ; (Ⅱ)若函数y =2sin2x 的图象按向量c r =(m ,n )(|m |<2π)平移后得到函数y =f (x )的图象,求实数m 、n 的值.第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 参考答案课前训练部分1.C2.D3.4.1517典型例题部分例1 A例2 1111sin cos (1cos )(1sin )222ABC S θθθθ∆=----- 当2θπ=即2πθ=时,面积最大.例3 3,88x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭例4 如图,OM OA OC OB OA -≥-=⋅⋅=+⋅2)(=.222-=⋅- 即)(+⋅的最小值为:-2.例5 (Ⅰ)由题意知⎩⎨⎧=+=+,1,1b a c a ∴b =c =1-a , ∴f (x )=a +2(1-a )sin(2x +4π).∵x∈[0,4π], ∴2x +4π∈[4π,4π3].当1-a >0时,由a +2(1-a )=22-1, 解得a =-1; 当1-a <0时, a +2(1-a )·22=22-1,无解; 当1-a =0时,a =22-1,相矛盾. 综上可知a =-1. ∴f (x )=-1+22sin(2x +4π). (Ⅱ)∵g (x )=22sin2x 是奇函数,将g (x )的图象向左平移8π个单位,再向下平移一个单位就可以得到f (x )的图象. 因此,将f (x )的图象向右平移8π个单位,再向上平移一个单位就可以得到奇函数g(x )=22sin2x 的图象.故m u r =(8π,1)是满足条件的一个向量.例6 (cos sin sin )m n θθθθ+=-++u r rm n +=u r r由已知m n +=u r r ,得7cos()425πθ+=又2cos()2cos ()1428πθπθ+=+- 过关练习部分1.B2.C3.B4.B 5、2π6. 217(Ⅰ)∵1m n ⋅=u r r∴(()cos ,sin 1A A -⋅= cos 1A A -=12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-= ∴3A π= (Ⅱ)由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--,整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=,舍去 ∴tan 2B =8.(Ⅰ)依题设可知,函数的解析式为f (x )=a b ⋅r r =2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +6π).由1+2sin(2x +6π)=1-3,可得三角方程sin(2 x +6π)=-23.∵-3π≤x ≤3π,∴-2π≤2x +6π≤65π,∴2x +6π=-3π,即x =-4π. (Ⅱ)函数y =2sin2x 的图象按向量c r=(m ,n )平移后得到函数y =2sin2(x -m )+n 的图象,即函数y =f(x)的图象.由(1)得 f(x)=2sin2(x +12π)+1. ∵|m |<2π,∴12m π=-, 1.n =。

平面向量在三角函数中的应用(教案)

平面向量在三角函数中的应用(教案)

3平面向量在三角函数中的应用(教案)教学目标:1•知识与技能:平面向量知识与三角函数知识的整合,初步掌握平面向量在三角函数中 的运用• 2•过程与方法:回顾必修 4所学知识,研究“整合”例题,找到解题思路,会做一点基 础题目,体会向量的工具特点 •3•情感态度与价值观:培养学生的推理能力和运算能力 •在探索过程中,动手动脑,获得 成功的体会,树立学好数学的自信心 •教学重点:平面向量知识与三角函数知识整合教学难点:学生熟记平面向量知识与三角函数知识的基础上,如何应用解题教学方法:学案教学•教学过程:一. 复习:平面向量部分知识点填空:f —1. 设 a = (x i , y i ), b = (X 2, y 2),贝U a • b = _____________ .i — 2. 设a = (x i , y i ), b = (x 2, y ),其中b 丸,当且仅当 _______________ 时,向量a 、b 共线.—b—w «—»3. 设 a = (x , y ),贝U|a I 2 = ___________ , I a I = ___________ .—Ir —h- ―H f 4. _________________________________________________ 设 a = (x i , y i ), b = (x 2, y 2),贝U a 丄 b _____________________________________ .二. 例题分析:例:已知 a = (sinx , cosx ), (1) 若 a // b ,求 cos2x 的值.(2) 若a 丄b ,求符合条件的x 组成的集合(3) 设c = (2 , 0),求I a + c I 的最大值 (4)设 f (x ) = a • b : ,求 f (x ) 的最小正周期和递减区间解: (i ) —* —r •/ a //b ,/• sinx • si nx — cosx i • cosx = 0 2••• si n^ —cos 2x2i 2 i sin x =— 3 ,coHx =- 3 由 sin 2x+cos 2x = i , 可知• cos2x =cos 2x — sii n 2x= ib = ( cosx , 2sinx ), x € R.(2)T a 丄 b ,•一匚• 1 3 3--a • b = sinx • cosx +cosx • sinx = sinx • cosx= —sin2X =02 2 4 /• sin 2x=0 • 2x=k n , k € Zk --x= 2 k € Zk•••符合条件的x 的组成的集合为{x I x=一 , k € Z }2(a + c ) 2=( sinx+2 ) 2+cos 2x2 2=sin x+4sinx+4+cos x =5+4s inx(a + c ) 2的最大值为 5+4=9. 2 2 3解得 一 + k nW x < + k n, k € Z4 4 3 二 f (x )的递减区间为[一+ k n, + k n ] ( k € Z )4 4 三. 课堂练习:1. 设 a = (sinx , cosx ), b = (cosx , sinx ), x € R ,若 a // b ,求 cos 2x 的值.2. 设 a = (sinx , 2), b = (3, cosx ), x € R ,若 a 丄 b ,求 tanx 的值.3. 若 a = (sinx , cosx — 2), x € R ,求 |a | 的最小值,4. 设函数 f (x ) = a • b ,其中 a = (1, . 3 ), b = (sinx , cosx ), x € R.求函数 f (x ) 的最小正周期和最大值(3) a + c =( sinx , cosx ) + (2, 0) = (sinx+2 , cosx )• I a + c I 的最大值为 3.(4)由第(2)题可知: —r -b — 3f (x ) = a 2T — — sin2x ,4 2 = -f (x )的最小正周期为 二 n . 2•正弦函数的递减区间为 [ — +2 k n , 3+2 k n ] (k € Z ),2 2 •在函数f (x )中:令-+2 k nW 2x W 3 +2 k n , k € Z2四•小结:这节课你有哪些感想?五•课后作业:(2)若x € [——,0],求函数f (x )的值域.4六.板书设计:1.已知 a = (cos2x , sinx ), b = (1, 2sinx — 1), x € (2 7t 的值.3.设函数 f (x ) = a • b ,其中 a = (2cosx , 1), b = (cosx , (1)求函数f (x )的单调递减区间. a • b =.求 tan (x+ ) 5 4 -73 sin2x ), x €R.。

三角函数与平面向量

三角函数与平面向量

第二部分三角函数与平面向量一、知识框图:二、基础知识要点剖析:1、与角α终边相同的角的集合{}Z k k ∈+=,2|απββ; 十六条终边所对应的角能记住吗?集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k k ,3|ππγγ表示怎样的终边的角?区分锐角、小于090的角、090~0的角、钝角、对顶角、区域角、区间角、象限角等。

2、弧长公式:||l R α=,扇形面积公式:211||22S lR R α==,1弧度(1rad)57.3≈3、三角函数的定义(r y x ,,三个量的比值):r y =αsin ,r x =αcos ,)0(tan ≠=x xyα。

㈠任意角的三角函数值在各个象限的符号知道吗?特别是特殊角的三角函数值记准了吗? ㈡正弦线、余弦线、正切线会画吗?利用它们求三角不等式很简便哦!有印象吗? ㈢常见三角不等式:(1)若(0,)2x π∈,则sin tan x x x <<,(2) 若(0,)2x π∈,则1sin cos 2x x <+≤(3) 2cos sin 1,≤+≤∈x x R x 则若.4、同角三角函数的基本关系式 :①22sin cos 1θθ+=,②ta n θ=θθcos sin ,注意公式变形:2)cos (sin cos sin 21)1(θθθθ±=±.)42sin(22cos2sinsin 1πθθθθ±=±=±2s i n 2c o s 1θθ=-, 2co s 2co s 1θθ=+(2)如t =±ααcos sin ,d =ααcos sin ,αtan 之间互相转换懂吗?知一求二:(3)若t =+ααcos sin ,则21c o s s i n 2-=t αα;12sin 2-=t α;22cos sin t -±=-αα(4)若t =ααcos sin ,则t 21cos sin +±=+αα;t 21cos sin -±=-αα.5、诱导公式分两大类:为偶数与奇数)k k(2απ±。

高中数学备课教案三角函数与向量

高中数学备课教案三角函数与向量

高中数学备课教案三角函数与向量高中数学备课教案教案主题:三角函数与向量一、教学目标1. 理解三角函数的概念及其基本性质。

2. 掌握三角函数的图像、周期性和奇偶性。

3. 熟练运用三角函数的性质解题。

4. 了解向量的概念及其基本运算法则。

5. 掌握向量的数量积、向量积和混合积运算规则。

6. 运用向量的概念和运算解决实际问题。

二、教学重点1. 三角函数的图像、周期性和奇偶性。

2. 三角函数的性质应用解题。

3. 向量的数量积、向量积和混合积运算。

三、教学内容与步骤1. 三角函数的概念与性质(1)引入三角函数的概念及其在直角三角形中的定义。

(2)介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的图像、周期性和奇偶性。

(3)解释三角函数的性质,如周期性和奇偶性,以及与角度、弧度的关系。

(4)练习三角函数的基本应用题目。

2. 三角函数的性质解题(1)介绍解三角函数性质题目的一般步骤和技巧。

(2)给出一些常见的三角函数性质题目,包括角度的变化范围、正负值和函数值的关系等。

(3)分析和解答具体的三角函数性质题目,帮助学生掌握解题方法和技巧。

3. 向量的概念与基本运算(1)引入向量的概念,包括向量的表示、向量的模和单位向量的概念。

(2)介绍向量的加法和减法,并给出几个具体的例题进行演示。

(3)练习向量的基本运算题目。

4. 向量的数量积与向量积(1)介绍向量的数量积的定义和运算规则,并解释其几何意义。

(2)引入向量的向量积的概念,包括向量积的定义和运算规则。

(3)给出一些具体的数量积和向量积的问题,引导学生理解和运用。

5. 向量的混合积与实际问题的应用(1)解释向量的混合积的概念和运算规则。

(2)通过实际问题引导学生运用向量的混合积解决几何及物理问题。

(3)练习向量混合积的应用题目。

四、教学方法1. 讲授:通过讲解理论知识,解答学生疑问,帮助学生掌握概念和性质。

2. 演示:通过具体的例题演示解题过程,让学生了解解题思路和方法。

3. 思考:组织学生进行思考和讨论,培养学生独立解决问题的能力。

2019-2020学年高考数学一轮复习-第2讲-平面向量、解三角形教学案

2019-2020学年高考数学一轮复习-第2讲-平面向量、解三角形教学案

2019-2020学年高考数学一轮复习 第2讲 平面向量、解三角形教学案【学习目标】(1)正弦定理、余弦定理及其应用(B 级)(2)处理与三角形有关的三角综合问题,除正确运用好正弦定理、余弦定理、面积公式及己知的三角函数关系式外,对隐含的很多条件,如三角函数的定义、三角形的内角和、诱导公式、勾股定理,向量有关知识等等,都要综合考虑,这样才能有效的解决问题【知识要点】1.已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角是θ,则有a =⋅b __________,其中夹角θ的取值范围是________,规定=⋅a 0___ _;向量的数量积的结果是一个_____ _ 2.平面向量数量积的坐标表示: 已知),,(),,(2211y x b y x a ==则=⋅b a _____ ________;记a 与b 的夹角为θ,则=θcos _____________ __=||a ___ __ ____3.向量的平行的充要条件:设),(11y x a =,),(22y x b =,且0≠a ,则⇔b a // ⇔4.两非零向量垂直的充要条件:设),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a _____ __5.正弦定理: .6.余弦定理:第一形式:=2a ,第二形式: =A cos7.三角形的面积公式【自主学习】1. (必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6,-3),b =(2,x +1),若a ⊥b ,则实数x = .2. (必修4 P80例5改编)已知向量a =(1,0),b =(2,1),则当k = 时,向量k a -b 与a +3b 平行.3. (必修5 P10习题4改编)在△ABC 中,已知b a a +=sin sin -sin B B A , 且2sin Asin B=2sin 2C ,则△ABC 的形状为4. (必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a =7,b =43,c =13,则△ABC 最小的内角为 .【课堂探究】例1 (2015·江苏卷)在△ABC 中,已知AB=2,AC=3,角A=60°.(1) 求BC 的长;(2) 求sin 2C 的值.例2 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sin2sin-sinCA C=222222----b a cc a b.(1) 求角B的大小;(2) 设T=sin2A+sin2B+sin2C,求T的取值范围.例3 (2015·陕西卷)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,3b)与n=(cos A,sin B)平行.(1) 求角A的大小;(2) 若a7b=2,求△ABC的面积.【针对训练】1. (2015·安徽卷)在△ABC中,已知6A=75°,B=45°,则AC= .2. (2015·南京调研)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a+2c=2b,sin B=2sin C,则cos A= .3. (2014·常州期末)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tanA=7tanB,22 -a bc=3,则c= . 【巩固提升】1. 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|=2. (2015·苏锡常镇宿一调)如图,在平行四边形ABCD中,E为DC的中点,AE与BD交于点M,AB=2,AD=1,且MA·MB=-16,则AB·AD= .3. (2015·福建卷)在△ABC中,若AC=3,A=45°,C=75°,则BC= .4.(2015·镇江期末)已知△ABC的面积为S,且AB·AC=2S.(1) 求sin A的值;(2) 若|AB|=3,|AB-AC|=23,求sin B的值.5. (2015·苏北四市)已知向量a=(1,2sin θ),b=πsin13θ⎛⎫⎛⎫+⎪⎪⎝⎭⎝⎭,,θ∈R.(1) 若a⊥b,求tan θ的值;(2) 若a∥b,且θ∈π2⎛⎫⎪⎝⎭,,求θ的值.。

三角函数、解三角形与平面向量教学案

三角函数、解三角形与平面向量教学案

1 教学课题:三角函数 、解三角形 课时规划:4 教学目标:掌握三角函数的化简、三角函数图形的变换,解三角形。

教学重点:三角函数的图像性质运用,解三角形中正余弦定理的运用 教学难点:解三角形 教学过程一、知识链接(包括学情诊断、知识引入和过渡)1. 复习三角函数诱导公式,倍角公式,两角和差的正余弦公式,三角函数图像变换等知识点。

2.复习三角形正弦定理,余弦定理,在一定区间内求值域的方法等。

3.向量的概念、向量有关的计算;向量垂直于平行的应用。

二、名题探究(包括精讲、例题、跟进练习题) 例1 下列函数中,周期为,且在上为减函数的是_________.A .B .C .D .例2 设函数)(),0)(2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x .(10分)(1) 求;ϕ(2) 求函数y=f(x),x []ππ,-∈的单调增区间. 例3、中,三内角成等差数列,则的最大值为 ( )A .B .C .D .2 例4、 函数的图象大致是例5 已知平面向量,的夹角为60°,,,则——————————————例6 △ABC 中内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,向量m =(2sin B ,-),n =(cos2B,2cos 2-1),且m ∥n .(1)求锐角B 的大小;(2)如果b =2,求S △ABC 的最大值.三、易错题点拨(找几个易错的例题讲解,包括疑难辨析,跟进练习) 例1 若函数)2sin()(ϕ+=x x f 的图像沿x 轴向左平移8π个单位,得到一个偶函数的图像,则ϕ的一个可能取值为( )(A )43π (B )4π (C )0 (D )4π-例2 函数x x x y sin cos +=的图象大致为y = f (x )(A)3 四、拓展练习(题目题型训练)1. 设ABC ∆的三个内角为A,B,C1cos()m n A B ⋅=++,则C 等于( )2. 设ABC ∆的内角,,,A B C 所对的边为,,,a b c 且76,2,c o s .9a cb B +===()I 求,a c 的值;()I I 求()sin A B -的值。

平面向量与三角函数之间的联系

平面向量与三角函数之间的联系

而 tn = 1 C SB s = , 去 。 . a B 2 a B 一 使 O — i B 0 舍 n ・ n= 。 . t



tn a C=tn【T A+B1 a 叮—f ]
二 三 角 函数 与 向量 的数 量 积 、 模
= tnA B 一a( + )


例 .知 量=i,,(。)手 0 2 向 is 1 =,e一 <手。 已 (e 1s, < n) c
三 角 函数 与 向 量 的平 移
例 1 函 数 y s m (> ) 0 n o :~ ) 平

移后 的 图象 如 图所 示 ,则平 移 后 的罔 象所 对 应 函数 的 解 析 式是
( ) 。
(I) n l.(1 、 3 ) cs s A = , 、 3 s A— ‘m・ = ,. , / ・ oA,n ) l 即 / i . _一 i n
cs o A=l。
A s ( ) ix n+ cy s ( + ) . i2 = n x j
By s ( ・ ix ' = n 一l T Dy s (x ) . i 2一 =n
2n 一s争),( = ( ’ c ・ =sA ) s i A 。 A ln 。 i一
关键 词 : 学 平 面 向量 数
【 中图分类号】G6 36 3,
【 文献标识码】C
【 文章编号 】6 1 8 3 (0 00 — 0 3 — 1 17 — 4 72 1 )3 0 1 4 0
( 求角 A I)
考 查 平 面 向量 和 三 角 函数 的图 象 和 性 质 相 结 合 的题 目, 是 高考 的 热点 题 型 。此类 题 目要 求 考生 在 熟 练 掌握 平 面 向量 和 三 角 函数 图象 的基 础 上 ,要 对 平 面 向量 和 三 角 函数 的性 质 灵 活 运 用 , 用 数 形结 合 的 思想 来 解 题 。 会

《平面向量》优秀说课稿(通用3篇)

《平面向量》优秀说课稿(通用3篇)

《平面向量》优秀说课稿(通用3篇)作为一位不辞辛劳的人民教师,就不得不需要编写说课稿,通过说课稿可以很好地改正讲课缺点。

那么什么样的说课稿才是好的呢?下面是小编为大家整理的《平面向量》优秀说课稿(通用3篇),希望对大家有所帮助。

《平面向量》说课稿1一、说教材平面向量的数量积是两向量之间的乘法,而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。

本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上,介绍了平面向量数量积的坐标表示,平面两点间的距离公式,和向量垂直的坐标表示的充要条件。

为解决直线垂直问题,三角形边角的有关问题提供了很好的办法。

本节内容也是全章重要内容之一。

二、说学习目标和要求通过本节的学习,要让学生掌握(1):平面向量数量积的坐标表示。

(2):平面两点间的距离公式。

(3):向量垂直的坐标表示的充要条件。

以及它们的一些简单应用,以上三点也是本节课的重点,本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。

三、说教法在教学过程中,我主要采用了以下几种教学方法:(1)启发式教学法因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较容易,所以这节课我准备让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式,然后引导学生发现几个重要的结论:如模的计算公式,平面两点间的距离公式,向量垂直的坐标表示的充要条件。

(2)讲解式教学法主要是讲清概念,解除学生在概念理解上的疑惑感;例题讲解时,演示解题过程!主要辅助教学的手段(powerpoint)(3)讨论式教学法主要是通过学生之间的相互交流来加深对较难问题的理解,提高学生的自学能力和发现、分析、解决问题以及创新能力。

四、说学法学生是课堂的主体,一切教学活动都要围绕学生展开,借以诱发学生的学习兴趣,增强课堂上和学生的交流,从而达到及时发现问题,解决问题的目的。

通过精讲多练,充分调动学生自主学习的积极性。

如让学生自己动手推导两个向量数量积的坐标公式,引导学生推导4个重要的结论!并在具体的问题中,让学生建立方程的思想,更好的解决问题!五、说教学过程这节课我准备这样进行:首先提出问题:要算出两个非零向量的数量积,我们需要知道哪些量?继续提出问题:假如知道两个非零向量的坐标,是不是可以用这两个向量的坐标来表示这两个向量的数量积呢?引导学生自己推导平面向量数量积的坐标表示公式,在此公式基础上还可以引导学生得到以下几个重要结论:(1)模的计算公式(2)平面两点间的距离公式。

高中数学平面向量教案(精选6篇)

高中数学平面向量教案(精选6篇)

高中数学平面向量教案(精选6篇)为大家收集的高中数学平面向量教案,欢迎阅读,希望大家能够喜欢。

高中数学平面向量教案精选篇1教学目标1、了解基底的含义,理解并掌握平面向量基本定理。

会用基底表示平面内任一向量。

2、掌握向量夹角的定义以及两向量垂直的定义。

学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算,如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等;另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。

如:力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等,都为学习这节课作了充分准备重点难点重点:对平面向量基本定理的探究难点:对平面向量基本定理的理解及其应用教学过程4.1第一学时教学活动活动1【导入】情景设置火箭在升空的某一时刻,速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度v=vx+vy=6i+4j。

活动2【活动】探究已知平面中两个不共线向量e1,e2,c是平面内任意向量,求向量c=___e1+___e2(课堂上准备好几张带格子的纸张,上面有三个向量,e1,e2,c)做法:作OA=e1,OB=e2,OC=c,过点C作平行于OB的直线,交直线OA于M;过点C作平行于OA的直线,交OB于N,则有且只有一对实数l1,l2,使得OM=l1e1,ON=l2e2。

因为OC=OM+ON,所以c=6 e1+6e2。

向量c=__6__e1+___6__e2活动3【练习】动手做一做请同学们自己作出一向量a,并把向量a表示成:a=31;31;31;31;____e1+_____(做完后,思考一下,这样的一组实数是否是唯一的呢?)(是唯一的)由刚才的几个实例,可以得出结论:如果给定向量e1,e2,平面内的任一向量a,都可以表示成a=入1e1+入2e2。

活动4【活动】思考问题2:如果e1,e2是平面内任意两向量,那么平面内的任一向量a还可以表示成a=入1e1+入2e2的形式吗?生:不行,e1,e2必须是平面内两不共线向量活动5【讲授】平面向量基本定理平面向量基本定理:如果e1,e2是平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数l1,l2,使a=l1e1+l2e2。

三角函数和平面向量

三角函数和平面向量

三角函数和平面向量三 角 函 数一、本章知识结构二、高考要求1.理解角的有关概念,并能进行弧度与角度的互换。

2.掌握三角函数的定义,掌握正弦、余弦、正切函数的图象和性质,会用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)图象。

3.掌握两角和与差的正弦、正弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、正弦、正切公式,并会用公式进行三角函数式的化简和求值、证明。

4.掌握正弦、余弦定理,并能应用解三角形。

5.掌握平面向量有关知识,如向量的坐标运算、平面向量的数量积、向量垂直的条件、夹角公式等,会用向量方法解决简单问题。

常考点:1)三角函数的定义;2)同角三角函数的基本函数关系式;3)三角函数的图象和性质;4)三角恒等变换;5)正弦、余弦定理的应用;6)解三角形;7)平面向量的概念及运算;8)平面向量的基本定理及坐标表示;9)平面向量的数量积。

易考点:1)三角函数的图象和性质;2)三角恒等变换;3)正弦、余弦定理的应用;4)解三角形;5)平面向量的基本定理及坐标表示;6)平面向量的数量积。

必考点:三角函数的图象和性质,三角恒等变换,解三角形,平面向量的数量积。

三、热点分析1.三角函数作为一种重要的基本初等函数,是中学数学的重要内容,也是高考命题的热点之一。

近几年对三角函数的要求基本未作调整,主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角与倍角公式等。

高考对三角函数与三角恒等变换内容的考查,一是设置一道或两道客观题,考查三角函数求值、三角函数图象与性质或三角恒等变换等内容;二是设置一道解答题,考查三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用,仍是探索拓展、综合应用的热点考查题型,以三角函数为载体的立意新颖的应用性试题将备受命题者的青睐,一般出现在前两个解答题的位置。

无论是客观题还是解答题,从难度来说均属于中低档题目,所占分值在20分左右,约占总分值的13.3%。

2.平面向量是连接代数与几何的桥梁,是高考的重要内容之一。

平面向量在三角函数中的应用(教学设计)

平面向量在三角函数中的应用(教学设计)

平面向量在三角函数中的应用(教学设计)
平面向量在三角函数中的应用(教学设计)
1.教学任务分析
本课时的中心任务是通过平面向量知识与三角函数知识的整合,学生体会向量的工具特点,初步掌握平面向量在三角函数中的运用对这类“跨界”例题的研究,找到解题思路,会做一点基础题目,培养学生的推理能力和运算能力.
2•教学重点、难点
重点:平面向量知识与三角函数知识整合.
难点:学生熟记平面向量知识与三角函数知识的基础上,如何应用解题.
3•教学基本流程
4•教学情景设计
问题设计意图师生活动
学生思考,并填空.教
师和学生对答案.然后教师
说明这节课将要把平面向
量在三角函数中的应用整
合研究.
1.平面向量部分知识让学生知道,本节课的内容
点填空•与平面向量有关.
让学生了解平面向量的知识。

2.观察例子,你会发现老师提问,学生提问
和三角函数知识是整合出来是什么回答.了这节课要做什
样的.么?
3.按先后顺序试试例学生根据所学知识,自己探教师巡视课堂,鼓励题中的(1)索如何入手做平面向量在三角函数学生相互讨论,把相关内(2)(3)中的应用这类整合题.容填表.希望学生能够自行(4).
完成.观察学生完成情况,
让学生轮流在黑板上做例题。

中的小问题。

如果学生困了
困难,老师可以给予指导,4.学生完成课堂练
习.
学生积累例题的解题经验,自己完成,并解决此类问题. 教师巡视课堂,及时
发现学生遇到的困难,并进行指导.。

平面向量与三角函数教案

平面向量与三角函数教案

第十讲 平面向量及其应用例1:△ABC 中,点D 在边AB 上,CD 平分∠ACB.若CB →=a ,CA →=b ,|a |=1,|b |=2,则CD →= ( ) 例题2.如图,在直角梯形ABCD 中,,1,3AB AD AD DC AB ⊥===,动点P 在BCD ∆内运动,(含边界), 设(),AP AB AD R αβαβ=+∈u u u r u u u r u u u r ,则αβ+的取值范围是 .例3.设P 是ABC ∆内一点,满足()()()21,AP x y AB y AC x y R =-+-∈u u u r u u u r u u u r.则x 的取值范围是 ..已知△ABC 中,过重心G 的直线交边AB 于P ,交边AC 于Q ,设△APQ 的面积为1S ,△ABC 的面积为2S ,AP pPB =u u u r u u u r ,AQ qQC =u u u r u u u r ,则(ⅰ)pqp q=+ , (ⅱ)12S S 的取值范围是 .例1. 在ABC V 中,60,3,B AC ∠==o 则2AB BC +的最大值为_________. 例2. 在锐角△ABC 中,tan A = t + 1,tan B = t - 1,则t 的取值范围是_________.例3. 在△ABC 中,设AD 为BC 边上的高,且AD = BC ,b ,c 分别表示角B ,C 所对的边长,则b c c b+的取值范围是____________. 例4.在等边ABC V 中,点P 在线段AB 上,满足,AP AB λ=uu u r uu u r 若,CP AB PA PB ⋅=⋅uu r uu u r uu r uu r则实数λ的值是_________. 例5.在ABC V 中有如下结论:“若点M 为ABC V 的重心,则0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r”,设a ,b ,c分别为ABC V 的内角A ,B ,C 的对边,点M 为ABC V 的重心.如果30aMA bMB cMC ++=uuu r uuu r uuur r ,则内角A 的大小为_________;若a =3,则ABC V 的面积为_________.例6. 点O 为△ABC 的外心,已知AB =3,AC = 2,若AO xAB y AC =+uuu r uu u r uuu r,x + 2y = 1,则cos B = _________.例7. 如图,平面内有三个向量,,,其中OA u u u r 与OB u u u r 的夹角为120°,OA u u u r 与OC u u u r的夹角为150°,且1OA OB ==u u u r u u u r,23OC =u u u r.若()OC OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r,,则λμ+的值为_________.例8. 在□ABCD 中,AB = 5,AD = 4,点P 在△BCD 内(包括周界),设AP xAB y AD =+uu u r uu u r uuu r,则一切点(x ,y )形成区域的面积为_________.例9. 如图,在△ABC 中,AD ⊥AB ,3BC BD =uu u r uu u r ,||AD uuu r = 1,则AC AD ⋅uuu r uuu r = _________.例10. 在△ABC 中,已知AB = 3,O 为△ABC 的外心,且OA BC ⋅uu r uu u r= 1,则AC =例11.已知平面上三点,,A B C ,满足||2,||3AB BC ==u u u r u u u r,||4,CA =u u r则23_________.AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r例12.直线l 与函数sin ([0,])y x x π=∈的图像相切于点A ,切//l OP ,O 为坐标原点,P 为图像的极值点,l 于x 轴交于B 点,过切点A 做x 轴的垂线,垂足为C ,则________BA BC ⋅=u u u r u u u rPDCBAxA OBCxy1 23 5.0-3-3-例13.在ABC ∆中,满足:AB AC ⊥u u u r u u u r,M 是BC 中点(1)若||||AB AC =u u u r u u u r,求向量2AB AC +u u u r u u u r 与向量2AB AC +u u u r u u u r 的夹角的余弦值;(2)若O 是线段AM 上任意一点,且||||2AB AC ==u u u r u u u r,求OA OB OC OA +u u u r u u u r u u u r u u u r gg 的最小值; (3)若点P 是BC 边上的一点,且22AP AC AP AB ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,||2AP =uuu r ,求||AB AC AP ++u u u r u u u r u u u r的最小值.13.如图,在直角△ABC 中,已知BC a =,若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点,问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大?并求出这个最大值.参考答案:1.解析:2222|5a b |=(5a b)=25a 10a b +b ---⋅r r r r r r r r ,2212511013()3492⨯-⨯⨯⨯-+=,故|5a b |7-=r r.2.解析:a =(2,-1),b =(-1,m ),c =(-1,2),∴a +b =(1,m -1),又(a +b )∥c ,∴2+m -1=0,∴m =-1.3.解析:以O 为原点,OC ,OB 所在的直线为x 轴和y 轴建立如图所示的坐标系.由OA=2,0120=∠AOx ,所以()(),31-A ,120sin 2,120cos 200,即A ,易求()()3,0C 1-0B ,,,设 ()()().31-λ3-λλ-3λ31-3,0λ1-0λ31-,λλOA 21122121⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==+=+=,,,,即OC OBc b a 313--=.4.解析:设向量a 与b 的夹角θ,有cosθ=ba • =2222)2(221)2(221-++-⨯+⨯=-1010 ∴a 在b 方向上的投影=|a |cosθ=5×(-1010)=-22 5.解析:令c a b λμ=+r r r,则(6,5)(2,4)(1,3)λμ=-+-.(6,5)(2,43)λμλμ=--+,∴26435λμλμ-=⎧⎨-+=⎩,∴23217λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩, ∴23212171522p a b a b a b =+--=--u r r r r r rr .6.解析:由题意,1a b ==r r ,且a r 与b r 的夹角为0120,所以,01cos1202a b a b ⋅==-r r r r ,2c c c =⋅=r r rQ (2)(2)a b a b -⋅-r r r r 22447a a b b =-⋅+=r r r r ,7c ∴=r,同理可得13d ∴=r .而c d ⋅=r r 2217(2)(3)7322a b b a a b b a -⋅-=⋅--=-r r r r r r r r ,设θ为c r 与d r的夹角,则.7.解析:设点D 的坐标为(x ,y ),∵AD 是边BC 上的高,∴AD ⊥BC ,∴AD ⊥BC又∵C 、B 、D 三点共线,∴BC ∥又=(x -2,y -1), =(-6,-3),=(x -3,y -2)∴⎩⎨⎧=-+--=----0)3(3)2(60)1(3)2(6x y y x解方程组,得x =59,y =57 ∴点D 的坐标为(59,57),AD 的坐标为(-51,52). 8.解析:不妨设(,)C m n =u r,则()1,2,(3,1)a c m n a b +=+++=-r r r r ,对于()//c a b +r r r ,则有3(1)2(2)m n -+=+;又()c a b ⊥+r r r ,则有30m n -=,则有77,93m n =-=-9.解析:所求五个力的合力为→+→+→+→+→PE PD PC PB PA ,如图所示,以PA 、PE 为边作平行四边形PAOE ,则→+→=→PE PA PO ,由正六边形的性质可知b |PA ||PO |=→=→,且O 点在PC 上,以PB 、PD 为边作平行四边形PBFD ,则→+→=→PD PB PF ,由正六边形的性质可知b 3|PF |=→,且F 点在PC 的延长线上. 由正六边形的性质还可求得b 2|PC |=→故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为b 6b 3b 2b =++,方向与→PC 的方向相同.10.解析:=-=(2 e 1-e 2)-(e 1+3e 2)=e 1-4e 2,∵A 、B 、D 三点共线,∴存在实数λ,使=λ,∴2 e 1+k e 2=λ(e 1-4e 2) 于是可得⎩⎨⎧-==λλ42k ,解得k =-8.11.证明:设=a ,=b ,=c ,则=c -b ,=a -c ,=b -a .∵||2+||2=||2+||2=||2+|AB |2 ∴a 2+(c -b )2=b 2+(a -c )2=c 2+(b -a )2即c ·b =a ·c =b ·a ,故AB ·OC =(b -a )·c =b ·c -a ·c =0.BC ·OA =(c -b )·a =c·a -b ·a =0,∴AB ⊥OC ,BC ⊥OA ,∴点O 是△ABC 的垂心.12.解析:设AB a =u u u r r ,AC b =u u u r r ,1AP a λ=u u u r r ,2AQ b λ=u u u r r,因为G 是△ABC 的重心,故1()3AG a b =+u u u r r r ,又111()33PG AG AP a b λ=-=-+u u u r u u u r u u u r r r ,21PQ AQ AP b a λλ=-=-u u ur u u u r u u u r r r ,因为PG uuu r 与PQ uuu r 共线,所以PQ PG λ=u u u r u u u r ,即11211[()]()033a b λλλλλ-++-=r r r ,又a r 与b r 不共线,所以111()3λλλ-=-及213λλ=,消去λ,得12123λλλλ+=.(ⅰ)121111(1)(1)321p q λλ+=-+-=-=,故1pq p q=+; (ⅱ)12111()313λλλλ=≠-,那么12||||sin ||||sin S AP AQ BAC S AB AC BAC ⋅⋅∠=⋅⋅∠ 2112211113931()24λλλλλ===---+, 当P 与B 重合时,11λ=,当P 位于AB 中点时,112λ=,故11[,1]2λ∈, 故12S S 41[,].92∈但因为P 与B 不能重合,故12S S 41[,).92∈ 13.解析:,0.AB AC AB AC ⊥∴⋅=u u u r u u u r u u u r u u u rQ,,,()()AP AQ BP AP AB CQ AQ AC BP CQ AP AB AQ AC =-=-=-∴⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rθ与方向相同即==θ时故当⋅最大,.)(0cos其最大值为,1.0。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

平面向量与三角函数教案1第十讲 平面向量及其应用例1:△ABC 中,点D 在边AB 上,CD 平分∠ACB.若CB →=a ,CA→=b ,|a |=1,|b |=2,则CD →= ( ) 例题 2.如图,在直角梯形ABCD 中,,1,3AB AD AD DC AB ⊥===,动点P 在BCD ∆内运动,(含边界), 设(),AP AB AD R αβαβ=+∈u u u r u u u r u u u r,则αβ+的取值范围是 .例3.设P 是ABC ∆内一点,满足()()()21,AP x y AB y AC x y R =-+-∈u u u r u u u r u u u r.则x 的取值范围是 ..已知△ABC 中,过重心G 的直线交边AB 于P ,交边AC 于Q ,设△APQ 的面积为1S ,△ABC 的面积为2S ,AP pPB=u u u r u u u r,AQ qQC=u u u r u u u r ,则(ⅰ)pq p q=+ , (ⅱ)12SS 的取值范围是 .例1. 在ABCV 中,60,3,B AC ∠=o 则2AB BC+的最大值为_________.例2. 在锐角△ABC 中,tan A = t + 1,tan B = t - 1,则t 的取值范围是_________.例3. 在△ABC 中,设AD 为BC 边上的高,且AD = BC ,b ,c 分别表示角B ,C 所对的边长,则b cc b+的取值范围是____________.例4. 在等边ABC V 中,点P 在线段AB 上,满足,AP AB λ=uuu r uu u r若,CP AB PA PB ⋅=⋅uu r uu u r uu r uu r则实数λ的值是_________.例5. 在ABC V 中有如下结论:“若点M 为ABC V 的重心,则0MAMB MC ++=uuu r uuu r uuu r r”,设a ,b ,c 分别为ABC V 的内角A ,B ,C 的对边,点M 为ABC V 的重心.如果30aMA bMB ++=uuu r uuu r uuur r ,则内角A 的大小为_________;若a =3,则ABC V 的面积为_________.例6. 点O 为△ABC 的外心,已知AB =3,AC = 2,若AO xAB y AC=+uuu r uu u r uuu r ,x + 2y = 1,则cos B = _________.例7. 如图,平面内有三个向量,,,其中OA u u u r 与OB u u u r的夹角为120°,OA u u u r与OC u u u r 的夹角为150°,且1OA OB ==u u u r u u u r ,23OC =u u u r若()OC OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r,,则λμ+的值为_________.A OB xy1 235.0- 3-例8. 在□ABCD 中,AB = 5,AD = 4,点P 在△BCD 内(包括周界),设AP xAB y AD=+uu u r uu u r uuu r ,则一切点(x ,y )形成区域的面积为_________.例9. 如图,在△ABC 中,AD ⊥AB ,3BC BD=uu u r uu u r ,||AD uuu r = 1,则AC AD⋅uuu r uuu r= _________.例10. 在△ABC 中,已知AB = 3,O 为△ABC 的外心,且OABC ⋅uu r uu u r= 1,则AC = ________. 例11. 已知平面上三点,,A B C ,满足||2,||3AB BC ==u u u r u u u r,||4,CA =u u r则23_________.AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r例12. 直线l 与函数sin ([0,])y x x π=∈PDCBA的图像相切于点A ,切//l OP ,O 为坐标原点,P 为图像的极值点,l 于x 轴交于B 点,过切点A 做x 轴的垂线,垂足为C ,则________BA BC ⋅=u u u r u u u r例13. 在ABC ∆中,满足:AB AC⊥u u u r u u u r ,M 是BC 中点(1)若||||AB AC =u u u r u u u r ,求向量2AB AC+u u u r u u u r 与向量2AB AC+u u u r u u u r 的夹角的余弦值;(2)若O 是线段AM 上任意一点,且||||2AB AC ==u u u r u u u rOA OB OC OA+u u u r u u u r u u u r u u u r g g 的最小值;(3)若点P 是BC 边上的一点,且22AP AC AP AB ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,||2AP =uuu r ,求||AB AC AP ++u u u r u u u r u u u r的最小值.13.如图,在直角△ABC 中,已知BC a =,若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点,问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大?并求出这个最大值.参考答案: 1.解析:2222|5a b |=(5a b)=25a 10a b +b---⋅r r r r r r r r ,2212511013()3492⨯-⨯⨯⨯-+=,故|5a b |7-=r r .2.解析:a =(2,-1),b =(-1,m ),c =(-1,2),∴a +b =(1,m -1),又(a +b )∥c ,∴2+m -1=0,∴m =-1.3.解析:以O 为原点,OC ,OB 所在的直线为x 轴和y轴建立如图所示的坐标系.由OA=2,0120=∠AOx ,所以()(),31-A ,120sin 2,120cos 200,即A ,易求()()3,0C 1-0B ,,,设 ()()().31-λ3-λλ-3λ31-3,0λ1-0λ31-,λλOA 21122121⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==+=+=,,,,即OC OBcb a 313--=.4.解析:设向量与的夹角θ,有cosθ=ba •=2222)2(221)2(221-++-⨯+⨯=-1010∴在方向上的投影=||cosθ=5×(-1010)=-22 5.解析:令c a bλμ=+r r r,则(6,5)(2,4)(1,3)λμ=-+-.(6,5)(2,43)λμλμ=--+,∴26435λμλμ-=⎧⎨-+=⎩,∴23217λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩, ∴23212171522p a b a b a b=+--=--u r r r r r rr .6.解析:由题意,1a b ==r r,且ar 与br 的夹角为0120,所以,01cos1202a b a b ⋅==-r r r r ,2c c c =⋅=r r rQ (2)(2)a b a b -⋅-r r r r 22447a ab b =-⋅+=r r r r , 7c ∴=r13d ∴=r.而c d ⋅=r r 2217(2)(3)7322a b b a a b b a -⋅-=⋅--=-r r r r r r r r ,设θ为cr与dr 的夹角,则.7.解析:设点D 的坐标为(x ,y ),∵AD 是边BC 上的高,∴AD ⊥BC ,∴AD ⊥BC又∵C 、B 、D 三点共线,∴BC ∥BD 又AD =(x -2,y -1),BC=(-6,-3),BD =(x -3,y -2)∴⎩⎨⎧=-+--=----0)3(3)2(60)1(3)2(6x y y x 解方程组,得x =59,y =57 ∴点D 的坐标为(59,57),AD 的坐标为(-51,52).8.解析:不妨设(,)C m n =u r,则()1,2,(3,1)a c m n ab +=+++=-r r r r,对于()//c a b+r r r ,则有3(1)2(2)m n -+=+;又()c a b⊥+r r r ,则有30m n -=,则有77,93m n =-=-9.解析:所求五个力的合力为→+→+→+→+→PEPD PC PB PA ,如图所示,以PA 、PE 为边作平行四边形PAOE ,则→+→=→PEPA PO ,由正六边形的性质可知b|PA ||PO |=→=→,且O 点在PC 上,以PB 、PD 为边作平行四边形PBFD ,则→+→=→PDPB PF ,由正六边形的性质可知b3|PF |=→,且F 点在PC的延长线上.由正六边形的性质还可求得b2|PC |=→故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为b 6b 3b 2b =++,方向与→PC的方向相同.10.解析:=-=(2 e 1-e 2)-(e 1+3e 2)=e 1-4e 2,∵A 、B 、D 三点共线,∴存在实数λ,使=λBD ,∴2 e 1+ke 2=λ(e 1-4e 2)于是可得⎩⎨⎧-==λλ42k ,解得k =-8. 11.证明:设=a ,=b ,=c ,则=c -b ,=a -c ,=b -a .∵||2+||2=||2+||2=||2+||2 ∴a 2+(c -b )2=b 2+(a -c )2=c 2+(b-a )2即c ·b =a ·c =b ·a ,故·OC =(b -a )·c =b ·c-a ·c =0.·=(c -b )·a =c ·a -b ·a =0,∴⊥,⊥,∴点O 是△ABC 的垂心.12.解析:设AB a=u u u r r,AC b=u u u r r,1AP aλ=u u u r r ,2AQ bλ=u u u r r ,因为G 是△ABC的重心,故1()3AG a b =+u u u r r r,又111()33PG AG AP a bλ=-=-+u u u r u u u r u u u r r r ,21PQ AQ AP b aλλ=-=-u u u r u u u r u u u r r r ,因为PGuuu r与PQuuu r 共线,所以PQ PGλ=u u u r u u u r ,即11211[()]()033a b λλλλλ-++-=r r r ,又a r与br 不共线,所以111()3λλλ-=-及213λλ=,消去λ,得12123λλλλ+=.(ⅰ)121111(1)(1)321p q λλ+=-+-=-=,故1pq p q=+; (ⅱ)12111()313λλλλ=≠-,那么12||||sin ||||sin S AP AQ BAC SAB AC BAC⋅⋅∠=⋅⋅∠2112211113931()24λλλλλ===---+,寒假课程·高一数学10 当P 与B 重合时,11λ=,当P 位于AB 中点时,112λ=,故11[,1]2λ∈, 故12S S41[,].92∈但因为P 与B 不能重合,故12S S 41[,).92∈13.解析:,0.AB AC AB AC ⊥∴⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r Q ,,,()()AP AQ BP AP AB CQ AQ AC BP CQ AP AB AQ AC =-=-=-∴⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.0.,)(0,1cos 其最大值为最大时方向相同与即故当CQ BP BC PQ ⋅==θθ。

相关文档
最新文档