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数学选修2-1测试题

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高中数学选修2-1经典练习100例

高中数学选修2-1经典练习100例

第一章 常用逻辑用语1.条件:12p x +>，条件:2q x ≥，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件2.用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设.否定“自然数c b a ,, 中恰有一个偶数”时正确的反设为 （ ）A ．自然数c b a ,,都是奇数B ．自然数c b a ,,都是偶数C ．自然数c b a ,, 中至少有两个偶数D ．自然数 c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数 3. {}{}211,,log 1,A x x x R B x x x R =-≥∈=>∈，则“x A ∈”是“x B ∈”的 （） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件4.命题“对任意的2,310x R x x ∈-+≤”的否定是（ ）A.不存在2000,310x R x x ∈-+≤B.存在2000,310x R x x ∈-+≤C.存在2000,310x R x x ∈-+>D.对任意的2,310x R x x ∈-+>5.已知命题p ：∀x∈R，x>sinx ，则p 的否定形式为( )A.∃x∈R，x<sinxB.∀x∈R，x≤sinxC.∃x∈R，x≤sinx D．∀x∈R，x<sinx6.下列命题中的说法正确的是( )A ．命题“若2x ＝1，则x ＝1”的否命题为“若2x ＝1，则x≠1”B.“x＝－1”是“2x －5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“x ∃∈R，使得x2＋x ＋1＜0”的否定是：“x ∀∈R，均有2x ＋x ＋1＞0”D ．命题“在△ABC 中，若A ＞B ，则sinA ＞sinB”的逆否命题为真命题7.下列说法中正确的是 ( )A.一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B.“a b ＞”与“a c b c ＋＞＋”不等价C.“220a b ＋＝，则a b ，全为0”的逆否命题是“若a b ，全不为0，则220a b ≠＋”D.一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真8.下列命题中的说法正确的是（ ）A ．命题“若2x ＝1，则x ＝1”的否命题为“若2x ＝1，则x ≠1”B.“x ＝－1”是“2x －5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“0x ∃∈R，使得x 02＋x 0＋1＜0”的否定是：“x ∀∈R，均有2x ＋x ＋1＞0” D ．命题“在△ABC 中，若A ＞B ，则sinA ＞sinB”的逆否命题为真命题9.下列说法中，正确的是( )A ．命题“若am 2<bm 2，则a<b”的逆命题是真命题B ．已知x R ∈，则“x 2-2x-3=0”是“x=3”的必要不充分条件C ．命题“p∨q”为真命题，则“命题p”和“命题q”均为真命题D ．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件10.“>x π6”是“>x sin 12”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11.给出命题p ：若“0>BC AB ，则△ABC 为锐角三角形”；命题q ：“实数c b a ,,满足ac b =2，则c b a ,,成等比数列”．那么下列结论正确的是( )A ．p 且q 与p 或q 都为真B ．p 且q 为真而p 或q 为假C ．p 且q 为假且p 或q 为假D ．p 且q 为假且p 或q 为真12.已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x =25；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2+x +1>0.给出下列结论：①命题“q p ∧”是真命题； ②命题“q p ⌝∨⌝”是假命题； ③命题“q p ∨⌝”是真命题；④命题“q p ⌝∧”是假命题；其中正确的是（ ）A ．②③B ．②④C ．③④D ．①②③13.给出以下四个命题：①若0ab ≤,则0a ≤或0b ≤;②若b a >则22am bm >;③在△A BC 中,若B A sin sin =,则A=B;④在一元二次方程20ax bx c ++=中,若240b ac -<,则方程有实数根.其中原命题.逆命题.否命题.逆否命题全都是真命题的是( )A.①B.②C.③D.④14.以下命题正确的个数为①命题“若21,1x x >>则”的否命题为“若21,1x x ≤≤则”；②命题“若,αβ>则tan tan αβ>”的逆命题为真命题；③命题“2,10x R x x ∃∈++<使得”的否定是“2,10x R x x ∀∈++≥都有”；④“1x >”是“220x x +->”的充分不必要条件.A ．1 B. 2 C.3 D.415.已知a ，b∈R，下列四个条件中，使a ＜b 成立的必要而不充分的条件是（ ）A ． |a|＜|b|B ． 2a ＜2bC ． a ＜b ﹣1D ． a ＜b+116.给定两个命题q p ,,若p ⌝是q 的必要不充分条件,则p 是q ⌝的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.命题p ：0∀>x ，1sin -≥x ，则A ．p ⌝：0∃>x ，sin 1x <-B ．p ⌝：0∀>x ，1sin -<xC ．p ⌝：0∃>x ，sin 1x >-D ．p ⌝：0∀>x ，1sin -≥x18.设a R ∈，则1a =“”是1(1)3l ax a y +-=“直线:与直线2(1)l a x -:(23)2a y ++=互相垂直的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件19.两个事件对立是两个事件互斥的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件20.【湖南省衡阳市八中2014年高二上学期期末】若0a b >，，则“b a >”是“2233ab b a b a +>+”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．既非充分也非必要条件 21.若数列{}n a 满足212n na p a +=（p 为正常数，n N *∈），则称{}n a 为“等方比数列”.甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件22.下列命题是真命题的是（ ）A. 若ac bc >，则b a >B. 若d c b a >>,，则bd ac >C. 若b a >，则ba 11< D. 若dbc ad c ->->,，则b a > 23.下列全称命题为真命题的是（ ）A ．所有的质数是奇数B ．x ∀∈R ，233x +≥C ．x ∀∈R ，120x -=D ．所有的平行向量都相等24.设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂，“//m β”是“//αβ”的（）.A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件25.已知命题p ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则( )A ．￢p ：x R ∃∈，sin 1x ≥B ．￢p ：x R ∀∈，sin 1x ≥C ．￢p ：x R ∃∈，sin 1x >D ．￢p ：x R ∀∈，sin 1x >26.下列四个命题中的真命题是( )A ．∀x ∈R，x 2＋3<0B ．∀x ∈N，x 2≥1 C．∃x ∈Z ，使x 5<1 D ．∃x ∈Q ，x 2＝327.若命题“p q ∧”为假，且“q ⌝”为假，则（ ）A ．“q p ∨”为假B ． p 假C ．p 真D ．不能判断q 的真假28.已知函数()()()cos 0,0,f x A x A R ωϕωϕ=+>>∈，则“()f x 是奇函数”是“2πϕ=”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件29.下列四个命题:①||333x x x ≠⇒≠≠-或;②命题“a 、b 都是偶数,则a ＋b 是偶数”的逆否命题是“a ＋b 不是偶数,则a 、b 都不是偶数”;③若有命题p ：7≥7，q :l n 2＞0, 则p 且q 是真命题; ④若一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定是真. 其中真命题为( )A ．①④B ．②③C ．②④D ．③④30.已知命题:,cos 1p x x ∀∈≤R ，则（ ）A ．:,cos 1p x x ⌝∃∈≥RB ．:,cos 1p x x ⌝∀∈≥RC ．:,cos 1p x x ⌝∃∈>RD ．:,cos 1p x x ⌝∀∈>R31. “0>x ”是“0342>++x x ”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件32. “a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 33.设p 211x -≤，q:[]()(1)0x a x a --+≤，若q 是p 的必要而不充分条件， 则实数a 的取值范围是（ ）A.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.()1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ D ．()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭34.如果命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，那么（ ）A ．命题p 、q 都是真命题B ．命题p 、q 都是假命题C ．命题p 、q 至少有一个是真命题D ．命题p 、q 只有一个真命题35.已知命题p ：x R ∀∈，||0x ≥，那么命题p ⌝为（ ）A ．,0x R x ∃∈≤B ．,0x R x ∀∈≤C. ,0x R x ∃∈< D ．,0x R x ∀∈<36.设n m l ,,表示三条不同的直线，γβα,,表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若βα⊥⊥⊥m l m l ,,，则βα⊥；②若β⊂m ，n 是l 在β内的射影，n m ⊥，则l m ⊥；③若m 是平面α的一条斜线，α∉A ，l 为过A 的一条动直线，则可能有α⊥⊥l m l 且； ④若γαβα⊥⊥,，则βγ//其中真命题的个数为（ ）个（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）437. “m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的 ( ) A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件38.下列命题中的假命题是 （ ）A. 02,1>∈∀-x R xB. 2tan ,=∈∃x R xC. 1lg ,<∈∃x R xD. ()01,2>-∈∀*x Nx 39.下列说法错误的是（ ）． A ．“21sin =θ”是“ 30=θ”的充分不必要条件 B ．命题“若0=a 则0=ab ”否命题是“若0≠a 则0≠ab ” C ．若命题,01,:2<+-∈∃ x x R x p 则01,:2≥+-∈∀⌝x x R x p D ．如果命题p ⌝与命题q p 或都是真命题，那么命题q 一定是真命题40. 3.已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件41.“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）．A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要42.命题“若b a >，则),,(22R c b a bc ac ∈>”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )．A ．0B ．2C ．3D ．443.条件42:<<-x p ，条件:(2)()0q x x a ++<；若p 是q 的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．(4,)+∞B ．(,4)-∞-C ．(,4]-∞-D ． [4,)-+∞44.已知命题：p ∧q 为真，则下列命题是真命题的是( )A ．(p ⌝)∧(q ⌝)B ．(p ⌝)∨(q ⌝)C ．p ∨(q ⌝)D ．(p ⌝)∧q45.下列命题中,正确命题的个数为（ ）①若,则或”的逆否命题为“若且,则； ②函数的零点所在区间是；③是的必要不充分条件A ．0B ．1C ．2 D. 346．"2a =” 是“函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ）． A ．充分条件不必要 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件47．下列判断错误．．的是( )A ．“3210x x --≤对x R ∈恒成立”的否定是“存在0x R ∈使得320010x x -->”B ．“22am bm <”是“a b <”的充分不必要条件C ．若n 组数据()()n n y x y x ,,11⋅⋅⋅的散点都在12+-=x y 上，则相关系数1-=rD ．若“p q Λ”为假命题,则,p q 均为假命题48．设是两个单位向量，其夹角为θ，则“36πθπ<<”是“1||<-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件49．命题“若2015x >，则0x >”的否命题是（ ）A ．若2015x >，则0x ≤B ．若0x ≤，则2015x ≤C ．若2015x ≤，则0x ≤D ．若0x >，则2015x >50．设集合}30|{},01|{<<=<-=x x B x xx A ，那么""m A ∈是""m B ∈的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件51． “21<-x 成立”是“0)3(<-x x 成立”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 52．下列命题中错误．．的是（ ） A ．,(3)(7)(4)(6)x R x x x x ∀∈++≤++B ．,235x R x x ∃∈-++=C ．,x R ∀∈若,a b ≥则22ax bx ≥D ．22,22x R x ∃∈=+53．已知命题:p n ∃∈N ，104n n +<，则p ⌝为（ ） A ．n ∃∈N ，104n n +< B ．n ∀∈N ，104n n+> C ．n ∃∈N ，104n n +≤ D ．n ∀∈N ，104n n+≥ 54. “||2b <是“直线3y x b =+与圆2240x y y +-=相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件55． “直线l 垂直于平面α内两直线a ，b ”是“直线l ⊥平面α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件56．已知命题:p 全等三角形面积相等；命题:q 矩形对角线互相垂直．下面四个结论中正确的是（ ）A ．p q ∧是真命题B ．p q ∨是真命题C ．p ⌝是真命题D ．q ⌝是假命题57． “A ，B ，C ，D 四点不在同一平面内”是“A ，B ，C ，D 四点中任意三点不在同一直线上”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件58．命题:p 20x x -<是命题:02q x <<的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件59．若,R αβ∈，则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充耍条件D ．既不充分也不必要条件60．以下命题正确的个数是（ ）①命题“R x ∀∈，sin 0x >”的否定是“R x ∃∈，sin 0x ≤”．②命题“若2120x x +-=，则4x =”的逆否命题为“若4x ≠，则2120x x +-≠”． ③若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个61.已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am(a>0)，命题q ：实数m 满足方程21x m -＋22y m -＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，a 的取值范围为________．62.对于函数1()93x x f x m +=-⋅，若存在实数0x 使得00()()f x f x -=-成立，则实数m 的取值范围是 ．63.下列命题中，①命题“2(0,2),22x x x ∃∈++<0” 的否定是“2(0,2),22x x x ∀∈++＞0”； ②12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件； ③一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；④“9＜k ＜15”是“方程221159x y k k +=--表示椭圆”的充要条件． ⑤设P 是以1F 、2F 为焦点的双曲线一点，且120PF PF ⋅=，若21F PF ∆的面积为9，则双曲线的虚轴长为6；其中真命题的是 （将正确命题的序号填上）64．命题“00,20R x x ∃∈≤”的否定是 ．65.已知命题p ：220R x x ax a ∃∈++≤，，则命题p 的否定是_________________；若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是_______________．66.下列结论：①若命题00:,tan 1;p x R x ∃∈=命题,01,:2>+-∈∀x x R x q 则命题""q p ⌝且是假命题； ②已知直线,01:,013:21=++=-+by x l y ax l 则21l l ⊥的充要条件是3-=b a ； ③命题“若,0232=+-x x 则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x 则.0232≠+-x x ”④命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题为“若0xy ≠则0x ≠或0y ≠”⑤命题“R,20x x ∀∈>”的否定是“00R,20x x ∃∈≤”其中正确结论的序号是.____________（把你认为正确结论的序号都填上） 67.已知命题p ：“对∀x ∈R，∃m ∈R 使4x －2x +1＋m ＝0”，若命题非p 是假命题，则实数m 的取值范围是__________．68．已知命题:p R x ∃∈，220x x a ++≤，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是 ．（用区间表示）69．命题“0,x ∀>都有sin 1x ≥-”的否定： ．70．已知a 、b 、c 是三个非零向量，命题“若a b =，则a c b c ⋅=⋅”的逆命题是 命题（填真或假）．71．给出下列四个命题：①若a b <，则22a b <；②若1a b ≥>－，则11a b a b≥++； ③若正整数,m n 满足m n <，则2n m n m -≤（）； ④若0x >，且1x ≠，则1ln +2x lnx≥. 其中真命题的序号是________．（请把真命题的序号都填上）72．命题“(,0)x ∃∈-∞，使得34x x <”的否定是 ．73．命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是________．74．写出命题“若a b >，则1a b +>”的逆否命题: ．75．在下列结论中，①""q p ∧为真是""q p ∨为真的充分不必要条件②""q p ∧为假是""q p ∨为真的充分不必要条件③""q p ∨为真是""p ⌝为假的必要不充分条件④""p ⌝为真是""q p ∧为假的必要不充分条件正确的是 ．76．命题P ：直线2y x =与直线20x y +=垂直；命题Q ：异面直线在同一个平面上的射影可能为两条平行直线，则命题P Q ∧为 命题（填真或假）．77．已知x y R ∈、，那么命题“若x y 、中至少有一个不为0，则220x y +≠．”的逆否命题是 ．78．已知p ：112x ≤≤，q ：()(1)0x a x a --->，若p 是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．79．已知命题p ：12=x ，命题q ：1=x ，则p 是q 的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）80．已知}2|1||{<-=x x A ，}11|{+<<-=m x x B ,若B x ∈成立的一个充分不必要条件是A x ∈，则实数m 的取值范围 ．81.“函数()sin()f x x ϕ为奇函数” 是“0ϕ”的 条件．82．命题“∃实数,x y ，使得1x y +>”的否定是 ．83．命题0:p x R ∃∈,020x ≤，命题:(0,),sin q x x x ∀∈+∞>，其中真命题的是 ；命题p的否定是84．若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦”是真命题，则实数m 的最小值为 . 85.已知，：64≤-x p 032≥+x x q ：，若命题“ p 且q ”和“¬p ”都为假，求x 的取值范围．86.若p :q :且是的充分不必要条件,求实数的取值范围.87.已知命题p ：关于x 的一元二次方程022=++m x x 没有实数根，命题q ：函数)161lg()(2m x mx x f +-=的定义域为R ，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围.88.已知命题1:132x p --≤；22:210,(0)q x x m m -+-≤> 若p ⌝是q ⌝的充分非必要条件，试求实数m 的取值范围．89.设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．90.已知命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>，命题P 且Q 为假，P 或Q 为真，求实数a 的取值范围.91.设有两个命题：:p 关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；:q 函数f (x )＝－(4－2a )x在(－∞，＋∞)上是减函数．若命题p q ∨为真，p q ∧为假，则实数a 的取值范围是多少？92.已知434:2≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-x p ，)0(012:22>≤-+-m m x x q 若p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．93.已知0c >，设p ：函数xy c =在R 上单调递减，q ：不等式21x x c +->的解集为R ，如果p ∧q 是假命题，p ∨q 真命题，求c 的取值范围94.已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题． （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，求a 的取 值范围．95.已知p:01322≤+-x x ,q ：0)1()12(2≤+++-a a x a x（1）若a=21，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围. （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.96.已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实根；q ：不等式244(2)10x m x +-+>的解集为R ；若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围。

高中数学选修2-1练习题

高中数学选修2-1练习题

常用逻辑用语一、选择题1．命题“如果x≥a 2+b 2,那么x≥2ab”的逆否命题是( ) A ．如果x<a 2+b 2,那么x<2ab B ．如果x≥2ab,那么x≥a 2+b 2 C ．如果x<2ab,那么x<a 2+b 2 D ．如果x≥a 2+b 2,那么x<2ab 2．三角形全等是三角形面积相等的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3．下列四个命题中，真命题是( ) A ．2是偶数且是无理数 B ．8≥10 C ．有些梯形内接于圆 D ．∀x ∈R,x 2-x+1≠0 4．命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是( ) A ．所有奇数的立方不是奇数 B ．不存在一个奇数，它的立方是偶数 C ．存在一个奇数，它的立方是偶数 D ．不存在一个奇数，它的立方是奇数 二、填空题5．命题“若a=-1,则a 2=-1”的逆否命题是______________________． 6．b=0是函数f(x)=ax 2+bx+c 为偶函数的______________________．7．全称命题“∀a ∈Z,a 有一个正因数”的否定是________________________． 8．特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是______________________． 9．设p ：|5x -1|>4；2210231x x x x ++³-+，则非p 是非q 的______ ___条件．三、解答题10．求证：a+2b=0是直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0互相垂直的充要条件．11．已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|x 2-mx+2=0}，若A 是B 的必要不充分条件，求实数m 范围．12．给定两个命题,P ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；Q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根；如果P 与Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．常用逻辑用语答案1-4 CACC5．如果a 2≠1,那么a≠-1 6．充分必要条件 7．∃a 0∈Z,a 0没有正因数 8．每个三角形的三条中线不相等 9．即不充分也不必要10．充分性：当b=0时，则a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当b≠0时，两直线的斜率分别是k 1=-a 2,k 2=-1b ,由a+2b=0,k 1⋅k 2=(-a 2-1b)=-1,两直线互相垂直．必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则k 1⋅k 2=(-a 2)(-1b)=-1,∴a+2b=0；如果两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b=0,且a=0，∴a+2b=0． 11、A={1，2}，A 是B 的必要不充分条件，即B ⊂≠A ．所以B=Φ、B={1}或{2}，当B=φ时，△=m 2-8<0，∴22m 22<<-． 当B={1}或{2}时，⎩⎨⎧=+-=+-=∆02m 2402m 10或，m 无解．综上所述22m 22<<-．12．解：P 真：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⇔a=0或⎩⎨⎧a>0∆<0⇔0≤a<4; q 真：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根⇔1-4a≥0⇔a≤14；如果P 正确，且Q 不正确，有0≤a<4,且a>14,∴14<a<4；如果Q 正确，且P 不正确，有a<0或a≥4,且a≤14,∴a<0．所以a ∈(-∞,0)∪(14,4)．常用逻辑用语答案1-4 CACC5．如果a 2≠1,那么a≠-1 6．充分必要条件 7．∃a 0∈Z,a 0没有正因数 8．每个三角形的三条中线不相等 9．即不充分也不必要10．充分性：当b=0时，则a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当b≠0时，两直线的斜率分别是k 1=-a 2,k 2=-1b ,由a+2b=0,k 1⋅k 2=(-a 2-1b)=-1,两直线互相垂直．必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则k 1⋅k 2=(-a 2)(-1b)=-1,∴a+2b=0；如果两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b=0,且a=0，∴a+2b=0． 11、A={1，2}，A 是B 的必要不充分条件，即B ⊂≠A ．所以B=Φ、B={1}或{2}，当B=φ时，△=m 2-8<0，∴22m 22<<-． 当B={1}或{2}时，⎩⎨⎧=+-=+-=∆02m 2402m 10或，m 无解．综上所述22m 22<<-．12．解：P 真：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⇔a=0或⎩⎨⎧a>0∆<0⇔0≤a<4;q 真：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根⇔1-4a≥0⇔a≤14；如果P 正确，且Q 不正确，有0≤a<4,且a>14,∴14<a<4；如果Q 正确，且P 不正确，有a<0或a≥4,且a≤14,∴a<0．所以a ∈(-∞,0)∪(14,4)．圆锥曲线练习题一．选择题1.若椭圆经过原点，且焦点分别为12(1,0),(3,0)F F ，则其离心率为（ ） A.34 B.23 C.12 D.142.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ）A.10B.8C.6D.43.若双曲线x 24＋y2k1的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是（ ）A.(),0-∞B.()3,0-C.()12,0-D.()60,12-- 4.与y 轴相切且和半圆x 2+y 2=4(0≤x ≤2)内切的动圆圆心的轨迹方程是（ ） A.()()24101y x x =--<≤ B.()()24101y x x =-<≤C.()()24101y x x =+<≤ D.()()22101yx x =--<≤5.过点M(-2,0)的直线L 与椭圆2222x y +=交于12,P P 两点，设线段12P P 的中点为P ，若直线l 的斜率为11(0)k k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 等于（ ）A.2-B.2C.12D.－126.如果方程x 2-p ＋y2q ＝1表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（ ）A.2212xyq pq+=+ B.2212xyq pp+=-+ C.2212xyp qq+=+ D.2212xyp qp+=-+二．填空题7.椭圆x 212＋y 23＝1的焦点分别是12F ,F ，点P 在椭圆上，如果线段1P F 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的 倍．8.椭圆x 245＋y 220＝1的焦点分别是12F ,F ，过原点O 做直线与椭圆交于A ，B 两点，若∆ABF 2的面积是20，则直线AB 的方程是 ．9.与双曲线2244x y -=有共同的渐近线，并且经过点（2的双曲线方程是10.已知直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支相交于不同的两点，则k 的取值范围是 ．三．解答题11.抛物线y=－12x 2与过点M(0,-1)的直线L 相交于A ，B 两点，O 为原点，若OA 和OB 的斜率之和为１，求直线L 的方程．12.已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线:32l y x =-截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程．13．21,F F 是椭圆x 29＋y27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2=45︒，求∆12AF F 的面积．圆锥曲线练习题答案一．选择题：CBCADD 二．填空题：7. 7倍 8.y=±43x 9. y 24x 216＝1 10.－153<k<－1三．解答题11. 解：斜率不存在不合题意，设直线1y kx =-代入抛物线得2220x kx +-=2480k =+> 有k ∈R 设点1122(,),(,)A x y B x y 则y 1x 1＋y 2x 2＝1,由根与系数关系，解得直线方程1y x =-．12. 解：设所求的椭圆为x 2a 2＋y2b2＝1，则222c a b =-=50椭圆与直线联立有()222222(9)1240a b x b x b a +-+-=，由已知x 1+x 22＝12，根与系数关系带入得223a b =解得a 2=75,b 2=25．所以所求椭圆方程为y 225＋x 275＝1．13．解：1212216,6F F AF AF AF AF =+==-222022112112112cos 4548AF AF F F AF F F AF AF =+-⋅=-+2211117(6)48,,2A F A F A F A F -=-+=1772222S =⨯⨯=．圆锥曲线练习题答案一．选择题：CBCADD 二．填空题：7. 7倍 8.y=±43x 9. y 24x 216＝1 10.－153<k<－1三．解答题13. 解：斜率不存在不合题意，设直线1y kx =-代入抛物线得2220x kx +-=2480k =+> 有k ∈R 设点1122(,),(,)A x y B x y 则y 1x 1＋y 2x 2＝1,由根与系数关系，解得直线方程1y x =-．14. 解：设所求的椭圆为x 2a 2＋y 2b2＝1，则222c a b =-=50椭圆与直线联立有()222222(9)1240a b x b x b a +-+-=，由已知x 1+x 22＝12，根与系数关系带入得223a b =解得a 2=75,b 2=25．所以所求椭圆方程为y 225＋x 275＝1．13．解：1212216,6F F AF AF AF AF =+==-222022112112112cos 4548AF AF F F AF F F AF AF =+-⋅=-+2211117(6)48,,2A F A F A F A F -=-+=1772222S =⨯⨯=．空间向量练习题一．选择题1．直棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a →,CB →=b →,CC 1→=c →,则A 1B →=( )A ．a →+b →-c →B ．a →-b →+c →C ．-a →+b →+c →D ．-a →+b →-c →2．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任意一点O ，下列条件中能确定点M 与A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →=OA →+OB →+OC → C ．OM →=2OA →-OB →-OC →C ．OM →=OA →+12OB →+13→D ．OM →=13OA →+13OB →+13OC →3．若向量m →同时垂直向量a →和b →,向量n →=λa →+μb →(λ,μ∈R, λ,μ≠0)，则（ ）A ．m →∥n →B ．m →⊥n → C.m →与n →不平行也不垂直 D ．以上均有可能 4．以下四个命题中，正确的是( )A ．若OP →=12OA →+13OB →,则P ，A ，B 三点共线B ．若{a →,b →,c →}为空间一个基底，则{a →+b →,b →+c →,c →+a →}构成空间的另一个基底 C ．|(a →⋅b →)c →|=|a →|⋅|b →|⋅|c →|D ．∆ABC 为直角三角形的充要条件是AB →⋅AC →＝05．已知a →=(λ+1,0,2λ),b →=(6,2μ-1,2),a →∥b →,则λ和μ的值分别为( ) A ．15,12B ．5,2C ．-15,-12D ．-5,-2二．填空题6．若a →=(2,-3,1),b →=(2,0,3),c →=(0,2,2),则a →⋅(b →+c →)=________.7．已知G 是∆ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →+OB →+OC →＝λOG →，则λ的值为_______. 8．已知|a →|=1,|b →|=2,<a →,b →>=60︒,则|a →-25(a →+2b →)|=________.三．解答题9．若向量(a →+3b →)⊥(7a →-5b →)，(a →-4b →)⊥(7a →-2b →)，求a →与b →的夹角．10．设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k ，试求实数λμν，，，使4123a a a a λμν=++成立．11．正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，求1AC 与侧面11ABB A 所成的角． 12．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，问AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为π4．空间向量练习题答案一．选择题 DDBBA二．填空题 6．3 7．3 8．65三．解答题9．由已知向量垂直列方程，解得a →2=b →2=2a →⋅b →,∴cos<a →,b →>=12,∴a →与b →夹角为60︒．10．由4123a a a a λμν=++成立，可建立方程组，解得213v λμ=-==-，，．11．以A 为原点，分别以CA →，AB →，AA 1→为x,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,a,0),A 1(0,0,2a),C 1(-32a,12a,2a),由于n →=(-1,0,0)是面11ABB A 的法向量，计算得cos<AC 1→,n →>=12,∴<AC 1→,n →>=60︒．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30︒．12．设A E x =，以D 为原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，可求得平面1D EC 的法向量为n →=(2-x ,1,2)．依题意πcos 422=⇒=．2x =-∴2x =+．2AE =-∴空间向量练习题答案一．选择题 DDBBA二．填空题 6．3 7．3 8．65三．解答题9．由已知向量垂直列方程，解得a →2=b →2=2a →⋅b →,∴cos<a →,b →>=12,∴a →与b →夹角为60︒．10．由4123a a a a λμν=++成立，可建立方程组，解得213v λμ=-==-，，．11．以A 为原点，分别以CA →，AB →，AA 1→为x,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,a,0),A 1(0,0,2a),C 1(-32a,12a,2a),由于n →=(-1,0,0)是面11ABB A 的法向量，计算得cos<AC 1→,n →>=12,∴<AC 1→,n →>=60︒．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30︒．12．设A E x =，以D 为原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，可求得平面1D EC 的法向量为n →=(2-x,1,2)．依题意πcos 422=⇒=2x =-∴2x =+．2AE =-∴。

(易错题)高中数学高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》测试(含答案解析)(5)

(易错题)高中数学高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》测试(含答案解析)(5)

一、选择题1．已知命题:p 关于x 的方程210x ax ++=没有实根；命题:0q x ∀≥，20x a ->.若p ⌝和p q ∧都是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),21,-∞-⋃+∞ B ．(]2,1- C ．(]1,2D ．[)1,22．下列命题中假命题是( ) A ．∃x 0∈R ，ln x 0＜0 B ．∀x ∈(－∞，0)，e x ＞x ＋1 C ．∀x ＞0,5x ＞3xD ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＜sin x 03．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是 A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝4．下列四个命题中，真命题的个数是（ ） ①命题“若ln 1x x +>，则1x >”；②命题“p 且q 为真，则,p q 有且只有一个为真命题”； ③命题“所有幂函数()af x x =的图象经过点()1,1”；④命题“已知22,,4a b R a b ∈+≥是2a b +≥的充分不必要条件”. A ．1B ．2C ．3D ．45．命题“存在[]1,0x ∈-，使得20x x a +-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．14a ≥-B ．14a >C ．12a ≥-D ．12a >-6．已知p ：2+2＝5；q ：3＞2，则下列判断错误的是（ ） A ．“p ∨q ”为真，“￢q ”为假 B ．“p ∧q ”为假，“￢p ”为真 C ．“p ∧q ”为假，“￢p ”为假 D ．“p ∨q ”为真，“￢p ”为真7．“a ＜0”是“函数f （x ）＝ax 2﹣2x ﹣1在（0，+∞）上单调递减”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分要也不必要条件8．已知ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则“A B C <<”是“cos cos cos A B C >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．命题p ：函数1()(0)f x x x x=+>最小值是2；命题q ：若1a b >，则a b >.下列说法正确的是( ) A ．p 或q 为真 B ．p 且q 为真 C ．p 或q 为假 D ．非p 为真 10．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件11．下列三个命题：①设命题p ：若m 是质数，则m 一定是奇数．那么p ⌝真命题；②在ABC 中，“sin sin A B =”是“cos cos A B =”的充要条件；③“若1x >，则1x >”的否命题是“若1x >，则1x ≤”．其中真命题的个数为( ) A ．3B ．2C ．1D ．012．“1m =”是“椭圆22360mx y m +-=的焦距为4”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．给出以下四个结论： ①函数()211x f x x -=+的对称中心是1,2；②若关于x 的方程10x k x-+=在()0,1∈x 没有实数根，则k 的取值范围是2k ≥； ③在ABC 中，“cos cos b A a B =”是“ABC 为等边三角形”的充分不必要条件； ④若()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后为奇函数，则ϕ最小值是π12. 其中正确的结论是______14．已知函数22(1)(1)3y a x a x =-+-+（x ∈R ），写出0y >的充要条件________. 15．关于以下结论： ①*n N ∀∈，22n n ≤；②函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期为π； ③若向量0a b ⋅=，则向量a b ⊥； ④20182019log 2019log 2020>． 以上结论正确的个数为______． 16．给出下列命题：①命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”； ②“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；③x R ∃∈命题“，使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x -->”； ④命题“若x y =，则 sin sin x y =”的逆否命题为真命题 其中所有正确命题的序号是________.17．已知命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________. 18．“”是“”的_____条件．（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 19．已知命题p ：不等式01xx <-的解集为{x |0<x <1}；命题q ：在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论: ①p 真q 假；②“p ∧q ”为真；③“p ∨q ”为真；④p 假q 真， 其中正确结论的序号是________20．给出如下四个命题：①若“p 或q ”为真命题，则p 、q 均为真命题； ②命题“若且，则”的否命题为“若且，则”；③在中，“”是“”的充要条件；④已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围是； 其中正确的命题的是________．三、解答题21．已知命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． （1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若m ＝5，p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数x 的取值范围．22．若函数()y f x =满足“存在正数λ，使得对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在2x ，使12()()f x f x λ=成立”，则称该函数为“依附函数”．（1）分别判断函数①()2x f x =，②2()log g x x =是否为“依附函数”，并说明理由； （2）若函数()y h x =的值域为[,]m n ，求证：“()y h x =是‘依附函数’”的充要条件是“0[,]m n ∉”．23．（1）已知命题p ：()20a a a R -<∈，命题q ：对任意x ∈R ，都有()2410x ax a R ++≥∈，若命题“p 且q ”为假命题，命题“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围；（2）已知集合{}22|440A x x x a =-+-≤，{}2|41270B x x x =+-≤，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围.24．已知0c >,设p ：函数x y c =在R 上递减； q ：不等式|2|1x x c +->的解集为R ，如果“p 或q ”为真，且“p 且 q ”为假，求c 的取值范围. 25．已知命题P ：函数()1()13f x x =-且()2<f a ，命题Q ：集合(){}2210,A x x a x x R =+++=∈，{}0B x x =>且AB =∅．（1）分别求命题P 、Q 为真命题时的实数a 的取值范围；（2）当实数a 取何范围时，命题P 、Q 中有且仅有一个为真命题； （3）设P 、Q 皆为真时a 的取值范围为集合,,,0,0mS T y y x x R x m x ⎧⎫==+∈≠>⎨⎬⎩⎭，若全集U =R ，T S ⊆，求m 的取值范围．26．已知命题p ：任意2,230x R x mx m ∈-->成立；命题q ：存在2,410x R x mx ∈++<成立.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题,p q 中恰有一个为真命题，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】计算出当命题p 为真命题时实数a 的取值范围，以及当命题q 为真命题时实数a 的取值范围，由题意可知p 真q 假，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】若命题p 为真命题，则240a ∆=-<，解得22a -<<；若命题q 为真命题，0x ∀≥，20x a ->，则()min21xa <=.由于p ⌝和p q ∧都是假命题，则p 真q 假，所以221a a -<<⎧⎨≥⎩，可得12a ≤<.因此，实数a 的取值范围是[)1,2. 故选：D. 【点睛】本题考查利用复合命题、全称命题的真假求参数，考查计算能力，属于中等题.2．D解析：D 【详解】∃x 0∈R ，lnx 0＜0，的当x ∈（0，1）时，恒成立，所以正确；x ∈（﹣∞，0），令g （x ）＝e x ﹣x ﹣1，可得g ′（x ）＝e x ﹣1＜0，函数是减函数，g （x ）＞g （0）＝0，可得∀x ∈（﹣∞，0），e x ＞x +1恒成立，正确； 由指数函数的性质的可知，∀x ＞0，5x ＞3x 正确；令f (x )＝sin x －x (x ＞0)，则f ′(x )＝cos x －1≤0，所以f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以f (x )＜f (0)，即f (x )＜0，即sin x ＜x (x ＞0)，故∀x ∈(0，＋∞)，sin x ＜x ，所以D 为假命题，故选D.3．D解析：D 【解析】试题分析：不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而¬p 为假命题，¬q 为真命题，所以根据复合命题的真值表得A 、B 、C 均为假命题，故选D ． 考点：本题考查复合命题真假的判断．点评：本题直接考查复合命题的真值判断，属于基础题型．4．C解析：C 【分析】①令()ln f x x x =+，研究其单调性判断.②根据“且”构成的复合命题定义判断.③根据幂函数()af x x =的图象判断.④由()222222a ba b a b a b +=++≥+，判断充分性，取特殊值1a b ==判断必要性. 【详解】①令()ln f x x x =+，()110f x x=+>'，所以()f x 在{}1,+∞上递增 所以()()1f x f >，所以1x >，故正确. ②若p 且q 为真，则,p q 都为真命题，故错误.③因为所有幂函数()af x x =的图象经过点()1,1，故正确.④因为()2222224a ba b a b a b +=++≥+≥，所以2a b +≥，故充分性成立，当1a b ==时，推不出224a b +≥，所以不必要，故正确.故选：C 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5．B解析：B 【分析】“存在[]1,0x ∈-，使得20x x a +-≤”为真命题，可得()2mina x x≥+，利用二次函数的单调性即可得出．再利用充要条件的判定方法即可得出. 【详解】解：因为“存在[]1,0x ∈-，使得20x x a +-≤”为真命题， 所以()22minmin 111244a xx x ⎡⎤⎛⎫≥+=+-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因此上述命题得个充分不必要条件是14a >. 故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数的单调性、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6．C解析：C 【分析】先判定命题p 为假命题，命题q 为真命题，再结合复合命题的真假判定，即可求解. 【详解】由题意，命题:225p +=为假命题，命题:32q >为真命题，所以命题p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，命题p q ∨为真命题，q ⌝为假命题， 故选：C . 【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答中正确判定命题,p q 的真假，熟记复合命题的真假判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．A解析：A 【分析】根据二次函数和一次函数的单调性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 当0a <时，10a<， 211()()1f x a x a a ∴=---，在(0,)+∞上单调递减，当0a =时，则()21f x x =--在(0,)+∞上单调递减，∴ “0a <”是“函数2()21f x ax x =--在(0,)+∞上单调递减”的充分不必要条件．故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．本题属于基础题．8．C解析：C 【分析】结合余弦函数在()0,π上的单调性，分别判断充分性与必要性，可得出答案. 【详解】先来判断充分性：ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，由A B C <<可得0πA B C <<<<，因为函数cos y x =在()0,π上单调递减，所以cos cos cos A B C >>，故充分性成立； 再来判断必要性：ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且0πA <<，0πB <<，0πC <<，因为函数cos y x =在()0,π上单调递减，且cos cos cos A B C >>，所以0πA B C <<<<，即A B C <<，故必要性成立.所以“A B C <<”是“cos cos cos A B C >>”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查命题的充分性与必要性，考查余弦函数单调性的应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题.9．A解析：A 【分析】求出函数()f x 的最小值判定p 的真假；举例说明命题q 为假，再由复合命题的真假判断得答案． 【详解】 由0x >时，得1122x x x x+⋅=（当且仅当1x x =，即1x =时取等号），∴命题p 为真命题；当4a =-，2b =-，满足1ab>，但a b <，故命题q 是假命题． p ∴或q 为真；p 且q 为假；非p 为假．故选：A ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查不等式的性质，考查复合命题的真假判断，是基础题．10．C解析：C 【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】22x y +≥ 且224x y+≤ ，422x y ∴≤⇒⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.11．B解析：B 【分析】对各个命题分别判断． 【详解】命题p ：若m 是质数，则m 一定是奇数．2是质数，但2是偶数，命题p 是假命题，那么p ⌝真命题；①正确；在ABC 中，sin sin A B a b A B =⇔=⇔=⇔cos cos A B =，②正确； “若1x >，则1x >”的否命题是“若1x ≤，则1x ≤”，③错． 因此有2个命题正确． 故选：Ｂ． 【点睛】本题考查命题的真假判断，这种问题难度较大，需要对每个命题进行判断，才能得出正确结论，这样考查的知识点可能很多，考查的能力要求较高．12．A解析：A 【分析】由椭圆22360mx y m +-=的焦距为4，分类讨论求得1c =或5c =时，再结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，椭圆22360mx y m +-=可化为22162x y m+=，当03m <<时，4c ==，解得1c =，当3m >时，4c ==，解得5c =， 即当1c =或5c =时，椭圆22360mx y m +-=的焦距为4，所以“1m =”是“椭圆22360mx y m +-=的焦距为4”的充分不必要条件. 故选：A . 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及几何性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记椭圆的标准方程和几何性质，结合充分条件、必要条件的判定求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.二、填空题13．①【分析】对四个结论逐个分析可选出答案【详解】对于①其图象由的图象向左平移1个单位再向上平移2个单位得到故的对称中心为即①正确；对于②由可得令且显然函数在上单调递减则又因为时故在的值域为所以当时关于解析：① 【分析】对四个结论逐个分析，可选出答案. 【详解】 对于①，()213211x f x x x -==-++，其图象由3y x =-的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，故()f x 的对称中心为1,2，即①正确；对于②，由10x k x -+=，可得1k x x=-. 令()1g x x x=-，且()0,1∈x ，显然函数()g x 在()0,1∈x 上单调递减， 则()()10g x g >=，又因为0x →时，1+x x-→∞，故()g x 在0,1的值域为0,，所以当0k ≤时，关于x 的方程10x k x-+=在()0,1∈x 没有实数根，即②错误； 对于③，先来判断充分性，当cos cos b A a B =时，可得sin cos sin cos =B A A B ，所以()sin cos sin cos sin 0B A A B B A -=-=，即B A =，所以ABC 为等腰三角形，不能推出ABC 为等边三角形，即充分性不成立；再来判断必要性，当ABC 为等边三角形时，可得B A =，则sin cos sin cos =B A A B ，故cos cos b A a B =，即必要性成立，故③不正确；对于④，()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后，得到()πsin 223g x x φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由()g x 为奇函数，可得πsin 203φ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则()π2π3φk k +=∈Z ，解得()ππ26k φk =-∈Z ，当1k =时，ϕ取得最小正值为π3，故④不正确.所以，正确的结论是①. 故答案为：①. 【点睛】本题考查函数的对称中心，考查三角函数的平移变换及奇偶性的应用，考查利用参变分离法解决方程的解的存在性问题，考查充分性与必要性的判断，考查学生的推理论证能力与计算求解能力，属于中档题.14．或【分析】根据不等式的性质结合充要条件的定义进行求解即可【详解】若则当即或当时不等式等价为满足条件当时不等式等价为不满足条件当时要使则解之得：或综上：或反之也成立故答案为：或【点睛】本题考查充分必要解析：1a ≥或1311a <- 【分析】根据不等式的性质结合充要条件的定义进行求解即可． 【详解】若22(1)(1)30y a x a x =-+-+>， 则当210a -=，即1a =或1a =-， 当1a =时，不等式等价为30>，满足条件， 当1a =-时，不等式等价为230x -+>，32x <，不满足条件， 当1a ≠±时，要使0y >，则22210(1)12(1)0a a a ⎧->⎨∆=---<⎩，解之得：1a >或1311a <-， 综上：1a ≥或1311a <-，反之也成立.故答案为：1a ≥或1311a <-. 【点睛】本题考查充分必要条件的应用，考查二次函数的性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.15．2【分析】对命题逐一分析正误得出结论即可【详解】解：对于①当时∴；故①错误；②函数所以的最小正周期为；故②正确；③若向量则向量；当时或当时但不垂直于；故③错误；④；④正确证明如下：∵；而∴；∴故②④解析：2 【分析】对命题逐一分析正误，得出结论即可． 【详解】解：对于①*n N ∀∈，22n n ≤，当3n =时，29n =，28n =，∴22n n >；故①错误；②函数44()sin cos cos2f x x x x =-=-，所以()f x 的最小正周期为T π=；故②正确；③若向量0a b ⋅=，则向量a b ⊥；当0a =时或当0b =时，0a b ⋅=，但a 不垂直于b ；故③错误；④20182019log 2019log 2020>；④正确，证明如下：∵220182019lg2019lg2020(lg2019)lg2018lg2020log 2019log 2020lg2018lg2019lg2018lg2019-⋅-=-=⋅；而22lg 2018lg 2020lg 2018lg 2020()2+⋅<=2220182020(lg)(lg 2019)2+<=． ∴2(lg2019)lg2018lg20200-⋅>； ∴20182019log 2019log 2020>． 故②④正确；正确的个数为2个； 故答案为：2． 【点睛】本题考查命题判断真假的方法，需要逐个判断，属于基础题．16．④【分析】①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断②利用充分条件和必要条件的定义判断③利用特称命题的否定判断④利用逆否命题的等价性进行判断【详解】解：①根据否命题的定义可知命题若则的否命题为若则所以解析：④ 【分析】①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断．②利用充分条件和必要条件的定义判断．③利用特称命题的否定判断．④利用逆否命题的等价性进行判断． 【详解】解：①根据否命题的定义可知命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，所以①错误．②由2560x x --=得1x =-或6x =，所以②“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，所以②错误．③根据特称命题的否定是全称命题得命题“x R ∃∈，使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x +-”，所以③错误．④根据逆否命题和原命题为等价命题可知原命题正确，所以命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题，所以④正确．故答案为④． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，以及四种命题的真假关系的判断，比较基础．17．【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题解析：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】根据命题否定为真，结合二次函数图像列不等式，解得结果 【详解】因为命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤是假命题，所以21,02x R ax x ∀∈++>为真 所以011202a a a >⎧∴>⎨-<⎩ 【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属基础题.18．必要不充分条件【解析】【分析】由a2>1解得a>1或a<-1由a3>1解得a>1进而判断出结论【详解】由a2>1解得a>1或a<-1由a3>1解得a>1因为(-∞-1)∪(1+∞)⊃≠(1+∞)所以解析：必要不充分条件 【解析】 【分析】 由，解得或，由解得，进而判断出结论.【详解】由，解得或，由解得，因为，所以“”是“”的必要不充分条件，故答案是：必要不充分条件.【点睛】该题考查的是有关必要不充分条件的判断，涉及到的知识点有不等式的解法，必要不充分条件的定义，属于简单题目.19．①③【分析】先判断命题的真假然后由复合命题的真值表判断复合命题的真假【详解】不等式等价于即命题为真在中命题为假因此②④为假①③为真【点睛】复合命题的真值表： 真 真 真 真 假 真 假解析：①③ 【分析】先判断命题,p q 的真假，然后由复合命题的真值表判断复合命题的真假． 【详解】 不等式01xx <-等价于()10x x -<，即01x <<，命题p 为真，在ABC ∆中，sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，命题q 为假，因此②④为假，①③为真．【点睛】复合命题的真值表：pqp q ∧p q ∨p ⌝真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真复合命题的真假可按真值表进行判断．另外在ABC ∆中A B >与sin sin A B >是等价的，但在一般三角函数中此结论不成立．20．④【解析】试题分析：若或为真命题则pq 至少有一真所以命题 错误；命题若且则的否命题为若或则故命题‚错误；三角形ABC 中角A 时故命题 错误；若是的充分不必要条件即p 是q 的充分不必要条件由因p:所以由一解析：④ 【解析】试题分析：若“p 或q ”为真命题，则p 、q 至少有一真，所以命题•错误；命题“若且，则”的否命题为“若或，则”，故命题 错误；三角形ABC 中，角A时，，故命题 错误；若是的充分不必要条件即p 是q 的充分不必要条件．由因p:，所以由一元二次方程根的分布可得，解得，．故正确的命题是④．考点：命题的真假性判断．三、解答题21．（1）[4，＋∞)；（2）[4,1)(5,6]--⋃. 【分析】（1）设使命题p 成立的集合为A ，命题q 成立的集合为B ，由题意可得A ⊆B ，根据集合的包含关系，列出方程，即可求得结果；（2）由题意可得：p ，q 命题，一真一假，分别求得当p 真q 假时、 p 假q 真时x 的范围，即可得结果. 【详解】（1）设使命题p 成立的集合为A ，命题q 成立的集合为B ， 则A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }， 由题意得：A ⊆B ， 所以01511m m m >⎧⎪+≥⎨⎪-≤-⎩，解得m ≥4，故m 的取值范围为[4，＋∞)．（2）根据条件可得：p ，q 命题，一真一假，当p 真q 假时，156?4x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或，无解；当p 假q 真时，5?146x x x ><-⎧⎨-≤≤⎩或，解得－4≤x <－1或5<x ≤6.故实数x 的取值范围为[4,1)(5,6]--⋃． 【点睛】本题考查根据充分条件求参数范围、利用复合命题真假求参数范围，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.22．（1）①是，②不是；理由详见解析（2）详见解析． 【分析】（1）①可取1λ=，说明函数()2x f x =是“依附函数”； ②对于任意正数λ，取11x =，此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解，说明2()log g x x =不是“依附函数”； （2）先证明必要性，再证明充分性，即得证. 【详解】（1）①可取1λ=，则对任意1x ∈R ，存在21x x =-∈R ，使得12221x x ⋅=成立， （说明：可取任意正数λ，则221log x x λ=-） ∴()2x f x =是“依附函数”，②对于任意正数λ，取11x =，则1()0g x =，此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解，∴2()log g x x =不是“依附函数”． （2）必要性：（反证法）假设0[,]m n ∈，∵()y h x =的值域为[,]m n ，∴存在定义域内的1x ，使得1()0h x =，∴对任意正数λ，关于2x 的方程12()()h x h x λ=无解， 即()y h x =不是依附函数，矛盾， 充分性：假设0[,]m n ∉，取0mn λ=>， 则对定义域内的每一个值1x ，由1()[,]h x m n ∈，可得1[,][,]()m n h x n mλλλ∈=， 而()y h x =的值域为[,]m n ， ∴存在定义域内的2x ，使得21()()h x h x λ=，即12()()h x h x λ=成立，∴()y h x =是“依附函数”． 【点睛】本题主要考查函数的新定义，考查充分必要条件的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23．（1）11,0,122⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭；（2）112a ≥或112a ≤-.【分析】(1)分别计算命题,p q 为真、假时参数a 的取值范围,再根据题意可知命题p ,q 一真一假,进而分情况求解a 的取值范围即可.(2)由题意可知B A ⊆,再分0a ≥与0a <两种情况,分别根据区间端点满足的条件列式计算即可. 【详解】（1）若命题p ：()20a a a R -<∈为真,解得01a <<.若p 为假,则0a ≤或1a ≥；若命题q ：对任意x ∈R ,都有()2410x ax a R ++≥∈为真,则21640a ∆=-≤,解得1122a -≤≤,若q 为假,则12a <-或12a >. 由命题p 且q 为假,p 或q 为真可知命题p ,q 一真一假.若命题p 真,q 假,则011122a a a <<⎧⎪⎨-⎪⎩或,解得112a <<；若命题p 假,q 真,则1,01122a a a ≥≤⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩,解得102a -≤≤. 综上可知,实数a 的取值范围是11,0,122⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. （2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件,所以B A ⊆,71,22B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,()(){}|220A x x a x a =-+--≤,当0a ≥时,[]2,2A a a =-+,此时应有122722a a ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-≤-⎪⎩,即112a ≥, 当0a <时,[]2,2A a a =+-,此时应有122722a a ⎧-≥⎪⎪⎨⎪+≤-⎪⎩,即112a ≤-. 故112a ≥或112a ≤- 【点睛】本题主要考查了根据命题的真假以及充分与必要条件等求解参数范围的问题,属于中档题.24．[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦【分析】计算p 为真时()0,1c ∈，q 为真时12c >，讨论p 真q 假，或p 假q 真两种情况，分别计算得到答案. 【详解】p ：函数x y c =在R 上递减，故()0,1c ∈；q ：不等式|2|1x x c +->的解集为R ，当2x c ≥时，|2|221x x c x c +-=->，即12c x <-，故min11222c x c ⎧⎫<-=-⎨⎬⎩⎭， 解得12c >； 当2x c <时，|2|21x x c c +-=>，解得12c >. 综上所述：12c >. “p 或q ”为真，且“p 且 q ”为假，故p 真q 假，或p 假q 真.当p 真q 假时，0112c c <<⎧⎪⎨≤⎪⎩，故10,2c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；当p 假q 真时，112c c ≥⎧⎪⎨>⎪⎩，故[)1,c ∈+∞.综上所述：[)10,1,2c ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.25．（1）P 为真时，(5,7)a ∈-，Q 为真时，(4,)a ∞∈-+；（2）(5,4][7,)∞--⋃+；（3）(0,4] 【分析】（1）解出绝对值不等式可求出P 为真时a 的取值范围，讨论A =∅和A ≠∅时可求出Q 为真时a 的取值范围； （2）P 真Q 假，则574a a -<<⎧⎨≤-⎩；P 假Q 真，则574a a a ≤-≥⎧⎨>-⎩或，即可解出；（3）可求出(4,7)S =-，利用基本不等式可求出(,[2,)T m =-∞-+∞，则利用包含关系列出式子可求. 【详解】（1）对于命题P ，由1|()|(1)23f a a =-<可得616a -<-<，即57a -<<， :(5,7)P a ∴∈-，对于命题Q ，若A =∅，则Δ(2)(2)40a a =++-<，解得40a ，若A ≠∅，则2Δ(2)40(2)0a a ⎧=+-≥⎨-+<⎩，解得0a ≥，综上，4a >-，:(4,)Q a ∞∴∈-+；（2）若P 真Q 假，则574a a -<<⎧⎨≤-⎩，解得54a -<≤-，若P 假Q 真，则574a a a ≤-≥⎧⎨>-⎩或 ，解得7a ≥，综上，(5,4][7,)a ∈--⋃+∞； （3）当P ，Q 皆为真时，574a a -<<⎧⎨>-⎩，解得47a -<<，即(4,7)S =-，,,0,0(,)mT y y x x R x mx ⎧⎫==+∈≠>=-∞-⋃+∞⎨⎬⎩⎭，(T ∴=-， T S ⊆，47⎧-≥-⎪∴⎨≤⎪⎩，解得04m <≤. 【点睛】本题主要考查了复合命题真假的应用，解题的关键是要把命题,P Q 为真时所对应的参数范围准确求出，还要注意集合包含关系的应用.26．（1）(3,0)-；（2）(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【分析】（1）只需24120m m ∆=+<，然后求解m 的取值范围； （2）分p 真q 假、p 假q 真两种情况讨论求解. 【详解】解：（1）若命题p 为真命题，则24120m m ∆=+<，解得30m -<<， 故实数m 的取值范围(3,0)-（2）若命题q 为真命题，则21640m ∆=->，解得12m <-或12m > ∵命题,p q 中恰有一个为真命题， ∴命题,p q 一真一假①当p 真q 假时，301122m m -<<⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，解得：102m -≤< ②当p 假q 真时，301122m m m m ≤-≥⎧⎪⎨-⎪⎩或或，解得：3m ≤-或12m >.综上，实数m 的取值范围(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查根据命题的真假求解参数的取值范围，考查二次不等式恒成立与有解问题，难度一般.。

高中数学选修2-1、2-2综合试题

高中数学选修2-1、2-2综合试题

④“ x > 2 ”是“ 1 4．由直线 x = 12 D ． 15B ． 2 ln 2高中数学选修2-1、2-2 综合试题班级-------------姓名-----------得分-----------一、 选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)1．复数 z 的虚部记作 Im （z ），若 z= 5 1 + 2i，则 Im （ z ）=（ ）A ．2B ． 2iC ．－2D ．－2i2．考察以下列命题：①命题“ lg x = 0, 则x=1 ”的否命题为“若 lg x ≠ 0, 则x ≠ 1 ”②若“ p ∧ q ”为假命题，则 p 、q 均为假命题③命题 p ： ∃x ∈ R ，使得 s in x > 1 ；则 ⌝p ： ∀x ∈ R ，均有 sin x ≤ 11< ”的充分不必要条件x 2则真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．43.在平行六面体 ABCD - A B C D 中， M 为 A C 与 B D 的交点。

1 1 111 111若 AB = a ， AD = b ， AA = c 则与 BM 相等的向量是（）11 1 1 1A ． - a + b + cB ． a + b + c2 2 2 2A1DD1 C1 MB1 C1 1 1 1C ． - a - b + cD ． a - b + c2 2 2 2A B1 , x = 2, 曲线 y = - 及轴所围图形的面积为 （ ）2 xA ．- 2ln 2 C ． 1 ln 2 45．已知抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 上有一点 M （4，y ），它到焦点 F 的距离为 5，则 ∆OFM 的面积（O 为原点）为（）A ．1B ．2C ． 2D ． 2 26．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：…①②③7．在正三棱柱ABC-A B C中，若AB=2B B，则AB与C B所成角的大小为（）②实数a,b,有(a+b)2=a2+2ab+b2;类比向量a,b,有(a+b)2=a+2a⋅b+b按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．6n+2B．6n-2C．8n+2D．8n-2111111A．60°B．75°C．105°D．90°8．给出下面四个类比结论（）①实数a,b,若ab=0则a=0或b=0；类比向量a,b,若a⋅b=0，则a=0或b=022③向量a，有a2=a2；类比复数z，有z2=z2④实数a,b有a2+b2=0，则a=b=0；类比复数z，z有z2+z2=0，则212z=z=012其中类比结论正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．39．已知抛物线＝2px（p>1）的焦点F恰为双曲线（a>0,b>0）的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为()A．2B．2C．2+1D．2+210．设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（）A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C二、填空题（每小题5分，共20分。

高二数学选修2-1综合测试题(带答案)

高二数学选修2-1综合测试题(带答案)

高二数学选修2-1测试题(120分钟150分)班级姓名成绩一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知命题“如果-1≤a≤1，那么关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集为 ”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有( )A.0个B.1个C.2个D.4个【变式训练】命题“若C=90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.32.设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A.m∥β且l1∥αB.m∥l1且n∥l2C.m ∥β且n ∥βD.m∥β且n∥l2【变式训练】有下述说法：①a>b>0是a2>b2的充要条件；②a>b>0是<的充要条件；③a>b>0是a3>b3的充要条件.其中正确的说法有( )A.0个B.1个C.2个D.3个3. “1<m<3”是“方程+=1表示椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线-=1(a>0，b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )A. B.+1 C.+1 D.【变式训练】若双曲线C：x 2-=1(b>0)的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率e=( )A.2B.C.3D.5.已知命题p：∀x∈R，x ≥2，那么下列结论正确的是( )A.命题p：∀x∈R，x≤2B.命题p：∃x0∈R，x0<2C.命题p：∀x∈R，x≤-2D.命题p：∃x0∈R，x0<-26.已知矩形ABCD中，AB=1，BC=，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为( )A.1B.C.D.7.过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若=10，则AB的中点到y轴的距离等于( )A.1B.2C.3D.48.在四边形ABCD中，“∃λ∈R ，使得=λ，=λ”是“四边形ABCD为平行四边形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为( )A.60°B.90°C.45°D.以上都不正确10.设F1，F2是双曲线x2-4y2=4a(a>0)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足：·=0，||·||=2，则a的值为( )A.2B.C.1D.11.点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则·的取值范围是( )A. B.C.[-1，0]D.12.已知正六边形ABCDEF的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是( )A. B. C. D.2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.抛物线焦点在y轴上，且被y=x+1截得的弦长为5，则抛物线的标准方程为.14.在△ABC中，若∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=8，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB上一点，则PM的最小值为.15.在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG=2GD，=a，=b，=c，试用基底{a，b，c}表示向量= .16.曲线C是平面内到直线l1：x=-1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C过点(-1，1)；②曲线C关于点(-1，1)对称；③若点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则+不小于2k.④设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线x=-1、点(-1，1)及直线y=1对称的点分别为P1，P2，P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2.其中，所有正确结论的序号是.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)设p：关于x的不等式a x>1(a>0且a ≠1)的解集为{x|x<0}，q：函数y=l g(ax2-x+a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围. 18.(12分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点.(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1.(2)用向量法证明MN⊥平面A1BD.19.(12分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1，-2).(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由.20.(12分)设F1，F2为椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|.(1)求|PF1|的长度.(2)求的值. 21.(12分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值.(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论.22.(12分)如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点.(1)证明B1C1⊥CE.(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值.(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长.高二数学选修2-1测试题答案一、选择题1、【解析】选C.当-1≤a≤1时，Δ=(a+2)2+4(a2-4)=5--12≤5--12<0，所以原命题为真，逆否命题亦为真.反之，如a=-2时，所给不等式的解集即为空集，但a∉[-1，1]，所以逆命题为假，故否命题亦为假.【变式训练】【解析】选C.原命题是真命题.其逆命题为“若△ABC是直角三角形，则C=90°”，这是一个假命题，因为当△ABC为直角三角形时，也可能A或B为直角.这样，否命题是假命题，逆否命题是真命题.因此真命题的个数是2.2.【解析】选B.对于选项A，α，β也可能相交，此时，l1，m都平行于交线，是必要不充分条件；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α，故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选项B符合题意；对于选项C，由于m，n不一定相交，故是必要不充分条件；对于选项D，由n∥l2可转化为n∥β，同选项C，故不符合题意，【变式训练】【解析】选 A.a>b>0⇒a2>b2，a2>b2⇒|a|>|b|⇒a>b>0，故①错.a>b>0⇒<，但<⇒a>b>0，故②错.a>b>0⇒a3>b3，但a3>b 3⇒a>b>0故③错故选A.3. 【解析】选 B.当方程+=1表示椭圆时，必有所以1<m<3；但当1<m<3时，该方程不一定表示椭圆，如当m=2时，方程变为x 2+y2=1，它表示一个圆.4【解析】选B.如图，由双曲线-=1，且AF⊥x轴得-=1得|y|=，由抛物线y2=2px的定义得AF=p，即=2c.得b2=2ac，所以=，e2-1=2e，所以e=+1.【拓展延伸】求离心率的方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e=.已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数.这是基本且常用的方法.(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率.这是求离心率的十分重要的思路及方法.(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.【变式训练】【解析】选B.由双曲线方程知a=1，所以c=，所以一条渐近线的方程为y=bx，即bx-y=0.所以=，解得b=1，所以c=，所以e==.5.【解析】选B.全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∃x0∈R，x0<2.6. 【解析】选B.过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N.则可求得AM=，BM=，CN=，DN=，MN=1.由于=++，所以||2=(++)2=||2+||2+||2+ 2(·+ ·+·)=+12++2(0+0+0)=，所以||=.7.【解析】选D.抛物线y2=4x的焦点(1，0)，准线为l：x=-1，设AB的中点为E，过A，E，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，F，D，EF交纵轴于点H，如图所示，则由EF为直角梯形的中位线知，|EF|===5，所以EH=EF-1=5-1=4，即AB的中点到y 轴的距离等于4.8. 【解析】选C.若=λ，=λ，则∥，∥，即AB∥DC，AD∥BC，所以四边形ABCD为平行四边形.反之，若四边形ABCD为平行四边形，则有AB∥DC，AD∥BC且AB=DC，AD=BC ，即=，=，此时λ=1，所以∃λ∈R ，使得=λ，=λ成立.所以“∃λ∈R ，使得=λ，=λ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充分必要条件.9. 【解析】选B.以点D为原点，直线DA，DC，DD 1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图.由题意知，A1(1，0，2)，E(1，1，1)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)，所以=(0，1，-1)，=(1，1，-1)，=(0，-1，-1).设平面A1ED1的一个法向量为n=(x，y，z).则⇒令z=1，得y=1，x=0.所以n=(0，1，1)，cos<n ，>===-1.所以<n ，>=180°.所以直线AE与平面A1ED1所成的角的大小为90°.10. 【解析】选C.双曲线方程化为-=1(a>0)，因为·=0，所以PF1⊥PF2.所以||2+||2=4c2=20a. ①由双曲线定义||-||=±4，②又已知||·||=2，③由①②③得20a-2×2=16a，所以a=1.11. 【解析】选D.如图所示建立空间直角坐标系，则A(1，0，1)，C1(0，1，0).设P(x，y，0)其中0≤x≤1，0≤y≤1.则=(1-x，-y，1) =(-x，1-y，0)所以·=(1-x，-y，1)·(-x，1-y，0)=+-，因为+的几何意义是平面区域到点的距离的平方，所以当x=y=时，+有最小值0，当x=y=0或x=y=1或x=1，y=0或x=0，y=1时，+有最大值，所以-≤+-≤0，即·的取值范围是.12. 【解析】选B.设抛物线方程为y2=2px(p>0)，根据对称性可知，正六边形ABCDEF的顶点A，B，C，F在抛物线y2=2px上，设A(x1，1)，F(x2，2)，则即x2=4x1，又AF==2，即(x1-x2)2=(x1-4x1)2=3，所以=，x1=，即p===.二、填空题13.【解析】设抛物线方程为x2=my，联立抛物线方程与直线方程y=x+1并消元，得：2x2-mx-2m=0，所以x1+x2=，x1x2=-m，所以5=，把x1+x2=，x1x2=-m代入解得m=4或m=-20.所以抛物线的标准方程为x2=4y或x2=-20y. 答案：x2=4y或x2=-20y 14.【解析】由条件知PC，AC，BC 两两垂直，设=a ，=b ，=c，则a·b=b·c=c·a=0，因为∠BAC=60°，AB=8，所以|a |=||=8cos60°=4，|b |=||=8sin60°=4，|c |=||=4.设=x=x(b -a)，其中x∈[0，1]，则=++=-c+a+x(b-a)=(1-x)a+x b-c，||2=(1-x)2|a|2+x2|b|2+|c|2+2(1-x)x a·b-2x b·c-2(1-x)a·c=16(1-x) 2+48x2+16=32(2x2-x+1)=64+28，所以当x=时，||2取最小值28，所以||min =2. 答案：215. 【解析】因为BG=2GD ，所以=.又=+=-+-=a+c-2b，所以=+=b +(a+c-2b)=a -b +c.答案：a -b +c16.【解析】设动点为(x，y)，则由条件可知·=k2，①，将(-1，1)代入得0=k2，因为k>0，所以不成立，故方程不过点(-1，1)，①错误.②，把方程中的x用-2-x代换，y用2-y代换，方程不变，故此曲线关于点(-1，1)对称，②正确.③，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则≥，≥，所以+≥2=2k，故③正确.④，由题意知点P0在曲线C上，根据对称性，则四边形P0P1P2P3的面积为2·2=4·=4k2，所以④正确.综上所述，正确结论的序号是②③④.答案：②③④三、解答题17.【解析】当p真时，0<a<1，当q 真时，即a>，所以p假时，a>1，q假时，a ≤.又p和q有且仅有一个正确，当p真q假时，0<a ≤；当p假q真时，a>1. 综上a 的取值范围为∪(1，+∞). 18.【证明】(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，=-，=-，又因为=，=，所以=，所以BD∥B1D1.又B1D1⊂平面B1CD1，BD⊄平面B1CD1，所以BD∥平面B1CD1，同理可证A1B∥平面B1CD1.又BD∩A1B=B，所以平面A1BD∥平面B1CD1.(2)=++=++(+)=++(-+)=++.设=a ，=b ，=c，则=(a+b+c).又=-=b-a，所以·=(a+b+c)·(b-a)=(b2-a2+c·b-c·a).又因为⊥，⊥，所以c·b=0，c·a=0.又|b|=|a|，所以b2=a2.所以b2-a2=0.所以·=0.所以MN⊥BD.同理可证，MN⊥A1B.又A1B∩BD=B，所以MN⊥平面A1BD.19.【解析】(1)将A(1，-2)代入y2=2px，得(-2)2=2p·1，所以p=2.故所求抛物线C的方程为y2=4x，其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t.由得y2+2y-2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ=4+8t≥0，解得t≥-.由直线OA与l的距离d=，可得=，解得t=±1.因为-1∉，1∈，所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0.20.【解析】(1)若∠PF2F1是直角，则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，即|PF1|2=(12-|PF1|)2+80，得|PF1|=，若∠F1PF2是直角，则|PF1|2+(12-|PF1|)2=80，即2|PF1|2-24|PF1|+64=0，得|PF1|=8.(2)若∠PF2F1是直角，则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，即|PF1|2=(12-|PF1|)2+80，得|PF1|=，|PF2|=，所以=.若∠F1PF2是直角，则|PF1|2+(12-|PF1|)2=80，即2|PF1|2-24|PF1|+64=0，得|PF1|=8，|PF2|=4，所以=2，综上，=2或.21.【解析】设正方体的棱长为1.如图所示，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz.(1)依题意，得B(1，0，0)，E，A(0，0，0)，D(0，1，0)，所以=，=(0，1，0).在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AD⊥平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量.设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ，则sinθ===.故直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.证明如下：依题意，得A1(0，0，1)，=(-1，0，1)，=.设n=(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n ·=0，n ·=0，得所以x=z，y=z.取z=2，得n=(2，1，2).因为F是棱C1D1上的点，则F(t，1，1)(0≤t≤1). 又B1(1，0，1)，所以=(t-1，1，0).而B1F⊄平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE ⇒·n=0⇔(t-1，1，0)·(2，1，2)=0⇔2(t-1)+1=0⇔t=⇔F为棱C1D1的中点.这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.22.【解题指南】方法一：(1)建立空间直角坐标系，写出，的坐标，利用数量积证明.(2)求出平面B1CE与平面CEC1的法向量，由法向量的夹角余弦值求二面角的正弦值.(3)用直线AM的方向向量与平面ADD1A1的法向量表示直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦，确定向量的坐标，由向量的模求线段AM的长.方法二：(1)要证明线线垂直，先证明线面垂直，关键是找出与线B1C1垂直的平面CC1E，然后进行证明.(2)要求二面角B1-CE-C1的正弦值，关键是构造出二面角B1-CE-C1的平面角，然后在三角形中求解.(3)首先构造三角形，设AM=x，在直角三角形AHM，C1D1E中用x表示出AH，EH的长度，最后在三角形AEH中利用余弦定理求解.【解析】如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0).(1)易得=(1，0，-1)，=(-1，1，-1)，于是·=0，所以B1C1⊥CE.(2)=(1，-2，-1)，设平面B1CE的法向量m=(x，y，z)，则即消去x，得y+2z=0，不妨设z=1，可得一个法向量为m=(-3，-2，1).由(1)知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故=(1，0，-1)为平面CEC1的一个法向量.于是cos<m ，>===-，从而sin<m ，>=.所以二面角B1-CE-C1的正弦值为.(3)=(0，1，0)，=(1，1，1)，设=λ=(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有=+=(λ，λ+1，λ).可取=(0，0，2)为平面ADD1A1的一个法向量.设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sinθ====.于是=，解得λ=，所以AM=.【一题多解】(1)因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1，经计算可得B1E=，B1C1=，EC1=，从而B1E2=B 1+E，所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，又CC1，C1E⊂平面CC1E，CC1∩C1E=C1，所以B1C1⊥平面CC1E，又CE⊂平面CC1E，故B1C1⊥CE.(2)过B1作B1G⊥CE于点G，连接C1G，由(1)知，B1C1⊥CE，B1C1，B1G⊂平面B1C1G，B1C1∩B1G=B1，故CE⊥平面B1C1G，又C1G⊂平面B1C1G ，得CE⊥C1G，所以∠B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角.在△CC1E中，由CE=C1E=，CC1=2，可得C1G=.在Rt△B1C1G中，B1G=，所以sin∠B1GC1=，即二面角B1-CE-C1的正弦值为.(3)连接D1E，过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，连接AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角.设AM=x，从而在Rt△AHM中，有MH=x，AH=x，在Rt△C1D1E中，C1D1=1，ED1=，得EH=MH=x，在△AEH中，∠AEH=135°，AE=1，由AH2=AE2+EH2-2AE·EHcos135°，得x2=1+x2+x，整理得5x2-2x-6=0，解得x=.所以线段AM的长为.。

高二数学选修2-1测试试题及答案

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高二数学选修2-1测试试题及答案本试题满分150分，用时100分钟）一、选择题：1.命题“若a>b，则a-8>b-8”的逆否命题是（）A.若a<b，则a-8<b-8B.若a-8≤b-8，则a≤bC.若a≤b，则a-8≤b-8D.若a-8b2.如果方程x^2+ky^2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．(0.+∞)B．(0.2)C．(0.1)D．(1.+∞)3.已知x-3x+2≥0，2x-2≥1，则“非P”是“非Q”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4.双曲线16/(x^2)-9/(y^2)=1的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，那么△ABF2的周长是（）A、24B、25C、26D、285.若焦点在轴上的椭圆x^2/3+y^2/2=1的离心率为e，则m=A.3B.38/2C.23/2D.33/26.在同一坐标系中，方程x^2/2+y^2/2=1与ax+by^2=(a>b>)的曲线大致是（）ab7.椭圆25x^2+16y^2=400的面积为（）A.9B.12C.10D.88.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则E到平面ABC1D1的距离是（）A.√2/2B.√6/2C.√3/2D.√29.若向量a与b的夹角为60°，b=4，(a+2b)(a-3b)=-72，则a=A.2B.4C.6D.1210.方程x^2/k-y^2/k=1表示双曲线，则k的取值范围是（）A．-1<k<1B．k>0XXX≥1D．k>1或k<-111.方程x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0,k>且k≠1)，与方程y^2/a^2+x^2/b^2=1的图形是（）两个坐标轴上的椭圆12.若x^2+y^2+z^2=1，则x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2的最大值为（）1/3二、填空题：13.当k>1时，曲线x^2/k-y^2/k=1是（）。

高中数学选修2-1综合试卷

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高中数学选修2-1综合试卷数学选修2-1一、选择题1.椭圆的焦点坐标为（XXX.）。

2.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于（B）。

3.在正方体中，异面直线与所成角的大小为（45°），则顶点A的轨迹方程是（x+y+z=0）。

4.已知中，点O为正方体的中心，异面直线所成角为60°，则顶点A的轨迹方程是（x+y+z=0）。

5.已知在抛物线上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（8）。

6.命题“的否定是（）。

7.给出如下四个命题：1.若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；2.命题“若，则”的否命题为“若，则”；3.“，”的否定是“，”；4.在中，“”是“”的充要条件。

其中正确的命题的个数是（B）。

8.椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为（0）。

9.若A点坐标为（-3,0），是椭圆的最大值为（4），的左焦点，点P是该椭圆上的动点，则（AP+PF=6）。

10.若点O和点F分别为椭圆的最大值为3的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则（OP²=OF²+FP²）。

11.直线l：过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（y=±(x²/2)）。

12.四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且∠BAC=∠BCD=45°，平面ABCD且平面PCD所成角的正弦值为（1/3），则PB与平面的法向量为（-2,1,2）。

二、填空题13.抛物线的准线方程为（y=p）。

14.若方程的曲线是椭圆，则k的取值范围是（0<k<1）。

15.“”是“直线和直线平行”的充要条件。

16.给出下列命题：直线l的方向向量为（1,2,3），直线l的方向向量1，2，3，直线m的方向向量2,1,1，平面的法向量1,2，-1，则向量1,2，-1与平面垂直；平面经过三点(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，u=2,3，-1是平面的法向量，则真命题的是（命题1和命题3）。

高中数学选修2-1 第一章《 常用逻辑用语》单元测试题(含答案)

高中数学选修2-1 第一章《 常用逻辑用语》单元测试题(含答案)

高中数学选修2-1 第一章单元测试题《常用逻辑用语》时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列语句中，不能成为命题的是( )A．指数函数是增函数吗？B．2 012＞2 013C．若a⊥b，则a·b＝0D．存在实数x0，使得x0＜02．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．43．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．下列命题中的假命题是( )A．存在x∈R，lg x＝0 B．存在x∈R，tan x＝1C．任意x∈R，x3＞0 D．任意x∈R,2x＞05．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )A．每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤bC．存在一个菱形不是平行四边形D．存在一个实数x使不等式x2－3x＋7＜0成立18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)p：存在一个实数x，使得3x＜0；(3)p：若a n＝－2n＋1，则∃n∈N，使S n＜0；(4)p：有些偶数是质数．19．(本小题满分12分)设命题p：c2＜c和命题q：对∀x∈R，x2＋4cx＋1＞0，且p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．20．(本小题满分12分)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．21．(本小题满分12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.22．(本小题满分12分)给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．高中数学选修2-1 第一章单元测试题《常用逻辑用语》参考答案时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列语句中，不能成为命题的是( )A．指数函数是增函数吗？B．2 012＞2 013C．若a⊥b，则a·b＝0D．存在实数x0，使得x0＜0解析：疑问句不能判断真假，因此不是命题．D是命题，且是个特称命题．答案：A2．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：原命题是真命题，逆否命题为真命题，逆命题为“若xy≥0，则x≥0，y≥0”是假命题，则否命题为假命题．答案：B3．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：先求出两直线平行的条件，再判断与a＝1的关系．若l1∥l2，则2a －2＝0，∴a＝1.故a＝1是l1∥l2的充要条件．答案：C。

高二数学选修2-1测试试题及答案

高二数学选修2-1测试试题及答案

（选修2-1）模块测试试题命题人：铁一中 周粉粉（本试题满分150分，用时100分钟）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.命题“若a b >，则88a b ->-”的逆否命题是 （ ）A.若a b <，则88a b -<-B.若88a b ->-，则a b >C.若a ≤b ，则88a b -≤-D.若88a b -≤-，则a ≤b2．如果方程x 2+k y 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．(0, +∞)B ．(0, 2)C ．(0, 1)D ． (1, +∞)3.P:12≥-x ,Q:0232≥+-x x ，则“非P ”是“非Q ”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4．双曲线221169x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，在左支上过点F 1的弦AB 的长为5，那么△ABF 2的周长是（ ）A 、24B 、25C 、26D 、 285.若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（ ） A.3 B.23 C.38 D.32 6．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax by a x 与的曲线大致是（ ）7.椭圆221259x y +=的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1⊥PF 2，则∆PF 1F 2的面积为（ ）A.9B.12C.10D.8 8．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点，则E 到平面11ABC D 的距离是（ ） Ａ．32Ｂ．22Ｃ．12Ｄ．339．若向量a 与b 的夹角为60°，4=b ，(2)(3)72a b a b +-=-，则a =（ ） Ａ．2 Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．1210．方程22111x y k k表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）A ．11<<-kB ．0>kC ．0≥kD ．1>k 或1-<k11.方程12222=+kb y ka x (a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)，与方程12222=+by a x (a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ） （A ）有等长的短轴、长轴 （B ）有共同的焦点（C ）有公共的准线 （D ）有相同的离心率 12．如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，且AB ⊥平面α，224AB BC CD ===，点P 为α内一动点，且APB DPC ∠=∠，则P 点的轨迹为（ ） Ａ．直线 Ｂ．圆 Ｃ．椭圆 Ｄ．双曲线二、填空题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分．将正确答案填在答题卷上对应题号的横线上．）13.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么丙是甲的 （①.充分而不必要条件，②.必要而不充分条件 ，③.充要条件） 14．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，向量1BA 与向量AC 所成的角为 ． 15.已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k= ．16.抛物线的的方程为22x y =，则抛物线的焦点坐标为____________17.以下三个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，K 为非零常数，若｜PA ｜－｜PB ｜＝K ，则动点P 的轨迹是双曲线。

高中数学选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题(含答案)

高中数学选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题(含答案)

12PF F S ＝解析：设P (x 0，y 0)，PF 的中点为(x ，y )，则y 0＝14x 20，又F (0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02y ＝y 0＋12，∴⎩⎨⎧x 0＝2xy 0＝2y －1，代入y 0＝14x 20得2y －1＝14(2x )2，化简得x 2＝2y －1，故选A. 答案：A7．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0， 则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 答案：B8．直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2＝2y 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则b ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2x －2b ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y . (2)由题意易知直线l 2的斜率存在，又抛物线方程为x 2＝4y ，当直线AB 斜率为0时|PQ |＝4 2.当直线AB 斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)，即得k ＝x 1＋x 24＝t 2，则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24[4t 2－42t 2－8]＝8－t 24＋t 2≤6，即|PQ |的最大值为6.19．(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，12PF F S ＝123，求双曲线的标准方程．解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∴所求k 的值为2.21．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0,1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积． 解析：(1)由题意知b ＝1，c a ＝22，且c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，c ＝1. 易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎨⎧y ＝－2x －2x22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0， 所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23∴|CD |＝1＋－22|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455， 故CDF S2＝12|CD |·d ＝4910. 22．(本小题满分12分)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为。

高中数学选修2-1同步练习题库：空间向量及其运算(选择题：较易)

高中数学选修2-1同步练习题库：空间向量及其运算(选择题：较易)

空间向量及其运算（选择题：较易）1、在空间直角坐标系中，点M的坐标是，则点M关于y轴的对称点坐标为（）A． B．C． D．2、已知空间上的两点，，以为体对角线构造一个正方体，则该正方体的体积为（）A． B． C． D．3、在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标是（）A． B． C． D．4、若，，且，则的值是（）A．0 B．1 C．-2 D．25、已知，，若，则（）A．， B．， C．， D．，6、设向量 =（﹣1，﹣1，1），=（﹣1，0，1），则cos＜，＞=（）A． B． C． D．7、设，向量且，则（）A． B． C．3 D．48、已知，，且，则x的值是（）A．6 B．5 C．4 D．39、已知分别是四面体的棱的中点，点在线段上，且，，则=（）A． B． C． D．10、已知向量，，且与互相垂直，则的值是（）A．1 B． C． D．11、点A（2，0，3）在空间直角坐标系中的（）A．y轴上 B．xoy平面上 C．xoz平面上 D．yoz平面上12、已知分别是平面的法向量则平面，的位置关系式（）A．平行 B．垂直 C．所成的二面角为锐角 D．所成的二面角为钝角13、在四面体中，分别是的中点，若，则（）A． B． C．1 D．214、已知向量且，则的值为A． B． C． D．15、如图，在三棱锥中，分别是的中点，若，且向量与的夹角为，则棱与棱的关系是（）A． B． C． D．无法确定16、在三棱柱中，是的中点，是的中点，且，则( )A． B． C． D．17、如图，空间四边形中，，点在上，且是的中点，则（）A． B．C． D．18、如图，空间四边形中，点分别在上，，，则（）A． B．C． D．19、空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A． B． C． D．20、如图，空间四边形中，，点在上，且是的中点，则（）A． B．C． D．21、空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A． B． C． D．22、已知空间向量，若与垂直，则等于（）A． B． C． D．23、已知，若向量共面，则（）A． B． C． D．24、如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为的中点，则（）A． B．C． D．25、在空间直角坐标系中，点M的坐标是，则点M关于y轴的对称点坐标为（）A． B．C． D．26、设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则A． B．C． D．27、设一球的球心为空间直角坐标系的原点，球面上有两个点，其坐标分别为，，则A．18 B．12C． D．28、如图，空间四边形中，，点在上，且是的中点，则（）A． B．C． D．29、在四棱锥中，底面是平行四边形，设，则可表示为（）A． B．C． D．30、若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（）A．1 B．2C． D．31、设向量，则向量的夹角的余弦值为（）A． B．C． D．32、如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为的正方体，的中点与的中点的距离为（）A． B．C． D．33、已知，，则直线与平面交点的坐标是（）A． B．C． D．34、已知，若与为共线向量，则（）A． B．C． D．35、向量，若，则的值为（）A． B．C． D．36、如图所示，已知，，三点不共线，为平面内一定点，为平面外任一点，则下列能表示向量的为（）.A． B． C． D．37、若向量、、的起点与终点、、、互不重合且无三点共线，且满足下列关系（是空间任一点），则能使向量、、成为空间一组基底的关系是（）A． B．C． D．38、已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（）A． B．C． D．39、若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（）A． B．C． D．40、在以下三个命题中，真命题的个数是（）①三个非零向量、、不能构成空间的一个基底，则、、共面；②若两个非零向量、与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则、共线；③若、是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底．A． B． C． D．41、在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标可记为（）A． B．C． D．42、下列各组向量中不平行的是（）A． B．C． D．43、已知均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（）A． B． C． D．44、已知，且与垂直，则与的夹角为（）A． B． C． D．45、已知空间四面体的每条棱长都等于，点分别是的中点，则等于（）A． B． C． D．46、已知是正六边形外一点，为正六边形的中心，则等于（）A． B． C． D．47、在直三棱柱中，若，，，则（）A． B． C． D．48、如图，在正方体中，若，则的值为（）A． B． C． D．49、如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，是与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A． B．C． D．50、已知A（2，3，－1），B（2，6，2），C（1，4，－1），则向量与的夹角为（）A．45° B．90° C．30° D．60°51、若，如果与为共线向量，则（）A． B．C． D．52、在空间直角坐标系中，点Ｍ（-1,2,-3）关于yoz面的对称点是（）A．（-1,2,3） B．（1,2,-3） C．（1,2,3） D．（-1,-2,3）53、已知向量，，且与互相垂直，则＝（）A． B． C． D．54、以下四组向量中，互相平行的是．（）（1），；（2），；（3），；（4），．A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3）55、＝（1－t，1－t，t），＝（2，t，t），则|－|的最小值是（）A． B． C． D．56、已知向量a＝（0,2,1），b＝（－1,1，－2），则a与b的夹角为（）A．0° B．45° C．90° D．180°57、已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则与的夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°58、设A（1，－1，1），B（3，1，5），则AB中点在空间直角坐标系中的位置是（）A．y轴上 B．xOy面内 C．xOz面内 D．yOz面内59、已知则的值分别为（）A． B．5，2 C． D．60、已知向量，且与互相垂直，则的值为（）A．1 B． C． D．61、若已知A（1，1，1），B（－3，－3，－3），则线段AB的长为（）A．4 B．2 C．4 D．362、设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点﹐球面上有两个点，的坐标分别为，，则（）A． B． C． D．63、已知点,且,则实数的值是（）A．或4 B．或2 C．3或 D．6或64、在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（）A． B． C． D．65、如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（）A． B．C． D．66、已知空间中点，则点关于平面对称的点的坐标是（）A． B． C． D．67、已知空间中两点A（1，2，3），B（4，2，a），且，则a=（）A．1或2 B．1或4 C．0或2 D．2或468、已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（）A． B． C． D．69、点A（1，2，3）关于xOy平面对称的点B坐标是（）A．（-1，2，3） B．（1，-2，3） C．（1，2，-3） D．（-1，-2，3）70、已知平面的法向量为，点不在内，则直线与平面的位置关系为A．B．C．与相交不垂直D．参考答案1、B2、D3、C4、C5、A6、D7、D8、A9、C10、D11、C12、B13、C14、D15、A16、B17、B18、B19、C20、B21、C22、D23、B24、B25、B26、D27、C28、B29、A30、C31、D32、B33、D34、D35、D36、D37、C38、B39、C40、C41、C42、D43、C44、D45、A46、C47、D48、B49、A50、D51、D52、B53、B54、B55、C56、C57、C58、C59、A60、D61、C62、D63、D64、B65、B66、A67、D68、B69、C70、D【解析】1、试题分析：∵在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为：，∴点关于轴的对称点的坐标为：．考点：空间点的坐标．2、∵，∴设正方体的棱长为，由题意可得，解得∴正方体的体积为，故选D3、关于面对称的点为4、，,.若，则.即，解得.故选C.5、，，若，则有，即.解得，.故选A.6、选D7、,,,,故选C.8、，易得x=6，故选A9、如图所示：本题选择C选项.10、 =(3,1,6),=(2k−1,k,4k−2)，∵与互相垂直,∴3(2k−1)+k+6(4k−2)=0，解得k=，本题选择D选项.11、纵坐标为0，则点A（2，0，3）在空间直角坐标系中的xoz平面上.本题选择C选项.12、由,可得,所以，而，分别是平面的法向量，所以,故选B.13、如图所示，连接，∵、分别是、的中点，∴，∴，又，∴，故选C.14、由空间向量垂直的充要条件可知：.本题选择D选项.15、如图为所在边的中点， ,故选A.16、根据向量加法的多边形法则以及已知可得：∴，故选B.17、试题解析：根据向量的减法可知，因为点在上，且是的中点，所以，,所以，故选B.考点：向量的线性运算．【方法点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查了共线向量定理与平面向量基本定理及向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，属于中档题.题目给出了空间的一个基底，要求用基向量表示向量，先根据向量减法的三角形法则表示为，再根据共线向量定理和三角形的中线向量表达式表示出,最后用基向量表示出式中各向量即可.18、 ,故选B .19、点关于平面对称的点横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即，故选C.20、试题解析：根据向量的减法可知，因为点在上，且是的中点，所以，,所以，故选B.考点：向量的线性运算．【方法点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查了共线向量定理与平面向量基本定理及向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，属于中档题.题目给出了空间的一个基底，要求用基向量表示向量，先根据向量减法的三角形法则表示为，再根据共线向量定理和三角形的中线向量表达式表示出,最后用基向量表示出式中各向量即可.21、点关于平面对称的点横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即，故选C.22、由题意可得，又因为与垂直，所以，即，所以得，所以，即，故本题正确答案为D。

高中数学选修2-1全册综合测试题含答案

高中数学选修2-1全册综合测试题含答案

选修2-1综合测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知p ：2x －3<1，q ：x 2－3x <0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．抛物线y ＝14x 2的焦点坐标为( ) A ．(116，0) B ．(－116，0) C ．(0,1) D ．(0，－1)3．已知命题p ：3是奇数，q ：3不是质数．由它们构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”形式的命题中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－3,0) C ．(－12,0) D ．(－60，－12)5．下列结论正确的个数是( )①命题“所有的四边形都是平行四边形”是特称命题；②命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”是全称命题；③若p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0，则非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0.A ．0B ．1C ．2D ．36．设α，β，γ是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知a ＝(m ＋1,0,2m )，b ＝(6,2n －1,2)，若a ∥b ，则m 与n 的值分别为( ) A.15，12 B ．5,2 C ．－15，－12D ．－5，－2 8．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．4 29．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.32C.53D ．210．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点EF 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°11．给出下列曲线，其中与直线y ＝－2x －3有交点的所有曲线是( )①4x ＋2y －1＝0；②x 2＋y 2＝3；③x 22＋y 2＝1；④x 22－y 2＝1. A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④12．过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2两点，设线段P 1P 2的中点为P .若直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1·k 2等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________．14．已知命题p ：1≤x ≤2，q ：a ≤x ≤a ＋2，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．15．已知直线l 1的一个方向向量为(－7,4,3)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,6)，且l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.16．如图在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面ABCD 所成角的余弦值为________．三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．18．(12分)求证：a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直的充要条件．19．(12分)抛物线y ＝－x 22与过点M (0，－1)的直线l 相交于A ，B 两点，O 为原点，若OA 和OB 的斜率之和为1，求直线l 的方程．20．(12分)已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP ||OM |＝e (e 为椭圆C 的离心率)，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21．(12分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2AA 1，点D 是A 1B 1的中点，点E 在A 1C 1上，且DE ⊥AE .(1)证明：平面ADE⊥平面ACC1A1；(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．22．(12分)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；(2)求二面角A1—BD—C1的余弦值．1．解析 p ：x <2，q ：0<x <3.∴pD ⇒/q ，qD ⇒/p .∴p 是q 的既不充分也不必要条件．答案 D2．解析 由y ＝14x 2，得x 2＝4y ，∴焦点坐标为(0,1)．答案 C2．解析 命题p 为真，q 为假，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”、“綈p ”为假，故应选B.答案 B4．解析 由x 24＋y 2k ＝1表示双曲线知，k <0，且a 2＝4，b 2＝－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k 4，∵1<e <2，∴1<4－k 4<4.∴4<4－k <16，∴－12<k <0.答案 C5．解析 ①是全称命题，②是全称命题，③綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1>0.∴①不正确，②正确，③不正确．答案 B6．解析 ①正确，②不正确，③正确，④正确．答案 C7．解析 ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＝6λ，0＝λ(2n －1)，2m ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝15，n ＝12，λ＝15.∴m ＝15，n ＝12.答案 A 8．解析 设双曲线的焦距为2c ，由双曲线方程知c 2＝3＋p 216，则其左焦点为(－3＋p 216，0)．由抛物线方程y 2＝2px 知其准线方程为x ＝－p 2，由双曲线的左焦点在抛物线的准线上知，3＋p 216＝p 24，且p >0，解得p ＝4.答案 C9．解析 由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝8a 3，|PF 2|＝2a 3.又|PF 2|≥c －a ，即2a 3≥c －a .∴c a ≤53.即e ≤53.答案 C10．解析 建立空间直角坐标如图所示．设AB ＝2，则EF →＝(0，－1,1)．BC 1→＝(2,0,2)，∴cos 〈EF →·BC 1→〉＝EF →·BC 1→|EF →||BC 1→|＝28·2＝12， 故EF 与BC 1所成的角为60°.答案 B11．解析 直线y ＝－2x －3与4x ＋2y －1＝0平行，所以与①不相交．②中圆心(0,0)到直线2x ＋y ＋3＝0的距离d ＝35< 3.所以与②相交．把y ＝－2x －3代入x 22＋y 2＝1，得x 22＋4x 2＋12x ＋9＝1，即9x 2＋24x ＋16＝0，Δ＝242－4×9×16＝0，所以与③有交点．观察选项知，应选D.答案 D12．解析 设直线l 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，代入x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 211＋2k 21， 而y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2＋4)＝4k 11＋2k 21. ∴k 2＝y 1＋y 22x 1＋x 22＝－12k 1，∴k 1·k 2＝－12. 答案 A13．解析 命题“存在一个三角形没有外接圆”是特称命题，它的否定是全称命题“任意一个三角形都有外接圆．”答案 任意一个三角形都有外接圆14．解析 “p 是q 的必要不充分条件”的逆否命题是“q 是p 的必要不充分条件”．∴{x |1≤x ≤2}{x |a ≤x ≤a ＋2}，∴0≤a ≤1. 答案 0≤a ≤115．答案 －14 816．解析 由题意知，AC 1＝22＋22＋1＝3，AC ＝22＋22＝22，在Rt △AC 1C 中，cos ∠C 1AC ＝AC AC 1＝223.答案 22317．解 由|x －1|>m －1的解集为R ，知m －1<0，∴m <1.即p ：m <1.又f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，∴5－2m >1，即m <2，即q ：m <2.若p 真q 假，则⎩⎨⎧ m <1，m ≥2，m 不存在． 若p 假q 真，则⎩⎨⎧ m ≥1，m <2，∴1≤m <2.综上知，实数m 的取值范围是[1,2)．18．证明 充分性：当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直；当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a 2，直线x＋by ＋2＝0的斜率k 2＝－1b ，如果a ＋2b ＝0，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b )＝－1.故两直线互相垂直．必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b )＝－1，所以a ＋2b ＝0，若两条直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0，所以a ＋2b ＝0.综上可知，a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直的充要条件．19．解 显然直线l 垂直于x 轴不合题意，故设所求的直线方程为y ＝kx －1，代入抛物线方程化简，得x 2＋2kx －2＝0.由根的判别式Δ＝4k 2＋8＝4(k 2＋2)>0，于是有k ∈R .设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，则y 1x 1＋y 2x 2＝1.① 因为y 1＝kx 1－1，y 2＝kx 2－1，代入① ，得2k －(1x 1＋1x 2)＝1.② 又因为x 1＋x 2＝－2k ，x 1x 2＝－2，代入②得k ＝1.所以直线l 的方程为y ＝x －1.20．解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c 由已知得⎩⎨⎧ a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得⎩⎨⎧ a ＝4，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，P (x ，y 1)，其中x ∈[－4,4]．由已知得x 2＋y 21x 2＋y 2＝e 2.而e ＝34，故16(x 2＋y 21)＝9(x 2＋y 2)．① 由点P 在椭圆C 上得y 21＝112－7x 216，代入①式并化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)，它是两条平行于x轴的线段．21．解 (1)证明：由正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的性质知AA 1⊥平面A 1B 1C 1.又DE ⊂平面A 1B 1C 1，所以DE ⊥AA 1.而DE ⊥AE ，AA 1∩AE ＝A ，所以DE ⊥平面ACC 1A 1.又DE ⊂平面ADE ，故平面ADE ⊥平面ACC 1A 1.(2)如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA 1＝2，则AB ＝2，相关各点的坐标分别是A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1，2)，D (32，－12，2)．易知AB →＝(3，1,0)，AC 1→＝(0,2，2)，AD →＝(32，12，2)．设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧n ·AB →＝3x ＋y ＝0，n ·AC 1→＝2y ＋2z ＝0.解得x ＝－33y ，z ＝－2y .故可取n ＝(1，－3，6)．所以cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|n ||AD →|＝2310×3＝105.由此可知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为10 5.22．解(1)证明：在图中连接B，E，则四边形DABE为正方形，∴BE＝AD＝A1D1，且BE∥AD∥A1D1.∴四边形A1D1EB为平行四边形．∴D 1E ∥A 1B .又D 1E ⊄平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ，∴D 1E ∥平面A 1BD .(2)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA ＝1，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,2,2)，A 1(1,0,2)．∴DA 1→＝(1,0,2)，DB →＝(1,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1BD 的一个法向量，由n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，得⎩⎨⎧x ＋2z ＝0，x ＋y ＝0，取z ＝1，则n ＝(－2,2,1)．又DC 1＝(0,2,2)，DB →＝(1,1,0)，设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面C 1BD 的一个法向量，由m ⊥DC 1→，m ⊥DB →， 得⎩⎨⎧ 2y 1＋2z 1＝0，x 1＋y 1＝0，取z 1＝1，则m ＝(1，－1,1)．设m 与n 的夹角为α，二面角A 1－BD －C 1为θ，显然θ为锐角，∴cos α＝m ·n |m ||n |＝－39×3＝－33.∴cosθ＝3 3，即所求二面角A1－BD－C1的余弦值为3 3.。

高二数学选修2-1测试题

高二数学选修2-1测试题

高二数学选修2-1测试题1.“x1”是“x23x2”的（必要不充分条件）。

2.若p q是假命题，则（p是真命题，q是假命题）。

3.F1,F2是距离为6的两定点，动点M满足∣MF1∣+∣MF2∣=6,则M点的轨迹是（椭圆）。

4.双曲线x2y21=0的渐近线方程为（y=±x/√3）。

5.中心在原点的双曲线，一个焦点为F(0，3)，一个焦点到最近顶点的距离是31，则双曲线的方程是（y2/4-x2/3=1）。

6.已知正方形ABCD的顶点A,B为椭圆的焦点，顶点C,D 在椭圆上，则此椭圆的离心率为(2-√2)。

7.椭圆4a2x2+a2y2=4a2与双曲线x2/a2-y2/b2=1有相同的焦点，则a的值为（2）。

8.与双曲线y2/9-x2/16=1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（9y2-16x2=144）。

9.已知A（－1，－2，6），B（1，2，－6）O为坐标原点，则向量OA,与OB的夹角是（cosθ=0）。

10.与向量a(1,3,2)平行的一个向量的坐标是（2，-6，4）。

11.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（x+1)²+(y-1)²=2）。

12.若直线x+y=m与圆x²+y²=m²相切，则m的值为（1）。

解析】解题分析：设圆心为O，则由题意可知O在直线y=x上，又因为圆心到直线x+y=2的距离为2，所以O到直线y=x的距离为2.由于直线y=x与直线x+y=2的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以O到直线y=x的距离也为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

因此，O的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$，半径为$\sqrt{2}$，圆的方程为$(x-\frac{3}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2=2$。

故选C。

高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》测试题(含答案解析)

高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》测试题(含答案解析)

一、选择题1．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，23x x >，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝2．下列说法不正确的是（ ） A ．命题“若a b >，则ac bc >”是真命题 B ．命题“若220a b +=，则,a b 全为0”是真命题C ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是“若0a ≠，则0ab ≠”D ．命题“若0a =，则0ab =”的逆否命题是“若0ab ≠，则0a ≠” 3．下列说法正确的个数是( )①“若4a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于2“的逆命题是真命题 ②命题“设,a b ∈R ，若6a b +≠，则3a ≠或3b ≠”是一个真命题 ③“0x R ∃∈，2000x x -<”的否定是“x R ∀∈，20x x ->” ④1a b +>是a b >的一个必要不充分条件 A ．0B ．1C ．2D ．34．下列说法中错误的是（ ）A ．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃>，2000x x -≤”.B ．在ABC 中，sin sin cos cos A B A B A B <⇔<⇔>.C ．已知某6个数据的平均数为3，方差为2，现又加入一个新数据3，则此时这7个数的平均数和方差不变.D ．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立.5．已知命题p ：若x y >且y z >，则()()1122log log x y y z -<-，则命题p 的逆否命题及其真假分别为（ ）A ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，真B ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，真C ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，假D ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，假6．已知0a b >>，给出下列命题：①1=，则1a b -<； ②若331a b -=，则1a b -<； ③若1a b e e -=，则1a b -<； ④若ln ln 1a b -=，则1a b -<. 其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．下列有关命题的说法错误的是（ ） A ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为假命题B ．命题“如果()()150x x +-=2=”的否命题是真命题C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题8．已知p ：2+2＝5；q ：3＞2，则下列判断错误的是（ ） A ．“p ∨q ”为真，“￢q ”为假 B ．“p ∧q ”为假，“￢p ”为真 C ．“p ∧q ”为假，“￢p ”为假 D ．“p ∨q ”为真，“￢p ”为真9．下列判断错误的是（ ）A ．()0f x '=是0x x =为可导函数()y f x =的极值点的必要不充分条件B ．命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是32,10x x x ∃∈-->RC ．命题“若11x -<<，则21x <”的逆否命题是“若21x >，则1x >或1x <-”D ．若0m >，则方程20x x m +-=有实数根的逆命题是假命题 10．若函数()sin f x x x =，则对a ，,22b ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，不等式()()f a f b >成立的一个充要条件是（ ） A ．a b >B ．a b <C ．a b >D ．22a b >11．记不等式()()22124x y -+-≤表示的平面区域为D .命题p ：()x y D ∀∈,，28x y +≤；命题q ：(),x y D ∃∈，21x y +≤-.下面给出了四个命题：①p q ∨；②p q ⌝∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∧⌝.这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④12．将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6π=ϕ”是“()f x 是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．若12,[3,4]x x ∀∈∃∈R ，使2211221225x x x x x ax +++-成立，则实数a 的取值范围是______． 14．下列说法中：①命题“对任意的1x >，有21x >”的否定为“存在1x ≤，有21x ≤”；②“对于任意的x D ∈，总有()f x M ≥（M 为常数）”是“函数()y f x =在区间D 上的最小值为M ”的必要不充分条件；③若1x ，()20,x ∈+∞，则函数()log a f x x =满足()()()1212f x f x f x x +=； ④若1x ，2x ∈R ，12x x ≠，则函数()2xf x =满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭．所有正确说法的序号______．（把满足条件的序号全部写在横线上）15．若命题“x ∃∈R ，220x x a --<”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 16．“14a =”是“对任意的正数x ，均有1ax x +≥”的________条件.17．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5,0,1,2,3,4k n k n Z k =+∈=.给出如下四个结论：①[]20111∈， ②[]33-∈，③[][][][][]01234Z =⋃⋃⋃⋃，④整数,a b 属于同一类的充要条件是[]0a b -∈. 其中正确的个数是___________ 18．给出下列命题：①命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”； ②“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；③x R ∃∈命题“，使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x -->”； ④命题“若x y =，则 sin sin x y =”的逆否命题为真命题 其中所有正确命题的序号是________. 19．下列说法：（1）设a ，b 是正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b”的充要条件； （2）对于实数a ，b ，c ，如果ac ＞bc ，则a ＞b ； （3）“m=12”是直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直的充分不必要条件；（4）等比数列{a n }的公比为q ，则“a 1＞0且q ＞1”是对任意n ∈N +，都有a n+1＞a n 的充分不必要条件；其中正确的命题有______ 20．给出下列四个命题中：①命题“若x ≥2且y ≥3，则x +y ≥5”为假命题．②命题“若x 2-4x +3=0，则x =3”的逆否命题为：“若x ≠3，则x 2-4x +3≠0”． ③“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件④关于x 的不等式|x +1|+|x -3|≥m 的解集为R ，则m ≤4． 其中所有正确命题的序号是______．三、解答题21．设命题p :实数x 满足()(3)0x a x a --<，其中0a >，命题:q 实数x 满足428x ≤≤．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．22．已知：()2:,21p x R x m x ∀∈>+，0:,q x R ∃∈200210x x m +--=，（1）若q 是真命题，求实数m 的取值范围； （2）若()p q ∧⌝为真命题，求实数m 的取值范围.23．已知p ：2430x x -+<，q ：()()210x m x m m R -++<∈．（1）求不等式2430x x -+<的解集；（2）若q 是p 的必要不充分条件，求m 的取值范围．24．定义：如果存在实数x ，y 使c xa yb =+，那么就说向量c 可由向量a b ，线性表出．给出命题：p ：空间三个非零向量a b c ，，中存在一个向量可由另两个向量线性表出．q ：空间三个非零向量a b c ，，共面．判断p 是q 的什么条件，并证明你的结论． 25．已知集合{}2320A x x x =-+=，{}210B x x ax a =-+-=，{}220C x x mx =-+=.（1）若命题p ：“x B ∀∈，都有x A ∈”为真命题，求实数a 的取值集合； （2）若C ≠∅，且“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件，求实数m 的取值集合. 26．已知命题p ：任意2,230x R x mx m ∈-->成立；命题q ：存在2,410x R x mx ∈++<成立.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题,p q 中恰有一个为真命题，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】分别判断两个命题p ， q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可． 【详解】对于命题p ，取1x =时，10<不成立，故命题p 为假命题， 对于命题 q ，1x =-时，23(1)(1)->-成立，故命题 q 为真命题，所以p q ∧为假命题，p q ⌝∧为真命题，p q ∧⌝为假命题，p q ⌝∧⌝为假命题，故选：B 【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p ，q 的真假是解决本题的关键.2．A解析：A 【分析】根据不等式性质，真命题，否命题，逆否命题性质逐一判断各个选项即可． 【详解】A 选项，若a b >，当0c ≤时，ac bc >不成立，所以命题为假命题，所以A 不正确B 选项，若220a b +=，则,a b 全为0正确，所以命题为真命题，正确C 选项，否命题否定结论和条件，本选项满足否命题形式，正确D 选项，命题“若0a =，则0ab =”的逆否命题是“若0ab ≠，则0a ≠”满足逆否命题的形式. 所以答案选A 【点睛】本题考查了不等式的性质，真命题的判断，否命题和逆否命题的知识.属于基础题目.3．C解析：C 【解析】对于①，原命题的逆命题为：若,? a b 中至少有一个不小于2，则4a b +≥，而4,?4a b ==-满足,? a b 中至少有一个不小于2，但此时0a b +=，故①是假命题；对于②，此命题的逆否命题为“设,?a b R ∈，若3a =且3b =，则6a b +=”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，故②是真命题；对于③“20000x R x x ∃∈-<，”的否定是“20x R x x ∀∈-≥，”，故③是假命题；对于④，由a b >可推得1a b >-，故④是真命题，故选C ．点睛：本题考查了简易逻辑的判定方法、特称命题的否定等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；四种命题的关系中，互为逆否命题的两个命题真假性相同，当判断原命题的真假比较复杂时，可转化为其逆否命题的真假，充分条件、必要条件的判定相当于判定原命题、逆命题的真假.4．C解析：C 【分析】选项A 根据命题的否定判断，选项B 根据正弦定理及两角和的余弦公式判定即可，选项C 可根据均值及方差的性质判断，选项D 根据互斥事件与对立事件的定义判断即可. 【详解】A 中根据命题的否定可知，命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃>，2000x x -≤”正确；B 中A B <可知a b <，根据正弦定理可得sin sin A B <,同理可知由sin sin A B <可得a b <，可得A B <，即sin sin A B A B <⇔<,因为cos y x =在(0,)x π∈上单调递减，且(0,),(0,)A B ππ∈∈，所以cos cos A B A B <⇔>，故正确；C 中设原数据中方差为2s ，则加入一个新数据3后平均值为63337⨯+=，方差为2226(33)677s s ⨯+-=，故不正确；D 中，事件“至多一个红球”与“都是红球”不能同时发生，而且在一次试验中有且只有一个事件发生， 故互斥且对立正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了命题的否定，三角形中的充要条件，平均值与方差，互斥与对立事件，属于中档题.5．D解析：D 【分析】先根据逆否命题的概念写出命题p 的逆否命题，再举反例说明其真假. 【详解】命题p 的逆否命题为“若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤”；由于原命题为假（如4x =，3y =，1z =），故其逆否命题也为假， 故选：D. 【点睛】本题主要考查命题的逆否命题及其真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6．B解析：B 【分析】①1=1，然后两边平方，再通过作差法即可得解； ②若331a b -=，则331a b -=，然后利用立方差公式可知23(1)(1)a a a b -++=，再结合0a b >>以及不等式的性质即可判断；③若1abe e -=，则111a b a bb b b e e e e e e-+===+，再利用0b >，得出1b e >，从而求得a be -的范围，进而判断；④取特殊值，a e =，1b =即可判断． 【详解】解：①1=，1，所以1a b =++所以11a b -=+，即①错误； 若331a b -=， 则331a b -=，即23(1)(1)a a a b -++=， 因为0a b >>， 所以22a b >， 所以221a a b ++>，所以1a b -<，即1a b -<，所以②正确； 若1a b e e -=， 则111a b a bb b b e e ee e e-+===+， 因为0b >，所以12a b e e -<<<， 所以1a b -<，即③正确；④取a e =，1b =，满足1lna lnb -=， 但1a b ->，所以④错误； 所以真命题有②③， 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及根据不等式的性质证明不等式、指对运算法则、立方差公式等，考查学生的分析能力和运算能力．7．C解析：C 【分析】写出逆命题和否命题，判断正误，根据或和且的命题真假判断命题真假得到答案. 【详解】逆命题为：若a b <，则22am bm <，当0m =是不成立，故为假命题，A 正确；否命题为：如果()()150x x +-≠2≠，为真命题，B 正确； 若p q ∧为假命题，则p 、q 不同时为真，C 错误；若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题，D 正确； 故选：C . 【点睛】本题考查了逆命题和否命题，或和且命题的判断，意在考查学生的推断能力.8．C解析：C【分析】先判定命题p 为假命题，命题q 为真命题，再结合复合命题的真假判定，即可求解. 【详解】由题意，命题:225p +=为假命题，命题:32q >为真命题，所以命题p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，命题p q ∨为真命题，q ⌝为假命题， 故选：C . 【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答中正确判定命题,p q 的真假，熟记复合命题的真假判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9．C解析：C 【分析】根据必要不充分条件的判断方法，即可得出A 正确；写出原命题的否定命题，即可判断B ；写出原命题的逆否命题，即可判断C ；写出原命题的逆命题，即可判断D. 【详解】对于A ，()0f x '=是0x x =为可导函数()y f x =的极值点的必要不充分条件，故A 正确；对于B ，命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是32,10x x x ∃∈-->R ，故B 正确； 对于C ，命题“若11x -<<，则21x <”的逆否命题是“若21x ≥，则1≥x 或1x ≤-”，故C 错误；对于D ，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆命题是 “若方程20x x m +-=有实数根，则0m >”当方程20x x m +-=有实数根时，140m =+≥，即14m ≥-， 所以命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆命题为假命题，故D 正确. 故选：C. 【点睛】（1）从逻辑关系上看，若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件；若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 的充要条件；若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件. （2）含有一个量词的命题的否定：一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论；对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定.（3）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论：将原命题的条件和结论交换，即得原命题的逆命题；将原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论，即得原命题的否命题．否定命题的条件或结论，关键是否定条件或结论的关键词；先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题，也可以先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题.10．D解析：D 【分析】先分析函数的奇偶性，由导数得出函数的单调性，利用这两个性质求解． 【详解】()sin f x x x =，()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，()f x 是偶函数，()sin cos f x x x x '=+，在02x π≤<时，()0f x '≥，()f x 递增，所以22()()()()f a f b f a f b a b a b >⇔>⇔>⇒>． 故选：D. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，用函数的这两个性质求解不等式．本题还考查了导数与单调性的关系．掌握用导数研究不等式的方法是解题关键．11．B解析：B 【分析】画出平面区域D ，直线28x y +=和直线21x y +=-，根据图像判断出命题p 和命题q 的真假，从而得到答案. 【详解】平面区域为D 满足不等式()()22124x y -+-≤， 画出其图像如图所示，再画出直线28x y +=和直线21x y +=-，根据图像可得存在(),x y D ∈，在直线28x y +=的上方， 所以命题p ：()x y D ∀∈,，28x y +≤，是假命题， 不存在(),x y D ∈，在直线21x y +=-的下方 所以命题q ：(),x y D ∃∈，21x y +≤-，是假命题.所以①p q ∨为假命题；②p q ⌝∨为真命题；③p q ∧⌝为假命题；④p q ⌝∧⌝为真命题. 故选：B.【点睛】本题考查判断含有逻辑联结词命题的真假，根据不等式画可行域，判断点是否在可行域内，属于中档题.12．A解析：A 【分析】求出函数()y f x =的解析式，由函数()y f x =为偶函数得出ϕ的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为()sin 3sin 393f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 若函数()y f x =为偶函数，则()32k k Z ππϕπ+=+∈，解得()6k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，6π=ϕ. 因此，“6π=ϕ”是“()y f x =是偶函数”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】先整理为关于的不等式恒成立求出相应的最值后得不等式在时能成立分离参数整理为求出诉最大值可得结论【详解】由得∴当时取得最小值∴使成立即使成立设设则∴即∴在时是增函数∴在上有∴故答案为：【点睛】 解析：(,5]-∞【分析】先整理为关于1x 的不等式恒成立，求出相应的最值后，得不等式222222154x x x ax -+--+-在2[3,4]x ∈时能成立，分离参数整理为223414x a x ≤++，求出223414x x ++诉最大值可得结论． 【详解】由2211221225x x x x x ax ≥++-+，得2212122(2)5x x x x ax +-≥-+-， ∴当2112x x =-时，()21212x x x +-取得最小值()22222221211224x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴2[3,4]x ∃∈，使222222154x x x ax -+--+-成立，即2[3,4]x ∃∈，使223414a x x ++成立． 设3414t y t=++，设1234t t ≤<≤，则12120,316t t t t -<>， ∴12121212121233()(316)44444t t t t t t y y t t t t ---=+--=0<，即12y y <， ∴3414t y t=++在[3,4]∈时，是增函数． ∴223414x y x =++在[3,4]上有max 5y =，∴5a ≤． 故答案为：(,5]-∞． 【点睛】思路点睛：本题考查双变量不等式恒成立求参数范围．解题方法是先整理为以1x 为变量的不等式恒成立，又转化为关于2x 的不等式能成立，分离参数后求得函数的最值．14．②③④【分析】①直接利用命题的否定判断；②函数的最小值和必要不充分条件的应用；③对数的运算关系式的应用；④根据基本不等式可得答案；【详解】①命题对任意的有的否定为存在有故①错误；②对于任意的总解析：②③④ 【分析】①直接利用命题的否定判断；②函数的最小值和必要不充分条件的应用； ③对数的运算关系式的应用； ④根据基本不等式可得答案； 【详解】①命题“对任意的1x >，有21x >”的否定为“存在1x >，有21x ≤”，故①错误； ②“对于任意的x D ∈，总有()f x M ≥（M 为常数）”由于没有说明0x D ∈()0f x M =，所以“函数()y f x =在区间D 上的最小值为M ”不一定成立；函数()y f x =在区间D 上的最小值为M ，总有()f x M ≥（M 为常数）成立，故②正确；③若1x ，()20,x ∈+∞，则函数()log a f x x =满足()1212log log log a a a x x x x =+， 所以()()()1212f x f x f x x +=成立，故③正确；④若1x ，2x ∈R ，12x x ≠，()()1212,33x x f x f x ==，1212232x xx x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为()30xf x =>，所以()()1212122322x x f x f x x x f +++⎛⎫>=== ⎪⎝⎭，故④正确．故答案为：②③④.【点睛】本题考查了命题的否定、函数的最小值和充分条件和必要条件的应用、对数的运算关系、不等式比较大小的问题.15．【分析】由题意可知恒成立结合二次函数的性质可求的最小值从而可求出实数的取值范围【详解】原命题否定为真命题即∴因为图象开口向上对称轴为则∴故答案为:【点睛】本题考查了由不等式恒成立求参数的取值范围考查 解析：(],1-∞-【分析】由题意可知22a x x ≤-恒成立，结合二次函数的性质可求22x x -的最小值，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】原命题否定，x ∀∈R ，220x x a --≥为真命题，即22a x x ≤-，∴()2min2a x x≤-，因为22y x x =-图象开口向上，对称轴为1x =，则()2min2121x x-=-=-，∴1a ≤-，故答案为: (],1-∞-.本题考查了由不等式恒成立求参数的取值范围，考查了已知命题的真假性求参数的取值范围.本题的关键是由已知得不等式恒成立.16．充分不必要【分析】当时对任意的正数x 均有反过来当对任意的正数x 均有时通过讨论有成立即可判断【详解】当时对任意的正数x 均有当且仅当时等号成立；当对任意的正数x 均有时当时令此时不符合题意；当时显然不满足解析：充分不必要 【分析】当14a =时，对任意的正数x ，均有141a x x x x+=+≥，反过来，当对任意的正数x ，均有1a x x +≥时，通过讨论有14a ≥成立，即可判断.【详解】 当14a =时，对任意的正数x ，均有141a x x x x +=+≥==， 当且仅当12x =时等号成立； 当对任意的正数x ，均有1ax x+≥时，当0a <时，令0x =>，此时0ax x+=，不符合题意； 当0a =时，1≥x ，显然不满足题意；当0a >时，有1ax x+≥， 解得有14a ≥， 所以“14a =”是“对任意的正数x ，均有1ax x +≥”的充分不必要条件故答案为：充分不必要 【点睛】本题考查了充分性和必要性的判断，属于一般题.17．3【分析】根据2011被5除的余数为1可判断①；将=可判断②；根据整数集就是由被5除所得余数为01234可判断③；令根据类的定理可证明④的真假【详解】①由2011÷5=402…1所以2011∈1故①解析：3根据2011被5除的余数为1，可判断①；将3-=52-+，可判断②；根据整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4，可判断③；令115a n m =+，225b n m =+，根据“类”的定理可证明④的真假． 【详解】①由2011÷5=402…1，所以2011∈[1]，故①正确； ②由()3512-=⨯-+ 所以[]33-∉，故②错误；③整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4的整数构成，③正确； ④假设115a n m =+，225b n m =+，()12125a b n n m m -=-+-，,a b 要是同类. 则 12m m =，即120m m -=，所以[]0a b -∈，反之若[]0a b -∈，即120m m -=，所以12m m =，则,a b 是同类. ④正确； 故答案为：3 【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，正确理解新定义“类”是解答的关键，以及进行简单的合情推理．属中档题．18．④【分析】①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断②利用充分条件和必要条件的定义判断③利用特称命题的否定判断④利用逆否命题的等价性进行判断【详解】解：①根据否命题的定义可知命题若则的否命题为若则所以解析：④ 【分析】①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断．②利用充分条件和必要条件的定义判断．③利用特称命题的否定判断．④利用逆否命题的等价性进行判断． 【详解】解：①根据否命题的定义可知命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，所以①错误．②由2560x x --=得1x =-或6x =，所以②“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，所以②错误．③根据特称命题的否定是全称命题得命题“x R ∃∈，使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x +-”，所以③错误．④根据逆否命题和原命题为等价命题可知原命题正确，所以命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题，所以④正确．故答案为④． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，以及四种命题的真假关系的判断，比较基础．19．（3）（4）【分析】利用充要条件不等式性质两直线垂直的充要条件等比数列为递增数列的条件逐一判断即可【详解】对于（1）求得所以是的充分不必要条件所以错误对于（2）不成立所以错误对于（3）直线与直线相互解析：（3）（4） 【分析】利用充要条件、不等式性质、两直线垂直的充要条件、等比数列为递增数列的条件，逐一判断即可. 【详解】对于（1）22"log log "a b >求得0a b >>，所以"1"a b >>是22"log log "a b >的充分不必要条件，所以错误对于（2）0c <不成立，所以错误对于（3）直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互垂直，12m =或2m =-，所以正确 对于（4）1"0a >且1"q >可以推出对任意n N +∈,都有1n n a a +>，反之不成立，如数列16,8,4,2----，所以正确故答案为（3）（4） 【点睛】本题考查了命题真假的判断，涉及到不等式性质、充要条件、等比数列的单调性等知识，属于中档题.20．②③④【分析】命题的判断一一进行判断即可对于①显然为假命题；对于②逆否命题条件和结论都否定正确；对于③若x ＞1则|x|＞0若|x|＞0则x 不一定大于1；对于④f （x ）＝|x+1|+|x ﹣3|表示数轴解析：②③④ 【分析】命题的判断，一一进行判断即可．对于①，显然为假命题；对于②，逆否命题，条件和结论都否定，正确；对于③，若x ＞1，则|x |＞0．若|x |＞0，则x 不一定大于1；对于④，f （x ）＝|x +1|+|x ﹣3|表示数轴上点x 到﹣1和3的距离之和． 【详解】对于①，显然为假命题；对于②，逆否命题，条件和结论都否定，正确；对于③，若x ＞1，则|x |＞0．若|x |＞0，则x 不一定大于1；对于④，f （x ）＝|x +1|+|x ﹣3|表示数轴上点x 到﹣1和3的距离之和,最小为4,所以m 4≤.故答案为②③④． 【点睛】本题考查命题真假的判断，综合考查了不等式性质及绝对值的意义，属于中档题．三、解答题21．（1）[)2,3；（2）12a <<. 【分析】（1）当1a =时，分别求出p ，q 成立的等价条件，利用p q ∧为真可得x 的取值范围； （2）由题可得q 是p 的充分不必要条件，得Q P ,从而可得a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，由()()130x x --<，得p :13x <<， 由428x ≤≤，得:q 23x ≤≤，由p ∧q 为真，即p ，q 均为真命题，因此x 的取值范围是[)2,3． （2）若￢p 是￢q 的充分不必要条件，可得q 是p 的充分不必要条件，由题可得命题p 对应的集合{}3P x a x a =<<，命题q 对应的集合{}23Q x x =≤≤， 所以Q P ，因此2a <且33a <，解得12a <<． 即实数a 的取值范围是12a <<. 【点睛】本题考查充分必要条件的定义和应用，考查复合命题的真假判断，考查分析解决问题的能力，属于基础题.22．（1）2m ≥-；（2）2m <-. 【分析】（1）由题意知，q 是真命题等价于方程2210x x m +--=有实根，利用判别式0∆≥即可求解；（2）由题意知，分别求出p 、q ⌝为真命题时实数m 的取值范围，然后再取交集即可. 【详解】（1）因为0:R,q x ∃∈200210x x m +--=为真命题， 所以方程2210x x m +--=有实根， 所以判别式()4410m ∆=++≥， 所以实数m 的取值范围为2m ≥-.（2）()221x m x >+可化为220mx x m -+<， 若:R,p x ∀∈()221x m x >+为真命题，则220mx x m -+<对任意的x ∈R 恒成立， 当0m =时，不等式可化为20x -<，显然不恒成立；当0m ≠时，有2440m m <⎧⎨-<⎩，1m ∴<-， 由（1）知，若q ⌝为真命题，则2m <-， 又()p q ∧⌝为真，故p 、q ⌝均为真命题，所以实数m 需满足12m m <-⎧⎨<-⎩，解得2m <-，所以实数m 的取值范围为2m <-. 【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑思维能力；熟练掌握复合命题的真假判断是求解本题的关键；属于中档题. 23．（1）{}3|1x x <<（2）()3,+∞ 【分析】（1）分解因式得()()130x x --<,进而求解即可；（2）先将命题q 中不等式分解为()()10x m x --<,所以讨论m 与1的大小,当1m 时，不等式()210x m x m -++<的解是1x m <<,由q 是p 的必要不充分条,则2430x x -+<的解集是()210x m x m -++<（1m ）解集的真子集,即可求解,同理讨论当1m <与1m =时的情况.【详解】解：（1）因为2430x x -+<,所以()()130x x --<,所以13x <<, 所求解集为{}|13x x <<.（2）因为q ：()()210x m x m m R -++<∈,则()()10x m x --<当1m 时,不等式()210x m x m -++<的解是1x m <<,因为q 是p 的必要不充分条件,所以2430x x -+<的解集是()210x m x m -++<（1m ）解集的真子集,所以3m >；当1m <时,不等式()210x m x m -++<的解是1m x <<,因为{}{}||131x x x m x <<⋂<<=∅,不合题意； 当1m =时,不等式2430x x -+<的解集为∅,不合题意. 综上,m 的取值范围是()3,+∞． 【点睛】本题考查含参数的一元二次不等式的解法,考查由充分必要条件求参数的范围,考查运算能力与分类讨论思想.24．充分不必要条件，证明见解析. 【分析】利用给出的定义、向量共面定理即可判断出关系． 【详解】p ：空间三个非零向量a ，b ，c 中存在一个向量可由另两个向量线性表出．q ：空间三个非零向量a ，b ，c 共面．p 是q 的充分不必要条件．证明如下：若空间三个非零向量a ，b ，c 中存在一个向量可由另两个向量线性表出， 不妨设c xa yb =+,则由向量共面定理知，a ，b ，c 共面， 即p q ⇒，反之不成立，例如，三个非零向量a ，b ，c 共面，且//a b ，而c 与a ，b 不共线，则c 无法用a ，b 线性表示． p ∴是q 的充分不必要条件．【点睛】本题考查了向量共线共面定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．25．（1）{2,3}；（2）{3}． 【分析】（1）解方程确定集合,A B ，再根据命题p 为真求得a ； （2）题意说明x C ∈是x A ∈的充分条件，由此可求得m 值． 【详解】 由题意{1,2}A =，（1）2a =时，{1}B =满足题意，2a ≠时，{1,1}B a =-， 则∵x B ∀∈，都有x A ∈，∴12a -=，3a =， ∴a 的取值集合是{2,3}；（2）∵“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件，∴x C x A ∈⇒∈．若280m ∆=-=，即m =±C =或{C =均不合题意， 又C ≠∅，∴0∆>，因此12{,}C x x =，又12,x A x A ∈∈， 因此不妨设11x =，22x =，则123m x x =+=．∴m 的取值集合是{3}．【点睛】关键点点睛：本题考查由充分必要条件求参数，解题方法是根据充分条件，必要条件的定义得出集合中元素的性质，从而得出结论．也可由充分必要条件与集合包含之间的关系确定集合的关系，从而得出结论． 26．（1）(3,0)-；（2）(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【分析】（1）只需24120m m ∆=+<，然后求解m 的取值范围； （2）分p 真q 假、p 假q 真两种情况讨论求解. 【详解】解：（1）若命题p 为真命题，则24120m m ∆=+<，解得30m -<<，故实数m 的取值范围(3,0)-（2）若命题q 为真命题，则21640m ∆=->，解得12m <-或12m > ∵命题,p q 中恰有一个为真命题， ∴命题,p q 一真一假①当p 真q 假时，301122m m -<<⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，解得：102m -≤<②当p 假q 真时，301122m m m m ≤-≥⎧⎪⎨-⎪⎩或或，解得：3m ≤-或12m >.综上，实数m 的取值范围(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查根据命题的真假求解参数的取值范围，考查二次不等式恒成立与有解问题，难度一般.。

(易错题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试题(含答案解析)

(易错题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试题(含答案解析)

一、选择题1．在四面体OABC 中，空间的一点OM 满足1126OM OA OB OC λ=++，若MA ，MB ，MC 共面，则λ=（ ）A ．12B ．13C ．512D ．7122．如图，四边形ABCD 和ABEF 都是正方形，G 为CD 的中点，60DAF ∠=，则直线BG 与平面AGE 所成角的余弦值是（ ）A ．25B ．105C ．155D ．2153．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上，11D PD B λ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是（ ）A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭4．如图，在几何体111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，111////AA BB CC ，1AA ⊥平面ABC ，若E 是棱11B C 的中点，且1112AB AA CC BB ===，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为（ ）A ．1313B ．21313C ．2613D ．226135．过平面α外一点A 引斜线段AB 、AC 以及垂线段AO ，若AB 与α所成角是30，6AO =，AC BC ⊥，则线段BC 长的取值范围是（ ）A ．()0,6B ．()6,+∞C ．()0,63D ．()63,+∞6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为6π，当1B M 最小时，AMB ∠=（ ）A ．512π B ．3πC ．4π D ．6π 7．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(02)AG λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为( )A ．23B 2C ．223λD 258．侧棱长都都相等的四棱锥P ABCD -中，下列结论正确的有（ ）个 ①P ABCD -为正四棱锥；②各侧棱与底面所成角都相等；③各侧面与底面夹角都相等；④四边形ABCD 可能为直角梯形 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）A ．3λB ．22C ．23λ D ．5510．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA ==，点,E O 分别是线段1,C C BC 的中点，1113A F A A =，分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ）A ．γβα>>B ．αβγ>>C ．αγβ>>D ．γαβ>>11．已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是平面ABC 外一点，则在下列条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的条件是（ ） A ．111222OM OA OB OC =++ B ．OM OA OB OC =++ C ．1133OM OA OB OC =-+ D ．2OM OA OB OC =--12．已知a =（λ+1，0，6），b =（2λ+1，2μ﹣1，2）．若//a b ，则λ与μ的值分别为（ ） A ．﹣5，﹣2B ．1152--，C ．5，2D ．2152-，二、填空题13．在长方体1111ABCD A BC D -中，若1AB BC ==，12AA =A 到平面11BD A的距离为_______ .14．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是11A B 、11A C 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为______．15．在空间四边形ABCD 中，E F 、分别是AB CD 、中点，且5,EF =又6,8AD BC ==，则AD 与BC 所成角的大小为____________.16．在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中,E 为1AB 的中点,在面ABCD 中取一点F ,使1EF FC +最小,则最小值为__________.17．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面为S ，则下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）.①当102CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形； ③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足114C R =；④当314CQ <<时，S 为五边形； ⑤当1CQ =时，S 618．已知αβ⊥，平面α与平面β的法向量分别为m ，n ，且(1,2,5)m =-，(3,6,)n z =-，则z =__________.19．在平行六面体1111ABCD A BC D -中，面11A ADD ⊥面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2AD =，3CD =，面11A D DA 为菱形，160A AD ∠=，O 是AD 的中点，M 为CD 的中点，问AN =_______时，面DNC ⊥面1AOM ．20．如图，直三棱柱111ABC A B C -中,12AA =，1AB BC ==， 90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点.有下列判断：① 直线AC 与直线1C E 是异面直线；②1A E 一定不垂直1AC ； ③ 三棱锥1E AAO -的体积为定值； ④1AE EC +的最小值为22. 其中正确的序号序号是______.三、解答题21．如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，ABC 是边长为6的等边三角形，D ，E 分别为AA 1，BC 的中点.（1）证明：AE //平面BDC 1；（2）若123AA =DE 与平面BDC 1所成角的正弦值. 22．如图①所示，在直角梯形EFCD 中，//CF DE ，EF DE ⊥，BA DE ⊥，224AE AD EF BC ====．现以AB 为折痕将四边形AEFB 折起，使点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ，如图②．（1）求证：//CF 平面ADE ；（2）求平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 上的点．（1）当E 是PD 的中点时，求证：//PB 平面AEC ；（2）设1==PA AB ，3PC =，若直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值为13，求PE 的长．24．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，4OA =，3OB =，4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 是PC 的中点．（1）直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值．（2）点A 到平面BDM 的距离．25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC 是直角三角形，侧面11ABB A 是矩形，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，13BC =．（1）证明：BC 1⊥AC ．（2）E 是棱CC 1的中点，求直线B 1C 与平面ABE 所成角的正弦值． 26．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AD BC ，90ADC ∠=︒，PA PD ⊥，PA PD =.（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若1BC =，2AD CD ==，求二面角A PC B --的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据向量共面定理求解． 【详解】由题意1126MA OA OM OA OB OC λ=-=--，1526MB OB OM OA OB OC λ=-=-+-，11(1)26MC OC OM OA OB OC λ=-=--+-，∵MA ，MB ，MC 共面，∴在在实数唯一实数对(,)m n ，使得MA mMB nMC =+，1126OA OB OC λ--1511(1)2626m OA OB OC n OA OB OC λλ⎛⎫⎡⎤=-+-+--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴111222511666(1)m n m n m n λλλ⎧--=⎪⎪⎪-=-⎨⎪-+-=-⎪⎪⎩，解得132313m n λ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩．故选：B ． 【点睛】结论点睛：本题考查空间向量共面定理．空间上任意三个不共面的向量都可以作为一个基底，其他向量都可用基底表示，且表示方法唯一．,,OA OB OC 是不共面的向量，OM xOA yOB zOC =++，则,,,M A B C 共面⇔1x y z ++=． 2．C解析：C 【分析】以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，利用空间向量法可求得直线BG 与平面AGE 所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．设2AB =，得()0,0,0A 、()2,1,0G 、()0,2,0B 、(1,3E ，则()2,1,0AG =，(AE =，()2,1,0BG =-， 设平面AGE 的法向量为(),,n x y z =，则2020n AG x y n AE x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，则2y =-，z = 所以，平面AGE的一个法向量为(1,2,n =-，从而cos ,22n BG n BG n BG⋅<>===⋅， 故直线BG 与平面AGE =.故选：C. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.3．A解析：A 【分析】建立空间直角坐标系，APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系：则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1D B =-，()()111,1,1,,D P D B λλλλλ==-=-， ()11,01D A =-，()10,1,1D C =-，所以()()()111,01,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，()()()110,1,1,,,1,1PC D C D P λλλλλλ=-=---=---，由APC ∠为锐角得cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，所以()()22110λλλ--+->，即()()1310λλ-->，解得：103λ<<， 当0λ=时，点P 位于点1D 处，此时1APC ADC ∠=∠显然是锐角，符合题意， 所以103λ≤<， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，还需利用11PA D A D P =-，11PC DC D P =-求出PA 、PC 的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可求解.4．C解析：C 【解析】 【分析】以C 为原点，在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值 【详解】以C 为原点，在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝CC 1＝2BB 1＝2，则A 1（3，1，2），A （310，，），C 1（0，0，2），B 1（0，2，1），E （0，1，32）， 1A E =（3-，0，12-），1AC =（3-，﹣1，2），设异面直线A 1E 与AC 1所成角为θ， 则cosθ1111226131384A E AC A E AC ⋅===⋅⋅． ∴异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值为2613． 故选C ．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．C解析：C【分析】画出已知图形，可得出OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，求出OB 的长度，则线段BC 长的范围即可求出.【详解】如下图所示：AO α⊥，BC α⊂，BC AO ∴⊥.又BC AC ⊥，AO AC A ⋂=，AO 、AC ⊂平面ACO ，BC ∴⊥平面ACO . OC ⊂平面ACO ，OC BC ∴⊥，在Rt OAB ∆中，6AO =，30ABO =∠，63tan 30AO OB ∴==. 在平面α内，要使得OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，则0BC OB <<，即063BC <<BC 长的取值范围是(0,63.故选C.【点睛】本题考查线段长度的取值范围的求解，同时也考查了线面角的定义，解题的关键就是推导出线面垂直，得出线线垂直关系，从而构造直角三角形来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 6．B解析：B【分析】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小．【详解】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1=1AB AC AA ==，设CN b =，BM a =，则(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)， (0AM =，1，)a ，(1AN =，0，)b ，设平面AMN 的法向量(n x =，y ，)z ，·0·0AM n y az AN n x bz ⎧=+=⎨=+=⎩，取1z =，得(n b =-，a -，1)， 平面ABC 的法向量(0m =，0，1)，平面AMN 与平面ABC 所成（锐)二面角为6π，22||1cos 6||||1m n m n a b π∴==++， 解得22331a b +=， ∴当|1|B M 最小时，0b =，33BM a ==， 1tan 333AB AMB BM ∴∠===， 3AMB π∴∠=．故选B ．【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7．D解析：D【分析】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点G 到平面1D EF 的距离 .【详解】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()12,,2,0,0,2,2,0,1,2,2,1G D E F λ，()()()12,0,1,0,2,0,0,,1ED EF EG λ=-==，设平面1D EF 的法向量(),,n x y z =，则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩，取1x =，得()1,0,2n =， ∴点G 到平面1D EF 的距离为25EG nd n ⋅===，故选D. 【点睛】本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离，是中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.8．A解析：A【解析】分析：紧扣正四棱锥的概念，即可判定命题的真假.详解：由题意，当四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一个矩形时，设AC BD O ⋂=且PO ⊥底面ABCD ，此时可得PA PB PC PD ===，而四棱锥此时不是正四棱锥，所以①不正确的，同时各个侧面与底面所成的角也不相等，所以③不正确的；因为四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，而直角梯形ABCD 没有外接圆，所以底面不可能是直角梯形，所以④不正确；设四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，所以各条测量与底面ABCD 的正弦值都相等，所以②正确的， 综上，故选A.点睛：本题主要考查了正四棱锥的概念，我们把底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面正方形的中心的四棱锥，叫做正四棱锥，其中紧扣正棱锥的概念是解答的关键. 9．D解析：D【分析】由几何体为正方体，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面D 1EF 的法向量n ，结合向量的点到平面距离公式求得点M 到平面D 1EF 的距离，结合N 为EM 中点即可求解【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1），1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1），设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d ＝||225||55EM n n ⋅==，N 为EM 中点，所以N 到该面的距离为55 故选：D ．【点睛】本题考查利用向量法求解点到平面距离，建系法与数形结合是解题关键，属于中档题 10．D 解析：D【分析】过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【详解】解：因为1AB AC ==，12BC AA ==222AB AC BC +=，即AB AC ⊥ 过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1F ，022)，1(2O ，12，0)，(0E ，02，1(1B ，12)， 111(,2)22OB =，112(,22OE =--， 1122(,22OF =-，12EB =，2)EF =，设平面1OB E 的法向量(),,m x y z =， 则111·2022112·0222m OB x y z m OE x y z ⎧=++=⎪⎪⎨⎪=--+=⎪⎩，取1x =，得()1,1,0m →=-， 同理可求平面1OB F 的法向量(52,2,3)n =--，平面OEF 的法向量272(,,3)22p =-，平面1EFB 的法向量2(,2,3)2q =--． ∴461cos 61||||m n m n α==，434cos 34||||m p m p β==，46cos 46||||m q m q γ==． γαβ∴>>．故选：D ．【点睛】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．11．C解析：C【分析】由共面向量定理可得：若定点M 与点A 、B 、C 一定共面，则存在实数x ，y ，使得AM xAB yAC =+，即(1)OM x y OA xOB yOC =--++，判断标准是验证OA ，OB ，OC 三个向量的系数和是否为1，若为1则说明四点M ，A ，B ，C 一定共面，由此规则即可找出正确的条件．【详解】由题意,,A B C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，对于A 由于向量的系数和是32，不是1，故此条件不能保证点M 在面ABC 上； 对于B ，等号右边三个向量的系数和为3，不满足四点共面的条件，故不能得到点M 与,,A B C 一定共面对于C ，等号右边三个向量的系数和为1，满足四点共面的条件，故能得到点M 与,,A B C 一定共面对于D ，等号右边三个向量的系数和为0，不满足四点共面的条件，故不能得到点M 与,,A B C 一定共面综上知，能得到点M 与,,A B C 一定共面的一个条件为C .故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的基本定理，利用向量判断四点共面的条件，解题的关键是熟练记忆四点共面的条件，利用它对四个条件进行判断得出正确答案，本题考查向量的基本概念，要熟练记忆．12．D解析：D【分析】利用共线向量的性质直接求解．【详解】(1a λ=+，0，6)，(21b λ=+，21μ-，2)，//a b ，∴6(21)2(1)λλ+=+，且021μ=-， 解得25λ=-，12μ=． λ∴与μ的值分别为21,52-．故选：D ．【点睛】本题主要考查了空间中共线向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、填空题13．【分析】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系利用向量法即可求解到平面的距离【详解】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系则所以设平面的法向量为则取得所以到平面的距离故答案为：【点睛】本题主要考查了【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法，即可求解A 到平面11BD A 的距离【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则11(1,0,0),(1,0,2),(1,1,0),(0,0,2)A A B D , 所以11(0,1,2),(1,1,2),(0,1,0)BA BD BA =-=--=-， 设平面11BD A 的法向量为(,,)n x y z =，则112020n BA y z n BD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，取1z =，得(0,2,1)n =， 所以A 到平面11BD A 的距离2633n BAd n ⋅===. 故答案为：63． 【点睛】本题主要考查了点到平面的距离的求法，其中解答中熟记空间向量在立体几何中的应用，合理利用空间向量运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 14．【解析】【分析】由题意设正方体的棱长为2建立如图所示空间直角坐标系利用空间向量求解即可得到答案【详解】设正方体的棱长为2建立如图所示空间直角坐标系则0211异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为故答案为 30【解析】【分析】由题意，设正方体的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量求解，即可得到答案．【详解】设正方体的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0，0)，B(2,2，0)，M(2,1，2)，N(1,1，2)，()BM 0,1,2∴=-，()AN 1,1,2=-，BM AN30cos BM,AN 56BM AN ⋅∴===⨯⋅ ∴异面直线BM 与AN 30 故答案为3010．【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．【分析】将平移到一起利用勾股定理求得线线角为【详解】解：取中点连接中分别为的中点且同理可得且与所成的直角或锐角就是异面直线与所成角中得即异面直线与所成角等于故答案为：【点睛】方法点睛：平移法是立体几解析：90【分析】将,AD BC 平移到一起，利用勾股定理求得线线角为90.【详解】解：取BD 中点G ，连接EG FG 、，ABD 中，,E G 分别为,AB BD 的中点，//EG AD ∴且132EG AD ==， 同理可得//,FG BC 且142FG BC ==， EG ∴与FG 所成的直角或锐角就是异面直线AD 与BC 所成角， EFG △中，3,4,5EG GF EF ===，222EG FG EF ∴+=，得90,EGF ∠=︒即异面直线AD 与BC 所成角等于90，故答案为：90.【点睛】方法点睛：平移法是立体几何中求线线角的常用方法之一，平移时通常结合三角形中位线定理把欲求的角平移到一个三角形中，然后再解三角形即可.16．【解析】如图将正方体关于面对称则就是所求的最小值 解析：142. 【解析】 如图，将正方体1111ABCD A BC D -关于面ABCD 对称，则1EC 就是所求的最小值，2221131141242EC EN NC ⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭． 17．①②④【解析】①项时为而时线段上同理存在一点与平行此时为四边形且是梯形故命题①为真；②项是等腰梯形故命题②为真；③项当时如图所示∵点是的中点∴∴∴与的交点满足故命题③为假④项如图所示为五边形故命题④解析：①②④【解析】①项，12CQ =时，S 为APQD ， 而102CQ <<时，线段1DD 上同理，存在一点，与PQ 平行， 此时，S 为四边形，且是梯形，故命题①为真；②项，1AP D Q =，1AD PQ ，1APQD 是等腰梯形，故命题②为真；③项当34CQ =时，如图所示，0AP DC ⋂=， ∵点P 是BC 的中点，∴CO CD AB ==，∴1113C R C Q CO QC ==， ∴S 与11CD 的交点R 满足113C R =， 故命题③为假．④项，如图所示，S 为五边形，故命题④为真；⑤项，如图所示，S 为菱形，面积为221526222222⎛⎫⎛⎫⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故命题⑤为假．综上所述，命题正确的是：①②④．18．3【详解】∵且平面与平面的法向量分别为∴解得：解析：3 【详解】∵αβ⊥，且平面α与平面β的法向量分别为m ，n ， ∴(1,2,5)(3,6,)31250m n z z ⋅=-⋅-=--+=， 解得：3z =．19．【分析】证明出平面然后以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系设点利用空间向量法结合面面可求得的值即可得出结论【详解】因为四边形为菱形则为的中点由余弦定理可得平面平面平面平面平面所以平面以点解析：43【分析】证明出1AO ⊥平面ABCD ，然后以点O 为坐标原点，OA 、1OA 所在直线分别为x 、z 轴建立空间直角坐标系，设点()1,,0N t ，利用空间向量法结合面DNC ⊥面1AOM 可求得t 的值，即可得出结论. 【详解】因为四边形11A D DA 为菱形，2AD =，则12AA =，O 为AD 的中点，160A AD ∠=，1AO ∴=，由余弦定理可得22211112cos 3AO AA AO AA AO A AD =+-⋅∠=，22211AO AO AA ∴+=， 1AO AD ∴⊥， 平面11A ADD ⊥平面ABCD ，平面11A ADD 平面ABCD AD =，1AO ⊂平面11A ADD ，所以，1AO ⊥平面ABCD ， 以点O 为坐标原点，OA 、1OA 所在直线分别为x 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0O、(13A 、31,,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()1,0,0D -、(13C -,设点()1,,0N t ，设平面DNC 的法向量为()111,,m x y z =，()2,,0DN t =，(13DC =-，由11111120330m DN x ty m DC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取13x t =，则123y =-16z t =+， 可得()3,23,6m t t =-+，设平面1AOM 的法向量为()222,,n x y z =，(13OA =，31,,02OM ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由12223032n OA z n OM x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取23x =，则22y =，20z =，可得()3,2,0n =， 因为平面DNC ⊥平面1AOM ，则()3322333430m n t t ⋅=⨯+⨯-=-=，解得43t =. 因此，当43AN =时，平面DNC ⊥平面1AOM . 故答案为：43. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用面面垂直求线段长度，解题的关键在于建立合适的空间直角坐标系，将面面垂直的问题转化为法向量垂直来求解.20．①③④【分析】由题意画出图形由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心由棱锥底面积与高为定值判断③；设BE ＝x 列出AE+EC1关于x 的函数式结合其几何意义求出最小值判断④【详解解析：①③④ 【分析】由题意画出图形，由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心，由棱锥底面积与高为定值判断③；设BE ＝x ，列出AE +EC 1关于x 的函数式，结合其几何意义求出最小值判断④． 【详解】 如图，∵直线AC 经过平面BCC 1B 1内的点C ，而直线C 1E 在平面BCC 1B 1内不过C ， ∴直线AC 与直线C 1E 是异面直线，故①正确； 当E 与B 重合时，AB 1⊥A 1B ，而C 1B 1⊥A 1B ， ∴A 1B ⊥平面AB 1C 1，则A 1E 垂直AC 1，故②错误；由题意知，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球的球心为O 是AC 1 与A 1C 的交点，则△AA 1O 的面积为定值，由BB 1∥平面AA 1C 1C ，∴E 到平面AA 1O 的距离为定值，∴三棱锥E ﹣AA 1O 的体积为定值，故③正确； 设BE ＝x ，则B 1E ＝2﹣x ，∴AE +EC 12211(2)x x =++-由其几何意义，即平面内动点（x ，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值知，其最小值为④正确． 故答案为①③④ 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题三、解答题21．（1）证明见解析；（2）20. 【分析】（1）以A 为原点，过A 在平面ABC 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明//AE 平面1BDC ．（2）求出平面1BDC 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出DE 与平面1BDC 所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：以A 为原点，过A 在平面ABC 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0A ，0，0)，B 3，0)，(0C ，6，0)，E ，92，0)，设12AA t =，(0D ，0，)t ，1(0C ，6，2)t ， 33(2AE =，92，0)，(33DB =3，)t -，1(0DC =，6，)t ，设平面1BDC 的法向量(n x =，y ，)z ，则1333060n DB x y tz n DC y tz ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1y =，则(3n =-，1，6)t -，0AE n ⋅=，AE ⊂/平面1BDC， //AE ∴平面1BDC ．（2）1CC =，(0D，0，33(2DE =，92，， 由（1）知，平面1BDC 的法向量(3n =-，1，，即(3n =-，1，-，设DE 与平面1BDC 所成角为θ， 则DE 与平面1BDC 所成角的正弦值为：||6sin ||||430DE n DE n θ⋅===⋅．【点睛】方法点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”： 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系； 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标； 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量； 第四，破“应用公式关”. 22．（1）证明见解析；（2）23. 【分析】（1）取线段AD 的中点M ，连结CM ，EM ，由平面几何证得四边形CMEF 为平行四边形，再由线面平行的判定可得证；（2）由已知以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，运用二面角的向量求解方法可求得平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1）取线段AD 的中点M ，连结CM ，EM ，则//AM BC=，∴四边形ABCM 为平行四边形，//AB MC∴=，四边形ABEF 为矩形 //AB EF ∴=，//MC EF∴=， ∴四边形CMEF 为平行四边形，//CF EM∴=， 又CF ⊂/平面ADE ，M E ⊂平面ADE ， //CF ∴平面ADE ；（2）点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ．EA ∴⊥平面ABCD ，如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(2,0,4)F ，(0,4,0)AD ∴=，(2,2,0)CD =-，(0,2,4)CF =-设(,,)n x y z =是平面CDF 的一个法向量，则00n CD n CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩即020x y y z -=⎧⎨-=⎩，令2y =，解得21x z =⎧⎨=⎩，(2,2,1)n ∴=，又AD 是平面AEFB 的一个法向量，2cos ,3||||n AD n AD n AD ⋅∴〈〉==⋅，∴平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值为23．【点睛】方法点睛：向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，让尽量多的点落在坐标轴上.2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标.3、求：求出两个面的法向量.4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；5、取：根据二面角的范围()0π，和图示得出的二面角是锐角还是钝角，再取值. 23．（1）证明见解析 ；（2）22PE =. 【分析】（1）连接BD ，使AC 交BD 于点O ，连接EO ，由//OE PB 即可证明； （2）建立空间坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）连接BD ，使AC 交BD 于点O ，连接EO ，因为O ，E 分别为BD ，PD 的中点， 所以//OE PB又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以//PB 平面AEC（2）因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以PA AC ⊥，由1PA =，3PC =，得2AC =， 因为底面ABCD 为菱形且1AB =，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，所以底面ABCD 为正方形，从而,,AB AD AP 两两互相垂直， 分别以,,AB AD AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0)A ，(0,1,0)D ，(0,0,1)P ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ， 不妨设(0,1,1)PE PD λλ==-，所以(0,0,1)(0,,)(0,,1)AE AP PE λλλλ=+=+-=-，(1,1,0)AC =，(1,1,1)PC =-，设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =，由()100n AEy z x y n AC λλ⎧⊥⎧+-=⎪⇒⎨⎨+=⊥⎩⎪⎩，令1x =，则1y =-，1z λλ=-，所以1,1,1n λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，设直线PC 与平面AEC 所成角为α，则21sin |cos ,|||||3111PC nPC n PC n λλαλλ⋅-=〈〉==⋅⎛⎫++ ⎪-⎝⎭．由1sin 3α=，解方程得12λ=，故22PE =．【点睛】方法点睛：向量法求线面角的方法就是求出平面的法向量，然后求直线与法向量的夹角，取绝对值可得线面角的正弦值． 24．（1）225；（2）22． 【分析】（1）根据题意可知OA ，OB ，OP 两两垂直，建立空间直角坐标系，根据题所给的长度可算出面BDM 的法向量和PB 的坐标，再根据线面夹角的向量法，代入公式可得最后答案.（2）根据（1）可知AM 的坐标和面BDM 的一个法向量n 坐标，根据公式n nAM ⋅，即可求出点A 到平面BDM 的距离. 【详解】（1）∵四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥， 又OP ⊥面ABCD ，OA ∴，OB ，OP 两两垂直，∴以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，根据题可知4OA =，3OB =，4OP =，且M 为PC 中点，(4,0,0)A ∴，(0,3,0)B ，(0,3,0)D -，(0,0,4)P ，(4,0,0)C -，(2,0,2)M -， (0,3,4)PB ∴=-，(2,3,2)BM =--，(0,6,0)BD =-，设面BDM 的法向量为(),,n x y z =，00n BM n BD ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，232060x y z y --+=⎧∴⎨-=⎩，0y ∴=，令1x =，则1z =，()1,0,1n ∴=， 422cos 5||||25n PB n PB n PB ⋅∴〈⋅〉===⋅⋅，∴直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值为25；（2）由（1）可知(6,0,2)AM =-，面BDM 的一个法向量为(1,0,1)n =，∴点A 到平面BDM 的距离4|||cos |||2n AM d AM n AM n ⋅=⋅〈⋅〉=== ∴点A 到平面BDM 的距离为【点睛】方法点睛：（1）求直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值用向量法：建立空间直角坐标系、求出PB 和平面BDM 的法向量n 的坐标、根据公式cos ||||n PBn PB n PB ⋅〈⋅〉=⋅求解；（2）求点A 到平面BDM 的距离用向量法：建立空间直角坐标系、在平面BDM 上找一点如M 点、求出AM 的坐标和面BDM 的一个法向量n 坐标、根据公式|||cos |AM n AM ⋅〈⋅〉求解.25．（1）证明见解析；（2）14. 【分析】（1）根据题意及线面垂直的判定定理，可证明AB ⊥平面BCC 1B 1，即AB ⊥BC 1，根据勾股定理，可证明BC ⊥BC 1，即可证明BC 1⊥平面ABC ，根线面垂直的性质定理，即可得证； （2）如图建系，求得所需点的坐标，进而求得,BA BE ，1BC 向量坐标，即可求得平面ABE 的法向量m 的坐标，根据线面角的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）证明：因为ABC 是直角三角形，所以AB ⊥BC ． 因为侧面11ABB A 是矩形，所以AB ⊥BB 1． 因为BC ∩BB 1＝B ，所以AB ⊥平面BCC 1B 1， 又因为1BC ⊂平面BCC 1B 1， 所以AB ⊥BC 1．因为BC ＝1，BB 1＝CC 1＝2，1BC 所以22211BC BC CC +=，所以BC ⊥BC 1． 因为BC ∩AB ＝B ，所以BC 1⊥平面ABC ． 因为AC ⊂平面ABC ．所以BC 1⊥AC ．（2）由（1）知，BC ，BA ，BC 1两两垂直，故以B 为坐标原点，分别以BC ，BA ，BC 1为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则B （0，0，0），C （1，0，0），A （0，1，0），1302E ⎛ ⎝⎭，，(1103B -，． (01302,1,0),BA BE =⎛ ⎝⎭=，，1BC =（2，0，3- 设面ABE 的法向量为()111m x y z =，，，由00m BA m BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得11101302y x z =⎧⎪⎨=⎪⎩，，， 令z 1＝1，得()301m =-，，． 设直线B 1C 与平面ABE 所成角的大小为θ，则11sin m B C m B Cθ⋅=⋅3332127==⨯ 所以直线B 1C 与平面ABE 321． 【点睛】解题是关键是熟练掌握线面垂直的判定和性质定理，并灵活应用，在用向量法求线面角时，法向量与直线的方向向量所成角的余弦值，即为线面角的正弦值，考查推理证明，计算求值的能力，属中档题. 26．（1）证明见解析；（2）155. 【分析】（1）由面面垂直的性质得CD ⊥平面PAD ，从而得CD PA ⊥，再由PA PD ⊥即可得出PA ⊥平面PCD ，即得证；（2）取AD 中点O ，连接OP ，OB ，以OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求出. 【详解】（1）证明：在四棱锥P ABCD -中， 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，又因为CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD .因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥.因为PA PD ⊥，CDPD D =，CD ，PD ⊂平面PCD ， 所以PA ⊥平面PCD .因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD .（2）解：取AD 中点O ，连接OP ，OB ，因为PA PD =，所以.PO AD ⊥因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =， 因为PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 所以PO OA ⊥，PO OB ⊥.因为CD AD ⊥，//BC AD ，2AD BC =，所以//BC OD ，BC OD =所以四边形OBCD 是平行四边形，所以//OB CD ，所以OB AD ⊥.以OA ，OB ，OP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,0O ，()1,0,0A ，()0,2,0B ，()1,2,0C -，()0,0,1P ，所以()2,2,0AC =-，()1,0,1AP =-，()1,0,0BC =-，()0,2,1BP =-设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，则00AC n AP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2200x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则()1,1,1n =. 设平面BPC 的法向量为(),,m a b c =，则00BC m BP m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020a b c =⎧⎨-+=⎩，令1b =，则()0,1,2m =. 所以15cos ,5||||m n m n m n ⋅〈〉==⋅.易判断二面角A PC B --为锐角，所以二面角A PC B --的余弦值为5. 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.。

高中数学选修2-1综合测试试卷

高中数学选修2-1综合测试试卷

高中数学选修2-1综合测试试卷时限：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( )A ．不存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≤0 B ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≤0 C ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 3．下列命题中是假命题的是( ) A ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x >sin xB ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2C ．∀x ∈R,3x >0D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝04．与双曲线y 25－x 2＝1共焦点，且过点(1,2)的椭圆的标准方程为( ) A.x 28＋y 22＝1 B.x 210＋y 24＝1 C.y 28＋x 22＝1D.y 210＋x 24＝15．给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题．其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．如图，在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB ′→，CM →〉的值为( )A.12 B.21015C.23 D.11157．已知向量a＝(－1,1,0)，b＝(1,0,2)，且k a＋b与a－2b互相垂直，则k＝()A．－114 B.15C.35 D.1148．正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.23 B.33C.23 D.639.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为()A.233 B. 3C．2 D.233或210．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，双曲线x2a2－y2b2＝1和抛物线y2＝2px(p>0)的离心率分别为e1，e2，e3，则()A．e1e2>e3B．e1e2＝e3C．e1e2<e3D．e1e2≥e3.11．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，则二面角C1-AB-C的大小为( )A.π3B.2π3C.3π4D.π412．若点P 为共焦点的椭圆C 1和双曲线C 2的一个交点，F 1，F 2分别是它们的左、右焦点，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，若PF 1→·PF 2→＝0，则1e 21＋1e 22＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．若命题p ：“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是14.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是.15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为16．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点P 到点Q (0,2)的距离的最大值为3，则椭圆C 的方程为三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，集合B＝{y|y＝x2－2x＋a}，集合C＝{x|x2－ax－4≤0}，命题p：A∩B＝∅，命题q：A⊆C.(1)若命题p为假命题，求实数a的取值范围；(2)若命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．(12分)四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．19．(12分)设数列{a n}的各项都不为零，求证：对任意n∈N*且n≥2，都有1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n－1a n＝n－1a1a n成立的充要条件是{a n}为等差数列．20．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x，F为其焦点，点E的坐标为(2,0)，设M为抛物线C上异于顶点的动点，直线MF交抛物线C 于另一点N，连接ME，NE并延长分别交抛物线C于点P，Q.(1)当MN⊥x轴时，求直线PQ与x轴交点的坐标；(2)当直线MN，PQ的斜率存在且分别记为k1，k2时，求证：k1＝2k2.21．(12分)如图①所示，已知在长方形ABCD中，AB＝2AD＝22，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM，得如图②所示的几何体．(1)求证：平面ADM⊥平面ABCM；(2)是否存在满足BE →＝tBD →(0<t <1)的点E ，使得二面角E -AM -D 的大小为π4？若存在，求出相应的实数t ；若不存在，请说明理由．22.(12分)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点分别为F 1，F 2，C 1，C 2交于O ，A 两点(O 为坐标原点)，且F 1F 2⊥OA .(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，点P 的坐标为(－1，－1)，求△PMN 面积的最小值．参考答案一、1．B解析：由(2x－1)x＝0可得x＝12或x＝0.因为“x＝12或x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件，所以“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．2．C解析：先变换量词，再否定结论，即“∃x0∈R，x30－x20＋1>0”．3．B解析：本题主要考查全称命题、特称命题以及命题真假的判断，因为sin x0＋cos x0＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x0＋π4≤2，所以B错误，故选B.4．C解析：本题主要考查双曲线、椭圆的标准方程．由题知，焦点在y 轴上，排除A，B，将(1,2)代入C，D可得C正确，故选C.5．B解析：本题考查四种命题的关系及真假判断．对于①，否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x＝－1，则lg x2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题，故选B.6．B解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，B′(1,1,1)，C(0,1,0)，M⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，所以DB′→＝(1,1,1)，CM→＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，0，cos〈DB′→，CM→〉＝DB′→·CM→|DB′→||CM→|＝123×52＝1515.所以sin〈DB′→，CM→〉＝21015.7．D解析：k a＋b＝(－k＋1，k,2)，a－2b＝(－3,1，－4)，由(k a＋b)·(a －2b)＝3(k－1)＋k－8＝0，解得k＝114.8．D解析：设正方体棱长为1.建立空间直角坐标系如图．易知平面ACD1的一个法向量为n＝(1,1,1)，BB1→＝(0,0,1)，∴cos〈n，BB1→〉＝13＝33.∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为63.9. D 解析：本题考查双曲线的简单几何性质的应用．根据题意，由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两渐近线的夹角为60°，则可知b a ＝3或b a ＝33，那么可知双曲线的离心率为e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2或233，故选D. 10． C 解析：依题意可知，e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a ，e 3＝1，∴e 1e 2＝a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝1－b 4a 4<1.∴e 1e 2<e 3.11． D 解析：本题考查空间建系能力及二面角．以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0,0,1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0,1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4.又二面角C 1-AB -C 为锐角，故其大小为π－34π＝π4，故选D.12． B 解析：设椭圆的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)，双曲线的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，它们的半焦距为c ，不妨设P 为它们在第一象限的交点，因为PF 1→·PF 2→＝0，故|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2 ①.由椭圆和双曲线的定义知，⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，解得|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，代入①式，得(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝4c 2，即a 21＋a 22＝2c 2，所以1e 21＋1e 22＝a 21c 2＋a 22c 2＝a 21＋a 22c 2＝2. 13． (－1,3)．解析：本题主要考查特称命题的真假及参数取值范围的求解．由题意得綈p ∶∀x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1>0，即关于x 的一元二次不等式x 2＋(a －1)x ＋1>0的解集为R ，由于命题p 是假命题，所以綈p 是真命题，所以Δ＝(a －1)2－4<0，解得－1<a <3，所以实数a 的取值范围是(－1,3)．14.解析：如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则D (0,0,0)，N (0,2,1)，M (0,1,0)，A 1(2,0,2)，所以DN →＝(0,2,1)，MA 1→＝(2，－1,2)，所以cos 〈DN →，MA 1→〉＝DN →·MA 1→|DN →||MA 1→|＝0，所以DN ⊥A 1M ，故异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小为90°. 15．解析：由已知得ba ＝2，所以b ＝2a .在y ＝2x ＋10中令y ＝0得x ＝－5，故c ＝5，从而a 2＋b 2＝5a 2＝c 2＝25，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线的方程为x 25－y 220＝1.16．解析：由e ＝ca ＝23，得c 2＝23a 2，所以b 2＝a 2－c 2＝13a 2.设P (x ，y )是椭圆C 上任意一点，则x 2a 2＋y 2b 2＝1，所以x 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 2b 2＝a 2－3y 2.|PQ |＝x 2＋(y －2)2＝a 2－3y 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋a 2＋6，当y ＝－1时，|PQ |有最大值a 2＋6.由a 2＋6＝3，可得a 2＝3，所以b 2＝1，故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.17． 解：∵y ＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1≥a －1，∴B ＝{y |y ≥a －1}，A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，C ＝{x |x 2－ax －4≤0}．(1)由命题p 是假命题，可得A ∩B ≠∅，即得a －1≤2，∴a ≤3.(2)∵“p ∧q 为假命题”，则其反面为“p ∧q 为真命题”，∴p ，q 都为真命题，即A ∩B ＝∅且A ⊆C ，∴有⎩⎨⎧a －1>2，1－a －4≤0，4－2a －4≤0，解得a >3.∴实数a 的取值范围为a ≤3.18．解：由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1.方法1：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，DA →＝(0,0,1)，BC →＝(－2,2,0)，BA →＝(－2,0,1)．设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵EF ∥AD ，FG ∥BC ，∴n ·DA →＝0，n ·BC →＝0，得⎩⎨⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取n ＝(1,1,0)，∴sin θ＝|cos 〈BA →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n |BA →||n |＝25×2＝105. 方法2：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，∵E 是AB 的中点，∴F ，G 分别为BD ，DC 的中点，得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，F (1,0,0)，G (0,1,0)．∴FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，FG →＝(－1,1,0)，BA →＝(－2,0,1)．设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·FE →＝0，n ·FG →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12z ＝0，－x ＋y ＝0，取n ＝(1,1,0)，∴sin θ＝|cos 〈BA →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n |BA →||n |＝25×2＝105. 19． 证明：(充分性)若{a n }为等差数列，设其公差为d ，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＝1d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1－1a n ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＝a n －a 1da 1a n ＝n －1a 1a n. (必要性)若1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＝n －1a 1a n ，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1， 两式相减得1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1－n －1a 1a n， 即a 1＝na n －(n －1)a n ＋1 ①.于是有a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2 ②，由①②得na n －2na n ＋1＋na n ＋2＝0，所以a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1(n ≥2)． 又1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3，所以a 3－a 2＝a 2－a 1，所以对任意n ∈N *,2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，故{a n }为等差数列．20．解：(1)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)．当MN ⊥x 轴时，直线MN 的方程为x ＝1.将x ＝1代入抛物线方程y 2＝4x ，得y ＝±2.不妨设M (1,2)，N (1，－2)，则直线ME 的方程为y ＝－2x ＋4，由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋4，y 2＝4x ，解得x ＝1或x ＝4，于是得P (4，－4)． 同理得Q (4,4)，所以直线PQ 的方程为x ＝4. 故直线PQ 与x 轴的交点坐标为(4,0)．(2)证明：设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，并设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，由⎩⎨⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0， 于是y 1y 2＝－4 ①，从而x 1x 2＝y 214·y 224＝1 ②.设直线MP 的方程为x ＝ty ＋2，由⎩⎨⎧x ＝ty ＋2，y 2＝4x ，得y 2－4ty －8＝0.所以y 1y 3＝－8 ③，x 1x 3＝4 ④. 同理y 2y 4＝－8 ⑤，x 2x 4＝4 ⑥.由①②③④⑤⑥，得y 3＝2y 2，x 3＝4x 2，y 4＝2y 1，x 4＝4x 1. 从而k 2＝y 4－y 3x 4－x 3＝2y 1－2y 24x 1－4x 2＝12·y 1－y 2x 1－x 2＝12k 1，即k 1＝2k 2. 21． 解：(1)证明：∵长方形ABCD 中，AB ＝2AD ＝22，M 为DC 的中点， ∴AM ＝BM ＝2，AM 2＋BM 2＝AB 2，∴BM ⊥AM . ∵AD ⊥BM ，AD ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面ADM . 又BM ⊂平面ABCM ，∴平面ADM ⊥平面ABCM .(2)设存在满足题意的点M ，使得二面角E -AM -D 的大小为π4.以M 为原点，MA 所在直线为x 轴，MB 所在直线为y 轴，过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则A (2,0,0)，B (0,2,0)，D (1,0,1)，M (0,0,0)，MB →＝(0,2,0)，BD →＝(1，－2,1)，ME →＝MB →＋BE →＝(t,2－2t ，t )．设平面AME 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧MA →·m ＝0，ME →·m ＝0，即⎩⎨⎧2x ＝0，tx ＋(2－2t )y ＋tz ＝0， 取y ＝t ，得m ＝(0，t,2t －2)．易知平面AMD 的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 又二面角E -AM -D 的大小为π4，∴cos π4＝|m ·n ||m |·|n |＝t t 2＋4(t －1)2＝22，解得t ＝23或t ＝2(舍)，∴存在满足BE →＝tBD →(0<t <1)的点E ，使得二面角E -AM -D 的大小为π4，相应的实数t 的值为23.22. 解：(1)设A (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，有⎩⎨⎧y 21＝4x 1，x 21＝2py 1①.由题意知，F 1(1,0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴F 1F 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，p 2.∵F 1F 2⊥OA ，∴F 1F 2→·OA →＝0，即－x 1＋p 2y 1＝0，即py 1＝2x 1，将其代入①式得x 1＝4，y 1＝4，p ＝2，故抛物线C 2的方程为x 2＝4y . (2)设直线MN 的方程为y ＝kx (k <0)．联立⎩⎨⎧y ＝kx ，y 2＝4x ，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2，4k ；联立⎩⎨⎧y ＝kx ，x 2＝4y ，得N (4k,4k 2)．从而|MN |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k .又点P (－1，－1)到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k2， ∴S △PMN ＝12·|k －1|1＋k 2·1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ＝2(1－k )(1－k 3)k 2＝2(1－k )2(1＋k ＋k 2)k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1，令t ＝k ＋1k (t ≤－2)，∴S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)， 易知当t ＝－2，即k ＝－1，即当过原点的直线方程为y ＝－x 时，△PMN 的面积取得最小值8.。

(压轴题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测题(有答案解析)(4)

(压轴题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测题(有答案解析)(4)

一、选择题1．在四面体OABC 中，空间的一点OM 满足1126OM OA OB OC λ=++，若MA ，MB ，MC 共面，则λ=（ ）A ．12B ．13C ．512D ．7122．长方体1111ABCD A B C D -，110AB AA ==，25AD =，P 在左侧面11ADD A 上，已知P 到11A D ､1AA 的距离均为5，则过点P 且与1A C 垂直的长方体截面的形状为（ ）A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形3．已知向量(2,0,2)a =-，则下列向量中与a 成45的夹角的是（ ） A ．(0,0,2)B ．(2,0,0)C ．(2,2D ．)2,2,0-4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为（ ） A ．26B ．36C ．56D ．135．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值是( )A ．3B ．12C ．14D ．06．如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角为,3π=,,a AB b CD =则=a b ⋅A ．5-B ．1-C ．3-D ．6-7．已知菱形ABCD 中，∠60ABC =︒，沿对角线AC 折叠之后,使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B CD A --的余弦值为（ ）.A ．2B ．12C 3D 5 8．记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上一点，记11D PD Bλ=．当APC ∠为钝角时，则λ的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．1(,1)3C ．1(0,)3D ．(1,3)9．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．1010-B ．1510-C ．1010D ．151010．已知a =（λ+1，0，6），b =（2λ+1，2μ﹣1，2）．若//a b ，则λ与μ的值分别为（ ） A ．﹣5，﹣2B ．1152--，C ．5，2D ．2152-，11．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DC ＝2，DA ＝DD 1＝1，点M 、N 分别为A 1D 和CD 1上的动点，若MN ∥平面AA 1C 1C ，则MN 的最小值为（ ）A ．53B ．23C ．56D ．5212．在长方体1111ABCD A B C D -中，若13AC =，则111()AB AC AD AC ++⋅=（ ） A ．0B ．3C ．3D ．6二、填空题13．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为，则的最大值为 .14．在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标是______． 15．在平面直角坐标系中，点(1,0,2)A 到点(3,4,0)B -之间的距离为__________． 16．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA PD ==ABCD ⊥平面PAD ，M 是PC 的中点，O 是AD 的中点，则直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是__________.17．已知平面α的一个法向量()2,2,1n =--，点()1,3,0A --在平面α内，则点()2,1,4P -到平面α的距离为_________.18．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点.给出如下命题：①直线PB 与直线CE 是异面直线；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定值；④CE PE +的最小值为22.其中正确命题的序号是______________.（将你认为正确的命题序号都填上）19．已知向量=211a -（，，），(,1,1)b λ=-，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是______.20．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11B C 和11C D 的中点，点1A 到平面DBEF 的距离为________________．三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，6π∠=CAD ，且321,2AD CD PA ABC ===，和PBC 均是等边三角形，O 为BC 的中点.（I ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求CB 与平面PBD 所成角的正弦值.22．如图，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AE BC ==，87CF =（1）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （2）求平面BDE 与平面BDF 夹角的余弦值．23．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，90ADC ∠=︒，3AD =，22SD CD AB ===，点E ，F 分别是BC ，SD 的中点.（1）求证：//EF 平面SAB ；（2）若SB SC =，2EF =，求二面角B SC D --的余弦值.24．如图，四边形ABCD 与四边形BDEF 均为菱形，60DAB DBF ∠=∠=︒，且FA FC =（1）求证：平面ACF ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A FC B --的余弦值.25．如图，在三棱台111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，4AB =，11112A B A C ==，11AB BC ⊥.（1）求1AA 的长；（2）求二面角11B AC C --的正弦值.26．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是等腰梯形//,2,4,,AB DC BC CD AD AB M N ====分别是,AB AD 的中点.（1）证明：平面PMN ⊥平面PAD ；（2）若二面角C PN D --的大小为60°，求四棱锥P ABCD -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据向量共面定理求解． 【详解】由题意1126MA OA OM OA OB OC λ=-=--， 1526MB OB OM OA OB OC λ=-=-+-，11(1)26MC OC OM OA OB OC λ=-=--+-，∵MA ，MB ，MC 共面，∴在在实数唯一实数对(,)m n ，使得MA mMB nMC =+，1126OA OB OC λ--1511(1)2626m OA OB OC n OA OB OC λλ⎛⎫⎡⎤=-+-+--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴111222511666(1)m n m n m n λλλ⎧--=⎪⎪⎪-=-⎨⎪-+-=-⎪⎪⎩，解得132313m n λ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩．故选：B ． 【点睛】结论点睛：本题考查空间向量共面定理．空间上任意三个不共面的向量都可以作为一个基底，其他向量都可用基底表示，且表示方法唯一．,,OA OB OC 是不共面的向量，OM xOA yOB zOC =++，则,,,M A B C 共面⇔1x y z ++=．2．B解析：B 【分析】以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，先利用向量找出截面与11A D 、AD 和AB 的交点，再过Q 作//QF MN 交11B C 于F ，过F 作//EF QM ，交1BB 于E ，即可判断截面形状. 【详解】以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()120,0,5,25,0,10,0,10,0P A C ，()125,10,10AC ∴=--， 设截面与11A D 交于(),0,10Q Q x ，则()20,0,5Q PQ x =-，()12520500Q AC PQ x ∴⋅=---=，解得18Qx =，即()18,0,10Q ， 设截面与AD 交于(),0,0M M x ，则()20,0,5M PM x =--，()12520500M AC PM x ∴⋅=--+=，解得22Mx =，即()22,0,0M ， 设截面与AB 交于()25,,0N N y ，则()3,,0N MN y =，1253100N AC MN y ∴⋅=-⨯+=，解得7.5Ny =，即()25,7.5,0N ， 过Q 作//QF MN ，交11B C 于F ，设(),10,10F F x ，则()18,10,0F QF x =-， 则存在λ使得QF MN λ=，即()()18,10,03,7.5,0F x λ-=，解得22F x =，故F 在线段11B C 上，过F 作//EF QM ，交1BB 于E ，设()25,10,E E z ，则()3,0,10E EF z =--， 则存在μ使得EF QM μ=，即()()3,0,104,0,10E z μ--=-，解得 2.5E z =，故E 在线段1BB 上，综上，可得过点P 且与1A C 垂直的长方体截面为五边形QMNEF . 故选：B.【点睛】本题考查截面的形状的判断，解题的关键是先利用向量找出截面与11A D 、AD 和AB 的交点，即可利用平面的性质找出其它点的位置.3．B解析：B 【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到答案 【详解】根据夹角余弦值cos a b a b θ⋅=对于A 若()b 0,0,2,=则-222=222a b a b ⋅⨯，而2cos 452︒=，故不符合条件 对于B 若()b 20,0,=，则222==222a b a b⋅⨯，而2cos 452︒=，故符合条件 对于C 若(b 0,22,=，则-21==-cos 45222a b a b ⋅≠︒⨯，故不符合条件 对于D 若()b 2-2=，，则21==cos 45222a b a b⋅≠︒⨯，故不符合条件故选B 【点睛】本题考查了向量的数量积，运用公式代入进行求解，较为简单4．A解析：A 【分析】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 利用空间向量求异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为2 ． 【详解】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A （2，0，0），E （0，2，1），D 1（0，0，2），C （0，2，0），()2,2,1AE =-,()10,2,2D C =- ,∵cos ＜1,AE D C ＞26922=⋅ ∴异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26． 故选A ． 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．C解析：C 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可. 【详解】以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()10,1,2A -,)3,0,0B，)13,0,2B ，()0,1,0C ，向量()13,1,2A B =-,()13,1,2B C =--，11cos ,A B B C <>1111A B B C A B B C⋅=⨯2222=⨯14=.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．B解析：B 【解析】设菱形中横向单位向量为,m 纵向单位向量为n ，则111,1122m n m n ==⋅=⨯⨯=，2a AB m n ==+，32b CD m n ==-+，()()232a b m n m n ⋅=+-+=223443421m n m n -+-⋅=-+-=-，故选B. 7．D解析：D 【分析】取AC 的中点E ，分别以EA ，ED ，EB 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角B CD A --的余弦值． 【详解】解：如图取AC 的中点E ，分别以EA ，ED ，EB 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，令棱形ABCD 的边长为2，则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()0,3,0D ，()0,0,3B 设平面BCD 的法向量为(),,n x y z =，()1,0,3BC =--，()0,3,3BD =-30330x z y z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩令3z =则3y =，3x =- 即()3,3,3n =-平面ACD 的法向量为()0,0,1m = 令二面角B CD A --的夹角为θ35cos 115n m n mθ===⨯ 因二面角B CD A --为锐二面角5cos θ=故选D【点睛】本题考查求二面角二余弦值，关键是准确的建立空间直角坐标系，属于中档题．8．B解析：B 【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC 不是平角，可得∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＜0，即 ，从而可求λ的取值范围．【详解】由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ，则有A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），1D （0，0，1） ∴ =（1，1，-1），∴ =（λ，λ，-λ），∴=+=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1） =+ =（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＜0 ∴ 0PA PC ⋅<∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）（λ-1）=（λ-1）（3λ-1）＜0，得 ＜λ＜1 因此，λ的取值范围是（ ，1），故选B.点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题．9．C解析：C 【分析】本题首先可以根据题意建立空间直角坐标系，然后根据2AB =以及11BC CC ==得出12,0,1AB 、()10,1,1BC =，最后根据1111cos θAB BC AB BC 即可得出结果.【详解】因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，且90ABC ∠=︒，所以可以以B 为原点、AB 为x 轴、BC 为y 轴、1BB 为z 轴构建空间直角坐标系， 如图：因为2AB =，11BC CC ==，所以()2,0,0A ，()10,0,1B ，()0,0,0B ，()10,1,1C ， 故12,0,1AB ，()10,1,1BC =，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ， 则1111110cosθ1052AB BC AB BC ， 故选：C. 【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，可借助空间向量来求解，能否合理的构建空间直角坐标系是解决本题的关键，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.10．D解析：D 【分析】利用共线向量的性质直接求解． 【详解】(1a λ=+，0，6)，(21b λ=+，21μ-，2)，//a b ，∴6(21)2(1)λλ+=+，且021μ=-，解得25λ=-，12μ=． λ∴与μ的值分别为21,52-．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了空间中共线向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．A解析：A 【分析】先建立空间坐标系，设出(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，转化条件得1m n +=，利用函数即可得解. 【详解】如图建系，由题意可设(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，∴(),22,MN m n n m =---，又 ()10,0,1AA =，()1,2,0AC =-，∴平面11AAC C 的法向量()2,1,0n =，又 //MN 面11AA CC ，∴=0MN n ⋅即1m n +=，∴()()2222222941MN m n n m m m =+-+-=-+， ∴MN 最小值为5.故选：A. 【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了转化化归和函数思想，属于中档题.12．D解析：D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系A xyz -，设1,,AB a AD b AA c ===，则111(,0,),(,,0),(0,,),(,,)AB a c AC a b AD b c AC a b c ====. 则111(2,2,2)2AB AC AD a b c AC ++==， 所以21111()2()6AB AC AD AC AC ++⋅==. 故选：D 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的模的概念，属于容易题.二、填空题13．【详解】建立坐标系如图所示设则设则由于异面直线所成角的范围为所以令则当时取等号所以当时取得最大值考点：1空间两直线所成的角；2不等式解析：25【详解】建立坐标系如图所示.设1AB =，则11(1,,0),(,0,0)22AF E =.设(0,,1)(01)M y y ≤≤，则1(,,1)2EM y =-，由于异面直线所成角的范围为(0,]2π，所以221122cos 115451144yy y θ-+==⋅++⋅++.22281[]14545y y y +=-++， 令81,19y t t +=≤≤，则281161814552y y t t+=≥++-，当1t =时取等号. 所以2211222cos 511555451144yy y θ-+==≤⨯=⋅++⋅++，当0y =时，取得最大值.考点：1、空间两直线所成的角；2、不等式.14．【分析】根据对称关系确定点的坐标【详解】∵在空间直角坐标系中点关于轴对称的点的坐标为∴点关于轴对称的点的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系点对称关系考查基本分析求解能力属基础题 解析：()2,1,4---【分析】根据对称关系确定点的坐标. 【详解】∵在空间直角坐标系中，点(),,x y z 关于x 轴对称的点的坐标为(),,x y z --， ∴点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4---． 【点睛】本题考查空间直角坐标系点对称关系，考查基本分析求解能力，属基础题.15．【解析】故的距离为故答案为 解析：26【解析】222(13)(04)(20)26AB =-+++-=，故AB 的距离为26，故答案为26. 16．【详解】以O 为坐标原点建立空间直角坐标系设因此设平面一个法向量为取因此直线与平面所成角的正弦值是 解析：885【详解】以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，设1(1,2,0),(1,2,0),(0,0,2)(,1,1)2B C P M -∴- 因此3(,1,1)2BM =-- ,设平面PCO 一个法向量为(,,)(0,0,2)00(,,)(,,)(1,2,0)02x y z z n x y z x y z x y ⋅==⎧⎧=∴∴⎨⎨⋅-==⎩⎩，取(2,1,0)n =因此直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是31885cos ,1754BM n --==⨯17．【分析】由题意算出根据向量是平面的一个法向量算出向量在上的投影的绝对值即可得到到的距离【详解】解：根据题意可得又平面的一个法向量点A在内到的距离等于向量在上的投影的绝对值即故答案为:【点睛】本题给出解析：23【分析】由题意算出()1,4,4AP =-，根据向量()2,2,1n =--是平面α的一个法向量，算出向量AP 在n 上的投影的绝对值，即可得到P 到α的距离. 【详解】解：根据题意，可得()()1,3,0,1,4,2A P ---， ()1,4,4AP =-，又平面α的一个法向量()2,2,1n =--，点A 在α内，()2,1,4P ∴-到α的距离等于向量AP 在n 上的投影的绝对值， ()()1242412P n A -⨯-+⨯-∴⨯=-=+即(232AP nd n ===- 故答案为:23【点睛】本题给出平面的法向量和平面上的一点，求平面外一点到平面的距离；着重考查了向量的数量积公式和点到平面的距离计算等知识，属于中档题.18．①③④【分析】由题意画出图形由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心由棱锥底面积与高为定值判断③；设列出关于的函数式结合其几何意义求出最小值判断④【详解】解：对于①直线经过平解析：①③④ 【分析】由题意画出图形，由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心，由棱锥底面积与高为定值判断③；设AE x =，列出PE EC +关于x 的函数式，结合其几何意义求出最小值判断④． 【详解】 解：对于①，直线PB 经过平面ABCD 内的点B ，而直线CE 在平面ABCD 内不过C ，∴直线PB 与直线CE 是异面直线，故①正确；对于②，当E 与D 重合时，BE AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以PA BE ⊥，又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，BE ∴⊥平面PAC ，则BE 垂直AC ，故②错误；对于③，由题意知，四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O 是PC 的中点，则△BCE 的面积为定值，且O 到平面ABCD 的距离为定值，∴三棱锥E BCO -的体积为定值，故③正确；对于④，设AE x =，则2DE x =-，2211(2)PE EC x x ∴+=+++-．由其几何意义，即平面内动点(,1)x 与两定点(0,0)，(2,0)距离和的最小值知，其最小值为22，故④正确． 故答案为：①③④．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．19．【解析】即 解析：12λλ<≠-且【解析】0a b a b ⋅<且与不共线 ，即212110,1λλ---<≠⇒ 12λλ<≠-且 20．1【分析】以D 点为原点的方向分别为轴建立空间直角坐标系求出各顶点的坐标进而求出平面的法向量代入向量点到平面的距离公式即可求解【详解】以为坐标原点的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系则所以设 是平解析：1 【分析】以D 点为原点，1,,DA DC DD 的方向分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出平面BDEF 的法向量，代入向量点到平面的距离公式，即可求解． 【详解】以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz ，则1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(0,,1)2F ， 所以(1,1,0)DB =，1(0,,1)2DF，1(1,0,1)A D =--， 设 (,,)x y z =m 是平面BDFE 的法向量，则m DB m DF ⎧⊥⎨⊥⎩，即0102m DB x y m DF y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =，可得112x z =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故1(1,1,)2m =--，设点A 在平面BDFE 上的射影为H ，连接1A D ，则1A D 是平面BDFE 的斜线段，所以点1A 到平面BEFE的距离1111A D m d m+⋅===．【点睛】本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题.三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ. 【分析】（Ⅰ）根据题中的边长以及垂直关系，可求出,OA OP ，利用勾股定理判断OP OA ⊥，再根据等边三角形三线重合，判断OP BC ⊥，即可证明PO⊥平面ABCD ；（Ⅱ）根据垂直关系，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式求CB 与平面PBD 所成角的正弦值.【详解】（Ⅰ）证明：在ACD △中，由已知得AC =,ABC PBC O 为BC 的中点,OA BC OP BC ∴⊥⊥，且32OA OP ==.在PAO 中，已知PA =则有222,PO OA PA OP OA +=∴⊥. 又,OA BC O OA ⋂=⊂平面,ABCD BC ⊂平面,ABCD OP ∴⊥平面ABCD .（Ⅱ）以O 为坐标原点，,,OA OC OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则3330,0,,0,,0,,0222P B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. (0,3,0)(1,3,0)BC BD ∴==，，3333)2BP ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭.设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n BP n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即3030x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令1z =.则3,3y x ==.∴平面PBD 的一个法向量为(3,3,1)n =-，39sin |cos ,|BC n θ∴=<>=.39sin θ∴= 【点睛】方法点睛：1.利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；2.在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度h ，而不必画出线面角，利用sin h θ= /斜线段长，进行求角；3.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，利用公式sin cos ,a n θ=<>求解. 22．（1）49；（2）13． 【分析】首先以A 为原点，建立空间直角坐标系，（1）求平面BDE 的法向量m ，利用公式sin cos ,CE m θ=<>求解；（2）求平面BDF 的法向量n ，利用公式cos ,m n <> 求解.【详解】以A 为原点，,,AB AD AE 分别为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，()1,0,0B ，()0,1,0D ，()0,0,2E ，()1,2,0C ，81,2,7F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （1）设平面BDE 法向量(),,m x y z =，()1,1,0BD =-，()1,0,2BE =-，则020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩， 令1z =，则2,2x y ==，∴()2,2,1m =，()1,2,2CE =--，2424sin cos ,339CE m θ--+=<>==⨯ （2）设平面BDF 法向量(),,n x y z =，()1,1,0BD =-，80,2,7BF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则82070y z x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩， 令4x =，则4,7y z ==-∴()4,4,7n =-，8871cos cos ,393m n θ+-=<>==⋅， 因为平面BDE 与平面BDF 夹角是锐二面角，所以二面角的余弦值是13.【点睛】关键点点睛：本题是比较典型的向量坐标法解决空间角，关键是计算准确，23．（1）证明见解析；（27. 【分析】（1）取AD 中点I ，推出//FI SA ，//IE AB ，证明//FI 平面SAB ，//IE 平面SAB ，推出 平面//EFI 平面SAB ，然后证明//EF 平面SAB ；（2）以D 为原点，DA ，DC 所在直线为x ，y 轴，过D 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，设(, , )S x y z ，通过2SD =，SB SC =2EF =，求出()0,0,2S ，得出(3,1,2)SB =-，(0,2,2)SC =-，求出平面SBC 的法向量，然后利用空间向量的数量积可求出答案.【详解】 （1）取AD 中点I ，∵E ，F 分别是BC ，SD 的中点，∴//FI SA ，//IE AB ，且FIEI I =， ∵SA ⊂平面SAB ， FI ⊄平面SAB ，∴//FI 平面SAB ， 同理AB平面SAB ，IE ⊄平面SAB ，//IE ∴平面SAB ， 又∵FI EI I =， ∴平面//EFI 平面SAB ，又∵FI ，IE ⊂平面FIE ，FIIE I =， ∴平面//EFI 平面SAB ，∵EF ⊂平面EFI ，∴//EF 平面SAB .（2）以D 为原点，DA ，DC 所在直线为x ，y 轴，过D 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，设(, , )S x y z ，则,,222x y z F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为2SD =，SB SC =，2EF =，所以2222222222224((1)(2)3422x y z x y z x y z y z ⎧⎪++=⎪⎪-+-+=+-+⎨⎪-⎛⎫⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，求得0x y ==，24z =，不妨取()0,0,2S ， ∴(3,1,2)SB =-，(0,2,2)SC =-，设(,,)n x y z =⊥平面SBC ，∴320220n SB x y z nSC y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1y =，则1,3z x ==， 所以3,1,13n ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，因为AD ⊥平面SCD ，所以取(1,0,0)m =为平面SCD 的法向量， ∴cos |cos ,|71m nm nm n θ⋅=〈〉===⋅+， 所以二面角B SC D--的余弦值为7. 【点睛】方法点睛：本题考查直线与平面平行的判定定理、二面角平面角的求法，第二问关键点是建立空间直角坐标系，求出S 点坐标，考查了空间想象力及计算能力.24．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）AC 与BD 交于点O ，连接FO ､FD ，证明FO AC ⊥，FO BD ⊥，然后得到FO ⊥平面ABCD 即可；（2）以O 为原点，OA ､OB 、OF 分别为x ､y ､z 轴建立空间直角坐标系，然后求出平面BFC 和平面ACF 的法向量，然后可算出答案.【详解】（1）证明：AC 与BD 交于点O ，连接FO ､FD ，∵FA FC =，O 是AC 中点，且O 是BD 中点，∴FO AC ⊥，∵四边形BDEF 为菱形，60DBF ∠=︒，∴FD FB =，∴FO BD ⊥，又AC BD O =，∴FO ⊥平面ABCD ，∵FO ⊂平面ACF ，∴平面ACF ⊥平面ABCD（2）易知OA ，OB ，OF 两两垂直以O 为原点，OA ､OB 、OF 分别为x ､y ､z 轴建立如图所示的空间直角坐标系设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒则2BD =，∴1OB =，3OA OF ==故(0,0,0)O ，(0,1,0)B ，()3,0,0C -，(3F ∴(3,0,3CF =，3,1,0CB ，()0,1,0OB =设平面BFC 的一个法向量为(,,)n x y z = 则33030n CF x z n CB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，得()1,3,1n =-- 显然，()0,1,0OB =为平面ACF 的一个法向量 ∴15cos ,OB nOB n OB n ⋅<>==-⋅ 由图知，二面角A FC B --的平面角为锐角∴二面角A FC B --的余弦值为155 【点睛】关键点睛：用向量法求解空间角的问题时，解题的关键是建立适当的空间直角坐标系，准确地写出点的坐标和算出直线的方向向量、平面的法向量.25．（1）22）155. 【分析】（1）连接1A B ，先证得11A C ⊥平面11ABB A ，得111AC AB ⊥，然后由已知得1AB ⊥平面11A BC ，1A B ⊂平面11A BC ，∴11AB A B ⊥，在直角梯形11AA B B 中，可求得1AA ； （2）以A 为原点，AB ，AC ，1AA 方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，然后求得二面角11B AC C --的两个面的的法向量，由法向量的余弦值得二面角的正弦值．【详解】解：（1）如图，连接1A B .1AA ⊥平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，则111AC A A ⊥，又1111AC A B ⊥，1111AA A B A =，∴11A C ⊥平面11ABB A ，而1AB ⊂平面11ABB A ， 故111AC AB ⊥.又11AB BC ⊥，1111A C BC C ，可得1AB ⊥平面11A BC ，1A B ⊂平面11A BC ，∴11AB A B ⊥， 故1111111112tan tan 224AA A BA A AB A BA A AB AA AA ∠=∠⇒∠=∠⇒=⇒=（2）如图，以A 为原点，AB ，AC ，1AA 方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则(12,0,22B ，(10,2,22C ()4,0,0AB =为平面1AC C 的一个法向量.设(),,n x y z =为平面11B AC 的一个法向量，则112220002220x z n AB n AC y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩， 取1z =，得()2,2,1n =--， 则4210cos ,545n AB -〈〉==- ∴15sin ,n AB 〈〉=. 15． 【点睛】方法点睛：本题考查线面垂直的判定，考查空间向量法求二面角．求二面角的常用方法是空间向量法，即建立空间直角坐标系，求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补求解．26．（1）证明见解析；（2）1.【分析】（1）连接DM ，证出MN AD ⊥，PD MN ⊥，再利用面面垂直的判定定理即可证明. （2）连接BD ，以点D 为坐标原点，以,,DA DB DP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设(0,0,)(0)P m m >，根据空间向量的数量积求出m ，再根据锥体的体积公式即可求解.【详解】（1）连接DM ，显然//DC BM 且DC BM =，∴四边形BCDM 为平行四边形，//DM BC ∴且DM BC =，AMD ∴△是正三角形，MN AD ∴⊥，又PD ⊥平面,ABCD MN ⊂平面,ABCD PD MN ∴⊥,,PD AD D MN ⋂=∴⊥平面PAD ，又MN ⊂平面PMN ，∴平面PMN ⊥平面PAD .（2）连接BD ，易知//,,BD MN BD AD BD PD ∴⊥⊥. 建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0)D N C -， 设(0,0,)(0)P m m>，(1,0,),(2,3,0)PN m CN ∴=-=-.设平面PNC 的法向量为(,,)a x y z =，00a PN a CN ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，即0,230,x mz x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 令3,(3,2,3)z a m m ==，而平面PND 的一个法向量为(0,1,0)b =，221|cos ,|cos 602343a b m m ︒〈〉===++ 解得33m =，所以113(24)31323V =⨯⨯+⨯⨯=.【点睛】方法点睛：证明面面垂直的常用方法：证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用线面垂直的判定定理来证明，也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义证明.解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.。

(易错题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测题(含答案解析)

(易错题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测题(含答案解析)

一、选择题1．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）A ．85B ．97C ．12D ．2302．正方体''''ABCD A B C D -棱长为6，点P 在棱AB 上，满足PA PB =，过点P 的直线l 与直线''A D 、'CC 分别交于E 、F 两点，则EF =（ ） A ．313B ．95C ．18D ．213．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论:①AN GC ⊥，②CF 与EN 所成的角为60︒,③BD //MN ，④二面角E BC N --的大小为45︒,其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．阅读材料：空间直角坐标系O ﹣xyz 中，过点P （x 0，y 0，z 0）且一个法向量为＝（a ，b ，c ）的平面α的方程为a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0；过点P （x 0，y 0，z 0）且一个方向向量为d ＝（u ，v ，w ）（uvw≠0）的直线l 的方程为000x x y y z z u v w---==，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x+2y ﹣2z ﹣4＝0，直线l 是两平面3x ﹣2y ﹣7＝0与2y ﹣z+6＝0的交线，则直线l 与平面α所成角的大小为（ ） A ．arcsin 1414 B ．arcsin 421C ．arcsin51442D ．arcsin123773775．如图：在直棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，,,P Q M 分别是A 1B 1,BC,CC 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π6．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论：①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等； ②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形； ④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形， 其中正确结论的序号为（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①②③7．如图，在大小为45°的二面角A -EF -D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A ．3B ．2C ．1D ．32-8．如图，在空间四边形OABC 中，点E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA =, 则EF 等于（ ）A ．121+232OA OB OC - B ．211+322OA OB OC -+ C ．111222OA OB OC +- D ．211322OA OB OC -- 9．侧棱长都都相等的四棱锥P ABCD -中，下列结论正确的有（ ）个①P ABCD -为正四棱锥；②各侧棱与底面所成角都相等； ③各侧面与底面夹角都相等；④四边形ABCD 可能为直角梯形 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为11AC 与11B D 的交点．若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．11+22+a b c B ．1122a b c -+ C ．1122-++a b c D ．1122+-a b c 11．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DC ＝2，DA ＝DD 1＝1，点M 、N 分别为A 1D 和CD 1上的动点，若MN ∥平面AA 1C 1C ，则MN 的最小值为（ ）A 5B ．23C 5D 512．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．259二、填空题13．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，,M N 分别为1,CC BC 的中点，点P 在直线11A B 上且满足111().A P A B R λλ=∈若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，则实数λ的值为______．14．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1AC 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面1A DE ； ②线段BM 的长为定值；③存在某个位置，使DE 与1AC 所成的角为90°． 其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）15．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于点D ，E ，F ，H.且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________．16．正四棱锥S ABCD -的八条棱长都相等，SB 的中点是E ，则异面直线AE ，SD 所成角的余弦为__________．17．已知空间向量(1,0,0)a =，13(,,0)22b =，若空间向量c 满足2c a ⋅=，52c b ⋅=，且对任意,x y R ∈，()()00001(,)c xa yb c x a y b x y R -+≥-+=∈，则c =__________. 18．如图所示，三棱锥O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在棱OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN =__________．（用a ，b ，c 表示）19．若向量()()()1,1,,1,2,1,1,1,1a x b c ===，满足条件()()·22c a b -=-，则x = __________．20．已知平行六面体中，则____．三、解答题21．如图，平面ABCDE ⊥平面CEFG ，四边形CEFG 为正方形，点B 在正方形ACDE 的外部，且5,4AB BC AC ===．（1）证明：AD CF ⊥．（2）求平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角的余弦值．22．如图所示，在多面体ABCDE 中，//DE AB ，AC BC ⊥，平面DAC ⊥平面ABC ，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点．（1）证明：EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角的余弦值．23．在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//CD AE ，AC AE ⊥，AB BC ⊥，1CD =，2AE AC ==，F 为DE 的中点，且点E 满足4EB EG =.（1）证明：//GF 平面ABC .（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A BE D --的余弦值.24．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：平面111A AMN EB C F ⊥；（2）设O 为111A B C △的中心，若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1AB BC CA AA ===，D 为AB 的中点．（1）求证：1//BC 平面1DAC ；（2）求平面1DAC 与平面11AAC C 所成的锐二面角．．．．的余弦值． 26．如图，在多面体EF ABCD -中，AD //BC ，CD //EF ，1AD DC DE ===，2BC EF ==，2CDE CDA π∠=∠=.（1）若M 为EF 中点，求证：CD ⊥BM ； （2）若二面角A DC E --的平面角为3π，求直线AE 与平面EFB 所成角的大小.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】用空间向量基本定理表示出AC '，然后平方后转化为数量积的运算求得． 【详解】记a AB =，b AD =，c AA '=，则43cos900a b ⋅=⨯⨯︒=，同理152b c ⋅=，10a c ⋅=，由空间向量加法法则得AC a b c '=++，∴22222()222AC a b c a b c a b b c a c'=++=+++⋅+⋅+⋅222154352210852=+++⨯+⨯=， ∴85AC '=85AC '=． 故选：A ． 【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，解题方法是空间向量法，即选取基底，用基底表示出向量，然后利用向量模的平方等于向量的平方转化为向量的数量积进行计算．2．C解析：C 【分析】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.再建立空间直角坐标系求解即可. 【详解】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.以A 为坐标原点建立如图空间直角坐标系,则设(,0,6)E e ,(6,6,)F f ,(0,3,0)P又,,E P F 共线,则EP PF λ=,故(,3,6)(6,3,)e f λ--=,故6133666e e f f λλλλ-==⎧⎧⎪⎪=⇒=-⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎩.故(6,0,6)E -,(6,6,6)F -,则222(12)6(12)18EF =++=.故选：C 【点睛】本题主要考查了利用空间直角坐标系求解共线问题的方法等,属于中等题型.3．C解析：C 【分析】根据题意画出正方体直观图，建立空间直角坐标系，计算0AN GC ⋅=，由此判断①正确.根据线线角的知识，判断②正确.根据线线的位置关系，判断③错误.根据二面角的知识，判断④正确. 【详解】画出正方体的直观图，如下图所示，设正方体边长为2，以,,DA DC DG 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则()()()()2,0,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0A N G C ，所以()()2,2,20,2,20AN GC ⋅=-⋅-=，所以AN GC ⊥，故①正确.由于//EN AC ，所以CF 与EN 所成的角为FCA ∠，而在FAC ∆中，AF FC CA ==，也即FAC ∆是等边三角形，故60FCA ∠=，所以②正确.由于//EN AC ，而AC 与BD 相交，故,BD MN 不平行，③错误.由于,EB BC FB BC ⊥⊥，所以EBF ∠即是二面角E BC N --的平面角.EBF ∆是等腰直角三角形，所以45EBF ∠=，故④正确. 综上所述，正确的命题个数为3个. 故选：C.【点睛】本小题主要考查空间线线、面面的位置关系有关命题的真假性判断，属于中档题.4．B解析：B 【分析】先根据两个平面的方程，求出平面交线的方向向量，结合已知平面的方程确定平面的法向量，然后求解. 【详解】平面α的法向量为n ＝（1，2，﹣2），联立方程组3270260x y y z --=⎧⎨-+=⎩，令x ＝1，得y ＝﹣2，z ＝2，令x ＝3，得y ＝1，z ＝8，故点P （1，﹣2，2）和点Q （3，1，8）为直线l 的两个点，∴PQ ＝（2，3，6）为直线l 的方向向量， ∵44cos ,3721||||PQ n PQ n PQ n ⋅-<>===-⨯ ，∴直线l 与平面α所成角的正弦值为421，【点睛】本题主要考查直线和平面所成角的正弦，属于信息提供题目，理解题中所给的信息是求解关键.5．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可.【详解】以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则()()()()0,0,0,1,0,2,1,1,0,0,2,1A P Q M ，据此可得：()()0,1,2,0,2,1PQ AM =-=，0PQ AM ⋅=，故PQ AM ⊥，即直线PQ 与AM 所成的角是2π. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D【解析】【分析】由A 1C ⊥平面AB 1D 1，直线A 1H 与直线A 1C 重合，结合线线角和线面角的定义，可判断①②；由四边形A 1ACC 1为矩形，可判断③；由垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，可判断④．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，连接A1C，可得A1C⊥AB1，A1C⊥AD1，即有A1C⊥平面AB1D1，直线A1H与直线A1C重合，直线A1H与该正方体各棱所成角相等，均为2①正确；直线A1H与该正方体各面所成角相等，均为arctan22，故②正确；过直线A1H的平面截该正方体所得截面为A1ACC1为平行四边形，故③正确；垂直于直线A1H的平面与平面AB1D1平行，截该正方体，所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误．故选：D．【点睛】本题考查线线角和线面角的求法，以及正方体的截面的形状，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档题．7．D解析：D【分析】由DB ED FE BF=++，利用数量积运算性质展开即可得到答案【详解】BD ED FE BF=++,22222221112 BD BF FE ED BF FE FE ED BF ED∴=+++++=++故32BD=-故选D【点睛】本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础．8．D解析：D【解析】分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从O出发的三个向量表示的，所以将待求向量用从O出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中线向量的特征，求得结果.详解：由题意可得21()32EF OF OE OA OB OC =-=-+ 211322OA OB OC =--，故选D. 点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题. 9．A解析：A【解析】分析：紧扣正四棱锥的概念，即可判定命题的真假.详解：由题意，当四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一个矩形时，设AC BD O ⋂=且PO ⊥底面ABCD ，此时可得PA PB PC PD ===，而四棱锥此时不是正四棱锥，所以①不正确的，同时各个侧面与底面所成的角也不相等，所以③不正确的；因为四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，而直角梯形ABCD 没有外接圆，所以底面不可能是直角梯形，所以④不正确；设四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，所以各条测量与底面ABCD 的正弦值都相等，所以②正确的， 综上，故选A.点睛：本题主要考查了正四棱锥的概念，我们把底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面正方形的中心的四棱锥，叫做正四棱锥，其中紧扣正棱锥的概念是解答的关键. 10．C解析：C【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到11122BM AB AD AA =-++，即可求解. 【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得1111112BM BB B M AA B D =+=+ 1111111111111()()222222AA A D A B AA AD AB AB AD AA a b c =+-=+-=-++=-++. 故选：C.【点睛】在空间向量的线性运算时，要尽可能转化为平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，以及利用三角形的中位线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量有直接关系的向量来解决.11．A解析：A【分析】先建立空间坐标系，设出(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，转化条件得1m n +=，利用函数即可得解.【详解】如图建系，由题意可设(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，∴(),22,MN m n n m =---，又 ()10,0,1AA =，()1,2,0AC =-，∴平面11AAC C 的法向量()2,1,0n =，又 //MN 面11AACC ，∴=0MN n ⋅即1m n +=， ∴()()2222222941MN m n n m m m =+-+-=-+，∴MN 最小值为5 故选：A.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了转化化归和函数思想，属于中档题. 12．B解析：B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值.【详解】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=, 22225||(3)6916BP x z x x ∴=-+=-+225488191625255x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ||5tan ||3AB BP θ∴=， tan θ∴的最大值为53. 故选：B .【点睛】本题主要考查的是线面所成角，解题的关键是找到线面所成角的平面角，是中档题.二、填空题13．【分析】从二面角的大小入手利用空间向量求解【详解】以N 为坐标原点NCNA 所在直线分别为x 轴y 轴建立空间直角坐标系如图则由可得设为平面的一个法向量则即令可得易知平面ABC 的一个法向量为因为平面与平面所 解析：2-【分析】从二面角的大小入手，利用空间向量求解.【详解】以N 为坐标原点，NC,NA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，如图则()()()()()10,0,0,1,0,1,1,0,0,3,0,3,2N M B A A - ,由111A P A B λ=可得()11111133,2NP NA A P NA A B NA AB λλλλ=+=+=+=-, ()1,0,1NM =,设(),,n x y z =为平面PMN 的一个法向量，则00n NM n NP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即)03120x z x y z λλ+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩， 令1z =-，可得()()321,,131n λλ⎛⎫+=- ⎪ ⎪-⎝⎭，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =. 因为平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45， 所以1cos45n m n m n ⋅︒==，即2n =，所以21211231λλ+⎛⎫++= ⎪-⎝⎭，解得2λ=-. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用二面角求解参数.二面角的求解和使用的关键是求解平面的法向量，把二面角转化为向量的夹角问题.14．①②【分析】取D 的中点N 连接MNEN 根据四边形MNEB 为平行四边形判断①②假设DE ⊥C 得出矛盾结论判断③【详解】取D 的中点N 连接MNEN 则MN 为△CD 的中位线∴MN ∥CD 且MN=CD 又E 为矩形ABC解析：①②【分析】取1A D 的中点N ，连接MN ，EN ，根据四边形MNEB 为平行四边形判断①，②，假设DE ⊥1A C 得出矛盾结论判断③．【详解】取1A D 的中点N ，连接MN ，EN ，则MN 为△1A CD 的中位线，∴MN ∥12CD ，且MN=12CD 又E 为矩形ABCD 的边AB 的中点，∴BE ∥12CD ，且BE=12CD ∴MN ∥BE ，且MN=BE 即四边形MNEB 为平行四边形，∴BM ∥EN ，又EN ⊂平面A 1DE ，BM ⊄平面A 1DE ，∴BM ∥平面1A DE ，故①正确；由四边形MNEB 为平行四边形可得BM ＝NE ，而在翻折过程中，NE 的长度保持不变，故BM 的长为定值，故②正确；取DE 的中点O ，连接1A O ，CO ，由1A D ＝1A E 可知1A O ⊥DE ，若DE ⊥1A C ，则DE ⊥平面1A OC ，∴DE ⊥OC ，又∠CDO ＝90°﹣∠ADE ＝45°，∴△OCD 为等腰直角三角形，故而CD 2=OD ， 而OD 12=DE 2=，CD ＝4，与CD 2=OD 矛盾，故DE 与1A C 所成的角不可能为90°． 故③错误．故答案为①②．【点睛】本题考查命题真假，线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，空间想象和推理运算能力，属于中档题．15．【解析】【分析】利用平面可以得到从而为中点同理可得为中点再根据三棱锥为正三棱锥得到故四边形为矩形从而可计算其面积【详解】因为故在底面上的射影为底面三角形的外心又为等边三角形故在底面上的射影为底面三角 解析：452【解析】【分析】利用SB 平面DEFH 可以得到DHSB ，从而H 为SA 中点，同理可得F 为SC 中点，再根据三棱锥S ABC -为正三棱锥得到AC SB ⊥，故四边形HDEF 为矩形，从而可计算其面积．【详解】因为SA SB SC ==，故S 在底面上的射影为底面三角形的外心，又ABC ∆为等边三角形，故S 在底面上的射影为底面三角形的中心，所以三棱锥S ABC -为正三棱锥，所以SB AC ⊥．因SB 平面DEFH ，SB ⊂平面ABS ，平面ABS平面DEFH DH =，故SB DH ，因AD DB =，故AH HS =，1,2DH BS DH BS =，同理1,2EF BS EF BS =， 故,DH EF DH EF =，所以四边形DEFH 为平行四边形，又由,D E 为中点可得DEAC ，故DH DE ⊥，故四边形DEFH 为矩形． 又153,2DE DH ==，故矩形DEFH 的面积为452． 【点睛】 （1）正三棱锥中，对棱是相互垂直的，且顶点在底面的投影是底面正三角形的中心． （2）通过线面平行可以得到线线平行，注意利用线面平行这个条件时，要合理构建过已知直线的平面（该平面与已知平面有交线）．16．【解析】以正方形的中心为原点平行于的直线为轴平行于的直线为轴为轴建立如图所示空间直角坐标系设四棱锥棱长为则所以∴故异面直线所成角的余弦值为 解析：33【解析】以正方形ABCD 的中心O 为原点，平行于AB 的直线为x 轴，平行于AD 的直线为y 轴， SO 为z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，设四棱锥S ABCD -棱长为2，则(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，2)S ，(1,1,0)D -，112,,222E ⎛- ⎝⎭，所以312,22AE ⎛= ⎝⎭，(1,1,2)SD =--，∴311cos,AE SD-+-==故异面直线AE，SD所成角的余弦值为3．17．【分析】设空间向量由已知条件可得的值由对任意得：进而得到答案【详解】解：空间向量设空间向量空间向量又由对任意则故故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算空间向量的模属于中档题解析：【分析】设空间向量(),,c m n z=，由已知条件可得m、n的值，由对任意x，y R∈，00|()||()|1c xa yb c x a y b-+-+=得：||1z=，进而得到答案．【详解】解：空间向量(1,0,0)a=，13(,22b=，设空间向量(),,c m n z=，2c a⋅=，52c b⋅=，2m∴=，1522m =2m∴=，3n=，∴空间向量()2,3,c z=，又由对任意x，y R∈，()()001c xa yb c x a y b-+≥-+=，则||1z=，故(22c=+=故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算，空间向量的模，属于中档题．18．【解析】解析：211322a b c-++【解析】MN MA AB BN=++11()32OA OB OA BC =+-+ 21()32OA OB OC OB =-++- 211322OA OB OC =-++ 211322a b c =-++． 19．2【解析】因为向量所以则解之得应填答案解析：2【解析】因为向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)a x b c ===，所以(0,0,1),2(2,4,2)c a x b -=-=，则()(2)222c a b x -⋅=-=-，解之得2x =，应填答案2。

人教版高中数学选修2-1第一章检测题

人教版高中数学选修2-1第一章检测题

第1页 共4页 第2页 共4页绝密★启用前高中数学选修2-1第一章检测题试卷副标题考试范围：XXX ；考试时间：100分钟；命题人：XXX题号 一 二 三 总分 得分1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上 评卷人 得分一、单项选择（注释）1、条件x x p =|:|，条件x x q -≥2:，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件充要条件 D ．既不充分又不必要条件2、命题“21,11x x <<<若则-”的逆否命题是（ ）A.21,1,1x x x ≥≥≤-若则或 B.若11<<-x ，则12<x C.若1x >或1x <-，则12>x D.若1x ≥或1x ≤-，则12≥x 3、下列命题中是全称命题的是（ ）A ．圆有内接四边形B ．23>C ．23<D ．若三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形为直角三角形 4、在ABC ∆中，“A B =”是“sin sin A B =”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5、命题“对任意的2,310x R x x ∈-+≤”的否定是（ ） A.不存在2000,310x R x x ∈-+≤ B.存在2000,310x R x x ∈-+≤C.存在2000,310x R x x ∈-+> D.对任意的2,310x R x x ∈-+> 6、已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q ：存在实数x 0，使2x 0<0.下列选项中为真命题的是( )A ．⌝pB ．qC ．⌝p ∨qD ．⌝q ∧p 7、）下列说法错误的是（ ）A ．如果命题“⌝p ”与命题“p ∨q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：“若a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：∃x 0∈R ，x 02＋2x 0－3<0，则？p ：∀x ∈R ，x 2＋2x －3≥0D ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件 8、“1k =-”是“两直线320kx y +-=和(2)70k x y -+-=互相垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件9、在∆ABC 中，a B sin <bAsin 是A ＞B 成立的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 10、有下列四个命题：①“若xy=1，则x 、y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题； ③“若022=+-m x x 有实根则1≤m ”； ④“若B A B B A ⊆=则, ”的逆否命题．其中真命题个数为（ ）．3 D ．4评卷人 得分二、填空题（注释）11、已知x y R ∈、，那么命题“若x y 、中至少有一个不为0，则220x y +≠.”的逆否命题是 .12、已知命题p ：220R x x ax a ∃∈++≤，，则命题p 的否定是_________；若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是___________．13、已知命题p ：？x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：？x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若“p 且q ” 为真命题，则实数a 的取值范围是______________．第3页 共4页 第4页 共4页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………14、给出下列命题：(1)命题：“若b 2－4ac<0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根”的否命题； (2)命题“△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题； (3)命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；(4)“若m>1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ”的逆命题． 其中真命题的个数为____________．评卷人 得分三、解答题（注释）15、写出下列命题的否定，并判断真假. (1)q:∀x ∈R ，x 不是5x-12=0的根； (2)r:有些质数是奇数； (3)s:∃x ∈R ，|x|＞0.16、设命题p ：“若0a ≥，则20x x a +-=有实根”． （1）试写出命题p 的逆否命题；（2）判断命题p 的逆否命题的真假，并写出判断过程． 17、已知全集U=R ，非空集合{23x A x x -=-＜}0，{()()22B x x a x a =---＜}0. （1）当12a =时，求()U C B A ⋂； （2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.18、已知命题p:(x+1)(x-5)≤0，命题q:m x m +≤≤-11（1）若p 是q 的必要条件，求实数m 的取值范围；（2）若m=5，“p q ∨ ”为真命题，“p q ∧ ”为假命题，求实数x 的取值范围。

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选修2-1第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）在下列各小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选项前的字母填入下表相应的空格内．1．给出命题：p ：31>，q ：4{2,3}∈，则在下列三个命题：“p 且q ” “p 或q ” “非p ”中，真命题的个数为（ ） A ．0B ．3C ．2D ．12．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是（ ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+yx3．“m =-2”是“直线（m +2）x +3my +1=0与直线（m －2）x +（m +2）y －3=0相互垂直”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 4．给出下列三个命题：①若1->≥b a ,则bb aa +≥+11；②若正整数m 和n 满足n m ≤,则2)(n m n m ≤-；③设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆O 2以),(b a Q 为圆心且半径为1．当1)()(2121=-+-y b x a 时,圆O 1与圆O 2相切；其中假命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．双曲线19422-=-y x 的渐近线方程是（ ）A ．x y 23±=B ．x y 32±=C ．x y 49±=D ．x y 94±=6．已知M （-2,0）,N （2,0）,|PM|-|PN|=4,则动点P 的轨迹是（ ）A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支7．如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是 （ ）A ．（0,+∞）B ．（0,2）C ．（1,+∞）D ．（0,1）8．已知向量)5,3,2(-=a 与向量),,4(y x b -=平行,则x,y 的值分别是（ ）A ．6和-10B ．–6和10C ．–6和-10D ．6和109．已知ABCD 是平行四边形,且A （4,1,3）,B （2,-5,1）,C （3,7,-5）,则顶点D 的坐标为（ ）A ．（1,1,-7）B ．（5,3,1）C ．（-3,1,5）D ．（5,13,-3）103465x y --=表示的曲线为（ ）A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线D ．圆11．已知双曲线方程为1422=-yx ，过)1,2(-P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直线L 的条数共有（ ） A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条 12．有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是（ ）A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）请将答案直接添在题中的横线上． 13．已知双曲线12222=-by ax 的一条渐近线方程为034=-y x ，则双曲线的离心率为_ __。

14．直线l 过抛物线2ay x = （a>0）的焦点,并且与x 轴垂直,若l 被抛物线截得的线段长为4,则a= ． 15．已知下列命题（c b a ,,是非零向量）（1）若c a b a ⋅=⋅,则c b =; （2）若k b a =⋅,则a =（3）)()(c b a c b a ⋅=⋅。

则假命题的个数为___________。

16．已知向量(,12,1),(4,5,1),(,10,1)O A k O B O C k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k= ． 三、解答题：（共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本题满分10分）如果正△ABC 中,D ∈AB,E ∈AC,向量12D E B C = ,求以B,C 为焦点且过点D,E 的双曲线的离心率．18．（本小题満分12分） 设p ：指数函数xc y =在R 上是减函数；q ：021<-c 。

若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，求c 的取值范围。

19．（本小题満分12分）已知一条曲线上的每个点M到A（1,0）的距离减去它到y轴的距离差都是1．（1）求曲线的方程; （2）讨论直线y=kx+1 （k∈R）与曲线的公共点个数．20．（本小题満分12分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0），右顶点为)0,3(。

（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：2y与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且+=kxOA（其中O为原点），求k的取值范围。

⋅OB>221．（本小题満分12分）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点．（Ⅰ）证明AD⊥D1F; （Ⅱ）求AE与D1F所成的角;（Ⅲ）证明面AED⊥面A1FD1;22．（本小题満分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2，E为PD的中点．（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．参考答案一、选择题 DDBBA CDADA CC 二、填空题13．e 1, e 2; 14．4; 15．3; 16．23-三、解答题 17．解118．解：∵p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题， ∴p 真q 假 或 q 假p 真⌝p ：指数函数xc y =在R 上不是减函数，即增函数；⌝q ：120c -≥∴12c ⎧⎪⎨≤⎪⎩0<c<1,或12c ⎧⎪⎨>⎪⎩c>1, 所以c 的取值范围是102c c ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭或c>119．解：（1）设点M （x,y ）是曲线上任意一点,则22)1(y x +--|x |=1，化简得:y 2=2x+2|x|所求曲线的方程．C 1：当x ≥0时， y 2=4x ；C 2：当x<0时，y=0． （2）直线y=kx+1过定点（0,1），y=kx+1，与y 2=4x 联列：ky 2-4y+4=0, ∆=16-16k当k=0时,直线与C 1有一个公共点,而与C 2没有公共点,共1个公共点; 当k=1时, ∆=0，直线与C 1和C 2各一个公共点,共2个公共点;当0<k<1时，∆>0,直线与C 1有2个公共点，和C 2一个交点,共3个公共点; 当k<0时，∆>0,直线与C 1有两个公共点，和C 2没有公共点,共2个公共点; 当k>1时, ∆<0,直线与C 1没有公共点，和C 2有1个公共点,共1个公共点; 所以:当k=0,或k>1时,直线与曲线有1个公共点; 当k=1,或k<0时,直线与曲线有2个公共点; 当0<k<1时,直线与曲线有3个公共点． 20．解：（Ⅰ）设双曲线方程为22221x y ab-= ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==bba c a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-yx（Ⅱ）将得代入13222=-+=yxkx y .0926)31(22=---kx x k由直线l与双曲线交于不同的两点得2222130,)36(13)36(1)0.k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩即.13122<≠kk 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则229,,22,1313A B A B A B A B x x x x O A O B x x y y kk-+==⋅>+>--由得而2((1)()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x x x +=+++=++++22222937(1)2.131331k k kkk -+=+++=---于是222237392,0,3131k k k k +-+>>--即解此不等式得.3312<<k②由①、②得.1312<<k故k的取值范围为(1,33--⋃21．（Ⅰ）0),1,21,0(),0,0,1(11=∙-=-=F D AD F D AD ， ∴AD ⊥D 1F（Ⅱ）0),21,1,0(1=∙=F D AE AE∴AE ⊥D 1F ， AE 与D 1F 所成的角为90（Ⅲ）由以上可知D 1F ⊥平面AED ， ∴面AED ⊥面A 1FD 1; 22．（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系， 则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标为A （0，0，0）、B （3，0，0）、C （3，1，0）、D （0，1，0）、 P （0，0，2）、E （0，21，1），从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC设PB AC 与的夹角为θ，则,1473723cos ===θ∴AC 与PB 所成角的余弦值为1473．（Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为（x ，O ，z ），则)1,21,(z x NE --=，由NE ⊥面PAC 可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0213,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 ∴⎪⎩⎪⎨⎧==163z x即N 点的坐标为)1,0,63(，从而N 点到AB 、AP 的距离分别为1，63．。

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