铅球掷远问题-数学模型

我们参赛选择的题号是(从 A/B/C/D 中选择一项填写)： 我们的参赛报名号为(如果设置报名号的话)： 所属学校(请填写完整的全名)： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 四川理工学院黄岭校区 赵 彬 李 欣 尹欢欢
C
日期：
2012 年
5
月
22 日
评阅编号(由评委团评阅前进行编号)：
编 号 专 用 页
问题二，为分析最优出手角度θ与出手速度 v 的制约关系，先对铅球做力学分析， 运用牛顿力学知识建立数学模型（见方程（13） ） ，根据该模型可知，最优出手角度θ会 随出手速度 v 的减小而减小，结合方程（9）可得，运动员不能使初速度达到最大的情 况下，应适当减小投掷角度的结论。再利用 MATLAB 软件编程将投掷水平位移 L 和出手 角度θ、出手速度 v 之间的关系图作出(见图 5)，可以确切的求出各个最优角度与初速 度的对应值。 问题三，分析了影响铅球投掷远度的因素，从空气阻力、推力大小、出手高度、 施 力距离对铅球掷远距离 L 的影响分别建立函数模型， 通过取点绘图的方法比较各因素的 影响， 最后根据结论有效的分析了教练员在训练运动员时应从哪些方面提高运动员的成 绩。
h( m)
2.02 2.00 2.02 2.04 1.95
二、问题分析
铅球是一项非常重要的体育竞技项目，而在一些重要的比赛中，运动员经过训练， 其投掷铅球的力度基本相同，也就是说决定竞赛胜负的往往是运动员的掷球技巧。而要 提高技巧，运动员必须对铅球的整个运动情况有所了解，以下是对各个影响铅球掷远因 素的分析： 问题一，为求出最佳投掷角，考虑到空气阻力的影响非常小可以忽略。首先必须对 铅球的整个运动情况进行运动学的分析， 根据运动学知识求出投掷水平位移 L 和出手角 度θ、出手速度 v 之间的多元方程后，再对 L 关于θ求导，便可求得最佳出手角度θ的 表达式。 问题二，分析最优出手角度θ与出手速度 v 的关系可以通过分析铅球受力情况， 用 牛顿力学公式表示出定量推力 F0 与最优出手角度θ、出手速度 v 之间的等式，从而容易 分析出θ与 v 之间的制约关系， 另外为了更形象地表达出投掷水平位移 L 和出手角度θ、 出手速度 v 之间的关系，我们可以将这一关系绘到同一图形中，从而可求出 v 变化， θ 随之变化的具体取值。
cos 2
g g v2 / h
(10)
由此可得当 =
g 1 时，投掷距离最远，即 L 达到最大。 arccos 2 g v2 / h
图 3 为速度 v 所对应的 的函数图象，由图像容易得出最优出手角度的大致范围在 38 42 之间。
45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
v 2 2aS t
(11)
(12)
从而推得
v 2S t F G sin M
(13)
通过观察以上式子我们可得：当 增大时，合力减小，从而加速度 a 减小，速度 v 也减小，所以出手速度与出手角度相互不独立，相互影响；将该式代入(9)式可得：
L (2 FS t 2 MgS t sin ) sin cos Mg
我国优秀运动员的铅球投掷数据 出手速度 出手角度 出手高度
成绩 s(m)
v(m / s )
李梅素 李梅素 黄志红 隋新梅 李梅素 19.40 20.30 20.76 21.66 21.76 13.16 13.51 13.58 13.95 14.08
(o )
40.27 38.69 37.75 39.00 35.13
关键词： 运动物理学 多元方程 MATLAB 编程 图形分析 力学分析
一、 问题提出
1.1 背景资料与条件 众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住 7.264kg(16 磅 ) 重的铅球在直径为 以铅球的 2.135m 的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为 45o 的有效扇形区域内。 落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度， 并以铅球投掷远度的大小评定运动员的 成绩。如图 1：
(7)
水平位移与速度、时间之间的关系为： L vxt2 将(1)式、(7)式代入(8)式得：
L v cos (v sin v 2 sin 2 2 gh ) ) g
(8)
(9)
由(9)式可以看出，当初速度一定时，水平位移 L 只与出手角度 有关，若 L 有最大值， dL 则 关于 L 的导数等于 0 有解，即 0 d
θ
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
V
图 3 V-θ图形
Hale Waihona Puke 5.2 折中出手角度与出手速度模型 由式(10)可知当 v 变化， 将发生一系列变化。在该运动过程中，铅球做匀加速运 动，在某一点对铅球进行受力分析如图 4：
F0

G sin
G
图 4 受力分析 由牛顿第二定律可得： F0 G sin Ma 由运动学公式可得：
关 于 a-v-L1的 图 线 44 42 40 38 36 34 a 32 30 28 26 24 22 6 8 10 12 14 16 L1 18 20 22 24 26
P 大气压强 t 气温
五、建立模型
5.1 最优出手角度模型 对于运动员投掷铅球，由于出手速度和出手角度不同，投掷的水平位移也不一样， 当水平位移达到最大时，即其导数等于 0 时，可得出手角度与出手速度之间的关系。 同 如图 2 所示，以运动员站处为原点 O,竖直方向为 Y 轴，铅球的落地点与 O 点连线为 X 轴：
L' v 2 sin 2 v cos 2g g v 2 sin 2 2 gh

v 2 sin 2 v 4 sin 2 2 2hv 2 cos 2 g 2g 4g 2

1 g 8 gh cos v sin 2
2 2 2
(v 2 sin 2 cos 2 2 gh sin 2 cos 2 8 ghv 2 cos 2 v 4 sin 2 2）
H（t)
V
θ h
O
t1
图 2 铅球的运动轨迹
t2
t
由模拟模型和物理学知识，可得水平速度和垂直速度分别为： v x v cos 则第一次到达最高点所需时间为：
v y v sin
(1)
t1
v sin g
(2)
第一次到达最高点所需时间和最高点到落地点的距离之间的关系式： 1 2 v sin 2 H (t1 ) h gt h 2 2g 可设该抛物线方程为: v sin 2 v sin 2 H (t ) a(t ) h g 2g 当 t=0 时，H(t)=h,代入(4)式得：
问题三，主要考虑影响铅球投掷远度的因素，有空气阻力、推力大小、出手高度和 施力距离四个方面。空气阻力的影响可以根据通常情况下的空气阻力参数(实验求得定 值)，建立含阻力的多项式方程，根据微分知识求得实际距离 L 关于出手角度θ与出手 速度 v 之间的关系。其它因素均可根据问题一、二中的公式变形后作图分析。
1.3 参考资料 参考数据资料如下：
表1 姓名 李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩 出手速度 出手高度 出手角度 实测成绩
v(m / s )
李梅素 李梅素 斯卢皮亚内 克 表2 姓名 13.75 13.52 13.77
h( m)
1.90 2.00 2.06
(o )
37.60 38.69 40.00 20.95 20.30 21.41
三、基本假设
1.假设铅球被看做一个质点； 2.假设出手速度与出手角度无关； 3.假设运动员的每次成绩都有效； 4.假设投掷过程中忽略空气阻力的影响； 5.假设铅球本身、运动员身体状况、天气等条件对运动员的影响不计； 6 假设投掷范围内引力常数、空气密度、风速相同；
四、模型使用符号说明
h
人和手臂的长 铅球到达最高的位置与手臂的垂直距离 铅球到达最高的位置与地面的垂直距离 铅球投掷的初速度 铅球投掷的水平速度 铅球投掷的垂直速度 速度方向与投掷的水平方向所成角 铅球下落地点与人的距离 当地重力加速度 g=9.8m/s 铅球到达最高点所需时间 铅球从开始到落地所需的时间
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备 注
铅球投掷问题
摘要
本文主要对影响铅球掷远成绩因素进行了研究， 采用牛顿力学等物理的分析法和微 分知识建立了数学模型，运用 MATLAB 软件编程绘图进行模型求解和分析，使问题得以 解决。 问题一，由于空气阻力、铅球本身、天气情况等因素的影响相对较小，可忽略。 运 用运动物理学知识建立投掷水平位移 L 和出手角度θ、 出手速度 v 之间的多元方程关系， 对掷远水平位移 L 关于θ求导可知， 简化可得到最优出手角度θ与出手速度 v 和出手高 度 h 之间的函数关系，再运用 MATLAB 软件编程将这一关系图作出(见图 3),可直观的判 断运动员最优出手角度的大致范围在 38 42 之间。
2
h1
H v
vx
vy

L g
F0 手对铅球的推力
M 铅球的质量 G 铅球的重力 a 铅球运动的加速度 F 空气阻力
C K
形状阻力系数 空气密度阻力系数， K
1 p (0.04737 ) 2 273 t
S
模型的阻力面积( S A 0.0113m 2 ， S B 0.00785m 2 )
a g 2
2 2 2
(3)
(4)
(5)
则该抛物线方程式为: g v sin 2 v sin 2 H (t ) (t ) h 2 g 2g 当 H(t)=0 时,t=t2 ,代入(6)式得：
t2 v sin 2h v 2 sin 2 2 g g g